Устойчивость равновесия и конвективного течения в слоях с внутренними источниками тепла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Гневанов, Иван Владимирович

• Гневанов, Иван Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гневанов, Иван Владимирович

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Обзор литературы

1.2. Краткое содержание диссертации

2. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЕ [101]

2.1. Стационарное решение уравнений конвекции 2:

2. Уравнения возмущений

2.3. Решение характеристической задачи для возмущений

2.4. Методика построения нейтральных кривых

2.5. Метод численного исследования надкритических исследования устойчивости методами РАВНОВЕСИЯ В НА ГОРИЗОНТАЛЬНОМ движений

2.6. Результаты линейной теории

2.7. Вторичные движения

3. КОНВЕКЦИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА [93]

3.1. Постановка задачи. Стационарное решение

3.2. Уравнения возмущений

3.3. Результаты исследования устойчивости

3.4. Надкритические движения

4. КОНВЕКЦИЯ В НАКЛОННОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА [97, 102]

4.1. Постановка задачи. Стационарное решение

4.2. Уравнения возмущений

4.3. Результаты исследования устойчивости

4.4. Пространственные возмущения

5. Надкритические движения

5. КОНВЕКЦИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ (СЕТКОЙ) [103] ПРОНИЦАЕМОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ

5.1. Постановка задачи. Стационарное решение

5.2. Уравнения возмущений

5.3. Результаты исследования устойчивости

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость равновесия и конвективного течения в слоях с внутренними источниками тепла»

1.1. Обзор литературы Исследование конвективных движений является важной частью гидродинамики в целом. Влияние тепловых эффектов на движение жидкостей и газов встречается практически во всех областях повседневной жизни, в промышленности и технике. Как известно, неравномерно нагретая жидкость может находиться в механическом равновесии только при условии вертикальности градиента температуры, да и то, если его величина не превышает некоторого критического значения, зависящего от физических свойств жидкости, окружающей среды и геометрии задачи. При наличии градиента температуры возникают неоднородности плотности жидкости, которые могут привести среду в движение. Интересным является вопрос устойчивости механического равновесия жидкости, а также и вопрос устойчивости стационарного движения жидкости. Эти вопросы привлекают к себе внимание исследователей, как с теоретической точки зрения, так и благодаря многочисленным практическим приложениям. В теории, изучение гидродинамической устойчивости является необходимым при исследовании перехода от ламинарных течений к турбулентным. Проведем обзор работ, в которых учитывается внутреннее выделение тепла в жидкости или газе. Сначала рассмотрим работы, опубликованные в последнее время и посвященные исследованию прикладных задач. Как обычно, основное внимание в таких работах уделено решению конкретной проблемы.Тепловыделение может быть обусловлено различными причинами. Большое количество работ посвящено исследованию конвекции в средах, внутри которых находятся проводящие тепловыделяющие тела или абстрактные источники без указания их природы. Это может быть, например, проводящий электрический ток элемент. Тепловыделение может быть обусловлено поглощением жидкостью излучения. Сюда можно отнести нагрев солнечным излучением, а также лазерным лучом. Еще одним источником (стоком) тепла внутри жидкости может служить протекающая химическая реакция. Также тепловыделение может происходить при пропускании электрического тока через проводящую жидкость. Большая часть работ из [16-65] посвящены задачам с находящимися в жидкости тепловыделяющими объектами или с тепловыделяющей средой. В работе [16] описываются результаты экспериментального и теоретического исследования совместной термокапиллярной и свободной конвекции в прямоугольных камерах с локальным нагревом, создаваемым тонкими проводами, размещаемыми вдоль свободной поверхности. В диапазоне рассматриваемых параметров основным фактором, определяющим термокапиллярный поток, является подъемная сила. Показано, что при определенной разности температур стационарное двумерное поле потока становится колебательным и трехмерным. Определяется критическая разность температур начала осцилляции при различных начальных условиях. В работе [20] в рамках уравнений Навье-Стокса с эффективной вязкостью, определяемой на основе к-Б модели турбулентности, осуществляется математическое моделирование трехмерных стационарных свободноконвективных течений несжимаемого вязкого газа в помещениях с тепловым источником. Исследование проводится для случая модельных помещений и тепловых источников, имеющих форму прямоугольных па5 раллелепипедов с квадратными основаниями. Анализируется влияние мощности теплового источника и размеров основания помещения на локальные и усредненные значения скорости и температуры воздуха в помещениях. Показано, что картина течения в помещениях имеет торообразный вид. Установлено, что на характер движения газа в замкнутом объеме определяющее значение оказывает изменение размера основания помещения, а не вариация мощности теплового источника. Работа [21] посвящена исследованию естественной конвекции в пчелиных ульях. Тепловая конвекция, вызванная выделением тепла пчелами, приводит к большой зоне с устойчивой стратификацией плотности воздуха. Осуществлен перебор параметров и испытаны различные модели естественной конвекции. Предполагалось, что в зоне клубка выделяется тепло с заданной мощностью. Течение в области улья,

