Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Рукавишников, Виктор Анатольевич

• Рукавишников, Виктор Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рукавишников, Виктор Анатольевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ВЫРОЩЩНИЕМ

1.1. Весовые пространства С.Л.Соболева

1.2. Теоремы вложения. Вспомогательные утверждения

1.3. Постановки задач. Определение Н^-обобщенного решения

1.4. Первая краевая задача для несамосопряженного эллиптического уравнения с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области____

1.4.1. Существование и единственность Н^-обоб-щенного решения

1.4.2. Неравенство коэрцитивности

1.4.3. Дифференциальные свойства ^-обобщенного

к1

решения в пространствах

1.5. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области

1.5.1. Существование и единственность ^-обобщенного решения в пространстве ffj Ш*)•■-

1.5.2. Априорные оценки R^-обобщенного решения____

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

2.1. Первая краевая задача

2.1.1. Сетка, сеточные функции и их нормы

2.1.2. Разностная схема. Погрешность аппроксимации

2.1.3. Основные леммы

2.1.4. Разностный аналог неравенства коэрцитив-

ности. Теоремы сходимости

2.2. Задача с изменением типа граничных условий

2.2.1. Постановка разностной задачи

2.2.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость________126

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

3.1. Задача Дирихле и ее свойства

3.2. Построение схемы метода конечных элементов

3.2.1. Триангуляция двумерной выпуклой области

3.2.2. Выбор базисных функций

3.2.3. Существование решения схемы метода

конечных элементов

3.3. Оценка скорости сходимости в пространстве

¿и+Р/2(0)

3.3.1. Сходимость интерполянта решения

3.3.2. Теорема о сходимости метода конечных элементов

3.4. Сходимость и скорость сходимости приближенного решения в метрике Ъ0 (О)

3.4.1. Вспомогательная задача

3.4.2. Теорема о скорости сходимости в пространстве Ь£

ГЛАВА 4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ

ДАННЫХ

4.1. Вспомогательные утверждения

4.2. Постановка задачи

4.3. Схема метода конечных элементов

4.4. Оценка скорости сходимости метода конечных элементов в пространстве Н^ (Œ)•■■----

4.5. Оценка скорости сходимости МКЭ в пространстве Lg

ГЛАВА 5. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С

НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОВДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

51. Задача Дирихле

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Схема с самосопряженным разностным оператором

5.1.3. Схема с несамосопряженным разностным оператором

5.2. Краевая задача с изменением типа граничных

условий

5.2.1. Дифференциальная задача

5.2.2. Разностная схема

5.2.3. Погрешность аппроксимации

5.2.4. Слабая устойчивость. Теорема сходимости

ЗАДАЧ С ВЫРОЩЩНИЕМ

6.1. Постановки дифференциальных задач

6.2. Выбор разностных схем

6.3. Метод решения сеточных уравнений

6.4. Численный эксперимент и анализ результатов

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена разработке и обоснованию методов численного анализа краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с сингулярностью решения в точках границы двумерной области, исследованию вопросов существования и единственности R^-обобщенного решения задачи Дирихле с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, изучению коэрцитивных и дифференциальных его свойств в весовых пространствах С.Л.Соболева.

В последние три десятилетия интенсивно развивается теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными и теория краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения.

Обычно вырождающимся уравнением называют такое уравнение, которое меняет свой тип или порядок на некотором подмножестве замыкания области (см., например, [113, с.125 и [173, с. 810).

Особенность решения краевой задачи для дифференциального уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий). К изучению краевых задач с сингулярностью решения приводят математические модели электромагнетизма, электродинамики, гидродинамики и т.д. (см., например, Е843).

Вопросами разрешимости общих краевых задач для эллиптических уравнений в областях с нерегулярной границей,'

исследованием асимптотических свойств их решений в окрестностях конических точек занимались Г.Фикера, В.А.Кондратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский, П.Грисвард и другие (см. И223-Е1253, Е193-Е213, С361-С433, С483, [129 3-[133 3).

В работах С.М.Никольского Е523,Е543, [1413, П.И.Лизоркина и С.М.Никольского [263-Е313, С513 был развит подход, предложенный Труази Е1503, к исследованию граничной задачи первого рода для дифференциального уравнения эллиптического типа порядка 2г с вырождением на границе области О -ограниченная область п-мерного пространства с достаточно гладкой (п-1}-мерной границей Ш), доказано существование и единственность обобщенного решения в весовых пространствах С.Л.Соболева, изучены его дифференциальные свойства.

Основные аналитические свойства, такие как существование, регулярность, единственность решения и численные методы его нахождения для граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их систем с сингулярностью коэффициентов в граничных точках изучались в [1373, [1453, [1363 , [1123, [1163, [1523, [1383.

Важным моментом для численного анализа краевых задач с особенностью решения является определение понятия решения и пространств, в которых оно существует, единственно и обладает необходимыми дифференциальными свойствами( так как известно, что скорость сходимости приближенного решения к точному решению дифференциальной задачи существенно зависит от его регулярности).

Наиболее распространенными численными методами решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка

является метод конечных разностей и метод конечных элементов (МКЭ).

В 60-70 годы многими авторами (см.»например, [813, [803, [443, [123} исследование погрешности аппроксимации разностных схем основывалось на формуле Тейлора, при этом для получения "хороших" оценок скорости сходимости необходимым условием являлась принадлежность классического решения исходной задачи пространству Ск а(П) (кгЗ, 0<а<1). В случае, когда область содержит угловые точки, регулярность решения в окрестностях этих точек нарушается, даже если исходные данные задачи (коэффициенты и правые части) достаточно гладкие. Однако, для задач Дирихле, Неймана, со смешанными граничными условиями для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, с постоянными коэффициентами в прямоугольнике и в многоугольнике с прямолинейными сторонами в работах [493, [503, [63-[83, [893, [903, [453, [583, [593 были найдены дополнительные условия, при выполнении которых потери регулярности решения не происходит. Суть этих требований заключается в том, что в угловых точках выполняются условия согласования для некоторых производных от коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий, а для определенных задач еще и дополнительно условий интегрального типа.

Очевидно, что наложение дополнительных условий на исходные данные существенно сужает класс задач, для которых приближенное решение сходится с "хорошей" скоростью. Известно, если граница области содержит углы а^ (1=1,2,...,N), то обобщенное решение краевой задачи принадлежит классу

W^+k~e(Q), k = min {кЛ, где

1=1,...1

' для задач Дирихле и Неймана, а±

к± = -

для смешанной краевой задачи,

а в - любое положительное число. Другими словами, решение краевой задачи в многоугольнике не принадлежит даже

пространству №?(£}), его полунормы \ \ ^ , к; > 2, не ^ Ирт)

ограничены. Фиксом в [1263 был предложен подход, основанный на выделении сингулярной части решения в окрестности угловых точек и позволяющий строить схемы метода конечных элементов с первым порядком сходимости в пространстве У^Ф). Этот метод для решения двумерных краевых задач был развит в работах [1273, [943, [1103, [1073. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях с учетом асимптотики решения в окрестностях особых точек строились и исследовались в [883.

