Управление нестационарными колебаниями, конечными передвижениями, деформированной формой и динамическими характеристиками упругих конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Гришанина, Татьяна Витальевна

• Гришанина, Татьяна Витальевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гришанина, Татьяна Витальевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ УПРАВЛЯЕМЫХ

КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Объект управления.

1.2. Обобщенные аэродинамические силы.

1.3. Измерительные и исполнительные устройства.

1.4. Преобразование общих уравнений аэроавтоупругих колебаний.

1.5. Уравнения в комплексных нормальных координатах.

1.6. Передаточные функции.

1.7. Устойчивость и вынужденные колебания управляемой системы.

1.8. Активные элементы с управляемыми деформациями.

1.9. Уравнения электроупругих колебаний пьезокерамических тел.

1.10. Тонкая пьезокерамическая пластина с поперечной поляризацией.

1.11. Композиты со слоями из электроупругих материалов.

1.12. Электроупругие колебания композитной оболочки.

2. УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ И

ДЕФОРМИРОВАННОЙ ФОРМОЙ У ПРУ ГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

2.1. Численное определение управляющих сил при неполном управлении системы.

2.2. Решение уравнений в комплексных нормальных координатах.

2.3. Определение управляющих сил для консервативной системы с малым демпфированием.

2.4. Определение командных сигналов для активного гашения нестационарных колебаний части упругой системы.

2.5. Управление деформированной формой упругих конструкций.

2.5.1. Закрепленная конструкция.

2.5.2. Свободная конструкция.

2.5.3. Система с кинематическими условиями управления.

2.6. Учет местных податливостей конструкции.

2.7. Гашение колебаний неконсервативной системы при гармоническом возбуждении.

2.8. Об обратных задачах динамики упругих систем.

2.9. Примеры расчета.

2.9.1. Гашение вращательных колебаний груза на конце ферменной конструкции.

2.9.2. Гашение колебаний подвески на упругом крыле в потоке при порывах ветра.

2.9.3. Управление деформированной формой фермы.

3. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА УПРУГИХ КОСМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ.

3.1. Формулировка задачи. Основные соотношения.

3.2. Нелинейные уравнения движения.

3.3. Упругие и гравитационные силы.

3.4. Линеаризованные уравнения движения.

3.5. Нелинейные колебания вращающихся гибких стержней.

3.5.1. Колебания в плоскости вращения.

3.5.2. Колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения

3.6. Динамика космического аппарата с выпускаемой тросовой системой

3.6.1. Растяжимый трос.

3.6.2. Нерастяжимый трос.

3.7. Примеры вычислительной динамики тросовых систем.

3.7.1. Падение закрепленного троса.

3.7.2. Плоское движение космического аппарата с выпускаемой тросовой системой на орбите.

3.8. Нелинейная динамика гибких стержней.

3.8.1. Нелинейный конечный элемент гибкого стержня.

3.8.2. Нелинейные уравнения движения стержневой системы при больших перемещениях.

3.9. Расчет раскрытия стержневой системы.

3.10. Космическая ферма с регулируемыми стержнями.

3.10.1. Электроупругие деформации трубчатого стержня.

3.10.2. Нелинейные уравнения динамики управляемой стержневой системы.

3.10.3. Линеаризованные уравнения колебаний.

4. ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И ПОВОРОТАХ

4.1. Конечные перемещения и повороты линейной упругой системы.

4.2. Устранение колебаний упругих систем после быстрых передвижений

4.3. Произвольные импульсы для передвижения упругих систем.

4.4. Поворот упругого стержня с массивным твердым телом на конце.

4.5. Нелинейная задача поворота гибкого стержня.

4.6. Передвижение маятника на подвижном подвесе.

4.7. Активное гашение колебаний КА с упругими панелями солнечных батарей.

4.7.1. Уравнения колебаний.

4.7.2. Определение реактивного момента маховика для гашения упругих колебаний КА.

5. УСТРАНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СВЯЗЕЙ.

5.1. Нелинейные упругие элементы с односторонними связями.

5.2. Флаттер цельноповоротного стабилизатора с односторонней связью

5.2.1. Уравнения аэроупругих колебаний стабилизатора.

5.2.2. Влияние односторонней связи на флаттер.

5.3. Аэроупругие колебания стреловидного крыла с двигателями на пилонах, удерживаемых односторонними связями.

5.3.1. Математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности

5.3.2. Применение метода конечных элементов.

5.4. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла с учетом конусности и поперечного сдвига.

