Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, принадлежащих некоторым классам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Лебединский, Дмитрий Михайлович

• Лебединский, Дмитрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лебединский, Дмитрий Михайлович

0 Введение 2

1 Теорема Яковлева 15

1.1 Вспомогательные категории.15

1.2 Теорема Яковлева.17

1.3 Разложения векторов и следствие из теоремы Яковлева.19

1.4 Некоторые известные примеры неединственности прямых разложений с точки зрения теоремы Яковлева . .21

2 Прямые разложения абелевых групп из некоторых классов 24

2.1 Формулировка основной теоремы .24

2.2 Условия о векторах.25

2.3 Доказательство леммы 1.26

2.4 Построение разложений в случае г г < п — £ + . 28

2.5 Неразложимость векторов по частям.34

2.6 Построение разложений по простым числам в случае г < п — £ + 1.35

2.7 Построение разложений в случае г > п — £ + . . 36

3 Отображение факторизации по радикалу 39

3.1 Кольцо эндоморфизмов.39

3.2 Сведение Р/ЛР к Р Ър/3{Р ®ЪР).50

3.3 Образ при факторизации по радикалу . 56

4 О возможной неразложимости 64

4.1 Примеры. 64

4.2 Необходимые и достаточные условия. 66

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, принадлежащих некоторым классам»

Как известно, одной из фундаментальных теорем алгебры является теорема Крулля-Шмидта.

Теорема 1 Любые два разложения некоторого модуля в прямую сумму подмодулей с локальными кольцами эндоморфизмов изоморфны.

В частности, если мы рассматриваем модули конечной длины, то локальность кольца эндоморфизмов эквивалентна неразложимости, и теорема Крулля-Шмидта дает единственность разложения на неразложимые слагаемые.

Естественно было пытаться обобщить эту теорему, в частности на случай абелевых групп без кручения (хотя бы конечного ранга), однако Ионсон [14], а затем Корнер [10] нашли ряд примеров неединственности таких разложений. Также ряд примеров содержится в статье [12].

Теорема 2 (Корнер) Пусть даны натуральные числа п и к, причем п > к. Существует абелева группа без кручения А ранга п со следующим свойством. Для любого разбиения числа п на к натуральных слагаемых гг- > 1, п = г\ + • • • + гь, найдется прямое разложение

А = Аг ф • • • ф Ак, где А{ — неразложимая группа ранга г г.

Для восстановления единственности Йонсон [15] предложил понятие изоморфизма заменить понятием квазиизоморфизма.

Здесь и далее везде слово группа означает абелева группа конечного ранга без кручения.

Пусть А ж С — группы, лежащие в одной и той же делимой группе. Мы говорим, что А квазивложена в С (и пишем А С), если найдется такое натуральное п, что пА с С. Группы А ж С квазиравны (А « С), если А -< С и С -< А.

Группы квазиизоморфны, если они изоморфны квазиравным подгруппам некоторой делимой группы. Если А « Ci© - • - фС*, то А называется квазипрямой суммой групп Ci, а каждая группа Ci — квазипрямым слагаемым А. Группа называется , сильно неразложимой, если она не раскладывается в квазипрямую сумму нетривиальным образом.

Теорема 3 (Йонсон) Пусть А — группа и имеют, место квазиравенства а « А\ е • • • © Ат & ci © • • • © сп с сильно неразложимыми группами А{ и Cj. Тогда т — п и при подходящей перенумерации Ai квазиизоморфно Ci для всех г.

В связи с отсутствием единственности в прямых разложениях в традиционном смысле, Фукс сформулировал в своей книге [6] ряд проблем, касающихся прямых разложений.

Проблема 67(Фукс) При данном натуральном числе г > 3 найти все последовательности п\ < • • ■ < ns натуральных чисел, для каждой из которых существует группа ранга г, обладающая разложениями на ., ns неразложимых слагаемых соответственно.

Проблема 68 (Фукс) Пусть даны такие натуральные числа ri,., rfc и г[,., r[, ЧТО.Т1 Н-----l-rfc = r[ Н-----f-r'k. Найти условия, при которых существует группа, обладающая прямыми разложениями на неразложимые слагаемые рангов г\,., г к и г[,., г[ соответственно.

Проблема 69 (Корнер) Существуют ли группы конечного ранга, обладающие бесконечным числом попарно неизоморфных прямых разложений?

