Интегральные представления эллиптической и параболической функций Грина и их приложения к оценкам спектров полуограниченных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Гадоев, Махмадрахим Гафурович

• Гадоев, Махмадрахим Гафурович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гадоев, Махмадрахим Гафурович

Введение.

Глава I. Интегральные представления сильно непрерывных полугрупп порожденных псевдодифференциальными операторами во всем пространстве Rn и на компактных многообразиях без края.

§1.1. Формулировка основных результатов.

§1.2. Оценки норм некоторых интегральных операторов.

§1.3. Доказательство основных теорем.

§1.4. Асимптотическое поведение собственных значений оператора ЛР)к.

§1.5. Псевдодифференциальные операторы на компактных многообразиях.

Глава II. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами на отрезке.

§2.1. Введение. Формулировка основных результатов.

§2.2. Одна лемма о матричных функциях.

§2.3. Дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.

§2.4. Доказательство теоремы 1.2.

§2.5. Суммируемость в смысле Абеля-Лидского системы корневых вектор-функции оператора А.

§2.6. Асимптотическое распределение собственных значений оператора А.

§2.7. Обобщенная задача Дирихле.

Глава III. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами.

§3.1. Предварительные сведения и формулировка основного результата

§3.2. Некоторые вспомогательные леммы.

§3.3. Доказательство основной теоремы.

Глава IV. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденноэллиптических систем дифференциальных операторов.

§4.1. Формулировка основных теорем.

§4.2. Оценка резольвенты некоторых классов вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов в 1/2(0,1).

§4.3. Оценка резольвенты оператора Р.

§4.4. Асимптотическое распределение собственных значений оператора Р.

§4.5. Спектральная асимптотика дифференциальных операторов при общих граничных условиях.

§4.6. Асимптотика спектра одного класса несамосопряженных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления эллиптической и параболической функций Грина и их приложения к оценкам спектров полуограниченных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов»

Настоящая работа посвящена исследованию сильно непрерывных полугрупп порожденных в весовых Ьр - пространствах, 1 < р < +оо, системами псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) и исследованию некоторых вопросов спектральной теории, как самосопряженных так и далеких от самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов (д.о.) и п.д.о.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В первой главе мы рассмотрим замыкание ЛР)к п.д.о. с матричным т-символом:

Л)М)(ЯГ) = (2тг)-п !(I е^х~^а(тх + (1 - т)у, з)и{у)йу)й5,

Л" Лп в пространстве ТСр^-, 1 < Р < +оо, вектор-функций (в.-ф.) и(х) = (щ(х),., щ{х))', с конечной нормой (Е / Ъ?{х)Ых)\Чх)^.

3=1 Дп

В теореме 3.1 найдены условия на символ а(х, в), при выполнении которых оператор будет инфинитезимальным производящим сильно непрерывной полугруппы в Этот результат удастся распространить также и на о пространство Ноо^ непрерывных в.-ф. и(х), удовлетворяющих условию |и(ж)| к(х) = о(1), х —> оо с конечной нормой о — вир |г/(а;)| к(х). На примере уравнения теплопроводности можно показать, что если условие о к{х) — о(1), х —> оо в определении пространства Н^^ опустить, то о полугруппа не будет непрерывной на [0, +оо) в 7^оо,/с

Далее устанавливается интегральное представление, t e-tAp,k = J(t) + J J(t~ т)Ф(т)б/т, О где оператор J{t) определяется в явном виде через символ, а о.-ф. Ф(£) удовлетворяет оценке wmh ъ <МГ\ о <t<T, К е (0,1). О

Здесь 1 < р < +оо. Для р < +00, 7iPjk'-= T~tPlk, а оператор A^k определен как замыкание Ао в Н+оо^

Таким образом, при т — 1 мы получаем как бы некоторую конструкцию матрицы Грина уравнения ди ( тл\ u\t=v = g, в пространстве HPik. В этом плане наша работа примыкает к исследованиям С.Д.Эйдельмана [90,92], С.Д.Ивасишена [53,54], С.Д.Эйдельмана, С.Д.Ивасишена [55,91], К.Х.Бойматова [19-27,35,37-46], А.Г.Костюченко [64-68], К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [33,34,36], (см. также [6,47,48,59,61,62,63,84,85]).

