Управление с оптимизацией и прогнозом в режиме реального времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Сотникова, Маргарита Викторовна

• Сотникова, Маргарита Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сотникова, Маргарита Викторовна

ВВЕДЕНИЕ .:.

1. Актуальность, цели и основные результаты диссертации

2. Общие постановки и обсуждение рассматриваемых задач.

3. Обзор литературы по теме работы

ГЛАВА 1. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ

СИГНАЛОВ В КАНАЛЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

1.1. Специализированная структура дискретных законов управления динамическими объектами.

1.2. Формализация задачи динамической фильтрации.

1.3. Спектральный подход к синтезу фильтра

1.4. Алгоритм и содержательный пример цифровой фильтрации

ГЛАВА 2. УПРАВЛЕНИЕ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

С ПРОГНОЗОМ В КОНТУРЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ.

2.1. Управление с нелинейной прогнозирующей моделью в режиме реального времени.

2.2. Управление циркуляцией морского судна с использованием прогнозирующей модели.

2.3. Цифровое управление с прогнозом на базе параметрической оптимизации линейного приближения.

2.4. Управление скоростными судами, оборудованными интерцепторами, с применением прогноза.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ МАРШРУТОВ

С УЧЕТОМ ПРОГНОЗА ПОГОДНЫХ УСЛОВИЙ.

3.1. Постановка задач оптимизации маршрутов движения на трансокеанских переходах

3.2. Вычислительные алгоритмы для решения задач оптимизации маршрутов судов

3.3. Примеры решения задач о построении маршрутов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление с оптимизацией и прогнозом в режиме реального времени»

1. Актуальность, цели и основные результаты диссертации

В настоящее время при рассмотрении комплекса вопросов, относящихся к сфере математического и компьютерного моделирования, исследования, проектирования и реализации систем автоматического управления динамическими объектами центральная роль принадлежит современным компьютерным технологиям. Это определяется двумя основными обстоятельствами, определяющими особую роль и место, занимаемое цифровыми системами в указанной сфере.

Во-первых, постоянное стремление к всемерному повышению эффективности и качества функционирования сложных динамических объектов порождает исключительно сложные комплексы условий, ограничений и требований, которые должны быть обеспечены с помощью систем автоматического управления. Обеспечение указанного комплекса невозможно без широкой поддержки вычислительными средствами на всех стадиях исследований, разработки и реализации этих систем.

Во-вторых, современное состояние и лавинообразный рост потенциала средств вычислительной техники и инструментов их программной поддержки определяет, непрерывно расширяющиеся возможности повышения эффективности и качества научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, относящихся к системам управления. Очевидно, что полное использование этих возможностей не достижимо, однако стремление к максимальному их учету носит естественный характер.

Особая значимость придается вопросам применения компьютерных технологий на стадии практической реализации законов (алгоритмов) управления в режиме реального времени. Это связано с тем, что цифровые устройства, системное, инструментальное и прикладное программное обеспечение обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед соответствующими средствами аналоговой техники. Сюда относятся универсальность, гибкость, простота в настройке и обслуживании, компактность и многие другие особенности [40], [47], [66], [77].

Тем не менее, возможности цифровой техники не безграничны, что с особой остротой ощущается при бортовой реализации систем управления подвижными объектами и в различных вариантах встраиваемых управляющих систем. В первом случае доминирующие ограничения определяются габаритными и весовыми характеристиками, во втором — вопросами экономичности микропроцессорной поддержки [64], [83], [92].

В указанных ситуациях резко возрастает ответственность, возлагаемая на разработчиков алгоритмического обеспечения систем управления, которое должно поддерживать разумный компромисс между уровнем эффективности и качества динамических процессов и реальными возможностями по памяти и быстродействию вычислительных средств. 1

Особую роль играют вопросы оптимизации процессов управления по различным критериям. Естественное стремление к наилучшей динамике управляемых объектов в настоящее время, как правило, решается путем адаптивной перенастройки обратных связей. Такая перенастройка может выполняться в ходе функционирования системы непосредственно (однократно, периодически или непрерывно) по текущим измерениям [55], [63], [69]. Другой подход (именуемый в иностранной литературе МРС - model predictive control) предполагает использование прогнозирующих моделей в контуре обратной связи [60], [65], [84]. 1

И в том, и в другом варианте для решения оптимизационных задач в темпе протекания реальных процессов требуется всемерная экономия времени счета и необходимого объема памяти. Заметим, что эти вопросы не носят принципиального характера для проектирования неадаптивных систем в стационарных условиях, но цифровая реализация в реальном времени выдвигает их на.передний план. В ряде ситуаций оказывается, что даже экономия в единицах .процентов позволяет уложиться в такт счета для дискретной системы управления, что качественно меняет ситуацию. В связи с этим требуется известная доработка даже популярных и широко используемых методов оптимизации, обеспечивающая такую экономию требуемых вычислительных ресурсов, которая позволит говорить о возможности их использования для управления в режиме реального времени.

