Характеры группы рациональных перекладываний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Горячко, Евгений Евгеньевич

• Горячко, Евгений Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горячко, Евгений Евгеньевич

Введение

Основные результаты диссертации.

Структура диссертации.

1 Группа перекладываний: алгебраический подход

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Ко-функтор группы И.

1.2.1 Полукольцо разбиений.

1.2.2 Описание кольца Ко (Я) в терминах симметрических функций.

1.3 Некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы II.

1.3.1 Мультипликативность.

1.3.2 Случай перестановок, длины циклов которых не взаимно просты в совокупности.

2 Полное описание неразложимых характеров

2.1 Основная теорема.

2.2 Случай к <оо

2.2.1 Вспомогательные леммы.

2.2.2 Полиномиальность неприводимых характеров симметрических групп.

2.2.3 Доказательство теоремы 2.4.

2.3 Случай к = оо

2.3.1 Арифметическая лемма.

2.3.2 Комбинаторная лемма.

2.3.3 Доказательство теоремы 2.6.

3 Простота ветвления

3.1 Постановка задачи.

3.2 Критерий простоты ветвления.

3.2.1 Лемма о произведении кратностей.

3.2.2 Доказательство теоремы 3.1.

3.3 Проверка критерия для групп СЬ(п, д).

3.3.1 Лемма о двойных классах смежности.

3.3.2 Доказательство теоремы 3.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеры группы рациональных перекладываний»

Основной предмет данной работы — не более чем счетные локально-конечные группы (ЬЕ-группы) и их характеры. Ясно, что ЬР-группы и только они суть индуктивные пределы не более чем счетных семейств конечных групп; отсюда следует, что комплексная групповая алгебра ЬР-группы есть локально-полупростая алгебра (ЬБ-алгебра), то есть индуктивный предел не более чем счетного семейства комплексных конечномерных полупростых алгебр (в нашем случае это групповые алгебры конечных групп).

Систематическое развитие теории ЬБ-алгебр было предложено А. М. Вер-шиком и С. В. Керовым в 1980-х годах (см., например, статьи [5, 8, 33]). Начнем с определения основных понятий этой теории.

Определение 1. Ко-функтор Ко (.А) ЬБ-алгебры А есть упорядоченная абе-лева группа с порядковой единицей, состоящая из классов изоморфизма конечно-порожденных проективных виртуальных Л-модулей. Конус неотрицательных элементов Ко-функтора состоит из истинных А-модулей, а порядковой единицей является А-модуль, соответствующий регулярному представлению алгебры А (то есть алгебра А как модуль над собой).

Ко-функтор ЬР-группы определяется как Ко (С [С]).

Определение 2. Комплексная функция х на ЬР-группе С — характер группы если она центральна (х(дЬ>) = х{^д) для любых д, к 6 С), нормирована (х(1) = 1), неотрицательно определена (матрица (х(9г9^1)) ха ¿<п неотрицательно определена для любых п £ N и дх,., дп б С).

Определение 3. Характер ЬР-группы будем называть неразложимым, если его нельзя представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации характеров данной ЬР-группы.

Легко видеть, что неразложимые характеры конечной группы суть в точности нормированные (поделенные на размерность) неприводимые характеры данной группы в смысле теории представлений конечных групп.

В следующем определении (Ап)^=0 есть последовательность полупростых конечномерных алгебр, и для любых п заданы такие мономорфизмы алгебр еп\ Ап —» Дг+х, возможно, не сохраняющие единицу, что есть индуктивное семейство в категории алгебр без единицы. Обозначим через гп+1 операцию ограничения представлений, соответствующую мономорфизму еп; эта операция определена следующим образом: для всякого представления тг алгебры Ап+1 представление р = гп+1(7г) алгебры Ап действует в пространстве У/ = 1т7г(еГг(1)) по формуле р(а) = 1г(еп(а))\уу->цг для всех а £ Ап.

Определение 4. Диаграмма Братптели семейства — граф, градуированный неотрицательными целыми числами, вершины п-го уровня которого, где п € Ми{0}, суть неприводимые представления алгебры Ап и две вершины а и 7г, принадлежащие п-му и (п + 1)-му уровням соответственно, соединены ребром с кратностью, равной кратности вхождения сг в гп+1(7г).

