Вариационная сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хрипунова Балджы, Анна Сергеевна

• Хрипунова Балджы, Анна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хрипунова Балджы, Анна Сергеевна

Оглавление

Введение

1 О Г-компактности одного класса интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста

§1 Основные положения теории Г-сходимости

§2 Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и

роста вида /(х, в, £)

§3 Теорема о Г($)-компактности

§4 Теорема о Г-компактности

§5 Сходимость минимумов и минимизантов

2 О переходе к пределу в классе степенных интегрантов

§6 О Г-замыкании класса степенных интегрантов

§7 Строгая выпуклость Г-предельного интегранта

§8 Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия

§9 Равномерная выпуклость и Г-сходимость

3 Варианты леммы о компенсированной компактности

§10 Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения

§11 01у-сиг1 лемма с условиями в терминах Г-сходимости

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационная сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста»

Введение

В задачах вариационного исчисления требуется найти наименьшее значение функционала, заданного на некотором множестве. Если задана последовательность вариационных задач, то возникает вопрос о корректном определении предельной задачи и предельного функционала. Наиболее естественным языком, описывающим асимптотическое поведение вариационных задач, является так называемая Г - сходимость. Главная особенность Г-сходимости состоит в том, что широкие классы интегрантов оказываются компактными относительно этой сходимости.

1. В рамках абстрактной теории вопросы Г-сходи мости были изучены в работах итальянских математиков Э.Де Джорджи [7], [8] и его коллег более тридцати лет назад. Л. Карбоне и К. Сбордоне [3) конкретизировали абстрактную теорию для интегральных функционалов вида

где ПсК* есть ограниченная липшицева область, а интегрант /(х, £) : О х ГО/*—предполагается каратеодориевой, выпуклой по £ функцией, для которой выполнены стандартные условия коэрцитивности и роста: < /(х, £) < с(|£1а + 1), 1 < а < оо.

Жиков В.В. в работах [15], [18] построил более общую теорию Г-сходимости интегральных функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста

В работе [18] установлено, что класс (0.2) компактен относительно Т-сходимости. Отметим важную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста (0.2): когда показатель нелинейности а, отвечающий за свойство коэрцитивности, строго меньше показателя /?, отвечающего за свойство ограниченности, воз-

(0.1)

-са + С1 < /(¡с, 0 < с2[£|" + о, , сь с2 > 0, О) > 0, 1 < а < /? < оо. (0.2)

никает неединственность постановки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Эффект Лаврентьева выражается в неравенстве

Ri= min I f(x7Vu)dx< inf [ f(x,Vu)dx = (0.3)

^»'¿'"(fi) Jn vecf(ü) Jn

из которого видно, что с одним и тем же функционалом F можно связать задачи двух типов - Ei и Е2. В связи с этим В,В. Жиковым было введено два типа Г-сходимости.

Отмеченные выше результаты относились к интегральным функционалам F вида (0.1), зависящим от градиента Vu, но не от самой функции и. Представляет интерес рассмотреть функционалы, которые зависят не только от градиента Vu, но и невыпуклым образом от самой функции и. Последнее обстоятельство отмечалось в качестве нерешенной проблемы в работах А. Braides [1] и В.В. Жикова [18] более 20 лет назад. Рассмотрим интегральные функционалы вида

F(u) = I f(x, и, Vu)dx. Jn

Интегрантами являются каратеодориевы (с непрерывностью по з и £), выпуклые по £ функции f(x, s, £): fi х ГО. х IRd —>■ IR, для которых имеют место

• нестандартные условия коэрцитивности и роста

-Co + Cj^l* <f(x,s,0 < Qt\S\ß + Cf>, d, 02 >0,Cv>0, \<a<ß<oo] (0.4)

• свойство непрерывности по второму аргументу:

/(*, У, £) - f(x, s, £) < ш(\s - s, О (0.5)

для любых СеШ^, $, s'elR и п.в. где w(t) : [0,оо) —^ [0, ш] — непрерывная функция

такая, что w(0) = 0.

Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (0.4)-(0-5) при некоторых дополнительных условиях на показатель.

2. Приведем некоторые факты и определения из абстрактной теории Г-сходимости. Пусть X - метрическое пространство. Будем рассматривать функции (функционалы) F, Fn : X ^ [-оо,+оо].

