Геометрические свойства банаховых пространств и их слабо выпуклых подмножеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Иванов, Григорий Михайлович

• Иванов, Григорий Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Григорий Михайлович

Оглавление

Введение

Глава 1. Свойства единичного шара

1.1. Некоторые определения и обозначения

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. О минимальной константе Липшица метрической проекции на гиперплоскость

1.4. Модули опорной выпуклости и гладкости

Глава 2. Уклонение выпуклой оболочки

2.1. Оценки сверху на УВО-модуль в различных пространствах

2.2. Критерий гильбертовости в терминах УВО-модуля

Глава 3. Некоторые геометрические свойства банаховых пространств

3.1. Теорема об усреднении

3.2. Полунепрерывность сверху опорного отображения

Глава 4. Слабо выпуклые множества и их свойства

4.1. Основные определения

4.2. О взаимосвязи Р-опорного и ЛГ-опорного условий слабой выпуклости

4.3. О взаимосвязи условий Р-опорной слабой выпуклости и слабой выпуклости

по Виалю

4.4. Модуль невыпуклости слабо выпуклых множеств

4.5. Регулярность слабо выпуклых множеств

4.6. О стягиваемости слабо выпуклых множеств

4.7. Монотонность нормального конуса

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические свойства банаховых пространств и их слабо выпуклых подмножеств»

Введение

Актуальность темы и степень ее разработаннности. Единичная сфера банахова пространства полностью определяет все его свойства, однако, является трудно обозримым объектом. Поэтому многих исследователей привлекал поиск просто вычисляемых и наглядных числовых характеристик сферы, которые, естественно, уже не несут исчерпывающей информации о пространстве, но связаны с отдельными его свойствами. К таким характеристикам относятся в первую очередь модуль выпуклости Кларксона и модуль гладкости Дэя.

В настоящее время имеется множество различных констант и характеристик банаховых пространств, связанных с их свойствами. Здесь можно упомянуть модули выпуклости Мильмана, модуль невыпуклости Банаша, модули Шмульяна, модуль Бердышева; константы Гротендика, Юнга, фон Неймана; коэффициент Джеймса, коэффициент нормальной структуры и множество других.

Важной характеристикой банахова пространства является отклонение единичной сферы от опорной гиперплоскости. В частности, при исследовании свойств гипомонотон-ности (монотонности в некотором ослабленном смысле) нормального конуса к единичному шару требуется исследовать асимптотику верхней и нижней оценок указанного отклонения. С этой целью в диссертации вводятся понятия и развивается техника использования модулей опорной выпуклости и опорной гладкости. Выбор названий для этих новых модулей мотивирован тем, что модуль опорной выпуклости (гладкости) эквивалентен в нуле модулю выпуклости (гладкости) банахова пространства.

Начиная с 90-х годов в работах Банаша и его коллег исследуется задача об эквивалентности модуля Банаша и модуля гладкости банахова пространства. При этом был получен ряд оценок на модуль Банаша через модуль гладкости, но эквивалентность не была доказана. Можно отметить, что есть целый ряд модулей, характеризующих гладкость банахова пространства, эквивалентных в нуле модулю гладкости, и аналогичный ряд модулей, эквивалентных в нуле модулю Банаша. Используя введенное понятие модуля опорной выпуклости, в диссертации показывается, что модуль Банаша и модуль гладкости эквивалентны в нуле.

Мерой невыпуклости а(О) множества И называется супремум расстояний от точек выпуклой оболочки множества £> до исходного множества. К настоящему времени

получен ряд результатов, в которых мера невыпуклости множества оценивается через его диаметр в различных банаховых пространствах. Многие интересные результаты были получены в работах Н.М. Гулевича, например, точная оценка сверху на меру невыпуклости множества в лебеговых пространствах.

Теорема I. Для любого ограниченного множества А бесконечномерного пространства И? = 1 < р ^ оо, справедливо неравенство

При этом оценка (1) является точной.

При решении различных задач слабо выпуклого анализа и нелинейного анализа возникает естественная задача исследования пересечения определенного множества с шаром. В частности, интересен вопрос о мере невыпуклости такого множества. Во второй главе диссертации исследуется УВО-модуль банахова пространства X, т.е. максимальная мера невыпуклости множеств, содержащихся в единичном шаре. Например, Г.Е. Иванов, фактически исследовав меру невыпуклости слабо выпуклых по Виалю множеств, получил достаточное условие непрерывного селектора для отображения со слабо выпуклыми по Виалю значениями (определения различных классов слабо выпуклых множеств будут даны ниже). Этим и вызван интерес к исследованию свойств УВО-модуля в банаховых пространствах.

