Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Валерьевич

• Семенов, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

§1 Основные определения и понятия

§2 Вариационный функционал

§3 Теория обобщенных кривых в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления

ГЛАВА

§1 Теорема существования обобщенного решения положительно # определенной сопряженной параметрической вариационной задачи

§2 Леммы

§3 Теорема существования решения класса НП положительно определенной вариационной задачи

§4 Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию и>

ГЛАВА

§ 1 Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых

§ 2 Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными

ГЛАВА

§ 1 Пространственная вариационная задача с предельным показателем порядка роста интегранта

§2 Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста

§3 Вспомогательные леммы и теоремы

§4 Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления»

На Парижской конференции 1900 года Д.Гильберт сформулировал для регулярной вариационной задачи1*

J(z(x, у» - JJF(x, у, z, р, q)dxdy ~* min, z|AQ = /, а где F - аналитическая функция, две проблемы: девятнадцатую и двадцатую. В 20-й проблеме спрашивалось: «допускает ли решение каждая регулярная вариационная задача, если только на данные граничные условия наложены определенные допущения, ., - и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». В тоже время в 19-ой проблеме ставился вопрос «являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими» независимо от свойств гладкости или аналитичности граничных условий. Главные направления их исследования были определены в трудах С.Н.Бернштейна [4-6] и А.Лебега [142].

Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С.Н.Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно дифференцируемое решение z регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.

Работы Лебега, Гильберта [138], Куранта [133] послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идеи Гильберта, задача отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решения и последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л.Тонелли [160, 161], Н.Н.Боголюбова [8,9], Е.Макшейна [145, 147-149], А.Г.Сигалова [109-111], В.И.Плотникова [93-95], О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [50,51] и др.

1> Вариационная^ задача называется, регулярной,, если, подъинтегральное. выражение ^ удовлетворяет условию строгой выпуклости относительно (р, д). Оно может быть записано в виде

Е(х, у, г, р,<7,р, <?) - F(х, у, г, р, <?) - ^(х, у, г, р,<7) - (р - р)(х, у, г, р,<7 ) - (<у-<7 ) (х, у, г, р,ц)>0, (р,д)*(р,д). Если Е(х,у, г, р,д,р, д) а 0, то задача называется квазирегулярной.

Изучение аналогичных вопросов, касающихся пространственных вариационных задач минимизации функционала ь l\Y]=$F(x,YX)dx, (0.1) а среди вектор-функций Y(x) = (у\(х), . , ур(х)) осуществлялось путем расширения класса допустимых функций: перехода от рассмотрения непрерывно дифференцируемых до абсолютно непрерывных. В работах Л.Тонелли, М.Нагумо [156], М.Граве [135], Е,Макшейна было установлено, что квазирегулярная задача на определение минимума функционала (0.1) разрешима в классе абсолютно непрерывных функций, если порядок роста а больше 1 и существуют постоянные m > 0, к > 0 такие, что

F(x,Y,Y')*ni\Y'\a-к, или если

F^YX^mfW^YD-k где ~ положительная монотонно возрастающая непрерывная функция, стремящаяся к + оо при ||Г'| -* оо.

В то же время, для предельного показателя порядка роста а = 1 существуют примеры (Е.Макшейн, С.Н.Бернштейн, ДЛауден [140], Р.Курант) положительно определенных1 * квазирегулярных задач, для которых решение задачи (0.1) (р= 1) в виде однозначно определенной функции Г= Y(x) не существует, и для того, чтобы вариационная задача имела смысл, необходимо расширить понятие решения, взяв в качестве допустимых кривых такие, которые имеют дуги, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Ох. 1

Пример 0.1. Рассмотрим задачу на отыскание inf I[y] = inf+ y'2dx на о множестве абсолютно непрерывных кривых С: у(х), х£[0,1], удовлетворяющих условиям на концы >>(0) = 0, у(1) = 1. Зафиксируем произвольную кривую С из указанного класса, и пусть х = x(s), у = y(s), х (s) > 0 , 0 s s s L, где s - длина дуги кривой, - ее параметрическое представление. Тогда

1) F> 0 всюду из области задания у2т]1 + у'2с1х =£у2л1х2+у2с{* *$у2с1у = о с о и ¡п£ 1[у\ не достигается ни на какой «обычной» функции >(х), хЕ[0,1]. Между тем, если рассмотреть последовательность кривых С„: у„(х) = .