В частности, в последние годы существенное внимание уделяется вопросам оптимизаций законов управления движением морских объектов [11], [12], [20], [23], [36]. В публикациях [11], [12] предложено использование единой структуры законов управления для различных режимов движения. Использование этой структуры позволяет обеспечить многоцелевую ориентацию системы, учитывающую все возможные варианты режимов ее функционирования и весь комплекс требований для обеспечения желаемой динамики в конкретных ситуациях. Тем не менее, до сих пор остаются не исследованными вопросы, связанные с цифровыми вариантами их реализации с учетом специфики синтеза дискретных систем.

Целый ряд до сих пор нерешенных вопросов существует и в области цифрового управления с прогнозом [71], [90]. Сюда следует отнести проблемы с отсутствием гарантии устойчивости движений замкнутых систем, проблемы применения нелинейных моделей и ограничений и т.д.

Отмеченные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на внедрение современных математических методов анализа и синтеза законов управления динамическими объектами в цифровые системы, реализующие эти законы в режиме реального времени. Исследования по данному направлению интенсивно проводятся в последние годы, однако проблему никак нельзя считать исчерпанной в связи с наличием целого ряда трудностей математического и технологического характера. В связи с этим представляется уместным всестороннее развитие математических методов, алгоритмов и реализующих их программных средств, а также их адаптация для решения задач управления конкретными С классами динамических объектов с применением цифровых систем. Конечным результатом должно служить повышение качества процессов управления, достигаемое посредством снижения вычислительных затрат при цифровой реализации.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов для решения задач анализа и проектирования цифровых систем автоматического управленйя в режиме реального времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации и прогнозирования динамических процессов в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим конкретным направлениям:

• формализация вопроса о цифровой фильтрации высокочастотных помех в канале управления с учетом требования устойчивости и ограниченности динамических характеристик замкнутой системы;

• разработка нового метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров в составе многоцелевой структуры законов управления подвижными объектами с привлечением Нт -оптимизационного подхода;

• исследование эффективности применения прогнозирующих моделей в контуре цифрового управления подвижными объектами с адаптацией к реальным динамическим свойствам и условиям функционирования;

• разработка методов управления с прогнозирующими моделями, учитывающих требования устойчивости замкнутого контура на базе идеологии модальной параметрической оптимизации в заданных областях комплексной плоскости; t

• разработка алгоритмов для оптимизации маршрутов морских подвижных объектов на трансокеанских переходах с учетом периодически поступающих прогнозов погодных условий в области плавания.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Сотникова, Маргарита Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена вопросам моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления динамическими объектами в дискретном времени, базирующихся на цифровых устройствах и современных компьютерных технологиях.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов решения задач, связанных с исследованием и проектированием цифровых систем автоматического управления в режиме реального времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации и прогнозирования динамических процессов в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим конкретным направлениям:

• формализация вопроса о цифровой фильтрации высокочастотных помех в канале управления с учетом требования устойчивости и ограниченности динамических характеристик замкнутой системы;

• разработка нового метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров в составе многоцелевой структуры законов управления подвижными объектами с привлечением Пт -оптимизационного подхода;

• исследование эффективности применения прогнозирующих моделей в контуре цифрового управления подвижными объектами с адаптацией к реальным динамическим свойствам и условиям функционирования;

• развитие методов управления с прогнозирующими моделями, учитывающих требования устойчивости замкнутого контура на базе идеологии модальной параметрической оптимизации в заданных областях комплексной плоскости;

• формирование алгоритмов для оптимизации маршрутов морских подвижных объектов на трансокеанских переходах с учетом периодически поступающих прогнозов погодных условий в области плавания.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Формализован вопрос о желаемом качестве фильтрации высокочастотных возмущений в контуре управления с учетом динамических ограничений и предложен новый метод синтеза цифрового фильтра на базе интерполяции Неванли'нны-Пика.

