Свойства самонормированных сумм случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Жданов, Игорь Игоревич

• Жданов, Игорь Игоревич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Жданов, Игорь Игоревич

Содержание

Введение

1 Слабая компактность самонормированных сумм независимых однотипных случайных величин

1.1 Постановка задачи

1.2 Вспомогательные леммы

1.3 Доказательства утверждении

2 Дополнительные сведения о слабой компактности самонормированных сумм однотипных случайных величин

'Л Слабая компактность самонормированных сумм независимых многотшшых случайных величин

3.1 Постановка задачи

3.2 Вспомогательные леммы

3.3 Доказательства основных утверждений

4 Асимптотическая нормальность самонормированных сумм независимых случайных величин

4.1 Постановка задачи

4/2 Доказаюльства утверждений

5 Закон повторного логарифма для самонормированных сумм независимых случайных величин

5.1 Постановка задачи

5.2 Вспомогательные леммы

5.3 Доказательство 'Iсоромы 5.1

5.4 Доказательство теоремы 5.2

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства самонормированных сумм случайных величин»

Введение

Актуальность темы. Данная работа посвящена исследованию асимптотических свойств самормироианиых сумм независимых случайных величии. Самонормированные суммы естественным обратом появляются при решении ряда ?адач ма¡сматической статистики и теории всрояч поспей. В качестве примера можно указать па классическую статистику Сл ьюдсчпа. в определение которой входи г самонормироваиная сумма, построенная по независимым одинаково распределенным случайным величинам. Систематическое исследование свойств самонормированных сумм началось с выходом статьи Е¡roa { |1|), посвященной исследованию асимптотических свойств статистики Стьюдеита при некоторых нестандартных условиях. С другими примерами и задачами, в которых возникают самонормироваиные суммы, можно ознакомиться но обзорной статье Shao ( [2]).

Одним из дополнительных мотивов исследований асимптотических свойств самонормированных сумм является стремление найти решение проблемы нормирования и центрировании в классических предельных теоремах для сумм независимых случайных величии. Проблема нормирования и центрирования возникла в тридцатые годы прошлого столетия и до сих пор не получила своего окончательного решения. Нормирование суммы случайных величин квадратным корнем из суммы к на дра/i о в слагаемых, как это делается для самонормировапных сумм, частично продвигает решение упомянутой проблемы центрирования и нормирования. Последние три десятилетия ведутся интенсивные исследования самонормировапных сумм независимых случай-пых величии. Для самонормировапных сумм были доказаны несколько вариантов центральной предельной теоремы (ChUtyakowGötze ( (3j). Егоров В.А. ([4]). Маыт, Zinn ([о])), многочисленные варианты закона повторного логарифма ( |(i], }7j, [S|, |9|), найдены необходимые и достаточные условия слабой

компактности ( [10]). Кроме toco были доказать аналоги неравенства Верри-Эесеена ( jllj, 112]), а также неравенства для больших уклонений ( [13j, |14¡). Отметим также статью ( |i5¡) о характеризащш нормального закона с помощью еамонормированных сумм. Во всех перечисленных исследованиях, за исключением упомянутого исследования Егорова В.А., речь идет о еамонормированных суммах, построенных но независимым одинаково распределенным случайным величинам. Аналогичные исследования свойств еамонормированных сумм, построенных но независимым различно распределенным случайным величинам, практически отсутствуют. Причина состоит в том, что нет адекватного малематического аппарата.

Цель работы. В диссертации исследованы асимптотические свойства еамонормированных сумм, построенных по независимым случайным величинам. каждая из которых принадлежит одному из конечного числа типов, что заметно расширяет класс случайных величин, самопормироваиные суммы которых допускают" еетеед венное обобщение результатов, доказанных для еамонормированных сумм, построенных но независимым одинаково распределенным случайным величинам.

Научная новизна. Все основные результаты, доказанные в диссертации, являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказаны необходимые и достаточные условия слабой компактности самонормированных сумм случайных величии, принадлежащих одному тину вероя п юс г но го распределения.

2. Доказаны необходимые и достаточные условия слабой компактности еамонормированных сумм случайных величин, принадлежащих конечному числу типов вероятностных распределений.

3. Доказан аналог центральной предельной теоремы дтя еамонормированных сумм случайных величин, принадлежащих одному типу вероятностного распределения.

4. Доказан усиленный вариант закона повторного логарифма для самонормированных сумм, построенных но независимым одинаково распределенным случайным величинам. Доказаны два обобщения известных

законов повторного логарифма для еамонормированиых сумм, построенных по случайным величинам, принадлежащих конечному числу типов.

Методы исследования. Были привлечены методы классического математического анализа, методы функционального анализа и теории меры. Наиболее широко использовались методы теории вероятностей,случайных процессов и, в частности, теории мартингалов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть применены к решению как практических так и теоретических задач. Доказанные теоремы являются хорошим подспорьем для дальнейших исследований свойств самонормированных сумм, обобщения уже известных свойств па более широкий класс случайных величин. В своем классическом виде теоремы, аналоги которых доказаны в диссертации, нашли широкое применение в частности, к финансовой математике, поэтому можно ожидать, что доказанные аналоги тоже могут быть применены для некоторых практических задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из г-ведения, пяти разделов, заключения и списка используемой литературы, насчитывающего 28 наименований.

Апробация работы и публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи ( [10]. [17|) в журналах, рекомендуемых ВАК. Статьи единолично принадлежат автору диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова, семинаре "Теория риска и смежные вопросы "(руководители: д.ф.-м.н. профессор В.Е. Бенине, д.ф.-м.н. профессор В.Ю. Королев).

