Вербальные отображения простых алгебраических групп над бесконечными полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Егорченкова Елизавета Алексеевна

• Егорченкова Елизавета Алексеевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Егорченкова Елизавета Алексеевна

1.1 Предварительные сведения

1.2 Случай G = SLn

1.2.1 Произведение классов подобия группы SLn(K)

1.2.2 Полупростые регулярные элементы в образе вербального отображения

1.2.3 Вербальные отображения групп SLn(K)

1.3 Строение подходящей параболической подгруппы G

1.4 Подходящая фильтрация группы U\

1.5 Действие линейных операторов без неподвижных точек на линейных пространствах V

1.6 Доказательство теоремы

2 Произведения двух вербальных отображений простых расще-пимых алгебраических групп. Случай групп типа B2 и G2

2.1 Предварительные сведения

2.2 Регулярные классы сопряженных элементов группы G

2.2.1 Сечение регулярных классов сопряженных элементов простой односвязной алгебраической группы

2.2.2 Подмножества ncMnc группы G

2.2.3 Специальные элементы Кокстера

2.2.4 Регулярные полупростые элементы, лежащие в образе вербального отображения

2.3 Произведение двух независимых вербальных отображений G

2.3.1 Регулярные расщепимые полупростые элементы

2.3.2 Регулярные унипотентные элементы

2.3.3 Случай char K =

2.4 Группы типа В2 и С2 (Теорема 2.1.1)

3 Произведение коммутаторов полной линейной группы над телом

3.1 Предварительные сведения

3.2 Некоторые матричные формулы в СЬП(Д)

3.3 Группа СЬП(Д) как группа К-точек алгебраической группы

3.4 Разложение Гаусса с заданной полупростой частью

3.5 Э-расщепимые и Э-регулярные элементы из СЬП(Д)

3.6 Фильтрация групп и, и-

3.7 Доказательство теоремы

3.8 Следствия и примеры

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вербальные отображения простых алгебраических групп над бесконечными полями»

Введение

Пусть С — произвольная группа. Для любого слова и = ш(х1,..., Хп) € Еп свободной группы можно задать вербальное отображение

и : Сп ^ С

следующей формулой:

... ,9п)) = ,^п).

Иными словами, мы подставляем д^ вместо Х^ в слово и (см. [2], [19], [20]).

Актуальность и степень разработанности темы. Свойства вербальных отображений исследуются в теории групп в течение многих лет. Они связаны с различными теоретико-групповыми задачами. Ярким примером здесь является проблема О. Оре, которая на языке вербальных отображений эквивалентна проблеме доказательства сюръективности отображений и для конечной простой группы при и = [х1, Х2] (см. [3], [17]).

В последние 10-15 лет сильно возрос интерес к вербальным отображениям простых (и полупростых) алгебраических групп и их групп точек над различными полями (см. [3]). Здесь отправной точкой является теорема А. Бореля [9]:

Вербальное отображение и : Сп ^ С полупростой алгебраической группы С доминантно для и = 1.

Однако уже в работе А. Бореля был приведен пример

и = х2, С = 8Ь2(€)

несюръективного вербального отображения. Тем не менее, из теоремы Бореля следует сюръективность вербального отображения для полупростой алгебраической группы в случае, когда

и(х1, . . . , Хп) = и1(Х1, . . . , Хк)и>2(Хк+1, . . . , Хп),

т.е. слово и представляется в виде произведения двух слов от независимых переменных (здесь нумерация переменных может быть произвольной). Следует отметить, что проблема описания сюръективных и несюръективных вербальных отображений простых алгебраических групп полностью решена только для

слов вида — = хп, — = [жьж2] (см. [3]). Например, для простейшей группы РСЬ2 над полем характеристики ноль нет ни одного примера несюръектив-ности нетривиальных вербальных отображений. Исследования сюръективных вербальных отображений простых (полупростых) алгебраических групп интенсивно продолжаются в течение последних лет.

Еще труднее проблема сюръективности вербальных отображений становится для групп вида С = G (К), где G — простая (полупростая) алгебраическая группа, определенная над полем К. Здесь можно указать множество примеров несюръективности. Однако сюръективность часто удается доказать, если слово — раскладывается в произведение

— = и>1и)2 • • • —

достаточного числа слов с независимыми переменными. Получению оценок для различных к были посвящены работы А. Шалева, А. Люботского, М. Ларсена, М. Либека, П.Х. Тьеппа и др. По аналогии с проблемой Варинга из теории чисел, эти исследования получили название "Проблемы Варинга для вербальных отображений групп".

Исследования такого типа естественно разбиваются на несколько случаев, сильно различающихся как по результатам, так и по методам исследования:

1. поле К бесконечно и группа О расщепима (группа Шевалле);

2. поле К бесконечно и группа ^ изотропна, но нерасщепима;

3. поле К бесконечно и группа ^ анизотропна;

4. поле К конечно;

5. поля специального вида К = М, 0_р, и т.д.

В данной работе мы в основном рассматриваем случай 1. и, отчасти, случаи 2. и 5.