О, л:£[0,Г-—), п п(х -1) +1, д: Е[1 - — ,1] п сходящуюся относительно метрики Фреше к кривой Со , имеющей отрезок параллельный оси Оу, то легко видеть, что Нш 1[уп ] = 1/3. й-*®

Аналогично обстоит дело и для многомерных вариационных задач. Р.Курант считал, что для задачи Плато в непараметрической форме Гильберт допускал рассмотрение поверхностей, которые на некоторых участках не задаются уравнением 2=/{х,у), что равносильно переходу к параметрической форме.

Переход к классам разрывных функций неоднократно осуществлялся в рамках теории вариационного исчисления. Так, в работах А.М.Размадзе [98, 99] изучались разрывные решения, обладающие конечным числом точек разрыва первого рода. Развитием метода вариаций в направлении А.М.Размадзе занимались Г.Н.Николадзе, К.С.Ермилин [25], М.К.Керимов [30,31] и др.

Необходимость расширения понятия решения посредством введения в рассмотрение функций, обладающих разрывами типа «стенка» определяется не только нуждами развития теории вариационного исчисления, но и наличием важных прикладных задач (задачи теории полета тел переменной массы [47, 140,141], задачи теории упругости [2, 13, 18, 119], задачи оптимального экономического роста [48] и др.). Теория одномерных и многомерных вариационных задач,. определенных на классе разрывных функций, обладающих конечным или счетным множеством участков неоднозначности (класс существенно разрывных функций) была развита в работах А.Г.Сигалова, В.Ф.Кротова [43-47], С.Ф.Морозова [52-64], [35-42] (совместно с В.И.Кошелевым), [65-72] (совместно с В.В.Петровым). При этом В.ФЛСротовым было осуществлено дальнейшее расширение класса существенно разрывных функций до класса (у,^)-линий и получены необходимые и достаточные условия экстремума вариационной задачи в этом расширенном классе. Идея такого расширения основана на переходе от поиска точного решения к задаче отыскания минимизирующих последовательностей. Таким образом, объектом поиска в расширенной задаче оказывается класс в определенном смысле эквивалентных минимизирующих последовательностей.

Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками ЛЛнгом [125, 164-166] и Е.Макшейном [150-154]. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для расширенного класса объектов терминов «обобщенная кривая», «обобщенное управление», (Дж.Варга [10,163], Е.Макшейн [155]) «скользящий режим» (Р.В.Гамкрелидзе [15], А.Ф.Филиппов [120], В.Ф.Кротов), «предельное управление» (А.Гуйла-Ури [130]) и т.п.

В настоящей работе изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществляется посредством перехода к соответствующей ей параметрической (сопряженной) задаче. Данный метод изучения вариационной задачи был предложен Тонелли, а затем развит в работах Макшейна, А.Г.Сигалова. Исследование сопряженной параметрической задачи опирается на теорию обобщенных кривых Янга-Макшейна. Предлагаемый метод исследования позволяет не только получить в качестве результатов теоремы существования обобщенного решения сопряженной параметрической задачи, но и доказать существование абсолютного минимума вариационной задачи в исходном классе существенно разрывных функций. Данный метод позволяет в сравнении с [34-37, 60, 64, 70] значительно ослабить требования на гладкость интегранта F и избавляет от необходимости устанавливать факт полунепрерывности сопряженного функционала J [С] в классе абсолютно непрерывных кривых, имеющих не более чем счетное число вертикальных отрезков.

Помимо проблемы существования разрывного решения вариационной задачи представляет интерес и вопрос: при каких условиях решение вариационной задачи с предельным показателем порядка роста будет являться не разрывным, а «обычным» решением? Как известно, для существования такого решения помимо требования регулярности, требуется введение некоторых дополнительных условий. В настоящей работе вводятся дополнительные условия на систему уравнений Эйлера, при которых и устанавливается теорема существования гладкого решения. Данная теорема обобщает результат Тонелли, полученный им для случая р = 1 .