Другой подход, использующий специальное построение сеток около сингулярной точки (в частности, сеток со сгущением к точке особенности), также позволяет избежать потери точности разностной схемы или схемы метода конечных элементов в ее окрестности (см., например, [83-И03, [1133, [1533, [923, [953, [1493, П463).

В [128}, [1113, [1393 для решения задач с угловыми точками использовалась комбинация аналитического представления решения в окрестностях точек особенностей и метода конечных элементов вне этих окрестностей.

Во всех вышеперечисленных случаях общим являлось то, что устанавливалась зависимость точности решения от величины шага сетки и от показателя степени, с которым он входит в оценку скорости сходимости. В методе конечных элементов нахождение

такой зависимости при фиксированной степени р полиномов относится к Ь-версии МКЭ. В начале 80-ых годов в работах И.Бабушки и других математиков [96], [983-И023 получила развитие р-версия МКЭ. В р-версии сетка фиксирована и скорость сходимости зависит от роста степени полиномов. Ь-р-версия метода конечных элементов является комбинацией 11 и р-версий. Однако, в отличии от них, &-р-версия имеет экспоненциальную скорость сходимости. Исследование Зп-р-версии для решения краевых задач в областях с кусочно гладкой границей и с изменением типа граничных условий, основанное на детальном изучении свойств обобщенного (слабого) решения в весовых пространствах Фреше В^Ш), проводилось в серии работ [973, [1343, [1353, И033-И063.

Анализу схем метода конечных элементов для краевых задач в трехмерных областях с границей, содержащей трехгранные узлы и ребра, при различных ограничениях посвящены работы [1083, [1093, [1243, [1173, [1183, [1483.

В [119 3-[1213, [154 3 исследовался метод конечных элементов для нелинейных краевых задач с изменением типа граничных условий.

Изучению численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с вырождением исходных данных посвящено сравнительно небольшое число работ. В [933 в области с кусочно гладкой границей рассмотрена задача Ддрихле для уравнения Пуассона с правой частью из пространства Ш21+а(Ш (- ^г-<а< ^ )• Известно [1403, что в этом случае слабое решение задачи принадлежит пространству Слободецкого ИУ^ (£}). В работе получены оценки скорости сходимости метода конечных элементов в пространствах (О<0< ) и установлена

зависимость параметра 0 и скорости сходимости (от 0(111/2~е) до

0(ü1"e), s>0 - любое) от величины а. В [147] для этой же задачи, в случае когда правой частью уравнения является 6-функция Дирака и граница области гладкая, установлена сходимость метода конечных элементов в пространстве LC(Q) со скоростью Q(h).

В работах [783, [793 для граничной задачи первого рода для самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением коэффициентов на границе области построен метод конечных элементов. За счет предложенного алгоритма сгущения сетки с учетом порядка вырождения удалось доказать сходимость в весовом пространстве С.Л. Соболева W^ a(ß) со скоростью О (Ii) и в классе L2(Q) - 0(h2).

В [323 получены согласованные оценки погрешности в нормах весовых пространств С.Л.Соболева схем метода конечных элементов с лагранжевыми конечными элементами степени п(п>1) для линейного эллиптического уравнения, вырождающегося на части границы.

Вопросы построения численных методов решения дифференциальных задач с особенностями на кусках границы области изучались в работах [133, [253, [13, [183.

Общим для вышеперечисленных работ является то, что в них рассматриваются задачи со слабой сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных; то есть такие задачи для которых можно определить обобщенное (слабое) решение. Однако в некоторых разделах физики, таких как: физика плазмы и газового разряда, ядерная физика и нелинейная оптика-возникают задачи с сильной сингулярностью решения, обусловленной сингулярностью исходных данных.

В теории рассеяния большой класс задач о вылете частиц из притягивающего центра или падении их на центр описывается

уравнением Шредингера, решение которого - волновая функция, стремится к бесконечности в начале координат. Такое поведение решения обусловлено наличием сингулярности у потенциала -исходных данных задачи. К этому классу относятся задачи о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г~1//2) ( ЕЗЗЗ, гл. 5, Е343, гл.10 ).

В нелинейной оптике в трехмерной задаче о самофокусировке лазерного луча из-за свойств среды световой пучок собирается в точку, в которой плотность энергии обращается в бесконечность. Точное решение данной задачи не найдено, и асимптотика поведения решения неизвестна ( [35],гл. 13).

В этих и аналогичных задачах нахождение точного решения возможно в небольшом числе частных случаев. Предлагаемый здесь подход позволяет анализировать их численно в более общей постановке.

Для краевых задач с сингулярностью, в которых обобщенное (слабое) решение определить нельзя, или оно не обладает необходимой регулярностью, нами в [593 предложено определить решение как Н^-обобщенное. Такое новое понятие решения привело к выделению двух классов задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, а также позволило изучить его существование и единственность, коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах О.Л.Соболева н| а- Для этих классов задач построены и исследованы разностные схемы и схемы метода конечных элементов, получены оценки скорости сходимости в различных весовых пространствах.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и шести глав.

В главе I введено определение Н^-обобщенного решения для задачи Дирихле для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. В случае согласованного вырождения исходных данных доказано существование и единственность ^-обобщенного решения первой краевой задачи в прямоугольной области, исследованы его коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах Н^ • № задачи Дирихле с

несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области 0 доказано существование и единственность Ду-обобщенного решения в весовом пространстве Н^ )

(где О с О), установлены априорные оценки.

В пункте 1.1 даны определения весовой функции р(х), весовых пространств С.Л.Соболева а(0) и а(0)(к - целое,

а - вещественное), пространств Ь (0,0), У?^ „(0,0),

00 у 1Л» 00 у чД>

Й „(0,0), весовых дробных классов

00 у (А с | Ц (Л

возникающих естественным образом как классы следов на границе дЧ^ функций из соответствующих целых классов. Кроме того, перечислены необходимые в дальнейшем неравенства, включая неравенство Харди и Кларксона.

В пункте 1.2 приводятся вспомогательные результаты, которые представляют самостоятельный интерес. Перечислим некоторые из них.