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гневанов, Иван Владимирович

Выводы

В этой главе формулируется задача о конвекции в вертикальном слое жидкости с тепловыделяющей перегородкой (сеткой). Найдено стационарное решение, параметром которого является касательное сопротивление перегородки.

Задача устойчивости плоскопараллельного движения была сформулирована и исследована в диапазоне значений параметра прозрачности от 0.75 до 1 при фиксированном значении периода перегородки. Построены нейтральные кривые для некоторых значений параметра прозрачности. Получены зависимости критических параметров от прозрачности перегородки (сетки). Выяснена общая закономерность повышения устойчивости при уменьшении прозрачности. Исследовано поведение параметров, соответствующих разным механизмам неустойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследованы задачи о равновесии в горизонтальном слое и стационарном плоскопараллельном конвективном движении в вертикальном и наклонном слоях при наличии неравномерного внутреннего тепловыделения в жидкости. При этом исследована устойчивость соответствующих стационарных состояний и надкритические движения, возникающие после потери устойчивости.

Сформулируем основные результаты проведенных исследований.

Горизонтальный слой

1. Найдены аналитические выражения стационарных решений для равновесия жидкости в горизонтальном слое при внутреннем тепловыделении, произведен их анализ. Исследована устойчивость равновесия относительно малых возмущений. Построены нейтральные кривые для различных значений параметра положения плоскости тепловыделения с. Выяснено, что при увеличении значений с устойчивость повышается.

2. Найдены зависимости критических параметров неустойчивости (чисел Релея и волновых чисел) от параметра с. Обработка этих зависимостей позволила определить значение параметра, соответствующее минимальному критическому числу Релея и найти предельное значение волнового числа возмущений при с —» -1, 1.56.

3. Конечно - разностным методом получены картины линий тока и изотерм для различных значений параметра с и величины надкритичности. Выяснено, что центры вихрей смещены вверх относительно плоскости тепловыделения. Для максимума поперечной компоненты скорости приведены параметры и границы применимости корневого. Обнаружены существенные отличия в поведении характеристики локального теплового потока £ на верхней и нижней границах слоя.

Вертикальный и наклонный слои

1. Получено аналитическое решение для стационарного плоскопараллельного течения в вертикальном и наклонном слоях при различных значениях параметров положения и толщины полосы тепловыделения.

2. Выполнено исследование устойчивости в случае сконцентрированного тепловыделения в центральной плоскости слоя; Для вертикального слоя получены нейтральные кривые Gr(k) для различных значений числа Прандтля; Обнаружено;, что нейтральные кривые состоят из двух частей, отвечающих разным механизмам неустойчивости. Сравнение со случаем равномерного тепловыделения показало понижение устойчивости примерно в 3.0 раза при Рг = 1. Для больших значений числа Прандтля обнаружена типичная асимптотическая зависимость, Gr* ~ l/VPr . ;

3; Численными расчетами получены картины надкритических течений, для;поперечной компоненты скорости найдены параметры корневого закона Ландау и границы его применимости. Обнаружено уменьшение максимума температуры в слое с ростом надкритичности. 4.'Получены нейтральные кривые для плоских возмущений при различных углах наклона слоя. Показано, что при изменении угла на нейтральных кривых присутствуют две ветви, отвечающие разным механизмам неустойчивости. Найдено значение угла наклона слоя, ас « 53°, при котором происходит смена наиболее опасного механизма неустойчивости.

