Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений и некоторые их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Абрегов, Мухад Хасанбиевич

• Абрегов, Мухад Хасанбиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абрегов, Мухад Хасанбиевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА

ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 1. Теорема сравнения

§ 2. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями

§ 3. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского

§ 4. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями

§ 5. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского

§ 6. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями

§ 7. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 1. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

1

с нелокальным условием 1) = /?|и(х)сЬс

о

§ 2. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

1

с нелокальным условием-%2и0) = Р

о

§ 3. Решение плохо обусловленной задачи Коши методом редукции

к нелокальной задаче

ГЛАВА 3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

§ 1. Нелокальная краевая задача типа Бицадзе-Самарского

для уравнения третьего порядка

§ 2. Третья краевая задача с нелокальным условием типа Бицадзе-

Самарского для уравнения третьего порядка

§ 3. Разностные схемы для нелокальных задач

типа Бицадзе-Самарского

§ 4. Определение контактной температуры при правке абразивных

кругов алмазным инструментом

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений и некоторые их приложения»

-4-ВВЕДЕНИЕ

Многие задачи механики сплошных сред, в частности фильтрации жидкости в пористых средах, влагопереноса в почвогрунтах приводят к нелокальным (неклассическим) задачам для дифференциальных уравнений математической физики [1], [2].

Нелокальные задачи возникают при математическом моделировании технологического процесса очистки кремниевых плит от примеси [3]. Нелокальные условия возникают также при описании процесса диффузии частиц в турбулентной плазме [4]. К первым работам по нелокальным задачам относятся работы Камынина Л.И. [5]-[6]. Различные типы нелокальных задач изучались в работах Ионкина Н.И.[7], Самарского A.A. [8], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [9], Шополова H.H. [10], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [11]-[12], Нахушева A.M. [13], Шханукова М.Х. [22]-[25], Ионкина H.H. [14]-[15] и многих других.

Приведем пример нелокальной задачи из теории влагопереноса в почвогрунтах. Почвенная влага движется под действием объемных сил, поверхностные и граничные эффекты здесь не играют роли [1]. Поэтому движение влаги в почве под действием силы тяжести и капиллярного давления описывается диффузионной моделью

dW _ д dt ' дх

ОХ

(0.1)

где /^-влажность в долях единицы, х-глубина, /-время, В(1¥)-коэффициент диффузивности. Диффузионная модель предполагает, что если в начальный момент задано неравномерное распределение влажности, то должен возникнуть поток влаги из более влажных в менее влажные слои. Однако, прямые, достаточно убедительные опыты показывают, что имеет место и обратный поток влаги от слоев с малым содержанием влаги к слоям с большим содержанием влаги [16],[18]. Эти факты входят в противоречие с

законом Дарси, лежащим в основе диффузионной модели (0.1). Как выяснилось позже [17], правильное истолкование того, когда и при каких условиях происходит движение влаги в прямом и обратном направлении, возможно на основе новой модели - модифицированного уравнения диффузии Аллера дЖ д

дг дх

дТУ ЩЖ)—

дх

+ (0.2)

где А - варьируемый коэффициент Аллера.

Решению уравнения (0.2) при различных краевых условиях посвящены работы [19]-[21], [22]-[25], [26].

Сформулируем неклассическую постановку задачи для уравнения (0.2). Требуется найти распределение влаги IV в слое 0<х<£ для всех / е[0,г], если известно:

1. Глубинный ход влажности в начальный момент ^ = 0 Щх,0) = <р(х), 0<х<£.

2. Изоляция в смысле обмена влагой между верхним слоем и нижними слоями, то есть

т в-

= 0.

дх 0 х=£

3. Расход влаги

о

д

Нелокальное условие 3 можно заменить условием

е

о

то есть задано содержание влаги в слое 0 < х < £.

В работе [29] Чудновский А.Ф. обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий.

Они, как правило, представляют собой условия 1-го, 2-го или 3-го

рода.

По мнению Чудновского А.Ф., задание временного хода влажности на верхней границе почвы не выдерживает никакой критики.

В отличие от температурного хода по времени на поверхности, никто никогда не сумел измерить влажность нулевого уровня почвы; о влажности почвы можно говорить только отнеся ее к некоторому слою. Последний может быть достаточно тонким, но не бесконечно тонким.

