Равномерная сходимость и сходимость в L p на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ломов, Игорь Сергеевич

• Ломов, Игорь Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ломов, Игорь Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Теорема Рисса и ее обобщение на неортогональные системы функций с неклассическим неравенством Бесселя

§1. Обобщение теоремы Рисса

§2. Неравенство Бесселя для корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов.

1°. Нелокальная формула среднего.

2°. Оценки корневых функций.

3°. Упрощение формулы среднего

4°. Неравенство Бесселя

5°. Необходимость условия "сумма единиц".

6°. Теоремы о безусловной базисности в С2 (С).

7°. Примеры.

§3. Обобщенное неравенство Бесселя

1°. Обобщение неравенства Бесселя - неравенство Хаусдорфа

2°. Первое применение обобщенной теоремы Рисса

ГЛАВА 2. Свойство базисности нерегулярных корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов

§1. Нагруженные дифференциальные операторы второго порядка и нелокальные краевые условия

1°. Некоторые примеры исследованных и новых задач с нелокальными краевыми условиями.

2°. Интегральные представления корневых функций.

3°. Оценки корневых функций.

§2. Неравенство Бесселя и безусловная базисность

§3. Оператор произвольного порядка

§4. Примеры. Расходящиеся биортогональные ряды

§5. Равномерная сходимость биортогонального ряда

ГЛАВА 3. Локальная сходимость биортогональных рядов

§1. Оператор второго порядка

10. Постановка задачи

2°. Основная теорема.

3°. Доказательство основной теоремы

4°. Оценка скорости равномерной равносходимости разложений

5°. Различия в скорости равносходимости для разных видов L

6°. Примеры.

7°. Доказательство леммы 1 об оценках интегралов.

§2. Оператор высокого порядка.

1°. Основная теорема.

2°. Локальная базисность.

3°. Доказательство леммы 4 об оценках интегралов.

ГЛАВА 4. Сходимость биортогональных рядов на всем отрезке

§1. Оператор второго порядка

§2. Оператор высокого порядка.

§3. Примеры

ГЛАВА 5. Локальная формула среднего значения Е.И.Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами

1°. Формулы среднего значения

2°. Лемма об оценках интегралов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерная сходимость и сходимость в L p на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов»

Данная работа посвящена изучению свойств систем корневых функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов Ь1 заданных на конечном отрезке числовой прямой. Операторы могут быть как самосопряженными, так и несамосопряженными, причем особое внимание уделено случаю существенно несамосопряженных операторов, системы корневых функций которых содержат бесконечное число присоединенных функций. Установлены необходимые и достаточные условия справедливости неравенства Бесселя, обобщенного неравенства Бесселя (неравенства Хаусдор-фа-Юнга) для этих систем, получено обобщение теоремы Рисса (Рисса-Фишера, Хаусдорфа-Юнга). Доказан критерий безусловной базисности (базисности Рисса) в £} как для регулярных корневых функций, так и для нерегулярных - имеющих разрывы 1-го рода вместе со своими производными в конечном или счетном числе точек отрезка. Рассмотрение такого нерегулярного класса функций при использовании метода В.А.Ильина позволило окончательно отказаться от конкретного вида краевых форм оператора.

Предложен метод, позволяющий устанавливать равносходимость вплоть до границы отрезка биортогональных разложений функций по корневым функциям операторов Ь с разложением этой функции в обычный тригонометрический ряд Фурье (далее - сокращенно ТРФ). Причем впервые это сделано для дифференциального оператора порядка 2п, п > 1, коэффициент при (2п — 1)-ой производной которого - негладкая функция, принадлежащая лишь классу С3, в > 1. Получены точные оценки скорости равносходимости на всем интервале. Обнаружено, что скорость равносходимости может существенно зависеть от степени суммируемости 5 коэффициента при (2п — 1)-ой производной.

Для получения указанных оценок не привлекается оператор Х-*, сопряженный с Ь, существование которого налагает условия гладкости на коэффициенты дифференциальной операции. Система функций, биортогонально сопряженная с системой корневых функций оператора Ь, может быть не связана с более того, эти функции могут не принадлежать классу на всем интервале, а принадлежат лишь некоторому классу £г, г < оо (такие ситуации возникают при изучении некоторых систем экспонент).

В целом во всей работе развивается спектральный метод В.А.Ильина изучения дифференциальных операторов безотносительно конкретного вида краевых условий. Установлены границы применимости известных "условий Ильина" (см. ниже) в вопросах равносходимости биортогональных рядов.

Наметив общую тему работы, перейдем к исторической справке.

Многие вопросы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Так, например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения смешанной задачи для дифференциального уравнения в частных производных ([209, с.90], [14, с.230]). В задачах управления некоторые критерии управляемости объектами связаны с ба-зисностью корневых функций дифференциальных операторов [1]. Также в методе регуляризации сингулярных возмущений [130, 179] для точного описания особенностей решения задачи используется спектр предельного оператора, а правые части уравнений разлагаются в ряды по системам корневых функций этого предельного оператора.

В развитии многих важных направлений математики и физики большую роль сыграли понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения таких простых объектов, как уравнение Штурма-Лиувилля —у" 4- (¡{х)у = Ху и связанный с ним оператор Штурма-Лиувилля I = —с12/с1х2 + д(х); следуя терминологии квантовой механики этот оператор также называют одномерным оператором Шредингера, а функцию ц(х) - потенциалом. Эти объекты были постоянным источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Вот уже более 200 лет, с тех пор, как появились первые работы Д.Бернулли и Л.Эйлера, посвященные решению уравнения колебаний струны, этот источник не иссякает. Подтверждением этому могут служить не так давно обнаруженные ([41]) неожиданные связи спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля с решением некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (см. также [82, 138]).

В данной работе основные результаты также получены сначала для простых объектов - операторов второго порядка, а затем они переносятся на операторы высокого порядка.

Первые подробные и строгие исследования оператора I были проведены Штурмом и Лиувиллем в начале 19 в. (см. [61], [129]). Они получили ряд глубоких результатов о свойствах собственных функций и собственных значений оператора I. В 1837 г. Лиувиллем была впервые установлена структура фундаментальной системы для уравнения у"-\-(Х2г(х)+д(х))у = О, г > 0, при Л —> оо. Проблеме разложения функции в ряд по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля посвятил несколько крупных работ В.А.Стеклов ([190, 191]). Выделим следующие важные результаты, близкие по теме исследованиям данной диссертации: 1) установление общего метода (метода Лиувилля-Стеклова) получения асимптотических выражений для систем функций, являющихся решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка; 2) доказательство теоремы полноты и разложения по собственным функциям; 3) доказательство важной теоремы анализа о равносходимости ряда по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля и ТРФ (теорема Гобсона-Стеклова). Близкими вопросами занимался Д.Биркгоф [11, 12]. Так, сходимость рядов Фурье В.А.Стеклов доказал с помощью теоремы Шлезингера-Биркгофа ([222], [130, с. 29]).

Важные результаты по исследованию свойств собственных функций обобщенной краевой задачи (краевые формы содержали интегралы Стилтьеса с абсолютно непрерывной мерой, а коэффициенты оператора могли зависеть от спектрального параметра) для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка (при условии существования сопряженного оператора) были получены Я.Д.Тамаркиным [196]. Им также, а затем и М.Стоуном [195] доказаны теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям. Однако это "односторонние" и локальные теоремы о равносходимости - утверждается, что если ТРФ сходится на (0,1), то к тому же пределу сходится и разложение в ряд по собственным функциям и притом равномерно на всяком внутреннем компакте из (0,1), на котором ТРФ сходится равномерно ([196, с. 234]). Теоремы о равносходимости, гарантировавшие одновременную сходимость или расходимость этих разложений, по-видимому, впервые были доказаны В.А.Ильиным [64, 69, 84].