С*-оболочки ЬБ-алгебр являются аппроксимативно-конечномерными алгебрами {АР-алгебрами). Теория АР-алгебр начала развиваться в 1970-е годы; среди основополагающих работ этого периода отметим статьи О. Братте-ли [20] и Г. Эллиотта [22]. В первой из них показано, как классические вопросы теории С*-алгебр (описание идеалов, состояний, фактор-представлений) могут быть переформулированы для АР-алгебр на комбинаторном языке диаграмм Браттели и сопутствующих объектов. Кроме того, в этой статье доказано, что АР-алгебры и их плотные ЬБ-подалгебры однозначно (с точностью до изоморфизма) определяют друг друга. В статье [22] любой АР-алгебре сопоставляется коммутативный моноид, образованный классами унитарной эквивалентности проекторов, содержащихся в данной алгебре; затем на группе Гротендика этого моноида естественным образом вводится структура упорядоченной абелевой группы с порядковой единицей. Имеет место замечательная теорема Эллиотта: изоморфизм двух АР-алгебр (а тогда и их плотных ЬЯ-подалгебр) эквивалентен изоморфизму упорядоченных абелевых групп с порядковой единицей, отвечающих данным алгебрам.

Вскоре после обнаружения сформулированной теоремы выяснилось, что построенная выше абелева группа, соответствующая ЬБ-алгебре, изоморфна ее Ко-функтору (см. [27]). Таким образом, теорема Эллиотта утверждает, что Ко-функтор однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет ЬЭ-алгеб-ру. Можно привести примеры, показывающие, что для произвольных алгебр это не так (в общем случае Ко-функтор несет незначительную информацию об алгебре). Отметим еще одну теорему: Ко-функторы ЬБ-алгебр суть в точности счетные группы Рисса с порядковой единицей (см. [21]); это означает, что структура упорядоченной абелевой группы наКо-функторе И некоторой алгебры выделяется следующими свойствами: если пй ^ 0 для п £ М, с1 6 I), то (I ^ 0; если ^ ^ ^ для <¿1, с?2, /ъ /2 € I) и всех г, ^ £ {1, 2}, то существует такой элемент е£ I), что ^ е ^ fj для всех г, £ {1, 2}. Итак, мы получаем, что Ко-функтор устанавливает эквивалентность между категориями ЬБ-алгебр и счетных групп Рисса с порядковой единицей. Отсюда естественным образом возникает задача явного описания групп Рисса и ЬБ-алгебр, соответствующих друг другу относительно данной эквивалентности.

В исследовании ЬР-групп мы используем асимптотический подход, развитый А. М. Вершиком и С. В. Керовым в статьях [4, 5, 6, 8] и состоящий в аппроксимации различных объектов, связанных с ЬР-группами, с помощью объектов, относящихся к конечным группам. В рамках данного подхода может быть решена сформулированная выше задача о Ко-функторе. Другая классическая задача теории ЬР-групп — это описание неразложимых характеров. Реализация асимптотического подхода для решения этой задачи заключается в использовании эргодического метода; он основывается на следующей теореме: неразложимые характеры ЬР-группы и только они суть слабые (поточечные) пределы сетей неразложимых характеров конечных групп, пределом которых является данная ЬР-группа (см. [8, гл. 1, § 9]). Таким образом, описание неразложимых характеров ЬР-групп сводится к изучению асимптотики неразложимых характеров конечных групп. Далее мы рассматриваем примеры решения сформулированных задач для некоторых ЬР-групп.

Пример 1. Бесконечная симметрическая группа Боо — индуктивный предел групп 8П, п £ N и {0}, относительно естественных вложений. Зафиксируем несколько обозначений и соглашений, относящихся к группам 8П:

• мы считаем, что группа 8П действует на множестве {0,., го — 1}; 1д.п — единичный элемент этой группы (тождественная перестановка);

• прямая сумма и □ V £ гДе 1,т € Ми {0}, перестановок и £ Э/ и V £ Бт — перестановка, определенная для любого 2; £ {0,.,/ + то — 1} по формуле и и у(г) = и(г), если х < I, и и и = — I) + I, если I ^ ¿г; естественное вложение группы в группу 8/+т есть сопоставление каждой перестановке и 6 Э/ перестановки и □ £ 8;+т;

• а^и), где и £ Бп или и £ и I £ М, — число циклов длины I в цикловой записи перестановки и; ясно, что а/(и) = 0 для почти всех I.

