Устойчивость разностных схем с параметром в нелокальных граничных условиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Удовиченко, Нелля Сергеевна

• Удовиченко, Нелля Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Удовиченко, Нелля Сергеевна

0.1 Введение.

1 Нелокальная разностная схема с параметром 7 = — 1.

1.1 Спектр и собственные функции основного разностного оператора в случае вещественного 7.

1.1.1 Решение спектральной задачи в разностном случае.

1.1.2 Решение спектральной задачи в дифференциальном случае.

1.2 Примеры решения спектральной задачи для различных значений граничного параметра 7.

1.2.1 Случай 7 = 0.

1.2.2 Случай 0 <7 <1.

1.2.3 Случай 7 = 1.

1.2.4 Случай 7 > 1.

1.2.5 Случай -1 < 7 < 0.

1.2.6 Случай 7 = -1.

1.2.7 Случай 7 < -1.

1.3 Собственные и присоединенные функции в случае 7 = — 1.

1.3.1 Сопряженный оператор при 7 = — 1.

1.3.2 Биортонормированность и базисность систем собственных и присоединенных функций.

1.4 Устойчивость схемы в случае 7 = — 1.

1.4.1 Критерий устойчивости схемы при 7= -1 в Hq.

1.4.2 Представление собственных и присоединенных функций через орто-нормированный базис.

1.4.3 Теоремы об оценках оператора нормы.

2 Разностная схема с произвольным параметром 7.

2.1 Свойства спектра в случае |7| > 1.

2.1.1 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 > 1.

2.1.2 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 < —1.

2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в Hd при I7I > 1.

2.2.1 Необходимое условие устойчивости в случае |7| > 1.

2.2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в случае 7 < —1.

2.2.3 Устойчивость дифференциальной задачи в случае |7| > 1.

2.3 Оценки оператора нормы в случае 7 < —1.

2.3.1 Сопряженный оператор в случае [7I > 1.

2.3.2 Разложение собственных функций по ортонормированному базису.

2.3.3 Теорема об оценках оператора нормы.

3 Устойчивость схемы в случае комплексного граничного параметра.

3.1 Спектр основного разностного оператора в случае комплексного 7.

3.1.1 Вычисление чр = arccos 7, когда 7-комплексное число.

3.1.2 Спектр основного разностного оператора.

3.1.3 Спектр пространственного оператора в дифференциальном случае.

3.2 Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы в случае комплексного 7.

3.2.1 Необходимое условие устойчивости схемы.

3.2.2 Устойчивость дифференциальной задачи, когда 7- чисто мнимое число.

3.2.3 Достаточное условие устойчивости схемы.

3.3 Сопряженный оператор и оценки энергетической нормы в случае комплексного 7.

3.3.1 Задача на собственные значения для сопряженного оператора.

3.3.2 Связь собственных функций с решением задачи с условиями периодичности.

3.3.3 Оценки оператора энергетической нормы.

Список публикаций по теме диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость разностных схем с параметром в нелокальных граничных условиях»

1. При численном решении задач математической физики важным аспектом является построение разностной схемы. Одним из главных факторов выбора схемы является ее устойчивость. Теория устойчивости разностных схем стала отдельной областью исследования в середине прошлого столетия. Исследованиям посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов, а также на использовании метода энергетических неравенств.

Одним из наиболее перспективных направлений стала теория, разработанная А.А. Самарским, которая легла в основу настоящей диссертации. В его работах [1], [2] поставлена и во многом решена задача построения общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем как операторно-разностных уравнений в гильберторовом пространстве.

А.А. Самарский вводит систему разностных уравнений как самостоятельный объект, не зависящий от исходной дифференциальной задачи. В общем случае, разностная схема понимается как операторное уравнение, может быть нелинейное, с операторами, действующими в функциональном пространстве. Вводится единая каноническая форма записи двуслойных и трехслойных разностных схем и общие для данного класса схем условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств, связывающих операторы схемы. При этом исследование устойчивости каждой определенной разностной схемы сводится к приведению ее к канонической форме и затем к проверке выполнения соответствующих операторных неравенств. Подробное изложение теории можно найти в монографии [3] и в обзорной статье [4].