Большую роль в привлечении математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Э.Ч.Титчмарша [203], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов Штурма-Лиувилля и поставлен (частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач. В этой книге получена важная для данной работы так называемая формула среднего значения Титчмарша для собственных функций оператора второго порядка. Вопросами равносходимости занимались (также Э.Ч.Титчмарш, А.Хаар, Б.М.Левитан, Я.Л.Геронимус и другие.

М.В.Келдыш [99, 101] установил теоремы о полноте системы корневых векторов и теоремы об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряженных операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В.Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены (см. обзор М.В.Келдыша и В.Б.Лидского [100], обзоры в книгах М.А.Наймарка [148], И.Ц.Гохберга и М.Г.Крейна [47], Л.Чезари [218], статьи В.Н.Визитея и А.С.Маркуса [25, 135], А.М.Кролла [115], В.Б.Лидского [128], В.А.Ca довничего [174], А.Г.Костюченко [111-114], А.А.Шкаликова [219, 221], В.В.Власова [33, 37], Г.В.Радзиевского [166], А.П.Хромова [211, 212], С.М.Пономарева [165], А.И.Вагабова [23,24], А.М.Седлецкого [180, 182], Е.И.Моисеева [141, 145], Б.Т.Билалова [10], A.A.Дикого [57], А.Н.Бар-менкова [4] и др.).

Менее изучен вопрос о базисности систем корневых функций несамосопряженных операторов в различных пространствах. В случае формально самосопряженного дифференциального оператора и самосопряженных краевых условий ответ на этот вопрос можно получить в терминах краевых условий. Согласно основной теореме Дж. фон Неймана [154], система собственных функций указанного оператора с точечным спектром образует ортонормированный базис в С2. В.П.Михайлов [139], Г.М.Кессельман [106], Н.Данфорд и Дж. Шварц [49] показали, что собственные и присоединенные функции оператора, порожденного линейной дифференциальной операцией порядка п,п > 2, и двухточечными усиленно регулярными условиями, образуют базис Рисса в £2(а, Ь). Однако эти системы корневых функций содержат не более, чем конечное число присоединенных функций. В случае регулярных, но не усиленно регулярных условий, корневые функции могут как образовывать (задача Самарского-Ионкина [94]), так и не образовывать базис (см., напр., [106] или задача Самарского-Ионкина со специальным выбором присоединенных функций). Если краевые условия нерегулярны, то С.К.Блошанской [15] для оператора 2-го порядка показано, что система корневых векторов не образует базиса в С2. Нерегулярные условия исследовались Л.Уордом [210], А.П.Хромовым [212] и другими авторами.

Далее исследования свойства базисности были продолжены в трех направлениях. С одной стороны, известная работа А.В.Бицадзе, А.А.Самарского [13] привлекла исследователей к изучению задач с нелокальными краевыми условиями (см. также обзор [115]); с другой стороны, получил развитие спектральный метод В.А.Ильина [84], позволяющий исследовать задачи безотносительно конкретного вида краевых условий: было показано, что в терминах только краевых условий нельзя получить условия базисности для существенно несамосопряженных операторов ([89, 92]); наконец, было продолжено изучение абстрактных дифференциально-операторных уравнений (см. А.А.Дезин [55], В.В.Власов [35] и др.). Отдельно остановимся и на результатах по равносходимости и скорости равносходимости спектральных разложений с ТРФ.

В первом направлении значительное продвижение было получено А.А.Шкаликовым [220]. Для оператора гг-го порядка (с коэффициентом при (п — 1)-ой производной равным нулю) с интегральными краевыми условиями показано, что если краевые условия регулярны (усиленно регулярны), то система корневых функций оператора образует базис Рисса со скобками (обычный базис Рисса) в С2(0,1). В работе Г.М.Кессельмана [107] установлена спектральность по Н.Данфорду (базис Рисса) одного возмущенного оператора Штурма-Лиувилля с интегральными краевыми условиями частного вида. В работе А.Г.Баскакова, Т.К.Кацаран [6] рассмотрен интегро-дифференциальный оператор п-го порядка с интегральными краевыми условиями в пространстве £2(0,1). Изучены свойства системы гладких корневых функций этого оператора, получены критерии спектральности и обобщенной спектральности, теорема о равносходимости спектральных разложений. Многоточечные краевые задачи с комплексной переменной изучались Ю.А.Дубинским [58, 59]. Трехточечным, многоточечным, нелокальным краевым задачам посвящены работы В.А.Ильина и Е.И.Моисеева [77, 79, 80, 146], Ю.В.Покорного и его учеников [162-164], А.А.Дезина [53], М.Г.Завгороднего [62], Б.И.Пташника, В.С.Илькива [93], С.И.Гайдука [40], Н.И.Юрчука [217, 226], А.Л.Скубачевского [188], М.А.Мустафина [147], И.Т.Кигурадзе [108] и др. Во всех перечисленных работах операторы рассматривались на классе регулярных решений.

В 1975 г. В.А.Ильин опубликовал две работы [64, 65], заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединенных функций как самосопряженных, так и несамосопряженных дифференциальных операторов (модификация спектрального метода Ильина [84], разработанного для исследования самосопряженных эллиптических операторов). Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых функций, т.е. рассматриваются некоторые сужения максимального оператора.

В дальнейшем В.А.Ильиным и его учениками метод был применен к широкому классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов, спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в £2(0,1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости этих разложений на всем отрезке.

В основе метода лежит рассмотрение обобщенных корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н.Тихонову. Используются интегральные представления (формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений, из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций. В случае исследования безусловной базисности, доказывается справедливость неравенства Бесселя для операторов Ь и Ь* и далее используется известная теорема Н.К.Бари [3], [47, с. 374]. Ниже приведены формулировки результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.

При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов функций ортогональными рядами (см., напр., Г.Алексич [2], С.М.Никольский [160], С.Б.Стечкин [194], С.А.Теляковский [199]). Менее изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной задачи - это сравнение разложений функций по исследуемой биортогональной системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе функций.

Начиная с результатов В.А.Стекловаи Ж.Биркгофа многие работы по разложению по корневым функциям регулярных дифференциальных операторов посвящены тому, чтобы показать, что эти ряды ведут себя строго внутри интервала сходимости как обычные ТРФ (в дополнение к указанным выше отметим также работы по рядам Лежандра и рядам Фурье-Бесселя У.Юнга [223, 224] и М.Л.Гольдмана [42]). Вопрос о скорости равносходимости таких разложений, видимо, впервые был рассмотрен в 1978г. в работах В.А.Ильина и И.По [68]. Для произвольного неотрицательного самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом д(х) Е £г(£?), г > 1, С = (0,1), была получена точная оценка О(^) скорости равномерной равносходимости на любом компакте К С С спектрального разложения о\{х, /) произвольной абсолютно непрерывной функции f(x) с /) - частичной суммой ТРФ этой функции. Этот результат перенесен В.Е.Волковым и И.Ио [39] на несамосопряженные операторы Шредингера с потенциалами из затем Е.И.Никольской [157] на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка О(Ц^).

Системы функций, по которым ведется разложение, могут удовлетворять разным краевым условиям (или не удовлетворять никаким краевым условиям без спектрального параметра, как в случае системы экспонент), поэтому равномерной равносходимости соответствующих рядов на всем отрезке (9 в общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всем (2, причем оценку достаточно установить в интегральной метрике (см., напр., [159, 192, 199, 193]). В работах автора [227, 228] для того же оператора, что в [68], для функции ограниченной вариации получена оценка О(-^т^) скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всем интервале в интегральной метрике £р(Сг),р > 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат перенесен на несамосопряженный оператор Шрединге-ра в [239], причем получена точная оценка и на оператор второго порядка с негладким коэффициентом р\{х) при первой производной в [241, 242], рг £ 5 > 1; оператор Ь* не привлекается.

