Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Воробьев, Антон Алексеевич

• Воробьев, Антон Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воробьев, Антон Алексеевич

Список обозначений

Введение

1 Основные понятия и используемые результаты

§1.1 Некоторые сведения из теории операторов

§1.2 Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов

2 Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова

§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова.

§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов групп операторов

§2.3 Теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы

Хоулэнда.

3 Условия существования решений разностных уравнения и их оценок

§3.1 Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений.

§3.2 Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.

4 Оценки норм степеней матрицы

§4.1 Общие оценки.

§4.2 Оценки'матрицы простой структуры.

Список обозначений

N - множество натуральных чисел;

Ъ - множество целых чисел;

К - множество вещественных чисел;

С - множество комплексных чисел;

Н - комплексное гильбертово пространство;

ЕпсШ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в

X - комплексное банахово пространство;

ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Х\

С(Т) - график оператора Т;

КегТ - ядро оператора Т;

1тпТ - образ оператора Т;

И = £>(Т) - область определения оператора Т;

Т|| - норма оператора Т; р(Т) - резольвентное множетсво оператора Т;

Я(Х, Т) - резольвента ператора Т;

7{А) — С \ р{А) - спектр оператора А; г(А) - спектральный радиус оператора Л;

LP = H) - гильбертово пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций;

ZP = р е [1,оо] - пространство двусторонних последовательностей векторов из Н, суммируемых со степенью р для р Е [1, оо) и ограниченных для р = оо; Ы - семейство эволюционных операторов; Си - оператор вида Си '• D{Cu) С Т = .F(R, X)) —> Т А и ~ оператор вида Аи = I - Ти{ 1);

Со = Co(Z, X) - банаховое пространство Со = Co(Z, X) = {ж Е 4о: Hm ||я(п)||=0};

Т = {АеС:|А| = 1}- единичная окружность; J - одно из множеств: R+ или R;

Aj - множество следующего вида Aj = {(t, s) € 1 х I : s < i}; I - тождественный оператор;

Hom(T-Li,7i2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на Tii со значениями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем»

В основе качественной теории дифференциальных уравнений лежат вопросы устойчивости и оценок решений, при этом важную роль играет построение функции Ляпунова для уравнениям = Ах, где А : И (А) Е И —У % - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : = [0, оо] —> ЕпсШ. из банаховой алгебры ЕпсШ. линейных ограниченных операторов,, действующих в гильбертовом пространстве При этом важную роль играют гиперболические полугруппы операторов для которых выполнено условие

С7(Т(1))Г)Т = 0, где <7(Т(1)) - спектр оператора Т( 1) и Т = {г е С : \г\ = 1} - единичная окружность. Если сг(Т(1)) С {Л €Е С : |Л| < 1}, то такая полугруппа будет называться устойчивой.

Красивое истолкование второго метода Ляпунова с использованием нового скалярного произведения в И было дано в монографии [27] для случая, когда А € ЕпсШ и Т(£) = ехр{1А), £ 6 К, - группа операторов. Там же было установлено, что гиперболичность этой группы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора ТУ Е ЕпсШ такого, что А равномерно И^-дисспативен, т.е. А*У/ + 1¥А = ^<0, где символ ^ 0 означает равномерную отрицательность оператора ^Р £ Епс17-£. В этом случае оператор ]¥ определяет квадратичную функцию Ляпунова Ь : % —>• М, Ь{и) = (и, = (\¥и, и) такую, что функция £ Ь(и(£),и(Ь)) монотонно убывает для каждого решения и % дифференциального уравнения х = Ах.

В статье [60] и монографии [61] были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Со. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.

В диссертации результаты М.Г. Крейна распространяются для генераторов сильно непрерывных групп операторов. Приведен пример полугруппы операторов, для которых теорема М.Г. Крейна оказывается неверной.