В работах [5]-[7] развита теория так называемых симметризуемых разностных схем, где исследование устойчивости сводится к проверке критериев в терминах операторных неравенств. В основу положено исследование соответствующих самосопряженных разностных задач. При рассмотрении схем с несамосопряженными операторами такая теория дает только необходимые условия устойчивости, хотя основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Таким образом, исследование устойчивости несамосопряженных разностных схем сталкивается с принципиальными трудностями, поэтому приходится выделять более узкие классы схем по сравнению с общими схемами, рассмотренными в [2].

В настоящей работе будут рассмотрены системы дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными граничными условиями из класса несамосопряженных задач. К изучению нелокальных разностных схем приводят математические модели для ряда прикладных задач в области биологии, физики, моделирования процессов переноса химически активных элементов [8], загрязнений рек [9], генерирования [10]. Нелокальные задачи возникают в квазистатической теории термоэластики [11] и для систем терморезисторов [12], [13]. Примером нелокальной задачи является процесс распространения тепла в стержне при задании соотношения потоков тепла на обоих концах стержня или процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц. Применение метода разделения переменных к таким нелокальным задачам приводит к необходимости изучения спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных и разностных операторов, особенностью которых является неполнота систем их собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть как конечное, так и бесконечное число.

Общая постановка нелокальных задач для уравнений в частных производных была сформулирована в известной работе А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [14]. В работе Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина [15] изучалась задача для уравнения теплопроводности ди д2и „ ,

0<I<1' t>0' (°л> и[х, 0) = «о(а0) 0 < ж < 1 с нелокальными граничными условиями вида ди ди a1—(0,t) + b1—(ht) + aou(0,t) + bou(l,t) = 0, (0.2) ди Он

Cl ^ + ^ + ^ + ^ =

Первые исследования нелокальной задачи для однородного уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием были проведены J.R. Cannon [16].

В настоящей диссертации рассмотрим частный случай задачи (0.1)-(0.2): ди д2и „ ,

-w 0<x<h t>0' (аз) и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(0,*) = 0, 7g(0,i) = g(M). (0.4)

Здесь 7 — заданный числовой параметр. Известно, что определяющий указанную задачу дифференциальный оператор

Lu(x) = -u"(х), 0<®<1, и(0) = 0, 7«'(0) = w'(l) (0.5) не является самосопряженным и при 7 = 1 не обладает базисной системой собственных функций.

Свойства пространственного оператора задачи (0.3)-(0.4) при 7 = 1 изучалась в работах В.А. Ильина, Е.Р1. Моисеева и их учеников [17]-[20]. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В.А. Ильиным [17], [18]. Было показано, что для операторов вида (0.5) (7 = 1) существует базис Рисса, состоящий из собственных и присоединенных функций. Опираясь на разложение по такому базису, в упомянутых работах доказано существование и единственность ряда задач с нелокальными граничными условиями — найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.

0.6)

0.7) сопряженная задача) были рассмотрены Н.И. Ионкиным [21] в 1977 году. Опираясь на концепции работ В.А. Ильина, Н.И. Ионкин построил базис из собственных и присоединенных функций разностного оператора в явном виде, и на этой основе методом разделения переменных получил достаточные условия устойчивости разностных схем с весами. В другой работе Н.И. Ионкин и В.А. Морозова [22] вложили исследование разностных схем с нелокальными граничными условиями в общую теорию устойчивости разностных схем, предложенную А.А. Самарским. Такое вложение позволило получить необходимые и достаточные условия устойчивости в различных нормах.

В работе Н.И. Ионкина [23] проведено подробное изучение устойчивости и сходимости разностных схем с весами для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями (0.6)-(0.7). Здесь предложен также вычислительный алгоритм нахождения численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Используя разложение искомого решения в биортогональную сумму по собственным и присоединенным функциям разностного оператора, а также двусторонние неравенства для коэффициентов биортогонального разложения, Н.И. Ионкин получил (при определенных условиях на шаги сетки) априорные оценки решения разностной задачи через начальные условия и правую часть уравнения. Из этих априорных оценок следует устойчивость разностной схемы и сходимость ее к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью 0(r+h2).

