Упруго-пластический изгиб тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Захарченко, Виталий Александрович

• Захарченко, Виталий Александрович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Захарченко, Виталий Александрович

Введение

1. Обзор известных моделей изотропных разносопротивляющихся материалов

2. Условие пластичности для разносопротивляющихся материалов

2.1. Пространство нормированных напряжений

2.1.1. Нормированное пространство №

2.1.2. Нормированное пространство №

2.2. Условие предельного состояния для дилатирующих разносопротивляющихся материалов, предложенное Трещевым A.A.

2.3. Уравнения пластического течения

2.4. Краткие выводы по главе

3. Постановка задачи изгиба пластин выполненных из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости

3.1. Принятые гипотезы

3.2. Изгиб прямоугольных пластин при больших прогибах

3.3 Линеаризация и методы решения разрешающих уравнений нелинейного изгиба тонких пластин

3.4. Методы решения разрешающих уравнений

3.5. Краткие выводы по главе

4. Расчет пластин за пределом упругости и анализ v полученных результатов

4.1. Алгоритм решения задачи

4.1.1. Основной алгоритм

4.1.2. Методика определения глубины проникновения пластичности

4.2. Результаты расчета пластин и анализ полученных результатов

4.2.1. Шарнирно опертая квадратная пластина, выполненная из полиметилметакрилата

4.2.2. Жестко защемленная квадратная пластина, выполненная из полиметилметакрилата

4.2.3. Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из полиметилметакрилата

4.2.4. Шарнирно опертая квадратная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38

4.2.5. Жестко защемленная квадратная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38

4.2.6. Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38

4.3. Краткие выводы по главе 123 Заключение 125 Литература 128 Приложение 1 14 0 Приложение 2 151 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Упруго-пластический изгиб тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах»

Стремление повысить эффективность современных конструкций в строительстве, машиностроении и других сферах, вызывает необходимость применения новых материалов, позволяющих уменьшить стоимость и увеличить надежность конструкций. В связи с этим в настоящее время ни одна из отраслей современной техники не обходится без применения различных конструкционных материалов, механические свойства которых не соответствуют классическим представлениям об упругопластическом деформировании твердых тел- Прочностные и деформационные характеристики таких материалов зависят от вида напряженного состояния. Первоначально такие материалы характеризовались различными модулями упругости при растяжении и сжатии, а впоследствии их стали определять как разносопротивляющиеся, то есть обладающие различными сопротивлениями не только при растяжении и сжатии, но и при сложных напряженных состояниях.

Влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов до недавнего времени ставилось под сомнение. Это связано в частности с низким качеством постановки экспериментов. За последние десятилетия советскими и российскими учеными в этом направлении был, достигнут некоторый прогресс. По мере накопления экспериментальных сведений свойство разносопротивляемости выявлялось у все большего количества материалов, что в свою очередь не могло не заинтересовать ученых. Так известные экспериментальные исследования по деформированию разносо-противляющихся материалов [1-2 6] достаточно полно проанализированы и обобщены авторами монографий [27,28]. На основе этих экспериментальных исследований можно сделать вывод о том, что ощутимые эффекты, возникающие в работе конструкций выполненных из разносопротивляющихся материалов, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. К этому стоит добавить и то, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики пластичности и прочности. На рис. 0.1. приведены характерные диаграммы деформирования фенопласта К-17-2 на основе фенолформальдегидной смолы и древесных опилок в условиях одноосного сжатия при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды Р (1— 0,1МПа; 2 - ЗОМПа; 3 - 50МПа; 4 - ЮОМПа; 5 - 150МПа; 6 - 200МПа) [26]. На рис. 0.2. приведены характерные диаграммы деформирования полиметилметакрилата в условиях одноосного растяжения при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды Р (1 - 200МПа; 2 - ЗООМПа) [70] .

- б

Из приведенных диаграмм видно, что гипотеза единой кривой деформирования для данных материалов несправедлива, поскольку характеристики пластичности и прочности зависят от вида напряженного состояния.

