Границы устойчивости разностных схем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Ильютко, Виктор Петрович

• Ильютко, Виктор Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильютко, Виктор Петрович

Введение

1 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на спектр разностной задачи

1.1 Постановка задачи и предварительные сведения.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий первого рода

1.1.3 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий второго рода

1.2 Оценка спектра оператора второй разностной производной

1.2.1 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода

1.2.2 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода

1.2.3 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода

1.2.4 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода

1.2.5 Квазиравномерные сетки.

1.3 Численное исследование спектра.

1.3.1 Численное исследование спектра разностного оператора Л, записанного на сетках шь{а) и ^(а,/?)

1.3.2 Численное исследование спектра разностного оператора А, записанного на квазиравномерных сетках.

1.3.3 Выводы.

2 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на границу устойчивости разностной схемы

2.1 Основные понятия теории устойчивости.

2.1.1 Сведения о теории устойчивости.

2.1.2 Разностная схема и ее граница устойчивости.

2.2 Исследование устойчивости явной схемы

2.2.1 Устойчивость явной разностной схемы на сетках щ{се), (bh{a,(5) и й>ь(х)

2.2.2 Результаты численного исследования

2.3 Исследование устойчивости схемы с весами.

2.3.1 Оценка сверху спектра задачи АцАу = — ХАу

2.3.2 Результаты численного исследования разностных схем, близких к абсолютно устойчивым

2.3.3 Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями.

2.3.4 Краткие выводы главы

3 Граница устойчивости разностной схемы для уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях

3.1 Оценка спектра двумерного разностного оператора Лапласа

3.1.1 Способы введения сеток, покрывающих непрямоугольные области.

3.1.2 Свойства разностного оператора Лапласа.

3.1.3 Тестовый пример.

3.1.4 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейном треугольнике

3.1.5 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции.

3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи.

3.2.1 Разностная схема.

3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы

3.2.3 Оценки сверху спектра задачи АцАу = —ХАу.

3.2.4 Численное исследование устойчивости разностной схемы с весами.

3.2.5 Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Границы устойчивости разностных схем»

С развитием теории дифференциальных уравнений и применением этой теории к прикладным задачам (например, к задачам математической физики: теплопроводность, колебания, течение жидкости, обтекание тел, задачи теории упругости, теории фильтрации и т.д.) появилась возможность анализировать решения, описывающие протекающие физические процессы. Большинство задач, которые описывают модели различных физических процессов, сводится к дифференциальным уравнениям в частных производных. С математической точки зрения модели физических процессов являются совокупностью уравнений в частных производных. Помимо математической записи задачи, которая моделирует физический процесс, необходимо решать данную проблему. Например, решение краевых задач для эллиптических уравнений не всегда удается найти в аналитическом виде. Выход из сложившейся ситуации заключается в переходе от дифференциальной модели процесса к дискретной модели. Построение дискретной модели процесса сводится к замене пространства непрерывного аргумента дискретным пространством, замене дифференциального уравнения и дополнительных условий (например, краевых условий) системой сеточных уравнений. В итоге получаем переход от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям. Такой переход называется аппроксимацией дифференциальной задачи разностной схемой. При таком подходе имеем серию систем линейных алгебраических уравнений, для которых существует огромное количество методов решения, начиная от аналитических методов и кончая численными. В конечном итоге при решении систем получаем приближенное описание исходного физического процесса.

Результаты расчета решений по разностным схемам на ЭВМ не всегда совпадали с реальными результатами даже для модельных задач (например, из-за ошибок округления), что привело к развитию теории разностных схем. Были введены следующие понятия: аппроксимация, устойчивость, сходимость и др. Понятие устойчивости, как равномерной относительно шагов сетки непрерывной зависимости решения разностной задачи от начальных данных и правой части, было введено в работах А. Ф. Филиппова и B.C. Рябенького [28], [13]. Это определение дано для произвольной разностной схемы. Там же введено понятие аппроксимации и показано, что из устойчивости и аппроксимации следует (при определенных дополнительных условиях) сходимость решения разностной схемы к решению исходной задачи. Все понятия введены для корректно поставленных задач.

В монографии А. А. Самарского [14] подробно изложены основные положения теории разностных схем. Рассмотрены примеры дифференциальных задач и их разностных аппроксимаций. Проведено исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости некоторых характерных разностных схем.