Проблема 69 была решена отрицательно Е. JI. Лэди в статье [16]. Проблемы 67 и 68 были решены Благовещенской и Яковлевым в статьях [1], [3], [8], [2].

Теорема 4 (Благовещенская) Пусть 1 < щ < П2 < - • • < ns < п — натуральные числа. Для того, чтобы существовала абелева группа ранга п, допускающая разложения в прямую сумму п\ неразложимых слагаемых, чП2 неразложимых слагаемых, ., п8 неразложимых слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы п\ > К(п,п3), где К — натуральное число, определяемое следующим образом: а) К = 2, если - Пв < [|] + 1/ б) К — наименьшее натуральное число, для которого К >п/(2(п — п3) — 1), если [|] + 1 < п8 < п — 1; в) К — наименьшее натуральное число, для которого К > ес«/т п8 = п — 1.

Теорема 5 (Благовещенская, Яковлев) Пусть есть два набора натуральных чисел ., и г^,., т^ с одинаковой суммой п, причем в первом наборе и единиц, а во втором наборе V единиц. Тогда для того, чтобы существовала абе-лева группа ранга п, имеющая прямые разложения на неразложимые слагаемые рангов г\,., и г'г,. ,г[, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: Г{ < п — V, г'у < п — и, причем если в первом неравенстве достигается равенство (хотя бы для одного г), то во втором наборе может быть только одно число, отличное от единицы, и если во втором неравенстве достигается равенство (хотя бы для одного то в первом наборе не более одного числа отлично от единицы.

Пытаясь понять причины неединственности прямых разложений, А. В. Яковлев [7] разработал теорию, устанавливающую связь между прямыми разложениями групп и разложениями векторов в конусах в решетках. Эта теория позволяет существенно упростить построение примеров групп с определенными аномалиями в прямых разложениях, а также получение других результатов о прямых разложениях.

Настоящая диссертация продолжает исследование прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга. Целью настоящей работы является перенесение на случай групп из некоторых классов результата Благовещенской и Яковлева и вычисление отображения факторизации по радикалу на полугруппе конечно порожденных проективных модулей над кольцом эндоморфизмов почти вполне разложимой группы, делимой на почти все простые числа, Что также тесно связано с прямыми разложениями абелевых групп конечного ранга без кручения.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации.

Первая глава представляет собой изложение определений и результатов А. В. Яковлева, необходимых для исследования прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения на протяжении всей остальной части диссертации. В первом параграфе содержатся определения вспомогательных категорий, необходимых для изучения прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения.

Пусть М — аддитивная категория (т.е. такая категория, в которой множества морфизмов суть абелевы группы, композиция билинейна (над кольцом целых чисел) и существуют конечные прямые суммы). Мы говорим, что М — категория над ассоциативным коммутативным кольцом к с единицей, если группы морфизмов являются ^-модулями и композиция билинейна над к.

Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с 1, содержащее кольцо целых чисел Z. Через М'К обозначается категория сОЪМ^ОЬМи М'К(А,В) = М(А,В) ® К. Под Мк понимается категория с ОЬ Мк = {(А, е) : А £ ОЪМ'к, е2 = е е Епс1М'К(А)} и Мк((А,е), {В, (Г)) = ¿М'к(А,В)е. Очевидно, объекты М можно рассматривать как объекты Мк

Пусть М — категория абелевых групп конечного ранга без кручения. Тогда Мр = МЪр, М° = Мр = М%р, Мр = М^ и М = Мс, где Ър — локализация кольца целых чисел Ъ по простому числу р, Ёр — это кольцо целых р-адических чисел, О — поле рациональных чисел, Ор — поле р-адических чисел, а С — поле комплексных чисел.

Абелевы группы и их морфизмы можно рассматривать как объекты и морфизмы категорий Мр, а их объекты и морфизмы, в свою очередь, как объекты и морфизмы категорий Мр. Кроме того, мы фиксируем вложения Ор —С (неканонические) и рассматриваем объекты и морфизмы категорий М^как объекты и морфизмы категории М. В категориях Мр и М разложение в прямую сумму неразложимых объектов всегда существует и единственно.