Ярким примером сложного напряженно-деформированного состояния является изгиб. Поэтому различные плиты, пластины, оболочки представляют огромный интерес при изучении разносопротивляющихся сред. В свою очередь учет свойств разносопротивляемости может привести к кардинальному пересмотру механики пластин и оболочек.

Решению задачи изгиба пластин за пределом упругости посвящен ряд работ. Причем для материалов соответствующих классическим представлениям об упругопластическом деформировании исследования в этой области, в основном сводятся к определению предельных нагрузок. Для разносопротивляющихся материалов, на данном этапе решение задач упру-гопластического изгиба пластин в большей степени носит теоретический характер с крайне малым количеством расчетов, причем последние ограничиваются малыми прогибами пластин.

В связи с этим целью данной работы является построение расчетной модели и решение задачи упруго-пластического изгиба тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах на основе условия пластичности, предложенного Трещевым A.A., а также получение значений предельных нагрузок и исследование развития пластических зон в плане и по толщине пластины с ростом нагрузки.

Для этой цели необходимо: а) рассмотреть пространство нормированных напряжений, связанное с октаздрическими площадками. б) проанализировать условия пластичности разносопротив-ляющихся материалов; в) получить дифференциальные уравнения, описывающие упруго-пластический изгиб пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах; г) решить ряд прикладных задач пластического изгиба тонких пластин выполненных из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах, с учетом различных закреплений по контуру; д) провести сравнительный анализ полученных результатов расчета гибких пластин с учетом классической теории пластичности и условий пластичности, учитывающих зависимость пределов текучести от вида напряженного состояния.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются: а) математическая модель упруго-пластического изгиба тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах на основе нового условия пластичности, предложенного Трещевым A.A.; б) полученные новые численные конкретные результаты расчета тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах за пределами упругости; в) обоснование применимости нового условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов при изгибе пластин в области больших прогибов; д) ряд новых количественных и качественных эффектов деформирования пластин из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости при больших прогибах.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгим использованием аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, а так же применением апробированных численных и приближенных методов решения, хорошим согласованием принятого условия пластичности с экспериментальными данными для ряда разносопротивляющихся материалов .

Полученные в работе результаты указывают на не соответствие поведения пластин из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости классической теории изгиба пластин, что в свою очередь доказывает актуальность применения нового условия пластичности для решения данной задачи. Нельзя утверждать, что данная работа характеризует поведение всех разносопротивляющихся материалов при пластическом изгибе тонких пластин, но в какой-то степени расширяет круг знаний в этой области. В дальнейшем необходимо развивать теорию изгиба пластин для разносопротивляющихся материалов, путем развития специальных численных методов, усовершенствованием рассматриваемого нового условия предельного состояния, его распространения на новые материалы или если необходимо предложением новых кардинально отличающихся вариантов условий предельных состояний .

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений .

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Захарченко, Виталий Александрович

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Был проведен анализ применимости нового условия предельного состояния Трещева A.A. [29] для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Данное условие позволяет обобщить некоторые критерии, предлагавшиеся ранее другими авторами.

2. Проведено исследование упруго-пластического изгиба тонких пластин, выполненных из изотропных разносопротив-ляющихся материалов при больших прогибах. Работа пластины разделялась на три стадии:

- упругая работа

- состояние односторонней пластичности

- состояние двусторонней пластичности.

Следует заметить, что упругая стадия работы пластины рассматривалась в рамках классической теории изгиба пластин при больших прогибах. Для двух последних указанных стадий были получены разрешающие дифференциальные уравнения равновесия.

3. Полученные уравнения были решены численным методом конечных разностей. Причем в связи с некоторыми особенностями решаемой задачи рассматривались совместноцентраль-: ные и односторонние разности.

4. Был решен ряд прикладных задач по упругопластиче-скому изгибу тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. А именно, рассчитаны квадратные пластины, выполненные из полиметилметакрилата и чугуна МСЧ 38-60 при шарнирном опирании и жесткой защемлении контуров, а также жестко защемленная прямоугольная пластина при соотношении сторон 1:2 из указанных материалов . Расчет производился по трем вариантам. В первом варианте расчета рассматривалось новое условия пластичности предложенным Трещевым A.A. [2 9] . Во втором варианте расчета условия пластичности рассматривалось в форме предложенной Ломакиным Е.В. [61]. В третьем варианте расчета, условие пластичности принималось в традиционной классической форме Губера - Мизеса (1.4) .