Обзор результатов по задачам равносходимости, полученных без использования подхода В.А.Ильина, подробно изложен в работе А.П.Хромова [214] (см. также его статью [215]). Остановимся еще на трех работах, связанных со скоростью сходимости биортогональных разложений (точнее, рядов Фурье со скобками, совпадающих с исследуемыми в данной работе разложениями только когда система корневых функций оператора содержит конечное число присоединенных функций)., В работах В.С.Рыхлова [169, 170] для обыкновенного дифференциального оператора п-го порядка с ненулевым коэффициентом р\ при (п — 1)-ой производной и регулярными двухточечными условиями на концах интервала С получены оценки скорости равномерной на любом отрезке К С С равносходимости сгд(ж,/) и Бд(я,/). Коэффициент р\{х) при этом из более узкого класса, чем £5. Условия на рх и / накладываются в терминах классов состоящих из функций /(х) £ £г(0), интегральный модуль непрерывности которых есть величина 0(1п~а(<5-1)), 6 —> 0+. Скорость равносходимости при этом такова: если рх £ £ + ¡3 > 1 + <? 1 = 1, то ||с7д(ж, /) - 5х(х, /)||с(К) = 0( Л + л л)' ® Рассмотрен более общий, квазидифференциальный оператор.

Г.В.Радзиевский, А.М.Гомилко [44] исследовали оператор, порожденный дифференциальной операцией у^ со слабым возмущением Ру (соответствующим в случае дифференциального оператора условию = 0) и двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущенными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности функции /(ж) £ установлены оценки скорости равномерной равносходимости оа(ж,/) с и с (т°х(х,/) (при Ру = 0) на VК С (?. Система, биортогонально сопряженная с системой корневых функций оператора Ь, является системой корневых функций оператора Ь* (см. также их статьи [45, 46]). В работе Г.В.Радзиевского [167] рассмотрен дифференциальный оператор п—го порядка (с Рг(х)у^п~'1^ = 0) с двухточечными регулярными краевыми условиями. Исследовано влияние краевых условий (наличие или отсутствие в них производных) на оценку скорости сходимости разложений по корневым функциям этого оператора в метрике £р((?).

Отметим также работы Х.Бензинжера [8], В.С.Рыхлова [171], Т.Б.Касу-мова [96], Ф.Кауфмана и В.Лютера [97], связанные с вопросами равномерной равносходимости спектральных разложений и сходимости их в £р для широкого класса двухточечных краевых задач, близкие по теме работы А.М.Седлецкого [184, 186] по системам экспонент, а также работы А.Б.Нерсесяна [155, 156] по равномерной сходимости и равносходимости биортогональных разложений по корневым функциям краевой задачи с интегралами Стилтьеса для интегро-дифференциального уравнения 1-го порядка с запаздыванием и разложений по некоторым специальным тригонометрическим системам функций.

Недавно В.А.Винокуров и В.А.Садовничий опубликовали серию статей [27-31] по асимптотике любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с лишь суммиввеление

14 руемым потенциалом и потенциалом, содержащим ¿-функции. Получены формулы следов; для первой краевой задачи доказана теорема о равномерной равносходимости разложений по собственным функциям с ТРФ на всем отрезке для суммируемой разлагаемой функции. Близкие вопросы для операторов с сингулярными потенциалами исследовали А.А.Шкаликов и А.М.Савчук [172, 173].

Подробно изучен вопрос о равносходимости спектральных разложений с интегралом Фурье на полупрямой или всей прямой как равномерной на любом внутреннем компакте (см., напр., работы В.А.Марченко [136, 137], Б.М.Левитана [125, 126], М.И.Ломоносова [131]), так и равномерной равносходимости на всей прямой (В.А.Ильин [91]).

Равносходимость на компакте К С С в метрике Ср для операторов четного порядка исследовалась В.М.Курбановым [119, 121-123]. Им получены, в частности, оценки скорости сходимости, зависимость их от степени суммируемости коэффициентов - результаты близкие к результатам главы 3 диссертации. Отметим, однако, что основные результаты автора для оператора второго порядка [238-242] были опубликованы значительно раньше и были известны В.М.Курбанову. Кроме того, он не объясняет, для чего ему потребовались оценки скорости равносходимости в интегральной метрике на внутреннем компакте. В данной работе эти оценки - органическая часть единого метода получения оценок скорости равносходимости на всем интервале

Сформулируем результаты В.А.Ильина и его учеников по безусловной базисности систем корневых функций на всем отрезке С. Рассмотрим оператор Ь, порожденный дифференциальной операцией е<? = (<и), п>1; (1)

1=1

Р1(х) Е£5(С,С), 5> 1, Р1(х)£С(С,С), 1 = 2,. ,п, (2) на классе функций 1)п - абсолютно непрерывных на С = [0,1] вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка.

Корневые функции оператора Ь определим в обобщенном (по Ильину) смысле. Под собственной функцией оператора Ь, отвечающей значению X £ С спектрального параметра, будем понимать любую функцию и(х) Е ||и||2 ф 0, удовлетворяющую почти всюду в (7 уравнению Ьи — иХпи — 0, где и = (—\)п!2 при п - четном, а при п - нечетном и = —г, если Irn(—iXn) < 0, либо и — г, если 1т(—гХп) > 0. Под присоединенной функцией порядка гп(т = 1,2,.), отвечающей тому же Л и собственной функции и, будем понимать любую функцию и(х) Е Dn: которая почти всюду в G удовлетворяет уравнению Lu — иХпи = ¡jlq^u1 . Здесь либо /¿0 = 1 (спектральная задача 1), либо /¿0 = ^оА71"1 при |Л| > 1, /¿о = = const ф 0 при |А| < 1 (спектральная задача 2); коэффициент /¿о влияет только на нормировку присоединенных функций. Автором рассматривался и аналог задачи Биркгофа: обозначим через 1\ левую часть последнего уравнения, тогда 1хи = где <р% = "ir (fx)™" * ~ • ■ • ~ ¿1 (спек

ТТЬ тральная задача 3). В случае задач 1, 2 полагаем ср™ = jiq и . Будем считать, что Л Е Si = {Л £ С : argX Е [-J, J]}.

Основными условиями, выделяющими рассматриваемый класс операторов являются удачно соединенные вместе В.А.Ильиным следующие соотношения. Назовем их условиями Ильина (условия /). Зафиксируем некоторые числа r0 Е [1,оо),7о > 0. Обозначим П7 = {Л Е S\ : \1тХ\ < 70}. Выберем произвольную последовательность чисел {А^})^ и произвольную систему {и^} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {А^}, удовлетворяющие следующим трем условиям I:

1) система замкнута и минимальна в £ro(G);

2) Xk Е П7; 3ci = const > 0 : Eo<|Afc|-A<i 1 ^ сь VA > 0;

3) 3c2 = const > 0 : H^llroil^llr^ < C2, Vfe, = где {wfc} - биортогонально сопряженная с система функций: Vk G Uj) = 6kj,Vk,j G A/"; || • ||г - норма в Cr{G). Будем также обозначать через ||/||г,.е норму функции f(x) Е Cr(E), г > 1, Е ф G.

Присоединенные функции выбираем так, что в корневых цепочках справедлива "антиаприорная" оценка ц^^цго < са\\\ик\\го, с = соп81> 0, 771=1,971* (3) тгь ■ 1 тть другая форма записи ||/л0 ик ||Го < сМ||^А:||го> 1^1 > 1), с " не зависит от Лк,а\ = |Лд.|п1, |А*| > 1,а\ = 1,|Аа,| < 1, для задачи 1, аЛ = 1 для задачи 2 и 3. Для п=2 эта оценка всегда выполняется при условии I 2) ([229, 234], для п ф 2 такую систему всегда можно построить ([22]).