Прежде всего, устанавливается эквивалентность нормы

функции и(х) из пространства н£ „(О) и суммы полунорм функций

с. ,<Л

рОМк-з)(Х).и(Х) из пространств И? (О) (з=0,...,к), сначала

с~ , О

для к=1, а затем для любого к.

Далее, получены оценки нормы функции в весовом

пространств© Ь2 а на объединении окрестностей точек

1

или

особенностей через норму функции в пространстве Н;> Л

_ по всей области. Установлена зависимость этих оценок от ^ »ОЦ

соотношения а и оц и, что самое главное, от наибольшего из радиусов окрестностей точек вырождения.

В лемме 1.5 для функции и(х) из пространства н2> _

С- у Ц

доказана оценка нормы этой функции в пространстве Ь2 а по приграничной полосе. Установлена зависимость величины этой нормы от ширины полосы.

При условии принадлежности коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий заданным пространствам и выполнении условий ультраэллиптичности и на коэффициент при функции и(х) в пункте 1.3 дано определение задачи Дирихле с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных (определение 1.1 и 1.2). Для каждой из задач определено Цу-обобщенное решение, которым является функция ,

удовлетворяющая интегральному тождеству (1.63) и принадлежащая в случае согласованного вырождения исходных данных пространству Н2 р_1_р/2 Ф)» а в случае несогласованного вырождения

В подпункте 1.4.1 для несамосопряженного эллиптического уравнения с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области и с однородными граничными условиями первого рода доказано существование и единственность й^-обобщенного решения, получена оценка его нормы в пространстве Н2 через правую часть уравнения в норме

„(О). Найдена шкала изменения параметра V, в которой для

каждого г> существует единственное Н^-обобщенное решение в пространстве Н1 - (11), при этом показана принадлежность

этого решения классам Н^ шр/2 Ф) при любом V из установленной шкалы.

В следующих подпунктах доказана принадлежность ^-обобщенного решения пространству н| р+р/2и неравенство

коэрцитивности, а при дополнительных условиях на регулярность

исходных данных и на параметры г>, 0 и ц установлена

принадлежность Н^-обобщенного решения весовым пространствам

к, +2

С.Л.Соболева высших порядков Н2 р+р/2(®) и получены оценки шаудеровского типа в этих пространствах. Доказательство этой

теоремы опирается на следствие 1.1.2, из которого можно установить принадлежность КгГобобщенного решения и^Сх) пространствам Н2 р+0/2-(к +2-к) ^ для Ц +2, на введение для каждого к вспомогательной задачи, обобщенным решением ко-

Ш-0/2-(к, +2-к)

торой является функция ц^Сх), равная р (х)иу(х),

на результаты работы [193, на основе которых можно показать принадлежность и^х) пространству 0Ш), и на аналог теоремы вложения весовых пространств, сформулированный в лемме 1.2.

В пункте 1.5 исследована задача Дирихле для уравнения с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области О; установлено существование и единственность Ну-обобщенного решения в весовом пространстве УЙ Ш*),

где О* - подобласть области О, на которой выполняется условие на коэффициенты (1.129); доказано существование Н^-обобщенного решения в (Ш и получены оценки решения через норму

правой части уравнения в пространстве Ъ0 ...

В главе II построены две разностные схемы для краевых

задач с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Первая из них введена для задачи Дирихле, вторая - для задачи с изменением типа граничных условий. Показана сходимость разностных решений этих схем к ^-обобщенным решениям исходных задач со вторым порядком по шагу сетки в норме разностного аналога весового пространства й2 v+$/2.' Кроме того» для решения первой разностной схемы

установлена оценка скорости о (ii2) в сильной норме сеточного пространства н| г+р/2 •

В подпункте 2.1.1 приведена постановка первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка, наложены необходимые условия на коэффициенты и правую часть уравнения, при которых Цр-обобщенное решение задачи из пространства Я* г,+. Построена сетка, введено пространство

сеточных функций и дискретный аналог весовой функции, определены разностные отношения, скалярные произведения и нормы для различных пространств.

В следующем подпункте для поставленной задачи предложена разностная схема и исследована погрешность ее аппроксимации на В^-обобщенном решении. Вывод оценки погрешности аппроксимации

опирается на оценке ее составляющих на й^-обобщенном решении, имеющем определенную гладкость, выраженную в терминах его принадлежности весовому пространству Н2 Ф)» и на «лемму

Брэмбла-Гильберта. В отличии от известного подхода [1513, [243, [833 доказательства согласованных оценок для разностных схем, построенных с помощью усредняющих операторов, здесь для оценки правой части- разностной схемы использовано определение Я -обобщенного решения, построение срезающей функции и теоремы

о связи обобщенных производных с конечно-разностными отношениями.

В подпункте 2.1.3 приведен ряд лемм, в которых получены оценки снизу для разностного оператора А^и. Основными следует считать неравенства, установленные в леммах 2.4 и 2.7

«V»! („ , 2 е1»и||н1 ш >

(Vй- ^Ч 2 е2»и»н2 (П » " 83*1Мб

с положительными постоянными б*, б* и б*, не зависящими от вектора й., которым определяется сетка. Чтобы показать справедливость первого из этих неравенств, помимо регулярности и ультраэллиптичности, от коэффициентов уравнения необходимо потребовать выполнение некоторого специального соотношения (см. (2.22)). Доказательство второго неравенства, являющегося основой для получения коэрцитивной оценки, существенно отличается от доказательства подобных неравенств для краевых задач без вырождения исходных данных (см. [1423, [23,И43-[163, [853, [573), так как в нашем случае необходимо оценить члены на кусках границы, полученные в результате двойного суммирования по частям (А^и, А^и^ , с учетом несамосопряженности

оператора а^и, влияния весовой функции Р^О^) и условия ультраэллиптичности.

В последней части пункта 2.1 доказывается разностный аналог неравенства коэрцитивности (теорема 2.2), в теоремах 2.3 и 2.4 установлена сходимость в пространствах Н^ у+^/з

й Н2 г>+0/2 решения разностной схемы к й^-обобщенному реше-

нию исходной задачи со скоростью 0(ii2).

В пункте 2.2 в прямоугольной области Q рассмотрена граничная задача для эллиптического уравнения второго порядка с заданными естественным краевым условием на одной из сторон и однородными главными условиями на остальных трех сторонах прямоугольника. Для этой задачи построена разностная схема, исследована погрешность аппроксимации, устойчивость и сходимость. Основное внимание уделено оценке модуля погрешности аппроксимации в узлах сетки, принадлежащих границе с естественными граничными условиями. Отличительная черта в доказательстве леммы 2.12 состоит в том, что правая часть граничного условия в разностной схеме задается с помощью усредняющего оператора и для ее оценки в интегральном тождестве R^-обобщенного решения строится пробная функция специального вида, зависящая от срезащей функции и ее следа на части границы; оценки осуществляются в нормах пространств различной размерности.

