Критерии устойчивости нелокальных разностных схем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Мокин, Андрей Юрьевич

• Мокин, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мокин, Андрей Юрьевич

Введение

1 Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина

1.1 Равномерная устойчивость начально-краевой задачи.

1.2 Согласованность норм.

2 Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности

2.1 Задача на собственные значения.

2.2 Базисность систем собственных функций.

2.3 Существование и единственность решения.

2.4 Устойчивость по начальным данным.

3 Разностные схемы для нелокальной краевой задачи

3.1 Построение разностной схемы.

3.2 Спектральная задача для разностного оператора.

3.3 Критерий равномерной устойчивости разностных схем.

3.4 Устойчивость в среднеквадратической норме

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критерии устойчивости нелокальных разностных схем»

В работе рассматривается однопараметрическое семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, а также разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. Особенность начально-краевых задач заключается в специальном выборе граничных условий, которые не являются усиленно регулярными. Соответствующие разностные схемы не обладают свойством самосопряжённости. Основное внимание уделяется изучению устойчивости схем по начальным данным, а также выбору сеточных норм, в которых исследуется устойчивость.

Возникший в последнее время интерес к задачам с нелокальными дополнительными условиями объясняется наличием ряда приложений, обладающих существенной практической значимостью. Например, при изучении явления диффузии химических веществ возникает задача определения концентрации в каждый момент времени в рассматриваемом объёме. При этом известной величиной является лишь концентрация на поверхности сосуда. Для выделения единственного решения используются данные измерения общего количества вещества в заданной области. С технологической точки зрения эта величина удобна для измерения, так как может быть получена с помощью эффекта абсорбции света химическим веществом в растворе.

Другим приложением задач с нелокальными дополнительными условиями является изучение процесса нагрева проводника за счёт джоулева тепла, выделяемого под действием электрического тока. Предполагая, что один конец проводника недоступен для измерений, необходимо вычислить значение температуры в любой момент времени. Отсутствующее граничное условие заменяется нелокальным дополнительным условием, которое может быть получено, исходя из результатов измерения силы тока в цепи и напряжения на концах проводника.

Существует ряд задач управления, а также тесно связанный с ними ряд обратных задач математической физики, подчинённых нелокальным дополнительным условиям. К ним относится задача вычисления концентрации вещества на границе области с использованием дополнительной информации о полном количестве вещества внутри рассматриваемого объёма, а также задача о поддержании постоянным общего количества тепла в нагревающем элементе за счёт управления параметрами электрической цепи.

Прикладной характер задач с нелокальными условиями стимулировал их исследования специалистами в области дифференциальных уравнений. В результате сформировалось направление исследований, в рамках которого рассматривается вопрос корректности задач с неклассическими дополнительными условиями. Далее приводится краткий обзор некоторых работ, посвящённых изучению задач данного типа, а также численных методов их решения.

Работа [1] является одной из первых, где изучается задача теплопроводности с нелокальным дополнительным условием интегрального типа а({)

J и{х, г)йх = Е(ь), о < г < т, о < а(г) ^ 1. (1) о

Методом редукции к уравнению Вольтерра второго рода автор работы получил условия существования и единственности регулярного решения. Этот же метод исследования задачи теплопроводности с интегральным дополнительным условием спецификации масс использован в работе [2].

В работе [3] рассмотрена одномерная задача с нелокальным интегральным условием вида (1) для уравнения параболического типа в области с переменной границей. С помощью тепловых потенциалов двойного слоя данная задача редуцирована к системе интегральных уравнений с ядрами, имеющими слабую особенность. Воспользовавшись методом последовательных приближений для решения системы уравнений, автор работы доказал существование и единственность регулярного решения.

В работах [4], [5] исследована задача Стефана с нелокальным дополнительным условием спецификации энергии.

Некоторые задачи математической физики содержат нелокальные условия, которые связывают значение решения и, быть может, его производных не в какой-нибудь одной точке границы области, где решается задача, а в нескольких точках. Причём задействованные в нелокальном условии точки могут принадлежать не только границе, как в случае краевых условий, но и лежать внутри области. Интерес к задачам такого рода возникает, например, при изучении физических задач на самопересекающихся или составных многообразиях. В работе [7] сформулирована общая постановка нелокальной многоточечной задачи для уравнения эллиптического типа, которая известна как задача Бицадзе-Самарского. Там же в частном случае доказано существование и единственность регулярного решения. Данная задача рассматривалась также в [8], [36]. Стационарный вариант одномерной задачи теплопроводности с условиями Бицадзе-Самарского первого и второго рода тп и{0) = 0, «(1) = 0 < £1 < 6 < • • ■ < < 1, кИ (2) и{ 0) = 0, и'( 1) = &*.«'(%)> 0 ^ щ <Т)2<.< Т]п < 1. к=1 изучен в работах [9], [10] соответственно, где доказана единственность решения, а также получены условия существования решения.

Работа [11] содержит исследования нелокальных параболических задач с дополнительными условиями интегрального типа, а также типа Бицадзе-Самарского. Рассмотрен как стационарный, так и нестационарный случай. Там же обсуждается нелокальная задача для нелинейного стационарного уравнения теплопроводности.

Существуют обобщённые постановки нелокальных задач. В работе [12] рассмотрена обобщённая задача для волнового уравнения с краевыми условиями Бицадзе

Самарского. Доказана единственность решения. В работах [13], [14] в обобщённом виде изучается задача оптимального граничного управления для уравнения колебания струны с различными нелокальными двухточечными условиями. Получены условия существования единственного обобщённого решения. В работе [15] исследуется обобщённая постановка задачи для многомерного эллиптического уравнения с дополнительным условием интегрального типа.

Метод разделения переменных является одним из наиболее эффективных способов решения задач математической физики как в случае локальных (классических) условий, так и в случае нелокальных дополнительных условий. В результате применения метода возникает задача на собственные значения для обыкновенного дифференциального оператора, подчинённого дополнительным условиям, заимствованным из исходной задачи. Этот факт объясняет большой интерес как отечественных, так и зарубежных специалистов к задачам на собственные значения с неклассическими дополнительными условиями.

Двухточечные краевые задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов многократно изучались ранее. В работах [16], [18] и монографиях [19], [20] рассматривается вопрос существования собственных чисел, доказана асимптотика для них, исследуется полнота и базисность системы корневых функций оператора. Особый интерес представляют собой работы [21], [22], [23], в которых получены условия базисности системы корневых функций линейных дифференциальных операторов с совершенно произвольными дополнительными условиями.