Отметим, что в перечисленных работах рассмотрены либо самосопряженные д.о. А (или близкие к самосопряженным), как в работах А.Г.Костюченко, К.Х.Бойматова [33,34], либо д.о. с ограниченными коэффициентами, как в работах С.Д.Эйдельмана, С.Д.Ивасишена [55,91], а случай п.д.о. исследовался только в работах К.Х.Бойматова [20-23], где рассматриваются самосопряженные п.д.о. в 7^2

В нашей работе символ может неограниченно расти при х —» +оо. А рассматриваемые п.д.о. при р — 2 являются квази-т-аккретивными и, вообще говоря, могут не удовлетворять условию m-секториальности. Нам удалось найти также асимптотику собственных значений (с.з.) оператора APik, причем в случае р = 2 рассматриваемый оператор может не быть m-секториал ьным.

Более подробно об исследованиях, приведенных в литературе по вопросам оценки спектра п.д.о., см. ниже.

Перейдем к изложению метода применяемого в первой главе. В §1.2 мы о вначале получаем оценку в пространстве Нр^, 1 < р < -Ьоо нормы о.-ф. и устанавливаем оценку rnh ъ <мгк, о<г<т, (0.1) где к Е (0,1). Если бы, как в работе [21], выполнялись бы равенства р = 2, к(х) = 1, тогда можно было бы воспользоваться известным утверждением о том, что норма п.д.о. в 7^2 с "постоянным"символом В(й) равна вир |-£?(з)|.

Поскольку подобное утверждение в случае произвольных^, к(х) не имеет места, то в отличие от [21], приходится идти другим путем. Применяя другие отличающиеся от [21] рассуждения и аналитические приемы, нам все же удалось получить оценку (0.1) в общем случае. После получения оценки (0.1), равенство + Щ) * Ф(£) (0.2) вначале устанавливается в случае р = 2, к(х) = 1.

Наша методика доказательства представления (0.2) отличатеся от методики работ [21], в которых из уравнения (0.2) выводится уравнение

Ф = К+К*Ф, (0.3) и затем решается методом иттерации. Если бы мы пошли по такому пути, то пришлось бы оценить также нормы операторов к(ь) - к{12), Ф(^) - Ф(г2), (0.4) что осложнило бы доказательство громоздкими выкладками. Пришлось бы провести громоздкие выкладки также и для обоснования неравенства (0.1), после нахождения решения Ф(£) уравнения (0.3).

Наша схема значительно проще. А именно, вначале для р — 2, к(х) = 1 устанавливается равенство r(t) = J{t) + г * к, г(*) = е-ы.

Это уравнение решается относительно неизвестной о.-ф. Г(£). Отсюда выводим представление (0.2) в случае р = 2, к(х) = 1, не используя при этом какие-либо оценки операторов (0.4). Эта методика значительно проще также и в случае р = 2, к(х) = 1, по сравнению с работами [21-23].

Оценка (0.1) позволяет оператор из правой части (0.2) продолжить из П2 П Нр.к непрерывно в Hpjz при любом 0 <t <Т. Далее полученная о.-ф. rPjfc(t) продолжается с (0, Т) на все R+ с помощью равенства гP,k(t) = rPjk(Tyrp,k(t'), rpßj = [±],1f = t-jT.

После этого мы доказываем, что Гесть сильно непрерывная полугруппа с инфинитезимальным производящим оператором APik- Здесь мы, в частности, пользуемся тем, что левая часть (0.2) (соответствующая случаю р = 2, к(х) = 1), обладает полугрупповыми свойствами на Н2 П HPjk

В §1.4 на основании интегрального представления (0.2) исследовано асимптотическое поведение функции 7У(А)-распределения собственных значений позитивного п.д.о. APjk в пространстве 7iPik- Подобные исследования не приводились в литературе в случае р = 2 даже для д.о. Однако наши результаты являются, в существенном, новыми для п.д.о. также и в случае р = 2.

Дело в том, что в случае р — 2 мы рассматриваем п.д.о. А далекий от самосопряженных и не приводящего к виду

A = B(E + S), где В = В*, a S - компактный оператор.