В лемме 2.13 устанавливается неравенство

«V1* prß/2*\ + /V1- 2 öl-üuii2

h h 2,V+ß/2 h'

ö* - положительная постоянная, не зависящая от u(xh) и Ii.

В теореме 2.5 на основании лемм 2.12 и 2.13 получена оценка скорости сходимости 0(fr2) в норме разностного пространства Hg v+ß/2•

Глава III посвящена построению метода конечных элементов для задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек, принадлежащих криволинейной границе

двумерной области О, и исследованию скорости сходимости приближенного решения предложенного метода к ¡^-обобщенному решению исходной задачи в весовых пространствах Н2 и

В пункте 3.1 дана постановка задачи, наложены необходимые условия на коэффициенты и функцию правой части уравнения, доказано при выполнении условия (3.9) существование единственного ^-обобщенного решения в пространстве Н2,г>+0/2^* получена его оценка через правую часть уравнения в норме Ь2 ^(0) (теорема 3.1).

В следующем пункте описано построение схемы метода конечных элементов для нахождения ¡^-обобщенного решения поставленной задачи. Для этого многоугольник ^ (О11 с о) квазиравномерно разбивается на треугольники, при этом точки вырождения являются подмножеством множества вершин треугольников. Далее, вводится базис, содержащий сингулярные функции, имеющие сингулярность, зависящую от пространства, в котором определено обобщенное решение задачи, и

определяется пространство V11, состоящее из множества линейных комбинаций базисных функций, равных нулю на ЙХО*1. Показана однозначная разрешимость схемы метода конечных элементов.

В пункте 3.3 исследован вопрос сходимости МКЭ. Согласно лемме 3.1, задача нахождения оценки разности точного и приближенного решения в норме Н2 ^>+0/2 ^ свеД0на к задаче

оценивания величины 1п1 Ии^-т11!! 1 . При предполо-

жу*1 Е2,У+р/2(0)

жении, что пространство У11 содержит интерполянт ц^ ^-(х),

построенный по проведенной триангуляции Т^ области О для

функции из пространства н| у+р/2 Ф)» сначала была установлена оценка скорости сходимости и^ ^-(х) по норме Н^ у+р^^) (теорема 3.2). Доказательство теоремы 3.2 проведено в четыре этапа. На первом этапе получена оценка в области состоящей

с.

из треугольников, ни одна из вершин которых не совпадает с точками особенностей. В силу того, что весовая функция р(х) в

ограничена как сверху, так и снизу, оценка в Н^ р+р/2)

проведена с использованием техники для невесовых соболевских пространств (см., например, Е873). На втором этапе доказательство оценки в области ^ (в ^ входят треугольники, одна из вершин которых совпадает с точкой особенности) опирается на определение весовой функции р(х), лемму Брэмбла-Гильберта и методику доказательства леммы 2.2. На третьем и четвертом этапах утверждение теоремы получено в объединении сегментов ОЧО*1 за счет проведенной триангуляции и вспомогательных утверждений из главы I об оценке норм функций с сингулярностью в окрестности точек вырождения, лемм о вложении весовых пространств С.Л.Соболева и оценки интегралов по приграничной полосе.

На основании теоремы 3.2, леммы 3.1 и неравенства коэрци-

тивности делается вывод, что в норме Н^ Р+р/2Ш) сходимость

имеет скорость 0(11). (Здесь параметр Ь. - максимальная длина стороны треугольника К триангуляции Т^).

В пункте 3.4, используя идею Обэна-Нитше для невесовых пространств, удалось показать, что при определенных значениях параметра 7 приближенное решение МКЭ сходится к Я^-обобщенному решению исходной задачи в норме пространства Ь0 1Н_ со

скоростью, равной 2 (теорема 3.4).

В главе IV рассмотрена третья краевая задача для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с сильной сингулярностью решения на конечном множестве точек, принадлежащих кусочно гладкой границе двумерной выпуклой области. Для этой задачи определено Н^-обобщенное решение, доказано его существование и единственность, построена и исследована схема метода конечных элементов.

В пункте 4.1 установлен ряд вспомогательных результатов: лемма об оценке следа функции на границе в норме весового пространства Ъ2 а_1/2(дШ через норму самой функции в пространстве Н^ а(£2), на основании которой показана эквивалентность норм в пространствах Н^ аШ) и а(0); и лемма о равенстве нулю значений функции ра(х)-и(х) в точках сингулярности для и(х) из пространства н| а(0), которая имеет существенное значение при построении пространства конечных элементов.

В следующем пункте дана формулировка третьей краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных, определено Е^-обобщенное решеще для поставленной задачи и доказаны его существование и единственность в пространствах 12 р+р/2^

и Н2,г>+0/2(О)-

В пункте 4.3 строится схема метода конечных элементов по аналогии с пунктом 3.2, при этом учитываются особенности граничных условий третьего рода.

В теореме 4.4 получена оценка аппроксимации функции из пространства Н2 Ф) элементами из пространства конечных элементов V11, на основе которой в теореме 4.5 установлена скорость сходимости приближенного решения к Н^-обобщенному

л

решению в норме пространства 1Ц с пеРБЫм порядком по

В последнем пункте этой главы вводится вспомогательная задача, с помощью которой удается показать, что при определенных условиях на параметры г>, ц ж р приближенное решение сходится к Н^-обобщенному решению исходной задачи в норме пространства Ь,* со скоростью ОСЬ2).

В главе V исследуются разностные схемы для задач Дирихле и с изменением типа граничных условий с несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области. Не ограничивая общности, предполагается, что в условиях на коэффициенты уравнения параметр 0 равен нулю.

В подпункте 5.1.1 приведена постановка задачи Дирихле для самосопряженного эллиптического уравнения с однородными граничными условиями, наложены условия на коэффициенты и функцию правой части уравнения. Сеточный аналог весовой функции р^(х^) задается как евклидово расстояние в узлах сетки, принадлежащих некоторым окрестностям точек особенностей, и как постоянная вне этих окрестностей (размер этих окрестностей определяется в зависимости от параметра 7). Для нахождения Н^-обобщенного решения предложены две разностные схемы А^ и В^ с самосопряженным и не самосопряженным разностными операторами.