Неразложимые характеры группы Эоо впервые были описаны Э. Тома в статье [31]. Прежде всего в ней отмечено важное свойство мультипликативности неразложимых характеров: х{9ииу) = х{9у)х{9ь) Для всех неразложимых характеров х и и £ V £ Эт, 1,т £ N и {0} (здесь ди, ду, диих) — элементы группы Боо, соответствующие перестановкам п, V, и и г>); по сути это свойство следует из того, что естественное вложение групп 8П есть сужение бинарной операции прямой суммы. Мультипликативность означает, что любой неразложимый характер определяется значениями на одноцикловых перестановках; по этим значениям легко построить некоторую вполне положительную последовательность. Таким образом, классификация неразложимых характеров сводится к задаче из теории целых функций (описание производящих функций вполне положительных последовательностей).

В итоге оказывается, что все неразложимых характеров группы суть в точности функции Ха,р (гДе а — (&г)геШ> Р — (А)гем невозрастающие последовательности неотрицательных вещественных чисел, ХлеыС0^ А) ^ 1)> определенные для всех и £ по следующей формуле:

Другой подход к изучению теории представлений группы Эоо был реализован А. М. Вершиком и С. В. Керовым в статьях [4, 5, 7]; в них описан Ко-функтор этой группы и приведен вывод списка неразложимых характеров на основе эргодического метода. Оказывается, что в терминах Эоо-модулей свойство мультипликативности означает, что на К0-функторе определено неотрицательное умножение, единица относительно которого есть порядковая еди

1) ница; таким образом, Ко-функтор группы Эос — кольцо Рисса. Как кольцевая структура Ко-функтора, так и порядок допускают явное описание; отметим, что как кольцо Ко-функтор группы изоморфен фактору кольца симметрических функций от бесконечного числа переменных.

Реализация эргодического метода в данном случае состоит в исследовании асимптотики неразложимых характеров групп Бп при естественных вложениях. Используя классическое соответствие между данными характерами и диаграммами Юнга, а также формулу для вычисления характера, соответствующего диаграмме, в терминах параметров Фробениуса, можно доказать, что предельное поведение характеров определяется предельными частотами длин строк и столбцов в растущей диаграмме (см. [5, §5]); отсюда получается приведенное описание неразложимых характеров группы Эос, причем числа а{ и Рг в формуле (1) суть указанные частоты. Богатство неразложимых характеров группы Боо по сути обусловлено строением диаграммы Браттели рассматриваемого семейства групп; ее ключевое свойство, состоящее в отсутствии кратных ребер, а также в целом связь с группой стали основой для индуктивного подхода к теории представлений групп 8„ (см. [11]). Отметим, что, кроме приведенных двух подходов, описание неразложимых характеров группы Боо возможно при помощи полугруппового метода (см. [16]) и нового подхода, связанного с несвободными действиями групп (см. [3]).

Пример 2. Бесконечномерная полная линейная группа СЬ(оо, д) над полем из д элементов — индуктивный предел групп СЬ(п, д), п Е N и {0}, относительно естественных вложений. Так же, как и в примере 1, определим сначала операцию прямой суммы матриц: д ф к = ( ^ ^ ) Е СЬ(/ + т, д) (используется блочная запись), где д £ СЬ (¿,д), Н £ СЬ(т, д), 1,тбМи {0}; обозначим через 1с1п единичную матрицу степени п. Естественное вложение группы Сд) в группу СЬ(I + ш, д) есть сопоставление каждой матрице д матрицы д ф 1с1ш. Все неразложимые характеры группы СЬ(оо, д) суть в точности функции Хи,к (где и — характер группы к £ Ми {0, оо} и все функции

Хш,оо отождествляются), определенные для всех д £ ОЬ(оо, д) по следующей формуле (мы считаем, что £°° = 0 для всех е Е [0,1) и 1°° = 1):

Х.М=и(аеЬд){д-*к^)к. (2)

Данный результат получается с помощью свойства мультипликативности и нетривиальных аналитических рассуждений (см. [30]).

Пример 3. Бесконечномерная унитарная группа и(оо) — индуктивный предел групп и(п), п £ N и {0} (это бесконечные группы, однако они компактны, что позволяет использовать для них прямое обобщение приведенной выше теории), относительно естественных вложений, аналогичных примеру 2. Описание неразложимых характеров группы и(оо) можно получить двумя способами: отталкиваясь от свойства мультипликативности, свести вопрос к теории целых функций (см. [35]) или, используя эргодический метод, перейти к пределу в формулах Вейля для характеров групп и (п) (см. [6]).