В первом параграфе второй главы получен ряд оценок сверху на УВО-модуль в различных пространствах. В том числе получены оценки УВО-модулей лебеговых простраств более точные, чем оценки (1). Кроме того, получена точная оценка сверху УВО-модуля конечномерного нормированного пространства в зависимости от его размерности.

В настоящий момент известны десятки критериев гильбертовости банахова пространства (см. [3]). Они дают различные характеристики эллипсоидов в классе всех выпуклых замкнутых центрально-симметричных поверхностей в многомерных пространствах. Во втором параграфе второй главы получены критерий гильбертовости банахова пространства в терминах УВО-модуля.

При вычислениях часто приближают выпуклое множество с помощью суммы Мин-ковского некоторого сеточного множества и шара необходимого радиуса, причем полученная сумма должна покрывать исходное множество. Для корректной работы некоторых

, где

1 < р < оо,

(1)

алгоритмов важно, чтобы полученное таким образом приближение было односвязным или стягиваемым (см. [9]).

В диссертации доказывается, что при описанном выше приближении выпуклого множества в произвольном трехмерном нормированном пространстве гарантировать стягиваемость этого приближения можно только в евклидовом случае (конечно, если не налагать дополнительных свойств или ограничений на выбор сеточного множества и радиуса шара).

В связи с этим результатом стоит отметить, что возникает круг задач о характе-ризации «плотности» упаковки шаров, гарантирующей стягиваемость их объединения в различных нормированных пространствах.

В работах Е.С. Половинкина первоначально доказана нижеследующая теорема об усреднении для множеств из пространства R", и показано, что из нее можно получить необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана от невыпуклознач-ного многозначного отображения отрезка в конечномерное евклидово пространство R", а также выпуклость значения этого интеграла.

Пусть {Ak}kLi - последовательность замкнутых множеств из банахова пространства X, содержащихся в некотором ограниченном подмножестве пространства X. Совокупность всех точек х € X, для каждой из которых найдется последовательность

Хк G Ah такая, что х = lim х\ь, называется нижним пределом последователь-

к—>00

ности и обозначается liminf Л*.

Теорема II. Пусть Арк,к € N,p Gl,/: - двухпараметрическое семейство замкнутых

множеств, лежащих в ограниченном множестве G из евклидова пространства Rn.

к

Определим последовательность множеств Dk== Avk. Тогда предельное множество

p=i

liminf Dk является замкнутым выпуклым множеством.

к-*оо

Позже Е.С. Половинкиным было доказано, что теорема об усреднении справедлива для множеств из гильбертова пространства, но этот результат не был опубликован. В первом параграфе третьей главы диссертации доказывается, что теорема об усреднении верна в суперрефлексивных пространствах.

Важную часть в геометрии банаховых пространств занимает исследование свойств опорного отображения единичной сферы, т.е. отображения, сопоставляющего единичному вектору все единичные функционалы, достигающие своей нормы на этом векторе. Изучению различных свойств непрерывности опорного отображения посвящены работы B.JI.

Шмульяна, М.И. Кадеца, Е. Асплунда и других авторов. Основным результатом второго параграфа третей главы является критерий е-полунепрерывности опорного отображения в рефлексивных пространствах.

Разнообразие приложений выпуклого анализа привело к обобщению понятия выпуклости. Весьма эффективными оказались классы параметрически выпуклых множеств, т.е. классы, характеризующиеся некоторым параметром, определяющим, насколько множество слабо или сильно выпукло. Так, Ж.-Ф. Виаль заменил в определении выпуклого множества отрезок на сильно выпуклый отрезок с константой R, где под сильно выпуклым отрезком с константой R понимается пересечение всех замкнутых шаров радиуса R, содержащих две данные точки - концы сильно выпуклого отрезка. Множество называется слабо выпуклым по Виалю с константой R, если для любых двух точек из множества, находящихся на расстоянии не более 2R друг от друга, сильно выпуклый отрезок с константой R и концами в этих точках имеет со множеством общую точку, отличную от двух точек, выбранных в качестве концов. Похожее определение слабо выпуклых множеств давалось Г.Ю. Решетняком для множеств с С^-гладкой границей из Rn. Н.В. Ефимовым и С.Б. Стечкиным рассматривался достаточно близкий к слабо выпуклым по Виалю класс а-выпуклых множеств.

Исследованию свойств слабо выпуклых в смысле Виаля множеств в гильбертовом пространстве посвящена монография Г.Е. Иванова [12]. В частности, в ней получена связь гладкости границы выпуклого множества с его слабой выпуклостью, что позволяет исследовать гладкие объекты методами слабо выпуклого анализа. Кроме того, на основе свойств слабо выпуклых множеств Г.Е. Ивановым получены достаточные условия существования седловой точки в некотором классе линейных дифференциальных игр.