Для простой односвязной алгебраической группы ^, определенной и рас-щепимой над бесконечным полем К, Хэем-Ларсеном-Шалевым был получен следующий важный результат [24]:

Теорема. Пусть С = G(К) и пусть — = ■т1т2т3т4 € Гп - произведение четырех слов от независимых переменных. Тогда любой нецентральный элемент группы С содержится в образе вербального отображения —.

Цель исследования — описание сюръективных вербальных отображений групп К-точек простых алгебраических групп, определенных и расщепимых (изотропных) над бесконечным полем. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть ситуацию, описанную в теореме Хэя-Ларсена-Шалева и распространить этот результат на случай слов, раскладывающихся в произведения трех слов от независимых переменных (исключая случаи групп типа В2 и С2);

2. Получить результат, аналогичный описанному выше, для групп типа В2 и С2;

3. Рассмотреть вербальные отображения для слов, раскладывающихся в произведение двух слов с независимыми переменными;

4. Рассмотреть случай изотропной, но нерасщепимой группы над телом и получить результаты о коммутаторной ширине.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты важны как для понимания природы вербальных отображений, так и для структурной теории алгебраических групп.

Методы исследования. В данной работе применялись как стандартные методы теории алгебраических групп, так и некоторые специальные методы этой теории: разложения Гаусса с заданной полупростой частью, теория пересечений регулярных классов, сопряженных с клетками Брюа, теория специальных элементов Кокстера и др.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми в теории алгебраических групп. Мы улучшаем результат Хэя-Ларсена-Шалева, а также получаем ряд результатов о вербальных отображениях, соответствующих произведению двух слов с независимыми переменными. В последней главе мы рассматриваем также случай изотропной, но нерасщепимой группы над телом.

Степень достоверности. Все утверждения диссертации снабжены подробными доказательствами, которые основаны на хорошо известных результатах теории алгебраических групп.

Апробация работы. По теме исследования было прочитано три доклада:

1. Е. А. Егорченкова. Вербальные отображения групп Шевалле над бесконечными полями// Семинар кафедры алгебры РГПУ им. А.И. Герцена, Санкт-Петербург, Россия. 19.04.2019;

2. Е. А. Егорченкова. Вербальные отображения групп Шевалле над бесконечными полями// Городской алгебраический семинар им. Д.К. Фаддеева. ПОМИ, Санкт-Петербург, Россия. 13.05.2019;

3. Е. А. Егорченкова. О коммутаторной ширине группы SLn над телами// International Workshop "Actual Problems of the Theory of Algebraic Groups". Herzen University, Saint Petersburg, Russia. 16.09.2019-18.09.2019.

По теме работы опубликовано три статьи в журналах, которые входят в список рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата и доктора наук. Все журналы входят в базы SCOPUS и Mathscinet. Archiv der Mathematik входит также в базу Web of Science.

1. Egorchenkova, E. Products of three word maps on simple algebraic groups / E. Egorchenkova, N. Gordeev // Archiv der Mathematik. - 2019. - Volume 112. - Issue 2. - P. 113-122.

2. Егорченкова Е.А. Произведения коммутаторов полной линейной группы над телом / Е.А. Егорченкова, Н.Л. Гордеев // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2018. - Том 470. - С. 88-104.

3. Егорченкова Е.А. Вербальные отображения групп Шевалле над бесконечными полями / Е.А. Егорченкова // Записки научных семинаров ПОМИ. -2019. - Том 478. - С. 108-127.

Положения, выносимые на защиту.

В теоремах 1, 2 и 3 G — это простая односвязная группа, определенная и расщепимая над бесконечным полем K, G = G (K) — группа K-точек группы G, Z(G) — центр G, Im W — образ отображения W. Пусть

wi = wi(Xi, ...,Xk) е Fk,

W2 = W2(Y1,...,Y) е Fl,

W3 = W3(Zi, . . . Zm) е Fm —

три нетривиальных слова с независимыми переменными, где Fk, Fi,Fm — свободные группы ранга k, l и m соответственно. Тогда

w := W1W2W3 е Fk+i+m —

нетривиальное слово от переменных {Xp}, {Yq}, {Zr}.

Теорема 1. Пусть G — простая односвязная группа, определенная и рас-щепимая над бесконечным полем K, и пусть G = G(K). Положим, что G не является группой типа B2 или G2. Пусть, далее,

w : Gk+l+m ^ G -

соответствующее вербальное отображение. Тогда

G \ Z(G) С Im w.

Теорема 2. Пусть w = w1w2 — произведение двух нетривиальных слов с независимыми переменными. Тогда

1. любой регулярный расщепимый полупростой элемент из G принадлежит Im w, если G — группа типов Ar ,Cr, G2 или K — совершенное поле, у которого dim K ^ 1;

2. любой регулярный унипотентный элемент из G принадлежит Im w, если G — группа типа Ar или K — совершенное поле, характеристика которого не является плохим простым числом [28] для G и dim K ^ 1.

Здесь dim K — когомологическая размерность K [29]. Теорема 3. Пусть G — группа типа B2 или G2. Тогда

B no B С Im w,

где w = w1w2w3 — произведение трех нетривиальных слов с независимыми переменными.

Здесь Bn0B — большая клетка Брюа группы G = G (K), а Im w — образ вербального отображения

w : Gk+l+m ^ G.