Разностные схемы для задачи (0.3)-(0.4) при — 1 < 7 < 1 изучались А.В. Гулиным и В.А. Морозовой - в [24] был приведен пример, в определенном смысле имитирующий задачу с переменными коэффициентами и допускающий построение точного решения в аналитическом виде. Было замечено, что спектр рассматриваемого разностного оператора является простым и только в случае 7=1 переходит в кратный. Также показано, что при при (7] < 1 схема (0.3)-(0.4) является симметризуемой, что позволило получить критерий устойчивости в терминах параметров схемы и построить норму, в которой имеет место устойчивость по начальным данным. В работе А.В. Гулина, Н.И. Ионкина, В.А. Морозовой [25] исследовалась устойчивость разностных схем с весами, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями двух типов. В случае краевых условий первого типа система собственных функций основного разностного оператора не образует базиса в пространстве сеточных функций (7 = 1). Показано, что в этом случае не существует нормы, в которой явная схема была бы устойчивой при обычном условии т < 0.5/г2. Найдено близкое к указанному условие, необходимое и достаточное для устойчивости в специально построенной норме. В случае краевых условий второго типа ([7I < 1) система собственных функций является базисной и найдены достаточные условия устойчивости на шаги сетки.

Двумерный вариант задачи (0.3)-(0.4) был рассмотрен А.В. Гулиным, Н.И. Ионкиным, В.А. Морозовой в [26]. Исследование устойчивости разностных схем проведено методом разделения переменных. С помощью него был получен критерий устойчивости и построены оценки, выражающие устойчивость разностных схем по начальным данным.

До последнего времени не был исследован вопрос о том, что получится, если параметр 7 задачи (0.3)-(0.4) окажется за пределами интервала (—1,1]. Настоящая работа посвящена изучению устойчивости разностной задачи (0.3)-(0.4), исследованию свойств спектра основного разностного оператора, выяснению базисности системы собственных функций, если граничный параметр 7 ^ (—1,1] и для комплексного 7.

2. Остановимся подробнее на результатах А.В. Гулина, Н.И. Ионкина и В.А. Морозовой, которые имеют прямое отношение к настоящей диссертации. Итак, исследуется разностная схема с весами для задачи теплопроводности (0.3)-(0.4):

Л т Jl = оуШ + (1 - i = 1, 2, ., N - 1, = I Нп& ~ У^) + (1 - сг) (ТУ™,о - ?ДлО] , (°-8) yf = u0(xi), г = О, 1, ., N, у%+1= О, п = 0,1,.

Схема (0.8), как и любая линейная двуслойная разностная схема, записывается в канонической форме вУп+1 ~ Уп + А = 0) п = о,1,.м Уо задан, (0.9) г где уп = y(tn) е Я-функция дискретного аргумента tn — пт со значениями в конечномерном линейном пространстве Н и А, В — линейные операторы, действующие в Н. Считается, что операторы А и В не зависят от п, оператор В имеет обратный. Возможность перехода к переменным операторам описана, например, в [28], [29].

В [25] получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным в некоторой специальным образом построеной энергетической норме. В Н задано скалярное произведение (y,v) и определена норма ||у|| = у {у, у). Задан самосопряженный положительный оператор D : Н —> Я. Норму \\у\\о — y/{Dy,y) называют энергетической нормой, а сам оператор D - оператором нормы. Под пространством Но понимается множество всех элементов у е Я с нормой НуЦт?. Разностная схема называется устойчивой в пространстве Hp, если при любых начальных данных у0 & II для ее решения выполняются неравенства

Dyn+i,yn+1) < (Dyn,yn), п = 0,1,. Разностная схема (0.8) записывается в операторном виде

Уп+г ~Уп + aAyn+i + ^ а^Ауп = 0> п = 0,1,. уо задан. (0.10)

Схема (0.10) является частным случаем схемы (0.9), когда В — Е + иг А, а оператор А определяется равенствами

Ay)i =-y^i, г = 1,2,., N — 1, (0.11) 2

Уо = 0, (Ay)N = - jinVx,о - Vx,n)-В работе [25] доказаны следующие две теоремы

Теорема 1. Для устойчивости разностной схемы (0.10) в пространстве Но необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство

DA + A*D + (2cr - 1 )tA*DA > 0.

Далее авторами предположено, что оператор (0.11) подобен некоторому оператору J : Н —► Н, то есть существует обратимый оператор М, для которого А = MJM~l и доказана

Теорема 2. Пусть операторы А и J связаны равенством А — MJM"1 и пусть задан оператор D = D* > 0. Для устойчивости разностной схемы (0.10) в Hp необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство

DJ + J*D + (2сг - 1 )tJ*DJ > 0, где D = M*DM.