Определение 0.1 Функция F называется Г-пределом последовательности Fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу

lim inf F(un) > F(u) как только tin —Щ

П-+00

2) для любого и € X существует последовательность ип, такая что

ип и, lim iv(un) = F(u).

n-ioo

Справедлив следующий принцип выбора: из каждой последовательности функций Fnf заданных на сепарабелъном метрическом пространстве X, можно извлечь Г-сходящуюся подпоследовательность.

3. Дадим абстрактное описание эффекта Лаврентьева, который играет существенную роль при изучении Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивно-сти и роста. Пусть функционал F полунепрерывен снизу на X и S есть плотное в X множество. Определим релаксационный функционал равенством

F(u) = inf lim F(«n). (0.6)

t(n€S«n-Ml

Релаксационный функционал F также полунепрерывен снизу на X и F < F на X. Эффектом Лаврентьева называют не только неравенства вида Е\<Е2, см. (0.3), но и саму ситуацию, когда F ф F. Если для допредельных функционалов Fn имеет место эффект Лаврентьева, то с последовательностью функционалов Fn можно связать два в общем случае не совпадающих предельных объекта

Г- lim Fn и Г- lim Fn. (0.7)

II-+00 n-юо

Первый из них далее обозначается как IVlim Fn, а второй - r2-lim Fn.

3. Рассмотрим функционалы F(u) на соболевском пространстве И/1,о(0), а > 1, для которых выполнено неравенство коэрцитивности

F(u) > c||Vu||£e(n) - 1, о 0.

(0.8)

Для этого класса предпочтительнее использовать определение Г-предела в терминах слабой сходимости в W1,a(£i), подробное изложение приведено в §1 диссертации.

Определение 0.2 Функция % есть Г-предел последовательности Fn на если

1) выполнено условие полунепрерывности снизу

liminf> как только ип -1- и в W1,a{ti)\

2) для любого u€W1,a (fi) найдется последовательность ип такая, что

ип u€Wha(Q), lim Fn(un) = *(«).

пчоо

Нетрудно показать, что оценка (0.8) сохраняется при переходе к Г-пределу. Применяя результаты абстрактной теории Г-сходимости, получаем следующий результат о компактности: класс функционалов, подчиненных оценке (0.8), компактен относительно Г-сходимости, понимаемой в смысле определения 3.

4. Начнем с определений Г-сходимости интегрантов (функционалов) класса (0.2), введенных В.В. Жиковым в работах [15], [18].

Определение 0.3 Интегрант f есть Fi-предел последовательности /„, если 1) выполнено неравенство

liminf / fn(x, VunWx > f f(x,Vu)dx, Ja Jа

как только «„-'ив

2) для любого найдется последовательность ипеИ^1,а(П) (называемая Г1-

реализующей), такая что

ип и в wl,e(fi), ип - uew01,e(n), lim / /п(х, Vun)dx = I f(x, Vu)dx.

Jn Jii

В определении Гг-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последовательности и-п пространству Два варианта Г-сходимости интегрантов соответствуют двум абстрактным предельным объектам, см. (0.7). Известны примеры [17] несовпадения Г] и Гг-пределов,

Пример 1. Пусть /(у, £) - периодический по уёИ** интегрант, □ = [0,ячейка

периодичности. Положим — / (|,£), £ > 0, и определим усредненные интегранты

и Jо

$от(() = [ ¡{Х,£ + Чи)с1,х,

где Ир^(О) - соболевское пространство периодических функций. Как известно, задача усреднения представляет собой частный случай нахождения Г-предела, при этом

Г1-Шп Д = ЛЬот> Г2- Ит Л = УГ".

В работе [17} построен пример интегранта, для которого выполнено строгое неравенство /1Ьот < /2Ьот.

Имеет место следующий принцип компактности, доказанный В.В. Жиковым в работе 118].

Принцип компактности. Для всякой последовательности /„ интегрантов из класса (0.2) найдется подпоследовательность /„/ и интегрант / из класса (0.2) такие, что /„» / в любой липшицевой подобласти области П.

Аналогичное утверждение верно для случая Г2-сходимости.

г

Далее, говоря о Г-сходимости /„ в области Г!, предполагаем, что /„ —> / в любой липшицевой подобласти области П. В таком случае нетрудно показать единственность Г1- и Гг-предела. Именно это свойство единственности позволяет говорить о сходимости интегрантов, а не только о сходимости интегральных функционалов.