Результаты, полученные А. А. Самарским и А. В. Гулиным ([19], [6]) и имеющие непосредственное отношение к теме исследований данной диссертации, подробно рассмотрены в параграфе 2.1.

Первоначально разностные схемы строились на равномерных сетках. Однако, область применения равномерных сеток ограничивалась расчетом гладких, не сильно меняющихся решений. В задачах с сильно меняющимися коэффициентами и др. целесообразней использовать сетки, имеющие неравномерность, т.е. неравномерные сетки. Теория разностных схем на неравномерных сетках была построена в известных работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [24] и [25]. В работах Н. Н. Калиткина и соавторов [1], [10] и [11] выделено семейство квазиравномерных сеток, которые применимы и для задач в неограниченных областях.

Для двумерных задач рассматривались простые области: прямоугольник, круг, прямоугольный равнобедренный треугольник и т.д. Для некоторых из этих областей решение дифференциальной задачи находится в аналитическом виде, что позволяет сравнить численное и аналитическое решения модельной задачи.

В диссертации исследуется устойчивость разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи, записанные в одномерных и двумерных областях. В одномерном случае рассматриваются неравномерные сетки, имеющие неравномерность вблизи границ отрезка. В двумерном случае рассматриваются неравномерные сетки, покрывающие непрямоугольные области. К непрямоугольным областям относим следующие области: криволинейный треугольник, криволинейная трапеция, часть круга. В одномерном случае исследование сводилось к выбору оптимальных шагов сетки, т.е. таких шагов, при которых условия устойчивости разностной схемы, записанной на неравномерной сетке, можно ослабить. В двумерных областях возникает ряд вопросов: введение сетки, покрывающей данную область; наилучшая аппроксимация дифференциальной задачи и т.д. Но вопрос, относящийся к двумерным задачам, тот же - увеличение запаса устойчивости разностной схемы за счет подбора сетки.

В диссертации используются понятия и результаты теории устойчивости разностных схем, развитой в работах [15] и [19].

Разностные схемы записываются в канонической форме n+1 п.П

ВУ-у + АуП = (рп^ п = о,1,., У°ен, (1) т где операторы А и В являются линейными, не зависящими от п, и действуют в конечномерном пространстве Н, состоящем из функций дискретного аргумента уп. Параметр т - шаг по времени t, определяющий временную сетку ujt = {tn = пт, п = 1,2,.}. Начальное значение у0 и правая часть (рп заданы для любых п > 0.

Представляет интерес класс схем, определяемый условиями

Л = В = Е + таА, (2) где а - самосопряженный оператор. Схемы с оператором В являются схемами с весовыми множителями.

Исследование схемы (1) на устойчивость состоит в определении минимальных требований на операторы А, В и параметр г, при которых схема устойчива. Свойства устойчивости и неустойчивости определяются операторами А, В и параметром т. Сами операторы А, В зависят от пространственной сетки, которая покрывает исходную область.

Прежде чем исследовать операторно-разностную схему (1) на устойчивость, необходимо ввести в Н скалярное произведение (•, •) и определить норму || • || = \/Tv)- Иногда устойчивость изучается в энергетических нормах вида || • ||d = \/(D-, •), где D - самосопряженный положительный оператор. Будем говорить, что разностная схема (1) с нулевой правой частью (<рп = 0, где п = 0,1,.) устойчива в пространстве Hp или, что то же самое, в норме D, если при любых у0 Е Я для решения задачи (1) справедливы неравенства

Dyn+1,yn+l)^(Dyn,yn), п = 0,1,. (3)

Важным аспектом в построении разностных схем является сохранение основных свойств исходной задачи (например, самосопряженность, положительность и др.). Также при исследовании разностных схем возникает вопрос о нахождении собственных значений разностных операторов.

В работах [16] и [17] получено, что для устойчивости разностной схемы, записанной в каноническом виде (1), где А - самосопряженный положительный оператор, В - положительный, необходимое и достаточное условие устойчивости в пространстве На имеет вид операторного неравенства

В ^ 0.5тА (4)

В книге [14] приведен пример исследования на устойчивость схемы с весовым множителем а:

Уо =Удг = 0, п = 1,2,.; у? = щ(х{), i = 0,1,., N, аппроксимирующей дифференциальную задачу ди(х, t) д2и(х, t)

5) at дх2 u(0,t) =u(l,t) = 0, t> 0; и(х, 0) = щ(х), 0 < х < I. о * п Уг+1 ~ 2Уг + У11 одесь введены следующие обозначения: ■ = --т.