Краткое содержание диссертации.

Введение. В этой части диссертации приведены краткие исторические сведения о теме исследования и перечислены наиболее значимые публикации об асимтотнчсских свойствах самонормированных сумм, построенных по независимым одинаково распределенных! случайным величинам.

Первые три параграфа диссертации содержат ряд подготовительных утверждений и три теоремы о слабой компактности последовательностей самонормированных сумм. Все они относятся к основным результатам дисеерта-

дни. Одна теорема содержит необходимые и достаточные условия для слабой компактности последовательности самонормированиых сумм. ностроеннь[х по независимым однотипным случайным величинам. Вторая является обобщением первой теоремы. Она содержи! необходимые и доел ai очные условия слабой компактности последовательности самонормированных сумм, построенных по случайным величинам, каждая из которых и моет распределение, принадлежащее одному из конечного числа числа типов распределений. Третья теорема утверждает о том, что слабая компактность последовательности статистик Сгьюдеита равносильно слабой компактности поелсдователь ности самонормированиых сумм, которые входят в определение статистик Стыоден-та. Точные формулировки приведены в третьем параграфе диссертации,

В четвертом параграфе доказана центральная предельная ¡сорома для самонормированиых сумм, построенных лля независимых однопшиых случайных величин. Теорема утверждает, что если случайные величины принадлежат области притяжения нормального типа, то распределения самонормированиых сумм слабо сходятся к стандартному нормальному закону. Если случайные величины симметричны, то слабая сходимость распределений самонормированных сумм к стандаршому нормальному закону доела i очна для того, чтобы тпп принадлежал области притяжения нормального типа. В част достаточности теорема является обобщением цетралыюй предельной теоремы, доказанной С, im'.. (lölze, Mason ( [18]} для самонормированиых сумм, построенных но независимым одинаково распределенным случайным величинам. Точная формулировка приведена в четвертом параграфе.

В пятом параграфе доказаны два варианта закона повторного логарифма лля последовзюльносюй самонормнрованных сумм. Первая теорема представляет собой равномерный закон повторного логарифма для самонормированиых сумм, построенных по независимым одинаково распределенным случайным величинам. Этот закон повторного логарифма является новым по своей форме и не имеет аналоюв даже среди классических законов позорного логарифма. Вюрая теорема является аналогом закона повторного логарифма, доказана для последовала плюс í ей самонормированных сумм, построенных по многотипиым независимым случайным величинам. Второй пункт ')!ой [еоремы являек-я уточнением случай симметричных случайных величин. Точные формулировки всех теорем приведены в пятом параграфе.

Благодарности. Автор выражает сердечную благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору В.М. Круглову за ¡¡остановку задач!!, важные замечания, помощь в нахождении решения.

§ 1

Слабая компактность самонормированных сумм независимых однотипных случайных величин

1.1 Постановка задачи

Жч-ть независимые одинаково распределенные невырожденные случайные величины Уц.и С: N — {1,2,...} определены на, вероя: нос гном про-сгратчвс {{~1.Т,1У). Пусть даны положительные числа сп,п С N. такие, что О < с — пй'„>] сг, < яир„>] с,, — (1 < ос. Обозначим Л'„ = с,.,Кп,

Яп — X] + • • • -г Л'„, V]; — Х'{ -г----1- V',2, X — 8п/и. Мы будем иметь дело с

самопормированнымн суммами 8,1/'\/п. Отношение Ь\,/У„ полагается равным нулю, если К; = 0 п.в. (почти всюду по отношению к вероятности Р.) Определим елатиегпку Стыодеита

'-и

17

и преобразуем ее следующим образом

än I 1 - V "

КД/l -S?,/(nV}Y

V

(1.1)

Задала отыскания условий, при которых самонормироваишле суммы и ога-тисгика Стыодента слабо сходятся, относится к числу центральных тем, связанных с самонормированнымп суммами. В многочисленных исследованиях (см., например. [18j, j3j. [16), |fi|) было установлено, что важную, если не ключевую роль, играют условия слабоН компактности самоиормнроваиных сумм.

Определение 1.1. Последовательность {ц»}«>1 случайных величин называется слабо компактной, если ш любой; нодгюследооатыъноспш }»>] люлсио выделить подпоследовательность {&тя}«>1 такую, что Ihn P{0,m„ <: :i:} = < ж} для всех х = R = (—ос; ос) и для некоторой ыучайной в&шчииы

РЬвестно (см. [19), стр. 43), что слабая компактность последовательности {6>Ь»>1 равносильна условию

В ста тт.е (10] указаны необходимые и достаточные условия слабой компактности самопормпроватшых сумм, построенных по одинаково распределенным независимым случайным величинам. В общем случае вопрос о слабо И компактности самопормпроваппых сумм остается открытым и, по всей видимости. является весьма трудным. В первом параграфе настоящей работы результаты из упомянутой статьи |10| обобщены на самонормнрованные суммы, построенные по независимым случайным величинам, распределения которых принадлежат одному невырожденному типу.

1.2 В спомогательные леммы

В зтом разделе собраны ключевые вспомогательные утверждения, на которых будет построено доказательство основных утверждений.

Ihn supPtknl > 1} = о.

(1.2)

Лемма 1Л. Для того, чтобы п осле с \к>а т альнос т ъ {SnfVv}v> \ была слабо компактной необходимо v достаточно, чтобы последовательность {(ц}н>1 была слабо компактной.

Локи-ттсльстоо. Лемма является частым случаем теоремы 3.1, которая доказана по ¡лороч параграфе. Лемма доказана.

