Устойчивость и нелинейные режимы адвективных течений в слоях и каналах с адиабатическими границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Алексеевич

• Никитин, Дмитрий Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Алексеевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор литературы

1.1 Адвективные течения однокомпонентных жидкостей

1.2 Адвективные течения бинарных смесей

1.3 Влияние акустической волны на адвективные течения

2. Общая характеристика работы

ГЛАВА

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ С

АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ

Введение

1.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения

1.2. Основное решение

1.3. Задача устойчивости основного состояния

1.4. Численные результаты

1.5. Нелинейные режимы

Заключение

ГЛАВА

УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ

ГРАНИЦАМИ

Введение

2.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения

2.2. Исследование устойчивости стационарных решений

2.3. Численные результаты

2.3.1. Стационарное течение

2.3.2. Устойчивость основного течения

Заключение

ГЛАВА

ТРЕХМЕРНЫЕ АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМИ

БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ

Введение

3.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения

3.2. Метод решения

3.3. Численные результаты

Заключение

ГЛАВА

УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ДЛИННОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ НАЛИЧИИ

АКУСТИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Введение

4.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения

4.2. Численные результаты

4.2.1. Стационарное течение при наличии акустической волны

4.2.2. Влияние акустической волны на устойчивость стационарного течения

Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и нелинейные режимы адвективных течений в слоях и каналах с адиабатическими границами»

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор литературы

Конвективные течения возникают в жидкостях и газах в поле тяжести при наличии пространственной неоднородности плотности, создаваемой неоднородностью температуры или какой-либо другой причиной. С увеличением разности температур интенсивность конвективного течения возрастает, и оно становится неустойчивым. При этом возникает конвективное течение другой структуры. Оно тоже может потерять устойчивость при дальнейшем увеличении разности температур. Вопрос устойчивости конвективных течений подробно рассмотрен в монографиях [1,2].

Конвективные течения проявляют различные виды механизмов неустойчивости, поскольку имеют более разнообразный спектр характеристических возмущений по сравнению с изотермическими течениями.

Имеют место три механизма конвективной неустойчивости. Первый из них связан с передачей энергии основного течения возмущениям. В конвективных течениях, образуемых встречными потоками, этот механизм имеет свои особенности. Вязкие вихри формируются на границе потоков при сравнительно небольших скоростях. В отсутствие встречных потоков гидродинамическая мода неустойчивости в конвективных течениях имеет вязкую природу и развивается при больших скоростях, как и в чисто гидродинамических задачах.

Второй механизм - неустойчивость релеевского типа. Данный механизм действует при наличии вертикальной разности температур в слоях с потенциально неустойчивой вертикальной стратификацией, возникающей в результате подогрева или создающейся структурой течения, например при адвективном течении в горизонтальном слое или в наклонных слоях.

Третий механизм неустойчивости, присущий именно конвекции, обусловлен тепловыми волнами, которые являются результатом взаимодействия нестационарных тепловых и гидродинамических возмущений.

1.1 Адвективные течения однокомпонентных жидкостей

В последние годы проявляется большой интерес к задаче о тепловой гравитационной конвекции при наличии горизонтального градиента температуры, обусловленный ее многочисленными техническими и геофизическими приложениями. К ним, в частности, относятся закономерность процессов термодиффузионного разделения изотопов, кристаллизации (см. работы [3, 4]), тепловые режимы электрической аппаратуры, особенности теплового взрыва в химически реагирующей смеси, поведение плазмы, тепловые режимы хранения нефтепродуктов в емкостях и процессы, происходящие в химической технологии, конвективная неустойчивость Солнца и звезд, конвективные структуры атмосферы и океана. Конвективная устойчивость является частным случаем явления гидродинамической устойчивости, исследованной в работах [5-9].

Адвективным течением называется конвективное течение при наличии горизонтального градиента температуры. Особенностью данного течения является то, что его скорость ортогональна подъемной силе.

В литературе имеется много работ, посвященных исследованию одно-и двумерных адвективных течений однокомпонентных жидкостей в плоском горизонтальном слое или вытянутой по горизонтали прямоугольной области, для различных типов тепловых условий на границах. Устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в плоском горизонтальном слое с твердыми границами численно, с применением метода Галеркина исследовалась ранее в работах [10] (относительно плоских нормальных возмущений), [И] (относительно

пространственных нормальных возмущений) для случая идеально теплопроводных границ. Получены серии нейтральных кривых для различных чисел Прандтля. Результаты этих работ приведены также в монографии [2]. Наиболее всестороннее . рассмотрение задачи устойчивости адвективного течения в плоском слое с идеально теплопроводными границами, результаты линейной теории устойчивости и обсуждение механизмов неустойчивости даны в работе [12]. В работе [13] приведен спектр декрементов возмущений, в [14] дана форма критических возмущений. Возмущения функции тока имеют форму неподвижных вихрей, занимающих весь поток. Вторичное течение представлено в виде системы неподвижных валов на границе встречных потоков, периодической вдоль оси. С ростом числа Прандтля критическое волновое число уменьшается.

Стабилизация гидродинамической моды с ростом числа Прандтля обусловлена видом возмущений. В области возникновения вихрей присутствует устойчивая стратификация пс» плотности. Развитие гидродинамических вихрей подавляется подогревом сверху, поскольку формируемый течением вертикальный градиент температуры увеличивается с ростом числа Прандтля.

Наблюдаемая при умеренных и больших числах Прандтля неустойчивость имеет конвективную природу. В обширном диапазоне чисел Прандтля наиболее опасными оказываются коротковолновые возмущения с кт~4, что демонстрируют приводимые нейтральные кривые. При увеличении Рг от 0.6 до 50 фазовая скорость критических возмущений монотонно возрастает от 0.67 до 0.86 и слабо от него зависит.

Структура плоских релеевских мод представляет собой ячейки, локализованные в верхней или нижней области слоя, у твердых границ в регионах неустойчивой стратификации. Наложение этих возмущений на основное течение порождает две встречные волны, распространяющиеся вдоль верхнего и нижнего потоков.

В работе обнаружены четная и нечетная монотонные спиральные моды. Нечетные возмущения - два расположенных друг над другом вихря противоположенного направления, образующиеся у границ слоя в областях, где течение создает условия подогрева снизу. Для четных возмущений основные вихри расположены у верхней и нижней твердых границ слоя и вращаются в одном направлении. Между ними формируется слабый вихрь, вращающийся в противоположном направлении. Центры основных вихрей находятся в областях неустойчивой стратификации. Критические числа Грасгофа четной и нечетной мод близки в широком диапазоне чисел Прандтля, минимальное критическое волновое число к ~4.

тп

Структура вторичных течений исследовалась численно, с использованием метода сеток в работе [15]. На основе решения системы полных нелинейных уравнений изучены конечно-амплитудные вторичные режимы для чисел Прандтля 0.1 и 1, исследованы плоские и спиральные пространственные течения. Выявлено, что в окрестности минимумов нейтральных кривых происходит мягкое ответвление вторичного режима, его амплитуда вблизи порога при этом увеличивается по корневому закону с ростом надкритичности. Конвективная составляющая поперечного теплового потока растет по линейному закону.

В общей сложности обнаружено четыре типа неустойчивости адвективного течения. Точка перегиба в профиле скорости приводит к существованию чисто гидродинамической моды неустойчивости в виде неподвижных вихрей на границе встречных потоков. В слоях жидкости с неустойчивой стратификацией по температуре возникает конвективная релей-бенаровская монотонная и волновая неустойчивость, а в устойчиво стратифицированной средней области формируются внутренние тепловые волны. Волновая неустойчивость проявляется в виде пары волн с равными по модулю и противоположными по направлению фазовыми скоростями.