- оператор второй разностной производной, где h - шаг равномерной сетки u>h = {xi = ih,i = 0,1,.,N, hN = 1} - пространственная сетка. Параметр г является шагом равномерной сетки ojt = \tn = пт, п = 0,1,.} - временная сетка и у" = у(х{, tn).

Первый вопрос - порядок аппроксимации. Известно, что погрешность аппроксимации ф" схемы (5) на решении дифференциальной задачи зависит

1 h2 от параметра а и составляет 0(т2 + /г4) при а = <т* = - — ——, при

2 12т а = 0.5 погрешность аппроксимации Ф? = 0(т2 + h2) и при всех остальных а погрешность аппроксимации фУ = 0(т + h2).

Следующий вопрос - условия на параметры схемы, при которых она устойчива. Для разностной схемы (5), используя неравенство (4), получен следующий результат: схема устойчива тогда, когда весовой множитель удовлетворяет неравенству 1 1 а ^ = п

9 т\ ' 8 где (—Amax) = — ToCOS — - минимальное собственное значение оператора hl 2 второй разностной производной у%х. Таким образом, для схемы можно определить понятие границы устойчивости, т.е. такое значение 7 = 70, 1

70 =-5FP

2(1 - 2а) cos2 — что схема устойчива при 7 ^ 7о и неустойчива при 7 > 70.

В работах [20], [6] и [21] получены критерии устойчивости по начальным данным симметризуемых разностных схем. Условия устойчивости, полученные в [6], [5] и [22], характеризуются тем, что их невозможно ослабить за счет выбора нормы. Так, в [5] был получен критерий устойчивости двуслойных схем с переменными весовыми множителями для двумерного уравнения теплопроводности. Условия устойчивости формулировались в [5] в виде требования неотрицательности всех собственных значений, так называемой матрицы устойчивости, то есть некоторой симметричной матрицы, порожденной рассматриваемой разностной задачей. На основе этих критериев предложен алгоритм определения границ устойчивости схем с переменными весовыми множителями для уравнения теплопроводности (одномерный случай в [4], двумерный случай в [8]).

В указанных работах находилось значение параметра 7 = т/Л, , которое соответствует границе устойчивости. Граница устойчивости определялась как такое значение 70, для которого при 0 < 7 ^ 70 схема устойчива, а при 7 > 7о схема неустойчива. В двумерном случае вводятся два параметра 71 = r/h\ и 72 = r/h\, где т - шаг по времени и hi, h,2 - шаги по пространственным переменным. Границей устойчивости, в данном случае, называется кривая в плоскости параметров 71 и 72, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости разностных схем. Для рассматриваемых разностных схем характерно наличие параметров 71 и 72, что объясняется тем, что пространственная сетка равномерная. В случае неравномерной сетки подобное определение понятия границы устойчивости невозможно ввиду множественности сеточных параметров.

В настоящей работе рассматриваются разностные схемы для уравнения теплопроводности в случае неравномерных сеток. Необходимость использования неравномерных сеток возникает, например, при решении задач с быстро меняющимися коэффициентами (см. [24], [14], [9]).

Вводится определение границы устойчивости как такое значение т = tq , для которого при т ^ то схема устойчива, а при т > то схема неустойчива.

Найдена оценка снизу значения то, получена численно граница устойчивости при различном распределении шагов сетки.

Нас будет интересовать, в частности, зависимость границы устойчивости явной разностной схемы от распределения шагов сетки hi,h,2,.,hN. Если сетка равномерная, то условием устойчивости явной схемы является выполнение неравенства 7 ^ 0.5cos~2(nh/2). В случае неравномерной сетки условие устойчивости явной схемы формулируется в виде 7"Amax(.A) s^ 2, где Amax (А) - максимальное собственное значение разностного оператора А, аппроксимирующего вторую производную (см. [14]).

В настоящей работе исследуются сетки, имеющие неравномерность вблизи концов отрезка, т.е. первый и последний шаги - произвольные, а остальные - равны между собой. Такая ситуация возникает в том случае, когда двумерная область с выпуклой границей покрывается равномерной прямоугольной сеткой. Для сеток такого вида найдены ограничения на шаги, при которых граница устойчивости tq достигает максимального значения.