Задачи на собственные значения с многоточечными условиями Бицадзе-Самарского рассмотрены в работах [26], [27]. Исследование некоторых задач на собственные значения с дополнительными условиями интегрального типа опубликованы в [15], [28]. Результаты численного исследования спектра линейного дифференциального оператора второго порядка с переменными коэффициентами и нелокальными краевыми условиями приводятся в работе [25].

В работе [29] изучается задача Лавреньтьева-Бицадзе со спектральным параметром и нелокальным граничным условием чётности. Результаты данной работы позволили исследовать существование и единственность регулярного решения задачи Геллерстед-та для уравнения Лавреньтьева-Бицадзе с соответствующим нелокальным условием (см. [30], [31]).

Ряд работ в области вычислительной математики посвящен численному решению дифференциальных задач с нелокальными дополнительными условиями различного типа. В работе [2] рассматривается метод решения задач теплопроводности с нелокальным интегральным условием спецификации масс. Численный метод представляет собой объединение метода решения уравнения Вольтерра второго рода и конечноразностного метода вычисления решения задачи теплопроводности с краевыми условиями первого рода. Приведены результаты расчётов.

В работе [32] исследованы условия сходимости явной и неявной схем Эйлера, а также симметрической схемы (Crank-Nicolson scheme) для задачи теплопроводности с условиями 1 u(l, t) = J ai(s)u(s, t)ds + gi(t), 0 ^ t ^ T, I = 0,1. (3) о

Автор работы доказал, что при выполнении неравенства т/к2 ^ 0.5 (где т, К > 0 -шаг по времени и по пространству соответственно) явная схема сходится со вторым порядком по К и первым по т. Неявная схема Эйлера имеет тот же порядок точности без каких-либо ограничений на выбор её параметров. В работе также доказано, что С норма погрешности решения симметрической схемы является величиной 0(т2 + к2) при любых г, к > 0. Интегралы в условиях (3) аппроксимировались с помощью формулы трапеций.

В работе [33] изучается двухслойная неявная схема повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности с дополнительными условиями (3). Схема аппроксимирует дифференциальную задачу, рассмотренную в работе [6], которая возникает в приложениях в связи с исследованием задач термоупругости в квазилинейном приближении. Интеграл в условиях (3) заменяется интегральной суммой Симпсона. Автор работы получил условия разрешимости разностной схемы, а также с помощью метода энергетических неравенств доказал абсолютную устойчивость и сходимость схемы со вторым порядком по шагу тис четвёртым по шагу ¡г > 0.

Монотонные схемы для стационарных и нестационарных задач параболического типа с нелокальным условием 1 и(1, г) = тI Ь1(ь)и(х1(г),г) + J щ(8, ь)и(з, +&(*), о ^ г ^ т, / = о, 1 (4) о рассмотрены в работе [34]. Для схем доказывается принцип максимума, теорема сравнения и строятся фундаментальные решения. В результате авторы выводят оценки решений разностных задач, из которых вытекает устойчивость и сходимость.

В работе [35] сравниваются две схемы, аппроксимирующие двухмерную задачу параболического типа с дополнительным условием

1 а(х х)

JJ р(хих2)и(х1,х2,£)с1х2 = М(£), 0 < г ^ Т. (5) о о

Первая из схем является явной и, как следствие, обладает условной сходимостью. Её основное преимущество заключается в простоте реализации и малой алгоритмической сложности выполнения расчётов. Другая схема построена в результате расщепления исходной двухмерной задачи на последовательность одномерных. Являясь неявной, она обладает безусловной устойчивостью, что позволяет выбирать параметры схемы, ориентируясь только на точность вычислений. Свойство локальной однородности обеспечивает экономичность схемы с вычислительной точки зрения. Автор работы считает, что многомерные задачи с условиями вида (5) следует решать локально однородными неявными схемами.

Численные методы решения двухмерных задач с интегральными нелокальными условиями рассмотрены также в работе [37].

Разностные схемы, предназначенные для решения задач с дополнительными условиями типа Бицадзе-Самарского, исследуются в работах [11], [36], а также в [9], [10].

В работе [11] рассмотрена схема, аппроксимирующая со вторым порядком одномерную стационарную задачу теплопроводности с условиями и(О) = ц, и(1) = си{а) + (I, 0 ^ а ^ 1.

Методом редукции исходной разностной задачи к аналогичной с граничными условиями первого рода получены условия существования и единственности численного решения, доказаны оценки погрешности решения в сеточной С норме.

Численные методы решения нелокальных задач для оператора Штурма-Лиувилля с дополнительными условиями (2) изучены в работах [9], [10]. Авторами работы предложены разностные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации и сходящиеся к точному решению с тем же порядком как в равномерной метрике, так и в каждой из разностных метрик И^1, Представляет интерес список публикаций, посвящённых задачам с нелокальным условием Бицадзе-Самарского, который содержится в работе [9].

Наконец, в работе [36] предложена и исследована разностная схема, аппроксимирующая со вторым порядком двухмерную задачу для оператора Пуассона с дополнительным условием Бицадзе-Самарского первого рода (см. (2)). Сформулированы и доказаны условия сходимости схемы в сеточных метриках С и 1'722. В доказательстве используется дискретное преобразование Фурье и разностная функция Грина первой краевой задачи для уравнения Пуассона (см. [56]).

Схема с весами для одномерного уравнения параболического типа, подчинённого нелокальным граничным условиям рассмотрена в работе [38], где при некоторых условиях на коэффициенты уравнения получены условия устойчивости и сходимости численного решения в равномерной метрике. Основным инструментом исследования является алгоритм вычисления решения разностной схемы, а также алгебраические свойства матрицы, обратной к матрице, порождённой разностной аппроксимацией дифференциальной задачи. Использование нестационарной функции Грина, определённой и изученной в работе [39], позволило авторам данной работы получить аналогичный результат, накладывая менее жёсткие ограничения на выбор коэффициентов дифференциального уравнения. Дальнейшее развитие этих методов исследования разностных схем представлено в работе [40], где при изучении схем, аппроксимирующих одномерную задачу параболического типа с нелокальными условиями, сопряжёнными к условиям (6), авторы отказались от предполагаемых ранее в [38], [39] требований к выбору коэффициентов уравнения.