Согласно полной диаграмме устойчивости [12], плоские монотонные гидродинамические возмущения наиболее опасны при малых числах Прандтля 0<Рг<0.14. В диапазоне 0.14 <Рг< 0.44 неустойчивость вызвана спиральной волновой модой, с последующим ростом числа Прандтля за неустойчивость ответственны монотонные спиральные возмущения. Плоские релеевские моды не являются наиболее опасными при любых числах Прандтля.

Задача устойчивости адвективного течения в горизонтальном слое с нижней твердой и верхней свободной (предполагаемой плоской) границами решалась численно, методами Галеркина и Рунге-Кутты с ортогонализацией в работах [16, 17]. В случае, когда преобладает термогравитационная компонента конвекции, кризис течения вызван либо плоской гидродинамической модой (Рг< 0.075), либо спиральной релеевской модой (Рг > 0.075). Как и в слое с обеими твердыми границами, по мере увеличения числа Прандтля гидродинамическая мода стабилизируется. В рассматриваемом случае распределение скорости не имеет определенной четности, и эта мода не является стоячей: система вихрей дрейфует вместе с верхним потоком с фазовой скоростью около 0.3 от максимальной скорости на свободной границе. Гидродинамическая мода имеет длинноволновый характер: при увеличении числа Прандтля от 0.01 до 0.15 минимальное критическое волновое число кт уменьшается от 0.5 до 0.3. При Рг> 0.075 неустойчивость обусловлена спиральной монотонной модой, локализованной в области неустойчивой стратификации вблизи нижней границы. С увеличением числа Марангони наступает стабилизация гидродинамической моды, неустойчивость вызывается спиральной модой. Минимальное критическое волновое число для спиральной неустойчивости слабо зависит от числа Прандтля и равно кт ~ 3.5. Определены также границы устойчивости относительно плоских

релеевских возмущений и спиральных возмущений, генерирующихся в верхней неустойчиво стратифицированной области. Эти возмущения не

являются наиболее опасными при любых числах Прандтля. В работе [18] выполнен расчет конечно-амплитудных спиральных режимов. Система полных нелинейных уравнений решалась методом конечных разностей. Показано, что при критическом значении числа Грасгофа от основного течения мягко ответвляется вторичный режим. По мере достижения второго критического числа, соответствующего появлению неустойчивости в верхнем неустойчиво стратифицированном слое, происходит жесткая перестройка структуры течения и закона теплопереноса, сопровождающаяся гистерезисными явлениями.

Случай больших чисел Марангони соответствует переходу к термокапиллярному течению, которое в чистом виде может быть реализовано в невесомости. В земных условиях существенное преобладание термокапиллярной компоненты конвекции над термогравитационной может иметь место в достаточно тонких слоях. В этом предельном случае течение устойчиво (если на свободной границе при этом поддерживается линейное распределение температуры). Гидродинамическая мода отсутствует, поскольку профиль скорости в этом пределе не имеет точки перегиба, а отсутствие термогравитационной силы не допускает существования релеевской моды. Рассмотрению задачи устойчивости термокапиллярного течения в более общей постановке посвящены работы [19-21]. Влиянию термокапиллярных течений на устойчивость течения в горизонтальном слое посвящена также работа [22].

В работе [23] численно, методом Галеркина исследована устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в плоском горизонтальном слое с твердыми адиабатическими границами. Данный тип тепловых граничных условий представляет особый интерес применительно к адвективным течениям жидких металлов с высокой теплопроводностью. Течение в слое с такими граничными условиями характеризуется отсутствием зон потенциально неустойчивой температурной стратификации, исключая тем самым существование мод релеевской

природы. В результате решения линейной задачи устойчивости обнаружены плоская монотонная гидродинамическая и спиральная колебательная моды неустойчивости. Последний из упомянутых режимов развивается на фоне устойчивой стратификации и связан с возбуждением внутренних волн.

Результаты работы [23] были подвергнуты ревизии в [24]. Согласно результатам этой работы, данные относительно гидродинамической и спиральной волновой мод качественно подтверждаются, однако при этом имеют место существенные количественные отличия: границы устойчивости, приведенные в [23], занижены. Гидродинамическая мода резко стабилизируется при Рг « 0.12, а спиральная волновая - при Рг и 0.2. Кроме того, обнаружена еще спиральная монотонная мода. При числах Прандтля Рг < 0.033, неустойчивость приводит к формированию стационарных плоских ячеек. В диапазоне значений числа Прандтля 0.033 < Рг < 0.2 имеет место колебательная неустойчивость, критические возмущения имеют вид валов с осями, параллельными направлению основного течения (спиральные возмущения). По мере дальнейшего роста числа Прандтля наиболее опасными становятся монотонные спиральные возмущения. Результаты линейного анализа устойчивости согласуются с подробными численными расчетами конечнотамплитудных структур, соответствующих разным модам неустойчивости [25-27].

Колебательный режим возмущений при адвективном течении жидкого металла наблюдался в экспериментах [28-30] с жидким галлием и в [23], [31, 32] со ртутью. В последнем случае специально создавалась установка с достаточной протяженностью слоя в горизонтальной плоскости, чтобы сделать возможным распространение внутренних волн.

Для появления спирального колебательного режима неустойчивости необходимо наличие в слое достаточно выраженной области устойчивой стратификации, в которой могли бы генерироваться внутренние волны. При этом факторы подавления (например, влияние вязкости у стенок) не

должны быть слишком выраженными. В таком случае можно ожидать, что развитию рассматриваемой моды способствуют свободные границы слоя. Действительно, в работе [33] на основе асимптотического анализа амплитудной задачи в предельном случае малых чисел Прандтля для слоя с обеими свободными идеально теплопроводными границами сделан вывод о существовании такого типа неустойчивости.

В работе [34] изучено возбуждение колебательных режимов течений в горизонтальном слое, при наличии продольного градиента температуры, для жидкостей с малым числом Прандтля. Рассмотрены адиабатические и идеально теплопроводные границы; также рассмотрены варианты с обеими твердыми, твердой нижней и свободной верхней границами. Колебательные режимы появляются при Рг = 0 и имеют гидродинамическую природу. Полученные численно критические числа Грасгофа и критические частоты качественно согласуются с экспериментальными результатами.

В работе [35] выполнено обобщение результатов исследования линейной устойчивости конвективных течений жидкостей с малым числом Прандтля в горизонтальной области большой протяженности. Рассмотрены различные типы граничных условий, для некоторых из которых проведен также нелинейный анализ. Определены условия, при которых появляются пространственные колебательные возмущения. Показано существование новой ветви на диаграмме устойчивости, для случая со свободной верхней границей. Данная мода соответствует плоской колебательной неустойчивости.

В том случае, когда горизонтальный слой жидкости с заданным продольным градиентом температуры подогревается еще и снизу, появляется дополнительная причина неустойчивой стратификации. В работе [36] рассмотрен предельный случай малого продольного градиента. В более поздней работе [37] задача решалась для произвольных значений продольного градиента. Были рассмотрены случаи обеих твердых или

свободных границ с заданным распределением температуры. В зависимости от параметров, неустойчивость обусловлена различными модами, упомянутыми выше. Показано, что в частном случае отсутствия поперечной разности температур для числа Прандтля Рг = 6.7 (характерное значение для воды) наиболее опасны пространственные спиральные возмущения.