Определим функции G(;r), К (г). М{г), Q(r), г > 0, положив

<г;(г) = PflVi; > г). А'(г) - ¥/{Yn^!1 < г).

Д/ (г) - ЦЬ:|У]| <Г\(1(г) - О(г) + К {г).

г

Доопределим зги функции и точке г — 0. положив

0(0) = Р(1>\| > 0). К{0} = и, Д/(0) - 0. Запишем Q(r). г > 0. в следующем виде

0(г) = Р(|П| > г) + ю = wiv>),

С помощью интегрирования но частям мы получим

оо

/ ППН(//2.Г2И1-а//))

О

Gr 'X

Г/г</( Д/у ) + I г da in)

Заметим, что функция Q(r),r £ [0, го], постоянна и равна <2(0) — P(|Vi| 0) > 0, где re, — inf(r > 0 : С (г) < (7(0)). Для г > гу мы имеем

г/ОГг^ 2 Г 1

< /1 + -Ж{г) - ——(Г/(г) + - 0.

Г1 ./о * Г Г Г

Функция О (г), г > Го, непрерывна и строго убывает, так как ее производная С/{г), г > Го, строго отрицательна.

Для любого Л > 0 найдется /г(А) 6 такое, что для всех п > г/(Л) выполняется неравенство п > (А<2(0))~! и, следовательно, найдется число а„(Х) > го такое, что

(}{ап{Х)) = (1.3)

Заметим, что «„(Л) < «„'(А'), если п < п'. А < А'. н'Х' > пХ > 1/'(}{{)). Обозначим

Un(X)~J2(X?Aai(X)).,

>-~ i

V

~Ün{X) — A (ifXX))

1 1

для А > 0 и п 6 N таких, что нХ > \/(}{()). Мы воспользовались обозначением mín(a. b) — a A h для любых вещественных чисел а и Ь.

•Лемма 1.2. Фиксируем X > 0. Для любых ó £ (0; Л"1/2) и п > (АСДО))-1

выполняется следующее неравенство

PWMX) > ¿V А i)«i№ > (1.4)

Доказательство. Величина Un{X) лопуокаеч следующую оценку снизу

п и

Г„(А) = А'? А «¿(А)) > (г2 А 1) д 4(Х)) = (г2 А 1)77„(А). (1.5)

? 1 ! I

С учетом (1-3) мы получим, что

Uf„(\) = «Е(>Т A«J(A)) - АШ?ДА)ГД«Г<(А)) -

л

Привлекая оценки (У,4 А а/,(А)) < «гг(А)(У^ А «;г(А)) и 2С~ = п.(п - 1) < гг

А * (Ui>

мы получим

О'ДА) - Е (¿(К" Л «'¿(А))

.4- 1

<

пЦУ? Л «¿(А)) + 2С:ЩУ{ Л а;,(Х)))2 ш2 (А)ф'2 А пКхУ) + n\£(Yf Л (А)))2 (L?) ш;;(Л)0(«7г(Л)) + (nai(X)Q(a„{X)))2 nl„{nQ(a„(\))) + uUnQ(a„{X)))2

Для доказательства (1.4) мы воспользуемся известным (см. [20j, стр. 16) неравенством Каи геллп

2

Р{У>.г} < /Т" > 0.

<7 •:• Хг '

справедливым для любой случайной величины У с матсмахнчеааш ожиданием 'LY -- 0 и дисл[ерсней EY2 — <т2. Привлекая (1.о) и (Li!), мы получим, ч го

Р{1/„(А) > ¿V А 1}СДА)1 > Р{77?ДЛ) > Ari2iEi7,,(A)}

- Р{Е(7„(Л) - 77„(Л) < (1 - Xö2)UJn(X)} = 1 - Р{Е77ДА) - 77» (А) > (1 - А.)2 ¡ШЛА)}

Е(77„(А) - Е1ТДЛ))2

E(i/„(A) - 0/n(A)P-f ((1 - X62)EU П(Х)))2 ({l-XS2)UJn(X))f " £(/'„(А) - О .'„(Л))2 + ((1 - A^)Ei/„(A)))3*

Гак как ЦТ„(Х) - ЕП„Щ)2 + ((Ad- - 1)Е77,?(Л)))2 < Е(77„(А))-. то

P{f/„(A) > ¿V Л l)al(X)} > (1 - А^)2(1^(Л))2.

Ш„( А)

Это неравенство вместе с (1.6) и (1.7) влекут (1.4). Лемма доказана.

Лемма 1.3. Для фиксированных X > 0. L > 0 и п > (АО(О))-1 выполпя-

е.тся следую и {ее неравенства

?[V„ > <11мп{\)} < ^2 + 1-^1 " • (1.8)

Дошшатшъсгтю. Обозначим У* — шах |У',| и V" — Хд.'-i ^ï■ Заметим, что

У и < <î2vi и на множестве {У* < а„( Л)} выполняется равенство У'п — U п. С учетом этих наблюдений мы получим, что

?{Vn > dLa„{À)} < P{F„ > Lan(\)}

- ?{У'п > /Л^(А), Y* < al(X)} 4- P{Vl > iHi^y: > ài(\)\ (1.9)

< p{ïïn > i^iii;a), v;r < г/2(л)} + p{v; > ^(a)}.