Разностные схемы для двухмерного уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями рассмотрены в работе [41]. С помощью принципа максимума исследована их устойчивость и сходимость в сеточной С норме. Результаты исследования в энергетических и{ 0,£)=0, их( 0,*)=7(*)и*(М),

6) и(х, 0, Ь) = и(х, 1, £) = 0, и{0, у, г) = и{ 1, у, £),

7) нормах пространства сеточных функций опубликованы в [44], [45], где, воспользовавшись общей теорией устойчивости операторно-разностных схем (см. [58]), авторы работ доказали необходимое условие устойчивости и получили норму, в которой данное условие совпадает с достаточным. В дифференциальном виде двухмерная задача теплопроводности с граничными условиями (7) рассмотрена в работе [42].

Рассмотрим подробнее результаты, полученные в работе [46], где изучается нелокальная задача для неоднородного- уравнения теплопроводности ди д^и аг ох г (8) и(0, Ь) = г/(£), / и(х, Ь)(1х - //(¿), 0 < £ ^ Т. о

Автор работы отмечает, что данная задача возникает при исследовании диффузии заряженных частиц в нестационарной турбулентной плазме. В работе доказана единственность регулярного решения, получены достаточные условия его существования, а также доказаны априорные оценки для решения, означающие устойчивость задачи по начальным данным и по правой части.

Изучение свойств задачи (8) основано на её редукции к нелокальной краевой задаче Самарского-Ионкина и(х, 0) = Ых), 0 ^ х < 1,

9)

0 < £ ^ Т и последующем применении метода разделения переменных. Особенность задачи (9) заключается в нелокальном граничном условии равенства потоков.

Трудность применения метода разделения переменных при решении задачи (9) обусловлена тем, что оператор второй производной Ь = —и" с краевыми условиями и(0) = 0, и'(0) = и'(1) (10) не является самосопряжённым в смысле скалярного произведения ¿2 [0,1], а его собственные функции не образуют базиса в Ь^ [0,1]. Решение задачи (9) ищется в виде ряда по системе собственных функций, пополненной счётным количеством присоединённых функций оператора Ь. Доказательство базисности совокупности собственных и присоединённых функций опирается на результаты работы [21]. В работе [46] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Если регулярное решение задачи (9) существует, то оно единственно и удоветворяет неравенству

1К;М)1и2[о,1] ^ с\\ф)\\Ь2[од], о < ь ^ т.

Для существования регулярного решения достаточно, чтобы функция (р(х) принадлежала классу С1 [0,1] и удовлетворяла граничным условиям (10). ди дь дх

2>

0 < ж < 1, 0 < £ ^ Т,

0,0 = 0, |«М) = |(М),

Численный метод решения задачи (8) получен в [47]. Работа посвящена построению и исследованию свойств разностных схем, аппроксимирующих нелокальную краевую задачу (9) на равномерной сетке и;/1)Г = сиь х шт, где шк = {хг = г/г, г = 1,2 . N. НИ = 1}, шт = = зт, з = 0,1,. М, тМ = Т}.

0.5 = ^ (уЙ1 " + (!-") (У",о -Я,*), п = 0,1,2,., М - 1, (11) Уо — 0, = п = 0,1,2,. ,М, г = 1,2,., ЛГ.

Здесь у" = у(жг-, ¿п) - функция, заданная на сетке ш^т, весовой множитель а ^ 0. Воспользовавшись разностным аналогом метода разделения переменных, автор работы [47] получил решение схемы (11) в явном виде и доказал устойчивость по начальным данным в среднеквадратической сеточной норме

Линейное пространство функций, заданных на сетке а^, в котором определена норма и скалярное произведение согласно (12), обозначим через Н^.

Теорема 2. Пусть е - любое положительное число. Если параметры схемы (11) удовлетворяют условиям где уп = у(хг^п) Е Ндт, п = 0,1,2,., М - решение разностной схемы на п-ом слое по времени.

Замечание. Из доказательства теоремы 2 следует, что константа С£ стремится к бесконечности при е —» 0 так, что 1 /Се = <Э(е), 0 < е ^ 1.

В работах [47], [43] для неоднородной схемы (11) получены условия устойчивости по правой части в среднеквадратической норме || • \\ьн.

Дальнейшее исследование свойств схемы (11) показало, что требования на параметры разностной схемы, сформулированные в теореме 2, а также требования, гарантирующие устойчивость по правой части, существенно завышены. В работе [49] схема

Если ввести обозначения а^О, а^ 0.5(1 + г) -/¿2/(4т), то существует константа Се > 0, обеспечивающая неравенство уп\\ь^С£\\у°\\Й, п — 1,2,., М,

11) изучается в операторно-разностном виде с позиций общей теории устойчивости двухслойных схем. В результате найдена евклидова норма || • Ц^ пространства Н^, в которой решение уп = у(хг^п) однородной задачи (11) равномерно устойчиво, то есть удовлетворяет неравенству

Там же доказаны необходимые и достаточные условия равномерной устойчивости в норме || • || В работе [51] эти условия устойчивости преобразованы к виду

В работе [50] вычислены константы эквивалентности норм || • Ц^ и || ■ ||ьл. Показано, что отношение констант ограничено относительно выбора шага сетки к > 0.

Следствием эквивалентности норм и равномерной устойчивости является устойчивость схемы (11) по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме при выполнении неравенства (13). Справедлива

Теорема 3. Если выполнено условие (13), то решение уп = у(хг,1п) разностной схемы (11), отвечающее любому выбору начальных данных у0, удовлетворяет неравенству с константой С, не зависящей от г, к > 0.

В заключение обзора литературы отметим монографию [53], которая объединяет в себе ряд публикаций, посвященных изучению задачи (11), а также её некоторых обобщений. В частности, в монографии рассматривается вопрос устойчивости неоднородной схемы (11) по правой части как в специальных евклидовых нормах, так и в норме || • Там же содержится обширный список публикаций, представляющих интерес для специалистов в области задач с нелокальными дополнительными условиями. В настоящей работе изучается нелокальная краевая задача а также разностные схемы, аппроксимирующие её. Здесь а - вещественный параметр, <р(х) - непрерывная на отрезке [0,1] функция.

Задача (14), (15) является обобщением рассмотренной ранее в работе [46] задачи (9). Её основная особенность заключается в нелокальном граничном условии (15).

Регулярным решением задачи (14), (15) называется функция и(х,Ь), определённая и непрерывная по совокупности переменных на множестве П = [0,1] х [0, +оо) и удовлетворяющая требованиям:

1. функция и(х,Ь) обладает первой производной по £ и второй производной по х, которые непрерывны в П = (0,1) х (0, +оо);

1!г/п+11к ^ ИЛк, п = 1,2,.,м-1.

7 ^ 0.5 - к2/(Аг).