Как видим из примера, устойчивость зависит от собственного значения оператора второй разностной производной. В данном случае собственное значение найдено в аналитическом виде, но во многих случаях не представляется возможным найти в аналитическом виде собственные значения оператора. Выход из сложившейся ситуации - это численное нахождение спектра или нахождение оценок спектра оператора. Для данного примера можно было бы найти оценку сверху максимального собственного значения и получить оценку границы устойчивости 7.

Данный пример характеризует частный случай аппроксимации дифференциальной задачи. Другой пример - это аппроксимация на неравномерной сетке. Для разностного оператора, записанного на неравномерной сетке, не удается отыскать в аналитическом виде собственные значения, но для его спектра известны границы (см., например, [14]), что позволяет оценить значение границы устойчивости.

В дальнейшем будет показано, что использование неравномерных сеток в некоторых случаях дает лучший результат в том смысле, что запас устойчивости увеличивается, нежели на равномерных сетках. Так в случае использования сетки, имеющей неравномерность на концах отрезка, получим, что допустимое значение для шага по времени г увеличится приблизительно на 3%. Такой результат достигается при определенных пространственных шагах. При совместном использовании неравномерности сетки и весовых множителей удается значительно увеличить значение границы устойчивости в несколько раз).

Видим, что задачи на собственные значения занимают важное место в исследовании разностных схем на устойчивость. Например, для того чтобы проверить условие устойчивости (4) в случае, когда операторы являются самосопряженными, нужно всего лишь проверить такое же условие на собственных значениях, т.е. условие А (В) ^ 0.5гЛ(Л), где A (D) - собственное значение оператора D.

Задача численного нахождения собственных значений матрицы не является довольно сложной на данный момент. Для численного решения задачи на собственные значения существует достаточно много методов, например, итерационные (степенной метод, метод вращений Якоби, LR и QR - алгоритм и др.), метод конечных элементов и т.д. (см., например, книгу [12]). В основном трудности возникают при написании уравнений и подбора метода для численного решения. Для подбора необходимого метода полезно знать основные свойства матрицы (самосопряженность, положительность и т.д.), что облегчает численное решение поставленной проблемы.

В некоторых случаях целесообразней иметь представление об оценке границ спектра, поэтому в диссертации уделяется внимание анализу разностной задачи на собственные значения. Этот анализ сводится к численному поиску собственных значений и аналитическому улучшению оценки границы спектра разностных операторов.

В последнее время уделяется внимание аппроксимации задач на неравномерных сетках, в частности, исследованию задач на квазиравномерных сетках (см. [10]). В работе [10] вводится строгое определение понятия квазиравномерной сетки, определяется ряд задач, для которых целесообразно использовать эти сетки, приведены примеры сеток, которые обладают различными свойствами, например, сгущением на одном из концов отрезка и т.д. При введении неравномерных сеток возникает ряд интересных вопросов: аппроксимация, погрешность аппроксимации, определение понятия границы устойчивости, выбор оптимальных шагов и т.д. В отличии от равномерной сетки, где введено понятие границы т устойчивости 7 = j-z, в случае неравномерной сетки, ввиду множественности /г сеточных параметров, такое определение границы устойчивости не годится.

В диссертации рассматривается двумерная задача теплопроводности в непрямоугольных ограниченных областях. К рассматриваемым областям относятся плоские области, ограниченные координатными осями и непрерывной монотонно убывающей функцией. В этих областях ставится задача теплопроводности с граничными условиями первого рода. Упор делается на написание разностных схем, которые сохраняют основные свойства дифференциальной задачи (самосопряженность, положительность и т.д.).