5. Для всех материалов и способов закрепления рассматриваемых в данной диссертации показано хорошее согласование результатов расчетов с учетом условий пластичности Трещева A.A. и Ломакина Е.В. (максимальные расхождения по предельным нагрузкам составляют 5-15%).

6. Показано, что не учет пластической разносопротив-ляемости может привести к завышению значений предельных нагрузок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенный в первом разделе диссертации анализ известных предельных критериев, учитывающих в той или иной степени свойства разносопротивляющихся материалов позволяет сделать вывод о том, что все они в большей или меньшей степени обладают определенными недостатками. Поэтому, проблема установления предельных состояний разносопротивляющихся дилатирующих материалов остается, на данный момент, открытой и актуальной.

Проведенный анализ полученных результатов, при учете свойств разносопротивляемости в первом варианте расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А. А и втором варианте расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В позволил сделать вывод о недопустимости применения классических подходов к данным материалам.

Незначительное расхождение в полученных результатах у первого варианта расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А.А и второго варианта расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е.В указывает на приемлемость применения нового условия пластичности для решения рассматриваемой задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Захарченко, Виталий Александрович, 2010 год

1. Писаренко Г. С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г. С.Писаренко, А.А.Лебедев. Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

2. Леонов М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел / М.Я.Леонов, В.А.Паняев, К.Н.Русинко // Инж. журн. МТТ. 1967. - № б. - С. 26 - 32.

3. Стеценко В.А. Механические характеристики серого чугуна при растяжении и сжатии / В.А.Стеценко // Ис-след. по механике деформируемых сред. Тула: ТПИ, 1972. - С. 103-109.

4. Jamroz L. Mechanizne I Wytzymalosciowe Wlasnosci Zeliwa Sferoidalnegon / L.Jamroz // Prace Instytutu Odlewnictwa. 1971. - Rok. 21. - №3. - Str. 283 - 302.

5. Березин A.B. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел /

6. A.В.Березин. М.: Наука, 1990. - 135 с.на основе углерода. М.: Металлургия, 1976. - Вып. 11. - С. 102-110.

7. Некоторые особенности методик исследования прочности свойств графитов при плоском напряженном состоянии / А.М.Фридман и др. // Заводская лаборатория. -1972. №9. - С. 1137-1140.

8. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / А.В. Березин и др. // Проблемы прочности. 197 9. - №2. -С. 60-65.

9. Строков В.И. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния / В.И.Строков, В.H.Барабанов // Заводская лаборатория. 1974. - №9. - С. 1141-1144.

10. Фридман А.М. Исследование разрушения углеграфи-товых материалов в условиях сложного напряженного состояния / А.М.Фридман, Ю.П.Ануфриев, В.H.Барабанов // Проблемы прочности. 1973. - №1. - С. 52-55.

11. Jones R.M. Modeling Nonlinear Déformation of Carbon-Carbon Composite Materials / R.M.Jones // AIAA Journal. 1980. - Vol. 18. - №8. - P. 995-1001.

12. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Différent Moduli in Tension and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - №1. -P. 16-25.

13. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered Circular Shells wiht Différent Ortotropic Moduli in Tensione and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. -1971. Vol.9. - №5. - P. 917-923.

14. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials / R.M.Jones // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - №10.- P. 1436-1443.

15. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite / R.M.Jones // Jounal Composit Materials. 1975. - Vol. 9. - №7. - P. 251-265.

16. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation of material models for nonlinear deformation of graphite / R.M.Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14 - №10.- P. 1427-1435.

17. Jones R.M., Nelson D.A.R. Material for nonlinear Deformation / R.M.Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14. - №6. - P. 709-716.

18. Гольдман А.Я. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования / А.Я.Гольдман, Н.Ф.Савельев, В.И.Смирнова // Механика полимеров. -1968. №5. - С. 803-809.

19. Деревянко Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении, сжатии и изгибе / Н.И.Деревянко // Механика полимеров. 1968. - №6. - С. 1059-1064.