В последнее время была установлена глубокая связь между теорией линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэфициентами и теорией разностных операторов в пространствах последовательностей векторов. Переход от рассмотрению дифференциального уравнения к разностному позволяет получить эффективные оценки ограниченных решений, которые могут быть использованы в вопросах робастности систем управления, а так же в активно развивающейся в настоящее время теории марковских процессов.

Вопрос оценки ограниченных решений разностных уравнений сводится к оценке норм степеней ограниченного оператора через максимальное значение нормы резольвенты на единичной окружности. При этом возникает необходимость использовать техники гомоморфных функций. Точность полученных оценок играет важную роль в вопросах разрешимости нелинейных разностных уравнений.

Диссертация посвящена распространению метода Ляпунова на дифференциальные уравнения с постоянными неограниченными операторными коэффициентами сильно непрерывных групп операторов, а так же оценкам решений разностных уравнений. Таким образом, исследуемая тема является актуальной.

Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа, голоморфных функций, теории функций вещественного анализа.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.

2. Необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоулэнда.

3. Условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.

4. Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.

5. Оценки норм степеней матрицы с известным спектром через спектральный радиус.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений.

Во второй главе диссертации получены условия разрешимости уравнения Ляпунова и необходимые и достаточные условия гиперболичности группы операторов.

Пусть И - комплексное гильбертово пространство, ЕпсЩ -банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в И. Сильно непрерывная полугруппа операторов Т : = [О, оо] —ЕпсШ, т.е. полугруппа класса Со, называется гиперболической (или допускающей экспоненциальную дихотомию),если <7(Т(1)) р) Т = 0 , где а(Г(1)) - спектр оператора Т( 1) и Т = {А £ С : |А| = 1} - единичная окружность. Важность этого понятия связана с тем, что решения дифференциального уравнения х = Ах с инфинитезимальным генератором А гиперболической полугруппы Т допускают экспоненциальную дихотомию.

Рассмотрим уравнения Ляпунова

СА{Х) = А*Х + ХА = Ге ЕпсСН, (1) рассматриваемому в банаховой алгебре ЕпсГН. Предполагается, что А : Б (А) С Н —> Н - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : R+ —>-End% и далее используются соответствующие обозначения.

Под решением уравнения (1) понимается оператор W G ЕпсШ, обладающий свойствами: 1) Wx € D(A*)\ 2) A*Wx + WAx = Fx для любого x £ D(A).

Теорема 2.6. Для того, чтобы сильно непрерывная группа операторов Т : R —>EndH была гиперболической необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательно определённые операторы F <С О, F* <С 0 из алгебры EndH такие, что уравнение (1) и уравнение

АХ + ХА* = F* (2) имели соответствующие им самосопряжённые решения W, W* 6 EndH. Эти операторы обратимы и представимы формулами оо

Wx = -J T{tyP*ntFPintT(t)xdt+ о оо J(Tt-QPoutYFPartTl-QxdttX е Ч. о оо

W*x = - J T{t)pintF*T{typ;ntxdt+ 0 оо + j T^P^Ti-tyP^xdt.x 6 К, о

Подпространства и Hout являются соответственно Неположительными и W-отрицательными, причём они взаимно W-ортогональны.

В условиях теоремы Pint € ЕпсШ - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству <jint = {Л € <т(Т(1)) : |А| < 1}, и Pout = I — Pint ~ дополнительный проектор. Символ T(r)P0Ui для т < 0 обозначает оператор из ЕпсШ, однозначно определяемый из равенств (Т{т)Рои1)Т(-т) = T(-r)(T(r)P0Ui) = Pout-Таким образом, оператор T(r)Paui является нулевым на подпространстве Hint = ImPint (ImPint ~ образ проектора Pint) и сужение {T(r)Pout)\Hoat оператора Т(т)РтЬ на подпространство H0ut — ImPout совпадает с обратным к оператору Т{—т)\Hout. При этом в случае, если Т - группа операторов, то T(r)Pout,t < 0, -произведение операторов Т(т) и Pout

Если полугруппа операторов Т : —> ЕпсШ не является группой (состоит из необратимых операторов), то утверждение теоремы 2.6 (в части необходимости условий) перестаёт быть верным.