Цель диссертационной работы состоит в установлении теорем существования решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка», посредством распространения теории обобщенных кривых Янга-Макшейна на данный тип вариационных задач, получении необходимых условий первого порядка в указанном классе и исследовании свойств гладкости решения задачи минимизации функционала (0.1) в случае предельного показателя порядка роста а-1.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы из 166 наименований. Объем работы 115 стр.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Семенов, Алексей Валерьевич

Заключение

В диссертации рассматривались вопросы установления необходимых и достаточных условий экстремума пространственной вариационной задачи в классе существенно разрывных функций. Кроме того, изучалась вариационная задача с предельным показателем порядка роста.

Изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществлялось посредством перехода к соответствующей ей сопряженной параметрической задаче и последующем исследовании ее с помощью теории обобщенных кривых Юнга-Макшейна.

Получены следующие основные результаты:

Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На ее основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.

Установлены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Полученные необходимые условия обобщают соотношения Дю Буа-Раймонда, уравнения Эйлера, "угловые" условия Вейерштрасса-Эрдмана и необходимые условия разрыва Размадзе. Кроме того, получены необходимые условия экстремума вариационного функционала со старшими производными 1\у\ = ь y(x),y'(x),.,y(n)(x))dx при условии существования конечного а предела lim F(x,y,y',.,y(n))/у(п) = w(xyy',.,y(nA\ sign у(п)) на классе функций y(n)-,t 00

У = >'(*), у которых п-1 производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка».

При дополнительных условиях на систему уравнений Эйлера установлена теорема существования гладкого решения пространственной вариационной задачи с предельным показателем порядка роста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Валерьевич, 2004 год

1. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.

2. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

3. Батурин В.А., Дыхта В.А., Константинов Г.Н. и др. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения. Новосибирск: Наука, 1990.

4. Бернштейн С.Н. Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derives partielles du second ordre // Math. Ann. 1904. V.59. P. 20-76.

5. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1940. T.VIII. С. 32-74.

6. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З. М.: изд-во АН СССР, 1960.

7. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.

8. Боголюбов H.H. Sur quelques methodes nouvelles dans le Calcul des Variations // Ann. Math. Pura Appl. Ser. 4. 1930. V.7. P.243 272.

9. Боголюбов H.H. Новые методы в вариационном исчислении. Изб. труды в 3 томах. Т.1. Киев: Наукова думка, 1969.

10. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М: Наука, 1977.

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатре, 1978.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

13. Весницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Горький: ГГУ, 1983.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1975.

15. Гамкрелидзе Р.В. Об оптимальных скользящих режимах // ДАН. 1962. Т.143. №6. С.1243 1246.

16. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Гостехиздат, 1961.

17. Глебский Ю.В. О характеристических свойствах решений регулярных и квазирегулярных задач вариационного исчисления // ДАН СССР. 1957. Т.16. № 6. С.910-912.

18. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптамальных стержневых систем. JI.: Изд-во Ленинградского университета, 1980.

19. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997.

20. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ОГИЗ, 1941.

21. Дакоронья Б. Слабая непрерывность и слабая полунепрерывность снизу нелинейных функционалов // Успехи матем. наук. 1989. Т.44. №. 4 (268). С.35-98.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.

23. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМ и МФ. 1965. Т.5. №3. С.395-453.

24. Дыхта В.А., Колокольникова Г.А. Условия минимума на множестве последовательностей в вырожденной вариационной задаче // Математические заметки. 1983. Т 34. № 5.

25. Ермилин К.С. О некоторых задачах вариационного исчисления // Ученые записки ЛГУ. Серия математических наук. 1949. вып.16.

26. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Труды Моск. матем. общества. 1968. Т.18. С.188-246.

27. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

28. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1956. T.XI. №3. С. 125-129.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

30. Керимов М.К. К теории разрывных вариационных задач с подвижными концами//ДАН СССР. 1961. Т.136. № 3.

31. Керимов М.К. О двумерных разрывных задачах вариационного исчисления // Тр. Матем. ин-та АН ГрузССР. 1951. Т.23. С.209-219.

32. Колмогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

33. Кошелев В.Н. О необходимых условиях экстремума пространственных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Уч. записки ГГУ. Сер. мат. мех. / Горький: ГГУД969. С.72-74.

34. Кошелев В.Н. Задачи вариационного исчисления на совокупности разрывных функций. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1973.

35. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывных решений для: простейшего интеграла вариационного исчисления, I // Изв.вузов. Математика. 1967. № 11.С.21-30.

36. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывныхрешений для простейшего интеграла вариационного исчисления, II // Изв.вузов. Математика. 1967. № 12. С.38-46.

37. Кошелев В.Н. Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах // Изв.вузов. Математика. 1970. №5. С.47-52.

38. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума вариационных задач в непараметрической форме на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1970. №12. С.37-46.

39. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений в простейших полуопределенных задачах // Матем. заметки. 1970. Т.7. №.1. С.69-78.

40. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62.

41. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления со старшими производными // Изв.вузов. Математика. 1975. №10. С.23-32.

42. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах. II // Изв. вузов. Математика. 1977. №2. С.49-59.

43. Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв.вузов Математика. 1960. №5. С.86-98.

44. Кротов В.Ф. О разрывных решениях в вариационных задачах7/ Изв. вузов Математика. 1961. № 2. С.75 89.

45. Кротов В.Ф. Основная задача вариационного исчисления для простейшего функционала на совокупности разрывных функций // ДАН СССР. 1961.Т. 137. №1. С.31-34.

46. Кротов В.Ф. Об абсолютном минимуме функционалов на совокупности функций с ограниченной производной // ДАН СССР. 1961. Т. 140. №3. С.525 528.

47. Кротов В.Ф., Букреев В.В., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969.

48. Лаврентьев М.А., Люстерннк Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938.

49. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. О вариационной задаче в квазилинейных эллиптических уравнениях со многими независимыми переменными // ДАН СССР. 1960. Т.135. №6 С.1330-1333.

50. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения, эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

51. Морозов С.Ф. О разрывных решениях двумерных задач вариационного исчисления в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1969. №9. С.56-64.

52. Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума двумерных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1972. №1. С.55-63.

53. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62.

54. Морозов С.Ф. О разрывных решениях одного класса квазирегулярных вариационных задач // Матем.заметки. 1974. Т.16. №2. С.305-315.

55. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса многомерных квазирегулярных вариационных задач // Матем.сб. 1974. Т.93. №1. С.18-28.

56. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений многомерных вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1975. №11. С.93-97.

57. Морозов С.Ф. Полуопределенная задача вариационного исчисления на классе разрывных функций / Деп. в ВИНИТИ 1980. №3921-80. 14 с.

58. Морозов С.Ф. О разрывных решениях одного класса задач вариационного исчисления // Межвуз.сб.: Дифф.и интегр.уравн. Горький. 1987. С.60-66.

59. Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1991.

60. Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума пространственной вариационной задачи на классах^разрывныхгфункций / Деп.в ВИНИТИ 1993. №791-В93. 14 с.

61. Морозов С.Ф. Полунепрерывность сопряженных функционалов вариацион63,64,65,66,67,68,69,70,71,72.73,74,75.

62. Морозов С.Ф., Петров В.В. О существовании одного класса решений разрывных вариационных задач. / Деп. в ВИНИТИ 1977. №3805-77. 15 с. Морозов С.Ф., Петров В.В. Разрывная изопериметрическая задача. / Деп. в ВИНИТИ 1979. №2763-79.14 с.

63. Морозов С.Ф., Плотников В.И. О необходимых и достаточных условиях непрерывности и полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Метем.сб. 1962. Т 57(99). №3. С.265-280.

64. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные решения разрывных задач вариационного исчисления // Деп. в ВИНИТИ 26.03.97. № 923-В97. 26с.

65. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О расширениях разрывных вариационных задач // Понтрягинские чтения-VII". Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 1996. С.129.

66. Морозов С.Ф.,Семенов А.В.Необходимые условия обобщенного экстремума в разрывных вариационных задачах / Деп.в ВИНИТИ 30.10.98. №3135-В98. Юс.

67. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О существовании обобщенных и разрывных решений пространственных вариационных задач // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. Вып.2(19). С.166-173.

68. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Необходимые условия экстремума в разрывных обобщенных задачах вариационного исчисления // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. Вып. 1(20). С.130-136 .

69. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные кривые и необходимые условия разрывного решения пространственной вариационной задачи // Известия ВУЗов. Математика. 2000. №9(460). С.21-26.

70. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О теории разрывных решений вариационных задач в классе обобщенных кривых // Известия ВУЗов. Математика. 2001. №2(465). С.48-59.

71. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Многомерные вариационные задачи в классе разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1973. №8. С.54-67.

72. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Сопряженные точки разрывных решений задачвариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1976. №2468-76.20 с.

73. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Разрывные решения в пространственной задаче вариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1977. №3814-77. 18с.

74. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

75. Петров В.В. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач с ограничениями на производную/Деп.в ВИНИТИ. 1980. №2091-80. 17с.

76. Петров В.В. Необходимые условия экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными / Деп. в ВИНИТИ 1980. №2090-80. 12с.

77. Петров В.В. Нерегулярные вариационные задачи на классах разрывных функций. Диссканд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1981.

78. Плотников В.И. О дифференцируемости решений регулярных вариационных задач в непараметрической форме // Матем. сб. 1960. Т.47. С. 356-396.

79. Плотников В.И. О полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.52(94) 1960 С. 799-810.

80. Плотников В.И. О непрерывности регулярных и квазирегулярных функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.53(95) № 2 1961 С. 137-158.

81. Поляк Б.Т. Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум // Матем. сб. 1969. Т.78. №1. С.65-85

82. Проблемы Гильберта М.: Наука, 1974.

83. Размадзе A.M. Sur les solutions discontinuous dans le calcul des variations // Math.Ann. 1925. V.94. P. 1-52.

84. Размадзе A.M. Sur une condition de minimum nécessaire pour les solutions anguleuses dans le calcul des variations // Bull. Soc. Math. France. 1923. T.51 P.223-235.

85. Рохлин B.A. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т.25. №1; С. 107-150.

86. Семенов A.B. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными // Вестник ННГУ. Сб. научных трудов аспирантов / Н.Новгород: ННГУ, 1995. С.88-92.

87. Семенов A.B. О необходимых условиях экстремума в вариационных задачах со старшими производными на классе функций с существенно разрывной (п-1)-ой производной / Деп. в ВИНИТИ 23.01.96. № 268-В96. 22с.

88. Семенов A.B. Обобщенные кривые Юнга-Макшейна и существование разрывных решений квазирегулярных вариационных задач // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в военном деле. Вып.2. / НВЗРКУ ПВО. 1998. С.116-118.

89. Серовайский С.Я: Нижнее пополнение и расширение экстремальных задач // Изв.вузов. Матем. 2003. №5. С.30-41.

90. Сигалов А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления // УМН. 1951. Т.6. №2. С.16-101

91. Сигалов А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления в непараметрической форме, преобразование к параметрической форме // Матем.сб. 1954. Т.34. №3. С.385-406.

92. Сигалов А.Г. Вариационные задачи с допустимыми поверхностями произвольных топологических типов // УМН. 1957. T.XII. вып.1. С.53-98.

93. Слугин С.Н., Шашков В.М. Минимизируемость функционалов на топологическом произведении дуальных пространств. Изв. вузов. Матем. 1974. №5. С.188-193.из114115116117,118119,120,121.122,123,124,125,126,127,128.129.130.

94. Сычев М.А. Критерий непрерывности интегрального функционала на последовательности функций // Сибирский мат. журнал. 1995. Т. 36. №1. Сычев М.А. О зависимости решений простейших вариационных задач от интегранта// Сибирский мат. журнал. 1995. Т.36. №2.

95. Сычев М.А. Примеры неразрешимых в классическом смысле скалярных регулярных вариационных задач, удовлетворяющих условиям стандартного роста// Сибирский мат. журнал. 1996.Т37. №6.

96. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.

97. Филлипов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Т.2. С. 25-32 Халмош П. Теория меры М.: ИЛ, 1959.

98. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гиз ин. лит-ры, 1948. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970. Циммерман В. Разрывные линии в вариационном исчислении. Одесса: Типография Штаба Округа, 1896.

99. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

100. Ball J.M., Mizel V.J. One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy Euler-Lagrange équation // Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V.90. №1 P.325-388.

101. Clarce F.H., Vinter R.B. Existence and regularity in the small in the calculus of variations //J. Differential Equations. 1985.Vol. 59. P.336-354.