20. Елсуфьев С.А. Исследование деформирования фто-ропласта-4 при линейном и плоском напряженном состояниях / С.А.Елсуфьев // Механика полимеров. 1968. - №4.- С. 742-746.

21. Елсуфьев С.А. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния / С.А.Елсуфьев, В.М.Чебанов // Исслед. по упругости и пластичности. Д.: Изд-во ЛГУ, 1971. - Вып. 8. - С. 209-213.

22. Калинка Ю.А. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков / Ю.А.Калинка, С.М.Боровикова // Механика полимеров. -1971. №3. - С. 411-415.

23. Schwartz R.T., Schwartz H.S. Characteristics of Boron Fibers and Boron-Fiber-Reinforced Plastic Composites / R.T.Schwartz, H.S.Schwartz // AIAA Journal. -1967. Vol. 5. - №2. - P. 119-126.

24. Ягн Ю.И. Прочность и пластичность модифицированного чугуна при различных напряженных состояниях. / Ю.И.Ягн, В.В. Евстратов // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 113. - №3. - С. 573-575.

25. Айнбиндер С.Б. Влияние гидростатического давления на механические свойства полимерных материалов / С .Б.Айнбиндер, М.Г.Лака, И.Ю.Майоре // Механика полимеров. 1965. -№ 1. - С. 65 - 75.

26. Матченко Н.М., Трещёв А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: ТулГУ, 2000. - 149 с.

27. Трещёв А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. - 2 64 с.

28. Трещев A.A. Зависимость предельных состояний конструкционных материалов от вида напряженного состояния / A.A.Трещев // Известия высших учебных заведений. Строительство. 1999. - №10. - С. 9-18.

29. Захарченко В.А. Упруго-пластический изгиб пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов при больших прогибах / В.А. Захарченко// Тез. докл. 3-ймагистерской научно-технической конференции. Тула: ТулГУ. - 2008. - С. 191-192.

30. Захарченко В.А. Конечные прогибы пластин из ди-латирующих материалов с учетом упруго-пластических деформаций / В.А. Захарченко, А.А.Трещев, П.В.Божанов // Известия ОрелГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». -Орел: ОрелГТУ. 2008. - С. 49-52.

31. Захарченко В. А. Изгиб прямоугольных пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов за пределами упругости при больших прогибах / В.А. Захарченко,

32. A.А.Трещев, П.В.Божанов // Сборник научных трудов «Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред». Саратов: Изд-во СГТУ. 2 008. с.104 - 111.

33. Захарченко В.А. Пластический изгиб прямоугольных пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов за пределами упругости при больших прогибах /

34. B.А. Захарченко, А.А.Трещев, П.В.Божанов //Вестник отделения строительных наук РААСН. М: РААСН, ОрелГТУ, -2009. - Вып. 13. - Т.1. - с.57 - 60.

35. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, 1976. - 416 с.

36. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М. : Машиностроение, 1968. -191 с.

37. Баландин П. П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. 1937. -№ 1. - С. 37 - 41.

38. Миролюбов И. Н. К вопросу об обобщении теории прочности октаэдрических касательных напряжений на хрупкие материалы // Труды ЛТИ. 1953. - Вып. 25. - С. 42 - 52.

39. Ягн Ю. И. Новые методы расчетов на прочность// Вестник инженеров и техников. 1931. -№ 6. - С. 63 -69.

40. Гениев Г. А., Киссюк В. Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 1965. -№ 2. - С. 16-19.

41. Лукша Л. К. К теории прочности / Л.К.Лукша // Докл. АН БССР. 1963. - Т. 7. - №5. - С. 301-304.

42. Ахвердов И.Н. К теории прочности хрупких тел / И.Н.Ахвердов, Л.К.Лукша // Докл. АН БССР. 1965. - Т. 9. - №2. - С. 182-184.

43. Бриджмен П.В. Исследование больших пластических деформаций и разрыва / П.В.Бриджмен. М. : Изд-во инстр. лит., 1955. - 444 с.

44. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния / Е.В.Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. -№4. - С. 92-99.