Вводится Н как JV-мерное линейное вещественное пространство, состоящее из векторов у — (У1У2---Уы)т и снабженное скалярным произведением и нормой n-1 f> v\ = л hViyi + 0.5hyNvN, [|?/|] = у/(у, у]. (0.12) t=i

Исследуется схема (0.10) при 7 = 1, когда оператор А определяется как

Ay)i = -узх,и г = 1,2,., N — 1, 2

Уо = 0, [Ay)N = о - Ух,м)

Показано, что случай 7 = 1 является особым, так как система собственных функций основного разностного оператора А не составляет базиса в II и ее приходится дополнять присоединенными функциями. В работе [23] доказаны леммы о виде собственных значений, собственных и присоединенных функций. Показано, что только числа Ао = 0 и Ajv/2 = 4//i2 (при четном N) являются простыми собственными значениеми, остальные -имеют алгебраическую кратность 2. Доказано, что система собственных и присоединенных функций составляет базис в Н.

В работе [23] сформулирован критерий устойчивости схемы (0.10) при j = 1 в пространствах Дд, где

D = (hMM*)'1. (0.13)

Доказана

Теорема 8. Пусть 7 = 1 и матрица М определена как матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы оператора А. Пусть оператор нормы D опреден согласно (0.13). Для устойчивости разностной схемы (0.10) в пространстве Но необходимо и достаточно выполнения неравенств

Неравенство Теоремы 3 позже уточнено [25].

Теорема 4- Если схема (0.8) с 7 = 1 устойчива в каком-либо пространстве Hd, пго справедливо неравенство

1 h2

0.14)

Обратно, если выполнено (0.14), то схема (0.10) с 7 = 1 устойчива в пространстве Hp, где D - оператор (0.13), а матрица М — матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы оператора А.

В случае 7 € (0,1) принципиальным отличием от случая 7 = 1 является базисность системы собственных функций пространственного оператора. В статье [24] найден явный вид спектра и собственных функций оператора (0.11). Доказано, что все собственные значения являются простыми и собственные функции образуют базис в Н. Определена матрица М как матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора А. Для исследования устойчивости схемы (0.10) использована теория симметризуемых разностных схем. Доказана лемма о том, что разностная схема (0.10) симметризуема.

Обозначим через S = Е — тВ~1А оператор перехода схемы (0.9). Разностная схема называется симметризуемой, если существует обратимый оператор К : Н —» Н такой, что оператор S = KSK~l является самосопряженным.

В работе [27] доказана теорема об устойчивости схемы (0.8)

Теорема 5. Если схема (0.8) с 7 е (0,1) устойчива в каком-либо пространстве Пр, то справедливо неравенство (0.14). Обратно, если выполнено (0.14), то схема (0.8) с 7 € (0,1) устойчива в пространстве Hp, где D — оператор (0.13), а М — матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора (0.11).

Также доказана эквивалентность построенных норм сеточной Ьг-норме. Исследованы спектры сопряженных операторов А* к оператору А при 7 = 1 и 7 G (0,1). Доказана биор-тонормированность систем собственных (собственных и присоединенных в случае 7 = 1) функций операторов А а А*. Сформулирована лемма, справедливая для любых биорто-нормированных систем векторов.

Лепима 1. Пусть в Н задано скалярное произведение (y,v) и определена норма ||?/|| = у/(у,у).Пусть заданы две системы векторов, {иЩ^^биортонормированные в смысле скалярного произведения {y,v). Предположим, что для некоторого у е Н справедливы разложения у = сфЫ + с2/х(2) + • • • + cNfi(N\ (0.15) у = dlVV + d2v{2) + ■ • • + dNv^\ (0.16)

Тогда n i) IMI2 = X>4, k=i

2) Ы\2 < (Х^Ы^ \k=1

3) Если ]T|dfe|2<<%||2, d> 0, то $>*|2 > (ГЧМ!2. fc=i fc=i n n

4) Если 5>*|2<с||у||2, О 0, то £ \dk\2 > eT^MI2. k=1 / n n к=1 к=1

Опираясь на Лемму 1, в [27] доказана теорема об оценках сумм коэффициентов биор-тогонального разложения для 7 = 1.