Для произвольной функции /(я) £ Ст° (С) составим частичные суммы биортогонального разложения ст\(х, /) = 1кик(х), А > 0, fk = (/,?/&). Через 5л(я,/) обозначим частичную сумму ТРФ функции /(а;), рассматриваемого как ортогональное разложение /(ж) для оператора Ьо : Ьои = и", и £ £>2, с условиями периодичности для и и г/ в 0 и 1. Сформулируем результат В.А.Ильина о локальной базисности и равносходимости.

Теорема (В.А.Ильин [69, 71, 73]). Пусть коэффициенты рь{х) £ , / = 1, п, выполняются условия I 1), 2), г о > 1. Тогда для того чтобы {ик} обладала свойством базисности в С'0 на любом компакте интервала, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К С С существовала постоянная С (К) = С2, обеспечивающая справедливость неравенства из условия I 3) с Цг^Цго,;*' вместо Цг^Цго • Если г о > 1, то это же условие необходимо и достаточно для равномерной на \/К С С? равносходимости ах(я, /)

Отдельно для системы экспонент результат был получен Т.А.Самарской [176], для оператора Шредингера с произвольным суммируемым потенциалом этот результат был получен В.А.Ильиным для скалярного случая [85] и для матричного потенциала [87].

Приведем результаты о безусловной базисности.

Теорема (В.А.Ильин [72, 78]). Пусть п = 2,р±(х) £ ]¥1(С),р2{х) £ £(С). г0 = 2, выполняются условия I 1), первое условие I 2), и для системы {иА;} длины всех цепочек корневых функций равномерно ограничены.

Пусть система {v^} состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору L. Тогда для того чтобы система {и^} являлась безуловным базисом в £2(С), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось второе из условий I 2) и условие I 3).

Позже, [83], теорема была доказана и для систем - для оператора ТТТре-дингера с матричным потенциалом.

Этот результат получил развитие в нескольких направлениях. Для системы уравнений 1-го порядка теорему доказали Е.И.Моисеев и М. Барнов-ска [143]. На операторы 4-го порядка теорему перенес Н.Б.Керимов [102, 103]. В дополнение к условиям предыдущей теоремы показано, что необходимым и достаточным условием базисности при п ф 2 является условие (назовем его "условием Керимова") Зс = const > 0 : II II оо llallí"2 5: cN, для каждой из систем {ии {?;/-}. Для п = 2 Н.Б.Керимов показал, что если ранг собственных функций равномерно ограничен и система {vk} состоит из корневых функций оператора L*, то первое условие I 2) (|ImA¿| < является необходимым для безусловной базисности (это условие необходимо и для базисности в Cp(G),p £ (1,оо) [105]). Доказано [105], что при указанных двух условиях в случае, если система образует базис в C?(G), этот базис является безусловным. Аналогичный результат для нормированных базисов в C2{G) доказал Л.В.Крицков [117].

В 1977 г. В.А.Ильин [67] исследовал вопрос о сходимости разложений в точках разрыва коэффициентов оператора 2-го порядка, на такие операторы теорему о безусловной базисности перенес В.Д.Будаев [19].

Для оператора шестого и выше - четного порядка теорему о безусловной базисности в C2{G) доказал В.Д.Будаев [20-22], примерно в то же время для оператора произвольного порядка в тп—мерном пространстве вектор-функций теорема доказана в [236]; доказана и необходимость второго условия I 2) для безусловной базисности. В дальнейшем эту теорему для оператора четного порядка при несколько более широких предположениях доказал В.М.Курбанов [123]. Теорему о безусловной базисности в

2((9) для оператора Шредингера с сингулярным потенциалом д(х) доказал Л.В.Крицков [116, 118] : х{1 - х)д(х) £ £(£))•

Все указанные теоремы о безусловной базисности в С2(С) доказаны в рамках метода В.А.Ильина - безотносительно конкретного вида краевых условий (более того, В.А.Ильин и Е.И.Моисеев [88] показали, что результат справедлив и для систем, состоящих из подмножеств двух различных краевых задач). Но во всех теоремах предполагается, что биортогональная система состоит из корневых функций оператора Ь* и удовлетворяет тем же требованиям, что и {«&}• В частности, Е Вп. Оказалось, что это возможно только для двухточечных краевых условий - с данными в точках х = 0 и х = 1. Появление любой внутренней точки из С в краевых формах приводит к разрывам у функций г;^ или их производных, т.е. ^к £ Поскольку для обоснования теорем над ик и г^ совершаются одни и те же действия, то возникла идея доказать теорему для случая, когда оба оператора Ь и Ь* определены на классе функций у(х) Е 1)п на конечном числе отрезков [я^-ь а^], к = 1,/, составляющих (9. Впервые это сделал В.А.Ильин [78, 83] в скалярном и векторном случае.

Однако и эти результаты не охватывали всех видов краевых форм; подходили только многоточечные условия с конечным числом внутренних точек. В общем случае краевые формы следует рассматривать как линейные непрерывные функционалы в пространстве С((?) (или С1). Но тогда, по теореме Рисса ([110, с. 347]), каждый функционал представим в виде интеграла Стилтьеса по мере, порожденной некоторой функцией с ограниченным изменением. Таким образом, естественным путем приходим к необходимости изучить краевую задачу с интегральными краевыми условиями. Так как функцию с ограниченным изменением можно представить в виде суммы функции скачков, абсолютно непрерывной функции и непрерывной сингулярной функции, то и краевые формы распадаются на сумму трех слагаемых - дискретную часть, содержащую значения функции и ее производных в отдельных точках отрезка С (причем точки эти могут составлять плотное множество на G), интеграл от произведения на функцию из Cl{G) и интеграл по непрерывной сингулярной мере. Сопряженный оператор для такой краевой задачи был построен Р.Брауном и А.Кроллом [115] и имеет весьма сложную структуру. Биортогонально сопряженная система теперь состоит из функций, которые сами, как и их производные, могут иметь разрывы первого рода в счетном числе точек. Точки разрывов и величины скачков определяются дискретной составляющей меры. Абсолютно непрерывная часть меры влияет на дифференциальную операцию для L*: она становится "нагруженной", т.е. содержит функционалы от решения - значения неизвестной функции или ее производных в концевых точках. Отметим, что методы исследования нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории динамики грунтовых вод и в теории теплопроводности разработаны А.М.Нахушевым и его учениками [149-153, 56].

В свою очередь, оператор L* может также порождаться интегральным условием, что приводит к необходимости изучать и оператор L на упомянутом множестве разрывных функций. Автором [231] (§2.4 диссертации) построен пример задачи, где операторы L и L* определены на множестве разрывных функций (одна точка разрыва), показано, что выполняются все условия теоремы В.А.Ильина и система корневых функций образует базис Рисса в C2(G). Этот пример и такого вида неклассические операторы не укладываются в схемы перечисленных выше работ [196, 139, 106, 52, 220, 6, 44, 169, 8, 96, 97]. Впервые безусловная базисность для столь общих неклассических операторов была доказана автором для п = 2 сначала для дискретных краевых форм [232, 233], затем для общих форм в пространстве вектор-функций [234,235], и для любого п [237]. Эти результаты составляют результаты второй главы диссертации. Отметим также, что для операторов четного порядка, определенных на множестве функций, разрывных в конечном числе точек, теорему о безусловной базисности в C2(G) доказал В.Д.Будаев [22], для оператора второго порядка с сингулярными коэффициентами, определенных на множестве разрывных функций, теорема доказана в [235, 7] - для разных особенностей у коэффициентов. В.А.Юрко [225] исследовал обратную задачу для граничной задачи оператора 2-го порядка с точкой разрыва решения внутри интервала. Показано, что система собственных функций полна в £2, получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для абсолютно непрерывной функции. Такого рода задачи возникают в механике, радиоэлектронике, геофизике и др. Такие задачи решают и всвязи с исследованием разрывных решений нелинейных интегрируемых уравнений в математической физике.