5.4.1. Вывод уравнений.

5.4.2. Пример расчета.

5.5. Расчеты аэроупругих колебаний крыла с двигателем и с односторонними связями.

5.6. Оценка собственных значений неконсервативной системы с нелинейной связью.

6. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГИХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ.

6.1. Система с малыми неконсервативными силами.

6.2. Неконсервативная система.

6.3. Аэроупругие колебания стабилизатора.

6.4. Коэффициенты чувствительности собственных значений неконсервативных систем.

6.5. Оптимизация динамических характеристик неконсервативных систем

6.6. Повышение запаса устойчивости по флаттеру цельноповоротного стабилизатора.

7. ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ И ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ СОЛНЕЧНОМ НАГРЕВЕ.

7.1. Определение теплового потока.

7.2. Распределение температуры по поверхности оболочки.

7.3. Термоупругий изгиб стержня.

7.4. Численные решения связанной нелинейной задачи термоупругого изгиба и теплопроводности стержня.

7.5. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибным формам.

7.6. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибно-крутильным формам.

7.7. Границы динамической неустойчивости двухстепенной модели.

7.8. Примеры расчета динамической неустойчивости.

7.8.1. Динамическая неустойчивость по изгибным формам.

7.8.2. Динамическая неустойчивость при изгибно-крутильных формах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление нестационарными колебаниями, конечными передвижениями, деформированной формой и динамическими характеристиками упругих конструкций»

Современные летательные и космические аппараты (ДА и КА) являются управляемыми системами. В возмущенном движении наряду с перемещениями и поворотами как твердого тела они совершают колебания. Упругие колебания конструкции вместе с перемещениями и поворотами тела измеряются в определенных местах датчиками и по их сигналам система управления формирует корректирующие управляющие воздействия. Таким образом происходит взаимодействие упругой конструкции с системой управления. Раздел механики, в котором изучается такое взаимодействие и решаются связанные с ним задачи, называется автоупругостью.

ДА и КА в возмущенном движении подвергаются различным нагрузкам, зависящим от параметров движения таким как инерционные и упругие силы, аэродинамическое давление, «следящие» реактивные силы истекающих газов, реакции различных частей и элементов, совершающих относительное движение (вращающиеся роторы, движущаяся по каналам жидкость), силы внутреннего сопротивления (демпфирования), управляющие силы с обратными связями. Некоторые из этих нагрузок являются неконсервативными, и поэтому JIA и КА, как объекты управления, являются упругим неконсервативными системами [8, 19, 23, 24, 28, 70, 76, 90, 91, 101-103, 110, 111, 115, 147, 159, 165, 179, 190]. Такие системы при определенных условиях могут быть динамически неустойчивыми. Например, при обтекании упругой несущей поверхности при скорости, превышающей критическую, имеет место флаттер.

Собственные значения и векторы линейной неконсервативной системы, в отличие от консервативной системы, являются комплексными. Это усложняет решение задач динамики и устойчивости неконсервативных систем. Если, как это обычно делается, решение ищется в виде разложений по собственным формам колебаний упругой конструкции, то уравнения колебаний неконсервативной системы (т.е. упругой конструкции с учетом неконсервативных сил) в действительных нормальных координатах получаются связанными; в случае консервативной системы эти уравнения несвязаны и решаются аналитически точно.

Управление колебаниями упругих систем можно разделить на два типа - пассивное управление и активное управление. Пассивное управление осуществляется путем выбора параметров системы, чтобы получить требуемые динамические характеристики: демпфирование колебаний; расположение собственных частот в заданном диапазоне; качество переходного процесса; амплитудно-частотные характеристики. Для этих целей также можно подбирать подходящие временные характеристики и пространственное распределение внешних воздействий (нагрузок), если они допускают такие изменения.

Для замкнутых систем (конструкция плюс система управления) кроме всего еще могут выбираться места расположения измерительных датчиков и приводов (их можно отнести к параметрам системы). Для рационального выбора параметров пассивно управляемой системы можно использовать анализ чувствительности и методы оптимизации определенных характеристик системы. По существу пассивное управление колебаниями упругих конструкций является предметом их рационального проектирования.

При активном управлении упругая конструкция с действующими на нее нагрузками, как объект управления (ОУ) объединяется обратными связями с системой автоматического регулирования (автоматом стабилизации (АС)), включающей в свою структуру измерительные, вычислительные, усилительные, корректирующие и исполнительные устройства. В результате управляющие воздействия на ОУ зависят от параметров его движения в точках расположения измерительных датчиков. При этом замкнутая система становится неконсервативной, даже если ОУ является консервативной системой.

