Усреднение обобщенных операторов Бельтрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Джамалудинова, Саида Пахрудиновна

• Джамалудинова, Саида Пахрудиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джамалудинова, Саида Пахрудиновна

Содержание

Введение

глава 1. Усреднение уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом

§1.1. О (^-сходимости обобщенных операторов Бельтрами

§ 1.2. Оценки

§1.3. О ядре оператора, сопряженного оператору Бельтрами с почти периодическим коэффициентом

§ 1.4. Теорема об усреднении оператора Бельтрами с почти периодическим коэффициентом

§1.5. Примеры

Глава 2. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с почти периодическими коэффициентами

§2.1. О ядре сопряженного оператора 39 2.1.1. Оценки

2.1.2. Ядро сопряженного оператора

§2.2. Теорема об усреднении

§2.3. Примеры

§ 2.4. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с коэффициентами из эргодической алгебры

2.4.1. Ядро сопряженного уравнения

2.4.2. Усреднение

Глава 3. С-копмактность и усреднение одного класса эллиптических систем второго порядка с комплексными

коэффициентами

§3.1. Задача Пуанкаре

§3.2. (7-компактность класса я/(ко] ф)

§3.3. Ядро сопряженного опрератора

3.3.1. Неравенство острого угла

3.3.2. Ядро сопряженного оператора

§ 3.4. Усреднение (периодический случай)

3.4.1. Понятие усреднения

3.4.2. Усреднение

§ 3.5. Примеры

§ 3.6. Усреднение (почти периодический случай)

3.6.1. Ядро сопряженного оператора

§3.7. Теорема об усреднении

Список литературы

Список обозначений

Приведем ряд обозначений и понятий, используемых в работе. Е2 — плоскость, (х, у) — х\у\ + Х2У2 — скалярное произведение. В первых двух главах С Ш.2 — ограниченная односвязная область класса (т. е. граница области д— кусочно гладкая замкнутая

кривая, которая состоит из конечного числа дуг класса С1+а, 0 < а < 1; г/17г,..., ит7г — внутренние углы при угловых точках, причем 0 < ^ 2, j — 1,

- 2 ^Зц ^ Ьдх2)1 ~ 2 1дх2)-

дХ1 = ^ дх2 = Ъ — мнимая единица.

Через дг, д2г обозначены дифференциальные выражения, определяемые формулами:

(дг) и = дги, (д2^ и = д^щ

где черта означает комплексное сопряжение.

1/2 (ф; С) — пространство Лебега комплекснозначных квадратично суммируемых функций. (Символ С здесь и далее в обозначении пространства означает также, что это пространство есть линейное пространство над полем действительных чисел М.) Скалярное произведение в /^(^С) дается равенством

(и, г>)£2(<?;С) = /Ь2{Я] С), Я

где V - комплексно-сопряженная V функция.

Wp (Q) (к £ N, 1 ^ p < oo) — обычное пространство Соболева;

о

Wp(Q) — подпространство Wk(Q), состоящее из элементов с нулевыми следами на границе.

Wp(Q; С) — пространство Соболева комплекснозначных функций. — квадрат со стороной Т, параллельной оси координат (квадрат периодов); |Q| = Т2 — площадь квадрата |0|.

Напомним понятие среднего значения функции многих переменных. Пусть д(х) — ограниченная измеримая функция на Rn. Рассмотрим семейство функций д£ — д(е~1х), 0 < е ^ sq = const. Скажем, что число (д) — есть среднее значение функции д(х), если д£ —^ (д) в .i?2ioc(Rn) при £ —> 0.

Знак —" (здесь и далее) означает слабую сходимость в соответствующем пространстве.

Периодической будем называть функцию периода Т по каждой переменной. Как известно, если д(х) (х € R2) — периодическая функция, д € С), то она имеет среднее значение

(д) = ¡Щ-1 J д(х) dx. п

Жк(П) = W}(Q), щп- С), Jifk(n- С) ее W2*(ii; С) - пространства Лебега и Соболева периодических функций.