5. Перейдем к классу интегрантов (0.4)-(0.5). Соответствующий функционал Р(и) считаем заданным на всем соболевском пространстве Ил1,С1(!Г2), где он может принимать значение +оо. Имеет место вложение где

¿от*" = Р{и) < оо}.

Функционал Г (и) слабо полунепрерывен снизу на сильно непрерывен на про-

странстве VI/*1"5 (¡7) и коэрцитивен на .

Определение 0.4 Интегрант / есть Г 1-предел последовательности /п, если

0.9

1) выполнено неравенство

liminf I fn{x,UntVun)dx > I J(x,u,Vu)dx, Jn in

как только un —1 « в (О);

2) для любого uGVl/1'ß(f2) найдется последовательность UnG^'^ffi) (называемая Г\-реализующеÜ), такая что

Un^UB ип - tiGM^fi),

lim / fn(x,un, Vun)dx = / /(x,u,Vu)<fe. Jo Jfi

В определении ^-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последоваг тельности ип пространству H/1*-t'(Q).

6. Нашей целью является доказательство теоремы о компактности относительно Ti и Г2-сходимости для класса интегрантов (0.4)-(0.5). Основным вспомогательным средством будет Г-сходимость при "замороженном" параметре s€lR. Обозначим этот промежуточный тип сходимости через Г(з).

Определение 0-5 Интегрант f есть Г ^s)-предел последовательности fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу

liminf / fn(xy s, Vun)dx > / f(x, Vu)dx, VsSlR, in Jn

как только u„ —1 u в W1,a(fi); 2) для любых и s€lR найдется последовательность Un€Wl'a(U) такая, что

ип^и в И^П), u„ - u€W01,e(il),

lim I fn(x, st Vun)dx = I J(x, s, Vu)dx. Jn Jn

Определение Г2(5)-предела отличается от определения Г^^-предела тем, что в условиях 1) и 2) аппроксимирующая последовательность ип принадлежит пространству (П).

Для каждого фиксированного э по принципу компактности Жикова из последовательности интегрантов /„(•, 5, *) можно извлечь Г\-сходящуюся подпоследовательность. Используя диагональный процесс, найдем последовательность {га'}с{п} и интегрант /(х,з,£), такие что /А; з,0 ^ /(■>«» О для любого рационального 5 € <0>. Предельный

интегрант /(х, наследует свойства (0.4), (0.5), в которых пока 5 € О- По непрерывности Г!-предельный интегрант продолжается на все множество 5 € Ш,. Построенный таким образом предельный объект принадлежит классу (0.4)-(0.5). Доказан следующий результат о компактности: из каждой последовательности /п интегрантпов класса (0.4)-(0.5) можно извлечь Г^)- и Го (я)-сходящуюся подпоследовательность.

Оказывается, что при условии на показатель а>с1 последовательность Г^)-сходящихся интегрантов класса (0.4)-(0.5) будет Г^сходящиейся в смысле определения 4. Аналогичное утверждение верно относительно Гг-сходимости.

Основной результат первой главы составляет Теорема 1,1 Рассмотрим класс каратеодориевых интегрантов /(х, £), для которых выполнены

г) условие выпуклости по

И) нестандартные условия коэрцит.ивности и роста, см. (0.4); Ш) свойство типа липшицевости по второму аргументу, см. (0.5); п>) дополнительное ограничение на показатель: а > ё.

Тогда Г1 (в)-сходящаяся последовательность интегрантов является Т х-сходящейся. Аналогичное утверждение справедливо и для Го - сходимости

Следствием теоремы 1.1 является следующий принцип компактности.

Теорема 1,2 Класс выпуклых по £ интегрантов, удовлетворяющих условиям (0.4)-(0.5) при а>й, компактен относительно Г!- и Г2- сходимости.

Теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в работе [10]. Заметим, что условие а><1 является существенным в наших рассмотрениях. Оно позволяет эффективно использовать свойство непрерывности (0.5). Без условия а>д доказательство компактности остается открытой проблемой.