К числу обобщенных координат, описывающих движение ОУ, добавляются переменные параметры АС. В результате размерность замкнутой системы повышается, иногда значительно, если, например, система управления является многоканальной со многими входами и выходами также значительно увеличивается круг различных задач динамики активно управляемых упругих конструкций и различных методов их решения. При этом по-прежнему актуальными остаются задачи рационального проектирования таких систем с использованием анализа чувствительности и методов оптимизации.

Динамика упругих систем с активным управлением (автоупругость) начала интенсивно развиваться только в последние три десятилетия благодаря потребностям авиационной и ракетно-космической техники, а также созданию быстродействующих управляемых манипуляционных роботов с упругими звеньями.

В последнее десятилетие такие исследования распространились на гражданские сооружения для активного управления напряженно-деформированным состоянием, колебаниями и устойчивостью конструкций [1,2, 87, 88].

Разработки по автоупругости основываются на многочисленных теоретических и экспериментальных исследованиях по строительной механике и динамике конструкций, по композиционным материалам и материалам со специальными свойствами, по аэроупругости и по системам управления [4, 5, 9, 13, 18-20, 22-29, 64-66, 70, 72, 81-85, 90, 94, 100, 101, 103, 104, 107, 123, 137, 138, 143, 160, 175, 178, 192, 193,205].

Для современных самолетов весьма важное место занимают задачи взаимодействия упругих колебаний конструкции с аэродинамическим нагрузками и системой управления, представляющие аэроавтоупругость [19]. С помощью системы активного управления можно обеспечить необходимое распределение аэродинамических нагрузок по размаху упругого крыла и получить оптимальные значения аэродинамических коэффициентов, уменьшить аэродинамические нагрузки на самолет при маневрах и порывах ветра, подавить флаттер, снизить уровень вибраций.

Задачам аэроавтоупругсти самолетов посвящены работы [19, 66, 95, 117, 120, 124-126, 128, 145, 148, 152, 161, 169, 174, 176, 177, 188, 196, 198, 203,204, 206,210, 215] и др.

Активное гашение аэроупругих колебаний вращающихся лопастей несущих винтов вертолетов рассматривалось в работах [127, 153, 191, 214], а активное подавление вибраций фюзеляжа вертолета, вызванных колебаниями вращающегося несущего винта, - в работе [163].

Баллистические ракеты-носители оснащены весьма точными и высокочувствительными системами управления с обратными связями по линейным ускорениям, замеряемым акселерометрами, и по угловым скоростям и углам поворота, замеряемым скоростными и позиционными гироскопами в отдельных точках корпуса. При этом жидкостные ракеты большого удлинения обычно имеют достаточно низкие собственные частоты колебаний жидкости в баках и упругих колебаний корпуса. Поэтому в математических моделях динамики возмущенного движения баллистических ракет они рассматриваются как упругие (или гидроупругие) системы, взаимодействующие с системой автоматического управления.

Основополагающие результаты по динамике возмущенного движения и динамической устойчивости упругих жидкостных ракет, как объектов автоматического управления, были получены К.С. Колесниковым. Им были опубликованы первые в данной области научные монографии и учебники, а также получены технические решения, реализованные в реальных изделиях [68-71]. Важные результаты по продольным и поперечным колебаниям управляемых жидкостных ракет получены также во многих работах других авторов [4, 10-12, 77, 89, 90, 92].

Проблемы взаимодействия упругих конструкций с системами автоматического управления являются особенно актуальными для космической техники. Развертываемые и собираемые в условиях невесомости космические конструкции являются очень гибкими. Во многих случаях они должны иметь весьма высокую точность наведения и ориентации и сохранять прецизионную (порядка микрона) точность формы, например, для нормального функционирования специальных оптических и навигационных приборов. Это может быть достигнуто только с помощью активного управления динамическими операциями, колебаниями и деформированной формой космических конструкций. При этом система управления с дискретно или непрерывно распределенными по конструкции сенсорами (чувствительными элементами) и актуаторами (приводами) со многими входами и выходами должна быть сама по себе достаточно точной и должна реагировать на различные, в том числе неопределенные и случайные, силовые, кинематические и температурные возмущения в широком диапазоне частот. Поэтому космическим конструкциям посвящено большое число публикаций по автоупругости: [79, 86, 97, 98, 106, 119, 129, 133, 134, 146, 182, 211] и др.