Теорема 4. Пусть K — поле характеристики ноль, а H — простая алгебраическая группа, определенная над полем K. Предположим, что H — изотропная, но не обязательно расщепимая группа. Пусть, далее, H = H(K)

и V = € Еп — произведение двух нетривиальных слов с независимыми

переменными. Тогда любой унипотентный элемент поля К лежит в образе вербального отображения V : Нп ^ Н.

Пусть О — некоммутативное тело, О* = О\{0} — мультипликативная группа О, [О*, О*] — коммутаторная подгруппа О*,

Еп(О) = (^(Л) | 1 ^ г = з ^ п, Л € О),

где (Л) — (гз)-трансвекция, ^(Еп(О)) — центр Еп(О). Теорема 5. Пусть V = Пи пусть

V : О*2к ^ О* —

соответствующее вербальное отображение. Далее, пусть

V : СЬп(О)2к ^ Еп(О) —

вербальное отображение на СЬп(О), соответствующее тому же слову V. Предположим, что го(О*2к) = [О*, О*]. Тогда

й(СЬп(О)2к) Э Еп(О) \ Я(Еп(О)).

Если п > 2, то

ЦЯп(О)2к) э Еп(О) \ Я(Еп(О)).

В частности, если каждый элемент из [О*, О*] является коммутатором элементов из О*, то каждый нецентральный элемент из Еп(О) является коммутатором элементов из Еп(О).

Объем и структура работы. Текст диссертации изложен на 73-х страницах. Он включает в себя введение, три главы и заключение. Список литературы состоит из 30-ти наименований.

Результаты глав 1 и 3 были опубликованы в совместных работах с научным руководителем ([13], [4]). При этом научным руководителем были сформулированы задачи и указаны некоторые приемы (например, разложение Гаусса с заданной полупростой частью), использованные в его предыдущих работах. Также при написании работы были использованы некоторые методические указания руководителя. Все формулировки и доказательства, приведенные в диссертации, были получены диссертантом самостоятельно.

Глава 1

Произведения трех вербальных

простых расщепимых алгебраических групп

1.1 Предварительные сведения

В первой главе мы будем пользоваться следующими обозначениями. Пусть K — поле. Любую алгебраическую группу И над K мы будем отождествлять здесь с группой Н(К), где К — алгебраическое замыкание К.

Далее, 0 — простая односвязная алгебраическая группа, определенная и рас-щепимая над К, и пусть О = 0(К) — группа К-точек группы 0. Обозначим через Яи(Р) унипотентный радикал параболической подгруппы Р ^ 0. Для любой группы И обозначим через Z(И) центр И.

Для систем корней и самих корней используем обозначения из [10]. Для корня а обозначим символом ха(Ь) (где £ € К) соответствующий элемент из корневой подгруппы [7]. Пусть

wí = Wi(Xi, ...,Хк) € ^, W2 = W2(Yi,...,Y) € ^,

wз = wз(Zl,... Zm) € ¥т —

три нетривиальных слова с независимыми переменными, где ^к, ,Ет — свободные группы ранга к, I и т соответственно. Тогда

w := WlW2Wз € ^к+/+т —

нетривиальное слово от переменных {Хр}, {Уд}, }. Основным результатом этой главы является следующая теорема:

Теорема 1.1.1. Пусть 0 — простая односвязная группа, определенная и рас-щепимая над бесконечным полем К, и пусть О = 0(К). Положим, что 0 не является группой типов В2 и О2. Пусть, далее,

W : ок+^+т ^ О -

отображений

соответствующее вербальное отображение. Тогда

С \ £ (С) с 1ш V.

Мы доказываем этот результат редукцией к некой параболической группе Р из 0 с фактором Леви, простые компоненты которого имеют тип Аг. Далее, мы используем теорему Лева о произведении трех регулярных классов сопряженных элементов группы 8Ьп(К), п > 2 [25] (что также использовалось в [24]) и лемму Вассерштайна-Виланд [30] о произведениях трех нецентральных классов подобия для групп 8Ь2(К). Также, мы используем представление элемента рас-щепимой простой группы в разложении Гаусса с заданной полупростой частью

[12], [15].

Результат теоремы нельзя прямо распространить на случаи В2 и С2 с помощью методов, что мы используем здесь. Они будут рассмотрены в следующей главе.

-'п

1.2 Случай 0 =

1.2.1 Произведение классов подобия группы 8Ьп(К)

Следующий результат Лева [25, теорема 3] является основой для случая

С = 8Ьп(К).

Теорема 1.2.1. Пусть

М € СЬп(К) \ £(СЕп(К)),

п ^ 3 и пусть

А1,А2,АЗ € СЕп(К) — три регулярные матрицы, такие что

А1 А2 А3 = М.

Тогда существуют такие матрицы

А/1,А/2,А3 € СЬп(К),

что А сопряжена матрице А элементом из группы 8Ьп(К) и М = А^А^АЗ.

Таким образом, произведение любых трех регулярных классов сопряженности С1С2С2 группы БЬп(К) содержит множество 8Ьп(К(БЬп(К)) при п ^ 3. Однако при п = 2 это неверно. При п = 2 мы заменим классы сопряженных элементов на классы подобия.