Пусть А — группа. Тогда в категории М она имеет разложение А = п\А\ ф • ■ • ф щА}-, где Д — неразложимые попарно не изоморфные объекты. Сопоставим группе А вектор у = = (щ,., щ). В категориях Мр группа А имеет разложения А = Ар\ ф • • • ф ЛргПр в прямую сумму неразложимых объектов. При этом в разложении в прямую сумму неразложимых в категории М могут встречаться только объекты, изоморфные Д при 1 < г < к (в силу единственности разложения в категории М). Таким образом, АРу = 1П1Р^А\ 0 • • • 0 WkpjAk, и мы можем сопоставить объекту Ару вектор Урз = ч{Ар]) = (ги^,., ги^). Через к(А,р) мы обозначим разложение (г>Р1,., Vpmf) вектора v. Через к(А, 0) обозначим разложение v, полученное аналогичным способом, но с категорией М° вместо Мр.

Пусть 5о = {Х^,., — множество сильно неразложимых (неразложимых в категории М°) попарно не квазиизоморфных (попарно не изоморфных в категории М°) групп. Пусть Р — конечное множество простых чисел, причем для каждого р Е Р выбрано конечное множество Бр = {Х^ ., неразложимых попарно не изоморфных объектов Мр, причем в М среди неразложимых слагаемых объектов X? встречаются только слагаемые групп из 5о

Систему (Р, 5Р, 5'о) обозначим 0, и под категорией М(©) будем понимать полную подкатегорию категории групп М, состоящую из таких групп А, что:

М1) в категории М° группа А раскладывается в прямую сумму групп из 5о;

М2) для р Е Р в категории Мр группа А раскладывается в прямую сумму объектов из

МЗ) для простого числа Р в категории Мч группа А раскладывается в прямую сумму групп из 5о (необязательно неразложимых в этой категории).

Второй параграф содержит изложение основной теоремы из статьи [7]. Рассмотрим целочисленную решетку А размерности ]Г) пц. Элементы этой решетки, т.е. наборы це-г'еРи{0} лых чисел, будем обозначать (dpi). Каждой абелевой группе А из М(0) поставим в соответствие набор d(A) = (dpi) такой, что А = cfoiXj Ф • • • 0 d0moX^o в категории М° и А = dp\X^ ф • • • ф dpmpX^ в категории Мр. Пусть Vpi — вектор объекта Xf. Тогда определим в решетке Д подрешетку Г соотношением rrip то

Vp € Р dPiVPi = d0iV0ii=1 ¿=1

Конус Г+ выделяется в решетке Г соотношением dpi > 0 для любых р и г.

Любая абелева группа конечного ранга без кручения принадлежит некоторой категории М(0) при подходящем в.

Центральной теоремой данного подхода является следующая теорема.

Теорема 6 (А. В. Яковлев) 1) Если А — группа из М(©); то d(A) € Г+.

2) Для всякого вектора w G Г+ существует группа А из М(&) такая, что d(A) = w.

3) Если А и В — группы из М(©) и d(Ä) = d(B), то А и В принадлежат одному роду.

4) Если А — группа из М(Э) и d(A) = w\ + w2, причем wi,w2 £ Г+, то существуют такие группы В и С из М(В)7 что А = В®С, d(B) = Wl и d(C) = w2.

5) Если А = Bi ф В2, где А Е М(9) и ВЪВ2 — группы из М, то существуют группы Ci, С2 £ М(&) такие, что А = С\ ф С2 и для всех р £ Р U {0} группы В{ и С{ изоморфны в категории Мр.

6) Абелева группа А из М(0) неразложима в М тогда и только тогда, когда d(A) — неразложимый вектор из Г+ т.е. вектор, не представимый в виде суммы^двух ненулевых векторов из Г+,).

Кроме этой теоремы, мы пользуемся следствием из нее. Прежде, чем формулировать следствие, введем необходимые понятия.

Через С{ (у) будет обозначаться г-я компонента вектора v. Сумму компонент вектора V мы обозначим через |у|. Вектор V называется единичным, если |у| = 1. Вектор V называется элементарным, если все его компоненты не превосходят 1. Через и> е^1 . е^ будет обозначаться вектор, у которого первая компонента равна ио и компоненты с г\ по ., с по ¿к равны 1 (все остальные компоненты равны 0). Если т отсутствует, то первая компонента определяется первым символом е: если = 1, то она равна 1, иначе она равна 0. Также мы будем писать е^ вместо е^. Под пересечением векторов у П у' мы понимаем вектор, компоненты которого равны минимуму соответствующих компонент векторов у и у', т.е. а(\ П У') = тт{сг(у), с^(у')}.