Большой вклад в разработку теории и методов расчета динамики и динамической устойчивости упругих управляемых конструкций внесли Н.П. Абовский, Ю.Г. Балакирев, Н.В. Баничук, JI.B. Докучаев, К.С. Колесников, А.А. Красовский, Б.И. Рабинович, Ф.Л., Черноусько, E.F. Crawley, P.P. Friedmann, R.T. Haftka, L. Meirovitch, B.K. Wada и др.

Большим техническим достижением в аэроавтоупругости явилось создание в начале 70-х годов прошлого столетия самолета-бомбардировщика В-52Е с активной многоканальной системой управления [151]. С помощью специальных автоматически отклоняемых закрылков и флаперонов на этом самолете подавлялся флаттер, регулировались маневренные нагрузки, парировались нагрузки при порывах ветра, снижался общий уровень вибраций и улучшалась комфортность полета. За этим последовали аналогичные технические разработки для самолетов следующих поколений, таких как YF-16, YF-17, F/A-18, Х-29А, Ил-96, Су-33 и др.

В связи с созданием управляемых конструкций в автоупругости возникла концепция адаптивных конструкций [183, 212]. Адаптивными называются такие управляемые конструкции, которые в ответ на внешние воздействия могут автоматически изменять свою форму и упругодинамические характеристики, чтобы выполнялись заданные функциональные требования.

Проектирование адаптивных конструкций представляет собой так называемую в англоязычной литературе многодисциплинарную деятельность, включающую исследования по композиционным и специальным материалам, актуаторам, сенсорам, системам автоматического управления, строительной механике, динамике и оптимизации.

Начиная с 80-х годов прошлого столетия, в США, а затем и в некоторых других странах для исследований по созданию адаптивных конструкций были созданы специальные научные центры, лаборатории и подразделения. Было опубликовано большое число научных статей, посвященных не только космическим конструкциям, но и авиационным - крыльям самолетов и лопастям несущих винтов вертолетов. Работы [211, 213] содержат обзоры исследований по адаптивным конструкциям на период до 1990 года.

Большое внимание в концепции адаптивных конструкций уделяется применению так называемых «умных» или «интеллектуальных» материалов, характеристики упругости или вязкости которых могут изменяться под воздействием различных полей: температурного поля (термоупругие материалы и сплавы с памятью формы); электрического поля (электроупругие материалы и электрореологические жидкости); магнитного поля (магнитореологиче-ские жидкости). С помощью встроенных в конструкцию активных элементов из таких материалов можно регулировать в определенных пределах деформации и демпфирование этих элементов и, следовательно, конструкции в целом.

Наибольшее число публикаций в этой области посвящено исследованию колебаний упругих управляемых конструкций с активными элементами из электроупругой пьезокерамики, [5, 29, 84, 85, 114, 124-127, 137, 138, 141, 142, 148, 150, 153, 174, 175, 187, 188, 191, 195, 196, 202, 206, 207, 214, 215, 217, 222].

Большим удобством пьезокерамики является то, что она обладает практически мгновенной реакцией, а также то, что ее физические свойства можно описать линейными алгебраическими соотношениями с симметричной матрицей коэффициентов (типа обобщенного закона Гука). В силу прямого и обратного пьезоэффектов (возникновение электрических напряжений при деформировании и деформаций под воздействием электрических напряжений, соответственно) пьезокерамика одновременно может выполнять функции сенсора и актуатора. Кроме того, она привлекательна для создания адаптивных конструкций вследствие сравнительной простоты математического описания ее поведения.

Пьезокерамика типа PZT или ЦТС (с добавками свинца, цинка и титана) имеет модуль упругости, близкий (-90%) к модулю упругости дюраля, а плотность — близкую к плотности стали. Недостатками такой пьезокерамики является: повышенная хрупкость; весьма малые предельные упругие деформации; малые предельные растягивающие напряжения (~15% от предельных напряжений для дюраля); наличие ползучести ( влияние на АЧХ особенно на низких частотах до 6%) и гистерезиса (до 16% на частотах порядка 1 Гц); существенная нестабильность (до 15%) пьезоконстант; подверженность старению, приводящему к деградации пьезоэлектрических свойств.

Поскольку на электродированных участках поверхности подводимые электрические напряжения постоянны, то активные пьезокерамические накладки и слои композитов приходится выполнять в виде отдельных несвязанных между собой элементов. При включении таких элементов за счет клеевых соединений в работу конструкции теряется их эффективность и, кроме того, вблизи краев элементов возникают зоны концентрации напряжений как в пьезокерамике так и в основном материале.