7. В абстрактной теории устанавливается, что Г-сходимость функционалов при определенных условиях влечет сходимость минимумов и минимизантов (см., например, А. Вгалёез [1]). Для изучаемых нами интегральных функционалов этот вопрос требует отдельного рассмотрения из-за эффекта Лаврентьева. Изучим эту ситуацию подробнее на примере задачи Дирихле. Рассмотрим вариационные задачи

(0.10)

Отметим одно различие задач Ei и Е?. Минимум в задаче Ei достигается по теореме Вейерштрасса - Тонелли, поскольку интегральный функционал слабо полунепрерывен снизу и коэрцитивен на ^'"(fl), В задаче Ei минимум может не достигаться, но в этом случае по определению инфимума существуют так называемые г-минимизанты. Для интегрантов /„ рассмотрим задачи двух типов

= min / fn(x,u,Vu)dx, Е^ = inf / fn(x,u,Vu)dx. Jn Jn

Если f = Гг lim /„, то возникает вопрос о сходимости энергий i?}"'. Идеальным ответом была бы сходимость

lim Е[п) = Ег. (0.11)

п-юо

В ряде случаев указанная сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах

El = min Fi и) < lim inf < limsupEjn) < inf F(u) = E2. (0.12)

n-too

Из неравенств (0.12) следует, что для сходимости энергий Е[п^ достаточно равенства энергий двух типов в задачах (0.10) с Гi-предельным интегрантом /. Это приводит к следующему определению регулярного интегранта. Определение 0.6 Назовем интегрант / регулярным, если для любого и € И^1'™^), такого что F(u)<oo, существует последовательность un€Co°(fi), для которой

и в W01,o,(ii), lim / f{x,vtn, Vu„)dx = / f(x,u,Vu)dx. "-*00 Jn J n

Из определения видно, что в случае регулярного интегранта задачи первого и второго типа в (0.10) совпадают, поэтому имеет место сходимость энергий (0.11). 8. Много задач на усреднение связано со степенными интегрантами вида

Степенной интегрант (0.13) принадлежит классу (0.2), является строго выпуклым и дифференцируемым по аргументу Возникает вопрос, сохраняются ли эти свойства при Г-

сходимости степенных интегрантов. Заметим, что сама степенная структура в пределе теряется.

Пример 2. Рассмотрим задачу усреднения для последовательности интегрантов f(y,0 ~ ^ф/с) ' где /(У'О периодическая по у функция с ячейкой периодичности □ = [0, l)<i . Известно, что в одномерном случае (d = 1) имеет место представление

где </*(£) = sup{£ * т} — g(v)} - это сопряженная по Юнгу - Фенхелю функция. Возьмем кусочно-постоянный показатель р{у), принимающий значения р\ и р2* Тогда интегрант (/hom)*(f) есть сумма степенных интегрантов с разными показателями р\ и р'2. Отсюда видно, что сам усредненный интегрант /hom(£) не является степенным. Это следует из свойств операции сопряжения, приведенных в главе 2 (см. свойства i),ii) в §6).

Пример 3. Степенной интегрант очевидно изотропен, то есть зависит только от Изотропия не сохраняется при переходе к Г-пределу, что показывают примеры усреднения в случае квадратичного интегранта. Действительно, при d = 2 рассмотрим интегранты

где а(у\) > 0 - непрерывная, периодическая функция, (о) - среднее по периоду. Из теории усреднения известно, см.[19] стр.12, что

Y-Ximh = {a)g + (a-lrltl

откуда видно, что предельный интегрант не изотропен.

К важнейшим свойствам степенных интегрантов относятся

• Д2-условие: }{х, ±Ц) < c(f(x, £) + 1);

• строгая выпуклость по

• дифференцируемость по

Наша цель состоит в проверке этих свойств для интегрантов класса S(a, ß). Сформулируем центральные результаты второй главы.

Теорема 2.1 Интегранты f(x,£) класса S(a, ß) строго выпуклы по £ для п.в. x€ii, то

есть

Теорема 2.2 Интегранты /*(х,7}), сопряженные по Юнгу к интегрантам класса в (а, р), строго выпуклы по 17 для п.в. х&Л.

Из теорем 2.1 и 2.2, а также общих свойств выпуклых функций следует, что Г-предельный интегрант дифференцируем по С Действительно, выпуклая функция /(£) не обязательно дифференцируема, можно говорить лишь о существовании субградиента в точке. Напомним, что вектор т^еШ^ называют субградиентом /(£) в точке ^оёП^, если

Из выпуклого анализа известно, что функция /(£) является дифференцируемой в точке, если ее субградиент единственен, что в свою очередь выполнено в случае строгой выпуклости сопряженной функции /*(£). Из этих соображений и теоремы 2.2 следует Теорема 2.3 Интегранты /(х, £) класса в (а, /5) и сопряженные к ним дифференцируемы по

Теоремы 2.1, 2.2, 2.3 доказаны в работе [10].