В настоящий момент известно множество эквивалентных определений слабо выпуклых множеств в гильбертовом пространстве, удобных в различных прикладных задачах. Отметим лишь определение проксимально гладкого множества с константой R, данное в работах Ф. Кларка и Р.Т. Рокафеллара для случая гильбертова пространства. Проксимально гладким множеством с константой R называется такое множество, что функция расстояния до него непрерывно дифференцируема в открытой Я-окрестности множества. Было показано, что в гильбертовом пространстве классы слабо выпуклых о Виалю множеств и проксимально гладких множеств с константой R совпадают. С использованием проксимально гладких множеств был получен ряд новых и важных результатов в опти-

мизации и в вариационном исчислении.

В последние десятилетия интенсивно исследуются различные классы слабо выпуклых множеств в банаховых пространствах, как правило равномерно выпуклых и равномерно гладких. В исследованиях этого направления возникают новые проблемы, которые условно можно разбить на две группы. Первый ряд проблем связан с тем, что при обобщении на банаховы пространства различных определений слабо выпуклых множеств, эквивалентных в гильбертовом пространстве, вообще говоря, получаются не равные классы множеств. Естественным образом возникают вопросы о взаимосвязи тех или иных определений в произвольном банаховом пространстве, а также достаточных условий на банахово пространство для их совпадения. Исследования взаимосвязи различных описаний слабо выпуклых множеств можно найти в работах Г.Е. Иванова, М.В. Балашова, Л. Тибо, П. Воленски и др. Второй ряд вопросов связан с обобщениями (необходимыми в приложениях) метрических соотношений и различных свойств слабо выпуклых множеств на случай банаховых пространств. В четвертой главе представлены результаты, касающиеся обоих, упомянутых выше, направлений исследований.

Цель работы:

- исследование количественных характеристик единичного шара банахова пространства, связанных с понятиями выпуклости и гладкости;

- получение критериев гильбертовости банахова пространства в терминах введенных характеристик единичного шара, а также свойства стягиваемости набора шаров;

- изучение взаимосвязи и свойств различных классов слабо выпуклых множеств в банаховых пространствах.

Методы исследования. В работе используются различные методы функционального анализа, геометрии банаховых пространств и топологии.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Введены понятия модулей опорной выпуклости и гладкости банахова пространства. Исследованы их основные свойства, доказана их эквивалентность в нуле модулю выпуклости и гладкости соответственно. Доказана эквивалентность в нуле модуля Банаша и модуля гладкости пространства.

2. Произведены оценки УВО-модуля пространства, характеризующего максимальную меру невыпуклости множества из единичного шара. Получены точные оценки УВО-модуля конечномерного нормированного пространства в зависимости от размерности

пространства.

3. Получен критерий гильбертовости пространства в терминах УВО-модуля. Показано, что трехмерное банахово пространство является евклидовым тогда и только тогда, когда в нем всякий набор шаров одинакового радиуса, покрывающий выпуклую оболочку своих центров, является стягиваемым.

4. Доказана теорема об усреднении множеств для случая суперрефлексивных пространств.

5. Исследованы взаимосвязи различных классов слабо выпуклых множеств в банаховых пространствах.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в геометрии банаховых пространств, теории экстремальных задач, теории дифференциальных включений и нелинейном анализе.

Достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов и выводов подтверждена:

- обсуждением результатов исследования на российских и международных научных конференциях;

- обсуждением результатов исследования на различных научных семинарах;

- публикациями результатов исследования в рецензируемых научных изданиях, в том числе рекомендованных ВАК РФ.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, в разное время докладывались и обсуждались на

• 54-й научной конференции МФТИ - Всероссийской научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе», Москва - Долгопрудный, 2011.

• 56-й научной конференции МФТИ - Всероссийской научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе», Москва - Долгопрудный, 2013.

• научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ, Москва - Долгопрудный, 2010 - 2014.

• научном семинаре «Теория функций» кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ, Москва, 2014.

• научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в математическом институте им. В.А. Стеклова, Москва, 2014.

• научно-реферативном семинаре «Функциональный анализ» на кафедре математического анализа и теории функции РУДН, Москва, 2014.

• научном семинаре «Геометрическая теория приближений» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, Москва, 2014.

• IV Международной школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи», Иркутск, 2014.

• Школе-конференции С.Б.Стечкина по теории функций и теории аппроксимаций и их приложениям, Миасс, 2014.

Основные результаты работы опубликованы в [13] - [20], в том числе три -[14],[19],[20] в изданиях, входящих в список ВАК.