Пример 4. Проективная специальная линейная группа Р8Ь(2,^) степени 2 над алгебраическим замыканием поля из р элементов — индуктивный предел групп Р8Ь(2,рп), относительно вложений, возникающих за счет того, что поле Fp есть индуктивный предел полей ¥рп (множество N упорядочено по отношению делимости). Группа Р8Ь(2,Ер) имеет только два неразложимых характера: единичный и регулярный; этот факт следует из анализа диаграммы Браттели рассматриваемого семейства групп (она имеет совершенно ясную структуру: если отбросить единичные представления, то мы получим, что любые два ее уровня образуют полный двудольный граф). Ко-функтор этой группы также можно описать (см. [10]); в отличие от примеров 1, 2 и 3 здесь нет свойства мультипликативности, поэтому К0-функтор не имеет явной структуры кольца Рисса. Отметим, что интересный класс ЬР-групп, имеющих только два неразложимых характера, изучен в статье [36].

Пример 5. Группа Гейзенберга Н(п, К) степени п над полем К, являющимся индуктивным пределом полей , в £ 5 (где 5 — линейно упорядоченное по отношению делимости подмножество множества М), — индуктивный предел групп Н(п,ра) относительно вложений, аналогичных примеру 4. Неразложимые характеры и Ко-функтор в этой задаче допускают явное описание (см. [14]). Как и в примере 4, классификация характеров получается из анализа диаграммы Браттели; замечательно, что описание характеров оказывается аналогичным случаю вещественной группы Гейзенберга, рассматриваемому в классической теореме Стоуна-фон Неймана.

Основные результаты диссертации

Наша первая тема связана с группой рациональных перекладываний полуинтервала [0,1) (для краткости мы будем называть его "отрезком").

Определение 5. Биекцию g : [0,1) —> [0,1) назовем рациональным перекладыванием отрезка, если найдутся такие число п G N, перестановка и G S„ и разбиение {^î), • • • > хп)} отрезка на полуинтервалы с рациональными концами, что д{х) = х — Xi+xu^ для всех х G [хXi+i), г G {0,., п — 1}.

Определение 6. Прямое произведение uH'v G Sim, где I,m6 N, перестановок и G S;, v G Sm — перестановка, определенная для всех z G {0,., lm — 1} по формуле и П v(z) = mu{[z/m\) + v(z mod m).

Определение 7. Периодическое вложение группы Si в группу S/m есть сопоставление каждой перестановке и G S; перестановки и П idTO G S/m.

Легко видеть, что операция П — мономорфизм между группами Sj х Sm и S;m (кроме того, прямое произведение ассоциативно как операция на множестве UneN^r?-)' а периодическое вложение — мономорфизм между группами S; и S/m. Упорядочивая множество N по отношению делимости, мы получаем, что группы S„, n G N, образуют счетное индуктивное семейство групп относительно периодических вложений.

Для всех n G N и и G Sn обозначим через ди рациональное перекладывание отрезка, переставляющее полуинтервалы [0, ., i11^, 1) в соответствии с действием перестановки и (ди(%) = для всех х G [0,1)); ясно, что сопоставление и i—» ди инвариантно относительно периодических вложений. В силу того, что произвольное разбиение отрезка на полуинтервалы с рациональными концами можно измельчить до разбиения на полуинтервалы равной длины, так реализуются все рациональные перекладывания отрезка. Таким образом, они образуют группу, являющуюся индуктивным пределом групп Sn, n G N, относительно периодических вложений. Эту группу мы будем называть группой перекладываний и обозначим через R. Из полученного описания видно, что группа перекладываний есть LF-rpynna.

В настоящей работе мы описываем кольцевую структуру К^-функтора группы R и находим все ее неразложимые характеры

Группа перекладываний является плотной подгруппой в группе всех автоморфизмов отрезка как пространства с мерой. В статье [2] описаны все инвариантные относительно данной группы неразложимые положительно определенные функционалы в Ь2([0,1)); метод этой статьи базируется на асимптотическом подходе с использованием другой плотной подгруппы, аналогичной группе И, а именно группы двоично-рациональных перекладываний отрезка, то есть перекладываний конечного числа полуинтервалов с двоично-рациональными концами, образующих разбиение отрезка. Эта задача тесно связана с описанием неразложимых характеров. Отметим также, что аналогичные группы, связанные с группой И, изучались в статье [29].

На Кц-функторе группы Я имеется естественная структура кольца Рисса (как и в примере 1, она возникает за счет того, что периодическое вложение есть сужение бинарной операции П). Мы доказываем, что кольцо Ко(Ы) изоморфно фактору кольца симметрических функций без свободного члена (на этой абелевой группе определено нестандартное умножение при помощи операции П). Далее мы рассмотрим описание неразложимых характеров группы II и свяжем его с приведенными выше примерами ЬР-групп.