Определение 1.2.1. Элементы д1,д2 € 8Ьп(К) называются подобными, если

-1

д2 = ад1а

для некоторого а € СЬп(К). Класс подобия Бд элемента д € 8Ьп(К) — это множество всех элементов группы 8Ь2(К), подобных д.

Далее мы воспользуемся результатом Вассерштайна-Виланд [30, лемма 6].

Лемма 1.2.1. Пусть О = 8Ь2(К), где |К| ^ 4. Тогда любой нецентральный элемент д € 8Ь2(К) содержится в произведении любых трех нецентральных классов подобия группы 8Ь2(К).

Далее, по лемме 1.2.1 и теореме Лева получаем

Предложение 1.2.1. Пусть |К| ^ 4. Тогда любой нецентральный элемент группы 8Ьп(К) содержится в произведении любых трех регулярных классов подобия группы 8Ьп(К).

1.2.2 Полупростые регулярные элементы в образе вербального отображения

Нам потребуется следующее

Предложение 1.2.2. Пусть Г — полупростая алгебраическая группа, определенная над бесконечным полем К, и пусть

W : Г(К)п ^ Г(К) —

вербальное отображение (у = 1). Тогда существует полупростой регулярный элемент группы Г в образе 1т У].

Доказательство. Вербальное отображение

У : Г(К)п ^ Г(К)

доминантно, согласно теореме А. Бореля [9]. Следовательно, существует открытое подмножество группы X С Г(К), содержащееся в 1т У). Далее, множество

полупростых регулярных элементов группы Г(К) — это непустое открытое подмножество У в Г(К) [29, 2.14]. Следовательно, в группе Г(К) имеется непустое открытое множество

£ = X П У

полупростых регулярных элементов, содержащихся в 1ш V. Так как К — бесконечное поле, группа Г(К) плотна в Г(К) [8 , 18.3], а, значит, множество V(Г(К)п) плотно в 1ш V и, следовательно,

й(Г(К)п) П £ = 0.

1.2.3 Вербальные отображения групп 8Ьп(К)

Отметим, что если V : Сп ^ С — вербальное отображение, то образ V инвариантен относительно действия группы автоморфизмов группы С (это хорошо известный и очевидный факт, непосредственно вытекающий из определения вербального отображения). Поскольку сопряжение с элементом группы СЬп(К) является автоморфизмом группы 8Ьп(К), то, если С = 8Ьп(К) и д € 1ш V, весь класс подобия 5 элемента д содержится в 1ш V.

Учитывая это замечание и предложения 1.2.1, 1.2.2, получим

Теорема 1.2.2. Пусть К — бесконечное поле. Тогда при п ^ 2

8Ьп(К) \ £(8Ьп(К)) с ^7^3

для любых трех независимых нетривиальных вербальных отображений й^, V и V группы 8Ьп(К).

Доказательство. Ввиду предложения 1.2.2 существуют регулярные (полупростые) элементы

д1 € 1ш 1й1, д2 € 1ш 1й2, д3 € 1ш й;3,

а, значит,

с 1ш 1й1,с 1ш 1й2,с 1ш '¿й3.

Поскольку '¿й1, V и V — независимые нетривиальные вербальные отображения группы 8Ьп(К), то

5£15£25£з с йЬп(К).

Утверждение теоремы следует теперь из предложения 1.2.2. □

Замечание 1.2.1. Теорема 1.2.2 доказана в [24] при п ^ 3. Для ее распространения на случай п = 2 мы воспользовались тем элементарным фактом, что классы сопряженных элементов можно заменить в данной задаче классами подобия и воспользоваться леммой Вассерштайна-Виланд.

Поскольку теорема 1.2.2 закрывает доказательство теоремы 1.1.1 для групп типа Аг, в дальнейшем мы исключим из рассмотрения группы этого типа.

1.3 Строение подходящей параболической подгруппы 0

Пусть Т — зафиксированный максимальный расщепимый над К тор из группы 0 и пусть В = Ти — зафиксированная подгруппа Бореля (определенная над К), содержащая Т. Далее, пусть Я — система корней, соответствующая тору Т и пусть П — фиксированная система простых корней из Я, соответствующая В.

В рассуждениях ниже мы исключаем случаи Я = Аг, Я = В2 и Я = О2. Положим, что

Т = Т (К), и = и (К), и- = и-(К), В = В(К).

Здесь В- = Ти- — противоположная подгруппа Бореля.

Для различных типов систем корней Я мы определяем простую подгруппу 01 ^ 0, соответствующую подсистеме корней

Я1 = <П \ X)

для некоторого Х С П. А именно, Я1 — подсистема корней из Я, порожденная простой системой корней П \ Х.

Далее, 01 — это подгруппа 0, порожденная корневыми подгруппами ха для а € Я1 (эти группы определены над К). При этом максимальный тор

71 ^ Т

группы 01 порождается корневыми полупростыми подгруппами На(Ь) для всех а € П \ X [7, §3], а тор Т — подгруппами На(Ь), а € П. Отсюда следует, что 01 — односвязная группа, поскольку таковой является 0 [' , лемма 28].