Работа состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Результаты, доказанные автором, нумеруются арабскими цифрами; леммы и теоремы, взятые из других источников, нумеруются римскими цифрами.

В заключение я хочу выразить искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Г.Е. Иванову за всестороннюю поддержку, терпение и помощь в оформлении всех результатов работы. Автор признателен Е.С. Половинкину, Р.Н. Ка-расеву, А.И.Гарберу и B.J1. Дольникову за обсуждения результатов и ряд поставленных вопросов. Я также хочу поблагодарить коллектив кафедры высшей математики МФТИ за доброжелательную для научного творчества атмосферу.

Глава 1

Свойства единичного шара

1.1. Некоторые определения и обозначения

Пусть X - нормированное пространство. Через о будем обозначать нулевой элемент пространства X. Через int Л, Л и дА будем обозначать соответственно внутренность, замыкание и границу множества А С X. Через (р,х) обозначим значение функционала р € X* на векторе х е X. Для вектора а е X и функционала ро € X* через 55д(а) и ®л(Ро) обозначим шары с радиусом R в пространствах X, X* соответственно:

Шд(а)={х eX:\\x-a\\^R}, ЯЗдЫЧр G : ||р -р0|КЩ •

Определение 1.1.1. Расстоянием от точки х е X до множества А С X называется величина

р(х,А) = inf ||а-х||.

Определение 1.1.2. Метрической проекцией точки х е X на множество Ас X называется любой элемент множества

РА(х) = {а € А : ||а - х|| = р(х, А)}.

Для доказательства многих утверждений работы используются различные свойства банаховых пространств, которые верны только в пространствах определенного типа. Перечислим ключевые типы и характеристики банаховых пространств, используемые в работе.

Определение 1.1.3. Модулем выпуклости нормированного пространства X называется функция 8х : [0,2] -> R, определяемая формулой

5x(£)=infjl-fc^i: х,уе^(о), \\х-у\\>е}.

Нормированное пространство X называется равномерно выпуклым, если 5х(е) > 0 для любого е Е (0,2].

Известно, что наиболее выпуклым пространством является гильбертово пространство (теорема Дея-Нордлендера ([11] Гл.З, §3)), а именно, для любого банахова пространства X и любого гильбертова пространства Я верны соотношения

8х(е) < Ые) = 1 " \А~ f Ve G t0'2) W e 1°.4- O-1)

Определение 1.1.4. Модулем гладкости нормированного пространства X называется функция рх : [0, +оо) —>• R, определяемая формулой

Нормированное пространство X называется равномерно гладким, если

lim ем = 0. т-*+о г

Известно, что самым гладким пространством является гильбертово пространство, а именно, для любого банахова пространства X и любого гильбертова пространства Я верны соотношения

л/ГТТ2 - 1 = рн(т) ^рх(т) Vr^O. (1.2)

Функция рх(•) - выпуклая, строго возрастающая и рх(0) = 0 для любого банахова пространства X, а значит, и функция т ^^ - возрастающая (см. [11], §4, гл.З).

В силу строгой монотонности модуля гладкости пространства X, для функции рх{-) существует обратная к ней функция РхЧ')» причем в случае, когда пространство X является равномерно гладким, очевидно справедливы выражения

. lim Г. . = 0, lim р~х (т) = 0. (1.3)

т-у+О Рх(т) т—*+0 V ' '

Известно, что в произвольном б.п. X справедливы следующие неравенства ([11] Гл.З, §4, Лемма 1.):

2<limsup^^ ^4. (1.4)

Т-* 0 Рх[Т)

Известно, что банаховы пространства £р, Lp и W£ (1 < р < +оо) являютя одновременно равномерно выпуклыми и равномерно гладкими [57].

Чтобы не вводить дополнительных определений, мы будем говорить, что банахово пространство X суперрефлексивно, если оно имеет эквивалентную равномерно выпуклую норму. Согласно работе П. Энфло [47], это определение эквивалентно общепринятому, нам оно необходимо лишь для обозначения соответствующего класса пространств.

Замечание 1.1.1. Известно, что следующие условия эквивалентны (см., например, примечание к главе 3 в монографии [11]):

1. X суперрефлексивно;

2. X имеет эквивалентную равномерно гладкую норму;

3. X имеет эквивалентную равномерно гладкую и равномерно выпуклую норму.

Определение 1.1.5. Функция / : X —> R называется дифференцируемой по Фреше в точке хо £ X, если существует функционал р £ X*, называемый производной Фреше функции / в точке х0, удовлетворяющий условию

Ve>0 3 5>0: Vx€©5(x0) |/(®) - /Ы - (р,® - х0)Ке \\х - х0|| -

Определение 1.1.6. Будем говорить, что норма пространства X дифференцируема по Фреше, если она дифференцируема по Фреше в каждой точке х0 £ дЪ\(о).