В подпункте 5.1.2 исследована погрешность аппроксимации, установлена слабая устойчивость разностной задачи с самосопряженным оператором, получена оценка по шагу сетки

порядка 2-7- ^Х-для разности сеточного решения и(х1г)

разностной схемы А ^ и В^-обобщенного решения Уг,(х) дифференциальной задачи в норме пространства г}(й).

Погрешность аппроксимации представляется в виде суммы двух функций ^ и ^, где ^ определена во всех узлах и для нее имеет место оценка, аналогичная полученной в главе II для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных, Ф-Р ^ определена в узлах х^ из окрестностей точек особенностей, для каждого х^ установлена оценка ¡ф|2 ^(х^)|, зависящая от шага сетки и квадрата расстояния от этого узла до ближайшей точки особенности (лемма 5.2).

В лемме 5.3 получена оценка

—1}гу/4

Ъ2а\) у?2,г>%)

характеризующая слабую устойчивость разностной задачи А^ в пространстве г,(^1г).

На основании лемм 5.2 и 5.3 в теореме установлена оценка скорости сходимости.

В подпункте 5.1.3 для разностной схемы В^) с несамосопряженным оператором при выполнении требований (5.25) на поведение функции и(х1г) в окрестностях точек особенностей

установлена оценка скорости сходимости Оф2). Для численного анализа задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных использование разностной схемы В^, если найденное решение и(хь) удовлетворяет условию (5.25), значительно

рациональней, потому что порядок точности этой разностной схемы равен двум, что существенно выше, чем для разностной схемы А

В пункте 5.2 в прямоугольной области рассмотрена краевая задача с несогласованным вырождением исходных данных для самосопряженного эллиптического уравнения с изменением типа грани-

чшх условий, т.е. задача, в которой на одной половине стороны прямоугольника Г задается естественное граничное условие, а на второй половине и остальных трех сторонах прямоугольника Ш\Г - главное. Для нахождения И^-обобщенного решения этой задачи построена разностная схема с самосопряженным оператором, опираясь на результаты, полученные в главе II и п. 5.1, исследована погрешность аппроксимации как внутри области, так и на границе (леммы 5.5-5.8). В лемме 5.9 показана справедливость оценки

6 V го ) 6

В теореме 5.3 для разности решения разностной схемы и Н^-обобщенного решения исходной задачи получена оценка скорости сходимости

В VI главе проведен численный анализ двух модельных краевых задач для самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка в прямоугольной области. Для нахождения обобщенного и Ду-обобщенного решений задач Дирихле и с изменением типа граничных условий на стороне прямоугольника на равномерной сетке строилась разностная схема с самосопряженным разностным оператором. Для решения сеточных уравнений был использован явный чебышевский метод с оптимальным набором итерационных параметров (см., например, [823). Для найденных приближенных решений как обобщенного, так и Я^-обобщенного, определялась относительная погрешность 5(хк)=|[уЗ^-и^}/(тахСу]^! в каждом из

узлов сетки количество и координаты узлов с погрешностью больше заданных предельных. Выяснялась зависимость точности нахождения Я^-обобщенного решения от величины V и 7 (7 - параметр, определяющий размер окрестности точки особенности, в узлах которой сеточная весовая функция задается как расстояние до точки вырождения, а вне ее как постоянная).

Результаты серии расчетов показали, что величина погрешности всегда убывает по мере удаления узла от точки особенности и при выборе параметров V и 7 близкими к наилучшим количество узлов с погрешностями больше заданных предельных для й^-обобщенного решения в десятки, а иногда в сотни раз меньше, чем для обобщенного решения. В задачах с сильной сингулярностью обобщенное решение не удавалось найти из-за "аварийной остановки" машины, в то время как Б^-обобщенное решение находилось с точностью до шести и более знаков после запятой.

В пункте 6.4 приведены результаты расчетов восьми модельных задач, анализ которых сведен в таблицы и в некоторых случаях проиллюстрирован.

В диссертации содержится изложение следующих результатов:

1. Для краевых задач с вырождением исходных данных и сингулярностью решения определено понятие й^-обобщенного решения, выделено два класса задач с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных.

2. Исследованы вопросы существования и единственцорти йу-обобщенного решения, его коэрцитивные и дифференциальные свойства для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области. Доказано существова-

ние единственного ^-обобщенного решения первой краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных в выпуклой области О в пространстве УЙ у+р/2 (О*) (£3*с8).

3. Развит подход построения и исследования разностных схем и схем метода конечных элементов для эллиптических задач с вырождением на основе введенного понятия Н^-обобщенного решения и весовых пространств С.Л.Соболева.

4. Построены разностные схемы с самосопряженным и несамосопряженным разностными операторами для задач Дирихле и с изменением типа граничных условий с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Установлены оценки скорости сходимости сеточных решений к ^-обобщенному решению в нормах разностных аналогов весовых пространств Н|^) (Ы,2) й!^/2

5. Для нахождения ^-обобщенного решения задач с граничными условиями первого и третьего рода для

эллиптического уравнения второго порядка с согласованным

вырождением исходных данных в точках границы двумерной

выпуклой области й построен метод конечных элементов на основе

базиса, содержащего сингулярные функции. Установлено, что

в норме Н2 г,+р/2 (Ш сходимость приближенного решения МКЭ имеет

порядок 0(11), а в метрике пространства Ь0 - О(Ь.2).

»г

6. Проведен численный анализ построенных разностных схем для задач Дирихле и с изменением типа граничных условий с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Сделано сравнение точности нахождения обобщенного и ^-обобщенного решений поставленных задач. Установлена зависимость нахождения Е^-обобщенного решения от способа задания и показателя степени сеточной весовой функции.

По теме диссертации опубликовано 43 работы, основные из которых перечислены в разделе "Литература" (С3]-[53, [571-[771, [144]) Результаты диссертации по мере их получения докладывались более чем на двадцати конференциях, школах и семинарах как внутри страны, так и за рубежом.

В диссертации в пределах каждой главы принята двойная нумерация утверждений и формул, первая цифра - номер главы, вторая - порядковый номер утверждения. Нумерация констант ведется в рамках каждой главы своя.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рукавишников, Виктор Анатольевич, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аль Асади Ш.А. , Демьянович Ю.К. О неоднородных вариационно-разностных аппроксимациях в эллиптической задаче с сильным вырождением / Ленингр. ун-т.- Л., 1981.30 е.- Деп. в ВИНИТИ 31.03.81., N4144.

2. Андреев В.Б. О равномерной сходимости некоторых разностных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1966.- Т.6, N2.-С. 238-250.

3. Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А. Об оценках функций в весовых пространствах // Методы численного анализа.-

Владивосток: Дальнаука, 1993.- С.149-161.