Пример 1.1 Пусть % - бесконечномерное гильбертово пространство, А - генератор полугруппы Т : —EndЦ компактных операторов и полугруппа Т является гиперболической (например, выполнены условия (2.5)). Такая полугруппа непрерывна в равномерной операторной топологии при t > 0 [62]. Поэтому участвующие в формулах (2.14), (2.15) операторные функции непрерывны в равномерной операторной топологии при t > 0, и множество их значений являются компактными операторами. Следовательно, операторы W и W* являются компактными и, значит, необратимыми. Более конкретным примером может являться любой отрицательно определённый оператор А = А* : D(A) С К —> "Н с компактной резольвентой.

В §2.3 получена теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы Хоулэнда.

Во третьей главе получены условия существования решений нелинейных разностных уравнений, а также оценки ограниченных решений.

В §3.1 получены условия разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений. Символом £р = £p(7j,'H), где р £ [1,оо] обозначим банахово пространство двусторонних последовательностей векторов из И, суммируемых со степенью р для р 6 [1, со) и ограниченных для р = оо, с нормой

INk = (Е ll®WIIP)1/P. 1 < Р < +оо, IklU = sup ||z(n)||.

Рассмотрим нелинейные разностные уравнения вида x{k)=Ax{k-l) + f{k-l,x{k-l)), ' (3) где х - последовательность из £р, р £ [1, оо], f : ZxtL И - некоторая функция, а Л € EndiH - линейный оператор, для которого верно следующее условие т(А) П Т = 0, (4) где Т = {Л е С : |Л| = 1}. Для последующих оценок нам потребуются s(A) = maxR(\, А), 4 7 АбТ где R(-,A) : р(А) —> EndH - резольвента оператора А.

При доказательстве следующего результата использовался метод из статьи [41].

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие Липшица для функции f по второму аргументу и условие q = s (Л) < 1. Тогда разностное уравнение (3) имеет единственно ограниченное решение xq : Ъ —> и для этого решения справедлива оценка

IMIoo <(8(г^4у)2 + 1)11/о11оо.

В §3.2 получены оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений. Пусть X - комплексное банахово пространство и EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Рассмотрим линейные разностные уравнения вида

• х(п) - Ах(п - 1) = у{п),п е Z, (5) где х - некоторая неизвестная последовательность из^р, р G [1, сю], у - заданная последовательность из £р, a A G EndX - линейный оператор, для которого верно условие (4).

Для последующих оценок нам потребуется величина

7(Л)=вир||Л(7>Л)||. (6)

7бТ

Справедлива

Теорема 3.2. Пусть для оператора А выполнено условие (4). Тогда для любой последовательности у Е £р разностное уравнение (5) имеет единственное решение х Е £р, определяющееся формулой х = (.D~lf)(n) = k)f{k),n eZ,xe£p = '£P(Z,Я), fcez где Функция С : Z —У ЕпАХ (назовем ее функцией Грина), определяется равенствами

G{n) =.

AnPint, п> о, -А^РШ, п< О.

Я это решение допускает оценку вида

Sint\\y\\p, Vint Ф 0, (Уmit = 0, 'S'outllî/llp, <7i„t = 0, Œaat ф 0, k (Sini + S^WvWp, (Tint Ф 0, (Tout Ф 0, где p G [1; oo], a «Sini и Sont определяются равенствами klip < <

Sint —

7 (A)

- - a - y/^^hw

Saut — t^V'1 + îfe

1 + дау -1) - (V1 + ifo - Ч'тИ)

В условиях теоремы Pint G EndX - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству сг^ = {Л б с (А) • 1^1 ^ и Pout = I — Pint - дополнительный проектор.