Определение 1.1.7. Будем говорить, что пространство X* слабо* кадецово, если из слабой* сходимости последовательности {ж*} С <903J(о) к элементу х* £ дЪ\(о) следует, что х^ —У х* в сильной топологии.

Определение 1.1.8. Банахово пространство X называется локально равномерно выпуклым, если для любых его элемента х и последовательности {хп}^ из равенств INI = 1Ы = Hm Цат + х„|| = 2 следует, что lim \\х — хп|| = 0.

п—>оо n—t оо

Известно, что любое равномерно выпуклое пространство является локально равномерно выпуклым. Также очень важным для нас результатом является следующая лемма о множестве точек существования [55].

Лемма I. Пусть А - замкнутое множество в локально равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда множество Т{А) точек и £ X, для которых множество Pa(u) состоит ровно из одного элемента, всюду плотно в X.

Определение 1.1.9. Будем говорить, что функционал р £ X* является двойственным вектору х £ X, а вектор х будем называть двойственным функционалу р, если (р,х) = ||р|| • ||х||. Множество всех функционалов, двойственных вектору х, будем обозначать через J(x). Обозначим Ji(x) = J(x) П дЪ\(р).

В силу теоремы Хана-Банаха [29, теорема 3.2] J\(x) ф 0 для любого х £ X. Заметим, что для рефлексивного банахова пространства для любого функционала р £ X* существует двойственный ему ненулевой вектор из X. Известно, что если норма пространства X дифференцируема по Фреше в точке х0 £ X, то производная Фреше в точке х0 нормы является единственным элементом множества Ji(xo).

Всякое равномерно гладкое пространство является пространством с дифференцируемой по Фреше нормой. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово пространство рефлексивно (см. [11], §2, §4 главы 2).

I

Будем говорить, что вектор у G X квазиперпендикулярен вектору х G X \ {о} и писать упх, если существует функционал р е Ji(x) такой, что (р,у) = 0. Отметим, что вектор у квазиперпендикулярен х тогда и только тогда, когда произвольной константы Л € R вектор х + Ху лежит в опорной гиперплоскости в точке х к шару 93^ц (о), что, в свою очередь, равносильно неравенству ||х + Лу|| ^ ||х|| для произвольного скаляра Л. В частности, квазиперпендикулярность вектора у вектору х равносильна ортогональности по Р. Джеймсу вектора х вектору у ([11], Гл. 2, §1).

Для удобства геометрических построений длину отрезка с концами в точках a,b е X мы будем обозначать ||аЬ|| (т.е. ||аЬ|| = ||а — Ь||).

Определение 1.1.10. Будем говорить, что две неотрицательные функции /|, /2 эквивалентны в нуле, если существуют £q > 0 и константы ci,c2 такие, что 0 < с\ < с2 и Ve € (0,со) справедливы неравенства cififae) < /2(е) < сг/^сге). Эквивалентность в нуле функций /ь/г будем обозначать, как fi(x) х /2(х) при х —У 0.

Определение 1.1.11. Обратной к нестрого возрастающей функции / : [а, Ь] —»• R, будем называть функцию /-1(f) = sup{ar е [а, Ь]| /(х) ^ t), t G [/(а),/(&)]•

Заметим, что в случае, если функция / непрерывна, то /(/-1(£)) = t для любого t е [f(a)j(b)\.

1.2. Вспомогательные результаты

Лемма 1.2.1. Если множество 93i(o) \int93r(oi) не пусто, то оно линейно связно. Доказательство.

Будем предполагать, что о ф oi, иначе доказываемое утверждение тривиально. Пусть z -точка на сфере (о) такая, что о G [z, 0\). Из неравенства треугольника следует, что если множество 93i(o)\int93r(oi) не пусто, то оно содержит точку z. Покажем, что множество 593i(o)\int93r(oi) линейно связно, откуда следует утверждение леммы. Для этого достаточно показать, что в двумерном случае любая точка множества S = 393i(o)\int®r(ox) связана с точкой z. Предположим противное: существует точка d. G S, линейно не связанная с точкой z. Отсюда следует, что на обеих дугах dz единичной окружности 993i(o)

найдутся точки принадлежащие т193г(с>1). Из неравенства треугольника следует, что точка в, не лежит на прямой оо\. Тогда на единичной окружности дЪ\(о) существуют точки 01,61 такие, что они лежат сйв одной полуплоскости, ограниченной прямой 001, принадлежат окружностям д^Вг(01), 8^81(0) и на дуге 0161 окружности <9251(0) найдется точка с\ такая, что ЦС1О1Ц < г. Из точки о проведем лучи, сонаправленные лучам 0^1, 01&1 соответственно. Пусть они пересекают единичную окружность 5*81(0) в точках а, Ъ соответственно. Из подобия шаров 231(0), 93г(с?1) следует, что а161 || об. Из того, что точки 0,6,01,61 лежат по одну сторону от прямой оох и оаПо^! = 0,06П0161 = 0 и выпуклости единичного шара следует, что отрезки 06,0161 лежат на одной прямой, откуда ЦС1О1Ц = г.