Разложение вектора у — это упорядоченный набор (ух, ., ут) векторов такой, что ^ = V. Два разложения эквивалентны, если они отличаются только порядком записи векторов. Эквивалентность разложений будет обозначаться знаком

Разложение называется полным, если все его векторы единичны. Разложение называется тривиальным, если оно содержит не более одного ненулевого вектора. Разложение называется элементарным, если все его векторы элементарны.

Разложения удобно записывать в виде таблиц, строки которых представляют собой векторы разложения. Таблицу, соответствующую разложению а, мы обозначим через Т(а).

В дальнейшем, если известно, разложения какого вектора мы рассматриваем, мы не будем выписывать единичные векторы в разложениях.

Пусть есть два разложения а = (VI, .,ут) и Ь = (у^,., у^,) одного вектора V. Мы говорим, что 6 вписывается в а, если существует такая функция / : {1, .,т'} —

1,. ,т}, что V* = Сама / при Э'Згом называется вписыванием 6 в а, и мы пишем / : Ъ —V а. В дальнейшем вписывание будет записываться как (/(1), /(2),., /(т')). Эта форма записи будет сочетаться с опусканием единичных векторов в записи разложений (т.е. будут указываться лишь образы индексов неединичных векторов). Ясно, что полное разложение вектора v вписывается в любое разложение v, и любое разложение вписывается в тривиальное разложение того же вектора. Также ясно, что разложения данного вектора в качестве объектов и вписывания в качестве морфизмов образуют категорию.

Пусть а = (VI, .,ут)и6 = (у'15 ., у'т,), / : Ъ -> а. Тогда / индуцирует разложения /[г] = (у^.,., у^ .) векторов у*, где {и)ц,., гп^} = /-1(г).

Пусть есть множество а = {ах,., разложений вектора у. Мы говорим, что вектор у неразложим относительно а, если всякое разложение вектора V, в которое вписываются все аг-, тривиально.

В ситуации, описанной в начале предыдущего параграфа, через Н(А,р) мы обозначим разложение (уР1, ., Уртр) вектора у = у(А). Через /г(А, 0) обозначим разложение у, полученное аналогичным способом, но с категорией М° вместо Мр.

Теперь мы можем сформулировать следующее следствие из теоремы Яковлева.

Следствие 1 (А. В. Яковлев) Пусть есть группа А. Если А = Ах 0 • • • $ Ат и у(Л) = Vг, с = (уь ., уш), то для всех простых чисел р существует /р : к(А,р) —» с. Пусть задано конечное множество простых чисел Р такое, что для любого р £ Р группа А раскладывается в категории Мр как

Л01 0-----© .Дото (га-е. как в категории Мо, но в категории

Мр эти слагаемые могут быть разложимыми), разложение с и для каждого р £ Р задано вписывание /р : к{А,р) —с. Тогда существует разложение А = А\ 0 • • • 0 Ат такое, что

НА,р) = /„И

Вторая глава касается перенесения результата Яковлева и

Благовещенской на случай групп из некоторых классов, названных в диссертации "подходящими". Однако удалось получить соответствующий результат только для понятия обобщенного ранга.

Определим обобщенный ранг группы А как число слагаемых в разложении группы А в прямую сумму неразложимых объектов в категории М.

Пусть дан набор натуральных чисел г\,г8. Будем говорить, что этот набор реализуется для группы А, если А обладает разложением в прямую сумму неразложимых групп (в категории М) обобщенных рангов гг,. ,г3.

Мы говорим, что группа А делится на простое р, если рА =

А.

Мы будем называть класс С групп подходящим, если он удовлетворяет следующим условиям:

81) для любых к, I € N существует жесткая система из к штук групп из класса С, не делящихся на I различных простых чисел;

Б 2) класс С замкнут относительно взятия конечных прямых сумм и добавления образующей (т.е. если АЕСиабЛ^О, то (Да) £ С).

Примерами подходящих классов групп являются класс почти вполне разложимых групп и класс ^-однородных групп.

Теорема 7 Пусть даны два набора натуральных чисел ., г, и 11,. с одинаковой суммой п, причем в первом наборе и единиц, а во втором V единиц. Пусть С — подходящий класс групп. Следующие два условия равносильны.

01) Существует группа А € С, для которой реализуются оба набора.

02) Гг < п — V для 1<{< в, и Ц<п — и для 1 < j < t. Если Г{ = п — V для некоторого г, то среди чисел Ц не более одного отлично от 1. Если Ц — п — и для некоторого 2, то среди чисел г г не более одного отлично от 1.