13)

С\\у°\\ьн, п = 1,2,., М

14)

15)

2. существует частная производная их(х^), непрерывная на множестве [0,1] х (0, +оо);

3. выполняются равенства (14), (15).

В работе при каждом вещественном а рассматривается вопрос существования и единственности регулярного решения задачи (14), (15), а также её устойчивости по начальным данным. Устойчивость изучается в пространстве 1*2 [0,1] и понимается в смысле следующего определения.

Определение 1. Задача (14), (15) называется устойчивой по начальным данным в пространстве 0,1], если её регулярное решение и{х,Ь) удовлетворяет неравенству

1КМ)|и2[од] < СМяОНърд,, I > о с константой С > 0, не зависящей от выбора функции (р(х) = и(х, 0).

В работе рассматривается также проблема равномерной устойчивости задачи (14), (15), которая заключается в поиске линейного нормированного пространства удовлетворяющего требованиям определения 2.

Определение 2. Задача (14), (15) называется равномерно устойчивой в пространстве С,, если её регулярное решение и(х, £) при каждом £ ^ 0 принадлежит С и удовлетворяет неравенству

Ци(ж, ¿2)|\с < Ых, 0 ^ ¿1 < ¿2 < +оо.

Задача теплопроводности с двухточечными краевыми условиями общего вида ди д^и = —з Жх)и + /0е, 0) 0 < а; < 1, Ь > 0, и(х, 0) = <р(х), 0 < х ^ 1, оЬ дх <•-. агих(0,г) + 6x^(1, + а0и(0,£) + Ь0и(1,Ь) = 0, ¿>0, 1 '

С1«1(0, £) + ¿1^(1, £) + с0и(0, ¿) + (¿ог1(1, £) = 0, £ > 0 исследована в работе [48]. Там же рассмотрена задача на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля Ьу = —у" + С^{х)у с граничными условиями агу'(0) + Ь1У'(1) + оог/(0) + Ь0у{ 1) = 0, . . сиУ(0) + ¿17/(1) + соу(0) + ¿ог/(1) - 0.

В предположении усиленной регулярности условий (17) (см. [19]) регулярное решение задачи (16) представлено в виде функционального ряда по корневым функциям оператора Ь с зависящими от t коэффициентами. В результате доказана единственность решения, получены достаточные условия существования, а также исследована устойчивость решения по начальным данным и правой части в пространстве Ь2[0,1].

Следует отметить, что краевые условия (15) не являются усиленно регулярными ни при каком вещественном а, и задача (14), (15) представляет интерес для исследования.

Особое внимание в настоящей работе уделяется изучению численных методов решения задачи (14), (15). Рассматривается разностная схема + г = 1,2,.,ЛГ-1, п = 0,1,2,., М - 1,

0.5%> = - у^ - ауп+1) + (1 - *)(у«0 - у^ - аупы), (18)

Уо — 0, г/? = ¥»(гЛ), п = 0,1,2,., М, г - 1,2,., И, аппроксимирующая дифференциальную задачу на,равномерной сетке и)н,т со вторым порядком по /г и первым порядком по т при любом значении весового множителя а. При сг = 0.5 порядок аппроксимации по г равен двум. В дальнейшем предполагается, что а - вещественное неотрицательное число.

В работе исследуется вопрос существования решения схемы (18) и его единственности. Изучаются условия устойчивости схемы по начальным данным в сеточной средне-квадратической норме, а также равномерной устойчивости в евклидовых нормах пространства Н^. Устойчивость понимается в смысле следующих определений.

Определение 3. Разностная схема (18) называется устойчивой по начальным данным в норме || • \\ьи, если её решение уп = у(х1, ¿п), п — 1,2,., М, отвечающее любому значению у0 = <^(жг); удовлетворяет неравенству уп\\ь^С\\у°\\Й, п = 1,2,., м с константой С, не зависящей от выбора /г, г > 0.

Определение 4. Разностная схема (18) называется равномерно устойчивой в норме || • || пространства Нм, если её решение уп = у(х{,1п), п = 1,2,. ,М, отвечающее любому значению у0 = (р(х{), удовлетворяет неравенству

1ЬП+1И ИЛ гс = 0,1,2,., М — 1.

Нетрудно видеть, что из равномерной устойчивости схемы вытекает её устойчивость по начальным данным. В [58] доказано, что свойство равномерной устойчивости позволяет изучать устойчивость по правой части неоднородных схем и, следовательно, их сходимость. В [54] сформулирована и доказана лемма Крайса, в которой утверждается, что из определения 3 следует равномерная устойчивость в специальной евклидовой сеточной норме. Заметим, что норма, гарантированная леммой Крайса, определена неоднозначно.

Известно также (см. [56],[58]), что свойство равномерной устойчивости схем находится в прямой зависимости от выбора нормы пространства Н^, в которой исследуется-устойчивость. Не только конкретный вид условия устойчивости, но и сам факт равномерной устойчивости определяется выбором нормы. В частности, в работе [43] показано, что схема (11) при.сг = 0, равномерно устойчивая в специальной норме пространства Ядг, не является равномерно устойчивой в сеточной средноквадратической норме ни при каком выборе параметров Н,т > 0. В работе [62] аналогичный результат был получен для всех а е [0,1]. В связи с этим является актуальной задача поиска норм, гарантирующих равномерную устойчивость схемы (18), а также задача выбора среди них нормы, условия устойчивости в которой накладывают наименее жёсткие требования-на выбор параметров схемы.

В настоящей работе с помощью различных методов построено семейство сеточных норм пространства Нм, в каждой из которых решение задачи (18) удовлетворяет определению равномерной устойчивости, получены соответствующие необходимые и достаточные условия устойчивости. Изучены свойства построенных норм. В частном случае рассмотрен вопрос согласованности сеточных норм при /г —> 0 с нормами линейных пространств функций вещественного переменного.

Обзор содержания работы.

Данная работа состоит из введения и трёх глав. В каждом разделе используется уникальная система обозначений. Нумерация формул, определений и утверждений в главах работы является сплошной. При этом каждый номер состоит из двух частей: первая часть указывает на номер главы, вторая - на порядковый номер в главе. Каждая из трёх глав содержит изложенные в сжатом виде результаты, которые получены ранее в других работах и необходимы для текущих исследований.

Первая глава диссертации называется "Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина". В ней изучается вопрос равномерной устойчивости задачи (9), а также связанный с ним вопрос согласованности сеточных норм, которые использованы в работе [49] при исследовании равномерной устойчивости разностной схемы (11).