Противоречие. □

Из этой леммы нетрудно получить следующее элементарное, но важное в изложении наблюдение.

Лемма 1.2.2. Пусть Х2 - двумерное нормированное пространство. Пусть заданы, точки а,Ь,с,й Е дЪ\(о), отрезки аЪ и ей пресекаются в точке х. Тогда справедливо неравенство

пип{||сх||, \\xdW} ^ тах{||ох||, ||х6||}.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда тт{||сх||, ||х^||} > тах{||ох||, ||х6||} + е = г для некоторого е > 0. Следовательно точки с,с1 множества ЯЗх(о) \ ш!;Шг(х) нельзя соединить непрерывной кривой, лежащей в этом множестве, так как отрезок об лежит в множестве т!;Шг(х) и при этом разделяет единичный круг на два множества, не связанных между

собой. Получили противоречие с леммой 1.2.1. □

Замечание 1.2.1. Из доказательства лемм 1.2.1 и 1.2.2 тривиально следует, что в строго выпуклом двумерном пространстве Х2 любые две несовпадающие окружности пересекаются не более, чем по двум точкам.

Лемма 1.2.3. Пусть х,у Е X, х ф 0, р Е «Л(х). Тогда

II® + у|| < Ы + (р, у) + 2 N1 • (1.5)

Доказательство.

Из определения модуля гладкости следует, что

домножая на 2 ||х|| и преобразуя, получим следующую цепочку неравенств:

И* + у|| ^ 2 НхИ - \\х -у\\+2 ||х|| рх(М) <

2 ||х|| + (р, у - х) + 2 ||х|| Р*( jjfj|) = INI + <р, У) + 2 ||х|| РХ(М)

□

Лемма 1.2.4. Пусть X - нормированное пространство, р Е дЩ(о), xi,x2 6 Шх(о). Тогда

Доказательство.

По определению модуля выпуклости ЦХ1 + Х2Ц ^ 2(1 — $х(||х1 — х2||)). Следовательно,

28х(\\х! - х2||) ^ 2 - ||хх + х2|К 2 - (р, XI + х2). □

Лемма 1.2.5. Пусть дан вектор хо € дЪд(о) в равномерно выпуклом банаховом пространстве X, р0 - единичный функционал двойственный вектору —х0. Тогда для любого вектора г € нй93д(о) справедливо неравенство

Доказательство.

Так как z внутренняя точка, то {po,z — х0) > 0. Из соображений подобия достаточно рассмотреть случай R = 1. Введем некоторые обозначения, пусть у = г = 1—||у|| > 0, z0 - пересечние луча х0 + t(z — х0), t > 0 с единичной сферой.

Из неравенства треугольника тривиально следует, что 93г(у) С ®i(o). Отсюда получаем, что (po,z — х0) = 2{р0,у — хо) ^ 2г. Несложно понять, что в плоскости oxqz существуют единичные векторы а и Ь такие, что ^ = у. По построению ||хо — у|| = ||у — z\\ < \\у — zQ\\. Тогда из леммы 1.2.2 и замечания 1.2.1 следует, что

25х(\\х1 - х2||) < 2 - (р, X! + х2>.

(1.6)

ll^ll > ||x0 —y||. Из определения модуля выпуклости и его строгого возрастания получаем, что г ^ ¿х(||а - Ь||) > 5x(\\z - х0||) • □

Через ®i(o) обозначим сечение единичного шара гиперплоскостью Нр — {х е Х\ (р,х) = 0}, т.е. множество ©i(o) П Нр. Через 23i(a) обозначим транс-лят множества ©i(o) с центром в точке а, т.е. множество ®i(o) + оа.

Лемма 1.2.6. Зафиксируем точку х на единичной сфере, функционал р € Ji(ox), точку z е Пусть точка у такая, что отрезок yz параллелен отрезку ох и пересекает

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Григорий Михайлович, 2014 год

Список литературы

1. Агаджанов А. Н. О равномерной выпуклости и гладкости пространств Соболева бесконечного порядка // Доклады Академии наук. 2007. Т. 75, № 2. С. 279-282.

2. Бердышев В. И. Связь между неравенством Джексона и одной геометрической задачей // Математические заметки. 1968. Т. 3, № 3. С. 327-338.