Определение 8. Натуральным характером хпаЬ группы Я будем называть функцию, значение которой на данном перекладывании есть мера множества неподвижных относительно него точек отрезка.

Мы доказываем, что все неразложимые характеры группы II суть в точности функции Хпаи гДе ^ £ N11 {0, сю} (при к = 0 мы имеем единичный характер, а при к = ос — регулярный характер, то есть функцию ¿»¡а на группе II). Этот результат получен совместно с Ф. В. Петровым. Независимо такое же описание неразложимых характеров получено для случая группы двоично-рациональных перекладываний отрезка в статье [23] при помощи мультипликативности неразложимых характеров и полугруппового метода (см. пример 1). Наше доказательство этого факта состоит из алгебраической и аналитической частей. В первой из них мы также используем мультипликативность; из нее следует, что все неединичные неразложимые характеры группы И обращаются в 0 на перекладываниях вида ди, где и — перестановка, длины циклов которой не взаимно просты в совокупности.

В аналитической части доказательства мы применяем эргодический метод. При этом мы получаем полное описание асимптотики неразложимых характеров групп при периодических вложениях (это более сильная теорема; из нее следует описание неразложимых характеров группы Ы). Оказывается, что в терминах диаграмм Юнга предельное поведение характеров групп 8П определяется всего одной статистикой — минимумом из числа клеток под первой строкой и справа от первого столбца диаграммы, причем предел этой статистики есть в точности показатель к характера группы II; таким образом, предельное поведение при периодических вложениях (случай группы Я) значительно проще, чем при естественных (случай группы Зоо). Отметим, что доказательство данного факта совершенное разное для к < оо и к = оо: если в первом случае достаточно воспользоваться специальной упрощенной формулой для неприводимых характеров групп 8П (то есть мы действуем по аналогии со статьей [5]), то во втором приходится работать непосредственно с общим правилом Мурнагана-Накаямы (см. [11, раздел 8]).

Описание неразложимых характеров группы Я можно связать с решением аналогичной задачи для групп Эос и СЬ(оо,д) (см. примеры 1 и 2). Данная связь возникает за счет естественных вложений этих групп в группу И (для группы Эос мы рассмотрим два таких вложения); эти вложения, в свою очередь, связаны с записью вещественных чисел в д-ичной и факториальной системах счисления соответственно (в случае факториальной системы счисления также естественно возникают виртуальные перестановки).

Запись чисел в д-ичыой системе счисления. Пусть q — примарное число, Т(] — множество таких последовательностей (¿^^д ^ • • - ' — что не существует такого п £ N и {0}, что и — # — 1 для любых г ^ п; ясно, что отображение (¿гг)^=0 |—^ Х^о является биекцией между множествами Тч и [0,1); далее, фиксируя биекцию между и {0,., д — 1}, переводящую 0 в 0, мы можем отождествить множество Тч с подмножеством множества Это подмножество инвариантно относительно естественного действия группы СЬ(оо, q) на при этом симметрии множества отвечающие данному действию, переходят при описанной выше биекции между Тп и [0,1) в рациональные перекладывания отрезка; тем самым мы имеем вложение группы СЬ(оо, ц) (а тогда и ее подгруппы Эоо) в группу И.

Рассмотрим ограничения характеров группы Я на подгруппы СЬ(оо, д) и Боо; легко показать, что мультипликативность при этом сохранится, поэтому неразложимые характеры перейдут в неразложимые. Из формулы (2) можно получить, что ограничение характера Хпаи & £ М и {О, оо}, группы Л на подгруппу ОЬ(оо, д) есть характер х\,к\ эта простая связь обуславливает вопрос о сведении задач об описании неразложимых характеров групп И и СЬ(оо, д) друг к другу. Если далее ограничить данный характер на группу то, используя формулу (1), можно проверить, что мы получим характер Ха,р при а = • • • > °> • • •) (членов ф здесь дк штук) и (3 = (0,0,.).