Имеется также ряд работ, в которых исследовались трехмерные режимы стационарного адвективного течения однокомпонентной жидкости в горизонтальных каналах кругового и прямоугольного сечения. В работе [38] численно, методом конечных разностей получены решения трехмерных уравнений естественной конвекции в цилиндрах кругового поперечного сечения, при наличии продольного градиента температуры. Стенки цилиндра предполагались идеально теплопроводными. Особое внимание было уделено сложным трехмерным структурам, возникающим в горизонтальных цилиндрах, имеющих конфигурацию, предназначенную для выращивания кристаллов. Характеристика перехода от режима центрального течения к режиму пограничного слоя рассмотрена с учетом свойств основного и поперечного течений. Расчеты проведены для числа Прандтля Рг = 0.73 и нескольких значений числа Релея, соответствующих экспериментальным значениям при выращивании кристаллов. Отношение длины цилиндра к его радиусу было равно десяти.

В работе [39] найдено асимптотическое решение для профилей скорости и температуры в средней части длинной горизонтальной трубы с теплопроводящей стенкой. Исследовано влияние передачи тепла через стенку путем теплопроводности на распределение температуры в жидкости. Получено аналитическое выражение для аксиального переноса тепла посредством естественной конвекции противоточного типа. Данные по распределению температуры в стенке трубы сравниваются с опубликованными ранее численными результатами.

В работе [40] представлены результаты трехмерного численного моделирования свободной конвекции Буссинеска в горизонтальном цилиндре при наличии продольного градиента температуры. Расчеты проводились с использованием схемы Самарского-Андреева и завихренности, скорости и температуре в качестве зависимых переменных. Распределения скорости и температуры были получены для чисел Релея в диапазоне 74 < Иа < 18700, охватывающем режимы течений в ядре потока и пограничном слое. Проведено сравнение численных данных с асимптотическими, аналитическими решениями и результатами эксперимента. Численные результаты адекватно описывают сложные трехмерные течения, обнаруженные экспериментально.

В работе [41] проводилось сравнение результатов для адвективных течений в цилиндрической и прямоугольной замкнутой области в вертикальном среднем сечении, полученных экспериментально и путем трехмерного численного счета, с результатами асимптотических аналитических аппроксимаций в ядре и аппроксимаций с применением двумерного решения в плоскости симметрии. Рассмотрены режимы течений в ядре потока и пограничном слое. В общем случае эти аппроксимации дают точную зависимость скоростей от числа Релея в указанных двух режимах. Однако найдено, что переходный процесс между режимами, а также величина и распределение компонент скорости оказывают существенное влияние на свойства используемой двумерной аппроксимации. Расчеты выполнялись для числа Прандтля Рг = 0.73 и отношения длины замкнутой области к ее высоте, равного пяти.

В работе [42] рассматривались адвективные течения в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения, на торцах которого поддерживались различные температуры, а другие грани были теплоизолированы. Путем численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, записанных для замкнутого канала, проведен анализ устойчивости основного течения, исследована

пространственная структура конвекции при изменении числа Грасгофа и размеров (длины и ширины) области. Все расчеты выполнены для случая Рг = 0. Найдена зависимость критического числа Грасгофа и длины волны от относительной ширины слоя. Выше этой границы устойчивости существуют сложные пространственные стационарные структуры течения. Эти структуры могут быть потенциальной причиной макронеоднородностей распределения примесей.

В работе [43] было проведено исследование устойчивости стационарных течений в горизонтальном канале квадратного сечения, на стенках которого поддерживался продольный градиент температуры, параллельный оси канала. Показано, что в этом случае плоскопараллельное стационарное решение существует лишь при нулевом значении числа Прандтля. При отличных от нуля значениях числа Прандтля таких решений не существует, в поперечном сечении канала образуются четыре вихря, так что траектории частиц представляют собой спирали с осью, параллельной образующей канала. Исследована устойчивость стационарных течений по отношению к трехмерным возмущениям, периодическим вдоль оси канала, при нулевом значении числа Прандтля.

В работах [44, 45] устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения с идеально теплопроводными границами исследовалась для отличных от нуля значений числа Прандтля. Обнаружен эффект резкого повышения устойчивости основного течения по отношению к гидродинамическим возмущениям, характерный для малых значений числа Прандтля.

В работе [46] проведены численные эксперименты по естественной конвекции жидкостей с нулевым числом Прандтля в параллелепипеде, имеющем свободную верхнюю границу, и замкнутой полости с твердой верхней границей, для геометрических размеров 4x1x2 (длина-высота-ширина) и 4x1x1. Целью исследования было создание модели трехмерной

конвекции и определение критического числа Грасгофа, при котором течение становится нестационарным. Использовалась трехмерная ламинарная модель течения с постоянными свойствами жидкости. Для численного исследования применялся метод конечных объемов. Установлено, что при относительно малых числах Грасгофа течение является стационарным и представляет собой одну ячейку, в отличие от многоячеистой структуры течения, которую предсказывают двумерные исследования. Когда число Грасгофа достигает критического значения, течение становится колебательным. Переход к нестационарному течению зависит от геометрии области и типа верхней границы. Течение в области с твердой верхней границей более устойчиво, чем со свободной верхней, для обоих рассмотренных геометрических размеров. Ширина расчетной области оказывает существенное влияние на переход к колебательной конвекции: уменьшение ширины приводит к значительному повышению критического числа Грасгофа, что делает результаты двумерного численного моделирования совершенно неадекватными. Аналогичная задача для числа Прандтля Рг = 0.015 рассмотрена в работе [47].

В работе [48] численно, методом конечных элементов проведено исследование течений, возникающих в областях, заполненных жидкостями с малым числом Прандтля, при наличии горизонтального градиента температуры. Особое внимание уделено случаю полости с относительными геометрическими размерами 4x2x1, для которой имеются экспериментальные данные. Трехмерное моделирование показало, что после первоначального формирования циркуляции Хэдли происходит переход к нестационарным течениям в виде колеблющихся валов динамической природы. Этот переход соответствует бифуркации Хопфа и сопровождается нарушением симметрии, придавая некоторые специфические свойства временной эволюции течения. Результаты вычислений, выполненных для ртути, хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В работе [49] представлено численное исследование трехмерной естественной конвекции при малых числах Прандтля в диапазоне от Рг = О до Рг = 0.027 в прямоугольной замкнутой полости с различными значениями температуры на торцах. Расчеты проведены для относительной длины полости (отношения длины к высоте), равной 2 и 4, и относительной ширины полости (отношения ширины к высоте), варьируемой в диапазоне от 0.5 до 4.2. Исследована зависимость возникновения колебаний от числа Прандтля и геометрических параметров полости. Кроме того, выяснена трехмерная структура колебательного течения, характеризуемая продольными валами.

В работе [50] рассмотрено конвективное течение жидкого галлия в прямоугольном параллелепипеде. Трехмерная природа стационарного течения показана с помощью количественного сравнения температуры, измеренной экспериментально, и результатов численного моделирования. Трехмерная структура течения характеризуется поперечными вихрями, величина которых на порядок меньше, чем величина основного вихря. Эти поперечные вихри распространяются от торцов по всей замкнутой области, когда число Грасгофа превышает вг = 104. Поглощение этих эффектов в центре области приводит к сложной структуре центрального дивергентного течения, поддерживающего рассмотренный переход к колебательной конвекции.