4. Беспалов А.Ю., Рукавишников В. А. Исследование одного класса функций с вырождением в приграничной полосе // Методы численного анализа.- Вып.2.- Владивосток: Дальнаука, 1995.- С.77-89.

5. Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А. Об Ь-р версии метода конечных элементов для одномерной краевой задачи с сингулярностью решения. - Хабаровск : Дальнаука, 1996.-34с.- (Препринт N8 ВЦ ДВО РАН).

6. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН СССР.- 1962.- Т. 147, N1.-С.13-16.

7. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике

// Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова,- 1965.- Т.77.-С.89-112.

8. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1965.- Т.77.- С.113-142.

9. Волков Е.А. Метод сеток для конечных и бесконечных многоугольников и оценки погрешностей через известные величины // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1968.-Т.96.- С.149-187.

10. Волков Е.А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1976.- Т.140.- С.68-103.

11. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техники.- М.: ВИНИТИ, 1985.- С.125-218.- (Математический анализ; Т.23).

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.- 440 с.

13. Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1965.- Т.5, N2.-С.351-357.

14. Дьяконов Е.Г. О сходимости одного итерационного процесса // Успехи матем. наук.- 1966.- Т.21, вып.I(127).-С.179-182.

15. Дьяконов Е.Г. О приближенных методах решения операторных уравнений // Докл. АН СССР.- 1971.- Т.198, N3.-С.516-519.

16. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач (тексты лекций).- М: МГУ, 1971.- Вып.1.- 242 с.

17. Ильин A.M. Вырожденное уравнение с частными производными //Математическая энциклопедия.- М.:Советская энциклопедия, 1977.- T.I.- С.809-811.

18. Катрахов В.В., Катрахова A.A. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.- 1984.- Т.279, N4.- С.799-802

19. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений

в областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. Матем. об-ва.- 1967.- Т.16.- С.209-292.

20. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6, N10.-C.I83I-I843.

21. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук.- 1983.- Т.38, вып.2(230).- 0.3-77.

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973.- 408 с.

23. Ладыженская O.A., Уральцева Н.И. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- 2-е изд., перераб.- М: Наука, 1973.- 576 с.

24. Лазаров Р.Д. К вопросу о сходимости разностных схем для обобщенных решений уравнения Пуассона // Дифференц.

уравнения.- 1931.- Т.17, N7.- 0.I285-I294.

25. Лапин A.B., Смирнов Ю.Б. Исследование разностных схем для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения.- 1976.- Т.12, N5.- С.892-901.

26. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Докл. АН СССР.- 1981.-Т.257, N1.- С.42-45.

27..Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР.- 1981.- Т.257, N2.- С.278-282.

28. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением //Докл. АН СССР.-1981.- Т.259, N1.- С.28-30.

29. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства

эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1981.- Т.157.-С.90-118.

30. Лизоркин' П.И., Никольский С.М. К теории эллиптических уравнений порядка 2т, вырождающихся на границе области //

Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики: Сб. докл. УП Сов.-Чехосл. семинара.- Ереван: Изд-во Ерев. ун-та, 1982.-С.198-208.

31. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1983.- Т.161.-С.157-183.

32. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценка точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дйфференц.. уравнения.- 1993.- Т.29, N7.- С.1210-1215.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М:Наука, 1974.-752 с.

34. Лифпиц Е.М., Берестецкий Е.Б., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. - М:Наука,1968.-480 с.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М:Наука,1982.- 624 с.

36. Мазья В.Г. О слабых решениях задачи Дирихле и Неймана // Труды Моск. Матем. об-ва.- 1969.- Т.20.- С.137-172.

37. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. О задаче с косой производной в области с кусочно-гладкой границей // Функц. анализ и его прилож.- 1971.- Т.5, N3.- С.102-103.

38. Мазья В.Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Докл. АН СССР.- 1973.- Т.211, N1.- С.40-43.

39. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых

задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН СССР.- 1973.- Т.210, N3.-С.529-532.

40. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН СССР.- 1974.- Т.219, N2.- С.286-290.

41. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребер // Докл. АН СССР.- 1976.- Т.229, N1.- С.33-36.

42. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа / ЛГУ.- 1977.- Вып.6.- С.85-145.

43. Мазья В.Г. Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л.Соболева.- 1978.- N2.-С.69-102.

44. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.- 456 с.

45. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем.- М.: Наука, 1979.- 320 с.

46. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, 1981.- 416 с.

47. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1976.- 392 с.

48. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей.- М.: Наука, 1991.336 с.

49. Никольский С.М. Задача Дирихле в областях с углами // Докл. АН СССР.- 1956.- Т.109, N1.- С.33-35.

50. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных

на областях с угловыми точками // Матем. сборник.- 1957.-Т.43, N1.- 0.127-144.

51. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // Докл. АН СССР.- 1964.- Т.159, N3.- С.512-515.

52. Никольский С.М. О краевой задаче первого рода с сильным вырождением // Докл. АН СССР.- 1975.- Т.222, N2.-

С.281-283.

53. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- 2-е изд., перераб.- М: Наука, 1977.456 с.

54. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова.- 1979.- Т.150.- С.212-238.

55. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1977.- 383 с.

56. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.- Ереван: Изд-во АН Арм.ССР, 1979.-335 с.

57. Рукавишников В.А. Коэрцитивная оценка скорости сходимости приближенного решения второй краевой задачи // Докл. АН СССР.- 1983.- Т.271, N4.-0.798-801.

58. Рукавишников В.А. О регулярности решений краевых задач // Численные методы в алгебре и анализе.- Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1985.- С.6-15.

59. Рукавишников В.А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Докл. АН СССР.- 1986.- Т.288, N5.-С.1058-1062.

60. Рукавишников В. А. Весовые оценки скорости сходимости

разностных схем задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца .- Владивосток, 1986.- 20с.- (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 02092).

61. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Rv обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР.-1989.- Т.309, N6.- C.I3I8-I320.

62. Рукавишников В.А. О - обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике.- Владивосток, 1989.- 35с.-(Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 14435).

63. Рукавишников В.А. О весовых оценках погрешности метода сеток решения уравнения Гельмгольца // Numerical Analisis

and Mathematical Modelling.- Warsaw: Banach Center Publications.- 1990.- V.XXIV.- P.39T-408.

64. Рукавишников В.A. 0 R^ - обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии.- Новосибирск, 1993.- Т2., N4.-С.105-111.

65. Рукавишников В. А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН.- 1994.-Т.337 , N 4.- С.447-449.

66. Рукавишников В.А. О существовании и единственности R^ -обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа - Владивосток: Дальнаука, 1993.- С.4-21.