5. Исследована устойчивость движения относительно пространственных возмущений. Показано, что наиболее опасными являются два типа возмущений — плоские (а<а*) и спиральные (а>а*) со значением а =40°.

6. Проведены расчеты надкритических движений для двух значений углов наклона слоя с примерно одинаковыми критическими числами Грасгофа. Получены зависимости интегральных характеристик от величины надкритичности и показаны отличия в их поведении. Обнаружено, что для поперечной компоненты скорости выполняется корневой закон Ландау.

Вертикальный слой с тепловыделяющей перегородкой

1. Найдено стационарное решение задачи о конвекции жидкости в вертикальном слое с тепловыделяющей перегородкой (сеткой), имеющей гидродинамическое сопротивление.

2. Сформулирована и решена задача устойчивости плоскопараллельного движения для различных значений параметра прозрачности s. Выяснена общая закономерность повышения устойчивости при уменьшении прозрачности. Обнаружено наличие двух механизмов неустойчивости при s> 0.9 и найдено значение параметра, при котором происходит смена механизма неустойчивости, s » 0.93.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гневанов, Иван Владимирович, 2008 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.: Наука. 1986.736 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. 840 с.

3. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. 194 с.' .■■'■■• ■ ■ "■■;• :■ -'"'■'.■:/.,,/ ■ ^

4. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М;: ИЛ, 1962. 201 с.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир: 1971. 350 с.

6. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. 1972. 392 с.

7. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

8. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971.552 с.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

10. Роуч.П. Вычислительная гидродинамика М.: Мир. 1980. 616 с.

11. Тарунйн Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: изд-во Иркут. Ун-та. 1990. 228 с.

12. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Численные методы решения задач теории гидродинамической устойчивости: учебное пособие / Перм. ун-т: Пермь, 2004. 101 с.

13. Kyu-Jung L., Yasuhiro K., Shinichi Y. Combined thermocapillary and natural convection in rectangular containers with localized heating. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2002. 45. № 23, p. 4621-4630.

14. Ryong L.J., Yeong H.M. Numerical simulation of a natural convection in a horizontal enclosure with a heat-generating conducting body. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2006. 49, №15-16, p. 2684-2702.

15. Кузнецов Г.В., Шеремет M.A. Моделирование термогравитационной конвекции в замкнутом объеме с локальными источниками тепловыделения. Теплофиз. и аэромех. 2006. 13, №4, с. 611-621.

16. Костоломов И.В., Кутушев А.Г. Численное исследование свободной конвекции воздуха в помещении с тепловым источником. Теплофиз. и аэромех. 2006. 13, №3, с. 425-434.

17. Гакашев А.И. Моделирование гидродинамики и тепломассообмена в пчелиных ульях. 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006: Аннотации докладов Т. 1. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2006, с. 137.

18. Gubaidullin А.А., Sehgal B.R. Numerical analysis of natural convection and mixing in two-fluid stratified pools with internal heat sources. Trans. ASME. J. Heat Transfer. 2004. 126, №4, p. 600-610.

19. Qi-Hong D., Guang-Fa Т., Yuguo L., Yeong H.M. Interaction between discrete heat sources in horizontal natural convection enclosures. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2002. 45, №26, p. 5117-5132.

20. Вельтищев Н.Ф. Конвекция в горизонтальном слое жидкости с постоянным внутренним источником тепла. Изв. АН. Мех. жидкости и газа. РАН. 2004, №2, с.24-33.

21. Kumar D.A., Amaresh D. A numerical study of natural convection around a square, horizontal, heated cylinder placed in an enclosure. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2006. 49, №23-24, p. 4608-4623.