Теорема 6. Пусть векторы 11 {^^/Ис/ определены как = Х{, /л^2к\х{) = sin(27rfc®i), ^N/2\xi) = (-l)^i и vWfa) = 2, гД2*-а)(ж;) = 4cos(27rfcxi), v^k\xi) = 4(1 — Xi) sm(27rkxi) и справедливы разложения (0.15) и (0.16). Тогда выполнены неравенства

Из Теоремы 6 следует теорема об эквивалентности норм || ■ | [д и сеточной Ьг-нормы.

Теорема 7. Пусть 7 = 1, матрица М — матрица, составленная из собственных и присоединенных векторов оператора А, и D = (hMM*)~l. Тогда для любого у £ Н справедливы неравенства y]\2<(Dy,y}<K2\\y}\2, где «1 = 3/(8 + h2), к2 = 16.

В [27] доказаны аналогичные теоремы для случая 7 £ (0,1).

Теорема 8. Пусть 0 < 7 < 1. Векторы [/№ и v® заданы как fx^0\xi) — sin(фх{), fjPk~^ (х;) = sin((27rfc - rf))xi), ii{2k){xi) = sin((27rk + и vWfa) = <zcos(V>(l - 2*)), г/2^1^) = acos((27rfc—ip)xi+ifj), v^2k\xi) = a cos((2k к+ф)х^ф), где к = 1,2,., m, a = 2/y/l — 72, ф — avccosj. Справедливы разложения (0.15) и (0.16). Тогда выполнены неравенства

А=0 а~2Ы\2 <Y,dl<\\y)\\ fc=о г<9еа = 2/ч/1-72

Теорема 9. Пусть О < 7 < 1, матрица М — матрица, составленная из собственных векторов оператора А, и D = (hMM*)~l. Тогда для любого у £ Н справедливы неравенства

0.5||?/]|2 < (Dy,y] < а2||у]|2, где а = 2/у/1 — 72.

Кроме того, А.В. Гулиным, Н.И. Ионкиным и В.А. Морозовой построены оценки, выражающие устойчивость по правой части при условиях, которые совпадают с найденными ранее критериями устойчивости по начальным данным.

Различные аспекты теории разностных схем с нелокальными граничными условиями также рассматривались в работах B.JI. Макарова [30], Д.Г. Гордезиани [31], М.П. Сапаго-васа и Р.Ю. Чегиса [32], Sun Zhi-Zhong [33], [34]. В частности, в [31] исследуются одномерные уравнения колебания среды нелокальных с интегральными нелокальными условиями и строятся их решения с применением итерационного метода. Поставленные нелокальные задачи сводятся к интегральным уравнениям специального вида. В работе B.JI. Макарова [30] изучаются разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Бизадзе-Самарского и(0,£) = 0, u((,t) = u(l,t), 0 < С 1-Получены теоремы существования и единственности обобщенных решений, построены и исследованы чисто неявные разностные схемы, получены оценки их скорости сходимости. В работе Sun Zhi-Zhong [33] разностное решение для одномерной нелокальной задачи теплопроводности выражается через конечную сумму синусов, что позволяет автору доказать устойчивость по начальным данным построенной им разностной схемы четвертого порядка точности.

3. Приведем краткое изложение основных частей диссертации. Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении подчеркивается актуальность задачи, дается обзор работ, непосредственно относящихся к предмету диссертации, приводится краткое содержание диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Удовиченко, Нелля Сергеевна, 2009 год

1. Сал^арский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.:Наука,1973.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.:Научный мир,2000.

3. Макаров В.Л. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. В сборнике "Численные методы и приложения'84", София. 1985. 82-90.

4. Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Ро- топринт ИПМ им. ак. Векуа, ТГУ, 1981.

5. Сапаговас М.П., Чегис Р. Ю. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием. Дифференциальные уравнения. 1987. 23, JY^ 7. 1268-1274.

6. Sun Zhi-Zhong. А high order difference scheme for a nonlocal boundary value problem for the heat equaion. Computational methods in applied mathematics. 2001. Vol. 1. №7. Pp. 1-15.

7. Sun Zhi-Zhong. A second-order accurate finite difference scheme for a class of nonlocal parabolic equations with natural boundary conditions, Journal of Computational and Applied Mathematics, v.76 n.1-2. Pp.137-146, Dec. 17, 1996.

8. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978.

9. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва. 1961 г. 405.

10. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1971.

11. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. М., Наука. 1971.

12. Г.Стренг. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир. 1980.