Указанные недостатки пьезокерамических материалов затрудняют их использование в качестве активных силовых элементов с регулируемыми деформациями в реальных конструкциях самолетов и вертолетов для длительных сроков эксплуатации.

Практически все публикации по подавлению флаттера крыльев, лопастей несущих винтов и панелей обшивки с помощью активных пьезокерамических накладок отражают результаты поисковых и оценочных научных исследований на модельных примерах. В частности, опубликованные теоретические результаты по активному подавлению панельного флаттера [141, 142, 150, 187, 202, 207, 222] по существу являются обобщением на аэроавтоупру-гость одной из простейших классических задач аэроупругой устойчивости, которой уже посвящены сотни публикаций.

Более целесообразно использовать активные элементы из пьезокерамических материалов для управления деформированной формой и колебаниями весьма гибких (особенно, статически определимых) космических конструкций, а также небольших экспериментальных аэроупругих моделей, поскольку для этого требуются сравнительно небольшие управляющие усилия и достаточно малые деформации.

В настоящее время для управления ферменными космическими конструкциями появились в промышленном исполнении специальные активные элементы в виде силового пьезоцилиндра с подвижным штоком (типа гидроцилиндра), [119, 146, 217]. Внутри цилиндрической оболочки такого элемента располагается набор тонких поперечных пьезокерамических пластинок с поперечной поляризацией и электродами на их плоских поверхностях. При подаче электрического напряжения предварительно сжатый пакет пластинок (пьезокерамика плохо работает на растяжение) деформируется в осевом направлении за счет обратного пьезоэффекта и передвигает шток, в котором при сопротивлении перемещению возникает осевое усилие (реакция). Ниже приведены основные характеристики двух моделей пьезоцилиндров фирмы Phisik Instrumente [217].

Модель 1 2 масса 1.125 кг 1.33 кг общая длина 0.1163 м 0.144 м ход штока (при V = 1000 в) 40 микрон 60 микрон максимальная толкающая 27116Н 27116 Н сила жесткость 1.897-104 Н/м 1.264-104 Н/м резонансная частота 4500 Гц 2200 Гц

В адаптивных конструкциях также могут быть использованы другие различные принципы создания управляющих сил, включая традиционные.

Для управления колебаниями упругих конструкций могут быть использованы инерционные силы относительного движения масс, таких как маховики [93] и магнитные сердечники в индукционных катушках [182].

Управление квазистатической деформированной формой конструкций может быть осуществлено путем регулируемого изменения температуры ее термоупругих элементов, например, теплоизолированных стержней [144, 156].

В работе [78] предложен новый эффективный способ устранения флаттера крыла путем создания управляемых срывов потока за счет отклонения или выдвижения достаточно малых щитков (пластинок). Этот способ может быть также использован для подавления аэроупругих колебаний при ветре различных строительных конструкций и сооружений, например, подвесных мостов, дымовых труб, высотных башен, шпилей и пр. Управление потоком также может осуществляться путем адаптивного управления формой профиля крыла [132].

Для активного демпфирования колебаний конструкций используются электрореологические или магнитореологические жидкости в специальных управляемых демпферах или полостях (порах) композиционного материала [205].

Нелинейности характеристик конструкции, аэродинамического нагру-жения и системы управления могут быть использованы для активного подавления динамической неустойчивости путем выведения колебаний на режим предельного цикла с достаточно малыми и приемлемыми амплитудами [161].

Для управления деформациями натурных конструкций самолетов (например, крыльев) требуются встроенные силовозбудители, способные создавать достаточно большие усилия без ограничений на требуемую величину хода (удлинения), согласующегося с упругими перемещениями. Такими си-ловозбудителями могут быть гидроцилиндры, винтовые пары, стержни с поворачивающимися эксцентриками (осями типа коленвала), стальные ленты и тросы регулируемой длины и пр. Они вместе с приводами (элекродвигателя-ми, редукторами и другими механизмами) могут размещаться внутри тонкостенных оболочечных конструкций. Их потребные характеристики (управляющее усилие, ход, быстродействие), а также число и места расположения определяются по результатам решения задач управляемого движения (состояния) системы при действии некоторых заданных возмущений.

В аэроупругих конструкциях (крыльях, лопастях несущих винтов) для управления колебаниями, деформированной формой и, следовательно распределением аэродинамических нагрузок могут использоваться аэродинамические механически отклоняемые или выдвигаемые органы управления, такие как предкрылки, закрылки, элероны, щитки, интерцепторы, флапероны, законцовки.