Еще один результат, касающийся равномерной выпуклости, удалось получить только в случае а > 2 . Справедлива следующая теорема.

Утверждение 2.4 Для интегрантов класса 5(а, /?), 2 < а < р(х) < /?, выполнено свойство равномерной выпуклости

9, Во многих вопросах важно выяснить, когда слабый предел произведения го£-где ь)е - соленоидальный вектор, равен произведению слабых пределов ш* Уи. В классической лемме о компенсированной компактности Тартара - Мюра [12] установлена сходимость

при условии а — р. В Главе 3 диссертации доказаны новые варианты леммы о компенсированной компактности, в которых а < ¡3. Отправной точкой послужили недавние ре-

ДО-/(&)>»*■ К^еи«.

/ (*, + / (х, < \{Цх, 0 + /(х,,)).

(0.14)

зультаты В.В.Жикова и С.Е. Пастуховой [20], [25]. В этих работах устанавливается слабая сходимость произведения ю£ ■ к произведению слабых пределов и> • V« с точностью до сингулярной компоненты

и>£ ■ Чи^йх ф, — ЧисЬс +

где ¿а® - сингулярная (относительно меры Лебега йх) мера. Примеры показывают, что сингулярная компонента может быть нетривиальной. Наша цель - найти такие случаи, когда сингулярная компонента отсутствует. Предположим, что

щ ->■ и в Ж1л(П), ы^-шъ 1/(Л)л, = 0. (0.15)

Имеющееся в лемме Тартара - Мюра условие ограниченности множителей У ии€ во взаимно сопряженных лебеговых пространствах заменим на более общее условие вида

I ¡е{х^и,)йх, I Я(х}юг)<Ь < С < оо, (0.16)

УП Jíl

где интегранты /е удовлетворяют нестандартным условиям коэрцитивности и роста с показателями а) /3, такими, что

{-М-, если а ,

<*-*' (0.17)

+оо, если а > д.

Теорема 3-1 Пусть для регулярных интегрантов /е класса (0.2) Д^-условие выполнено равномерно по е. Предполагаем также, что /£ —» /, где / - регулярен. Тогда, в предположениях (0.15)-(0.17) имеет место слабая сходимость мер

гу£ • "Чисдх —1 ш * ^ийх.

Приведем примеры, в которых предположения теоремы 3.1 выполнены. Пример 4- Пусть /£=/ и / = /(£) - выпуклый интегрант, удовлетворяющий Д3-условию

и оценке (0.2). Тогда условие (0.16) принимает вид

/ f(Vue)dx, I f*(we)dx < С < оо. Ja Ja

Регулярность выпуклого интегранта /(£) хорошо известна, см. [32]. В случае /(£) = получается классический результат Тартара - Мюра.

Пример 5. Пусть fe(x, £)=l£lPtW ~ степенной интегрант, где рс(х)= р (|) и р(у) - периодическая функция HaIRd, i<ot<p(y)<ß<a*, удовлетворяющая логарифмическому условию X.Fan - Жикова, см. [20],

|р(а:) - Р(У)I < i-V, x,y€ü,\x-y\< (0.18)

Это условие обеспечивает регулярность интегранта /£. Предельный интегрант / является регулярным, так как не зависит от пространственной переменной: f(x,$) = fhom(0: см. (0.9).

В работе [2] доказаны более общие результаты, в которых функционалы из условия (0.16) не являются регулярными. В частности, можно рассмотреть пример 5, в случае, когда осциллирующий показатель степенного интегранта не обязательно удовлетворяет условию (0.18).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хрипунова Балджы, Анна Сергеевна, 2013 год

Литература

[1] Braides A. Homogenization of Multiple Integrals/ A. Braides, A. Defranceschi. - Clarendon Press: Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. - 1998. - 312 p.

[2] Braides A. T-convergence for beginners/A. Braides. - Oxford University Pr., 2002. -113 p.

[3] Carbone L. Some properties of T-limits of intergral functionsls/ L. Carbone , C. Sbordone // Ann. Mat. Pura Appl-1979.-122(4)—1-60.

[4] Clarkson J.A. Uniformly convex spaces/J.A.Clarkson // Transactions of the American Mathematical Society —1936.—40 (3)—396-414.

[5] Dal Maso G. An introduction to T-convergence/ G, Dal Maso. - Birkhauser, Boston, 1993. - 340 p.