Теперь определим подсистему корней Я1 так, чтобы группа 01 оказалась произведением групп типа Аг:

Я = Вг (г> 2), Сг, Вг, Я1 := [ег - £ | г = ; ^ г}, 01 « ; Я = Еб, Я1 := Я \ {а1,а4}, 01 « х 8Ь2 х 8Ьз; Я = Ет, Ев, Я1 := (П \ {а2}), 01 « ВЬт или 01 « ВЬв; Я = , Я1 := (П \ {аз}), 01 « 8Ьз х 8Ь2.

Лемма 1.3.1. Не существует корня а € Я, ортогонального каждому корню в € Я1.

Доказательство.

Случай 1. Я = Вг, (г > 2), Сг, .

Корни £{ ± е^ и £1, 2£ не могут быть ортогональны всем корням вида £р - £ч. Случай 2. Я = Еб, Я1 = <а2) и <а3) и <а5,аб). Напомним, что в обозначениях [10]

а2 = £1 + £2, аз = £2 - £1, а5 = £4 - £3, аб = £5 - £4. Далее, все корни из Я имеют вид

1

±£в - £т - £б + ^(-1)"г,

где сумма

5

¿=1

четна и ±(£ ± ), где 1 ^ г < ] ^ 5.

Очевидно, не найдется корней вида ± 1 (• • •), которые были бы ортогональны обоим корням а2, а3. Корни вида ±(£ ± ), ортогональные обоим корням а2, аз, удовлетворяют условию г ^ 3. Но такой корень не может быть ортогонален обоим корням а4, а5.

Случай 3. Я = Ет, Я1 = (П \ {а2}). Рассмотрим корни

аз = £2 - £1, а4 = £з - £2, а5 = £4 - £з, аб = £5 - £4, ат = £6 - £5.

Среди корней вида ±£ ± , где 1 ^ г < ] ^ 6 не найдется корней, ортогональных всем а^, г ^ 3. Также, среди корней вида

б

±^ £в - £т + £)(-1)

2- ¿=1

-1)"' £

где сумма

¿=1

нечетна, нет корней, ортогональных всем а», % ^ 3, так как у такого корня все V должны быть четными или нечетными.

Таким образом, корни, ортогональные всем а», % ^ 3 имеют вид ±(£8 — £7). Но корни ±(£8 — £7) не ортогональны корню

1, ^

«1 = о ( £8 — £7 + — (¿^ £») ) .

¿=2

2

Случай 4. Я = Е8, Я1 = (П \ {а2}).

Здесь к предыдущей последовательности а», % ^ 3 добавим а8 = £7 — £6. Среди корней вида ±£» ± , где 1 ^ % < 3 ^ 8 нет корней, которые были бы ортогональны всем а», % ^ 3. Также, среди корней вида

± К 5(—""4

где сумма

6

Е

четна, только корни вида

¿=1

8

ортогональны всем а, % ^ 3. Но такие корни не будут ортогональны

± ?(£ г

.¿=1

а = ^ £1 + £8 — (5 £»)

Случай 5. Я = Е4, Я1 = (П \ {а3}). Корни, ортогональные

«1 = £2 — £3, а2 = £з — £4 —

это в точности корни вида ±£1 и 1 (±£1 ± (£2 + £3 + £4)) . Однако эти корни не ортогональны а4 = 2(£1 — (£2 + £3 + £4)). □

Заметим, что группа О1 построена как полупростая группа, порожденная корневыми подгруппами, которые соответствуют системе корней Я1 = (П \ X)

для какого-то множества простых корней X. Следовательно, Gi — коммутатор фактора Леви соответствующей параболической подгруппы P1. Пусть

U = Ru(Pi).

Группа U1 порождается корневыми подгруппами xa(t), t G K, a G S, где

S := R+ \ R+.

1.4 Подходящая фильтрация группы U

Предложение 1.4.1. Существует разложение

d

S = U Si

¿=0

на непересекающиеся множества корней и такая фильтрация

{U1}d=0

группы {U1}, что выполнены следующие условия:

a. Ui = U?;

b. U1/U1+1 ^ Z(U1/U1i+1) для любых i (положим, что и^+1 := {0});

c. для любых i факторгруппа Vi = U/U{+1 изоморфна линейному пространству над полем K, порожденному образами корневых подгрупп

{xa(t) | t G K, a G Si);

d. действие сопряжениями группы G1 на группу U стабилизирует каждую подгруппу U\ и индуцирует K-линейное действие на каждом факторе Vi.

Доказательство.

Лемма 1.4.1. Пусть char K = 0 и пусть

U = и? > u1 = [U, и] > ... u1 = [U, U- 1 ] > ... -

центральный ряд U. Тогда существует такая последовательность подмножеств

S = So D S1 D ... D Si D ... D Sd = 0,

что

Щ = (х«(г) | а е г е К)

для любого г.

Доказательство. Группа Щ = Щ0 порождена корневыми подгруппами

(ха(г) | г е К а е 5).