В работе [51] выполнено экспериментальное и численное исследование возникновения колебательной конвекции в подогреваемой сбоку прямоугольной области, заполненной жидким галлием. Проведено детальное сравнение между результатами эксперимента и численными данными, полученными при решении трехмерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска. Имеет место очень хорошее количественное совпадение частот колебательного движения, что свидетельствует о хорошем качестве выполнения эксперимента, поскольку колебательный режим чрезвычайно чувствителен к различным недостаткам и дефектам в

эксперименте. Возникновение нестационарности происходит вследствие надкритической бифуркации Хопфа. Подробное численное исследование показало, что имеет место пара бифуркаций Хопфа, существующая в двух асимметричных состояниях, возникающих, в свою очередь, при вилочной бифуркации из симметричного состояния. В эксперименте данное явление зафиксировать не удалось, что объясняется возникновением возмущений, не подчиняющихся приближению Буссинеска, с ростом числа Грасгофа. Тем не менее, антисимметричная пространственная структура колебательной природы наблюдается и в эксперименте, и при численном моделировании. Численному исследованию колебательной конвекции в жидких металлах посвящена также работа [52].

Устойчивость адвективного течения изучалась экспериментально в работе [53]. В качестве рабочей жидкости использовался спирт (Рг = 16.1). Экспериментальные результаты хорошо согласуются с теорией: в диапазоне чисел Грасгофа 54 < вг < 72 развивалась неустойчивость относительно монотонных спиральных мод (теоретическое значение вг = 55) с волновыми числами 2.9 < кт < 4.3 (теоретическое значение

1.2 Адвективные течения бинарных смесей

Неоднородность состава жидкости приводит к появлению дополнительной конвективной силы, обусловленной неоднородностью концентрации. Возникает также дополнительный (диффузионный) диссипативный механизм. Это, в свою очередь, приводит к качественно новым механизмам неустойчивости. Кроме гидродинамической моды и нарастающих температурных волн, теперь оказываются возможными концентрационные волны, а также специфический для смеси «двойной диффузионный» (термоконцентрационный) механизм. Наличие нескольких механизмов и их взаимодействие делают общую картину потери устойчивости течений смеси весьма сложной. Задача устойчивости

конвективного течения смеси представляет интерес, в частности, в связи с анализом работы термодиффузионной колонны для разделения изотопов, выращиванием кристаллов, множеством процессов в химической промышленности.

Большое количество работ по бинарным жидкостям связано с рассмотрением термоконцентрационной конвекции в вертикальной полости с различными граничными условиями для температуры и концентрации. Задача в такой постановке была рассмотрена численно и аналитически в работе [54], где рассматривалась вертикальная полость при наличии постоянных горизонтальных градиентов температуры и концентрации. Однако, как показано в работе [55], найденное в [54] решение пригодно лишь для частного случая, когда число Льюиса Ье = 1 и, в сущности, не имеет отношения к термоконцентрационной конвекции. В работе [56] представлено аналитическое и численное исследование естественной конвекции в квадратной области, заполненной бинарной газовой смесью, при наличии градиентов температуры и концентрации. Существование многоячеистых структур течения для некоторых значений числа Льюиса и параметра термодиффузии было показано экспериментально в работах [57, 58] и численно в [59, 60]. Результаты работы [54] были подвергнуты ревизии в [61]. Авторами данной работы было предложено аналитическое решение в пределе вытянутой области, хорошо согласующееся с численным решением полной системы определяющих уравнений.

В работе [62] рассматривалась конвекция в бесконечном вертикальном слое, а в [63-65] - в вертикальной замкнутой полости, вызванная эффектом Соре.

В работах [66, 67] рассмотрена задача устойчивости адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с твердыми границами при различных типах граничных условий для температуры и концентрации: заданные продольные градиенты температуры и

концентрации; постоянный продольный градиент температуры и отсутствие потока вещества; отсутствие потоков тепла и вещества. Сформулирована спектральная задача для амплитуд нормальных возмущений. Рассмотрен случай механического равновесия в отсутствие градиента плотности. Для второго и третьего типов граничных условий проведено аналитическое исследование длинноволновой неустойчивости. Результаты численного моделирования полной спектральной задачи для амплитуд рассмотрены для числа Прандтля Рг = 0.01 и числа Шмидта 8с>Рг. Границы устойчивости течения и характеристики критических возмущений определены для всех указанных типов граничных условий. Показано, что неустойчивость вызвана гидродинамическим и термоконцентрационным механизмами.

В работе [68] аналитически и численно изучено адвективное течение бинарной жидкости в вытянутой по горизонтали замкнутой полости с теплоизолированными границами. Задача рассмотрена с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности. Исследовано влияние теплового числа Релея, параметра термодиффузии и числа Льюиса на интенсивность конвекции. Аналитическая модель, основанная на приближении плоскопараллельного течения, представлена для случая плоского бесконечного слоя. Рассмотрен частный случай, когда тепловой и концентрационный эффекты имеют одинаковую интенсивность и противоположное направление (параметр термодиффузии равен -1). В этой ситуации возможно механическое равновесие, соответствующее чисто диффузионному режиму. Критическое число Релея, соответствующее началу надкритической конвекции, определено численно, на основе линейной теории учтойчивости. Из нелинейного приближения плоскопараллельного течения также определено подкритическое число Релея, соответствующее началу подкритической конвекции. Аналитически и численно показано существование нескольких решений для заданного набора управляющих параметров при значениях

параметра термодиффузии в окрестности -1. Результаты аналитической модели хорошо согласуются с численным решением полной системы определяющих уравнений.

В недавней работе [69] исследована устойчивость стационарного адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с идеально теплопроводными твердыми границами при наличии однородного продольного градиента температуры, с учетом эффекта термодиффузии. Аналитически найдены границы устойчивости стационарного течения по отношению к длинноволновым возмущениям. Численно исследована устойчивость основного состояния по отношению к плоским и спиральным возмущениям с конечной длиной волны. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея -параметр Соре для ряда типичных жидких и газовых смесей: жидкометаллический расплав, воздушная смесь, раствор соли в воде. Адвективное течение приводит к формированию плотностной вертикальной стратификации, которая потенциально неустойчива в слоях жидкости, прилегающих к границам, и потенциально устойчива в центральной части слоя. Нормальный эффект Соре усиливает и ту, и другую стратификацию, поэтому он оказывает стабилизирующее действие на гидродинамическую моду неустойчивости, порождаемую вихрями, локализованными на границе встречных потоков, и дестабилизирующее действие на релеевские моды неустойчивости, локализованные в областях неустойчивой стратификации. В результате при малых числах Прандтля, когда в отсутствие термодиффузии за неустойчивость плоскопараллельного адвективного течения ответственны гидродинамические возмущения, нормальный термодиффузионный эффект приводит к стабилизации. Однако эффект этот слабый, поскольку с ним конкурирует эффект увеличения интенсивности адвективного течения вследствие возрастания продольного градиента плотности. При достаточно больших числах Прандтля, когда в отсутствие термодиффузии наиболее

опасными становятся релеевские моды неустойчивости, нормальный термодиффузионный эффект приводит к дестабилизации, причем теперь оба эффекта, и увеличение интенсивности течения, и усиление стратификации, работают в одну сторону, так что дестабилизация оказывается сильной. При аномальной термодиффузии и небольших по модулю значениях параметра Соре имеют место эффекты, аналогичные описанным, с точностью до перемены знака. При достаточно больших по модулю отрицательных значениях параметра Соре амплитуда скорости адвективного течения уже не является однозначной функцией параметров, в некоторой области параметров имеется три стационарных режима с различными интенсивностями течения. При этом средняя ветвь решений всегда неустойчива, нижняя ветвь почти всюду устойчива, а для верхней ветви появляются новые термоконцентрационные механизмы неустойчивости, которые проявляются при значительно меньших числах Релея, чем гидродинамический и релеевский механизмы неустойчивости.