В этой работе предлагается в качестве граничного условия на верхнем слое почвы следующее условие:

а

= \WixJ) сЬс (0.3)

т

дх х=0 О

В условии (0.3) влажность является интегральной величиной для всего активного слоя почвы [0,а]. Активным слоем почвы [0,а] называют ее верхний слой, который участвует в водоснабжении корневой системы.

Другой класс нелокальных задач возникает при изучении популяционных моделей. Пусть и(х,плотность численности популяции возраста х в момент времени Тогда, как показано в работе [30], м(х,/) удовлетворяет уравнению

и(+их-к{х^), 0<х<£, t>0

с дополнительными условиями

и(х,0)= (р{х),

\ (0.4)

и{ 0,?)= \с(х^)и{х^)ск

о

Условие (0.4) называется законом рождаемости, с(х,1)-коэффициент рождаемости.

Нелокальные условия вида (0.4) возникают также при математическом моделировании технологических процессов внешнего гетерирования при

Л

очистке кремниевых плит от примеси [3], а также в теории солепереноса в почве при интенсивном испарении.

В работах [5]-[6] изучена краевая задача для параболического уравнения с общего вида с нелокальными (неклассическими) условиями типа

*i(0

\g(x,t)u(x,t)dx = E(t), 0<t<T (0.5)

х](0

где Xj(t), 7 = 1,2; g(x,t), £(i)-H3BecTHbie функции.

Неклассические задачи типа (0.5) возникают при изучении передачи тепла в тонком нагретом стержне, если считать заданным общее количество тепла части стержня, примыкающей к одному из концов. В работе [6] доказывается теорема существования и единственности краевой задачи для общего параболического уравнения с нелокальным условием вида (0.5). В работе [7] методом Фурье доказаны существование и единственность решения нелокальной задачи:

ut-a ихх, х е(0,£), t> 0

u(Q,t)=u{l,t), Mx(0,O=g(O, (0.6)

w(x,0)= UQ(X).

Идея метода решения задачи (0.6) основывается на возможности разложения и0(х) в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи (0.6).

В работе [8] Самарский A.A. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальными условиями вида

ах (t)u(0, t)+а2 (t)u{i,t) + а3 (t )их (0, t) + аА их (£, t) = (рх (t)

К результатам работы [8] примыкают результаты Шополова H.H. [10]. В работе [11] для уравнения

Ьи

ах

/ ч

К{х)— ах

-#(х)и= -/(х), 0<х< 1, (0.7)

изучена нелокальная задача с условиями

т

и(0) = 0, и(1)=2>*и(&),

к=1

где ^-фиксированные точки интервала (ОД) такие, что

В работе [12] для уравнения (0.7) рассмотрена задача с нелокальным условием вида

т

Щ1)=2>*п(&),

к=1

где П(х) = -к— - поток через сечение х. с!х

В этих работах получены априорные оценки для решения указанных

1 2

задач в нормах С, Ж2, .

В работах [14]-[15] построены равномерно сходящиеся разностные схемы для нелокальных задач вида

ди с^и

+ g(x,t), 0<х<1, ¿>0,

дг дх1

и{0,0 = 0, их(0,0 = и*(1,0. 0</<г, и(х,0) = ^(х), 0 < х < 1.

Гордезиани Д.Г. в работах [30]-[32] для решения нелокальных задач использовал иной подход: он сводил нелокальную задачу к локальной задаче с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса. В работе [33] показана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа и теплопроводности сводятся к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений. Этот

факт можно использовать для приближенного решения нелокальных задач [34].

В работах [35]-[37] изучены нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для параболических уравнений, где установлены теоремы единственности и существования.

В диссертации исследуются нелокальные задачи для обыкновенных и с частными производными третьего порядка дифференциальных уравнений вида (0.2), (0.7). Так как нелокальные задачи порождают несамосопряженную задачу, а соответствующие операторы не являются знакоопределенными, то построение устойчивых и экономичных алгоритмов для них является весьма актуальным.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для широкого класса новых нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны теоремы существования и единственности и на основе теоремы сравнения получены априорные оценки

"у

в нормах С и Ж2 .