Как было отмечено в обзорной части введения, существует сеточная норма || • ¡¡¿^ пространства Ядг, в которой схема (11) является равномерно устойчивой при выполнении условия (13). Схема (11) аппроксимирует задачу (9). В связи с этим рассматривается задача поиска линейного пространства £ функций вещественного переменного и соответствующей нормы-1| • Ц^, в которой регулярное решение задачи (9) удовлетворяет определению 2, то есть также является равномерно устойчивым.

Заметим, что задача теплопроводности с граничными условиями первого, второго, смешанного типа обладает свойством равномерной устойчивости в норме пространства 1/2 [0,1]. Однако существуют регулярные решения задачи (9), отвечающие специальному выбору функции (р(х), которые монотонно возрастают по норме 0,1] при £ > 0.

В первой главе работы определена гильбертова норма || • ||о в линейном пространстве функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], эквивалентная среднеквадратической норме в смысле неравенств

С1\иим<\\1Ь<с2\\пЬф,гЪ в которых Сх, Сг > 0 - константы, не зависящие от выбора /(х) из класса Ь2[0,1]. Доказано, что величина ||«(а;, ¿)||д, где и(х, ¿) - регулярное решение задачи (9), не возрастает при t>0. Иначе говоря, справедлива

Теорема 4. Решение задачи (9) при любых 0 ^ ¿1 < ¿2 < +°о удовлетворяет неравенству

ИМг)1Ь < НМОЬ- (19)

Замечание. Поскольку функция /(¿) = ||и(ж, ¿)||д непрерывна при £ > 0 и дифференцируема на множестве I > 0, то неравенство (19) можно представить в виде

0.

С равномерной устойчивостью задачи (9) тесно связана проблема согласованности при /г —0 сеточной нормы || • определённой в работе [49], то есть проблема поиска нормы пространства функций вещественного аргумента, разностным аналогом которой является норма || • ||оЛ.

Определение 5. Сеточная норма || ■ Ц^ называется согласованной с нормой || • ||£ пространства С функций вещественного аргумента, если для любой / из С существует предел ни\\WWh = \\fWc, где Рн - заранее определённый оператор проекции на сетку а^.

Здесь и далее в работе предполагается, что оператор проекции определён равенством

ЪД = /(*,), ¿ = 1,2,.,^.

Согласованность сеточной нормы || • \\0н обеспечивает единственность предела сеточных функций при к —* 0 (см. [57]) и позволяет исследовать сходимость разностных схем с весами (11) непосредственно в норме || • В первой главе доказана

Теорема 5. Нормы || • || • Ц^, обеспечиваюил,ие равномерную устойчивость задачи (9) и аппроксимирующей её схемы (11) соответственно, являются согласованными на множестве функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

Результаты, полученные в первой главе диссертации, опубликованы в работе [63] и докладывались на конференции "Тихоновские чтения" в 2006 году, а также на семинаре кафедры Вычислительных методов факультета ВМиК МГУ.

Вторая глава диссертации называется "Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности" и посвящена изучению корректности задачи (14), (15) при каждом вещественном а ф 0. Существование и единственность решения доказано методом разделения переменных. Предварительно рассмотрена задача на собственные значения и"{х) + Хи(х) = 0, 0 < а; < 1, , , и(0) = 0, и'(0) = и'{ 1) + сш(1). 1

Показано, что если а ^ 0, то все собственные значения Л = А^, к = 1,2,. вещественные и простые. При а < 0 существует единственное отрицательное собственное число. При а > 0 собственные значения положительны. Собственные функции ик, к = 1,2,. при любом отличном от нуля а образуют полную и линейно независимую систему. Биортонормированная к ней система в смысле скалярного произведения £г[0,1] состоит из функций Ук, к = 1,2,., которые являются решением сопряжённой к (20) задачи на собственные значения у"(х) + Хкь(х) = 0, 0 к = 1,2,., . . у(0) = ^(1), г/(1) + аи(1) = 0. КЧ

Особенность системы собственных функций к = 1,2,.} заключается в том, что она не является базисом Рисса пространства ¿2[0,1] (то есть базисом безусловной сходимости (см. [17])) ни при каком значении параметра а. Не обладает свойством базисности сопряжённая система {ьь(х), к = 1,2,.}.

Необходимо отметить, что проблема базисности характерна не только для задач с постоянными коэффициентами (20), (21), но и в случае аналогичных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля общего вида. Этот факт, установленный в работе [24], придаёт изучению задач с постоянными коэффициентами особый смысл.

Отсутствие безусловной базисности у системы собственных функций задачи (20) существенно осложняет построение и исследование регулярного решения задачи (14), (15).

Во второй главе работы предложен и реализован модернизированный метод разделения переменных для поиска решения задачи (14), (15). Метод заключается в представлении решения в виде функционального ряда по вспомогательной системе функций к = 1,2,.} с коэффициентами, зависящими от переменной t. Каждая из вспомогательных функций представляет собой линейную комбинацию« не более, чем двух собственных функций задачи (20), отвечающих различным собственным значениям. Система {т^х), к = 1,2,.} построена таким образом, что является базисом Рисса при любом а Ф 0 и допускает применение метода разделения переменных. Биорто-нормированная к ней система функций {ги£(ж), к = 1,2,.} получена в явном виде с использованием собственных функций задачи (21).

В результате разделения переменных по вспомогательной системе {-ш^х), к = 1,2,.} в работе доказана теорема единственности решения задачи (14), (15).

Теорема 6. Если существует регулярное решение задачи (14), (15), то оно единственно и представимо в виде ряда и(х, ¿) = т^х)^^) + ю2(х)Т2(Ь) + ., (22) в котором коэффициенты Т3{€), у = 1,2,. однозначно определяются функцией <р(х).

Изучение характера сходимости и, как следствие, гладкости ряда (22) позволило получить достаточные условия существования решения.

Теорема 7. Если функция ц>(х) 6 С2[0,1] и удовлетворяет граничным условиям <^(0) = 0, 1р'(0) = <¿/(1) + а</?(1), то задача' (14), (15) имеет регулярное решение.

Свойства координат базисов Рисса, доказанные в работе [17], используются, при исследовании устойчивости задачи (14), (15). В разделе 2.4 настоящей работы доказано, что линейный оператор И, определённый в пространстве Ь2[0,1] на базисных функциях Wj(x) равенствами ¿ = 1,2,". (23) является самосопряжённым и положительно определённым. Соответствующая энергетическая норма ||у||о = \AJtyiy)ь2[о у гарантирует равномерную устойчивость задачи (14), (15) при а > 0.