2. Разработан алгоритм управления подвижными объектами с нелинейной прогнозирующей моделью, включенной в замкнутый контур, с практической реализацией в режиме реального времени.

3. Предложен метод синтеза цифровых законов управления с прогнозирующей моделью, обеспечивающий желаемые модальные свойства линейного приближения замкнутой системы.

4. Разработаны алгоритмы оптимизации маршрутов движения морских судов, обеспечивающих снижение затрат топлива и времени перехода с учетом прогноза погодных условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сотникова, Маргарита Викторовна, 2009 год

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. - Киев: Наукова думка, 1978. - 327 с.

2. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. -1992,-№9.-С. 3-32.

3. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Нда-оптимального синтеза // Теория и системы управления. -1995.-№4.-С. 88-96.

4. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

5. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей. М., 1978. - Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

6. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.-С. 24-31.

7. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. -№ 10. - С. 52-57.

8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. -№ 12. - С. 33-39.

9. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. -№9.-С. 126-137.

10. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 05.13.16. СПб., 1995. -353 с.

11. Веремей Е.И., Еремеев В.В., Корчанов В.М. Синтез алгоритмов робастного управления движением подводных лодок вблизи взволнованной поверхности моря // Гироскопия и навигация. 2000. - № 2. - С. 34-43.

12. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожев С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. ^ СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

13. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Принципы адаптивного управления движением ПЛ в условиях развитого морского волнения // Сб. докладов5.й Международной конференции по морским интеллектуальным технологиям «МОРИНТЕХ-2003». СПб., 2003. - С. 164-174.

14. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Н® // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. 2004. - Вып. 1. — С. 48-59.

15. Веремей Е.И., Коровкин М.В. Применение пакета NCD для решения задач модальной параметрической оптимизации // Тр. II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 884-896.

16. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. В. Ю. Лебедева; Под ред. А. А. Петрова. М.: Мир, 1985. - 509 с.

17. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1972. - 278 с.

18. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. -М.: Физматгиз, 1951. "

19. Дмитриев С.П., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ-ЦНИИ «Электроприбор», 2002.- 160 с.

20. Закатов П.С. Курс высшей геодезии. М.: Недра, 1976.-511 с.

21. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.496 с.

22. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966. — 352 с.

23. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. - 336 с.

24. Калман Р., Быоси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д. -1961.-Т. 83, № 1. С. 123-141.

25. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650 с.

26. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.-398 с.

27. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. — 558 с.

28. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. - 712 с.

29. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

30. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1968. — № 12.-С. 142-144.

31. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1971. - 139 с.

32. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960. - № 4-6; 1961. - № 4, 11.

33. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.359 с.

34. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. — М.: Наука, 1981.-256 с.

35. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. - 320 с.

36. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967. - 550 с.

37. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб: Питер, 2005. — 271 с.

38. Ньютон Д., Гулд Л., Кайзер Д. Теория линейных следящих систем. М.: Физматгиз, 1961.

39. Олссон Г., Пиани Д. Цифровые системы автоматизации и управсления. СПб.: Невский Диалект, 2001.-557с.

40. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. — М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

41. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. — Л.: Судостроение, 1973. 216 с.

42. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977.

43. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика. 1983. — № 7. - С. 5-24.

44. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. - 292 с.

45. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

46. Поляков К.Ю. Основы теории цифровых систем управления: Учеб. пособие. СПб.: СПбГМТУ, 2006. - 161 с.

47. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. — 148 с.

48. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Наука, 1974. - 400 с.

49. Пугачев В. С;, Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. -М.: Наука, 1990. 560 с.

50. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

51. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960. - 656 с.

52. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

53. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. -М.: Наука, 1982.

54. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

55. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Пер. с англ.: И.М. Быховская, Б.Т. Вавилов; ред.: М.Л. Быховский. М.: Мир, 1975.-536 с.

56. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

57. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск, гос. ун-та, 1996. - 432 с.

58. Akerblad М. A Second Order Cone Programming Algorithm for Model Predictive Control. — Licentiate's thesis, Royal Institute of Technology, Stockholm, 2002.