Факториальная система и виртуальные перестановки. Обозначим через Т множество таких последовательностей £ • • • ? п}> чт0 не существует такого п £ Ми {0}, что = г для всех г ^ щ ясно, что отображение ^ (п+1)! является биекцией между множествами Т и [0,1); далее, мы можем отождествить множество Т с подмножеством множества виртуальных перестановок, используя отображение, переводящее (¿п)^0 е Т в (^п)^о е б«,, где ип = (¿о 0)(*1 1). (¿п-1 п - 1) € Бя для всех п £ Ми {0} (Эоо есть проективный предел групп относительно сюръекций, отображающих для любого пеМи {0} перестановку и Е 8п+1 в перестановку у Е 8П, цикловая запись которой получается из цикловой записи перестановки и выкидыванием числа щ топологически Эоо есть компактификация группы Эос). Подмножество множества Боо, соответствующее так, как это определено выше, множеству Т, инвариантно относительно естественного действия группы Боо на Эоо (получающегося как продолжение регулярных действий групп 8П), при этом симметрии множества Т, отвечающие данному действию, переходят при описанной выше биекции в рациональные перекладывания. Тем самым мы имеем еще одно вложение Боо с—» Я. Виртуальные перестановки естественно возникают в гармоническом анализе паБоо (см- [28]), и связь между ними и группой II интересна сама по себе. Впрочем, по отношению к характерам она тривиальна: ограничение на любого неединичного неразложимого характера группы Я есть регулярный характер; это следует уже из алгебраической части описания характеров, так как все неединичные элементы группы Боо переходят при описанном вложении в такие перекладывания^, что длины циклов перестановки и не взаимно просты в совокупности.

Вторая тема данной работы связана с группами СЬ(п, д) и их представлениями. Как было показано в примере 2, неразложимые характеры группы СЬ(оо, д) описываются просто: они образуют дискретное множество, занумерованное двумя параметрами. Это согласуется с тем, что диаграмма Братте-ли групп СЬ(п, д) относительно естественных вложений устроена, наоборот, сложно (и, в частности, имеет кратные ребра). Оказывается, что можно так определить другие вложения (действующие на уровне комплексных групповых алгебр групп ОЬ(п,д)), что диаграмма Браттели имеет только простые ребра и в целом ее строение является д-аналогом строения диаграммы Браттели групп 8П относительно естественных вложений (а, как известно, группы СЬ(п, д) суть д-аналоги групп Б^). Отметим также, что с определенными ниже вложениями связан правильный д-аналог группы — локально-компактная группа СЬВ(д). Отсутствие кратных ребер при этом интерпретируется в терминах ее групповой алгебры Брюа-Шварца (см. [9, 32, 34]).

Определение 9. Параболическое вложение еп алгебры С[СЬ(п, д)] в алгебру С[СЬ(п + 1,д)] есть линейное отображение, определенное между ними и действующее на элементах группы СЬ(п, д) по следующей формуле (на всю алгебру С[СЬ(п, д)] это отображение продолжается по линейности):

Ясно, что еп — мономорфизм алгебр и егг(1<17г) ф 1с1п+1 при п ф 0; обозначим через гп+1 операцию ограничения представлений, соответствующую мономорфизму еп (см. определение 4). Представление г^-^-л") группы СЬ(п, д) назовем параболическом ограничением представления 7Г группы СЬ(п +1, д). Явное описание диаграммы Браттели алгебр С[СЬ(п, д)] относительно параболических ограничений (и, в частности, тот факт, что все ее ребра простые) можно вывести из глубокой теории, в которой дается полное описание неприводимых представлений групп СЬ(п, д) (см. [37, §13], а также классические работы [13, 17, 26] по теории представлений групп СЬ(п, д)).

В настоящей работе мы даем прямое независимое доказательство простоты ветвления представлений групп СЬ(п, д) при параболических ограничениях (это означает, что все ребра диаграммы Браттели простые).

Итак, нам нужно проверить, что для любого неприводимого представления 7Г группы СЪ(п + 1,д) представление гп+х(7г) имеет простой спектр (то есть его разложение на неприводимые компоненты свободно от кратностей). Имеется классический критерий простоты спектра представления: это свойство эквивалентно коммутативности алгебры эндоморфизмов данного представления, а этот факт можно доказать, используя то, что все элементы алгебры эндоморфизмов являются самосопряженными относительно некоторой невырожденной билинейной формы. Этот критерий восходит к статье [12] и позволяет доказать простоту ветвления для групп (см. [11]).