22. Grosan Т., Mahmood Т., Pop I. Thermal radiation effect on fully developed free convection in a vertical rectangular duct. Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 2006. 51, №4, p. 117-127.

23. Mezrhab A., Bouali H., Abid C. Modeling of combined radiative and convective heat transfer in an enclosure with a heat-generating and conducting body. Int. J. Comput. Mech. 2005. 2, № 3, p. 431-450.

24. Verevochkin Y.U.G., Startserv S.A. Effect of absorption of solar radiation by water of different optical types on convection and heat transfer just under the air-water interface: the case of zero wind speed. J. Fluid Mech. 2005. 523, p. 109-120.

25. Min-Hsing C. Stability of convection induced by selective absorption of radiation in a fluid overlying a porous layer. Phys. Fluids. 2004. 16, № 10, p. 3690-3698.

26. Chengwang L., Patterson J.C. Unsteady natural convection in a triangular enclosure induced by absorption of radiation. J. Fluid. Mech. 2002. 460, p. 181-209.

27. Chengwang L., Patterson J.C. A direct stability analysis of a radiation-induced natural convection boundary layer in a shallow wedge. J. Fluid. Mech. 2003.480, p. 161-184.

28. Saeid Nawaf H., Pop I. Mixed convection from two thermal sources in a vertical porous layer. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2005. 48, № 19-20, p. 4150-4160.

29. Saeid Nawaf H. Natural convection from two thermal sources in a vertical porous layer. Trans. ASME. J. Heat Transfer. 2006. 128, № 1, p. 104-109.

30. Badruddin Irfan Anjum, Zainai Z.A., Khan Zahid A., Mallick Zulquer-nain Effect of viscous dissipation and radiation on natural convection in a porous medium embedded within vertical annulus. Int. J. Therm. Sci. 2007. 46, № 3,p. 221-227.

31. Ali Mohamed Е. The effect of lateral mass flux on the natural convection boundary layers induced by a heated vertical plate embedded in a saturated porous medium with internal heat generation. Int. J. Therm. Sci. 2007. 46, № 2, p. 157-163.

32. Hill A.A. Convection due to the selective absorption in a porous medium. Contin. Mech. and Thermodyn. 2003. 15, № 3, p. 275-285.

33. Chaves C.A., Camargo J.R., Cardoso S., Gomes de Macedo A. Transient natural convection heat transfer by double diffusion from a heated cylinder buried in a saturated porous medium. Int. J. Therm. Sci. 2005. 44, № 8, p. 720-725.

34. Carr Magda Penetrative convection in a superposed porous-medium -fluid layer via internal heating. J. Fluid. Mech. 2004. 509, p. 305-329.

35. Alex Sherin M., Patil Prabhamani R. Effect of a variable gravity field on convection in an anisotropic porous medium with internal heat source and inclined temperature gradient. Trans. ASME. J. Heat Transfer. 2002. 124, № 1, p. 144-150.

36. Bhowmik H., Tso C.P., Tou K.W. Analyses of convection heat transfer from discrete heat sources in a vertical rectangular channel. Trans. ASME. J. Electron. Packag. 2005. 127, № 3, p. 215-222.

37. Мизев А.И. Экспериментальное исследование термокапиллярной конвекции, индуцированной локальной температурной неоднородностью вблизи поверхности жидкости. Прикл. мех. и техн. физ. 2004. 45, №5, с. 102-108.

38. Chasnov J.R., Tse K.L. Turbulent penetrative convection with an internal heat source. Fluid Dyn. Res. 2001. 28, №> 6, p. 397-421.

39. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий Конвективная устойчивость // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1978. Т.П. с. 66-154.

40. Saravanan S., Kandaswamy P. Thermal stability of a nonuniformly heat generating annular fluid layer. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2006. 49, № 1-2, p. 269-280.

41. Григорук Д.Г., Кондратенко П.С. Теплоотдача энерговыделяющей жидкости в верхней части замкнутого объема. Теплофиз. высок, температур. 2004. 42, № 3, с. 287-290.