Положим 50 := 5. Пусть группа Щ порождается корневыми подгруппами

(жа(г) | г е К а е

для некоторого подмножества 5 С 5. Рассмотрим коммутаторную формулу Шевалле

[ж7 (ж),жа(у)] = Д хГ7+5а(сГ5 Х у5), (1.4.1)

Г7+ва€Й

где 0 = сГ5 е Z [7, §3].

Пусть 7 е 5)0 = 5, а е »Б'«. Так как мы исключаем случай Л = С2, мы получаем в правой части (1.4.1) следующие множества корней вида Г7 + йа:

1. {7 + а}, или

2. {7 + а, 7 + 2а}, или

3. {7 + а, 27 + а}.

В случае 1. имеем ж7+а(г) е Щ+1 для любых г е К.

В случае 2. мы можем взять 6 := 7 + а и затем по формуле (1.4.1) для 7 := 6 и а получаем, что

ж<5+а (г) = ж7+2«(г) е Щ+1

для любых г е К.

Теперь, если мы воспользуемся (1.4.1) для 7 и а, то получим, что

х7+а (г) е Щ1+1

для любых г е К.

Теперь рассмотрим случай 3. По (1.4.1) имеем

Ж7 (г) , [ж7 (х) , Ха (у)] = Ж27(с'жуг) , 4-' '

еЩ+1 еЩ+2

где 0 = cC G Z. Здесь мы используем тот факт, что элементы корневой подгруппы x2y+a(t) коммутируют с элементами корневых подгрупп xY(p) и x7+a(q). Следовательно,

X2Y+a(t) G U+2 ^ U+1

для любых t G K. Так как

[X7 (x),Xa (y)] GU1+1,

то из (1.4.1) и условия 3. получаем x7+a(t) G U{+1 для любых t G K. Таким образом, корневые подгруппы

{XrY+sa (t) | t G K)

содержатся в U1+1 для любых y G R+, a G S^ r, s ^ 1. По формуле (1.4.1) получается, что группа U1+1 порождается корневыми подгруппами, которые соответствуют некоторым множествам Si+1 С Si. Таким образом, мы получаем условие леммы индукцией по i. □

Положим снова, что char K = 0. Пусть Si := Si \ Si+1. По лемме 1.4.1

и = (xa(t) | t G K,a G Si)(modU+1). (1.4.2)

Мы можем рассматривать факторгруппу Vi := U1/U{+1 как линейное пространство размерности |S^, порожденное образами xa(t) в Vi. Заметим, что действие группы G1 с помощью сопряжений на каждую группу U1 сохраняет U1 (это верно, так как U — член центрального ряда U). Так как действие замкнутой группы G 1 на Vi индуцировано действием на группе Ui, оно является непрерывным в топологии Зарисского.

Лемма 1.4.2. Пусть char K = 0. Тогда каждый фактор Vi изоморфен линейному пространству над полем K, порожденному образами корневых подгрупп

{xa(t) | t G K, a G Si).

Действие сопряжениями из G1 на Vi является K-линейным.

Доказательство. Поскольку char K = 0, множество натуральных чисел N содержится в K. Более того, множество N плотно в K. Далее, имеем

n9(v) = 9(nv)

для любых g G Gb v G V и n £ N. Следовательно, у нас есть условие

ag(v) = g(av)

для любых a G K. □

По лемме 1.4.2 получаем, что для любых i и любых a G Si, 7 G Ri выполнено

rY + sa £ Si, (1.4.3)

если s > 1. Действительно, по формуле (1.4.1) получается, что если

rY + sa G Si,

где s > 1, то действие ж7 (д) G Gi, M G K сопряжениями на Vi не является линейным, так как

Ж7(м)жа(y)x7(-M) = [ж7(м),Жа(у) Жа(у) =

= П xr7+sa(crsMrys)xa(y)(modU+1). (1.4.4)

Теперь пусть char K = p = 0. Мы можем определить фильтрацию U1 с помощью формулы (1.4.2). Определим разложение множества корней S на те же подмножества, что и в характеристике ноль

d

S = U Si.

i=0

Здесь d — номер фильтрации, соответствующей центру в случае нулевой характеристики. Теперь положим (при char K = p), что

Ud := (x«(t) | t G K, a G Sd), U := (x«(t) | t G K, a G Si)U+1.

В случае, когда char K = p, эта фильтрация может не быть центральным рядом , но утверждение леммы 1.4.2 также верно для фильтрации U{. Действительно, условия а. и с. прямо следует из определения U{ (1.4.2). Далее, даже в случае char K = p у нас выполняется условие b.:

U1/U1+1 ^ Z(Ui/U1+1), поскольку мы выбрали подмножества Si таким образом, что

Y + a G [J Sj

j>i

для любых а € Бг и 7 € Б (чтобы получить центральные ряды в нулевой характеристике).

Линейность действия х7 (р) (где 7 € Я 1, р € К) на V следует из условий (1.4.3) и (1.4.4), так как при й ^ 1 в (1.4.4) у нас есть линейное действие х7(р) на V.

Таким образом, мы построили фильтрацию группы 1А1, удовлетворяющую условиям а., Ь., с. и ^ из предложения. □

Теперь положим

О 1 = 01 (К), и := Щ (К).