Исследование спектральных асимптотик д.о. и п.д.о. далеких от самосопряженных, является новым актуальным направлением теории несамосопряженных операторов и берет начало с работ М.С.Аграновича, А.С.Маркуса [93], К.Х.Бойматова

19,35,37-40,43], К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [34,36], Г.В.Розенблюма [78,79], А.Н. Кожевникова [63]. Далее в этом направлении были опубликованы работы [17,18,43,44,46,47,48].(см. также [110,113,119-131]) Указанные работы по типу "далекости"от самосопряженность можно разделить на две группы работ. В первой группе работ с.з. исследуемого оператора делятся на две

1) \(1) л (2) л (2) серии: Х\% Хк2 , ■. и Л^ , Л^ ,. так, что lim | arg xf] | > 0, lim arg X{p = 0. (0.5) j—*oo j—>+00 J

При этом находится асимптотика функции

N(А) = card{j : lA^I < А}

- распределения одной из этих серий с.з.

К данной группе работ относится [2,5,21,22,64,67].

Отметим, что главы II — IV диссертации также примыкают к работам [21,22,64,67].

Ко второму типу "далекости"от самосопряженности относятся работы К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [31,32] в которых оператор Л является далеким от самосопряженности, но может не иметь места ситуация (0.5), когда одна серия с.з. локализуется к R+. В работах К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [31,32], однако, исследования посвящены m-секториальным д.о. Здесь, в главе I, в случае р — 2 рассматриваемые п.д.о. являются квази-т-аккретивными, но, вообще говоря, не обязательно m-секториальными. Для них функция распределения с.з. определяется по формуле

N(А) - card{j : ReXj < А}.

Не имея дополнительной информации типа того, что arg Xj —» 0, j —> 4-оо, тем не менее мы находим главный член асимптотики функции N(А), А —» + 00.

Методика основывается на получении формулы

Spe~tA~\e~tA |ь 8 где | |i - ядерная норма.

Сумма модулей с.з. ядерного оператора не превосходит его ядерной нормы. Поэтому оо l^g-tHeA^ < jg-M^

3=1

00 +оо

3=1 3=1 где (pj — argXj. Этих неравенств с явным видом главного члена функции

Spe~tA ~ Sp J(t) оказалось достаточно для нахождения асимптотики ф.р. с.з. N(А), Л +оо.

В §1.4 исследуется также асимптотика взвешенного следа п.д.о. А в 7^2 в случае Л — Л*.

Наши результаты являются новыми также и для д.о., тогда как для п.д.о. асимптотика взвешенного следа в литературе вообще не изучалась.

В §1.5 нами получены такие же результаты, как в §1.2 - §1.4 для п.д.о. заданных на компактном С°° - многообразии без края. А именно, найдены условия, при которых замкнутый п.д.о. Ар, С°°(М) С D{Ap^)t 1 < Р < +оо, образовывает сильно непрерывную полугруппу в пространстве 7ip = dp)1, 1 < р < +оо. Найдены условия аналитичности полугруппы e-zAp в уГле> в обоих случаях находятся интегральные представления, выделяющие главный член полугруппы при t —» 0+, (Rez —> 0+). На основании интегральных представлений исследовано асимптотическое поведение функции

N(А) = card{j : Re\j(Ap) < A}.

Здесь мы опять имеем дело со вторым типом ,,далекости"от самосопряженности, когда рассматриваемый оператор в И.2 будет квази-ш-аккретивным, но не обязательно т-секториальным.

Результаты §1.4 обобщаются на пространство С°°(М)г (вместо Нр) -непрерывных в.-ф. и{ц) {¡л Е М), с нормой

Мс«(м)' - тах|м(д)|.

Во второй главе изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора А в £2(0,1)' порожденного билинейной формой тп \

Л[и,у] = ]Г / <Рг(г)Ог,(г)иЩ, >С< ¿1.

Ь3=0 о

Здесь

Оц е ¿00(7; Яш/С'), 3 = (0,1), (г,^ - 0~т), а(*) = атт(г) е С([0,1]; ЕпйС1).

Область определения билинейной формы А[и, у] задается как замыкание И,+ линейного многообразия Со°(0,1)* в пространстве с нормой з з

При условии, что с.з. матрицы а(£) лежат вне некоторого замкнутого сектора 5 с началом в нуле, установлены существование, единственность замкнутого оператора А в 1,2(0,1 )г, обладающие следующими свойствами: г) (Аи, у) = А[щ у], V«, у еН+ п) При некотором Ао € С существует неперерывный обратный (А — А оЕ)~1.

Нами исследованы следующие вопросы спектральной теории для оператора

А:

1) Оценка резольвенты оператора А в секторе Я вида

А - ЛЯ)"1!! < М1ЛГ1, |Л| > с, Л 6 С

2) Асимптотическое поведение с.з. оператора А

3) Суммируемость по Абелю системы корневых вектор-функций оператора

А.