Однако, используя этот классический критерий, решить задачу о простоте ветвления для групп ОЬ(п, q) не удается. А. М. Вершик сообщил нам о новых идеях в этом направлении, предложенных И. Н. Бернштейном; они происходят из теории представлений линейных групп над локальными неархимедовыми полями (см. [1, 24]) и позволяют получить прямое доказательство простоты ветвления представлений как для локальных неархимедовых, так и для конечных полей, что и было сделано А. Айзенбудом и Д. Гуревичем в статье [19]. Используя метод этой статьи (его суть состоит в том, что вместо приведенного выше критерия простоты спектра используется лемма о произведении кратностей), мы значительно упрощаем доказательство, так как не переходим к произведениям групп и парам Гельфанда; таким образом мы получаем критерий простоты ветвления при [/-ограничениях (эти ограничения обобщают параболические ограничения). Затем мы проверяем этот критерий для параболических ограничений и тем самым доказываем простоту ветвления представлений групп СЬ(п, д) при этих ограничениях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из трех глав, в первых двух из которых мы работаем с группой Я, а в последней — с группами СЬ(п, д).

В разделе 1.1 изложены некоторые предварительные сведения оКо-функторе ЬР-групп. В разделе 1.2 мы описываем Ко-фуиктор группы II как кольцо Рисса. Основной результат здесь — следствие из теоремы 1.1, устанавливающее связь между кольцом Ко(Я) и кольцом симметрических функций без свободного члена с нестандартным умножением. В разделе 1.3 мы доказываем некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы И. Они следуют из мультипликативности неразложимых характеров, доказанной в теореме 1.2: из нее мы выводим, что все функциих^, к 6 Ми {0, оо}, суть неразложимые характеры, и в следствии из теоремы 1.3 находим значения любого такого характера на перекладываниях вида ди, где и — перестановка, длины циклов которых не взаимно просты в совокупности.

В разделе 2.1, используя эргодический метод, мы получаем описание неразложимых характеров группы И как следствие теоремы 2.2 об асимптотике неразложимых характеров групп при периодических вложениях. Доказательство теоремы 2.2 начинается со сведения к теореме 2.3, в которой возникает два больших и непохожих случая: к < оо и к = сю, рассмотренных в разделах 2.2 и 2.3 соответственно. Решение задачи в первом случае получается как следствие представляющего независимый интерес свойства полиномиальное™ неприводимых характеров групп 8П (теорема 2.5). Из результата раздела 1.3 следует, что во втором случае требуемый факт достаточно доказать для таких перекладываний ди, что длины циклов перестановки и взаимно просты в совокупности; это доказательство получается из нетривиальных арифметических и комбинаторных рассуждений (леммы 2.3 и 2.4).

В разделе 3.1 мы определяем понятия ¿/-вложений и ¿/-ограничений; они обобщают понятия параболических вложений и параболических ограничений соответственно. В разделе 3.2 мы доказываем абстрактный критерий простоты ветвления представлений при ¿/-ограничениях (теорема 3.1). В этом доказательстве ключевую роль играет лемма о произведении кратностей (лемма 3.1). Наконец, в разделе 3.3 мы проверяем, что условия критерия выполнены для групп СЬ(п, д) (теорема 3.2). Этот факт сводится к теореме 3.3, в которой уточняется классическое утверждение о том, что любая матрица сопряжена со своей транспонированной. Совместное использование теорем 3.1 и 3.2 дает нам прямое независимое доказательство простоты ветвления представлений групп ОЬ(п, д) при параболических ограничениях.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Анатолию Моисеевичу Вершику за постановку задач, терпение и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горячко, Евгений Евгеньевич, 2011 год

1. Бертитейн И. И., Зелевинский А. В. Представления группы ОЬ(п, Р), где Р — локальное неархимедово поле // Успехи мат. наук. — 1976. — Т. 31, вып. 3. - С. 5-70.

2. В ершик А. М. Описание инвариантных мер для действий некоторых бесконечномерных групп // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 218, № 4. — С. 749-752.

3. В ершик А. М. Несвободные действия счетных групп и их характеры // Записки научн. семин. ПОМИ. 2010. - Т. 378. - С. 5-16.

4. В ершик А. М., Керов С. В. Характеры и фактор-представления бесконечной симметрической группы // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 257, № 5. С. 1037-1040.

5. Вершик А. М., Керов С. В. Асимптотическая теория характеров симметрической группы // Фупкц. анализ и его прил. — 1981. — Т. 15, вып. 4. С. 15-27.

6. Вершик А. М., Керов С. В. Характеры и фактор-представления бесконечной унитарной группы // Докл. АН СССР. — 1982. Т. 267, № 2. -С. 272-276.