По неравенству Маркова мы получим

P{üu > /A|2(A), Y" < </*(A)} < P{Ï7„ > /A4(A)}

^ EU»(A) _ _J_ (L1°)

" L'2a'ft(X) ~ AL2'

Последнее равенство выполняется в ch.'îv (1.6). Так как случайные величины У\____,Уп независимы и одинаково распределены, то

Р{у;; > а„{А)} = I-p{v* < п„{\)} = i-(P{|V)i < «„(А)})" = i-(i-r;(r/„(A))n. Напомним, что Q(r) — С(г) -г А/(г) > С {г) и 0(«7i(A)) = 1/(Аи). Поэтому

р{у; > «„(А)} < 1 - (1 - сыт" < 1 - U -С?К(А))Г - 1 ~ ~ •

Отсюда и из (1.9) и (1.10) следует (1.8). Лемма доказана.

Обозначим

и

I -1

??

н„{\)=у: <\л\\У.\>п,.Ш1'

1-1 о

» 1

Лемма 1.4. Для фиксированных А > О, Ь > 0 и п > (АСДО))-1 выполняется следующее неравенство

Р{ША)| > /Л'„} (1.11)

Дошттелы-тм). По неравенству Коиш-Буняковского мы получим

г 1

11 и

^Ху^да^ЛА)} ~

1 1 г

Отсюда еле,туег, что

р{\ип(А)| > /л;} < > /л;} - Р{.Ш) > с2}.

По неравенству Маркова мы получим

Р{|/?„(А)| > Мп) < Р{.4(А) > /;2} <

_ ЕГ-л И{|у.|>й„(л)} _ /?Р(!П1 > "»(А))

7/- и1

пОЫА)) . «ОМА)) I

~ А/,2'

Лемма доказана.

Лемма 1.5. Длл фиксированных А > 0. /> > 0. £ (0, А"1''2) ?/ >

(Л(Д())) выполняется следующее неравен, cm во

P{jS„ - ЕТ„(А)! > 2LV„\ < | + £) + ] - (1.12)

Доказательство. 'Гак как S„ --- TV(X) 4- Я«(Л), то

(1.13)

Р{15'„-£Г„(А)| >2/Л'л}

< Р{|7'„(А) - Е7',ДА)| > LV,,} • P{jW„(A)| > ¿К}-

Первое слагаемое справа в (1.13) можно оценить следующим образом

Р{|7*П(А) - ЕТП(А)! > LK,)} - РЦТЦА) - ГГп(Х)\ > LV„. > бЧ'аЦХ)} -!- Р{|7;(А) - £ТМ(А)| > LVm V~ < ¿^(А)} < Р(|ТП(А) - ЕТ„(А}| > Шап(\)} + Р{Ц? < бЧл^Х)}.

По неравенству Небышева мы полупим, что

Е|7',.,(А) - 0;(А)|2

Р{|Г„(А) -ЕТИ(А)| > ШаДА)} <

ItPdhiliX)

X)

(А) ~ А)

пК(<1„(Х)) < ?/Q(«„(A)) _ 1

(1.14)

/АР ^ L'^ А/А'Г

Прини.чшя во внимание неравенство l/n(A) < V^f, мы получим но лемме 1.2, ч го

P{v;f < 62(12а;,{Х)} = i - P{v;f > S'-d2al{X)}

(] _ АЛ2!2

< 1 - Р{ЩА) > S2((? A 1)4(A)} < 1 - 1 \ , t J .

Л t i

Объединяя обе оценки, мы получим

1 . (1 — Art"

> LV»} < ТГ777 + 1

2\'>

X L-S- А + I

Эта оценка вместе с леммой 1.4 и неравенством (1.13) ведут к оценке (1.12). Лемма доказана.

1.3 Доказательства утверждений

В 31 ом разделе доказаны трп георсмы, «-осгавляюпше ¡данные результаты iiapai рафа.

Теорема 1.1. Пусть дана последовотыыюсть {zn}nj-\ вещественных чисел. Следующие утверждения эквиваленты

lim ы]рР{|5;, - z„\ > LV„} — 0, (1.15)

¿-»•-о п>\

,г„~~гтп{Х)М{ап{Х)) lim sup!-—-1 < со Оля вскх А > 0, (l.io)

lim sup j —- v v v -j < x для ос ex A e (0,1). (L17)

(ln{ A)

X

Доьлиительство. Предположим, что утг.ержденне (1.15) выполняется. Напомним, что Зп =г Т„(Х) 4- /т-'Г;(А) и, следовательно. |7ЦА) — гп\ < — zn| 4-|/1'„(А)|. Тогда ,лля любых А > 0 н /, > I и для любого п > (АСДО))-1 мы иол\ чим

?{>Т„(\) - zf,| >ЪИ/оп(Х)} = Р{|7ЦА) - 2„\ > МГгаМ. К, < МмЛА)} Ь Р(|7'„(А) - гп\ > 2г//Л|„(А). К, > <//,л„(А)}

< Р{!Т„(А) - > 2/Л;} 4 Р|V; > <//,«„ (А)}

< Р{!^„(А) - zl,\ > /Л'*} -г Р{'/?..(А); > !Л'п} + Р{К, > (Ил1,,(Х)}.