2. Для некоторых классов нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений построены разностные схемы второго порядка точности и доказана их сходимость со скоростью О (к2) в равномерной метрике.

3. Предложен способ численного решения плохо обусловленной задачи Коши с помощью метода редукции к нелокальным задачам.

4. Для некоторых классов нелокальных краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса доказаны теоремы существования и единственности. Построены разностные схемы второго

порядка точности и доказана их сходимость со скоростью 0(к2 + т2), где к и г - шаги сетки по пространственной и временной координатам.

Полученные в диссертации результаты являются новыми и находят непосредственное приложение в теории тепломассопереноса, в частности, они применены к решению практически важной задачи определения контактной температуры при правке абразивных кругов алмазным инструментом.

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации, состоящей из трех взаимосвязанных глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абрегов, Мухад Хасанбиевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

Х.Чудновский А.Ф. Теплофизика почвы. -М. :Наука, 1976. - 325 с.

2.Нерпин C.B., Чудновский А.Ф. Энерго-и массообмен в системе растение-

почва-воздух. -JI. :Гидрометеоиздат, 1975. -385 с.

3.Муравей JI.A., Филиновский A.B. Об одной задаче с нелокальным

граничным условием для параболического уравнения -матем.сб., 1991, т. 182, №10, с. 1479-1512.

4.Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях

линейных эллиптических краевых задач. Докл. АН СССР, 1969, т.185, 4, с. 739-740

5.Камынин Л.И. Метод тепловых потенциалов для параболического

уравнения с разрывными коэффициентами.-Сиб.матем.ж.,

1963, т. IV, № 5, с.1071-1105.

6.Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с

неклассическими граничными условиями.-ЖВМ и МФ,

1964, т.4, № 6, с. 1006-1023.

7.Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с

нелокальным краевым условием.-Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 2, с.294-304.

8.Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных

уравнений.-Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 11, с.1925-1935.

9.Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с

двухточечными краевыми условиями- -Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 7, с.1284-1295. Ю.Шополов H.H. Некоторые краевые задачи для уравнения

теплопроводности.-Докл.Болг.АН, 1980, т.ЗЗ, №1, с.47-50.

П.Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная задача для оператора Штурма-

Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках-Докл. АН СССР, 1986, т.291, №3,с.534-539.

12.Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для

оператора Штурма-Лиувилля- Дифференц. уравнения, 1987, т.23, №8,с.1422-1431.

13.Нахушев A.M. О нелокальных задачах со смещением и их связи с

нагруженными уравнениями- Дифференц. уравнения, 1985, т.21, №1.

14.Ионкин Н.И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной

нестационарной нелокальной краевой

задачи.//Актуальные вопросы прикладной математики, изд. МГУ, 1989,-240с.

15.Ионкин Н.И. Разностные схемы повышенного порядка точности для

одной неклассической краевой задачи.//Актуальные вопросы прикладной математики, изд. МГУ, 1989, -240с.

16.Бондаренко Н.Ф. и др. Расчетные методы прогноза водного режима и его

регулирование, в «Сб. Физика, химия, биология и минералогия почв СССР», М., 1964.

17.HaIIaire M. L'eau et la productions vegetable. Institute National de la

Recherch Agronomique, №9, 1964.

18.Нерпин C.B. Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги

в почве. Докл. ВАСХНИЛ, № 6, 1966.

19.Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород.

Недра, 1966.

20.Якобс А.И. Расчет газового хода влажности почв и грунтов. Вестник с-х.

наук, № 8, 1961.

21.Янгарбер В.А. О смешанной задаче для моделированного уравнения

влагопереноса. ЖПМ и МФ, № 1 (1967).

22.Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего

порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. Дифференц. уравнения, 1982,18, №4, с.689-699.

23.Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений

третьего порядка. Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 6, с.1327-1330.

24.Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего

порядка и экстремальные свойства его решений. Докл. АН СССР, 1982, т.267, №3, с.567-570.

25.Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для одного класса

уравнений третьего порядка методом функции Римана-Сообщение АН ГССР, 1983.

26.Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным

условием A.A. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка. ДАН СССР, 1987, т.297, №3, с.547-552.