Теорема 8. Пусть а > 0. Если регулярное решение задачи (14), (15) существует, то оно удовлетворяет неравенству и(х,г2)\\о ^ НМОИя, 0 < ¿1 < ¿2 < +оо.

Следствием теоремы 8 и эквивалентности норм || • || • ||^2[од], заданных на множестве функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], является

Теорема 9. Задача (14), (15) при положительных а является устойчивой по начальным данным в норме пространства 1/2 [0,1].

В случае а < 0 в спектре задачи (20) присутствует отрицательное собственное значение. Отсюда вытекает неустойчивость задачи (14), (15) как в смысле определения 2, так и в смысле определения 1. Единственность отрицательного собственного значения позволяет доказать ограниченный рост регулярного решения в норме Ь2 [0,1] на конечном отрезке времени. Справедлива

Теорема 10. Регулярное решение задачи (14), (15) удовлетворяет неравенству

1КМ)1к[0,1] < с||и(ж, 0)||¿2(0,1], о < I ^ Т с константой С > 0, зависящей только от выбора Т > 0.

Замечание. При а < 0 константа С = С(Т), указанная в теореме 10, имеет экспоненциальный рост.

Результаты, полученные во второй главе диссертации, опубликованы в работах [64], [65] и докладывались на конференции "Тихоновские чтения "в 2007 году, а также на семинаре кафедры Общей математики факультета ВМиК МГУ.

Особое внимание в настоящей работе уделяется изучению корректности разностных схем (18), аппроксимирующих задачу (14), (15), в частности, их устойчивости в смысле определений 3, 4. Исследованию свойств схем с весами (18) посвящена третья глава диссертации, которая называется "Разностные схемы для нелокальной краевой задачи".

Поскольку исходная дифференциальная задача (14), (15) не является корректной при а < 0, то схемы, аппроксимирующие данную задачу, рассматриваются только для положительных а.

В основе исследований свойств схемы (18) находится общая теория устойчивости оиераторно-разностных схем, разработанная в [56], [58]. Пусть, как и ранее, Н^ - линейное пространство функций, заданных на сетке снабжённое скалярным произведением и нормой (12). Разностную схему (18) удобно представить в операторном виде

7,п+1 ,.п т + °АУП+1 + (1 - °)АУП = 0. П = 0,1,2,., М - 1, (24) ук = у(х,гк), хешн, к = 0,1, 2,., М, у0 = р(х), где оператор А : Н^ —> Ядг определён равенствами

Лу)(х3) = -(у{х3+0 - 2у{х3) + у(х3-г))/И2, з = 1,2,., N - 1, Ау) = 2/1-1 ((У(хлг) - у{?и-{))/к - {у{хх) - у(х„))/Л + ау(хи)), в которых у(хо) = 0.

Двухслойная схема (24) имеет канонический вид (см. [56]) уП+1 уП

В--— + Ауп = 0, п = 0,1, 2,., М — 1, г

У = ¥>(а0> х е где оператор В = Е + га А.

Операторно-разностный подход к изучению свойств схемы (18) основан на спектральных характеристиках оператора А. В разделе 3.2 настоящей работы рассмотрена задача на собственные значения для оператора А. Доказано, что при любом а > 0 все собственные числа вещественные и положительные, каждому из них отвечает единственная с точностью до ненулевого множителя собственная функция. Совокупность собственных функций образует базис пространства НN. Биортонормированный к нему базис состоит из собственных функций оператора, сопряжённого к А в смысле скалярного произведения (12), который определяется равенствами

А*у) (:г3) = -{у{х3+г) - 2у(х3) + у{х3^))/Н2, j = 1,2,., N — 1, А*у)(хи) =2Ь~1((у(хм) -у{хм^))/П + (ху{хм)), у(х0) =у(хк).

Изк положительности спектра оператора А следует невырожденность оператора В канонического представления схемы (24) при любом выборе параметров т, К > 0 и о ^ 0. Отсюда вытекает существование и единственность решения разностной схемы (18) при данных т,1г,а, отвечающего любому выбору сеточной функции ц>(х).

Менее тривиален вопрос устойчивости схемы (18). В работе изучается устойчивость по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме, а также равномерная устойчивость в энергетических нормах || • ||о пространства Н^, которые определяются равенством у\\Ъ = {Оу,у)ьн, 1? = £>*>0.

Осуществлён выбор среди энергетических норм той, условия устойчивости в которой являются наименее жесткими.

Пространство Н^ с определённой в нём энергетической нормой || ■ ||д, обозначим через Но

Приступая к исследованию устойчивости, следует отметить, что при нечётных N и а > 2, а также при чётных N и любых а > 0 максимальное по величине собственное значение Л оператора А больше, чем 4/Л2. Это свойство, не характерное для операторов второй разностной производной, оказывает существенное влияние на вид условия устойчивости разностных схем.

Другой характерной особенностью оператора А является его несамосопряжённость. Однако, как было указано ранее, все его собственные значения вещественные, а система собственных функций образует базис в пространстве Н^. Линейные операторы, обладающие данными спектральными свойствами, являются симметризуемыми в смысле следующего определения (см. [52])

Определение 6. Оператор А, действующий в евклидовом пространстве Нм, называется симметризуемым, если он подобен самосопряэюённому оператору, то есть существует невырожденный оператор К : НN Ндг такой, что (К~1АК)* = К~1АК.

Симметризуемость оператора А разностной схемы с весами (24) означает симмет-ризуемость оператора перехода 5 = Е — тВ~гА её канонического представления. Двухслойные схемы с симметризуемым оператором перехода называются симметризуемы-ми.

Полученные в [52] необходимые и достаточные условия устойчивости симметризуе-мых схем позволяют сформулировать критерий равномерной устойчивости схем с весами (18).

Теорема 11. Необходимым условием равномерной устойчивости схемы (18) в пространствах Но является неравенство где через Л обозначено наибольшее по величине собственное число оператора А. Неравенство (25) совпадает с достаточным условием устойчивости при И = (КК*)-1, где К - любой невырооюденный оператор, удовлетворяющий условию (К~1АК)* =

Замечание. В теореме утверждается, что условие равномерной устойчивости (25) не может быть ослаблено за счёт выбора оператора энергетической нормы И, а также гарантируется существование непустого множества энергетических норм, в которых условие устойчивости имеет вид (25). Разностные схемы (18) наследуют от задачи (14), (15) одно из отрицательных качеств, которым является проблема базисности системы собственных функций. В разностном случае проблема базисности заключается в том, что собственные функции оператора А становятся линейно зависимыми и теряют свойство базисности как при а —> +0 (Д - фиксировано), так и при /г —> 0 {а - фиксировано).