67. Рукавишников В.А. Исследование разностной схемы смешанной

краевой зад а чи с сингулярностью решения // Методы численного анализа.- Владивосток: Дальнаука, 1993.-С.61-90.

68. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных

элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН.- 1994.- Т.338, N6. - С.731-733.

69. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с

согласованны м вырождением исходных данных // Методы численного анализа.- Владивосток: Дальнаука, 1993.-С.22-48.

70. Rukavishnikov V.A. The Finite Element Method for Dirichlet Problem with Co-Ordinated Degeneration of Initial Data. // AMCA-95.Abstracts.-NCC Publisher, Novosibirsk,1995.-P.281-282.

71. Rukavishnikov V.A. The Pinite Element Method for Boundary Value Problem with Degeneration. // AMC-95. Abstracts of the Second Asian Mathematical Conference, 1720, October 1995.- Thailand, 1995.- P.139.

72. Рукавишников В.А. Исследование разностной схемы краевой задачи с изменением типа граничных условий с согласованным вырождением исходных данных. // Методы численного анализа. - Вып.2 - Владивосток: Дальнаука, 1995.- С. 4-29.

73. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве Ь0 для задачи Дирихле с вырождением. // Методы

<-, Г

численного анализа.- Вып.2 - Владивосток: Дальнаука, 1995.- С.30-43.

74. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. уравнения.-1996.-Т.32,N3.-С.402-408.

75. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. Error estimates

for the finite element method for the third boundary yalue problem with strong singularity solution. -Khabarovsk: Dalnauka,1997.- 21 p.

76. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution. // ENUMATH 1997. Abstracts of Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications.- Heidelberg, Germany, 1997.-P.199-200.

77. Рукавишников В.А., Кашуба E.B. О новой ортонормированной системе сингулярных полиномов, ее свойствах и особенностях.- Хабаровск: Дальнаука,1997. - 15с.

78. Рукавишникова Е.И. О порядке сходимости метода конечных элементов для эллиптической краевой задачи с вырождением // Численные методы в задачах математической физики и кибернетики.- Владивосток: ДВО АН ССОР, 1987.- С.26-52.

79. Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для вырождающегося эллиптического уравнения в пространстве Ь2 // Учен. зап. Тартуск. ун-та.- 1988.-Вып.833.- С.35-42.

80. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976.- 352 с.

81. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.656 с.

82. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.- 592 с.

83. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными

решениями.- М.: Высшая школа, 1987.- 296 с.

84. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для

радиоинженеров и инженеров-электриков,- М.: Мир, 1986.229 с.

85. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. О разностном методе приближенного решения эллиптических уравнений // Тр.

матем. фак. ВРУ .- Воронеж, 1970.- Вып.4.- С.I17-127.

86. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977.- 349 с.

87. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М: Мир, 1980.- 512 с.

88. Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях // Журнал выч. матем. и матем.

физики.- 1978.- Т.18., N5.- C.II70-II85.

89. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР.- I960.- Т.131, N1.- С.37-39.

90. Фуфаев В.В. О комформных преобразованиях областей с углами и о дифференциальных свойствах решений уравнения Пуассона в областях с углами // Докл. АН СССР.- 1963.- Т.152, N4.-С.838-840.

91. Aubin J.P. Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic operators by Galerkin's and finite difference methods // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.- 1967.- V.21.- P.599-637.

92. Babuska I. Finite element method for domains with corners // Computing.- 1970.- V.6.- P.264-273.

93. Babuska I. Error-bounds for finite element method // Numer. Math.- 1971.- V.16- P.323-333.

94. Babuska I., Rosenzweig M.B. A finite element scheme for domains with corners // Numer. Math.- 1973.- V.20.-

P.1-2U

95. Babuska I., Kellogg R.B., PItkaranta J. Direct and inverse

error estimates for finite elements with mesh refinements // Numer. Math.- 1979.- V.33.- P.447-471.

96. Babuska I., Ssabo B.A., Katz I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1981.-V.18.- P.512-545.

97. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h and p - version of the finite element method // Numer. Math.- 1981.- V.37.- P.257-277.

98. Babuska I., Szabo B.A. Rates of convergence of the finite element method // Internat. J. Numer. Methods Engrg.-1982.- V.18.- P.323-341.

99. Babuska I., Suri M. The optimal convergence rate of the p -version of the finite element method //SIAM J. Numer. Anal.- 1987.- V.24.- P.750-776.

100. Babuska I., Suri M. The h-p - version of the finite element method with quasluniform meshes // Math. Modelling Numer. Anal. (RAIRO).- 1987.- V.21.- P.199-238.

101. Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dlrichlet boundary conditions by the p - version of the finite element method // Technical Note BN-1063, Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park, MD.- 1987.

102. Babuska I., Suri M. The p - version of the finite element method for costraint boundary conditions // Technical Note BN-1064, Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park, MD.- 1987.

103. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of solution of elliptic problems with piecewise analytic data, Part I: Boundary value problem for linear elliptic equations of second order // SIAM J. Math. Anal.- 1988.- V.19.- P.172-203.

104. Babuska I., Guo B.Q. The h-p - version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal.- 1988.- V.24.- P.837-861.

105. Babuska I.,Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with plecewise analytic data, Part II: Boundary value problem for system of equations of second order // SIAM J. Math. Anal.- 1989.- V.20.- P.763-781.

106. Babuska I., Guo B.Q. The h-p - version of the finite element method for problems with nonhomogeneous essential boundary conditions // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng.-1989.- V.74.- P.1-28.

107. Barnhill R.E. and Whiteman J.R. Error analysis of finite element methods with triangles for elliptic boundary value problems, In Whiteman J.R. (ed.) // The Mathematics of Finite Elements and Applications.- London: Academic Press, 1973.- P.83-112.

108. Basant Z.P. Three dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method // Int. J. Eng. Sci.- 1974.-V.12.- P.221-243.

109. Bazant Z.P., Estenssoro L.F. General numerical method for three-dimensional singularities in cracked or notched elastic solids // Proc. 4th Conf. on Fracture / University of Waterloo.- 1977.- P.371-385.

110. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing, -1982.- V.28.- P.53-63.

111. Blum H., Rannacher R. Extrapolation techniques for reducing the pollution effect of reentrant corners in the finite element method // Numer. Math.- 1988.- V.52.-

P.539-564.

112. Brabston D.C. and Keller H.B. A numerical method for singular two point boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1977.- V.14.- P.779-781.

113. Bramble J.H., Hubburd B.E. Approximation of solutions of mixed boundary value problems for Poisson's equation by finite differences // J. Assoc. Comput. Math.- 1965.- V.1, N1.- P.114-123.