Jif'1 = Jf _1(0; С) — пространство, сопряженное Jif1(Q; С). Пространство, сопряженное Jz?2(fi; С), отождествляем с С),

что возможно в силу теоремы Рисса.

Trig (R2) — множество тригонометрических многочленов, т. е. конечных сумм вида и(х) = А, х€ R2.

А

АР (R2) — пространство почти периодических функций Бора, т. е. по-

полнение множества Trig(R2) по норме sup |м(х)|. Как известно, для три-

x€R2

гонометрического полинома и(х) — ]Г] адег(л,а;) существует среднее значе-

л

ние, равное ао. Отсюда легко следует, что каждая функция из АР (R2) имеет среднее значение.

Введем еще одно пространство почти периодических функций. Пополнение множества Trig (R2) по норме ||w||ß2 — есть гильбертово несепарабельное пространство «почти периодических функций Безикови-ча» Z?2- Функционал среднего значения (и), определенный первоначально на Trig(R2), очевидно, непрерывен по норме В2. Его продолжение по непрерывности на В2 обозначим тем же символом (и).

Wo(Q] С) — подпространство W^iQ] С), элементы которого удовлетворяют соотношениям

ReuGW^Q), Jlmudx = 0. Q

W(Q] С) — подпространство пространства Соболева (Q] С) ком-плекснозначных функций над полем 1R, определенное равенством

yP(Q) = С) = G W%{Q] С) I Reu = 0 на dQ, Redzu = 0 на dQ,

J lmudx = 0, Jlmdzudx = 0^.

Q Q

QA — образ оператора A.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение обобщенных операторов Бельтрами»

Введение

Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о С-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, физические процессы, рассматриваемые в сильно неоднородных средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитивных материалов. Непосредственное решение таких задач численными методами, ввиду того, что коэффициенты быстро осциллируют, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравненям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Основное требование, которому должно удовлетворять усредненное уравнение, это «близость решений» исходных и усредненного уравнения.

Таким образом актуальность исследования вопросов усреднения и С-сходимости эллиптических систем определяется приложениями к задачам теоретической и математической физики, а также внутренней логикой раз-

вития теории усреднения и G-сходи мости.

Целью работы является 1) построение усредненных моделей для обобщенных уравнений Бельтрами 2) изучение вопросов G-компактности и усреднения для одного класса эллиптических систем второго порядка.

Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А.Пуанкаре, H.H. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [3].

Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие G-сходи мости последовательности операторов было введено в работах С. Спаньоло ([28], [29]) в 1967 г. и в применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([26], [28], [29]). В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В. А. Марченко, Е. Я. Хруслова [11], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау [25], Э. Санчес-Паленсии [13], Н. С. Бахвалова, Г. П. Панасенко [1], В. В. Жикова, С. М. Козлова, O.A. Олейник [5] и др.

Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G-

сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова В.В., Козлова С.М., Олейник O.A. и Ха Тьен Нгоана [6].

Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [24], Жикова В.В., Си-ражудинова М.М. [7]-[9], [14]—[19], [27], [30]—[32]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов (такими и являются операторы, рассматриваемые в работе) представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов

В работе принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.

В параграфе § 1.1 в виде предложений собраны известные результаты по G-сходимости эллиптических систем первого порядка, которые требуются в дальнейшем. Новые результаты оформлены в виде теорем, лемм, следствий.

Рассмотрим следующую задачу Римана-Гильберта:

Au = d-Zu +¡idz + vd-zü = f е L2{Q; С), и е Wo(Q; С),

где fi, и — комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию

vrai sup{\ß{x)\ + \v{x)\) ^ к0 < 1. (2)

xeQ

Условие (2) есть условие эллиптичности уравнения (1).

Уравнение (1) при и = 0 называется уравнением Бельтрами. Как

известно (см. [17], более подробно об этом смотрите в Главе 1), задача (1) однозначно разрешима для любого / € С) и причем имеет место

оценка [17]:

где с > 0 — постоянная, не зависящая от и.