Привлекая леммы 1.3 и 1.4, мы получим

Р{|7;(А) - > Ъ11/ап(Х)} < Р{|5?„(А) - > ОД

2 , / 1 (1.18) ^ А/7 ~~ ( А» ) •

Отсюда и используя оценку (1.1-1) следует, что

РЦЕТ„(А) -zn\> 4dL\,{X)}

< Р{\Т„(Х) - г„| > 2dl;2a„(X)} + Р{|Т„(А) - Е7;(А)| > 2d/Ai„(A)}

Ei силу (1.15) найдется lq > 0 такое, что snp„>j P{j$rt(A) — z„\ > LVn} < exp{—l/A}/8 л ¡и не ex l > Lq. Число Lq можно выбрать настолько большим, чтобы 2/L2jt 1/(4L1) < Аехр{ — 1/А}/8 дли всех > />(,. Так как Нгп^^Д! -А/и)" = ехр{— 1/А}- то nafueiся щ-, такое, что (1 — А¡п)п > ехр{ —1/А}/2 для всех и > гi{). Для L > Lq и ?/ > //(Э выполняются неравенства Р({ |ЕТ„(А)—с„| > •M/A?n(A)} < 1 - ехр{ — t/A}/4 < 1. Так как вероятность P{j£Tn(A) — .г„| > 4d!2an{X)} может равняться только нулю или единице, то она равна нулю. Это означает, что \ЕТР(Х) — zn\ < 4.dL2an(X)) для всех и > 1/(АО(0)). Отсюда следует (1.16). Напомним, что Е7ЦА) — rwn{X)M{av{X)). Очевидно, что (1.16) влечет (1.17). Предположим теперь, что выполняется утверждение (1.17). Для любого > 0 найдется А е (0.1) такое, «по 2(1 - (1 - А)~/(А -1- 1)) < Фиксируем такое А и обозначим

Так как \S„ - z„\ < - E7'n(A)| + \;ШХ) - z„\ < \S„ - Е7'И(А)| + c(X)an(X), то для любого L > 0 справедливы следующие соотношения

?{\S„-z„\>3LVv} < P{jS„ -ET„(A)i >3/Д'„ -<:(A)<iH(A)} - P{|tf„ - ГГР(Х)\ > 3LVn - c'(A)«„(A). LVn > r:(A)«„(A)} -!- P{\Sn - П;(А)| > 3LV„ - c{X)ar>{X), IV« < с(А)д„(А)} - "

< P{|A'n - E7;,(A)| > 2LV„} -t- P{LVn < r:(A)«„(A)}.

Найдется L{) > 1 такое, что с (A)/((cAl)Ln) < \/Ä. Напомним, что VU{X) < V~.

< P{|&(A) - z»\ > LVa) + t^j + 1 - •

c(A) — snp n>wQm

mi„{\)M{<in{\))

пЛХ)

По лемме 1.2 о S = г(А)/((сЛ 1)L«) для L > Lq и п > Í/(XQ(0)) мы получим

Р{LVr, < c(A)f/,t(A)} < Р{L0V„ < r(A)«„(A)} - 1 - ?{V,f > д2((Г A i)al(X)}

(1 - Ad2)-

) ) ( i i л ^ ^

1 - P{(/„(A) > r(f2 Л 1)<{А)} < 1

A-f 1

По лемме 1.5 с ó — с(А)/((еЛ i)La) для n > 1/(AO(0)) и L > Lq справедлива одспка

P{!S,, -- O;(A)¡ > 2LVn} < l - 7) + 1........il"x + ¡)¿- (I-20)

Поеле подстановки приведенных оценок в (1.1S) мы получим

?{\Sn - z„\ > 3LV„] < ¿ í + 2 (j - ,n > 1/(AQ(0)),

следовал елыю,

Ш» Mij>P{jS„ - > WIV,,} < 2 (l - < 2 (i - ^-fy^) < ß.

Отсюда следует (1.15), так как число г > 0 можно взжь произвольно малым. Теорем а до кала! \ а.

Теорема 1.2. Следующие утверждения экыюаленты

lim supP{j,9í(! > LVa] = 0. (1.21)

Hmsnp4^Ül < íx3. í 1.22)

Дока.ттеАñemeo. Предположим, что выполняется утверждение (1.22). Принимая во внимание (1.3). мы получим

; тшп(Х)Мjnn(X)) — 01 ^ т,п(Х)М(ап(Х)) I «„(А) I ап{X)

|пД/(я„(А)) |Л/К(А))|

(1.23)

Ад(«„(А))'

Отсюда и из (1.22) следует, что выполнено условие (1.17) из теоремы 1.1. по

которой выполняется утверждение (1.21).

Предположим теперь, что выполняется утверждение (1.21), но утверждение (1.22) не выполняется. В этом случае найдется неограниченно возрастающая последовательность {1'к}к>\ положительных чисел такая, что

Нш - ос. (1.24)

Обозначим гц, ~ юах{п : п(}{гк) < 1). Заметим, что ПкЯЬ'к) < 1 < (пк + 1 )(К'Гк). Обозначим Ад. = ^ ¡{г1кЯ{г к))- Из неравенства 1/(гц-А/,) — (•¿{¡'к) > 1/(»а-+ 1) следует, что 1 < А/,. < 1-г 1/«/,. Так как щ — 1/(АкЯЬ'к)) > 1/(Аа-^(О)), то г/, •= //(Ад.) в соответствии с определением (1.3). Ниже определения (1.3) пояснено, что а„(А) < ап(Х'), ес;(и А < А', и, следовательно. «»Д1) 5' Нщ (Ак)- По определению функции А/(г), г > 0, мы получим

\Пк-ОцкММ(о„, (М-)) - пка„к (1)Л 1(а„к (1))|

- пк Е( I У*1! 1 [а,ч (1 )<|1'( \<а„к (а,.)})

< (1щШ11к:Р{\У\ \ >0^(1)}

< а1>к(Хк)пк(}(а1>к(1)) - <лП1(\к).