Так как 0 — расщепимая К-группа и так как подгруппы и порождены К-оп-ределенными корневыми подгруппами, из предложения 1.4.1 получаем

щ = (ха(г) | г € К, а € Бг)Щ+1, У := Уг(К) = и{/и1+1.

Также заметим, что группа О 1 стабилизирует каждую группу и\. Таким образом, получаем следующее

Предложение 1.4.2. Существуют разложение

а

Б = У Бг

¿=0

на непересекающиеся подмножества корней и такая фильтрация {и1}а=0 группы {и1}, что:

a. и = и0;

b. и\/и^ 1 ^ £(и1/и1+1) для любых г (здесь и?+ 1 = {0});

c. для любого г факторгруппа Уг = и[/и1+1 изоморфна линейному пространству над полем К, порожденному образами корневых подгрупп

(ха(г) | г € К, а € Бг);

¿. действие группы О 1 на и1 сопряжениями стабилизирует каждую подгруппу и и индуцирует К-линейное действие на каждом факторе У .

1.5 Действие линейных операторов без неподвижных точек на линейных пространствах V

Определение 1.5.1. Пусть V — линейное пространство над полем К. Будем говорить, что линейный оператор д е СЬ^) действует без неподвижных точек, если д(-и) = V для любых V е V, V = 0.

Замечание 1.5.1. Заметим, что если V < то и линейный оператор д действует без неподвижных точек, то линейный оператор д — 1 обратим.

Лемма 1.5.1. Пусть А — нильпотентная группа с конечной последовательностью нормальных подгрупп {Аг}|=0 и пусть д — автоморфизм группы А. Положим

a. А = А0;

b. Аг/Аг+1 ^ 2(А/Аг+1) для любых г (здесь А)+1 := {0});

c. для любых г группа Вг = Аг/Аг+1 изоморфна аддитивной группе конечномерного линейного пространства над полем Е .

¿. д стабилизирует группу Аг для любых г и для любых г индуцирует действие д на Вг — Е-линейное действие без неподвижных точек.

Тогда для любых а е А существует такой елемент Ь е А, что а = д(Ь)Ь—1.

Доказательство. Пусть й = 0. Тогда А = А0 = В0, где В0 — конечномерное линейное пространство над полем К и д — линейный оператор, действующий без неподвижных точек на А0. Тогда утверждение следует из замечания 1.5.1 (мы используем аддитивную форму д(Ь) — Ь для д(Ь)Ь—1).

Пусть утверждение выполняется для любых соответствующих разрешимых абелевых групп А' с соответствующей фильтрацией {А/г}1)—1. Теперь положим, что А' = А/А^ и пусть а е А. По предположению индукции существует такой элемент Ь' е А, что

а = д(Ь')Ь/—1(шоа А)).

Следовательно, а = д(Ь')Ь/—1 а' для некоторого а' е А^. Тогда по условиям леммы

а' = g(Ь//)Ь//—1,

где Ъ" € Аа.

Так как по условию Ь. Аа ^ Z(А), получаем

а = д(Ъ'Ъ")(Ъ'Ъ")~ 1.

Теперь вернемся к действию группы 0 1 на линейных пространствах V«. Напомним, что 71 ^ 7 — максимальный тор группы 0 1, порожденный корневыми полупростыми элементами На(г), где г € К и а € П \ X (напомним, что Я 1 = <П \ X)).

Лемма 1.5.2. Существует открытое по Зарисскому множество X С 7 такое, что любой элемент д € X действует без неподвижных точек на линейном пространстве V для любых г.

Доказательство. Пространство V = и/и\+1 порождено образами корневых подгрупп (ха(г)) для некоторого а € Б = Я+ \ Я+. Таким образом, нам нужно проверить, что для любого корня а € Б существует такой корень в € Я 1, что (а, в) = 0. Действительно, в этом случае а : 7 ^ К * — нетривиальный гомоморфизм, а, значит, Кег а < 7 — собственный подтор. Следовательно,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Егорченкова Елизавета Алексеевна, 2019 год

Список литературы

1. Артин Э. Геометрическая алгебра I Э. Артин; перевод с английского

B.М. Котлова; под редакцией Л.А. Калужнина. - Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1969. - 284 с. : иллюстрации.

2. Гордеев Н.Л. Вербальные отображения и вербальные отображения с константами простых алгебраических групп I Н.Л. Гордеев, Б.Э. Кунявский, Е.Б. Плоткин II Доклады академии наук. - 2016. - Том 471. - Номер 2. -

C. 136-138.

3. Гордеев Н.Л. Геометрия вербальных отображений в простых алгебраических группах над специальными полями I Н.Л. Гордеев, Б.Э. Кунявский, Е.Б. Плоткин II Успехи математических наук. - 2018. - Том 73. - Выпуск 5(443). - C. 3-52.

4. Егорченкова Е.А. Произведения коммутаторов полной линейной группы над телом I Е.А. Егорченкова, Н.Л. Гордеев II Записки научных семинаров ПОМИ. - 2018. - Том 470. - C. 88-104.

5. Платонов В.П. Алгебраические группы и теория чисел I В.П. Платонов, А^. Рапинчук. - Москва : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991. - 656 с.