Свойство базисности собственных функций разностных операторов используется в теории симметризуемых схем. Поэтому энергетические нормы || • полученные в результате исследования равномерной устойчивости схемы (18) как симметризуемой схемы с весами, обладают существенным недостатком. Дефект сеточных норм || ■ равномерная устойчивость в которых гарантируется теоремой 11, проявляется при попытке вывода из устойчивости в смысле определения 4 устойчивость по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме и заключается в том, что отношение констант эквивалентности норм || • ||г> и || • Ц^ стремится к бесконечности при /г —> 0. Более того, справедлива

Теорема 12. Пусть норма || • ||д определена равенством где К - любой невырожденный оператор, удовлетворяющий условию (К 1АК)* = К~1АК. Тогда дробь М(1г)/т{к), где а ^ 0.5 — 1/(тЛ)

25)

К~1АК.

IIу\\п = у/(руЩ, В = {КК*)~Х является бесконечно большой величиной при Н —» 0 (а - фиксировано), а также при а —» +0 (к - фиксировано).

Таким образом, ни одна из энергетических норм || ■ равномерная устойчивость в которой обеспечена теоремой 11, не является эквивалентной сеточной среднеквадра-тической норме с константами, не зависящими от выбора к > 0. Также наблюдается зависимость констант эквивалентности от выборам > 0, в частности, их сингулярное поведение при малых а. В то же время разностные схемы (18) в пределе при а —» +0 переходят в изученное ранее семейство схем (11), которые являются равномерно устойчивыми в некоторой специальной энергетической норме, имеющей не зависящие от к константы эквивалентности с нормой || • ||ьн. В связи с этим в разделе 3.4 диссертации осуществлена попытка определить при каждом положительном а энергетическую норму в пространстве Ддг, такую что

1. её константы эквивалентности с нормой Ь2 не зависят от выбора к > 0 и не имеют особенности при а —» +0;

2. схемы (18) равномерно устойчивы в данной норме при выполнении условий, близких к неулучшаемому условию (25).

Решением поставленной задачи является энергетическая норма || • ||а, равная квадратному корню из суммы квадратов координат разложения сеточной функции по вспомогательному базису \У}1. По аналогии со вспомогательной системой функций {гик(х), к = 1,2,.}, построенной для изучения свойств задачи (14), (15), каждая сеточная функция базиса определена как линейная комбинация не более, чем двух собственных функций оператора А. Заметим, что величина ||т/||а зависит от значения параметра а > 0.

Благодаря специальному выбору базисных функций, семейство схем (18) в базисе И^ принимает вид

71+1 п.П

-+ а№+1 + (1-а)№ = 0, п = 0,1,2,., М — 1, (26) г где V0 - задано, а матрица 3 имеет блочно-диагональную структуру с блоками размера не более, чем 2x2. Условие равномерной устойчивости схемы (18) в норме || • ||а эквивалентно равномерной^ устойчивости схемы (26) в сеточной среднеквадратической норме Ь\. В результате исследования свойств схемы (26) доказано следующее утверждение.

Теорема 13. Разностная схема (18) является равномерно устойчивой в норме || • ||а, если её параметры удовлетворяют неравенству а ^ 0.5 - к2/(4т) (27) при нечётном N и 0 < а < 2, или же неравенству (25) в противном случае (то есть при N = 2т + 1, а ^ 2, а также при N — 2т, а > 0).

Замечание. Неравенство (25) является необходимым условием равномерной устойчивости в энергетических нормах пространства Ядг. Неравенство (27) накладывает слегка более жёсткие требования, чем необходимое условие при соответствующих значениях И, а.

Оценивая сверху максимальное по величине собственное значение Л оператора А, приходим к достаточным условиям устойчивости.

Теорема 14. Для равномерной устойчивости разностной схемы (18) в норме || • ||а достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Л2 а ^0.5- — (1-Ш2(/1шах[а,^])). (28)

Замечание. Величина в правой части неравенства (28) имеет вид 0.5 - (1 + 0{к2)) /г2/(4т) при каждом а > 0.

Опираясь на результаты, полученные в работе [50], в настоящей работе исследованы константы эквивалентности сеточных норм || • ||а и || • \\ьн. Справедлива

Теорема 15. Пусть ао - любое полоо/сителъное число. Существуют константы К\ > 0, > 0, не зависящие от выбора к > 0, такие, что неравенства выполняются для любой у(х) Е Нм и при всех а 6 (0, ао).

Следствием теорем 13, 15 является

Теорема 16. Пусть а € (0, с*0), где ао - любое положительное число. Если параметры разностной схемы (18) удовлетворяют условиям т ^ 0.5 — /г2/(4г), Ы = 2т+1, 0 < а < 2, а ^ 0.5 - 1/(тЛ), N = 2171+1, а 2, (29)

N = 2т, а > 0, где Л - максимальное по величине собственное число оператора А, то схема является устойчивой по начальным данным в пространстве Ндт, а именно, её решение уп = у{х{,1п), п = 0,1, 2,., М при любом выборе у0 £ Ду, удовлетворяет неравенству уп\\ь^С\\у°\\Й, п=1,2,.,М с константой С > 0, не зависящей от выбора к, г > 0 и а.

Замечание. В теореме 16 условия устойчивости (29) можно заменить на неравенство (28).

Результаты исследования разностной схемы (18), полученные в третьей главе диссертации, опубликованы в работе [66] и докладывались на семинаре кафедры Вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, на конференции "Тихоновские чтения"в 2008 году, а также на 16 конференции "Математика. Компьютер. Образование."

Завершая обзор диссертации, сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Установлена согласованность сеточной нормы, возникающей при исследовании устойчивости разностной схемы для задачи Самарского-Ионкина, с эквивалентной нормой в пространстве L2 [0,1]. Свойство согласованности доказано на классе функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

2. Исследовано однопараметрическое семейство нелокальных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, граничные условия которых не являются усиленно регулярными. Доказано существование, единственность и устойчивость классического решения.

3. Найдены условия устойчивости разностных схем, аппроксимирующих однопараметрическое семейство нелокальных задач для уравнения теплопроводности. Получено семейство евклидовых сеточных норм, в которых необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным. Исследована зависимость констант эквивалентности данных норм с сеточной срсднеквадратической нормой от выбора шага сетки по пространственной переменной.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Гулину A.B. за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мокин, Андрей Юрьевич, 2009 год

1. Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырёх типов. ДАН, 2008. Т.420, №3, с.309-313.

2. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырёх типов. ДАН, 2008. Т.420, №4, с.442-446.

3. Yu.Wang. Solutions to nonlinear elliptic equations with a nonlocal boundary condition. Electronic Journal of Differential Equations. 2002. Vol.2002, №5, pp. 1-16.

4. Келдыш M.B. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов. Успехи математических наук. 1971. Т.26, №4(160), с.15-41.

5. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. Учёные записки МГУ, №4, вып. 148, 1951, с.69-107.

6. Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь20,1. ДАН СССР. 1962. Т.144, №5, с. 981-984.

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

8. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. Линейные операторы, часть 3. Спектральные операторы. М, Наука, 1974.

9. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединённых функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // ДАН СССР. Т. 227, №4, 1976, с. 796-799.

10. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединённых функций дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР. 1983. Т.273, №5, с. 1048-1053. Г

11. Ионкин Н.И., Валикова Е.А. О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической краевой задачи. Математическое моделирование. 1996. Т.8, т, с.53-63.

12. Сапаговас М.П. О проблеме собственных значений для некоторых задач с нелокальным условием. Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, №7, с. 961-967.

13. Сапаговас М.П., Штиконас А.Д. О структуре спектра дифференциального оператора с нелокальным условием. 2005. Т.41, №7, с.961-969.

14. S.Peciulyte, O.Stikoniene, A.Stikonas. Sturm-Liouville problem for stationary differential operator with nonlocal integral boundary condition. Mathematical Modelingand Analysis. 2005. Vol.10, issue 4, pp. 377-392.

15. Моисеев Т.Е. О полноте собственных функций одной нелокальной краевой задачи Геллерстедта. Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39, №11, с. 1568-1570.

16. Ионкин Н.И., Моисеев Т.Е. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями. ДАН. 2005. Т.400, №5, с.592-595.

17. Zhi-Zhong Sun. A high-order diference scheme for a nonlocal boundary value problem for the heat equation. CMAM. 2001. Vol.1, №4, pp. 398-414.

18. Р.Чегис, А. Штиконас, О. Штиконене, О. Субоч. Монотонная разностная схема для параболической задачи с нелокальными краевыми условиями. Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, №, с.968-975.

19. Р.Чегис. Экономичные разностные схемы для решения двумерной параболической задачи с интегральным условием. Дифференциальные уравнения. Т.41, №7, с.1-5.

20. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Двумерная нелокальная задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках. Математическое моделирование. 1990. Т.2, №8, с. 139-156.

21. J.R. Cannon, Y. Lin, L. Matheson. The solution of the diffusion equation in two-space variables subject to the specification of mass. Applicable Analysis. 1993. Vol.50, issue 1&2, pp.1-15.

22. ИонкинiН.И., Фрулетов Д.Г. Равномерная устойчивость разностных схем для одной нелокальной несамосопряжённой краевой задачи с переменными коэффициентами. Дифференциальные уравнения. 1991. Т.27, №7, с.1170-1177.

23. Ионкин Н.И., Макаров В.Л., Фрулетов Г.Д. Устойчивость и сходимость в С-норме разностных схем для параболического уравнения с нелокальным краевым условием. Математическое моделирование. 1992. Т.4, №4, с.63-73.

24. Ионкин Н.И., Валикова Е.А. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряжённой краевой задачи. Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, №7, с. 1220-1227.

25. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями для двухмерного уравнения теплопроводности. Вестник Моск. ун-та. Сер.15, вычислительная математика и кибернетика. 1999. №4, с. 15-18.

26. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №7, с. 884888.

27. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями. Вестник Моск. ун-та. Сер. 15, вычислительная математика и кибернетика. 2000. №3, с.19-23.

28. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи. Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, №7, с.926-932.

29. Гулин A.B., Ионкин И.PI., Морозова В.А. Об одной нелокальной двумерной разностной задаче. Вестник Моск. ун-та. Сер.15, вычислительная математика и кибернетика. 2004. N"1, с.5-9.

30. Ионкин И.PI. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифференциальные уравнения. Т. 13, №2, 1977, с.294-304.

31. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи. // Вестник Московского университета. Серия вычислительная математика и кибернетика. №2, 1977, с.20-32.

32. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. // Дифференциальные уравнения. Т. 15, №7, 1979, с.1284-1295.

33. Гулин A.B., Ионкин H.PI., Морозова В.А. Разностные схемы для нелокальных задач. //Известия Вузов. Математика. 2005. №1 (512). С.40-51.

34. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Исследование нормы в задачах об устойчивости нелокальных разностных схем. // Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42. т. С.914-923.

35. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Критерий устойчивости разностной схемы для нелокальной задачи теплопроводности. // Известия Вузов. Математика. 2007. №6 (541). С.21-28.

36. Гулин A.B. Симметризуемые разностные схемы. Р1зд. ф-та ВМиК МГУ. М.2004. 117 с.

37. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М. Изд-во ЛКИ, 2008. 320 с.

38. Р.Рихтмайер, К.Мортон. Разностные методы решения краевых задач. Изд-во "Мир". М.,1972. 418 с.

39. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 6-е издание. М. Изд-во Московского университета, 1999, 798 с.

40. Самарский A.A. Теория разностных схем. 3-е изд. М., Наука, 1989.

41. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М. Наука, 1989, 430 с.

42. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. 2-е изд. М., УРСС,

43. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.,Наука, 1978, 592 с.

44. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М. Изд-во Московского университета, 2002, 319 с.

45. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. 7-е издание. М. Физматлит, 2004, 648 с.

46. Мокин АЛО. О неустойчивости схем с весами для задачи Самарского-Ионкина. Сб. статей молодых учёных ф-та ВМиК МГУ. 2006, №3, с.103-110.

47. Мокин А.Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, jT°7, с. 969-978.

48. Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Дифференциальные уравнения. Т.45, №1, 2009, с.123-137.

49. Мокин А.Ю. Метод разделения переменных для задач с нелокальными граничными условиями. Труды 15 международной конференции "Математи-ка.Компьютер.Образование". Изд. НИЦ ''Регулярная и хаотическая динамика". Ижевск 2008, Т.2, с. 46-54.

50. Гулин A.B., Мокин А.Ю. Об устойчивости семейства разностных схем с весами. Прикладная математика и информатика: труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. jY»29, 2008, с.64-87.

51. Мокин А.Ю. Неустойчивость в Не разностных схем с нелокальными граничными условиями. Тезисы 14 международной конференции Математи-ка.Компыотер.Образование. Изд. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Москва-Ижевск, 2007, с. 14.