(1.25)

Положив А — А/, и п = Пк в (1.23) и приняв во внимание, что 1 < А/,. < 1+1 /Пк и а1Н(\к) " г/,., мы получим

, ,,, ,,, 1 \М{гк)\

щ\М{«,,, (А/,-))! = г--> сс при п оо.

А/,: Ч{('тлМ))

Отсюда и из (1.25) следует, что

Ш11 »^.(1)Д/К,(1)) = 0

к->-к ап, \ Хк )

Выше упоминалось, чго «,„(1) < < ««¡.(А/-). Мы видим, что Пк\М(ат{1))\ -л оо при А- ос и, следовательно, утверждение (1.16) с А — 1 не выполняется; верхний предел, вычисленный по подпоследовательности п = т.гпи = 0,к — 1.2.....равен бесконечности. По теореме 1.1 утверждение (1.21) не имеют места. Если бы утверждение (1.21) выполнялось, то предположение (1.24) не могло бы иметь место. Это противоречие доказывает.

что (1.21) влечет (1.22). Теорема доказана.

Теорема 1.3. Следующие условия зквшмлепты

Ит хирР{|,Ь>„| > Ь\/Гп \ — 0.

//—»ж п:> 1

Ит 81фР{!/„| > /,} 0.

Ь-> х- „> |

шинпр ' . < ОС. г-+сс (¿{Г)

Доказательство. Все утверждения следуют из теоремы 1.2 и леммы 1.1. Теорему доказана.

§ 2

МППП ПТ4ИТР ПкТТТчТР лвр ТГРТТМ сг о ■/ ШХШ^ШИхь^ШПВАи ЪВСДСПМ/1 и

слабой компактности самонормированных сумм однотипных случайных величин

Из результатов параграфа 1 следует, что последовательность {$<,,!V,,},,>] слабо компактна тогда и только тогда, когда последовательность IXX--г 1 1 »> 1 <упшо компактна. Это наблюдение позволяет

вывести ])яд новых свойств последовательности . которые

вы I екают из её слабой компактности. Сначала, мы докажем несколько вспомогательиых утверждений. Обозначим

с у ^ . . . v

Ч» — I 1 ■ '

к 1

Лемма 2.1. Пусть г. к. пчгп\.----тг £ N натуральные числа такие, что

I < с < к < /г, > 1,----тг > 1, Ш] -г- • --4-ш, ~ Обозначили пг = [и/г].

л - число чисел среди пц...., тг. которые раепт единице. Квадратные скобки

и данном случае обозначают целую часть от числа взятого с скобки. Тогда выполняются следующее неравенство

к\

1;2

X"'1 Хп

II

} * т 1!... ш, !

л-

XVй

' и

-1— < шах(Ы')

И'

/¡ока китмъство. Обозначим

12.1)

) 1

1/;

пи

«г и

, / = 1, .... 7'.

ЗАМеТИМ, 'И о

и,

!Г А- ! • ' • ^Г I

I

и?

И'*

\\г:

11 > . *' - / / пг

1Ц

/1 / V» 1/1

А/2 / , ч /

1/2

/•! X1/2 1

Ш]! . . . Г/1,1

Х>мЧ - Х>/2(')

г 1 / \{ 1 / ч'"•*.......г ]

'Гак как с.\ < г/.....с, < <-/, случайные всличи[1ы У\____,УП независимы и

одинаково распределены, то

н.

у>'> i ут 1-! "' ?

_ _ '"i ,/';г

ИД ! I

к

т] ... ш,

-Е

< шах(1. (Г) I

к\

Л/2

шах(1.г/') (

ут] ... тг, А-! л

IV;:

\т} ... гн,

I

II ^и'Г/У»

<

ншх(]. (Г)

к\

■1/2

Ш) ... т{

к\

1 п>.

>1 4 км,— I х

пйп^

— тах(1. (1' ) ( -

\г/?1 ... т,}

Неравенство (2.1) и лемма доказаны.

М 2 / .ч .ч

[т'кЛ V' и;,.)

Лемма 2.2. Для любых к, г/ с М выполняется травенство

Е < с{к)(шах(1. (!))к тах ^тах I

где е(к) - (4е/3 + 1)к{к\У/2 < Ък(к\)т.

(2.2)

Доказательство. Если п < 4/г, то по неравенству Коиш-Буняковекого мы полупим

А» * < | АЁ^

И'

.к 1> '

И'

< (шах(1.<1))кпк'2 < (шах(1,(¿))к2ккк/'2

< (пшх{]л1))кс(к).

'Здесь мы воспользовались легко проверяемым неравенством А1! > 2кк ¡Д. В роп'дыаге мы получаем следующее неравено]во

Е

8г

И ;

< г(А'). для I <-п < 4к.

совпадающее с 2.2.

Предположим теперь, что п > 4А*. В этом случае }/пг < 4г/(3п) для любого г такого, что г < к. Дейечвтельпо. /7Г = [г;//] — а, ые 0 < о < 1. Поз тому

_1_ п,

Г

1

н — га п \ 1 — га/п

г п

1

г/«

г я

1

.1 -А7(4А:),

4г 3//

Обозначим

I I

М„ — тах < 1, тах Ет-4 г

I !£/£/; И'/ 1

(2.3)

По неравенству (2.1) мы получим

»

II

= £ ^—^ "

1 ] г; ¡'--V /.-.

1Г',> I

щ/к

* * II

У У а:

А-!

1/2

Ш]3... тг\

(тах(1.с/))

7 | ;Г|

\ I \¥

\ 1 1 уп.

< (тах( 1, (1))к \//;'(/,:!)['2 ^ ]Г С;

А-!

*

...