Эта теорема сначала переформулируется в терминах разложений векторов, используя подход А. В. Яковлева, а затем достаточность доказывается путем явного предъявления соответствующих векторов и их разложений в суммы (необходимость после такой переформулировки становится очевидной). При этом, также как и в статье [3], частный случай г < п—¿4-1 (где г = г\ > ••• > г8, г > 1\ > ••• > ¿¿) рассматривается отдельно. В большинстве случаев неразложимость векторов разложений относительно индуцированных разложений доказывается при помощи теоремы о неразложимости по частям.

Под носителем вирру вектора v мы понимаем множество номеров ненулевых компонент вектора v. Под частью вектора понимается другой вектор с тем же числом компонент, компоненты которого равны 0 или соответствующим компонентам исходного вектора.

Мы говорим, что часть vi вектора v неразложима относительно множества разложений {а\,., ат}, если для любого вектора У2 любого разложения 61, в которое вписываются все «г, выполняется следующее утверждение: если найдется индекс г, лежащий в виррУх и такой, что Уг) > 0, то для всех г из эиррУх будет С{(Уг) = Сг(ух)). Ясно, что часть VI вектора V неразложима относительно {(ух)} (единичные слагаемые, как и было оговорено, не выписываются).

Мы говорим, что части V{ связно покрывают вектор у, если

1) ивиррУг = вирру;

2) граф, вершинами которого являются у^ (у^ соединено с ребром, если и только если эирр V* П вирр у^ ф 0) связен.

Теорема 8 Пусть части, у^ связно покрывают, вектор у и у^ неразложим относительно множества разложений оц. Тогда у неразложим относительно

Третья глава содержит изложение результата об отображении факторизации по радикалу для полугруппы конечно порожденных проективных модулей над кольцом эндоморфизмов почти вполне разложимой абелевой группы без кручения конечного ранга, делимой на почти все простые числа.

Первый параграф содержит ряд теорем, позволяющих вычислять кольца эндоморфизмов почти вполне разложимых групп.

Заметим, что полугруппа конечно порожденных проективных модулей над кольцом эндоморфизмов изоморфна полугруппе прямых слагаемых прямых сумм нескольких экземпляров исходной абелевой группы, которая (в силу теоремы Яковлева) изоморфна как полугруппа конусу Г+, который, в свою очередь, изоморфен как полугруппа конусу Г+ (последний получен из Г+ выкидыванием компонент dof, эти компоненты однозначно определяются остальными). Это соображение позволяет отождествить проективные конечнопорожденные модули над кольцом эндоморфизмов с некими наборами неотрицательных целых чисел, что позволит именно в терминах этих наборов сформулировать основную теорему третьей главы.

Назовем "плохими" такие пары индексов у dpi, что Vpi имеет всего одну ненулевую компоненту, равную 1, причем эта 1 стоит на месте, отвечающем делимой на р группе Lj. Все остальные пары индексов назовем "хорошими".

Теорема 9 Полугруппа конечно порожденных проективных модулей над фактором кольца эндоморфизмов по радикалу изоморфна W0, где s — число хороших пар индексов. Если конечно порожденному проективному модулю Р над кольцом эндоморфизмов соответствует набор (dpi) G Г+; то отображение факторизации по радикалу переводит его в набор dpi с хорошими парами индексов, т.е. это отображение соответствует вычеркиванию коэффициентов dpi с плохими парами индексов.

Эта теорема доказывается посредством, во-первых, сведения вычисления фактора по радикалу конечно порожденного проективного модуля к вычислению факторов по радикалам тензорных произведений этого модуля на аддитивные группы колец целых р-адических чисел для тех простых р, на которые не делится исходная группа, и, во-вторых, вычисления этих последних факторов по радикалам.

Наиболее важной для сведения является следующая теорема:

Теорема 10 Если обозначить Л — кольцо эндоморфизмов и «/(•) — радикал кольца, то Л <8> Ёр//(Л (8) Жр) изоморфно прямому произведению ряда матричных колец над Ор и Л ® Ёр//(Л) О Ёр.