1.3 Влияние акустической волны на адвективные течения

По причине наличия целого ряда механизмов неустойчивости конвективные течения чувствительны к воздействию дополнительных осложняющих факторов. Примером такового служит воздействие акустической волны, часто возникающей в технологических процессах.

В работе [70] рассмотрено влияние акустического воздействия на формирование и устойчивость адвективного течения в плоском горизонтальном слое жидкости. Для описания осредненного движения жидкости использовалась система уравнений термоакустической конвекции, полученная в [71]. Волна распространяется параллельно градиенту температуры. С помощью методов дифференциальной прогонки и ортогонализации исследована линейная устойчивость адвективного течения относительно плоских, спиральных и трехмерных возмущений типа наклонных волн. Обнаружено, что акустическое воздействие малой

интенсивности стабилизирует адвективное течение при малых числах Прандтля. Методами слабо-нелинейного анализа получена и исследована система амплитудных уравнений, описывающая поведение возмущений при малых надкритичностях. Показано, что все ранее указанные типы возмущений возникают мягко, найдены области устойчивости плоских и спиральных вторичных течений. Вторичное течение, соответствующее возмущениям типа наклонных волн, является неустойчивым.

В работе [72] изучена линейная устойчивость течения жидкости в горизонтальном слое, при наличии продольного градиента температуры и горизонтального ультразвукового воздействия. Вертикальные профили основного течения определены аналитически, задача на собственные значения, проистекающая из анализа устойчивости, решалась численно, с помощью псевдоспектрального метода с применением полиномов Чебышева.

В работе [73] проведено численное исследование течения в параллелепипеде, вызванного акустическим воздействием. Определены структура течения и свойства устойчивости. Течение имеет различные симметрии: симметрию группы £>4 в случае чисто акустического течения, симметрию группы 22У,Хг в случае чистой конвекции, симметрию группы Z2 в общем случае. Эти симметрии, как правило, нарушаются в точке первой бифуркации. Полученные бифуркационные диаграммы показали, что течение становится колебательно периодическим в точке, соответствующей бифуркации Хопфа. Получены зависимости критического числа Грасгофа от длины области, числа Прандтля и интенсивности акустического воздействия. Порог устойчивости повышается по мере усиления влияния акустики, что демонстрирует стабилизирующий эффект акустического воздействия и объясняет наблюдаемое улучшение качества в процессе выращивания кристаллов в случае применения ультразвуковых волн. В некотором диапазоне параметров, однако, наблюдаются и эффекты дестабилизации.

Основные экспериментальные исследования, связанные с рассмотрением влияния акустического воздействия на процесс направленной кристаллизации, были проведены в работах [74-79]. Исследования [74-77] показали, что акустическое воздействие способно понизить или даже исключить дефекты при выращивании монокристаллов методом Чохральского (впервые данный метод описан в [80]). В [78] было изучено влияние акустической волны на тепловую конвекцию в дистиллированной воде. Преимуществом дистиллированной воды является ее прозрачность, что позволяет легко применять оптические методы измерений, а также то, что скорость звука в ней равна скорости звука в некоторых расплавах жидких металлов. Эксперимент моделирует установку Чохральского, используемую для выращивания монокристаллов ОЭяДпьдЗЬ. Показано, что ультразвуковые волны высокой частоты позволяют понизить интенсивность конвекции. Наблюдалось также сильное уменьшение колебаний течения. В более поздней работе [79] исследовано влияние ультразвука на рост дефектов и электрофизических свойств монокристаллов Ga.Jnj-.tSb.

В работе [81] проведены численные эксперименты по изучению конвекции в горизонтальной замкнутой полости с соотношением сторон 5x1x1.3, при наличии горизонтального градиента температуры и продольного звукового поля. Система определяющих уравнений решалась численно, методом спектральных элементов. При увеличении (или уменьшении) числа Грасгофа формируются различные структуры течения. В отсутствие акустического поля имеют место гистерезисные явления, связанные с первой бифуркацией, сопровождающейся нарушением симметрии. В случае акустического воздействия гистерезис не наблюдается. Обнаружено, что последующий переход к колебательному течению стабилизируется акустическим полем. В зависимости от интенсивности акустического воздействия, . этот переход может происходить с нарушением либо без нарушения лево-правой симметрии.

В работе [82] изучено влияние акустического воздействия на устойчивость конвективного течения при выращивании кристаллов горизонтальным методом Бриджмена. Рассматривались две простые конфигурации: слой жидкости при наличии горизонтального градиента температуры и подогреваемая сбоку полость, имеющая форму параллелепипеда. В обоих случаях зависимость критического числа Грасгофа от интенсивности акустического воздействия определялась для фиксированного числа Прандтля и размеров источника звука. Для случая бесконечного слоя показано, что при достаточно малой ширине акустического пучка имеется диапазон интенсивности акустического воздействия, в котором течение стабилизируется. Небольшая децентрализация пучка также может повысить порог устойчивости. Для случая замкнутой полости обнаружено, что при достаточно большой ширине акустического пучка положение точек двух первых бифуркаций повышается при увеличении акустического влияния.

2. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию адвективных течений (течений, возникающих при наличии горизонтального градиента температуры) одно- и двухкомпонентных жидкостей в горизонтальных слоях и каналах с адиабатическими границами. Актуальность исследования таких течений связана с многочисленными геофизическими и техническими приложениями. К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые типы движений в океане, коре и мантии Земли, процессы переноса в мелких водоемах, движение расплавов в установках для получения кристаллов в горизонтальном варианте метода направленной кристаллизации.

Развитие современных технологий предъявляет все более высокие требования к качеству монокристаллов. Управляя течениями в расплаве в

ходе выращивания кристалла, можно существенно влиять на качество получаемого монокристаллического материала. Одним из наиболее перспективных методов получения высококачественных монокристаллов полупроводников является их выращивание из расплава методом Бриджмена. Течения в расплаве способны как повышать, так и понижать однородность распределения примеси в выращиваемом кристалле. С одной стороны, течения, способствуя перемешиванию примеси в расплаве, повышают однородность ее распределения. С другой стороны, течения в расплаве переносят примесь и способны нарушить однородность ее распределения в выращиваемых кристаллах, создавая участки, в которых имеется локальный избыток либо недостаток примеси. С этой точки зрения течения вредны, и их нужно подавлять.

Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в рамках грантов РФФИ 04-01-00893, Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (РЕ-009-0/В2М409), Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (07-11н-14с, 08-13н-12с, 09-15н-06с, 10-17н-12и).

Цели диссертационной работы:

- Установление условий возникновения неустойчивости и характеристик нелинейных режимов адвективных течений одно- и двухкомпонентных жидкостей в плоском горизонтальном слое и горизонтальном канале прямоугольного поперечного сечения с теплоизолированными границами.

- Определение оптимальных параметров акустического воздействия для управления устойчивостью течения однокомпонентной жидкости в плоском слое и канале прямоугольного сечения

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы получены следующие новые результаты:

- С учетом эффекта термодиффузии исследовано стационарное адвективное течение бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами. Выявлен диапазон значений параметра термодиффузии, в котором стационарное решение неоднозначно.

- Получены карты устойчивости стационарного течения на плоскости параметров число Релея - параметр Соре для ряда типичных жидких и газовых смесей. Найдено, что при отрицательных значениях параметра Соре, меньших некоторого значения, для всех смесей наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Обнаружено значительное влияние термодиффузии на газовые смеси. Выполнено численное моделирование двумерных нелинейных режимов течения.

- Исследовано стационарное адвективное течение однокомпонентной жидкости в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных отношений сторон поперечного сечения канала. Показано стабилизирующее влияние стенок канала на течение.