7. Вершик А. М., Керов С. В. К-функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы // Записки научн. семин. ЛОМИ. — 1983. — Т. 123. С. 126-151.

8. Вершик А. М., Керов С. В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Ко-функтор // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 26. — М.: ВИНИТИ, 1985. С. 3-56.

9. Вершик A. M., Керов С. В. Об одной бесконечномерной группе над конечным полем // Функц. анализ и его прил. — 1998. — Т. 32, вып. 3. — С. 3-10.

10. Вершик А. М., Кохась К. П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2,&)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2, вып. 6. — С. 98-106.

11. Вершик А. М., Окуньков А. Ю. Новый подход к теории представлений симметрических групп. II // Записки научн. семин. ПОМИ. — 2004. — Т. 307. С. 57-98.

12. Гельфанд И. М. Сферические функции на симметрических римановых пространствах // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, № 1. - С. 5-8.

13. Гельфанд С. И. Представления полной линейной группы над конечным полем // Мат. сборник. 1970. - Т. 83, № 1. - С. 15-41.

14. Кохась К. П. Классификация конечных факторпредставлений (2m +1)-мерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Функц. анализ и его прил. — 2002. — Т. 36, вып. 3. — С. 79-83.

15. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.

16. Окуньков А. Ю. О представлениях бесконечной симметрической группы // Записки научн. семин. ПОМИ. 1997. - Т. 240. - С. 166-228.

17. Фаддеев Д. К. Комплексные представления полной линейной группы над конечным полем // Записки научн. семин. ЛОМИ. — 1974. — Т. 46. — С. 64-88.

18. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М.: МЦНМО, 2006.

19. Aizenbud A., Gourevitch D. Multiplicity free Jacquet modules // Принято к печати в Canadian Math. Bull, в 2010 г.

20. Bratteli О. Inductive limits of finite dimensional C*-algebras // Transact. Amer. Math. Soc. 1972. - V. 171. - P. 195-234.

21. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations // Amer. J. Math. — 1980. — V. 102, no. 2. P. 385-407.

22. Elliott G. On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras //J. Algebra. — 1976. — V. 38, no. 1. — P. 29-44.

23. Dudko A. V. Characters on the full group of the odometer // www.arxiv.org e-Print archive.— arXiv: 1005.4289vl.

24. Gelfand I. M., Kajdan D. A. Representations of the group GL(n, K) where K is a local field // Lie Groups and Their Representations. — Akad. Kiadö, Budapest, 1975. P. 95-118.

25. Gnedin A., Olshanski G. Coherent permutations with descent statistic and the boundary problem for the graph of zigzag diagrams // Internat. Math. Research Notices. — 2006. — Art. ID 51968.

26. Green J. A. The characters of the finite general linear groups // Transact. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 80, no. 2. - P. 402-447.

27. Handelman D. Kq of von Neumann and AF-C*-algebras // Quart. J. Math. Oxford. Series 2. 1978. - V. 29, no. 4. - P. 427-441.

28. Kerov S., Olshanski G., Vershik A. Harmonic analysis on the infinite symmetric group // Invent. Math. — 2004. V. 158, no. 3. - P. 551-642.

29. Kroshko N. V., Sushchansky V. I. Direct limits of symmetric and alternating groups with strictly diagonal embeddings // Archiv Math. — 1998. — V. 71, no. 3,- P. 173-182.

30. Skudlarek H.-L. Die unzerlegbaren Charaktere einiger diskreter Gruppen // Math. Annalen. 1976. - V. 223, no. 3. - P. 213-231.

31. Thoma E. Die unzerlegbaren, positiv-definiten Klassenfunktionen der abzählbar unendlichen, symmetrischen Gruppe // Math. Zeitschrift. — 1964. — V. 85, no. 1. P. 40-61.

32. Vershik A. M. Two lectures on the asymptotic representation theory and statistics of Young diagrams // Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics (Lecture Notes Math., v. 1815). — SpringerVerlag, Berlin, 2003. P. 161-182.

33. Vershik A. M., Kerov S. V. Four drafts on the representation theory of the group of infinite matrices over a finite field // Записки научн. семин. ПОМИ. 2007. - T. 344. - С. 5-36.

34. Voiculescu D. Représentations factorielles de type IIi de U(oo) // J. Math. Pures Appl. Série 9. 1976. - V. 55, no. 1. - R 1-20.

35. Zelevinsky A. V. Representations of Finite Classical Groups. A Hopf Algebra Approach (Lecture Notes Math., v. 869). — Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981.