Асимптотическое поведение с.з. оператора А ранее изучалось в работах К.Х.Бойматова, А.Г.Костюченко [33,34,36] при т = 1 и в работах К.Х.Бойматова, К.Седдики [47,48] для т > 1.

Отметим, что условия в указанных работах по сравнению с нашими условиями являются крайне жесткими. А именно, кроме условия a(t) 6 Cm([0,1]; End С1) в [47,48] требуется также, чтобы матрица a(t) при каждом t (Е [0,1) имела простые различные с.з. Здесь же, во второй главе, результаты установлены в окончательном виде, т.е. все излишние условия работ [47,48] сняты, и требуется лишь непрерывность a(t) на [0,1].

Третья глава диссертации посвящена исследованию асимптотики взвешенного следа некоторых классов вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов, заданных в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса (опр. см. напр.[52. с.138],[87. с.390]).

Пусть А - самосопряженный положительный д.о., Ед - спектральные проекторы оператора А. Взвешенным следом оператора А называется функция N(А, &(•)) = sp(y/kEX л/к), где к(-) - некоторая положительная функция. При к(х) = 1 функция N(А, £;(■)) превращается в функцию распределения собственных значений оператора А.

Асимптотика взвешенного следа эллиптических операторов изучена во многих работах. Для оператора Шредингера: L = — Д 4- qs(x) : L,2(Rn) — L2{Rn) асимптотику взвешенного следа впервые рассматривал Б. М. Левитан [71], где весовая функция к(х) имеет вид к(х) = qs(x). Асимптотику взвешенного следа более общего вида чем [71] находил А. А. Арсеньев [11]. Общий случай эллиптического оператора рассматривали А. Г. Костюченко [6768] и К. X. Бойматов [21-23]. Случай операторного уравнения Шредингера рассмотрели Г.И. Асланов, М. Байрамоглы [13] и М. Байрамоглы [14] , а случай операторного уравнения Штурма-Лиувилля Г.И. Асланов [12], (см. также [15], где имеется библиография). С. А. Исхоков [58], изучал асимптотику взвешенного следа некоторых классов эллиптических д.о. с частными производными, заданных в неограниченной области, удовлетворяющих условию конуса. В работе [112] вычисляется асимптотика взвешенного следа эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрической области. В [109] автором изучены асимптотика следа эллипти-ческих д.о. с особенностью в точке. Однако во всех работах, где изучается асимптотика взвешенного следа эллиптических д.о., заданных в ограниченных областях, предполагается гладкость коэффициентов и гладкость границы области.

В данной работе исследуются вырождающиеся эллиптические д.о. с нулевым потенциалом, заданные в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса. Дифференциальные операторы задаются с помощью билинейных форм. Условия на гладкость коэффициентов ослаблены до условия непрерывности по Гельдеру.

Применяется метод возмущения сингулярным потенциалом (ВСП), разработанный в работах [21-23]. В случае п.д.о. с негладкими коэффициентами, заданные в неограниченной области или во всем пространстве, впервые этот метод применялся в работе [58].

В заключительной четвертой главе изучается асимптотика спектра несамосопряженных вырождено-эллиптических дифференциальных операторов на отрезке.

Рассмотрим в пространстве Hi = Ь2{0, l)z дифференциальный оператор

Pu)(t) = - ft(h(t)R(tф. (0.6)

При некоторых условиях на функцию h(t) и матрицу R(t), исследуются некоторые спектральные свойства оператора Р. Асимптотика спектра вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов далеких от самосопряженных ранее изучалась в работах [25, 35, 36, 38]. Из этих работ наиболее близкими к нашим исследованиям являются работы [35, 36, 38]. В [35, 36] где изучалась асимптотика спектра оператора Р в предположении, что функция h(t) имеет вид h(t) = ta( 1 - £)a, 0 < а < 2

В работе [38] хотя рассматриваются дифференциальные операторы произвольного четного порядка, тем не менее, речь идет о степенном вырождении.

В четвертой главе условия на функции /г(£) являются довольно общими. Кроме того, в пятом параграфе, в отличие от работ перечисленных выше, нами вычислена спектральная асимптотика оператора Р, который действует по формуле (0.6), однако задается с помощью других граничных условий, необязательно совпадающими с граничными условиями Дирихле.