Ключевыми фактами, необходимыми для вычисления факторов по радикалам у тензорных произведений данного проективного модуля на аддитивные группы колец целых р-адических чисел, являются следующие: во-первых, полученный гомоморфизм из полугруппы конечно порожденных проективных модулей над исходным кольцом эндоморфизмов в аналогичную полугруппу над тензорным произведением этого кольца на кольцо целых р-адических чисел (композиция изоморфизма с полугруппой прямых слагаемых нескольких экземпляров исходной группы, функтора вложения в аналогичную полутруппу в категории Мр, и еще одного изоморфизма последней полугруппы в полутруппу конечно порожденных проективных модулей над тензорным произведением) переводит конечно порожденный проективный модуль в его тензорное произведение на кольцо целых р-адических чисел, и, во-вторых, кольцо эндоморфизмов почти вполне разложимой аабелевой группы, неразложимой как объект Мр, в этой категории локально.

Четвертая глава посвящена выяснению вопроса о том, для каких наборов групп ранга один к их прямой сумме можно добавить всего одну дополнительную образующую (из делимой оболочки) так, чтобы полученная почти вполне разложимая группа оказалась бы неразложимой как объект категории Мр.

Первый параграф содержит ряд примеров разложимых почти вполне разложимых групп для иллюстрации причин их разложимости. Для каждой группы приводится ее задание при помощи групп ранга один и дополнительных образующих, а также кольцо эндоморфизмов и нетривиальный идемпотент в нем.

В выяснении этого вопроса важным оказалось понятие графа несравнимостей. Вершинами этого графа служат типы исходных групп ранга один, и два типа соединены ребром, если они несравнимы.

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема (предполагается, что исходных групп ранга один больше, чем . одна):

Теорема 11 Пусть есть набор групп ранга один. Тогда для того, чтобы к прямой сумме этих групп можно было добавить одну дополнительную образующую из делимой оболочки этой прямой суммы так, чтобы полученная почти вполне разложимая группа была бы неразложимой как объект категории Мр, необходимо и достаточно выполнения следующих трех условий:

1) Среди групп ранга один нет делимых на р;

2) Среди типов групп ранга один нет одинаковых;

3) Граф несравнимостей групп ранга один связен.

Необходимость в этой теореме доказывается от противного путем явного предъявления нетривиального идемпотента в кольце эндоморфизмов, вычисленном с помощью методов §1 главы 3 диссертации. Достаточность доказывается путем явного предъявления дополнительной образующей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лебединский, Дмитрий Михайлович, 2000 год

1. Благовещенская Е. А. О прямых разложениях абелевых групп без кручения конечного ранга, Зап. научн. семинаров ЛОМИ, т. 132, стр. 17-25, 1983.

2. Благовещенская Е. А. Разложения абелевых групп конечного ранга без кручения в прямые суммы неразложимых групп, Алгебра и анализ, т. 4, вып. 2, стр. 62-69, 1992.

3. Благовещенская Е. А., Яковлев А. В. Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, Алгебра и анализ, т. 1, вып. 1, стр. 111-127, 1989.

4. Боревич З.И., Фаддеев Д.К. Теория гомологии в группах. II. Вестник Ленингр. ун-та 7(1959), 72-87.

5. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, М.:изд-во иностр. лит-ры, 1960.

6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т.1,2, М.:Мир, 1974, 1977.

7. Яковлев А. В. Абелевы группы конечного ранга без кручения и их прямые разложения, Зап. научн. сем. ЛОМИ, т. 175, стр. 135-153, 1989.

8. Яковлев А. В. О прямых разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения, Зап. научн. сем. ЛОМИ 160 (1987), 272-285.

9. Arnold D. М. Finite Rank Torsion Free Abelian Groups and Rings, Lecture Notes in Math. 931, Springer-Verlag, 1982.

10. Corner A.L.S. A note on rank and direct décompositions of torsion-free abelian groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (1961), 230-233; 66 (1969), 239-240.

11. Corner A.L.S. Every countable reduced torsion-free ring is an endomorphism ring, Proc. London Math. Soc., 13 (1963), 687-710.

12. Fuchs L., Loonstra F. On direct decompositions of torsion-free abelian groups of finite rank, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 44 (1970), 75-83.

13. Fuchs L., Loonstra F. On the cancellation of modules in direct sums over Dedekind domains, Indagationes Math. 33 (1971), 163-169.

14. Jônsson B. On direct decompositions of torsion-free abelian groups, Math. Scand., 5 (1957), 230-235.

15. Jonsson B. On direct decompositions of torsion-free abelian groups, Math. Scand., 7 (1959), 361-371.

16. Lady E. L. Summands of finite rank torsion free abelian groups, J. Algebra, 32 (1974), No.l, 51-52.

17. Reid J. D. On quasi-decompositions of torsion-free abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 550-554.