59. Allgower F., Zheng A., editors. Nonlinear Model Predictive Control. -Basel: Birkhauser-Verlag. 2000. - 472 p.

60. Bellman R. Dynamic Programming. — Princeton University Press (New Jersey). 1957.

61. Bijlsma S. J. A Computational Method for the Solution of Optimal Control Problems in Ship Routing // Navigation. Journal of The Institute of Navigation. 2001.-Vol. 48.-P. 145-154.

62. Bogsra O.H., Kwakernaalc H., Meinsma G. Design methods for control systems. — Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

63. Braunl Th. Embedded Robotics: Mobile Robot Design and Applications with Embedded Systems 2nd ed.- Berlin: Springer-Verlag, 2006 - 458 p.

64. Camacho E.F. and Bordons C. Model Predictive Control. 2nd ed. -London: Springer-Verlag, 2004. - 405 p.

65. Caspi P., Maler O. From Control Loops to Real-Time Programs. In Handbook of Networked, and Embedded Control Systems (Hristu D. and Levine W.S. editors), Boston: Birkhauser, 2005. - P. 395-418.

66. Chen H. A dynamic program for minimum cost ship routing under uncertainty: PhD Thesis. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 1978.- 163 p.

67. Cutler C.R., Ramaker B.C. Dynamic Matrix Control A Computer Control Algorithm // Proc. Joint Automatic Control Conference.- San Francisco, 1980.-PaperNo. WP5-B.

68. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - XI, 227 p.

69. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and HOT. control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989,- Vol. 34, nr. 8. - P. 831-847.

70. Findeisen R., Biegler L.B., Allgower F., editors. Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Berlin: Springer-Verlag, 2007. - 642 p.

71. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. 2nd ed. - John Wiley & Sons Ltd., 2000.-450 p.

72. Francis В.A. A course in Hoo control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987. - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

73. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theory with an H^ optimality criterion // SIAM J. Control and Optimization. 1987. - Vol. 25. - P. 815-844.

74. Hagiwara H. Weather routing of (sail-assisted) motor vessels: PhD Thesis. Delft: Technical University of Delft, 1989. - 337 p.

75. Hendricks E., Jannerup O., Sorensen P.H. Linear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods. Berlin: Springer-Verlag, 2008. - 555 p.

76. Hung Y. S. ^Яоо-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. 1998. - Vol. 49. -P. 675-684.

77. James R.W. Application of wave forecast to marine navigation. -Washington, D.C.: US Navy Hydrographic Office, 1957. 78 p.

78. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. Vol.82. - P. 35-45.

79. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. - Vol. 5. - P. 102-119.

80. Kargoneckar P. P., Peterson I. R., Rotea M. A. Hm optimal control with state-feedback 11 IEEE Transactions on Automatic Control. 1988. -Vol.33.-P. 786-788.

81. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems: Design, Identification and Implementation. London: Springer-Verlag, 2006. - 484 p.

82. Maciejowski J.M. Predictive Control with Constraints. London: Prentice Hall, 2002. - 331 p.

83. Mayne D.Q., Rawlings J.B, Rao C.V., Scokaert. Constrained model predictive control: Stability and optimality // Automatica. 2000. - Vol. 36. -P. 789-814.

84. Nesterov Y, Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. — Philadelphia: SIAM, 1994.

85. Pontryagin L. S, Boltyanskii V. G., Gamkerelidze R. V., Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. — John Wiley (New York).

86. Prime И. Modern concepts in control theory. McGraw-Hill. - 1969.

87. Richalet J., Rault A., Testud J.L., Papon J. Model Predictive Heuristic Control: Application to Industrial Processes // Automatica. — 1978. Vol.14. -P. 413-428.

88. Rossiter J.A. Model-Based Predictive Control: A Practical Approach. Boca Raton: CRC Press, 2003. 318 p.

89. Ruscio D. Model Predictive Control and optimization. Lecture Notes for a course of the Telemark University College. - 2001. - 176 p.

90. Sami Fadali M., Visioli A. Digital Control Engineering: Analysis and Design. Burlington: Academic Press, 2009. - 552 p.

91. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach. -Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

92. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationaiy time series. Cambridge, 1949.

93. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear Systems Theory. McGraw Hill book Co, New York, NY, - 1963.

94. Zames G. Feedback and complexity. Special plenary lecture addendum // IEEE Conf. Dec. Control. 1976.1962.1. С' iи