После сделанного выше, некоторого литературного обзора, перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава состоящая из пяти параграфов посвященна исследованию сильно непрерывных полугрупп операторов, порож-денные системами псевдодиффереициальных операторов в весовых Ьр простран-ствах, 1 < р < оо и в пространствах непрерывных вектор-функций, заданных в К1 (и на компактном многообразии)

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гадоев, Махмадрахим Гафурович, 2009 год

1. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // В кн.: Современные проблемы математики.Фундаментальные направления, т. 63, ВИНИТИ, М. 1990, с. 5-129.

2. Агранович М.С. О сходимости рядов по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряжённым // Труды моек, матем. общества. 1980, т. 41, с. 163-180.

3. Агранович М.С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряжённой главной частью //Функциональный анализ и его приложения. 1994, т. 28, вып. 3. с. 1-21.

4. Агранович М.С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряжённых эллиптических операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1976, т. 10, вып. 3. с. 1-12.

5. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции //В кн.: Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщённый метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977, с. 285416.

6. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964, т. 19, №3. с. 53-161.

7. Агранович М.С. Некоторые асимптотические формулы для эллиптических псевдодифференциальных операторов //Функциональный анализ и его приложения. 1987, т. 21, №1, с. 63-65.

8. Агранович М.С. Несамосопряженные задачи с параметром эллиптические по Агмону-Дуглису-Ниренбергу // Функциональный анализ и его приложения. 1990, т. 24, №1, с. 59-61.

9. Александрян P.A., Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частнымипроизводными // В сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970. с. 3-35.

10. Алиев Б.А., Алиев И.В. Полнота системы корневых функций краевых задач эллиптических уравнений с краевыми условиями типа Бицадзе -Самарского // СМЖ, 2000, т.41, №3, с.489-497.

11. Арсеньев A.A. Асимптотические свойства следа спектральной функции самосопряжённого эллиптического оператора второго порядка // ДАН СССР, 1964, т. 157, №4, с. 761-763.

12. Асланов Г.И. Асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Штурма-Лиувилля // В сб.: Вопросы прикладной математики и кибернетики. Баку. 1977. №1. с. 121-129.

13. Асланов Г.И., Байрамоглы. М. Асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Шредингера // Изв. АН Аз. ССР. Сер. физ. -техн. и мат. наук. 1977, №1, с. 46-51.

14. Байрамоглы М. Асимптотика взвешенного следа двучленного операторного уравнения с частными производными //Спектральная теория операторов и её приложения, Баку, 1986, т.7, с. 14-40.

15. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». М.: 1977, т. 14, с. 5-58.

16. Бирман М.Ш. Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. JI. Издательство ЛГУ. 1980, 264с.

17. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем дифференциальных операторов во всем пространстве // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 г. т. 36, №1 с. 5-9

18. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика т-секториальных дифференциальных операторов II порядка в неограниченных областях, удовлетворяющих условию конуса//Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе. 1998 г. т.41. №9, стр.5-12.

19. Бойматов К.Х. Асимптотическое поведение собственных значений несамосопряжённых операторов // Функ. анализ и его приложения. 1977, т. 11, №4, с. 74-75.

20. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра эллиптического оператора в вырожденном случае // Докл. АН СССР. 1978, т. 243, №6, с. 1369-1372.

21. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов I // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1981, т. 7, с. 50-100.

22. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов II // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1983, т. 9, с. 240-263.

23. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов II // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Издательство МГУ. 1984, в. 10, с. 78-106.

24. Бойматов К.Х. Самосопряженность эллиптических дифференциаль -ных операторов второго порядка // Дифферен. уравнения , 1976, т. 12, №11, стр. 2089-2091.

25. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости , весовые пространства и их приложения// ТрудыМИАНСССР , 1984,т. 170, с.37-76.

26. Бойматов К.Х. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических операторов // ДАН СССР , 1979, т. 248, № 3 , с. 521-524.

27. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в негладкой области // ДАН СССР, 1978, т.242, №4, с.749-752.

28. Бойматов К.Х., Гадоев М.Г. Об условиях ш-секториальности и квази-ш-аккретивности минимальных реализаций матричных дифференциальных и псевдодифференциальных выражений // Доклады РАН, 2002, т.385, №3, с.295-298

29. Бойматов К.Х., Гадоев М.Г. Неравенство типа Харди для областей, удовлетворяющих условию конуса // В кн.: Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку, 1991 , вып. 10, с.58-63

30. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой // Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 1997,т.214,с. 107-134.

31. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора вырождающегося на многообразиях различных измерений // Доклады АН Респ. Таджикистан, 2000, т. ХЬШ, № 3, с.53- 60.

32. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений эллиптических операторов во всем пространстве // Труды семинара им. И.Г. Петровского . М.: Издательство МГУ, 1976, вып. 2, с. 113-143.

33. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем // Математический сборник , 1990, т. 181 , № 12 , с. 1678-1693.

34. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки , 1992 , т. 51 , № 4 , с. 8-16.

35. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка// Вестник МГУ, 1990, №3, с. 24-31.

36. Бойматов К.Х. Об асимптотике собственных значений несамосопряженных эллиптических систем // ДАН СССР. 1990, т. 315 №6, с. 1289-1293.

37. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле порожденная некоэрцитивной формой // Доклады РАН, 1993, т. 330, №3, с. 285-290

38. Бойматов К.Х. Об асимптотике спектра вырожденно- эллиптических операторов далеких от самосопряженных // Доклады РАН, 1995, т. 345, №3, с. 295-299.

39. Бойматов К.Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // Функциональный анализ и его приложения. 1995, т. 29, №3, с. 55-58.

40. Бойматов К.Х. О спектре самосопряженного полиномиального пучка // Функциональный анализ и его приложения. 1997, т. 31, №3, с. 71- 74.

41. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика систем дифференциальных эллиптических операторов по Дуглису- Ниренбергу в областях конечной меры // Доклады РАН, 1998, т. 363, №1, с. 7-10.

42. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика несамосопрояженной задачи типа Гасымова-Костюченко // Доклады РАН, 1998, т. 363, №2, с. 151-152.

43. Бойматов К.Х. О спектральной асимптотике и суммируемости методом Абеля рядов по системе корневых вектор-функций негладких эллиптических дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // ДАН России. 2000, т. 372, №4, с. 442-445

44. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов // ДАН России. 1993, т. 330, №5, с. 533-538.

45. Бойматов К.Х. Суммируемость в смысле Абеля Лидского системы корневых вектор-функций несамосопряженных дифференциальных операторов // Доклады АН РТ. 1999, т. XIII, №10. с.

46. Бойматов К.Х. , Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // ДАН России. 1997, т. 352, №3, с. 295297.

47. Бойматов К.Х., Седдики К. Некоторые спектральные свойства дифференциальных операторов порожденных некоэрцитивными формами// ДАН России, 1997, т.352, №4, с. 439-442.

48. Гасымов М.Г. О распределение собственных значений самосопряжённого обыкновенного дифференциального оператора // Докл. АН СССР. 1969, т. 184, №4, с. 753-756.

49. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. 1985, т. 23, с. 125-218.

50. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М.: Наука. 1965, 448 с.

51. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально- операторные уравнения. Новосибирск, 2000, 342 с.

52. Ивасишен С.Д. Матрица Грина для параболических по И.Г. Петровскому систем общего вида // Математический сборник , 1981,т.114, №1, с. 110-166.

53. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач // Автореферат дисс. на соиск. ученой степени д.ф.-м.н., Киев, 1981, 33с.

54. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. Оценки матрицы Грина однородной параболической граничной задачи // ДАН СССР, 1967, т. 172, №6, с.1262-1265.

55. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

56. Исхоков С.А., Гадоев М.Г. Об одном неравенстве типа Харди для ограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса // Докл. АН Таджикской ССР. 1991, т. 34, №3, с. 146-151.

57. Исхоков С.А. Спектральная асимптотика задачи типа Гасымова — Костюченко в неограниченной области // Известия АН РТ. Отделение физ.-мат. и хим. наук. 1992, №3, с. 3-11.

58. Кадиров Д. Интегральное представление однопараметрической полугруппы, порожденной оператором Штурма Лиувилля с операторнозначным потенциалом // Доклады АН Респ. Таджикистан, 1994, т.37, №3-4, с.4-7.

59. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972, 740 с.

60. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Полугруппы, порождаемые эллиптическим оператором второго порядка// В сб.: Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1987, с. 17-36.

61. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. К Ьр- теории шредингеровских полугрупп // Украинский математический журнал, 1987,т. 39, №5, с.620-624.

62. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптических систем // Функциональный анализ и его приложения, 1977, т. 11, №4, с. 82-83.

63. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов // Докторская диссертация, 1966, МГУ.

64. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов// Математические заметки, 1967, т.1,№ 3 , с. 365-378.

65. Костюченко А.Г. Распределений собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов // ДАН СССР, 1966, т. 168, № 1,с.21-24.

66. Костюченко А.Г. Асимптотическое распределение собственных значений эллиптических операторов// Докл. АН СССР, 1964, т.158, №1,с.41-44

67. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов // В кн.: Четвертая математическая школа. Киев, 1968, с. 42-117.

68. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 500с.

69. Лаврентьев М.М., Савельев Л .Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск, 1999, 702с.

70. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении функций Грина и разложении по собственным функциям уравнения Шредингера // Математический сборник, 1957, т.41, №4, с.439-458.

71. Лидский В.Б О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. мат. об-ва. 1962, т. 11, с.3-35.

72. Мирошин Н.В. Обобщённая задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства // Дифференц. уравнения. 1976, т. 12, №6, с. 1099-1111.

73. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. М.: Физматлит, 2003,416 с.

74. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969, 526 с.

75. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. 1988, №8, с.4-30.

76. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов пучков линейных самосопряженных пучков // Мат. Сборник. 1994. Т. 185, №3. С. 93-116.

77. Розенблюм Г.В. Спектральная асимптотика нормальных операторов // Функц. Анализ и его прил. 1982, т. 16, с. 82-83.

78. Розенблюм Г.В. Условная асимптотика спектра операторов, близких к нормальным // В кн.: Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1986, с. 180-195.

79. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления, 1988, т.64, с. 5-248.

80. Рофе — Бекетов Ф.С. Самосопряженность эллиптических операторов и оценки энергетического типа во всем Яп // В сб. Теория функций , функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1990, вып. 54, с. 316.

81. Самирипур А. Седдики К. Распределение собственных значений несамосопряженных эллиптических систем, вырождающихся на границе области // Математические заметки, 1997, т. 61.№ 3, с.463-467.

82. Семенко Е.В. Вырождающиеся псевдодифференциальные операторы на компактной римановой поверхности // Автореферат дисс.на соиск. ученой степени д.ф.-м.н., Новосибирск, 2002, 28с.

83. Семенов Ю.А. К спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов второго порядка // Математический сборник, 1985, т. 128 ( 170), №10, с. 221-247.

84. Солонников В.А. О матрицах Грина для параболических краевых задач // Записки научных семинаров Ленинградского отделения матем. инс-та, 1969, т.14, с.256-287.

85. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Наука, 1973, 342 с.

86. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980, 664 с.

87. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978, 280 с.

88. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы в r" // ДАН СССР, 1971, т.196, №2, с.316-319.

89. Эйдельман С.Д. Параболические уравнения // В кн. Итоги науки и техники, 1990, т.63, с.201-313.

90. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи // Труды Моск. матем. об-ва. М.: 1970, вып.23, с.179-234.

91. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

92. Agranovich M.S. and Markus A.S. On spectral properties of elliptic pseudo-differential operators far from self-adjoint ones // Zeitshrift fur Analysis und ihre Anwendungen, 1989, Bd.,8(3), s.237-260.

93. Agranovich M.S. Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains // Russian J.Math.Phys., 1994,2, No.2, p.139-148.

94. Faierman M. An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. of the Roy. Soc. of Edinburgh, 2000, 130A, №2 p. 287-305.

95. Kozhevnikov A. N. Asymptotics of the spectrum of Douglis-Nirenberg elliptic operators on a compact manifold // Math. Nachr. 1996, Bd. 182. S. 261-293.

96. Pyatkov S.G. Riesz's bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Journal of Differential Equations, 1995, v.l, No. 2, p. 179-196.

97. Sango M. A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system // Electronic Journal of Diff. Equations, 1997, №21, p. 1-14.

98. Yakubov S. Abel basis or root functions of regular boundary value problems // Math.Nachr., v.l97, 1999, p. 157-187.

99. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами // Материалы конференции молодых ученых АН Тадж. ССР, секция физ.мат.н., Душанбе, 1987 , с.74-76.

100. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем с негладкими коэффициентами// Тезисы докладов конференции молодых ученых. Уфа, 1989, с.134-135.

101. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов // Доклады АН Тадж. ССР, 1990 , т.ЗЗ, №1, с.6-9.

102. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов с негладкими коэффициентами: Диссертация на соискание . кандидата физ.-мат. Наук. Курган-Тюбе, 1990.

103. Гадоев М.Г. Распределение собственных значений обыкновенных дифференциальных операторов // Материалы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. Курган-Тюбе, 1991, с. 39-40.

104. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов в Q //Там же, с. 41-42.

105. Гадоев М.Г. О спектральной асимптотике эллиптических дифференциальных операторов с особенностью в точке // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Куляб, 1991, с. 31.

106. Гадоев М.Г. Олимов М. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических систем // Тезисы докладов конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений математической физикой вторые Боголюбовские чтения". Киев, 1992, с. 74.

107. Гадоев М.Г., Олимов М. Асимптотика взвешенного следа эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрической области // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Вып.2, Душанбе, 1993, с.12-15.

108. Гадоев М.Г., Олимов М. Об асимптотике • спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов в предельно-цилиндрических областях // Доклады АН Республики Таджикистан. 1993 , т. 36, №2, с. 79-82.

109. Гадоев М.Г., Олимов М. О спектре вырожденно-эллиптических операторов в неограниченных областях // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения ( сборник научных статей), вып 3. Душанбе, 1995, с. 17-20.

110. Гадоев М.Г., Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядкаДифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных статей) вып.4 Душанбе, 1996, с.19-22.

111. Гадоев М.Г., Аликулов Р.К. Неравенства для функций Грина эллиптических уравнений и их приложения к проблеме разделимости // Дифференциаль. и интегр. уравнения и их приложения^ сборник научных статей), вып.4, Душанбе, 1996, с. 6-11.

112. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Материалы международной научной конференции по "Дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами" Душанбе, 17-19 ноября 1996 г, с. 43.

113. Гадоев М.Г. Асимптотика взвешенного следа вырождающихся дифференциальных операторов // Математические заметки ЯГУ, 1997, с. 17-27.

114. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика одного класса ш-секториальных вырожденно-эллиптических операторов на отрезке //Материалы II международной конференции по математическому моделированию,Якутск, 1997, с 17-18.

115. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем второго порядка, слабо вырождающихся на границе области// Доклады АН Республики Таджикистан. Душанбе 1999, т.42, №3. с.54-59.

116. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика задачи Неймана для врожденно-эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка // Материалы IV-ro Сибирского Конгресса по прикладной ииндустриальной математике, ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000, с.48-49.

117. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов при общих граничных условиях// Труды конференции «Образование и технический прогресс на рубеже XXI века», Мирный, 2001, с. 79-80.

118. Гадоев М.Г. Интегральное представление голоморфных полугрупп, порожденных сильно позитивными матричными псевдодифференциальными операторами на компактных многообразиях // Доклады РАН , 2002 , т.385, №4, с. 450-452.

119. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость и разделимость эллиптических систем второго порядка в банаховых пространствах//Вестник НГУ, 2003, т.3,№3, стр. 15-33.

120. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость позитивных эллиптических операторов в банаховых пространствах //Сибирский журнал индустриальной-математики, 2003, т.6,№2 (14), стр. 26-30.

121. Гадоев М.Г., Конобулов С.И. Об условиях позитивности и коэрцитивной разрешимости матричного оператора Шредингера в банаховых пространствах вектор-функций // Дифференциальные уравнения, 2003, т.39, № 6, с.850-851.

122. Бойматов К.Х., Егоров И.Е., Гадоев М.Г. , С0 Полугруппы операторов, порожденные системами псевдодифференциальных операторов в Ьр - пространствах с весом // Доклады РАН , 2005 , т.404,2, с. 151-154.

123. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра несамосопряженных вырождающихся эллиптических операторов // Материалы научно-практ. конф. посвященной 50-ти летию алмазодобывающей промышленности и г. Мирного (г.Мирный, 12-13 апреля 2005 г.) стр.151-157.

124. Гадоев М.Г. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденно- эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на отрезке // Сибирский журнал индустриальной математики, 2006, т.9, № 2(26),стр. 31-43.

125. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем // Неклассические уравнения математической физики, Новосибирск, ИМ СО РАН, 2007г. стр. 78-84.