- Численно исследованы трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале квадратного сечения с теплоизолированными боковыми границами. Показано, что в зависимости от значений чисел Грасгофа и Прандтля и длины канала течение может обладать различными типами симметрии и поведением во времени. Установлено, что возможны разные варианты перехода к колебательным режимам течения: либо с предварительным нарушением симметрии течения (вилочная бифуркация), либо без смены типа симметрии.

- Изучено влияние акустической волны на стационарное адвективное течение в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами. Рассмотрены возмущения типа плоских и спиральных валов. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных значений пульсационного числа Рейнольдса и числа Прандтля. Найдено, что акустическая волна оказывает значительное стабилизирующее влияние на гидродинамическую и спиральную колебательную моды неустойчивости и дестабилизирующее влияние на спиральную монотонную моду. При малых числах Прандтля, характерных для жидких металлов, акустическое воздействие может применяться в качестве фактора, стабилизирующего адвективное течение.

Автор защищает:

- Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами, с учетом эффекта термодиффузии.

- Результаты численного моделирования нелинейных режимов адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами, с учетом эффекта термодиффузии.

- Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами.

- Результаты численного моделирования трехмерных адвективных течений в горизонтальном канале квадратного сечения и конечной длины в случае теплоизолированных боковых границ.

- Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения, при наличии бегущей акустической волны, в случае теплоизолированных боковых границ.

Достоверность результатов подтверждается:

- анализом сходимости и устойчивости решений при различной степени дискретизации расчетной области и варьировании расчетных параметров;

- соответствием известным решениям в предельных случаях;

- согласием данных, полученных с использованием различных численных методов.

Практическая значимость работы: полученные в работе численные данные об условиях возникновения неустойчивости адвективных течений могут быть использованы для оптимизации технологии получения кристаллов полупроводников горизонтальным методом Бриджмена. Полученные данные о влиянии акустического воздействия на устойчивость адвективных течений могут быть использованы при разработке технологий управления течениями и тепломассообменом при выращивании кристаллов. Разработанные при выполнении работы численные алгоритмы могут быть использованы при решении других задач гидродинамической неустойчивости.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2005, 2006);

- IX Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Новосибирск, 2006;

- XV Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2007;

- Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2007;

- Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края», Пермь, 2008;

- Молодежная конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск, 2008;

- «8th International Meeting on Thermodiffusion», Bonn, Germany, 2008;

- конференция Pan-REC, Нижний Новгород, 2008;

- Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, (2008,2009, 2010, 2011);

- XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий», Пермь, 2009;

- XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2011;

- Теоретический семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель - академик В.П. Матвеенко, Пермь, 2012;

- Семинар кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов, Пермь, 2012.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 18 работах, которые приведены в основном списке литературы [69, 92-108], из них 4 статьи опубликованы в изданиях, входящих в список ВАК, 7

статей в сборниках трудов конференций и 7 тезисов докладов на конференциях. Личный вклад автора в работу [69] состоит в участии в численном исследовании устойчивости адвективных течений бинарных жидкостей в плоском горизонтальном слое с идеально теплопроводными границами, в работы [92, 93] - в участии в численных расчетах по устойчивости стационарного адвективного течения однокомпонентной жидкости в плоском бесконечном горизонтальном слое для двух типов граничных условий для температуры - идеально теплопроводных и теплоизолированных границ слоя; в работы [93-95], [98, 99], [101] - в численном исследовании устойчивости и нелинейных режимов адвективного течения двухкомпонентной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами; в работы [96, 97], [100], [105] - в численных расчетах по устойчивости адвективного течения однокомпонентной жидкости в горизонтальном канале прямоугольного поперечного сечения с адиабатическими границами; в работы [102-104], [106, 108] - в численном исследовании трехмерных адвективных течений в горизонтальном цилиндре квадратного сечения с адиабатическими боковыми границами, в работу [107] - в участии в численном исследовании линейной устойчивости стационарного адвективного течения в бесконечном плоском горизонтальном слое, при наличии акустической волны, распространяющейся в жидкости, в случае теплоизолированных границ.

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, четырех глав, заключения, списка литературы (108 наименований). Работа содержит 52 рисунка. Общий объем диссертации -117 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Никитин, Дмитрий Алексеевич

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. С учетом эффекта Соре исследовано стационарное адвективное течение бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с адиабатическими границами. Выявлен диапазон значений параметра термодиффузии, в котором стационарное решение неоднозначно.

2. Определены границы линейной устойчивости стационарного течения по отношению к различным модам неустойчивости для ряда типичных жидких и газовых смесей. Найдено, что в случае аномальной термодиффузии при значениях параметра Соре, меньших некоторого значения, для всех смесей наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Обнаружено значительное влияние термодиффузии на газовые смеси. Выполнено численное моделирование двумерных нелинейных режимов течения.

3. Исследовано стационарное адвективное течение однокомпонентной жидкости в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных отношений сторон поперечного сечения канала. Показано стабилизирующее влияние стенок канала на течение.

4. Исследованы трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале конечной длины. Показано, что при увеличении числа Грасгофа наблюдаются вилочная бифуркация, сопровождающаяся изменением типа симметрии течения, и бифуркация Хопфа. В зависимости от числа Прандтля и длины канала возможны разные варианты перехода к колебательным режимам течения: либо с предварительным нарушением симметрии течения, либо без смены типа симметрии.

5. Рассмотрено влияние акустического воздействия на адвективное течение в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами и его устойчивость. Найдено, что акустическая волна оказывает значительное стабилизирующее влияние на гидродинамическую и спиральную колебательную моды неустойчивости и дестабилизирующее влияние на спиральную монотонную моду. При малых числах Прандтля, характерных для жидких металлов, акустическое воздействие может применяться в качестве фактора, стабилизирующего адвективное течение.

В заключение, автор диссертации выражает благодарность научному руководителю Татьяне Петровне Любимовой за постановку задачи, научное руководство и непрерывный контроль, а также моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали благоприятные условия для продуктивной и успешной работы.

Автор выражает особую благодарность Любимову Дмитрию Викторовичу, Лобову Николаю Ивановичу, Скуридину Роберту Владиславовичу, Шкляеву Сергею Викторовичу, Перминову Анатолию Викторовичу, Голдобину Денису Сергеевичу, Седельникову Григорию Александровичу, Иванцову Андрею Олеговичу, Садилову Евгению Сергеевичу за ценные рекомендации, замечания и обсуждения, которые существенно повлияли на содержание диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Алексеевич, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

3. Авдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д., Лесков Л.В., Петров А.П., Полежаев В.И., Савшев В.В. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980. 222 с.

4. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов // Механика жидкости и газа. Т. 18. М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники). 1984. С. 198-269.

5. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. 194 с.

6. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: ИЛ, 1962. 203 с.

7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.350 с.

8. Гольдштик М.А, Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

9. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкостей. М.: Мир, 1981. 638 с.

10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое ЧПМТФ. 1974. № 1. С. 95-100.

11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений // ПМТФ. 1974. № 5. С. 145-147.

12. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky Е.М. On the stability of plane-parallel advective flow in long horizontal layers // Microgravity Q. 1992. Vol. 2. N. 3. P. 141-151.

13. Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного течения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦАНСССР. 1979. С. 29-35.

14. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое // Гидродинамика. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1974. Вып. 7. С. 33-42.

15. Мызников В.М. Конечно-амплитудные конвективные движения жидкости в горизонтальном слое с продольным градиентом температуры // Математические модели течений жидкости: труды 6 Всес. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР. 1978. С. 176-186.