102. Clarce F.H., Vinter R.B. Regularity properties of solutions to the basic problem in the calculus of variations // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol.289. P.73-98.

103. Courant R. Uber Direkte Methoden der Variationsrechnung und verwandte Fragen // Math.Ann.1927. V.97. S.711-736.

104. Davie A.M. Singular minimizers in the Calculus of Variations in One Dimensional // Arch. Rational Mech. Anal. 1988. V.101. P.161-177.

105. Graves M.R. On the existence of absolute minimum in space problems of the calculus of variations// Ann. of Math. 1927 .V.28. P.153-170.

106. Graves L.M. Discontinuous solutions in the calculus of variations // Bull. Amer. Math. Soc. 1930. V.36. P.831-846.

107. Graves L.M. Discontinuous solutions in space problems of the calculus of variations // Amer.J.Math.l930.V.52. P.l-28.

108. Hilbert D. Uber das Dirichletschen Prinzip // Math.Ann.1904. V. 59. S.161-186.

109. Kosa A. Notndige Bedingungen fur die diskontinuielichen Losungen von den Variationsproblem n-ter Ordnung // Acta Math. Acad. Sei. Huhg. 1960. V.l1 S.23-48.

110. Lawden D.F. Discontinuous solutions of variational problems // J. Austral. Math. Soc. 1959. V.l. P.27-37.141; Lawden D.F. Minimal Rocket Trajectories // J.Amer.Rocket.Soc.1953. V.23. P.360-382.

111. Lebeque H. Sur le probleme Dirichlet // Rend Circ. Math, di Palermo. 1907. V.24. S.317-402.

112. McAllister G.T., Rohde S.M. Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications. 1973. V.l 1. №5. P. 480-493 .

113. Munoz J., Pedregal: P. Explicit Solutions of Nonconvex Variational Problems in Dimension One // Appl. Math. Optim. 2000. V. 41. P.129-140.

114. McShane E.J. Existence theorems for ordinary problems of the calculus of variations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1934. v.III. P.183-211,287-315.

115. McShane E.J. The Du Bois-Reymond Relation in the calculus of variations // Math. Annalen. 1934. Bd.109. № 5.746-755.

116. McShane E.J. Some existence theorems for problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1938 V.4. P. 132-156.

117. McShane E.J. Some existence theorems in the calculus of variations, I, II // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1938. V.44. P.429-438,439-453.

118. McShane E. J. Some existence theorems in the calculus of variations, III //Trans, of the Amer. Math. Soc. 1939. V.45. P.151-171.

119. McShane E.J. Curve-space topologies associated with variational problems // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1940.V.IX. P.45-60.

120. McShane E.J. Generalized curves // Duke Math. Journ. 1940. V.6. P.513-536.

121. McShane E. J. Necessary condition in generalized-curves problems of the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P.l 27.

122. McShane E.J. Existence theorems for Bolza problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P. 28 61.

123. McShane E.J. A metric in the space of generalized curves // Ann. of Math. 1950. V.52. P.328-349.

124. McShane E.J. Relaxed controls and variations problems // J. SIAM Ser. A Control. 1967. V.5. P.438-485.

125. Nagumo M. Uber die gleichmassige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblem // Japan.J.Math.1929. V.5. №6. P. 173-182.

126. Reid T. Discontinuous Solutions for a Non-Parametric Variational Problem // Appl. An. 1971. V.l. P.161-182.

127. Rohde S.M. Weak Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications, vol. 1976. V.l8. №4 P.499-510.

128. Sychev M.A., Mizel V.J. A Condition on the Value Function Both Necessary and Sufficient for Full Regularity of Minimizers of One-Dimensional Problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. V.350. №.1. P.119-133.

129. Tonelli L. Fondamenti di Calcolo della Variazioni v. 1,2 Bologna, 1923.

130. Tonelli L. Sur gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.l936.V.III. S.405-450.

131. Warga J. Relaxed variational problems. Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. №1. P.l 11 — 128.

132. Warga J. Necessary conditions for minimum in relaxed variational problems // Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. №1. P.129 145.

133. Young L.C. On approximation by polygons in the calculus of variations // Proc. Royal Soc., (A). 1933. V.141. P.325-341.