Упругая конструкция с встроенными силовозбудителями и органами управления с учетом действующих аэродинамических нагрузок объединяется с системой управления, имеющей в своей структуре измерительные, вычислительные, усилительные и корректирующие устройства, и в результате получается замкнутая аэроавтоупругая система.

Уравнения колебаний упругой управляемой системы обычно получают путем синтеза уравнений объекта управления (конструкции, находящейся под действием внешних в общем случае неконсервативных сил) и уравнений системы управления. Необходимо чтобы математические модели каждой из этих систем могли быть проверены (идентифицированы) по отдельности на достоверность и точность в заданном диапазоне частот.

Обычно уравнения колебаний ОУ как неконсервативной системы в обобщенных координатах получают методом Ритца или методом конечных элементов. Затем эти уравнения для уменьшения порядка системы и с целью идентификации модели удобно преобразовать к нормальным координатам некоторой базовой консервативной системы с постоянными коэффициентами [28]. После этого ОУ объединяется с АС.

Для анализа динамической устойчивости замкнутой системы ОУ плюс АС могут быть использованы частотные методы [4, 69-72, 77, 89-92, 106] с передаточными функциями ОУ и АС или корневые методы, основанные на решении задачи о собственных значениях замкнутой системы [19, 26].

Последний подход является более удобным для сложных систем управления со многими входами и выходами с учетом того, в настоящее время в математическом обеспечении всех известных программных комплексов для компьютеров имеются стандартные программы для решения проблемы комплексных собственных значений матриц высокого порядка. Для этого уравнения колебаний замкнутой системы записываются в пространстве состояний в виде канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [19, 26, 96, 105, 129, 170, 181].

Полученные собственные значения и векторы этой системы, а также -сопряженной ей системы, могут быть далее использованы для преобразования уравнений колебаний замкнутой системы и приведения их к несвязанным уравнениям в комплексных нормальных координатах [96, 111, 115, 147, 165, 179, 190]. Эти уравнения решаются аналитически точно при произвольных воздействиях и поэтому особенно удобны для решения задач о вынужденных колебаниях неконсервативных систем, в том числе - упругих управляемых систем.

Для упругих управляемых систем большой научный и практический интерес представляют не только задачи гашения колебаний и подавления динамической неустойчивости, но и задачи управляемого движения с конечными перемещениями и поворотами системы в целом или ее отдельных частей. Такие задачи возникают при маневрировании и ориентации JIA и КА, при отделении блоков и частей ракет, при трансформировании конструкций, при технологических операциях их развертывания и сборки, а также при передвижениях упругих элементов манипуляционных роботов.

Особенностью этих задач является то, что для их решения требуется использовать нелинейные уравнения движения, по крайней мере такие, которые могут описывать конечные перемещения и повороты системы как твердого тела. Что касается упругих колебаний, которые сопровождают такие передвижения системы, то они, в зависимости от жесткости системы и действующих на нее внешних сил и инерционных сил переносного движения, в некоторых случаях могут быть малыми.

Нелинейные задачи динамики различных упругих систем при конечных перемещениях и поворотах рассматривались в разных постановках в ряде работ, из которых отметим следующие: [13, 65, 113, 121, 155, 162, 167] -для КА и больших космических конструкций; [18, 139] - для космических тросовых систем; [28] - для самолетов; [63, 108, 131, 140, 184, 185] - для манипуляционных роботов и кранов.

Весьма важное место при проектировании упругих управляемых систем занимают анализ влияния различных параметров на динамические характеристики и на динамическую устойчивость, а также оптимизация. Этим проблемам проектирования неконсервативных систем (в частности - аэроупругих и автоупругих) посвящено большое число исследований.

Анализ чувствительности различных характеристик неконсервативных упругих систем по отношению к изменению проектных параметров путем вычисления производных или применения метода возмущений рассматривался в работах [7, 104, 111, 118, 122, 130, 149, 157-159, 164-166, 169, 171, 172, 186, 189, 194, 197, 199-201, 209, 216, 220, 221].

Оптимизации неконсервативных и управляемых упругих систем посвящено очень большое количество публикаций. Здесь приведем ссылки только на некоторые работы, близкие по тематике к рассматриваемой проблеме: [14-17, 21, 22, 128, 143, 177, 172, 177, 188, 210] - по оптимизации характеристик; [133, 135, 156, 163, 173] - по оптимизации мест расположения измерительных и исполнительных органов системы управления; [4, 6, 26, 64, 67, 72, 98, 99, 107, 108, 121, 162] - по оптимизации динамики и траекторий движения упругих управляемых систем.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 93-013-16490, 96-01-00352, 00-01-00567, 03-0100688); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (код проекта 201.01.01.118).