3. Бородин П. А., Тихомиров В. М. Критерии гильбертовости банахова пространства, связанные с теорией приближений // Матем. проев. 1999. Т. 3. С. 189-207.

4. Гаркави А. Л. О чебышёвском центре и выпуклой оболочке множества // УМН. 1964. Т. 19, № 6. С. 139-145.

5. Гулевич Н. М. Оценка отклонения неподвижных точек от невыпуклых множеств // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. Т. 122. С. 13-16.

6. Гулевич Н. М. Мера невыпуклости и константа Юнга // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1993. Т. 208. С. 174-181.

7. Гулевич Н. М. Оценка удаленности множества неподвижных точек // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1993. Т. 208. С. 182-185.

8. Гулевич Н. М., Гулевич О. Н. Оценка меры невыпуклости в пространстве У // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2001. Т. 280. С. 141-145.

9. Двуреченский П. Е., Иванов Г. Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. С. 224-255.

10. Дей М. М. Нормированные линейные пространства. ИЛ, 1961.

11. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. Вища школа, 1980.

12. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. Физмат-лит, 2006. С. 352.

13. Иванов Г. Е., Иванов Г. М. Опорные условия и регулярность множеств в банаховых пространствах / Фундаментальные и прикладные проблемы современной математики: сб. науч. трудов / МФТИ. - М., 2011. - С. 77-102.

14. Иванов Г. Е., Иванов Г. М. Взаимосвязь опорных условий слабой выпуклости для множеств в банаховых пространствах // Труды МФТИ. 2011. Т. 3, № 1. С. 70-73.

15. Иванов Г. М. О взаимосвязи проксимальной гладкости множества и Ф-гипомоно-тонности его нормального конуса. // Тезисы IV Международной школы-семинара

«Нелинейный анализ и экстремальные задачи» / Иркутск: РИО ИДТСУ СО РАН, 2014. - С. 23-25.

16. Иванов Г. М. О полунепрерывности сверху опорного отображения / Фундаментальные и прикладные проблемы современной математики: сб. науч. трудов / МФТИ. -М., 2011. - С. 103-112.

17. Иванов Г. М. Уклонение выпуклой оболочки множества. // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе - Т.1: Труды 1ЛУ научной конференции. / МФТИ. - М. - Долгопрудный, 2011. - С. 31-32.

18. Иванов Г. М. Уклонение выпуклой оболочки множества. // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - Казань, 2011. - Т.43, - С. 155-157.

19. Иванов Г. М. Уклонение выпуклой оболочки ограниченных множеств // Труды МФТИ. 2012. Т. 92, № 3. С. 105-112.

20. Иванов Г. М., Половинкин Е. С. Одно обобщение теоремы об усреднении множеств // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 3. С. 410-416.

21. Кадец М. Б., М. И. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи Мат. Наук. 1973. Т. 28, № 6. С. 77-94.

22. Кадец М. И. Геометрия нормированных пространств // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1975. Т. 13. С. 99-127.

23. Кадец М. И., Снобар М. Г. О некоторых функционалах на компакте Минковского // Математические заметки. 1971. Т. 10, № 4. С. 453-458.

24. Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу: учебник. Спб.: БХВ-Петербург, 2011. С. 688.

25. Половинкин Е. С. Элементы теории многозначных отображений. Изд-во МФТИ, 1982.

26. Половинкин Е. С. Об интегрировании многозначных отображений // Докл. АН СССР. 1983. Т. 271, № 5. С. 1069-1074.

27. Половинкин Е. С. Интегрирование по Риману многозначных отображений // Труды МФТИ. 2011. Т. 3, № 1(9). С. 117-126.

28. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. Физматлит, 2007.

29. Рудин У. Функциональный анализ. Мир, 1975.

30. Стечкин С. Б. Избранные труды. Математика. НАУКА-Физматлит, 1998. С. 270-281. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах.

31. Alexandroff P. Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung // Mathematische Annalen. 1928. Vol. 98. P. 617-635.

32. Balashov M. V., Ivanov G. E. Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces // Izv. RAN. Ser. Mat. 2009. Vol. 73, no. 3. P. 23-66.

33. Balashov M. V., Repovs D. Weakly convex sets and modulus of nonconvexity // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2010. Vol. 371. P. 113-127.

34. Banas J. On moduli of smoothness of Banach spaces // Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 1986. Vol. 34. P. 287-293.

35. Banas J., Fraczek K. Deformation of Banach spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1993. Vol. 34. P. 47-53.

36. Banas J., Hajnosz A., Wedrychowicz S. On convexity and smoothness of Banach space // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae. 1990. Vol. 31, no. 3. P. 445-452.