Аналогично одномерному случаю дифференциальная задача в двумерной области аппроксимируется разностной схемой на различных неравномерных сетках. Далее остается выяснить пригодность данной схемы для численного нахождения решения, а именно, исследовать аппроксимацию, устойчивость и другие свойства схемы. Из-за криволинейности границы области сетка, покрывающая область, в общем случае будет неравномерная. Рассматривается несколько видов неравномерных сеток (неравномерная вблизи границы, согласованная с областью). Для каждой из сеток рассматривается ряд вопросов, относящихся к численному исследованию искомой задачи. Как было сказано ранее, основной вопрос - это устойчивость разностной схемы. Ввиду множественности сеточных параметров (различные шаги вблизи границы или внутри области), под границей устойчивости понимаем максимальное значение шага по времени г, т.е. такое значение т = го, что при т ^ то схема устойчива, а при т > tq схема неустойчива. Ясно, что граница устойчивости зависит от величины каждого шага. Задача состоит в отыскании таких шагов, чтобы граница устойчивости (максимально допустимый шаг по времени) была максимальной. Как в одномерном случае, так и в двумерном задача сводится к анализу собственных значений разностной схемы. В силу множественности сеточных параметров и большого размера матрицы поиск собственных значений в аналитическом виде затруднен, поэтому данные значения вычисляются численно. В работе рассмотрена разностная аппроксимация исходной задачи в таких областях, как криволинейный треугольник, криволинейная трапеция и часть круга. Построена разностная аппроксимация на регулярных и нерегулярных сетках. Исследована самосопряженность разностного оператора. Получены оценки, теоретические и численные, границ спектра. Попутно при выяснении границы устойчивости велся анализ задачи на собственные значения. Для некоторых областей имелась возможность найти собственные значения с любой точностью. Так, например, задачу в четверти окружности можно свести к одномерной, а затем к уравнению Бесселя (собственные значения искомой задачи связаны с корнями уравнения Бесселя, которые хорошо изучены и находятся с большой точностью). Также для равнобедренного прямоугольного и равностороннего треугольников известны собственные значения. Все эти примеры позволяют сравнить численный результат с аналитическим.

Основное содержание диссертации

Изложим основное содержание и результаты, полученные в данной диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, которые состоят из разделов. В разделах приводятся описание и вывод результатов диссертации.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Ильютко, Виктор Петрович

Выводы, сделанные для треугольной области в разделе 3.1.4, справедливы для данного случая (с некоторыми изменениями в полученных результатах). А именно, при увеличении количества шагов значение Атах неограниченно возрастает, а значение Amin незначительно увеличивается и остается ограниченным.

Из таблиц 3.8, 3.9 и 3.10 видно, что минимальное собственное значение меньше минимального собственного значения для треугольника с катетами ^ = 1, l2 = 1 и больше минимального собственного значения для прямоугольника со сторонами l\ = 1, l2 = 1.

3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи

В этом параграфе исследуется устойчивость разностной схемы, которая аппроксимирует уравнение теплопроводности в непрямоугольной области. Дифференциальное уравнение аппроксимируется на неравномерных сетках, введенных в параграфе 3.1. Вводится понятие границы устойчивости. Численно строится граница устойчивости явной разностной схемы. Для разностной схемы с весовыми множителями выявляются наборы весов, на которых аналитически находится оценка снизу границы устойчивости.

Первый раздел посвящен определению разностной аппроксимации задачи и определению понятия границы устойчивости в данном случае, так как определение, данное в работе [8], не подходит ввиду множественности сеточных параметров. Следующие разделы относятся к численному построению границ устойчивости. Рассматриваются примеры различных непрямоугольных областей. В отдельный раздел вынесен вопрос об увеличении запаса устойчивости за счет введения весовых множителей. Весовые множители вводятся в узлах, где наблюдается неравномерность сетки или где наименьшие шаги.

3.2.1 Разностная схема

Рассматривается задача о применении численных методов к отысканию решения u(xi,x2,t) уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях ЛМ + ам«ь«, ,t) £ at дх{ 0x2 с граничными условиями первого рода и(х 1, х2, t) = v(xh х2, t), (xh х2) е Г, t е [О, Т]; ^ u(xhx2,0) =щ(хъх2), {xhx2)eG, где G = {х = {х\,х2) : 0 < xi < 0 < х2 < F(x 1)} - непрямоугольная область, ограниченная осями Ох 1, Ох2 и кривой х2 = F(x 1), Г - граница области G. Предполагаем, что F(x 1) - непрерывная, убывающая функция. Прямолинейные стороны области имеют длины 1\ = где

F~^(x2) - функция, обратная к F(x 1), и l2 = F(0) соответственно.

Более подробно данные области и сетки, покрывающие эти области, рассматривались в параграфе 3.1. Также в параграфе 3.1 исследовалось поведение границ спектра разностного оператора Лапласа, что необходимо для изучения границ устойчивости схемы.