По теме диссертации автором опубликовано 37 работ. Из них некоторые работы опубликованы в соавторстве с научным консультантом Ф.Н. Шклярчуком.

В работах [30, 35, 37, 44, 58, 111, 112, 115] рассмотрены математические линейные и нелинейные модели, методы и задачи динамики неконсервативных (аэроупругих и автоупругих) систем, включая большие космические конструкции и упругие управляемые конструкции с встроенными активными элементами.

Некоторые конкретные задачи динамической устойчивости таких систем рассмотрены в [37, 38, 41, 43, 49, 54].

Активное гашение нестационарных колебаний упругих управляемых конструкций по части обобщенных координат (некоторых частей конструкций), а также управление их деформированной формой рассмотрено в работах [46, 47, 50-52, 55, 60, 61].

В работах [45, 53, 56, 57, 62, 139] в линейной и нелинейной постановках рассмотрены задачи быстрых конечных перемещений и поворотов (передвижений) упругих тел, стержневых и тросовых систем из одного положения покоя в другое с устранением колебаний после остановки.

Влияние параметров линейных неконсервативных (в том числе управляемых) систем на их динамические характеристики и устойчивость с использованием метода возмущений в первом и втором приближениях рассмотрены в работах [31, 32, 34, 111], а в работах [33, 36, 39] эти результаты применены для оптимизации динамических характеристик и запасов устойчивости таких систем.

В работах [40, 42, 48, 50] решены неконсервативные связанные задачи термоупругости и теплопроводности для сильного изгиба (в нелинейной постановке) и динамической неустойчивости (в линеаризованной постановке) по изгибным и изгибно-крутильным формам колебаний длинного тонкостенного стержня при солнечном нагреве в условиях космоса.

Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.

Содержание диссертации изложено в семи главах.

В первой главе рассмотрена общая структура линейных уравнений аэ-роавтоупругой системы, представляющей упругую конструкцию в обобщенных координатах с действующими на нее аэродинамическим нагрузками и с измерительными и исполнительными устройствами системы управления с обратными связями. Представлены преобразования этих уравнений сначала к фазовым координатам в пространстве состояний рассматриваемой неконсервативной системы и затем к несвязанным уравнениям в комплексных нормальных координатах. Последние уравнения используются для исследования динамической устойчивости замкнутой системы по ее комплексно-сопряженным собственным значениям, для построения передаточных функций и для расчета вынужденных колебаний.

Приведены физические соотношения, уравнения и вариационная формулировка задачи электроупругости для пьезокерамического тела и, в частности, для тонкой пьезокерамической пластины с поперечной поляризацией, которая может быть встроена в конструкцию в качестве активного элемента с управляемыми деформациями. Также рассмотрены композиты со слоями из пьезокерамики и получены уравнения электроупругих колебаний пологой композитной оболочки.

Во второй главе рассмотрено управление нестационарными колебаниями и деформированной формой упругих конструкций. Приведены алгоритмы численного решения нестационарной задачи и задачи статики для определения управляющих сил при неполном управлении системы (ее части или по части обобщенных координат).

Для активного гашения нестационарных колебаний части упругой управляемой конструкции на основе точного аналитического решения уравнений в комплексных нормальных координатах, разработан новый эффективный метод сведения задачи к интегральным уравнениям относительно управляющих сил и командных сигналов системы управления с численным алгоритмом их пошагового решения.

Для случая, когда управляющие силы (реакции приводов и органов управления) являются сосредоточенными, представлен метод определения дополнительных к учитываемым формам колебаний местных податливостей конструкции в точках приложения сосредоточенных сил.

Обсуждены особенности решения обратных задач динамики упругих тел.

В качестве примеров расчета рассмотрены задачи гашения колебаний груза на конце ферменной конструкции и подвески на упругом крыле при порывах ветра, а также управление деформированной формой фермы.

Третья глава посвящена нелинейной динамике упругих космических систем. Получены геометрически нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругого тела в центральном гравитационном поле в скоростях подвижной системы координат и в обобщенных координатах, представляющих его упругие колебания с конечными деформациями. Также получены по методу Ритца нелинейные уравнения колебаний вращающихся гибких стержней.

Рассмотрена динамика вращающегося космического аппарата с выпускаемой тросовой системой в центральном гравитационном поле для случая растяжимого и нерастяжимого троса с примерами расчета.