Приведем еще ряд близких направлений по спектральной теории дифференциальных операторов. А.С.Макин [132-134] исследовал случай, когда для оператора Ь не выполняется условие I 3). Получены достаточные условия суммируемости методом Рисса бкортогональных рядов. Эти работы продолжили исследования В.А.Ильина и В.В.Тихомирова [70, 81, 206], Я.Ш.Салимова [175], посвященные средним Рисса спектральных разложений. В.В.Тихомиров [204, 205, 207, 208] для оператора второго порядка получил точные априорные оценки корневых функций и доказал ряд теорем о безусловной базисности систем регулярных корневых функций нагруженных операторов и операторов с отклоняющимся аргументом. В работе [230] получены априорные оценки для двух конкретных многоточечных задач (см. также [5]).

Значительного продвижения в исследовании спектральных свойств краевых задач для операторных пучков дифференциальных и интегро-диффе-ренциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом (вопросы полноты, минимальности, базисности) достиг В.В.Власов [33-38]. Построены примеры, иллюстрирующие весьма сложную и необычную структуру спектра операторов с отклоняющимся аргументом.

Продолжаются активные исследования аппроксимационных и других свойств и самих тригонометрических рядов Фурье и тригонометрических многочленов, например, в работах С.А.Теляковского [197-202], где получены точные оценки тригонометрических рядов в связи с задачами теории приближения, изучен вопрос о сходимости ТРФ в С в случае специальных типов коэффициентов, получены оценки скорости сходимости ТРФ к разлагаемой функции в различных метриках.

Близкие к теме диссертации вопросы для систем экспонент изучил А.М.Седлецкий [180-187]. Им, в частности, предложен метод периодического в среднем продолжения функций с сохранением гладкости, позволивший перенести классические признаки равномерной сходимости ТРФ - Дини-Липшица, Дини, Дирихле-Жордана, - на негармонические ряды Фурье по системам экспонент. Возможно, развитие этого метода позволит решить проблему базисности систем корневых функций оператора L на всем отрезке G без привлечения сопряженного оператора. А.М.Седлецким получены важные результаты по полноте, минимальности, базисности различных систем экспонент, равносходимости негармонических рядов Фурье по этим системам с ТРФ. При изучении свойств корневых функций дифференциальных операторов эти результаты часто служат полезным ориентиром и критерием точности получаемых утверждений и оценок. Эти работы, а также работы Б.С.Павлова [161], С.В.Хрущева [216] и др. продолжают исследования Р.Пэли, Н.Винера [26] и А.Ф.Леонтьева [127].

Важные и точные результаты по вопросам полноты, минимальности и базисности различных систем синусов, косинусов и экспонент, возникающих при исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа, получил Е.И.Моисеев [141, 142, 144, 145] и его ученики [10, 50 и др.].

Разработанная общая теория граничных задач, позволяющая с единой точки зрения рассмотреть широкий круг вопросов теории линейных дифференциальных уравнений, правильные постановки спектральных задач, естественные шаги, приводящие к операторным пучкам, способы сведения различных задач к модельным дифференциально-операторным уравнениям специальной простой структуры, позволяет черпать новые идеи и не терять ориентир при решении возникающих новых неклассических спектральных задач и исследовании неклассических дифференциальных операторов. В этой связи незаменимыми являются работы А.А.Дезина [52, 54, 55]. Близкие вопросы исследованы В.К.Романко [168], Н.В.Кисловым [109].

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Нумерация формул - по параграфам, теорем -по главам. При ссылке на формулу из той же главы, но другого параграфа, - нумерация двойная, из другой главы - тройная, так, (3.2.1) - формула (1) из §2 главы 3; введение считаем нулевой главой: (0.2) - ссылка на формулу (2) из введения. При ссылке на теорему из другой главы - нумерация двойная: теорема 3.1 - это теорема 1 из главы 3. Для того чтобы проще было искать формулы и теоремы, на страницах помещены колонтитулы с номером главы и параграфа. Постоянные в оценках, не имеющие для нас существенного значения (возможно и разные), обозначаем буквой с.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ломов, Игорь Сергеевич, 2002 год

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Порождающая матрица-функция в задачах управления колебаниями связанных струн// Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. N 5. С. 1033-1037.

2. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М. ИЛ. 1963.

3. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Уч. зап. МГУ. 1951. Вып. 148. С. 69-107.

4. Барменков А.Н. Об аппроксимативных свойствах некоторых систем функций: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. М. МГУ. 1983.

5. Барновска М., Тихомиров В.В. О базисности Рисса корневых векторов нелокальных задач для системы дифференциальных уравнений// Math. Slovaca. 1993. V. 43, N 2. P. 193-205.

6. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифферент уравнения. 1988. Т. 24, N 8. С. 1424-1433.

7. Белянцев О.В. Неравенство Бесселя и свойство базисности корневых функций сингулярного дифференциального оператора второго порядка// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 8. С. 1011-1020.

8. Benzinger М.Е. The £p-behavior of eigenfunction expansions// Trans. Amer. Math. Soc. 1972. У. 174. P. 333-344.

9. Бесов O.B., Ильин В.П., Никольский С.M. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975.

10. Билалов Б.Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщения: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., МГУ, ВМиК. 1995.

11. Birkhof? G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter// Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. P. 219-231.

12. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problem of ordinary linear differential equations//Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. 9, N 4. P. 373-395.

13. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач//Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. N 4. С. 739-740.

14. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982.

15. Блошанская С.К. О существовании присоединенных функций оператора второго порядка//Докл. АН СССР. 1982. Т. 262, N 5. С. 1036-1039.

16. Бочкарев C.B. Теорема Хаусдорфа-Юнга-Рисса в пространствах Лоренца и мультипликативные неравенства//Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 103-114.

17. Бочкарев C.B. Неравенства для ортогональных рядов и усиление теорем Карлемана и Орлича// Докл. РАН. 2000. Т. 371, N 1. С. 17-20.

18. Бочкарев C.B. О проблеме гладкости функций, ряды Фурье-Уолша которых расходятся почти всюду// Докл. РАН. 2000. Т. 371, N 6. С. 730-733.

19. Будаев В.Д. О безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами// Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, N 4. С. 777-780.

20. Будаев В.Д. О неравенстве Бесселя для систем корневых функций дифференциальных операторов//Док л. АН СССР. 1991. Т. 218, N 1. С. 16-20.

21. Будаев В.Д. Критерии бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов// Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 12. С. 2033-2044.

22. Будаев В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., МГУ, ВМиК. 1993.

23. Вагабов А.И. Квадратичные пучки обыкновенных дифференциальных операторов//Матем. заметки. 1987. Т. 42, в. 3. С. 381-394.

24. Вагабов А.И. Непрерывные пучки дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 24, N 2. С. 199-207.

25. Визитей В.Н., Маркус A.C. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка//Матем. сборник. 1965. Т. 66, N 2. С. 287-320.

26. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М. Наука. 1964.

27. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 3. С. 298-301.

28. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Дифференц. уравнен. 1998. Т. 34, N 10. С. 1423-1426.

29. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, N 4. С. 47-108.

30. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций для потенциала, содержащего ¿-функции// Докл. РАН. 2001. Т. 376, N 4. С. 445-448.

31. Vinokurov V.A. The formula of trace for potential, containing ¿-functions / Тезисы докл. Межд. конф., поев. 100-летию И.Г.Петровского. М. Изд-воМГУ. 2001. С. 423-424.

32. Владимиров B.C. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. 1982.