6. ^рр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли I Ж.-П. ^рр; перевод с английского А.В. Волынского; под редакцией А.Л. Онищика. - Москва : Мир, 1969. -376 с.

7. ^ейнберг Р. Лекции о группах Шевалле I Р. ^ейнберг; перевод с английского И.Н. Бернштейна и А.Н. Яковлева; под редакцией А.А. Кирилова. -Москва : Мир, 1975. - 262 с.

8. Borel, A. Linear Algebraic Groups I A. Borel. - 2nd ed. - New York : SpringerVerlag, 1991. - 290 p.

9. Borel, A. On free subgroups of semi-simple groups I A. Borel II L'Enseignement Mathematique. - 1983. - Volume 29. - P. 151-164.

10. Bourbaki, N. Elements de Mathematique. Groupes et Algebres de Lie. Chapitres 4, 5 et 6 I N. Bourbaki. - Paris : Masson, 1981. - 290 p.

11. Bourbaki, N. Éléments de Mathématique. Groupes et Algèbres de Lie. Chapitres 7 et 8 / N. Bourbaki. - Paris : Masson, 1975. - 265 p.

12. Chernousov, V. Gauss decomposition with prescribed semisimple part: short proof / V. Chernousov, É. W. Éllers, N. Gordeev // Journal of Algebra. -2000. - Volume 229. - Issue 1.- P. 314-332

13. Égorchenkova, É. Products of three word maps on simple algebraic groups / É. Égorchenkova, N. Gordeev // Archiv der Mathematik. - 2019. - Volume 112. - Issue 2. - P. 113-122.

14. Éllers, É.W. Commutators with some special elements in Chevalley groups / É.W. Éllers, N. Gordeev // Journal of Mathematical Sciences. - 2014. - Volume 202. - Issue 3. - P. 395-403

15. Éllers, É.W. Gauss decomposition with prescribed semisimple part in Chevalley groups. III. Finite twisted groups / É.W. Éllers, N. Gordeev // Communications in Algebra. - 1996. - Vol. 24. - No. 14. - P. 4447-4475.

16. Éllers, É.W. Intersection of conjugacy classes with Bruhat cells in Chevalley groups / É.W. Éllers, N. Gordeev // Pacific Journal of Mathematics. - 2004. -Volume 214. - No. 2. - P. 245-261

17. Éllers, É.W. On the conjectures of J. Thompson and O. Ore / É.W. Éllers, N. Gordeev // Transactions of the American Mathematical Society. - 1998. -Volume 350. - No. 9. - P. 3657-3671.

18. Gordeev, N. Sums of orbits of algebraic groups I / N. Gordeev // Journal of Algebra. - 2006. - Volume 295. - No. 1. - P. 62-80.

19. Gordeev, N. Word maps, word maps with constants and representation varieties of one-relator groups / N. Gordeev, B. Kunyavskii, É. Plotkin // Journal of Algebra. - 2018. - Volume 500. - P. 390-424.

20. Gordeev, N. Word maps on perfect algebraic groups / N. Gordeev, B. Kunyavskii, É. Plotkin // International Journal of Algebra and Computation. -2018. - Volume 28. - No. 8. - P. 1487-1515.

21. Gordeev, N. Big elements in irreducible linear groups / N. Gordeev, U. Rehmann // Archiv der Mathematik. - 2014. - Volume 103. - No. 3. - P. 201210.

22. Gordeev, N. Products of conjugacy classes in Chevalley groups over local rings / N. Gordeev, J. Saxl // St. Petersburg Mathematical Journal. - 2006. - Volume 17. - No. 2. - 285-293.

23. Hahn, A.J. The Classical groups and K-theory / A.J. Hahn, O.T. O'Meara. -Berlin-Heidelberg : Springer-Verlag, 1989. - 578 p.

24. Hui, C.Y. The Waring problem for Lie groups and Chevalley groups / C.Y. Hui, M. Larsen, A. Shalev // Israel Journal of Mathematics. - 2015. - Volume 210. -Issue 1. - P. 81-100.

25. Lev, A. Products of cyclic conjugacy classes in the groups PSL(n, F) / A. Lev // Linear Algebra and its Applications. - 1993. - Volume 179. - P. 59-83.

26. Morita, J. Prescribed Gauss decompositions for Kac-Moody groups over fields / J. Morita, E. Plotkin // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. - 2001. - Volume 106. - P. 153-163.

27. Sheng-Kui Ye. Gauss Decomposition with Prescribed Semisimple Part in Quadratic Groups / Sheng-Kui Ye, Sheng Chen, Chun-Sheng Wang // Communications in Algebra. - 2009. - Volume 37. - P. 3054-3063.

28. Springer, T.A. Linear Algebraic Groups / T.A. Springer. - 2nd edition. -Boston : Birkhauser, 1998. - 334 p.

29. Steinberg, R. Regular elements of semisimple algebraic groups / R. Steinberg // Publications Mathematiques de 1'IHES. - 1965. - Volume 25. - P. 49-80.

30. Vaserstein, L. Products of conjugacy classes of two by two matrices / L. Vaserstein, E. Wheland // Linear Algebra and its Applications. - 1995. -Volume 230. - P. 165-188.