16. Мызников В.М. Об устойчивости стационарного адвективного движения жидкости в плоском горизонтальном слое со свободной границей // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1979. С. 52-57.

17. Мызников В.М. Об устойчивости стационарного адвективного движения в горизонтальном слое со свободной границей относительно пространственных возмущений // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1981. С. 76-82.

18. Мызников В.М. Конечно-амплитудные пространственные возмущения адвективного движения в горизонтальном слое со свободной границей II Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т. 1981. С. 83-88.

19. Smith М.К., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 132. P. 119-144.

20. Гончаренко Б.Н., Уринцев А.Л. Об устойчивости движения жидкости, вызванного термокапиллярными силами // ПМТФ. 1971. № 6. С. 94-98.

21. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 2. Surface-wave instabilities II J. Fluid Mech. 1983. Vol. 132. P. 145-162.

22. Павловский Д.С. Влияние термокапиллярных течений на устойчивость течения в горизонтальном слое // Численные методы в задачах тепло- и массо-обмена. Избранные статьи участников семинара под руководством В.И. Полежаева, Л. А. Чудова, Г. С. Глушко. М.: Ин-т пробл. мех. 1997. С 45-54.

23. Hart J. A note of the stability of low-Prandtl-number Hadley circulations // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 132. P. 271-281.

24. Kuo H.P., Korpela S.A. Stability and finite amplitude natural convection in a shallow cavity with insulated top and bottom and heated from a side // Phys. Fluids. 1988. Vol. 31. N. 1. P. 33-42.

25. Drummond J.E., Korpela S.A. Natural convection in a shallow cavity // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 182. P. 543-564.

26. Wang T.M., Korpela S.A. Convection rolls in a shallow cavity heated from a side И Phys. Fluids. 1989. N. 1. P. 947-953.

27. Wang T.M., Korpela S.A. Secondary instabilities of convection in a shallow cavity // J. Fluid Mech. 1992. Vol. 234. P. 147-170.

28. Hurle D.T.J., Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten gallium II J. Fluid Mech. 1974. Vol. 64. N. 3. P. 565576.

29. Hurle D.T.J. Temperature oscillations in molten metals and their relationship to growth striae in melt-grown crystals // Phil. Mag. 1966. Vol. 13. P. 305-310.

30. Braunsfurth M.G., Mullin T. An experimental study of oscillatory convection in liquid gallium И J. Fluid Mech. 1996. Vol. 327. P. 199-219.

31. Hart J.E., Pratte J.M. A laboratory study of oscillations in differentially heated layers of mercury // Notes on Numerical Fluid Mechanics. 1990. Vol. 27. P. 329-337.

32. Pratte J.M., Hart J.E. Endwall driven, low Prandtl number convection in a shallow rectangular cavity II J. Crystal Growth. 1990. Vol. 102. P. 54-68.

33. Gill A.E. A theory of thermal oscillations in liquid metals // J. Fluid Mech. 1974. Vol. 64. N. 3. P. 577-588.

34. Roux B., Ben Hadid H., Laure P. Numerical simulation of oscillatory convection in semiconductor melts II J. Crystal Growth. 1989. Vol. 97. P. 201-216.

35. Laure P., Roux B. Synthesis of the results obtained by a stability analysis of the convective motions in a horizontal cavity of large extent // Mechanics of Fluids. 1987. Vol. 35. N. 2. P. 1137-1143.

36. Weber J.E. On thermal convection between non-uniformly heated planes // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1973. Vol. 16. N. 5. P. 961-970.

37. Weber J.E. On the stability of thermally driven shear flow heated from below///. Fluid Mech. 1978. Vol. 87. N. 1. P. 65-84.

38. Bontoux P., Smutek C., Roux B., Lacroix J.M. Three-dimensional buoyancy-driven flows in cylindrical cavities with differentially heated endwalls II J. Fluid Mech. 1986. Vol. 169. P. 211-227.

39. Bejan A., Tien C.L. Fully developed natural counterflow in a long horizontal pipe with different end temperatures // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1978. Vol. 21. P. 701-708.

40. Smutek C., Bontoux P., Roux B., Schiroky G.H., Hurford A.C., Rosenberger F., De Vahl Davis G. Three-dimensional convection in horizontal cylinders: numerical solutions and comparison with experimental and analytical results // Numerical Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 613-631.

41. Bontoux P., Roux B., Schirokiy G.H., Markham B.L., Rosenberger F. Convection in the vertical midplane of a horizontal cylinder. Comparison of two-dimensional approximation with three-dimensional results // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1986. Vol. 29. N. 2. P. 227-240.

42. Никитин С.А., Павловский Д.С., Полежаев В.И. Устойчивость и пространственная структура конвекции в вытянутых горизонтальных слоях при боковом подводе тепла // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №4. С. 28-37.

43. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Скуридин Р.В. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения // Гидродинамика: Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та. 1998. Вып. 11. С. 167-175.

44. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Morozov V.A., Scuridin R.V., Sedelnikov G.A. Stability of advective flows in a horizontal channel of rectangular cross-section // International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection". Perm, Russia, 24 - 27 November, 2003. Abstracts.

45. Lyubimova T.P., Lyubimov D.V., Morozov V.A., Scuridin R.Y., Ben Hadid H., Henry D. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 1. Effect of aspect ratio and Prandtl number II J. Fluid Mech. 2009. Vol. 635. P. 275-295.

46. Afrid M., Zebib A. Oscillatory three-dimensional convection in rectangular cavities and enclosures // Phys. Fluids. 1990. Vol. 2. Issue 8. P. 1318-1327.

47. Bucchignani E., Mansutti D. Horizontal thermal convection in a shallow cavity: oscillatory regimes and transition to chaos // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. Vol. 10. Issue 2. P. 179-195.

48. Henry D., Buffat M. Two- and three-dimensional numerical simulations of the transition to oscillatory convection in low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 374. P. 145-171.

49. Wakitani S. Numerical study of three-dimensional oscillatory natural convection at low Prandtl number in rectangular enclosures // J. Heat Transfer. 2001. Vol. 123. Issue 1. P. 77-83.

50. Juel A., Mullin Т., Ben Hadid H., Henry D. Three-dimensional free convection in molten gallium // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 436. P. 267-281.

51. Hof В., Juel A., Zhao L., Henry D., Ben Hadid H., Mullin T. On the onset of oscillatory convection in molten gallium // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 515. P. 391-413.

52. Winters K.H. Oscillatory convection in liquid metals in a horizontal temperature gradient // Int. J. Num. Meth. Engng. 1988. Vol. 25. P. 401414.

53. Бердников B.C., Забродин А.Г. Экспериментальные исследования структуры тепловой гравитационной и гравитационно-капиллярной конвекции на модели метода горизонтальной направленной кристаллизации // Теплофизические процессы при кристаллизации веществ. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР. 1987. С. 67-99.

54. Trevisan O.V., Bejan A. Combined heat and mass transfer by natural convection in a vertical enclosure // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1987. Vol. 109. P. 104-112.

55. Alavyoon F. On natural convection in a vertical porous enclosure due to prescribed fluxes of heat and mass at the vertical boundaries // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1993. Vol. 36. P. 2479-2498.

56. Ranganathan P., Viskanta R. Natural convection in a square cavity due to combined driving forces // Numerical Heat Transfer. 1988. Vol. 14. P. 3539.

57. Han K., Kuchn T. Double diffusive convection in a vertical rectangular enclosure. - I. Experimental study // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1991. Vol. 34. P. 449-459.

58. Lee J., Hyun M.T., Kim W. Natural convection in confined fluids with combined horizontal temperature and concentration gradients // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1988. Vol. 31. P. 1969-1977.