Будем рассматривать двуслойную разностную схему с переменными весовыми множителями aij 6 [0, 1] уП + 1 vn

УЛ-ZlL = (l- ац)(уп- - .)+<т«(г£Н .+уЧ+\ .); r V ,1] УХ2Х2 ,IJ' tJKyXiXi,lJ yX2X2,lJJ' fij = Vij = UW> i = 0,l,.,iVi, j = 0,l,.,N2(i), n = 0,1,2,.,

3.13) которая аппроксимирует задачу (3.11) - (3.12) на неравномерной сетке

3Десь упц - v(xf-\xf\tn) при (xf\xf) € tn = пт и (1) (2)\ t (1) (2)\ . «о,у = ,Х)') при (х\ \х)') G щ.

Дальнейшая задача заключается в исследовании схемы (3.13) на устойчивость в зависимости от значений и распределения весовых множителей а^, от области G и покрывающей ее сетки щ, т.е. от величин шагов. Хорошо известно, что если все весовые множители не меньше 0.5, то разностная схема (3.13) является абсолютно устойчивой, т.е. устойчива при любых значениях параметра т.

Разностная схема (3.13) приводится к каноническому виду п+1 п

В--— + Ауп = 0, п = 0,1,2,. (3.14) г где В = Е + та А и А - оператор, определенный в разделе 3.1.2. Оператор а определяется как (ay)ij = а^уц.

В данном случае имеем неравномерность сетки вблизи непрямолинейной части границы области G или по одному из направлений, что приводит к возникновению множественности сеточных параметров. Из-за множественности сеточных параметров определение границы устойчивости, данное в работе [8], не подходит.

Для дальнейшего исследования достаточно рассмотреть нулевые граничные условия.

Введем следующее понятие границы устойчивости. Границей устойчивости разностной схемы (3.13) будем называть такое значение параметра г = tq , что при 0 < т ^ tq схема устойчива, а при т > tq схема неустойчива.

Принимая во внимание свойства оператора А, записанного на сетке и>1 или (b\, можно сказать, что к схеме (3.14) применима теорема 2.1 (см. страницу 65), которая гласит, что если схема (3.14), где А* = А, а* = сг, В = Е + та А, устойчива в какой-либо норме, то выполнено операторное неравенство

А'1 + т/О 0, (3.15) где ц = (Т—0.5Е, и, обратно, если выполнено (3.15), то схема (3.14) устойчива в На 2.

В результате применения теоремы 2.1 к исследуемой схеме возникает задача на собственные значения АцАу = —ХАу, решение которой в явном виде не определяется при произвольном операторе А. В дальнейшем будет показано, что в некоторых случаях решение этой задачи может быть найдено в явном виде и определено значение для границы спектра.

3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы

Численное исследование устойчивости явной разностной схемы (3.13), где все равны 0, т.е. схемы следующего вида уп+1 уп т yXiXhl]^ yX2X2,lj' у§ = О, $ = tio,y; (3.16) г = 0,1,.,ЛГь j = 0,l,.,N2{i)-, п = 0,1,2,., основывается на результатах раздела 3.1.2 (оценки для спектра разностного оператора Лапласа) и раздела 2.1.1 (связь устойчивости со спектром).

Далее, используя положительную определенность и ограниченность оператора А (раздел 3.1.2), заключаем, что выполняются условия теоремы 2.1 (см. раздел 2.1.1).

Используя следствие данной теоремы, получаем, что граница 2 устойчивости то равна --j—г, где Атах(^) - максимальное собственное значение разностного оператора А, равного — (Ух1%1 ц + Ух2х2, ij)-Рассмотрим области следующего вида (рис. 3.4):

1. Четверть круга радиуса R = l\ = F(0) (рис. 3.4 а)). криволинейный треугольник и трапеция.

2. Прямоугольный треугольник с катетами l\ = F 1 и l2 = F(0) (рис. 3.4 6)).

3. Прямоугольная трапеция с основаниями l2 = F(0), I и высотой F-1(0) (рис. 3.4 Ь)).

4. Криволинейный треугольник (рис. 3.4 с)) с катетами 12 и гипотенузой, которая описывается функцией х2 = F(xi) (функция F(xi) является монотонной).

5. Криволинейная трапеция с основаниями I и высотой 12. Одна из боковых сторон является криволинейной и описывается функцией х2 = F(x{), а другая сторона - прямолинейная (рис. 3.4 с)).