7л

< (тах(1. (1))кМ*(к\)1/2

I I к

1:~ 1

г 1

<с(/г)(тах(Ы))*Д//;.

В доказательстве было использовано го, что число решений уравнения т\ 4.. .шг — к в натуральных числах равно Лемма доказана

Лемма 2.3. 1к,пользуя постоянную М„. определенную в <2Я). для любого п с К' выполняется неравенство

(6',,/К,)2

/ЗУ2 Л Г2)

< 2

(тах(1, г0)24(1 + 4е/3)2Л/~ и для любого / > 0 выполняется неравенство

Есхр {/-£?!} < 2ехр{(1 4- (4г)/3)2Л/2/2}

Доказательство. Заметим, что

(2.4)

(2.5)

оп \у„

V V;

тах(1, (I)

Я,;

И"

Фиксируем н £ N н обозначим

Ао

4(1 •+• 4е/3)2Л/2 шах(1, с£2)

В силу (2.2) и (2/,;)! < {ТЩ1 мы получим

Еехр{Ао(/14)2} < 1Еехр{Аотах(1л02(«9„/Щг)2} (Ао шах( I. д)'2(Зп/1Уг»)2)к

'x

ЕЕ

к (1

к\

<г

Е

к 1 -х

Ло((2А)!) 1/--( 1 + 4с/3)1к тах(1, с()2кМ2к

к\

< А^((2А-)!)1/-(1 + 4е/3)2кМ'2к тах(1 л1)2к

к -О

(2.4) доказано. Далее, с помощью элементарного неравенства 2\аЬ\ < а2 4 Ь2 для любых и,Ь € К, мы получим

^ = (2А„),/2

V11

6» I I

и

: 1/2(2А0) -г| +1/2;

Уп

2Аг

К

» )

ехр

{ 4А0 }

По неравенству (2.4) мы получим Е-охр < ^

< 2ехр {-^Л - 2ехр{шах( 1. г/')(1 -г 4с/3)2Л/~/2}. 14Ао)

, *1ем м а доказа! з а.

Лемма 2.4. Если последовательность {$п1Уп}„>\ слабо компактна, то су аресте ¡рот такие постоянные со > 0. С > 0 такие, что

аир Е ехр < са

С < ос

(2.6)

Доказательство, По теореме 1.1 пз параграфа 1 слабая компактность по-елгдованиьпосгп {Я^/УДн^х равносильна слабой компактности последовательности }//>!- В доказано, что слабая компактность иоеледова-

ТеЛЬНОСТН I ВЛСЧСТ ОГраПИЧСННОСТЬ ПОСЛСДОВаТСЛЬНОСТИ {М,у}п>\

из (2.3), т.е.

М --= $ирА1п < ос. (2.7)

Положим

1

<33

4<*шах(1,</)(1 + 4с/3)2Л/2 Заменив Д</„ на М в доказательстве леммы 2.3, мы полупим, что

»нрЕохр {<•„(!) }<2.

«>1

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Для того, чтобы последовательность {ВГ1(Уп}п>\ была слабо компактной необходимо и е)оетаточио. чтобы вытынялось одно ия условиу

шр

п>1

Е Ч^Г <«*■ (2-8)

1 <'<?<» \ " У

'У ..— ^ 1 { - \

янр /г£ / < ос. (2.9)

и> I И -

Доказательство. Необходимость. Предположим, что последовательность {}»>1 слабо компактна. По лемме 2.4 существует постоянная са > 0 для которой выполняется условие (2.6). Из чтого условия, в частности, следует, что

нир1:(^) <ос. (2.10)

Запишем Е(5„/1/п)2 в следующем виде

= + г £

V" \А - 1 1<г<]<»

= 1+2 £

(2.11)

Отсюда и из (2.10) следует (2.8).

По 'теореме 1.3 из первого параграфа слабая компактность последо-

вательногзи {Яр1Уп}п>\ влечет слабую компактность последовательности {¿^/Ц7,, }„>|. Известно (лемма 2.4), что слабая компактность последовательности {£,«/Игп}„>1 влечет существование постоянной со > 0 такой, что

мф^Ы^/"'*)2} <2.

п> 1

О ¡сюда, в частности, следует, что

кирЕ^У <ое (2.12)

1!> I V*«/ Запишем Е^/И-^)2 в следующем виде

ЕУУ У У

Ц^ • ' И',?

Здесь мы воспользовались тем, что Е(Г,У}/И/2) = Е(У1 У'^/И7,;) для любых 1 < / < < п. Отсюда и из (2.12) следует, что

трп('п — 1)|е^! < ос. (2.13)

">1 1 •

Убедимся, что Е^К/И'2) > 0. Воспользуемся легко проверяемым

!ехр{—Аа}(!\ — для любого а > 0. о

V

Положим <1 = И;мы получим

СС Xj

----- EYin [oxp{-AU';}^A - / E(ViVoexp{-AlV',?})r7A

\V2

n

о о

oc

f E(V"i exp{-XYf}Y2охр{-Av:f} exp{--А]ГГ;}>/А

о r-:ä

У

/ Е(П oxp{ - A V f} )E(Vo cxp {- АУ'г })E(exp{ -A^V;f)f/A о

X)

= / (Е(У, ox I > {- Л > f}))2 E (<ixp {- A ^ > f }) r/A > 0. о J"3

Условие (2.13) можно записать в виде условия (2.9).