33. Власов В.В. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В.Келдыша// Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, N 6. С. 1289-1293.

34. Власов В.В. О краевых задачах для одного класса интегро-дифферен-циальных уравнений и связанных с ними спектральных вопросах// Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, N 6. С. 1293-1296.

35. Власов В.В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве и некоторых спектральных вопросах// Докл. РАН. 1992. Т. 327, N 4-6. С. 428-432.

36. Власов В.В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве// Изв. вузов. Матем. 1993. N 5. С. 24-35.

37. Власов В.В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений//УМН. 1998. Т. 53, N 4. С. 217-218.

38. Vlasov V.V. Spectral problems, arising in the theory of differential equations with delay/ Тезисы докл. Межд. конф., поев. 100-летию И.Г.Петровского. М. Изд-во МГУ. 2001. С. 428-430.

39. Волков В.Е., Ио И. Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двум операторам Шредингера// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, N 11. С. 1865-1876.

40. Гайдук С.И. Формулы разложения заданной функции в ряды по собственным функциям одной трехточечной краевой задачи с двумя параметрами// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 5. С. 852-867.

41. Gardner С., Green J., Kryskal М., Niura R. A method for solving the Korteweg-de Vries equation//Phys. Rev. Letters. 1967. V. 19. P. 1095-1098.

42. Гольдман M.JI. Ряды Фурье-Бесселя для функций, интегрируемых с весом// Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, N 9. С. 1617-1628.

43. Гольдман M.JI. Об интегральных представлениях и рядах Фурье дифференцируемых функций многих переменных: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., МИЭМ. 1972.

44. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов //Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, N 2. С. 265-270.

45. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Эквивалентность в Ср(0,1) системы ег2жкх{к = 0, il,.) и системы собственных функций обыкновенного дифференциального оператора//Матем. заметки. 1991. Т. 49, в. 1. С. 47-55.

46. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Базисные свойства собственныхфункций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения// Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 3. С. 384-396.

47. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

48. Гурарий В.П., Гурарий Н.И. О базисах в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах// Изв. АН СССР. Матем. 1971. Т. 35, N 1. С. 210-215.

49. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Ч. 3. Спектральные операторы. М.: Мир. 1974.

50. Девдариани Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряженных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, ВМиК. 1985.

51. Дезин А.А. Естественные дифференциальные операторы и разделение переменных// Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, N 1. С. 25-31.

52. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука. 1980.

53. Дезин А.А. Нестандартные задачи// Матем. заметки. 1987. Т. 41. в. 1. С. 57-70.

54. Дезин А.А. Сплайн-формы, разностные уравнения, аппроксимация// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 1. С. 32-44.

55. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач. М.: Наука-МАИК "Наука/Интерпериодика". 2000 (Тр. МИАН, т. 229. С. 1-175).

56. Дженалиев М.Т. О разрешимости краевых задач для линейных нагруженных уравнений с нерегулярными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 9. С. 1517-1525.

57. Дикий А.А. О двукратной полноте системы собственных функций, возникающей в одной задаче математической физики// Функц. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, N 3. С. 24-32.

58. Дубинский Ю.А. Об аналитических многоточечных задачах на плоскости// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 5. С. 585-590.

59. Dubinskii Yu.A. Some orthogonal décompositions of Sobolev spaces anà their applications / Тезисы докл. Межд. конф., поев. 100-летию И.Г.Петровского. М. Изд-во МГУ. 2001. С. 114.

60. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31, N 5. С. 965-976.

61. Journal de Liouville, t. II. 1837.

62. Завгородний М.Г. О спектре многоточечной краевой задачи// Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, N 8. С. 1443-1444.

63. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир. 1965.

64. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье// Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, N 3. С. 548-551.

65. Ильин В.А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М.В.Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, N 3. С. 297-299.

66. Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора// Тр. Матем. ин-таАНСССР. 1976. Т. 142. С. 148-155.

67. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора// Матем. заметки. 1977. Т. 22, в. 5. С. 679-698.

68. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений 1,11// Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N 5. С. 771-794. Т. 16, N 6. С. 9801009.

69. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному оператору порядка 5 // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 12. С. 1098-2026.

70. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в СУ и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент// Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N 4. С. 789-793.

71. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка// Докл. АН СССР.' 1983. Т. 273, N 5. С. 1048-1053.

72. Ильин В. А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции// Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, N 3. С. 371-379.

73. Ильин В. А., Ио И. Теорема о равносходимости с тригонометрическим рядом для рядов Фурье по собственным функциям одномерного оператора Шредингера//Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, N 2. С. 274-277.О -г—1 /—\

74. Ильин В.А., Ио И. Неравенство типа Бесселя и Хаусдорфа-ЮнгаРисса для функций из класса радиальных по собственным функциям оператора Лапласа// Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, N 2. С. 284-288.

75. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 1. М.: МГУ. 1985.

76. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках// Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, N 3. С. 534-539.

77. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, N 12. С. 2059-2071.

78. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 8. С. 1422-1431.

79. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 5. С. 795-804.

80. Ильин В.А. Оценка разности средних Рисса двух спектральных разложений для функций из класса £2// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. N 5. С. 852-863.

81. Ильин В.А. О базисности Рисса систем корневых вектор-функций разрывного оператора Шредингера с матричным потенциалом// Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, N 1. С. 59-62.

82. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука. 1991.

83. Ильин В.А. О равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям оператора Шредингера с произвольным суммируемым комплекснозначным потенциалом// Докл. АН СССР. 1991. Т. 317, N 1. С. 27-31.

84. Ильин В.А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса С1 [ Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 4. С. 577-597.

85. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О системах, состоящих из подмножеств корневых функций двух различных краевых задач// Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1992. Т. 201. С. 219-230.

86. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора// Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N 9. С. 1516-1529.

87. Ильин В.А. Еще об одном обобщении неравенства Бесселя и теоремы Рисса-Фишера для ряда Фурье по равномерно ограниченной ортонормиро-ванной системе// Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 211-219.

88. Ильин В.A. How to express Basis Conditions and Conditions for the Equiconvergence with Trigonometric Series of Expansions Related to Non-Self-Adjoint Differential Operators// Computers Math. Applic. 1997. V. 34, N 5/6. P. 641-647.

89. Илькив B.C. Многоточечная нелокальная задача для уравнений с частными производными// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 3. С. 487-492.

90. ИонкинН.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием// Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. N 2. С. 294-304.

91. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N 12. С. 1960-1965.

92. Касумов Т.Б. Дробные степени квазидифференциальных операторов и теоремы о базисности// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 4. С. 729-731.

93. Kaufmann F.J., Luther W.J. Degree of convergence of Birkhoff series, direct and inverse theorems// J. Math. Anal. Appl. 1994. V.187, N 1. P. 156-168.

94. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физма-тлит. 1958.

95. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, N 1. С. 11-14.

96. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов// В кн. Тр. IV Всесоюз. математич. съезда. JL. Изд. АН СССР. 1963. Т. 1. С. 101-120.

97. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// УМН. 1971. Т. 26, в. 4. С. 15-41.

98. Керимов Н.Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . канд. физ,-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 1985.

99. Керимов Н.Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка// Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, N 4. С. 803-808.

100. Керимов Н.Б. К вопросу о необходимых условиях базисности// Дифферент уравнен. 1990. Т. 26, N 6. С. 943-953.

101. Керимов Н.Б. Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 1996.

102. Кессельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов// Изв. вузов СССР. Матем. 1964. N 2. С. 82-93.

103. Кессельман Г.М. О спектральности возмущенного оператора Штурма- Лиувилля с нелокальными краевыми условиями// Дифференц. уравнен. 1985. Т. 21, N 3. С. 494-499.

104. Кигурадзе И.Т. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных неравенств с многоточечными краевыми условиями// Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, N 5. С. 646-652.

105. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложение// Матем. сборник. 1984. Т. 251, N 1. С. 19-37.

106. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972.

107. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля//Функц. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, в. 1. С. 86-96.

108. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О полноте корневых векторов некоторых самосопряженных квадратичных пучков// Функц. анализ и его прилож. 1977. Т. 11, в. 4. С. 85-87.

109. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. К теории самосопряженных квадратичных пучков операторов//Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 1983. N 6. С. 40-51.

110. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Обобщенные якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномичальными коэффициентами// Функц. анализ и его при лож. 1999. Т. 33, в. 1. С. 30-45.

111. Krall A.M. The development of general differential boundary systems// Rocky Mountain J. Math. 1975. V. 5, N 4. P. 493-542.

112. Крицков JI.В. Равномерная оценка порядка присоединенных функций й распределение собственных значений одномерного оператора Шредин-гера// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 7. С. 1121-1129.

113. Крицков Л.В. О необходимых условиях базисности в CV{G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера// Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, N 6. С. 1306-1309.

114. Крицков Л.В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных операторов второго порядка: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 1990.

115. Курбанов В.М. О скорости равносходимости частичных сумм биор-тогональных разложений, отвечающих двум дифференциальным операторам/ / Спектральн. теория дифференц. операторов и ее приложения. Баку. 1997. Вып. 11. С. 99-116.

116. Курбанов В.М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального оператора п—го порядка// Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, N 3. С. 358-367.

117. Курбанов В.М. О скорости равносходимости спектральных разложений// Докл. АН СССР. 1999. Т. 365, N 4. С. 444-449.

118. Курбанов В.М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. I, II// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N 12. С. 1597-1609. 2000. Т. 36, N 3. С. 319-335.

119. Курбанов В.М. Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М МГУ, ВМиК. 2000.

120. Лажетич Н.Л. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиреболического уравнения второго порядка// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 5. С. 682-694.

121. Левитан Б.М. О спектральной функции уравнения у" + (А Ь(х))у = 0// Известия АН СССР, сер. матем. 1953. Т. 17, N 5. С. 472-484.

122. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функ-циии о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка // Известия АН СССР, сер. матем. 1955. Т. 19, N 1. С. 33-58.

123. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

124. Лидский В.Б. Об одной оценке резольвенты эллиптического дифференциального оператора// Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10, в. 4.С. 89-90.

125. Liouville J. Second memoire sur le development des fonctions en series dont divers terms sont assujettis, a satisfaire a une meme equation// J. Math. Pure. Appl. 1837. V. 2. P. 16-35.

126. Ломов C.A. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука. 1981.

127. Ломоносов М.И. Об уравнении + q(y)u = А и// Записки матем. отд. ф.-м. ф-та Харьк. матем. об-ва. 1960. Т. 26, сер. 4. С. 267-316.

128. Макин A.C. О сходимости средних Рисса спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 5. С. 897-899.

129. Макин A.C. О средних Рисса биортогональных разложений по корневым функциям несамосопряженных расширений оператора Шредингера// Докл. АН СССР. 1992. Т. 322, N 3. С. 472-475.

130. Макин A.C. О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 2000.

131. Маркус A.C. О кратной полноте и сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка// Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, N 5. С. 1061-1064.

132. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1950. Т. 72, N 3. С. 457-460.

133. Марченко В.А. Теоремы Тауберова типа в спектральном анализе дифференциальных операторов // Известия АН СССР, сер. матем. 1955. Т. 19, N 6. С. 381-422.

134. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. К. Наукова думка. 1977.

135. Михайлов В.П. О базисах Рисса в £2(0,1)// Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, N 5. С. 981-984.

136. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения// Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N 5. С. 827-844.

137. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов// Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, N 4. С. 794-798.

138. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 1. С. 177-179.

139. Моисеев Е.И., Барновска М. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций// Math. Slovaca. 1990. V. 40. P. 325-336.

140. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 1. С. 40-44.

141. Моисеев Е.И. Базисность в весовом пространстве одной системы собственных функций дифференциального оператора// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N 2. С. 200-205.

142. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N8. С. 1094-1100.

143. Мустафин М.А. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов по одной системе синусов// Дифференц. уравнения. 1992. Т. 18, N 8. С. 1465-1466.

144. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.

145. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка// Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, N 1. С. 103-108.

146. Нахушев A.M., Дикинов Х.Ж., Керефов A.A. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности// Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, N 1. С. 177-179.

147. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги// Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 1. С. 96-105.

148. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 1. С. 72-80.

149. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, N 1. С. 86-94.

150. Neumann J. (Дж. фон Нейман). Allgemine Eigenwerttheory Hermite-scher Functionaloperatoren // Math. Ann. 1925. Bd. 102. S. 49-131.

151. Нерсесян А.Б. Разложение по собственным функциям некоторых несамосопряженных краевых задач // Сиб. матем. журн. 1961. Т. 11, N 3. С. 428-453.

152. Нерсесян А.Б. Об одном классе тригонометрических биортогональ-ных систем // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1962. Т. 15, N 2. С. 71-80.

153. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Матем. 1946. Т. 10, N 3. С. 207-256.

154. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.

155. Павлов Б.С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоу-пта// Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, N 1. С. 37-40.

156. Покорный Ю.В. О логарифмическом эффекте асимптотики спектра в многоточечных задачах// В кн.: Применение новых методов анализа к дифференц. уравнениям. Воронеж. 1989. С. 22-31.

157. Покорный Ю.В., Лазарев К.П., Гареева Т.М. Об условиях типа В.А.Ильина разрешимости нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, N 6. С. 1298-1302.

158. Покорный Ю.В., Лазарев К.П., Гареева Т.М. О спектральных свойствах некоторых нелокальных краевых задач// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 1. С. 45-49.

159. Пономарев С.М. Обобщение теоремы М.В.Келдыша о полноте систем собственных и присоединенных функций первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического оператора// Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, N 12. С. 2294-2296.

160. Радзиевский Г.В. Полнота производных цепочек полиномиальных пучков операторов нечетного порядка// Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, N 6. С. 1310-1315.

161. Радзиевский Г.В. Краевые задачи и связанные с ними модули непрерывности// Функц. анализ и его прилож. 1995. Т. 29, N 3. С. 87-90.

162. Романко В.К. О системах операторных дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 9. С. 1675-1685.

163. Рыхлов B.C. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1)-ой производной// Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, N 5. С. 1053-1056.

164. Рыхлов B.C. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п 1)-ой производной// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, N 6. С. 975-989.

165. Рыхлов B.C. Equiconvergence rate in terms of general moduli of continu-ity for differential operators// Results in Mathematics. 1996. V. 29. P. 153-168.

166. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 6. С. 897-912.

167. Савчук A.M. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом // Матем. заметки. 2001. Т. 69, вып. 2. С. 277-285.

168. Садовничий В.А. Аналитические методы в спектральной теории дифференциальных операторов. М.: МГУ. 1973.

169. Салимов Я.Ш. О средних Рисса разложений по корневым функциям некоторых нелокальных краевых задач// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 1. С. 155-160.

170. Самарская Т.А. О равномерной равносходимости разложений по системе экспонент с присоединенными функциями и в тригонометрический ряд Фурье// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, N 1. С. 125-134.

171. Самарская Т.А. О равносходимости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным расширениям дифференциального оператора второго порядка //Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 1. С. 155-166.

172. Самарская Т.А. Об одном обобщении теоремы разложимости Сте-клова на случай нелокальных краевых условий// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 11. С. 2008-2010.

173. Сафонов В.Ф. Метод нормальных форм для нелинейных сингулярно возмущенных задач: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М. МЭИ. 1989.

174. Седлецкий A.M. Периодическое в среднем продолжение функций с сохранением гладкости// Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 2. С. 302-304.