Пусть теперь ¡1 — /¿(я), V = и(х) — почти периодические функции Бора, ц, и £ АР (Е2). И пусть для них выполнено условие эллиптичности (2) на всей плоскости. Рассмотрим семество задач Римана-Гильберта:

Дадим понятие усреднения семейства {^4г}о<е«£1-

Определение 1. Скажем, что семейство {Ае} допускает усреднение, если для любого / € С) семейство решений {ме} задачи (4) слабо в

С) сходится при е —У 0 к решению задачи

А0и = д-ги + ц°дги + и%й = / е ¿2(<3; с), ие \VoiQ-, с), где /Д Vй — константы, + ^ /со-

В §1.1 рассматривается вопрос усреднения уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

Важное значение при усреднении играет вопрос о существовании решений уравнения —А*р = дгр + ¿^(Др) = 0 из пространства Безиковича Въ- Под решением уравнения А*р = 0 понимается элемент р 6 В^ такой, что справедливо равенство

С\\и\\шц<з-,С) ^ \\Аи\\ь2(д-,с)

(3)

(4)

-(А*р, <р) = Ие ({д-2<р + рдм) ■ р) = 0, <ре Тпё (М2),

где (•, •) — значение функционала. Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть А = с^ + ^ 6 АР (К2), тогда существует единственное (с точностью до множителя) решение уравнения А*р = 0; такое, что среднее значение (р) = 1, р Е В2.

Теорема доказана в параграфе 1.3.

Сформулируем теорему об усреднении оператора Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

Теорема 2. Для семейства

Л£ = дг + // дг,

// = х) имеет место усреднение, коэффициент усредненного оператора Ао дается формулой ¡1° = {рц), где р из теоремы 1.

В § 2.1 рассматривается вопрос усреднения обобщенных уравнений Бельтрами (1) с почти периодическими коэфициентами.

Как и в случае оператора Бельтрами важную роль при усреднении здесь играет вопрос о существовании решений сопряженного уравнения А*р — 0 из пространства Безиковича В2. Под решением уравнения А*р = О понимается элемент р € В2 такой, что справедливо равенство

~(А*р, <р) = Ые {{дцр + /¿<92<^ + ид-гф) ■ р) = 0, (ре Тщ (М2).

Имеет место следующая

Теорема 3. Множество решений уравнения А*р = 0 из В2 образует двухмерное подпространство в В2, причем один из базисов этого подпространства {^1, Р2} удовлетворяет условиям (рх) = 1, (рг) =

Теорема доказана в параграфе 2.1. В параграфе 2.2 доказана следующая

Теорема 4. Для семейства Ае : Аеи — д^и 4- цедги + // =

¡1{е~1х) и Vе — у{е~1х) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Ао постоянные и вычисляются по формулам

В параграфе 2.3 приведены примеры по усреднению. В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос усреднения обобщенного уравнения Бельтрами (1) с коэффициентами ц, и из эргодической алгебры. Дадим понятие эргодической алгебры, следуя Жи-

Пусть X С Loo(R2¡ С) — линейное (над полем R) пространство ком-плекснозначных функций на R2. Скажем, что X есть алгебра со средним, если

1)для любых f,g из X их произведение fg принадлежит Х\

2)Х инвариантно относительно сдвига;

3) любая функция из X ограничена на R2, равномерно непрерывна на R2 и имеет среднее значение.

Пополнение множества X по норме Безиковича

= (/¿^ + V&>), и0 = {Ji&> + v&)

где

& = 2-\Р1 + гр2), & = 2~\pi + т)

Pi, Р2 — базисные векторы из теоремы 3.

кову В.В. (см. [23], [5, гл.7, §5]).

есть гильбертово пространство, которое обозначим через W2.

Алгебру со средним X называют эргодической алгеброй, если в со-отвествующем пространстве W2 равенство f(x + t) = f{x), х Е R2 для любого фиксированного t Е R2 возможно только для констант.

Совокупность функций вида / * h, где / пробегает L^R2; С), a h пробегает Cq°(R2\0) обозначим через Xq. Здесь h — преобразование Фурье /г; / * h — свертка.