114. Bramble J.H., Hilbert S.R. Estimation of linear functional on Sobolev spaces applications to Fourier transforms and spline Interpolations // SIAM J. Numer. Anal.- 1970.-7.7.-P.113-124.

115. Dauge M. Elliptic boundary value problems on corner domains; smoothness and asymptotics of solutions // Lect. Notes Math.- 1988.- V.1341.- P.1-257.

116. De Hoog F.R. and Weiss R. Difference methods for boundary value problems with a singularity of first kind// SIAM J. Numer. Anal.- 1976.- V.13.- P.775-813.

117. Dorr M.R. The approximation theory for the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1984.-V.21.- P.1181-1207.

118. Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal.- 1986.- ¥.23.-P.58-77.

119. Feistauer M., Sobotikova V. Finite element approximation of nonlinear elliptic problems with discontinuous coefficients.- Praque, 1988.- (Preprint / Charles Univ.).

120. Feistauer M., Zenisek A. Finite element solution of nonlinear elliptic problems // Numer. Math.- 1987.- V.50-

P.451-475.

121. Feistauer M., Zenisek A. Compactness method In the finite element theory of nonlinear elliptic problems // Numer. Math.- 1988.- V.52- P.147-163.

122. Pi cher a G. Sul problems délia dérivât a obliqua e sul problema misto per 1'equazione di Laplace // Boll. UMI, Ser. III.- 1952.- V.7.- P.367-377.

123. Plchera G. Asymptotic behaviour of the electric field and density of the electric charge in the neighborhood of singular points of a conducting surface // Rend. Sem. Mat. Univ. Polit. Torino, 1973-74.- V.32.- P.111-143.

124. Plchera G. Numerical and quantitative analysis.- London: Pitman, 1978.

125. Plchera G. Mathematical theory of "points effect" in electricity conducting surfaces // Rend. Sem. Mat. e Pis. di Milano, 1979.- V.49.- P.19-48.

126. Fix G.J. Higher order Rayleigh Ritz approximations // J. Math. Mech.- 1969.- V.18.- P.645-657.

127. Pix G.J., Gulati S., Wakoff G.I. On the use of singular functions with finite element approximations // J. Comput. Phys.- 1973.- V.13.- P.209-238.

128. GIvoli D., RIvkin L., Keller J.B. A finite element method for domains with corners // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1992.- V.35, N6.- P.1329-1345.

129. Grisvard P. Alternative de Fredholm relative an probleme de Dirichlet dans un polygone ou un polyedre // Bull. U.M.I.- 1972.- P.132-164.

130. Grisvard P. Behavior of the solutions of an elliptic boundary value problem in a polygonal or polyhedral domain // Mumerical solution of partial differential equations.

III.- (Proc. Third Sympos. (SYNSPADE), Univ. Maryland College Park,Md. 1975).- New York: Academic Press, 1976.-P.207-274.

131. Grisvard'P. Boundary value problems In non-smooth domains. Part 2 // Lecture Notes.- N19.- University of Maryland College Park. USA.- 1980.

132. Grisvard P. Boundary value problems in non-smooth domains // Universite de Nice. France.- 1981.

133. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains.-Boston-London-Melbourne: Pitman, 1985.

134. Guo B.Q., Babuska I. The h-p - version of the finite element method. Part 1: The basic approximation results // Computational Mechanics.- 1986.- V.1.- P.21-41.

135. Guo B.Q., Babuska I. The h-p - version of the finite element method. Part 2: General results and applications // Computational Mechanics.- 1986.- V.1.- P.203-226.

136. Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problems // Numer. Math.- 1973.- N21.-P.328-344.

137. Jamet P. On the convergence of finite difference approximations to one dimensional singular boundary value problems // Numer. Math.- 1970.- N14.- P.355-378.

138. Kadalba^oo M.K. and Raman K.S. Discrete Invariant Imbedding for singular boundary value problems with a regular singularity // Appl. Math, and Comput.- 1987.-V.22.- N4.- P.291-307.

139. Lis C., Bui T.D. Coupling strategy for matching different methods in solving singularity problems // Computing. -1990.- V.45, N4.- C.311-319.

140. Necas J. Sur la coercivit des formes sesquilln aires

elliptiques // Rev. Roumaine de Math. Pure et App.- 1964.-V.9, N1.- P.47-69.

141. NikolskI;} S.M. Some boundary problems for the equations with strong degeneration // Different Equat. and Applic Equadiff II.- Bratislava, 1967.- P.121-127.

142. Nitsche J.A., NItsche J.C.C. Error estimates for the numerical solution of alliptic differential equations // Arch, for Rat. Mech. and Analysis.- 1960.- V.5, N4.-P.293-306.

143. Nitsche J.A. Ein Kriterium fur die quasi-optimalitat des RItzchen Verfahrens // Numer. Math.- 1968.- V.11.-P.346-348.

144. Rukavishnikov V.A. Study of difference schemes for Dlrlhlet's problem In Sobolev's weight spaces // Siberian J.Computer Mathematics.- 1991.- N2.- 20 p.

145. Russell R.P., Shampine P. Numerical methods for singular boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1975.-V.12.- P.13-35.

146. Schatz A.H., Wahlbln L.B. Maximum norm estimates in the finite element method on plane polygonal domains. Part II, Refinements // Math. Comput.- 1979.- V.33.- P.465-492.

147. Scott R. Finite element convergence for singular data // Numer. Math.- 1973.- V.21.- P.317-327.

148. Stephan E., Whiteman J.R. Singularities of the Laplacian at corners and edges of three-dimensional domains and their treatment with finite element methods // Math. Methods in the Appl. Sciences.- 1988.- V.10.- P.339-350.

149. Strang G., PIx G.J. An analysis of the finite element method.- Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1972.

150. Troisi M. Probleml elllpticl con dati singolari // Ann.

mat. pura ed appl.- 1969.- V.83.- P.363-40T.

151. Weinelt W. Untersuchungen zur konvergenz-ges chwindigke it bei differenzenverf airren // Wiss. Zeitschritt der THK.-1978.- V.20.- P.763-769.

152. Weinmuller E. On the boundary value problems for systems of ordinary differential equations with a singularity of first kind // SIAM J. Math. Anal.- 1984.- V.15.-P.287-307.

153. Wigley N.M. On the convergence of discrete approximations to solutions of mixed boundary value problems // SIAM J. Numer. Analysis.- 1966.- V.3, N3, C.372-382.

154. Zenisek A. The finite element method for nonlinear elliptic equations with discontinuous coefficients // Numer. Math.- 1990.- V.58- P.51-77.