Четверть круга и криволинейный треугольник

Начнем с рассмотрения криволинейного треугольника. Рассматривается случай, когда область является четвертью круга (функция F(xi) = — х\), и случай произвольной монотонной функции F(x\). В таблице З.б приведены численные результаты расчетов максимального собственного значения оператора А = —Л, где Л - разностный оператор, который аппроксимирует дифференциальный оператор Лапласа в четверти единичного круга. Расчеты проводились на трех различных сетках (полярная, первого рода и второго рода). Расчеты собственных значений разностного оператора А в криволинейном треугольнике приведены в таблице 3.7.

На основе таблиц 3.6 и 3.7 построена таблица 3.11, содержащая значения границ устойчивости для различных областей. Таблица 3.11 состоит из двух подтаблиц. В верхней - значения границы устойчивости при аппроксимации задачи на равномерной внутри области сетке, а в еах еа С?1 - четверть круга, Gi - область с F(x, а) = —-—

Ni n2 Gi G2, a2 = 0.5 G3, «3 = 1 G4, «4 = 2

10 10 1.2264 1.7558 0.8393 0.6214

20 20 0.2643 0.0278 0.2921 0.1929

30 30 0.0528 0.0901 0.0518 J 0.0318

10 10 0.4163 2.7493 2.5008 1.544

20 20 0.0256 0.5967 0.4868 0.2361

30 30 0.005 0.2502 0.1953 0.0867

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильютко, Виктор Петрович, 2007 год

1. Алыиина А. В., Калиткин Н. Н., Панченко C.J1. Численное решение краевых задач в неограниченных областях j j Математическое моделирование, 2002. Т. 14. mi. С. 10-22.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

3. Гулин А. В. Симметризуемые разностные схемы. Учебное пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, 2004 г. - 120 с.

4. Гулин А. В., Гулин В. А. Границы устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями // Известия вузов. Математика, 1994. №9(388). С. 29-39.

5. Гулин А. В., Дегтярев С. Л. Критерий устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №7. С. 1-8.

6. Гулин А. В., Самарский А. А. Об устойчивости одного класса разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. №7. С. 1163-1174.

7. Гулин А. В., Юхно Л. Ф. Границы устойчивости двумерных разностных схем // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. №1. С. 44-50.

8. Гулин А. В., Шередина А. В. Границы устойчивости разностных схем // Известия вузов. Математика. 2000. №11. С. 26-33

9. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1968. 512 с.

10. Калиткин Н.Н., Альшин А. В., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 224 с.

11. Калиткин Н.Н., Кузнецов Н. О., Панченко C.JI. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // ДАН. 2000. Т. 374. №5. С. 598-601.

12. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Изд-во "Наука", 1968. - 504 с.

13. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

14. Самарский А. А. Теория разностных схем. 3-е изд. - М.: Наука, 1989.

15. Самарский А. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем // ДАН СССР. 1968. Т. 181. №4. С. 808 -811.

16. Самарский А. А. Классы устойчивых схем // ЖВиМФ. 1967. Т.7. №5. С. 1096-1133.

17. Самарский А. А. О регуляризации разностных схем // ЖВиМФ. 1967. Т.7. т. С. 62-93.

18. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

19. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.

20. Самарский А. А., Гулин А. В. Критерии устойчивости семейства разностных схем // ДАН. 1993. Т. 330. №6. С. 694-695.

21. Самарский А. А., Гулин А. В., Вабищевич П. Н. Устойчивость операторно-разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, т. С. 152-187.

22. Самарский А. А., Гулин А. В., Вукославчевич В. Критерии устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. №7. С. 975-979.

23. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск.: ЗАО "ЦОТЖ", 1998. 442 с.

24. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках // ЖВМиМФ. 1962. Т. 2. С. 812-832.

25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах // ЖВиМФ. 1961. Т.1. т. С. 5-62.

26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Изд. 6-е, испр. и доп. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.

27. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

28. Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 100. №6. С. 1045-1048.

29. Список работ автора по теме диссертации

30. Ильютко В. П. Критерий устойчивости разностных схем в случае неравномерных сеток // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "ЛОМОНОСОВ 2005", 2005.1. С. 20 21.

31. Ильютко В. П. Границы устойчивости разностных схем на неравномерных сетках // Математическое моделирование, 2005. Т. 17. №11. С. 85-92.

32. Ильютко В. П. Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Прикладная математика и информатика, 2006. №23. С. 94-113.

33. Ильютко В. П. Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Международная конференция "Тихонов и современная математика". Тезисы докладов секции Вычислительная Математика и Информатика, 2006. С. 66.