Отметим некоторые свойства Хо (см. [23], [5, гл. 7, §5]):

1) @аХ0 С Х0 для любого мультииндекса а;

2) множество Xq плотно в подпространстве {/ Е W2 | (/) = 0}.

Как и в почти периодическом случае рассмотрим вопрос существования решений сопряженного уравнения А*р — 0 из пространства W2. Под решением уравнения А*р = 0 понимается элемент р Е W2 такой, что справедливо равенство

Re {(dzip + ¡idzip + vdzip)p) = 0, </? E Xq.

Имеет место следующая

Теорема 5. Множество решений уравнения А*р = 0 образует двухмерное подпространство в W2, причем один из базисов этого подпространства {pi, Р2] удовлетворяет условиям (р\) = 1, (^2) = i-

В случае оператора Бельтрами (и = 0) = ip\.

Справедлива следующая теорема об усреднении.

Теорема 6. Для семейства Ае : Аеи = dzu + ¡i£dzu + v£dzu, /¿£ = ji{e~lx) и v£ = v{e~lx), (fi, v принадлежат эргодической алгебре X) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Aq

постоянные и вычисляются по формулам

= + , и0 = +

где & = 2 + гръ), & = 2 + грг), VI, Р2 — базисные векторы из теоремы 5.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена краевая задача Пуанкаре:

Аи = д2г-ги + + Уд\^ч = / € Ь2(д; С), и е С), (5)

где г/ —комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию (2), — ограниченная гладкая (класса С2+а, 0 < а < 1) область плоскости. Доказана следующая

Теорема 7. Краевая задача Пуанкаре (5) однозначно разрешима для любой правой части / £ Ь2(Я] С). Более того, имеют место априорные оценки

Заметим, что норма в левых частях этих соотношений задает в С)

норму эквивалентную норме прстранства Соболева С).

Обозначим через <е/(/со; Я) — множество операторов вида (5). Дадим понятие С-сходимости в классе .с/(/со; ф).

Определение 2. Скажем, что последовательность {АС £?{ко\ ф) С-сходится в области ф к А £ ¿¿(ко; Я), если слабо сходится

(1 - ко) \\д]-ги\\ы^с) < \\Аи\\ыег.,с) ^ (1 + ко) \\д

ь2(0;С)

Я

к , где и операторы краевых задач Пуанкаре: А^и^ = / € Ь2(<Э; С), щ е С); Аи = }е С), и е С).

Иначе говоря, С-сходимость означает слабую сходимость решений щи в С) при к —У оо.

С-предел последовательности {Л/с} С ¿/(/со; О) опеределен единственным образом. Действительно, если имеем два предела, то для них справедливо равенство

+ /11(9> + и^ъи = + /¿2<9> + V™ е ^(ф С). (*)

Пусть го Е. С} — произвольная точка области (3; к;2 — финитные (в О) функции равные г2/2, г г2/2 в окрестности точки го- Рассмотрим функцию и) = гиг — ъс\ — 1(г + г)с2, где действительные числа С1, с2 определяются равенствами

°2 = 11т ^^ ^Х Я

с\ = Щ У 1тгу1 ~ J сЬс ■ J XI ¿х, где |<Э| — мера <2.

я я я

Очевидно, что ги £ С), после подстановки т в (*) получим, что в

точке го имеем /¿1 + щ = ¡12 + г/2. Аналогично, используя ги2, получим ¿¿1 — г/1 = ¡12 ~ Следовательно, /¿1 = /л2, = почти всюду в Справедлива следующая

Теорема 8. Класс (ко] <3) С-компактен, то есть из любой последовательности операторов из £#(ко] можно выделить С-сходящуюся подпоследовательность.

Эта теорема доказана в параграфе 3.2.

Имеет место теорема о сходимости «произвольных решений»

Теорема 9. Пусть Акик = /ь /* —> / в Ь2{Я\ С), ик и в ТУ22(<5; С), и пусть в-Нт Ак = А. Тогда Аи = /.