Следствие 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда решение х £ £р допускает оценку вида

472(А) - 2*у(А))\\у\\р, aint ф 0, a^t = 0, (4 -у2(А) + 27(i4))|M|pj о-йй - 0, с out ф 0, 872(Л)||2/||р, (?int Ф 0? & out Ф 0j где р G [1; оо].

Отметим, что оценка величины (6) для для случая, когда А -оператор в конечномерном пространстве X, получена в монограх\\р < < фии [25]. В бесконечномерном пространстве оценка легко может быть подсчитана для некоторых классов операторов.

В четвертой главе получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром, а также оценки норм степеней матрицы простой структуры.

В §4.1 получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром. Рассмотрим МаЬгт{С) - линейное нормированное пространство квадратных матриц с комплексными коэффициентами и пусть норма выбрана так, что выполняется неравенство: ||АВ|| < ||Л||||5|| для всех А, В Е Ма1гт{С). Ставится задача об оценки нормы степеней матрицы ||у4.п||, п > 1.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть А е МаЬгт{С) - произвольная матрица т-го порядка с известным спектром. Тогда верна следующая оценка:

1т-1

Е Ск{2\\А\\)кг{А)п~к, п>т, п-1

Е Ск(2\\А\\)кг(А)п~к + (2ЦЛЦГ, п<т. к= О где г [А) - спектральный радиус матрицы А.

Следует отметить, что для любого ограниченного оператора А : X —X , действующего в банаховом пространстве X, для любого £ > 0 существует такое М > 1, что имеют место оценки вида

• \\Ап\\ < М(г(А) + е)п, п 1.

Данная теорема уточняет эти оценки. Для этого используется метод из [23]. Л

Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1 и г (А) > 1. Тогда для случая п> т справедлива оценка т— 1

А"\\<г(АГ^2СпШ\\)к, к=О где г (А) - спектральный радиус матрицы А.

В §4.2 получены оценки для случая, когда матрица А - матрица простой структуры.

Теорема 4.2. Пусть А - матрица простой структуры тп-го порядка с комплексными элементами и Ai,., Хт - собственные значения матрицы А. Тогда верна следующая оценка:

ЛП|| < гп(А) ■ т • 2го"1 1,6= min - А,-|. где &{А) - спектр матрицы А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воробьев, Антон Алексеевич, 2011 год

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.

2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре./ А.Г. Баскаков //- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с.

3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил.- 1996.- Т.ЗО.- №3.-С.1-11.

4. Баскаков А Т. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Мат. заметки.-1996.- Т.59.- №6.- С.811-820.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 1997.- Т.ЗЗ.-№10.- С.1299-1306.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т.190.- №3.-С.3-28.

7. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 2000.- Т.67.- №6.-С.816-827.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн.- 2001.- Т.42.-№6.- С.1231-1243.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чер-нышов // Матем. сб.- 2002,- Т.193.- №11.- С.3-42.

10. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН.- 2002.- Т.383.- №5.- С.583-585.

11. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения,- 2003.- Т.39.- С.413-415.

12. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абе-левых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.- Москва.- 2004.- Т.9.- С.3-151.

13. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005.- Т. 69,- №3.-С.3-54.

14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009.- Т.73.- №2.-С.3-68.

15. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т.46.-№2.- С.1-10.

16. Баскаков А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова./ А.Г. Баскаков, A.A. Воробьев, М.Ю. Романова./ / Математические заметки. -2011 г. Т.89. - №2.- С.190-203

17. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев, М.Ю. Романова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2007 г.- №2.- С.83-86

18. Воробьев A.A. Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений/ A.A. Воробьев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2008 г.- №2.-С.126-128

19. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ- 2008.- С.35-36

20. Воробьев A.A. Оценки линейных разностных уравнений / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2009,- С.47

21. Воробьев A.A. Оценки ограниченных решений разностных уравнений / A.A. Воробьев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- №2.- С.50-54

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. / Ф.Р. Гантмахер //- М.: Гос. изд-во техн. теорет. лит., 1954 . - 491 е.

23. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов.- М: Наука, 1958. 356 с

24. Гиль М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений. /М.И. Гиль.- М.: Наука, 1990. 154 с.

25. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. Новосибирск: Научн. кн., 1997

26. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.- М.: Физматгиз, 19631100 С.

27. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.

28. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Дан-форд, Дж.Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962.- Т.1.- 895 с. '

29. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем.- 1976.- Т.40.- №6.- С. 1380-1408.

30. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.-М.: Мир, 1972,- 740 С.

32. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.- М.: Наука, 1968.543 с.

33. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов.- М.: Наука, 1970.- 351 с.

34. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Мир, 1967.- 464 с.

35. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.

36. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000.- 349 с.

37. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Степин // УМН.- 1991.- Т.46.- №2.- С.85-143.

38. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965.- 520 с.

39. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер.-М.: Мир, 1970.- 456 с.

40. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк,- М.: Наука, 1969.- 527 с.

41. Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения-2007.- Т.43.- №7,- С.896-904.

42. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф.- М.:Мир, 1979.

43. Рид М. Методы современной математической физики / М. Рид, Б. Саймон.- М.:Мир, 1982

44. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон.- М.:Мир, 1967.- 257 с.

45. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975.449 с.

46. Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.-2007 г.- №1.- С.135-138.

47. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа / С.Л. Соболев // Матем. сб.- 1999,- Т.4(46).- №3.- С.471-497.

48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев,- М.: Наука, 1988.336 С.

49. Тюрин В.М. Об обратимости оператора ^ — в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Мат. заметки,- 1979.- Т.25.- №4.- С.585-590.

50. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. матем. журн.- 1991.- Т.32.- №3.- С.160-165.

51. Чернышов М.К. Об обратимости линейных дифференциальных операторов первого порядка. / М.К. Чернышов // Мат. заметки.- 1998.- Т.64. №5,- С.796-800.

52. Хенри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри.- М.: Мир, 1985.- 376 с.

53. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.- М.: ИЛ, 1962.- 830 с.

54. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969.- 1070 с.

55. Aldroubi A. Slanted matrices, Banach frames, and sampling / A. Aldroubi, A.G. Baskakov I. Krishtal // J. Funkt. Anal.- 2008.

56. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal // J. Math. Anal. Appl.-2005.- V38.- P.420-439.r

57. Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca // J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324.- P.1310-1323.

58. Ben-Artzi A., Dichotomy of systems and invertibility of linear ordinary differential operators / A. Ben-Artzi I. Gohberg //J. Operator Theory: Advances and Applications. 56.- 1992. P.90-119.

59. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168.- P.95-106

60. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999.- 361 p.

61. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.-V.63.- №2,- P.278-280.

62. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.-P.385-394.

63. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhäuser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

64. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.

65. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland // Mathematische Annalen.- 1974.-V.207.- №4.- P.315-335.

66. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995.- V.127.- №1.- P.173-197.

67. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.- V.10.- №3.- P.489-510.

68. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004,- V.48.- №3.-P.999-1020.

69. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // J, Differential Equations.- 2005.- V.208.- №2.- P.388-429.

70. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2003.- V.9.- №2.- P.383-397.

71. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998.- V.32.- №3.- P.332-353.

72. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.- №1.- P.28-44.

73. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.-V.168.- Dekker.- New York.- 1995.- P.301-316.

74. Perron O. Über eine Matrixtransformation / O. Perron // Mathematische Zeitschrift.- 1930.- V.32.- №1,- P.465-473.

75. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984.- V.284.- P.847-857.

76. Räbiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996.- V.52.- №1.- P.225-239.

77. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum- 1994.- V.48.-№1,- P. 107-118.

78. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt // Journal of Evolution equations.-2001,- V.l.- P. 19-37.

79. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York.- 1958.