Достаточность. Предположим теперь, что выполнено условие (2.8). Тогда. учитывая (2.11). bU])ri>lI.(Sv/V„)2 — Л < ос. По неравенству Маркова мы получим

lim sup Р (Щ > х) < lim £(5/;С//,)2 < lim 4 = a-i-эо w>i у vv } x" а--'.ос А"

По критерию (см. часть 1.1, (1.1)) последовательность {Sf,/\'n}-»>i слабо компактна. Если выполнено условие (2.У), то

sllpe ( 777- } — в < ос.

„>1 V W,

V ,

Сиона, по неравенству Маркова мы получаем

lim sup Р ( „>t \

! > х) < Иш

XVр i ) А2

Последовательность {£n/W»}r>>\ слабо компактна. Следовательно, по теореме 1.3 из параграфа 1 последовательное') ь {Sn/Wv}n>i слабо компактна. Теорема доказана.

Слабая компактность самонормированных сумм

оро о "ßТ/ГС I.TД.1 Kl V МНПГПТИПНЫХ

J». «JE» «Ж. Л» «*» ▼ JL. м*. JL т ~JL .A. Jr. ^k««^ Ja,. ^w^^ «*Jl* JtL »JL «IL» <JL «Ж* ЛьмаФ^Жт d* JL

случайных величин

3.1 Постановка задачи

Пусть независимые случайные величины Уплп G N = {1,2,..,} определены па одном вероятностном пространстве Р).

Определение 3.1. Распределения случайных величин X и Y принадлежат одному типу, если 'Р{Х < ,г;} Р{сУ Ч- d < х} сЬгя всех х £ IR — (—ос, ос,) для некоторых с. d € К.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жданов, Игорь Игоревич, 2014 год

Литература

|i] Elion В. Student's t -test under symmetry conditions. J. Amer. Statist. Assoc., 64:1278 1302, 19G9.

[2] Qi-Man Shao. Self-normalized limit theoiems in probability and statistics. Hon у Kong lrnincvm(y of So oner and Twhrioloyy.

J3) Chbfyakov G., Got/e F. Limit distiibntions of student ized means. Ann. Probab32:28 77, 2001.

|4| Егоров В.А. Об асимптотическом поведении самоиормированных сумм случайных величин. Теория вероятностей и ее прилюпения, 41:043 650, 199G.

|5| Mason D.M., Zinn .T. When does a randomly weighted self-normalized sum converge in distribution Electronic Communications in Probability, 10:70-81, 2005.

jGj Gine E.. Mason D.M. On the HI for self-normalized sums of tid random variables. Theor. Prob., 11:351-370, 1997.

j7| PiuittW.E. Geneial one-sided laws of the iterated logarithm Arm. Probab 9, .No. 1:1 48. 1981.

\s\ Griffin P.. Knelbs Л. Self-normalized laws of the iterated logarithm. Ann. Probab.., 17:1571-1001, 1989.

[9] Griffin P.. Knelbs J. Some extentions of the laws of the iterated logarithm via self-normalizations. Ann. Probab19:380 395. 1991.

[10] Griihn P. The tightness of the student t-statistic. Department of Mathematics, Sу mouse. University. Syracuse. NY Id 24-{-И 50, U.S.A., 1:100. 2012.

jllj Новак С.Ю. О самонормпровапных суммах случайных величии и патетике Сл ьюдента Теория о сроят/юс тем и ее применения, 49:365-373. 2004.

}12| Wang О., .ling B.Y. An exponential nonuniform bcrry-csseen bound for self-normalised sums. Ann. Probab.. 27:2008 20S8. 1999.

fJ3j Haiacn С.Б. О больших уклонениях шпормировапной суммы. Те<*рия вероятностей и се применения 49:791 802. 2004.

¡14] Bing-Yi Jing, Qi-Man Shao, Giving Wang. Soli-normalized eramer-type large deviations for independent tatidom variables The Annals of Pmbahthty, 31:2167- 2215, 2003.

[15) S.V. Novak. A new characterization of the normal law. Statistical and Probability Letters, 77:95 98, 2007.

[IGj Жданов И.И. Слабая сходимость еамонормированных сумм независимых сл\чайных величин к нормальному закону. Вестник ТвРУ. Серия: Прикладная математика, 4:63- 74. 2011.

|17| Жданов И.II. Слабая компактность статистики Стьюдента. Вестник То ГУ. Серия: Прикладная математика, 4:71-83, 2013.

|18| Giiu' Е., Gotze F.. Mason D.M. When the student t-statistic asymptotically standard normal? Ann. Probab, 25:1514-J531. 1997.

|l9j Гнеденко Б.El, Колмогоров A.H. Предельные распределения для сумм нелависимых а у чайных величин. Госзохиздат. 1919.

|20] Durrett Pi. Probability Ihcoty and Example-*, 2nd edition. Duxburry Press, 1995.

j21j Крамер Г. Математические .методы статистики, 2-е издание. Мир. 1975.

[22] Ибрагимов И.А.. Лшшик К).В, Независимые и стационарно связанные оеличнны. Наука, 1905.

[23| (Г В ríen G.L. A limit theorem for sample maxima and heavy branches in galton-wafoon trees. Appl. Probah17:539 545. 1980.

[24| Bingham N.M. Variants of low of the iterated logarithm. Dull. Loudon Math. Soc., 18:433 467. 198(7

(25) Круглой В.XI. Случайные процессы. Бакалавр, 2013.

[26] Sierpiáski W. Un theoreme general sur les families d«льетbles. Fundamenta Mathemaficae, 12:206-210, 1928.

|27| Ширяев A.H. Вероятность. В 2-х кп. - 3-е узд. МЦНМО. 2004.

[28] Луб Д. Л. Вероятностные ггроцссгы. Иностранная литература. М., 1956.