Рассмотрим подкласс £?о{ко\ О) класса «с/(/со; ф), состоящий из операторов с г/ = 0. Имеет место

Теорема 10. Класс я/о{ко\ компактен относительно С-сходимости.

Рассмотрим семейство задач Пуанкаре

Аеие = д2г-гие + ¡1ед^и£ + и£д-г,Щ = / е ь2(д; С),

(6)

и£ € С),

где [Iе = /¿(е-1:г), и£ = г/(е:-1а;), 0 < е ^ 1; /¿(ж), г/(ж) — периодические (почти периодические) функции, удовлетворяющие условию эллиптичности (2) на всей плоскости. Очевидно, что Ае принадлежит классу (ко] О). Дадим понятие усреднения для семейства (6):

Определение 3. Скажем, что для семейства {имеет место

о*

усреднение, если найдется оператор Ао 6 £?(ко] такой, что Ае —> Ао в области ф при £ —>• 0. При этом Ао называется усредненным оператором (а соответствующее уравнение — усредненным уравнением).

Рассмотрим сначала вопрос усреднения в случае периодических коэффициентов /¿(ж) и и(х). Важную роль при усреднении играет ядро оператора А* : С) —> сопряженного оператору перио-

дической краевой задачи:

Аи = д]-ги + цд222и + ид^й = / е ЩП] С), ие С). (7)

Сопряженное однородное уравнение дается равенством (подробнее

смотрите в пункте 3.3.2, главы 3)

-а*р = + д1,(рр + ир) = о,

где производные понимаются в смысле распределений. Имеет место

Теорема 11. Ядро оператора А* : С) Ж"2(П; С) - двух-

мерное подпространство С), причем один из базисов ядра {р\, р2}

удовлетворяет условиям

Ы = 1, Ы = г.

Кроме того, в случае V = О базисные векторы можно выбрать так, что р2 - 1Р1-

Сформулируем теорему об усреднении в периодическом случае

Теорема 12. Для семейства А£ = д2х1 + [¿£д2г 4- и£д2г, // = /л(е~1х) и и£ = и(е~1х), ц(х), и(х) — периодические функции, имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Ао постоянные и вычисляются по формулам

= + ? и0 = (-Ц& + ,

где

&> = 2-1(р1 + 1р2), & = 2-1(р1 + гЩ),

Р\, р2 — базисные векторы из теоремы 11.

В параграфе 3.5 даются примеры по усреднению. Приведем один из

них.

Пример. Пусть ¡1 — 0, и = коетХ1г, т/0 целое, 0 < ко < 1. Тогда ^ = -к2, и0 = 0.

Этот пример показывает, что подкласс операторов вида Ли = дг2и + ид—й класса я/(ко; ) не является С-компактным (сравните это с теоремой 10).

Рассмотрим теперь вопрос усреднения в случае почти периодических коэффициентов.

Аналогично периодическому случаю, важную роль при уреднении играет вопрос о существовании решений уравнения А*р = 0 из пространства Безиковича В2. Под решением уравнения А*р — 0 понимается элемент р € В2 такой, что справедливо равенство

- (А'р, <р) = Ие ((<92гУ) + + рд1ф) ■ р) = 0, р € (Е2).

Имеет место следующая

Теорема 13. Множество решений уравнения А*р = 0 из В2 образует двухмерное подпространство В2, причем один из базисов {р\, р2} этого подпространства удовлетворяет условиям (р\) = 1, (р2) = г.

Эта теорема доказана в параграфе 3.6. В параграфе 3.7 доказана следующая

Теорема 14. Для семейства Ае : Аеи — д22и + (1£д2ги + у£д\^й, — ^{е~1х) и vе = и^^х), (ц{х), 1у(х) — почти периодические функции, удовлетворяющие условию эллиптичности (2) на всей плоскости) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора А<з постоянные и вычисляются по формулам

/и0 = + , и0 = (-Ц& + ,

где

& = Т\рх+%р2), & = 2-\р1 + т),

р\, р2 ~ базисные векторы из теоремы 13.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джамалудинова, Саида Пахрудиновна, 2013 год

Список литературы

1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984.