37. Banas J., Rzepka B. Functions related to convexity and smoothness of normed spaces // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1997. Vol. 46, no. 3. P. 395-424.

38. Baronti M., Papini P. Convexity, smoothness and moduli // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2009. Vol. 70, no. 6. P. 2457-2465.

39. Bernard F., Thibault L., Zlateva N. Characterizations of prox-regular sets in uniformly convex Banach spaces // J. Convex Anal. 2006. Vol. 13. P. 525-559.

40. Bernard F., Thibault L., Zlateva N. Prox-regular sets and epigraphs in uniformly convex Banach spaces: Various regularities and other properties // Trans. Amer. Math. Soc. 2011. Vol. 363. P. 2211-2247.

41. Borwein J., Fabian M. A note on regularity of sets and of distance functions in Banach space // J. Math. Anal. Appl. 1994. Vol. 182, no. 2. P. 566-570.

42. Borwein J. M., Fitzpatrick S. Mosco convergence and the Kadec property // Journal of the American mathematical society. 1989. Vol. 106. P. 843-851.

43. Borwein J. M., Vanderwerff J. D. Convex Functions: Constructions, Characterizations and Counterexamples (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). Cambridge University Press, 2010. P. 521.

44. Clarke F. Optimization and NonsmoothAnalysis / Ed. by N. York. Wiley, 1983.

45. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower-C2 Property // J. Convex Analysis. 1995. Vol. 2, no. 1. P. 117-144.

46. Eisenfeld J., Lakshmikantham V. On a measure of nonconvexity and applications // Yokohama Math J. 1976. Vol. 24. P. 133-140.

47. Enflo P. Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm // Isr. J. Math. 1972. Vol. 13. P. 281-288.

48. Fenchel W. Über Krümmung and Windung geshlossener Raumkurven // Math. Ann. 1929. Vol. 101. P. 589-593.

49. Figiel T. On the moduli of convexity and smoothness // Studia Math. 1976. Vol. 56, no. 2. P. 121-155.

50. Gruber P. M. Convex and Discrete Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2007. P. 578.

51. Guirao A., Hajek P. On the moduli of convexity // Proceedings of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 135, no. 10. P. 3233-3240.

52. Guirao A. J., Ivanov M., Lajara S. On moduli of smoothness and squareness // Journal of Convex Analysis. 2010. Vol. 17. P. 441-449.

53. Jourani A. Subdifferentiability and subdifferential monotonicity of 7-paraconvex functions. // Control and Cybernetics. 1996. Vol. 25. P. 721-737.

54. Kakutani S. Some characterisations of Euclidian spaces // Japan Journ. Math. 1939. Vol. 16. P. 93-97.

55. Lau K. S. Almost Chebyshev subsets in reflexive Banach spaces // Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol. 27. P. 791-795.

56. Leichtweiss K. Zwei Extremalprobleme der Minkowski-Geometrie // Mathematische Zeitschrift. 1955. Vol. 62, no. 1. P. 37-49.

57. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II. Springer-Verlag, 1979.

58. Marrero I. Weak compactness and the Eisenfeld-Lakshmikantham measure of nonconvexity // Fixed Point Theory and Applications. 2012. Vol. 201. P. 2-5.

59. Martinön A. A note on measures of nonconvexity // Nonlinear Analysis. 2010. Vol. 72. P. 3108-3111.

60. Pichugov S. A. On separability os sets by hyperplanes in Lp // Analysis Mathematica. 1991. Vol. 17, no. 1. P. 21-33.

61. Pichugov S. A., Ivanov V. I. Jung constants of the -spaces // Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1990. Vol. 48, no. 4. P. 997-1004.

62. Poliquin R., Rockafellar R. Prox-regular functions in variational analysis // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 368. P. 1805-1838.

63. Polovinkin E. S. Riemannian Integral of Set-Valued Function // Lecture Notes in Computer Sience. 1975. Vol. 27. P. 405-418.

64. Rolewicz S. On 7(-)-monotone multifunction and differentiability of a-paraconvex functions // Stud. Math. 1999. Vol. 133. P. 29-37.

65. Rolewicz S. On «(-)-paraconvex and strongly a(-)-paraconvex functions. // Control and Cybernetics. 2000. Vol. 29. P. 367-377.

66. Rolewicz S. On the coincidence of some subdifferentials in the class of a(-)-paraconvex functions. // Optimization. 2001. Vol. 50. P. 353-360.

67. Rolewicz S. Paraconvex analysis // Control and Cybernetics. 2005. Vol. 34, no. 3. P. 951-965.

68. Williams L. R., Wells J. H. Embeddings and Extensions in Analysis. Springer-Verlag, 1975.