175. Седлецкий A.M. О равносходимости и равносуммируемости негар-моничесих разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами// Матем. заметки. 1975. Т. 18, N 1. С. 9-17.

176. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// УМН. 1982. Т. 37, N 5. С. 51-95.

177. Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов// Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. N 5. С. 1053-1056.

178. Седлецкий A.M. Аппроксимационные свойства систем экспонент в £р(а,Ь) //Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, N 10. С. 1675-1681.

179. Седлецкий A.M. Построение полных минимальных, но не равномерно минимальных в Ср и С систем экспонент с вещественным отделимым спектром//Матем. заметки. 1995. Т. 58, в. 4. С. 582-595.

180. Седлецкий A.M. Базисы, встечающиеся при решении уравнений смешанного типа// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N 4. С. 507-515.

181. Седлецкий A.M. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье// Изв. РАН. 2000. Т. 64, N 3. С. 151-168.

182. Скубачевский A.JI. Разрешимость эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями// Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, N 3. С. 551-555.

183. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. Петроград. 1922.

184. Стеклов В.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений. Харьков. 1956.

185. Стечкин С.Б., Теляковский С.А. О приближении дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами в метрике С, / / Тр. МИ АН СССР. 1967. Т. 88. С. 20-29.

186. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций//Тр. МИ АН СССР. 1980. Т. 145. С. 126-151.

187. Стечкин С.Б. Избранные труды. Математика. М.: Наука. Физма-тлит. 1998.

188. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and BirkhofF// Trans. Amer.Math. Soc. 1926. V. 28. P. 695-761.

189. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград. 1917.

190. Теляковский С. А. К вопросу о сходимости рядов Фурье в метрике С // Матем. заметки. 1967. Т. 1, в. 1. С. 91-98.

191. Теляковский С.А. Оценки тригонометрических рядов и полиномов в связи с задачами теории приближения функций// Матем. заметки. 1967. Т. 1, в. 5. С. 611-623.

192. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье// Матем. заметки. 1968. Т. 4, в. 3. С. 291-300.

193. Теляковский С.А. О сходимости в метрике С тригонометрических рядов с редко меняющимися коэффициентами// Тр. МИАН. 1991. Т. 200. С. 322-326.

194. Теляковский С.А. О приближении суммами Фурье дифференцируемых функций высокой гладкости// Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова РАН. 1992. Т. 198. С. 193-211.

195. Теляковский С.А. Замечание об условиях интегрируемости тригонометрических рядов Фурье//Вестник МГУ. Сер. Г. Матем. Механ. 2000.N 4. С. 58-60.

196. Титчмарш Т.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: ИЛ. 1960. Т. 2. М.: ИЛ. 1961.

197. Тихомиров В.В. Точные оценки регулярных решений одномерного несамосопряженного уравнения Шредингера// Докл. АН СССР. 1982. Т. 273, N 4. С. 807-810.

198. Тихомиров В.В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, N 8. С. 1378-1385.

199. Тихомиров В.В. О безусловной базисности корневых векторов нагруженных операторов// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 2. С. 355-357.

200. Тихомиров В.В. О безусловной базисности корневых векторов нелокальных задач для систем уравнений с отклоняющимся аргументом// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, N 1. С. 147-153.

201. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: МГУ. 1999.

202. Ward L.E. A third-order irregular boundary value problem and the associated series// Amer. J. of Math. 1935. V. 57. P. 345-362.

203. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале// Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, N 6. С. 1294-1297.

204. Хромов А.П. Диффенциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Матем. заметки. 1976. Т. 19, в. 5. С. 763-772.

205. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференци-альных операторов// Матем. сб-к. 1981. Т. 114, N 3. С. 378-405.

206. Хромов А.П. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, N 10. С. 1691-1696.

207. Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования//Вестн. МГУ Сер. 1. Матем. Механ. 2000. N 2. С. 21-26.

208. Хрущев C.B. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта// Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, N 1. С. 44-48.

209. Цывис Н.В., Юрчук Н.И. Трехточечная задача для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 5. С. 877-881.

210. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.

211. Шкаликов A.A. О полноте системы присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10, N 4. С. 69-80.

212. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Мехац. 1982. N 6. С. 12-21.

213. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях// Тр. семин. им. Г.И.Петровского. 1983. В. 9. С. 190-229.

214. Schlesinger L. Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systemeabe Funktionen eines Parametere// Math. Ann. 1907. V. 63. P. 207-300.

215. Young W.H. On connection between Legendre series and Fouries series// Proc. of bond. Math. Soc. 1920. V. 18. P. 141-162.

216. Young W.H. On series of Bessel functions// Proc. of Lond. Math. Soc. 1920. V. 18. P. 163-200.

217. Юрко В.А. Граничные задачи с условиями разрывов во внутренней точке интервала// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N8. С. 1266-1269.

218. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, N 12. С. 2117-2127.

219. Ломов И.С. Некоторые свойства спектральных разложений, связанных с операторами типа Штурма-Лиувилля// Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, N 5. С. 1063-1065.

220. Ломов И.С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 9. С. 1480-1493.

221. Ломов И.С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 10. С. 1684-1694.

222. Ломов И.С., Тихомиров В.В. Оценки корневых векторов многоточечных спектральных задач// Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, N 6. С. 1304-1306.

223. Ломов И.С. Пример разрывного оператора, имеющего разрывный сопряженный. Свойство базисности.// В сб.: Задачи матем. физики и спектральная теория операторов. N 215. М.: МЭИ. 1989. С. 46-50.

224. Ломов И.С. О базисности корневых функций операторов с многоточечными краевыми условиями//Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 6. С. 1053-1056.

225. Ломов И.С. О свойствах корневых функций оператора Штурма-Лиувилля, разрывных на всюду плотном множестве// Изв. вузов. Матем.1990. N 8. С. 35-44.

226. Ломов И.С. Свойство базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка// Дифференц. уравнения.1991. Т. 27, N 1. С. 80-93.

227. Ломов И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка// Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 9. С. 1550-1563.

228. Ломов И.С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная ба-зисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов// Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1992. N 5. С. 33-43.

229. Ломов И.С. О базисности систем нерегулярных корневых векторов дифференциальных операторов высокого порядка// Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N 1. С. 74-86.

230. Ломов И. С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера// Докл. РАН. 1995. Т. 342, N 6. С. 735-738.

231. Ломов И.С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера// Вестник. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. механ. 1995. N 4. С. 43-54.

232. Ломов И.С. О приближении функций на отрезке биортогональными рядами, связанными с дифференциальными операторами второго порядка// Докл. РАН. 1995. Т. 343, N 5. С. 599-602.

233. Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 1. С. 58-69.

234. Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональных разложений функций// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 12. С. 1618-1629.

235. Ломов И.С. Коэффициентное условие сходимости в £р(0,1) биортогональных разложений функций// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 1. С. 31-39.

236. Ломов И.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I, II. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 5. С. 619-628. Т. 34, N 8. С. 1066-1077.

237. Ломов И.С. О базисности на компактах корневых функций диффеЛитература 291ренциальных операторов второго порядка// Изв. вузов. Матем. 1998. N 4. С. 40-52.

238. Ломов И.С. Формула среднего значения Е.И.Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N 8. С. 1046-1057.

239. Ломов И.С. Обобщенное неравенство Бесселя для обыкновенных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами и обобщение теоремы Рисса// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 12. С. 1621-1630.

240. Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. I, II. // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N 3. С. 328-342. Т. 37, N 5. С. 648-660.

241. Ломов И.С. Условия сходимости биортогональных разложений функций на отрезке// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N 4. С. 562-566.

242. Ломов И.С. Равномерная сходимость биортогонального ряда для оператора Шредингера с многоточечными краевыми условиями// Дифференц. уравнения, (в печати)