2. Берс «71., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1966.

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1963.

4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1959.

5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физ-мат. лит. 1993.

6. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов// УМН. 1979. Т. 34, вып. 5. С. 65 - 133.

7. Жиков В. В., Сиражудинов М.М.О G-компактности одного класса недивергентных эллиптических операторов второго порядка // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1981. Т. 45, № 4. С. 718 - 733.

8. Жиков В. В., Сиражудинов М.М. Усреднение системы уравнений Бельтрами // Дифф. ур. 1988. Т. 24, № 1. С. 64 - 73.

9. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка и стабилизация решения задачи Коши// Матем. сб. 1981. Т. 116, № 2. С. 166-186.

10. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964.

11. Марченко В. А., Хруслов Е. Я .Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев, «Наукова думка». 1974.

12. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.

13. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир. 1984.

14. Сиражудинов М. М. С-сходимость и усреднение некоторых недивергентных эллиптических операторов высокого порядка// Дифф. ур. 1983. Т. 19, № 11. С. 1949 - 1956.

15. Сиражудинов М. М. О С-компактности одного класса эллиптических систем первого порядка// Дифф. ур. 1990. Т. 26, № 2. С. 298 - 305.

16. Сиражудинов М. М. О геометрии С-компакта недивергентных эллиптических операторов второго порядка// Исследование качественных свойств реш. кр. з. Воронеж: изд-во ВГУ. 1990. С. 75-82.

17. Сиражудинов М. М. О й-сходимости и усреднении обобщенных операторов Бельтрами// Матем. сб. 2008. Т. 199, № 5. С. 124-155.

18. Сиражудинов M.M., Сиражудинов P.M. О G-сходимости систем обобщенных уравнений Бельтрами// Тр. матем. инст. им. В. А. Стек-лова. 2008. Т. 261, С. 268-275.

19. Сиражудинов M. М. О G-компактности одного класса эллиптических систем первого порядка// Дифференц. уравнения, 26:2. 1990. С. 298Ц305.

20. Сиражудинов M. М. О краевой задаче Римана-Гильберта (Ь2- теория)// Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 8, С. 1400 - 1406.

21. Сиражудинов M. M. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области// Матем. сб. 1993. Т. 184, m 11. С. 39-62.

22. Сиражудинов M. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости// Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61, № 5. С. 137-176.

23. Жиков В. В., Кривенко Е. В. Усреднение сингулярно возмущенных эллиптических операторов// Мат. зам. 1983. Т. 33, № 4. С. 571-582.

24. Фрейдлин М. И. Задача Дирихле для уравнений с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра// Теория вероятности и ее применение. 9:1. 1964. С. 133 - 139.

25. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland Publ. 1978.

26. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali dell'energia per operatori ellittici del 2 ordine// Boll. Un. Mat. Ital., 1973. (4), 8, P. 391 -411.

27. Sirazhudinov M. M. On G-compactness of one class elliptic system of the first order// Amer. Math. Sos. Differ. Equations. 1991. V.26:2.

28. Spagnolo S. Sul limite delle solutioni di problemi di Cauchy relativi all'equazione del calore//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1967. CI. Sci. 21, P. 657 - 699.

29. Spagnolo S. Sulla convergenza di solutioni di equazioni paraboliche ed ellittiche// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1968. CI. Sci. 22, P. 577 - 597.

30. Zhikov V. V., Sirazhudinov M.M. On G-compactness of a class nondivergence elliptic operators of second order// Amer. Math. Sos. Math. USSR Izv. 1982. V. 19, № 1. p. 27-40

31. Zhikov V.V., Sirazhudinov M.M. The averaging of nondivergence second order elliptic and parabolic operators and the Stabilization of the Cauchy Problem// Amer. Math. Sos. Math. USSR Sb. 1983. V.44, № 2. p. 149-166.

32. Zhikov V. V., Sirazhudinov M.M. Homogenization of the Beltrami system Amer. Math. Sos. Differ. Equations. 1990. V.24:l.