42. Иванова А.А., Колесников А.К. Виброконвективная неустойчивость слоя жидкости с внутренним тепловыделением при вращении. Конвективные течения .: Сборник научных трудов. Перм. гос. пед. ун-т. Пермь: Изд-во Перм. гос. пед. ун-та. 2003, с. 50-61.

43. Иванова А.А., Козлов В.Г., Колесников А.К. Влияние вращения на виброконвективную устойчивость слоя жидкости с внутренним тепловыделением. Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2005, № 1, с. 53-61.

44. Якушин В.И. Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла. Конвективные течения .: Сборник научных трудов. Перм. гос. пед. ун-т. Пермь: Изд-во Перм. гос. пед. ун-та. 2003, с. 62-74.

45. Marimbordes Т., El Moctar A. Ould, Peerhossaini Н. Active control of natural convection in a fluid layer with volume heat dissipation. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2002. 45, № 3, p. 667-678.

46. Wu K.F., Brancher J.P. Thermoconvective instability in a bounded vertical cylinder with internal" heat generation. Int. J. Heat and Mass Transfer. 2000: 43, № 20; p: 3775-3784.

47. Nagato M., Generalis S. Transition in>convective flows heated internally. Trans. ASME. J. Heat Transfer. 2002. 124, № 4, p. 635-642.

48. Sparrow E.M., Goldstein K.J., Jonsson V.K. Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and non-linear temperature profile. J. Fluid Mech., 1964, 18, №4, 513-528.

49. Якимов A.A. О спектре возмущений равновесия горизонтального слоя жидкости с внутренними источниками тепла. Уч. зап. Перм. ун-т, 1974, №316, с. 85-90.

50. Suo-Anttila A.J., Catton I. The effect of a stabilizing temperature gradient on heat transfer from a molten fuel layer with volumetric heating. Trans. ASME, 1975, C97, №> 4, p. 544-548.

51. Roberts P.H. Convection in horizontal layers with internal heat generation. Theory. J. Fluid. Mech. 1967. 30, № 1, p. 33-49.

52. Debler W.R., Wolf L.W. The effects of gravity and surface tension gradients on cellular convection in fluid layers with parabolic temperature profiles. Trans. ASME. 1970. C92, № 3, p. 351-358.

53. Лыков A.B., Берковский Б.М., By Зуй Куанг Конвективная неустойчивость горизонтального слоя электропроводной жидкости в электрическом высокочастотном поле. В сб.: Тепло- и массоперенос. Т. 1. Минск, 1972, с. 321-330.

54. Schwiderski E.W. Current dependence of convection in electrolytically heated fluid layer. Phys. Fluids, 1972, 15, № 7, 1189-1196.

55. Joseph D.D. Stability of convection in containers of arbitrary shape. J. Fluid. Mech. 1971, 47, № 2, 257-282.

56. Schwiderski E.W. Bifurcation of convection in internally heated fluid layers. Phys.Fluids, 1972, 15, № 11, 1882-1898.

57. Kulacki F.A., Goldstein R.J. Hydrodynamic instability in fluid layers with uniform volumetric energy sources. Appl. Sci. Res., 1975, 31, № 2, 81109.

58. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Конвекция конечной амплитуды в полости с внутренними источниками тепла. Тр. IV Всес. семинара по числен, методам мех. вязк. жидкости, Рига, 1972. Новосибирск, 1973, 38-47.

59. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Конечноамплитуд-ные конвективные движения в прямоугольных полостях с внутренними источниками тепла. Уч. зап. Перм. ун-т, 1974, № 316, 3-23.

60. Whitehead J.A. Moving heaters as a model- of continental drift. Phys. Earth and Planet. Inter., 1972, 5, № 3, 199-212.

61. Булашевич Ю.П., Хачай Ю.В. Конвективная устойчивость земных недр с радиоактивными источниками тепла. Изв. АН СССР. Физ. Земли, 1975, № 12, 13-19.

62. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Конвективная неустойчивость в областях с тонкой проницаемой перегородкой- (сеткой) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. 102с.

63. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла. ПММ. 1970. Т. 34. вып. 4. с. 700-705.

64. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. О двух типах неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла. ПММ. 1973. Т. 37. вып. 3. с. 546-568.

65. Якимов А.А. Вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости с внутренними источниками тепла. Гидродинамика, вып. 7. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1974. с. 53-64.

66. Якимов А.А. О форме неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла. Гидродинамика, вып. 4. Пермь: Перм. ун-т. 1972. с. 37-42.

67. Козлов В.Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла. Изв. АН. Мех. жидкости и газа. РАН. 1978, №4, с. 23-27.

68. Murgatroyd W., Watson A. An experimental investigation of the natural convection of a heat generating fluid within a closed vertical cylinder. J. Mech. Eng. Sci. 1970. V. 12, № 5. p. 354-363.

69. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M., Yalcimov A.A. On stability of plane-parallel convective motion due to internal heat sources. Int. J. Heat and Mass Transfer. 1974. V. 17. № 7. p. 717-726.

70. Шихов B.M., Якушин В.И. Об устойчивости конвективных движений, вызванных неоднородно распределенными внутренними источниками тепла. Изв. АН. Мех. жидкости и газа. РАН. 1977. №3. с. 140-144.

71. Шихов В.М., Якушин В.И. О спектре малых возмущений конвективных движений жидкости, обусловленных неоднородно распределенными внутренними источниками тепла. Гидродинамика, вып. 10. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1976. с. 85-93.

72. Gnevanov I.V., Tarunin E.L. Natural convection flow induced by non uniform heat sources and its stability // APM2004 Summer School-Conference. Book of Abstracts, St. Petersburg, 2004. P. 49.

73. Гневанов И.В., Тарунин E.JI. Конвективное движение, вызванное внутренними источниками тепла, сосредоточенными в центре слоя // Гидродинамика: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2004. Вып. 14. С. 79-87.

74. Гневанов И.В., Тарунин Е.Л. Устойчивость конвективного равновесия жидкости при наличии неравномерных источников тепла в горизонтальном слое // Конф. мол. ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Тез. докл. Пермь, 2004. С. 24.

75. Гневанов И.В., Тарунин Е.Л. Устойчивость конвективного равновесия и движения жидкости при наличии неравномерных источников тепла в плоском слое произвольной ориентации // 14-я Зимняя школы по механике сплошных сред. Тез. докл, Пермь, 2005. С. 83.

76. Gnevanov I.V. Convective motion in plane layers with internal heat sources // APM2005 Summer School-Conference. Book of Abstracts, St. Petersburg, 2005. P. 44.

77. Гневанов И.В., Тарунин Е.Л. Устойчивость конвективного движения в слоях с тепловыделением в центре слоя // Вестник ПГУ. Математика. Механика. Информатика. Пермь: ПГУ. 2006. №4. С. 134—138.

78. Gnevanov I.V. Plane layer inclination influence on the internal heat sources convection // APM2006 Summer School-Conference. Book of Abstracts, St. Petersburg, 2006. P. 37.

79. Гневанов И.В. Влияние положения оси тепловыделения на устойчивость равновесия жидкости в горизонтальном слое //15 Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. докл, Пермь, 2007. С. 259-262.

80. Gnevanov I.V., Tarunin E.L. Convection stability in plane layers with internal heat sources // APM2007 Summer School-Conference. Book of Abstracts, St. Petersburg, 2007. P. 49.

81. Гневанов И.В. Влияние размещения источников тепла на устойчивость равновесия в горизонтальном слое // Гидродинамика: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2007. Вып. 16. С. 56-63.

82. Гневанов И.В., Тарунин E.JI. Устойчивость конвективного течения в наклонном слое с тепловыделением в центре слоя // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 2007. №3. С. 31-38.

83. Гневанов И.В. Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое с тепловыделяющей сеткой в центре // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2007. Вып. 39. С. 27-35.