[6] Diening L. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents/ L. Diening, P. Harjulehto, P. Höste, M. Ruzicka. - Springer, 2011. - 509 p.

[7] De Giorgi E. Su un tipo di convergenza variazionale/E. De Giorgi ,T. Franzoni // Atti Accad.Naz.Lincei Rend. CI. Sei. Fis. Mat. Natur-1975.-58(8)-842-850.

[8] De Giorgi E. Une notion generale de convergence faible des fonctions croissantes d'ensemble /E. De Giorgi , G. Letta // Ann. Scuola Sup. Pisa—1977 —33-P. 61-99.

[9] Jikov V.V. Homogenization of Differential Operators and integral functional/ V.V. Jikov, S.M. Kozlov , O.A. Oleinik. - Springer-Verlag, 1994.

[10] Khripunova A.S. Gamma-closure of some classes of nonstandard convex integrands /, A.S. Khripunova, S.E. Pastukhova // Journal of mathematical sciences — 2011.—177—1— P.83-108.

[11] Lindqvist P. On equation div(|Vu|p 2Vu - Л|и|р 2u — 0)/P. Lindqvist // Proceeding of the American Mathematical Society—1990 —109—1—P. 157-164.

[12] Murat F., Compacité par compensation/ F. Murat // Ann. Scuola norm, super. Pisa, CI. Sei. Fis, Mat.- 1978. - 5:3-P.89-107.

[13] Zhikov V.V. Lavrentiev Phenomenon and Homogenization for Some Variational Problems/ V.V. Zhikov // Proc.Second Workshop "Composite Media and Homogenization Theory I.C. Th.Ph.TVieste— 1993.

[14] Zhikov V.V. On Lavrentiev Phenomenon / V.V. Zhikov // Russian Journal of Math. Physics - 1995 - 3- 2-P. 249-269.

[15] Жиков B.B. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер.матем,- 1983.-47:5,— С. 961-998.

[16] Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости/ В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем-1986.-50:4 -С. 675-710.

[17] Жиков В.В. Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач/ В.В. Жиков // Дифференциальные уравнения.— 1991.— т,27— N1,— С.42—50.

[18] Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах/ В.В. Жиков // Мат. сборник - 1992.- т.183- N8-C.47-84.

[19[ Жиков В.В. Усреднение дифференциальных операторов/ В.В.Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник - М: физ.-мат. лит., 1994.

[20] Жиков В.В. Об эффекте Лаврентьева / В.В. Жиков // Доклады РАН. - 1995,— 345:1.—С.10-14.

[21] Жиков В.В. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях /В.В. Жиков // Функциональный анализ и его приложения. — 2009.—43—2—С. 1938,

[22] Жиков В.В. Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач/ В.В. Жиков // Проблемы мат.анализа— 2011.—вып.54— С.23-112.

[23] Жиков B.B. О вариационных задачах и нелинейных уравнениях с нестандартными условиями роста/В,В. Жиков // Проблемы мат. анализа.— 2011. — 54.— С.23-112.

[24] Жиков В.В. О повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений с переменным порядком нелинейности / В.В. Жиков , С.Е. Пастухова // Мат, сборник. — 2008. — 199 — 12 — с.19-52.

[25] Жиков В.В. О принципе компенсированной компактности /В.В. Жиков, С.Е.Пастухова // Докл. РАН. - 2010. - 433 - 5 - с.590-595.

[26] Жиков В.В, О Гамма-сходимости осциллирующих интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивости и роста/ В.В. Жиков, С.Е.Пастухова // Мат. сборник. — 2013. в печати

[27] Жиков В.В. О Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитвности и роста/ В.В. Жиков, С.Е. Пастухова // Проблемы математического анализа. — 2013. —74 — в печати

[28] Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач/ А.Д. Иоффе, В.М.Тихомиров. — М;Наука, 1974.

[29] Куратовский Л. Топология/Л. Куратовский. - Т.1, М: Мир, 1966.

[30] Хрипунова A.C. Некоторые варианты принципа компенсированной компактности/ С.Е. Пастухова , A.C. Хрипунова // Мат.сборник.—2011—202:9—с.135-160.

[31] Хрипунова A.C. О Гамма-компактности одного класса интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста/ С.Е. Пастухова, A.C. Хрипунова // Проблемы математического анализа,— 2013,— 74— с.б

[32] Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. - М: Мир, 1979.