45. Айнбиндер С. Б., Лака М. Г., Майоре И. Ю. Влияние гидростатического давления на механические свойства полимерных материалов // Механика полимеров. 1965. -№ 1. - С. 65 - 75.

46. Головенко В. С., Мидуков В. 3., Седоков Л. М. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Проблемы прочности. -1973. -№ 1. С. 56 - 58.

47. Гольдман А. Я., Савельев Н. Ф., Смирнова В.И. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования // Механика полимеров. 1968. -№ 5. - С. 803 - 809.

48. Елсуфьев С. А. Исследования деформирования фторопласта 4 при линейном и плоском напряженном состояниях // Механика полимеров. - 1968. -№ 4. - С. 742 -746.

49. Елсуфьев С. А., Чебанов В. М. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния // Исследования по упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1971. - Вып. 8. - С. 209 - 213.

50. Толоконников Л. А. О форме предельной поверхности изотропного тела // Прикладная механика.- 1969. -Вып. 10. Том 5.- С. 123 - 12 6.

51. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И.Карпенко. М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

52. Green R.J. A plasticity theory for porous solid / R.J.Green // Int. J. Mech. Sei. Vol.14. -1972. - P. 215 - 227.

53. Ломакин E.B. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния / Е.В.Ломакин // Механика композитных материалов. 198 8.-№ 1. - С. 3 - 9.

54. Трещев A.A. К теории пластичности дилатирующих разносопротивляющихся материалов / A.A.Трещев // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. - 2003. - №2. - С. 58-62.

55. Трещев A.A. Вариант теории течения разносопротивляющихся материалов / A.A.Трещев, П.В.Божанов // Сборник материалов всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2000. - С. 71-72.

56. Трещев A.A. Обобщение ассоциированного закона течения для изотропных материалов / A.A.Трещев, П.В.Божанов // Механика деформированного твердого тела и обработка материалов давлением. Тула: ТулГУ, 2000. - С. 79-82.

57. Трещев A.A. Вариант обобщения уравнений идеальной пластичности для изотропных материалов / A.A.Трещев, П.В.Божанов // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении. Тверь: ТверьГТУ, 2000. - вып. 2. - С. 72-78.

58. Стрельбицкая А.И., Колгадин В.А., Матошко С.И. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости. Киев: Наукова думка, 1971. 244 с.

59. Божанов П. В. Задачи пластического деформирования тонких пластинок из дилатирующих разносопротивляю-щихся материалов / П.В.Божанов // Дис. . канд. тех. наук / ТулГУ. Тула, 2002. - 162 с.

60. Полтавец П.А. Упруго-пластическое деформирование пластин, выполненных из материалов, чувствительных к наводороживанию / П. А. Полтавец // Дис. . канд. тех. наук / ТулГУ. Тула, 200 6. - 270 с.

61. Фридман А. М., Ануфриев Ю. П., Барабанов В. Н. Исследование разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности. 1973. -№ 1. - С. 52-55.

62. Айнбиндер С.Б., Алксне К.И., Тюпина Э.Л., Лака М.Г. Свойства полимеров при высоких давлениях. М., 1973.

63. Ягн Ю.И., Евстратов В.В. Прочность и пластичность модифицированного чугуна при различных напряженных состояниях // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 113. -№3. - С. 573-575.

64. Рейс Е. Учет упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. -М.: Гостехиздат, 1948.- С. 206-222.

65. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С.П.Тимошенко, С.Войнвский-Кригер. М.: Наука, 1966. -63 6 с.

66. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

67. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластинок и пологих оболочек и методы их решения / М. С.Корнишин. М. : Наука, 1964. - 192 с.

68. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В.Петров. -Саратов: СГУ, 1975. 119 с.

69. Петров В.В. Расчет пластинок и пологих оболочек из нелинейно-упругого материала / В.В.Петров, И.Г.Овчинников, В.И.Ярославский. Саратов: СГУ, 1976. - 133 с.

70. Петров В.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала / В.В.Петров, И.В.Кривошеин. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. - 208 с.

71. Варвак П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций / П.М.Варвак, Л.П.Варвак.-М.: Стройиздат, 1977.-160 с.