27.Самарский A.A. Однородные разностные схемы на неравномерных

сетках для уравнений параболического типа.-ЖВМ и МФ, 1963, т.З, № 2, с. 266-298.

28.Резников А.Н. Теплофизика процессов механической обработки

материалов. -М.: Машиностроение, 1981. 29.Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач

тепло-и влагопереноса в почве.//Математические методы в исследованиях по агрофизике и биологии. Д.: Гидрометеоиздат, 1969, вып.23, с. 41-54. ЗО.Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых

задач. -Препринт института прикладной математики при Тбилисском госуниверситете-Тбилиси, 1981.

31.Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-

Самарского.-Семинар института прикладной математики, Аннотация докладов, Тбилиси, 1970, с. 39-41.

32.Гордезиани Д.Г. О разностных схемах для решения одного класса

нелокальных краевых задач. //Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем, Нальчик, 1986, с. 112-113.

33.Нахушев A.M. Нагруженные уравнения.-Дифференц. уравнения, т. 19,

№1, с.86-94.

34.Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного

уравнения параболического типа- Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 1, с. 163-167.

35.Напсо А.Ф. О задаче Бицадзе-Самарского для уравнения

параболического типа- Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 4, с. 761-762.

36.Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических

уравнений - Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 4, с. 7478.

37.Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. Об одной нелокальной параболической

граничной задаче.-Математ.исслед.,Кишинев,1970, с.85-100. 38.Stecher М., Rundell W. Maximum principles for pseudoparabolic partial

differential equations.-J.Math.Anal. Appl. 1977, 57, p. 110-118.

39.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.

40.Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958.

41.Тихонов A.M., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные

уравнения. М., Наука, 1980.

42.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. I-II, М.,

Наука, 1982.

43.Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

44.Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М., Наука, 1989. 45.0ртега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения

дифференциальных уравнений. М., Наука, 1986.

46.Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.,

Наука, 1977.

47.Тихонов А.Н., Арсении В .Я. Методы решения некорректных задач. М.,

Физматгиз, 1979, -285 с.

48.Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи

математической физики и анализа. М., Наука, 1980, -288 с.

49.Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.,

Мир, 1970,-336 с.

50.Тхагапсоев Х.Г., Шхануков М.Х., Хапачев Б.С., Абрегов М.Х.

Определение контактной температуры при правке абразивных кругов алмазным инструментом. Сверхтвердые материалы, 1983, № 4, с. 44-49.

51.Абрегов М.Х. Об одной нелокальной задаче типа Бицадзе-Самарского

для уравнения третьего порядка. В сб: Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента в системах автоматизированного проектирования и планирования. Нальчик, 1989, с. 24-30.

52.Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. О сходимости разностных схем для

одного класса нелокальных задач типа Бицадзе-Самарского. В сб: Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. Нальчик, 1989, с.275-283.

53.Абрегов М.Х. Об однозначной разрешимости одной нелокальной краевой

задачи для уравнения третьего порядка. Сборник научных трудов Института математики АН УССР «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». Киев, 1990, с.5-6.

54.Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. Об устойчивости разностных схем для

нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского. Тезисы докладов третьей Северо - Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Махачкала, 1991, с. 180.

55.Абрегов М.Х., Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем,

аппроксимирующих нелокальные задачи для модифицированного уравнения влагопереноса. Сборник научных трудов Института математики АН УССР «Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах». Киев, 1990, с.4-6.

56.Абрегов М.Х., Абрегов М.Х. Нелокальная задача типа Бицадзе-

Самарского для оператора Штурма-Лиувилля. Вестник Кабардино-Балкарского госуниверситета, серия физико-математические науки, выпуск 1. Нальчик, 1997, с. 3-9.

57.Абрегов М.Х. Краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля с

1

нелокальным условием и{ 1)= \u{x)dx. Сборник научных

о

трудов Института математики HAH Украины «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики». Киев, 1997, с. 9-11.

58.Абрегов М.Х. Об оценке решений двух краевых задач для оператора

Штурма-Лиувилля. Вестник Кабардино-Балкарского госуниверситета, серия физико-математические науки, выпуск 2. Нальчик, 1998, с. 3-11.