59. Lee J., Hyun J.M. Double-diffusive convection in a rectangle with opposing horizontal temperature and concentration gradients // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1990. Vol. 33. P. 1619-1632.

60. Shyy W., Chen M. Double-diffusive flow in enclosures // Phys. Fluids. 1991. Vol. 3. P. 2592-2602.

61. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. Analytical and numerical study of double diffusive convection in a vertical enclosure // Heat Mass Transfer. 1996. Vol. 32. P. 115-125.

62. Gobin D., Bennacer R. Double-diffusion convection in a vertical fluid layer: onset of the convection regime // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. P. 5967.

63. Bergman T.L., Srinivasan R. Numerical simulation of Soret-induced double diffusion in an initially uniform concentration binary fluid // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1989. Vol. 32. P. 679-687.

64. Traore Ph., Mojtabi A. Analyse de l'effet Soret en convection thermosolutale И Entropie. 1989. Vol. 184/185. P. 32-37.

65. Krishnan R. A numerical study of the instability of double-diffusive convection in a square enclosure with horizontal temperature and concentration gradients, Heat transfer in convective flows // HTD ASME National Heat Transfer Conference, Philadelphia. 1989. Vol. 107. P. 357368.

66. Gershuni G.Z., Shalimov A.V., Myznikov V.M. Plane-parallel advective binary mixture flow stability in a horizontal layer // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. N. 15. P. 2327-2342.

67. Gershuni G.Z., Shalimov A.V., Myznikov V.M. Stability of advective binary mixture flows // Ninth European symposium «Gravity-dependent phenomena in physical sciences». Berlin, Germany, 2-5 May, 1995. P. 307308.

68. Ouriemi M., Vasseur P., Bahloul A., Robillard L. Natural convection in a horizontal layer of a binary mixture // Int. J. of Thermal Sciences. 2006. Vol. 45. P. 752-759.

69. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Никитин Д.А., Перминов A.B. Устойчивость адвективного течения бинарной смеси в плоском

горизонтальном слое с идеально теплопроводными границами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2010. № 3. С. 129-139.

70. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. №3. С. 10-21.

71. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. New York: John Wiley & sons, 1998. 358 p.

72. Dridi W., Henry D., Ben Hadid H. Stability of buoyant convection in a layer submitted to acoustic streaming // Physical review. 2010. E 81. 056309.

73. Dridi W., Henry D., Ben Hadid H. Influence of acoustic streaming on the stability of a laterally heated three-dimensional cavity // Physical review. 2008. E 77. 046311.

74. Kozhemyakin G.N., Kosushkin V.G., Kurochkin S.Y. Growth of GaAs crystals pulled under the presence of ultrasonic vibrations // J. Crystal Growth. 1992. Vol. 121. Issues 1-2. P. 240-242.

75. Kozhemyakin G.N., Kolodyazhnaya L.G. Growth striations in Bi-Sb alloy single crystals pulled in the presence of ultrasonic vibrations // J. Crystal Growth. 1995. Vol. 147. Issues 1-2. P. 200-206.

76. Kozhemyakin G.N. Influence of ultrasonic vibrations on the growth of semiconductor single crystals // Ultrasonics. 1998. Vol. 35. Issue 8. P. 599604.

77. Kozhemyakin G.N. Influence of ultrasonic vibrations on the growth of InSb crystals II J. Crystal Growth. 1995. Vol. 149. Issues 3-4. P. 266-268.

78. Kozhemyakin G.N. Imaging of convection in a Czochralski crucible under ultrasound waves II J. Crystal Growth. 2003. Vol. 257. Issues 3-4. P. 237244.

79. Kozhemyakin G.N., Zolkina L.V., Rom M.A. Influence of ultrasound on the growth striations and electrophysical properties of GaJn^Sb single crystals // Solid-State Electronics. 2007. Vol. 51. Issue 6. P. 820-822.

80. Czochralski J. A new method for the measurement of crystallization rate of metals HZ. Phys. Chem. 1918. Vol. 92. P. 219-221.

81. Lei H., Henry D., Ben Hadid H. Numerical study of the influence of a longitudinal sound field on natural convection in a cavity // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2006. Vol. 49. Issues 19-20. P. 3601-3616.

82. Dridi W., Henry D., Ben Hadid H. Influence of acoustic streaming on the stability of melt flows in horizontal Bridgman configurations // J. Crystal Growth. 2008. Vol. 310. Issues 7-9. P. 1546-1551.

83. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

84. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей (в двух томах). М.: Мир, 1991.

85. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

86. Gottlieb D., Orszag S.A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications. SIAM, Philadelphia, 1977. 172 p.

87. Orszag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation // J. FluidMech. 1971. Vol. 50. P. 689-703.

88. Fulton S.R., Schubert W.H. Chebyshev spectral methods for limited-area models. Part I: model problem analysis // Monthly Weather Review. 1987. Vol. 115. P. 1940-1953.

89. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Morozov V.A. Software package for numerical investigation of linear stability of multi-dimensional flows // Bull. Perm Univ. Information Systems and Technologies. 2001. N. 5. P. 7481.

90. Kurganov A., Levy D. A third-order semidiscrete central scheme for conservation laws and convection-diffusion equations // SIAM J. Sci. Comput. 2000. V. 22. P. 1461-1488.

91. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.; Л.: Энергия, 1964. 208 с.

92. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости течений в горизонтальном канале // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2005. С. 67-68.

93. Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости адвективных течений в горизонтальном слое // IX Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». Тез. докладов. Новосибирск. 2006. С. 83-84.

94. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективных течений двухкомпонентной смеси в горизонтальном слое // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2006. С. 48-49.

95. Любимова Т.П., Никитин Д.А., Перминов A.B. Устойчивость адвективных течений бинарной смеси в плоском горизонтальном слое // XV Зимняя школа по механике сплошных сред. Сборник статей. Пермь. 2007. Ч. 2. С. 340-343.

96. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости адвективных течений в горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами // Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2007. С. 290-293.

97. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами // Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». Тез. докладов. Пермь. 2008. С. 21-22.

98. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами // Молодежная конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Сборник докладов. Новосибирск. 2008. Вып. XI. С. 217220.

99. Lyubimova Т.Р., Nikitin D.A., Perminov A.V. Stability of a binary fluid convective flow in a horizontal layer subjected to a longitudinal temperature gradient // «8th International Meeting on Thermodiffusion». Abstracts. Bonn, Germany. 2008. P. 162-163.

100. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения с адиабатическими границами // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2008. С. 215-218.

101. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость и нелинейные режимы адвективного течения двухкомпонентной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами // XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий». Тез. докладов. Пермь. 2009. С. 245.

102. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование трехмерных адвективных течений в горизонтальном канале прямоугольного сечения // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2009. С. 165-168.

103. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения с адиабатическими боковыми границами // Всероссийская конференция молодых ученых

«Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2010. С. 158-161.

104. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале квадратного сечения с теплоизолированными боковыми границами // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. докладов. Пермь. 2011. С. 208.

105. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 2. С. 8291.

106. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения с теплоизолированными боковыми границами // Вычисл. мех. сплоил, сред. 2011. Т. 4. № 2. С. 72-81.

107. Любимова Т.П., Никитин Д. А., Скуридин Р.В. О влиянии акустической волны на устойчивость адвективного течения в плоском слое // Вестник Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 5(9). С. 143-147.

108.Lyubimova Т.Р., Nikitin D.A. Three-dimensional advective flows in a horizontal cylinder of square section with thermally insulated lateral boundaries II Fluid Dynamics. 2011. Vol. 46. N. 6. P. 975-983.