Для решения задач развертывания и раскрытия гибких стержневых систем получены по методу конечных элементов нелинейные уравнения движения при больших перемещениях и углах поворота элементов. Приведен пример расчета раскрытия с поворотом двухзвенной стержневой системы.

Получены нелинейные и линеаризованные уравнения динамики космической фермы с регулируемыми длинами стержней при конечных перемещениях, поворотах и деформациях.

В четвертой главе рассмотрена динамика управляемого движения упругих систем при конечных перемещениях и поворотах из одного состояния покоя в другое. Показано, что с помощью импульсов определенной формы, например - в виде волны синусоиды, линейную упругую систему (тело) можно передвинуть из одного состояния покоя в другое с устранением упругих колебаний в момент остановки после такого передвижения. Для этого требуется, чтобы время действия импульса находилось в определенных соотношениях с периодами устраняемых собственных форм колебаний.

Приведены примеры расчета. Показано, что в случае геометрически нелинейной системы после ее передвижения имеются остаточные сравнительно малые колебания.

В пятой главе на примерах расчета аэроупругих колебаний цельнопо-воротного стабилизатора и стреловидного крыла с двигателями на упругих пилонах показано, что можно устранить динамическую неустойчивость (флаттер) с помощью подключения простых нелинейных элементов с односторонними связями (типа стальных лент, тросов или упоров).

Шестая глава посвящена анализу чувствительности и оптимизации динамических характеристик упругих неконсервативных (в том числе управляемых) систем. Получены формулы для коэффициентов чувствительности собственных значений неконсервативных систем по методу возмущений во втором приближении, которые используются для оптимизации системы с целью повышения запаса ее динамической устойчивости. В качестве примера рассмотрены аэроупругие колебания и флаттер цельноповоротного стабилизатора в сверхзвуковом потоке.

В седьмой главе рассмотрена связанная задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве в условиях космоса с учетом влияния деформаций стержня на углы падения лучей и с учетом внешнего и внутреннего теплоизлучения. Получено численное решение этой задачи.

В линеаризованной постановке неконсервативной связанной задачи термоупругости и теплопроводности исследована термоупругая динамическая неустойчивость изогнутого стержня по изгибным и изгибно-крутильным формам. Приведены примеры расчета.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Гришанина, Татьяна Витальевна

Основные результаты

1. Получены общие уравнения аэроавтоупругих колебаний в обобщенных координатах конструкции ЛА с встроенными активными элементами в виде стержней, накладок и композитных слоев из электроупругой пьезокера-мики с управляемыми деформациями.

Представлены преобразования этих уравнений в пространстве состояний к несвязанным уравнениям в комплексных нормальных координатах. Последние решаются точно и при их использовании передаточные функции системы записываются в наиболее простом и удобном для анализа виде.

2. Разработан новый эффективный метод расчета управляющих сил и командных сигналов системы управления для гашения нестационарных колебаний определенной части упругой конструкции (т.е. по части обобщенных координат). С использованием точных аналитических решений уравнений в нормальных координатах условия управления записываются в виде интегральных уравнений, которые решаются численно по временным шагам. Для этого требуется информация о состоянии системы и действующих возмущениях только на предыдущем шаге.

Это решение, как показано на примерах расчета, является сравнительно простым и быстрым и его алгоритм может быть реализован в режиме реального времени на бортовом компьютере или специальном вычислителе, входящем в состав системы автоматического управления.

3. Получены решения статических задач управления деформированной формой упругой конструкции в целом и ее определенной части путем создания необходимых управляющих сил в приводах или в встроенных активных элементах с регулируемыми деформациями.

4. Получены нелинейные и линеаризованные уравнения динамики космических систем при больших перемещениях и углах поворота и при конечных упругих деформациях в обобщенных координатах и скоростях подвижной системы координат.

Разработаны математические модели: для больших космических конструкций в центральном гравитационном поле; для вращающихся гибких стержней; для космического аппарата с выпускаемой на орбите тросовой системой; для развертываемой стержневой системы с пружинными толкателями и упорами; для космической фермы с регулируемыми стержнями.

5. Для быстрых пространственных конечных передвижений (перемещений и поворотов) упругой системы из одного состояния покоя в другое найден класс силовых или кинематических импульсных воздействий (управлений), при которых линейная система останавливается в момент окончания действия импульса с одновременным прекращением упругих колебаний. Для этого необходимо, чтобы длительность импульса превышала в целое число раз 2,3, 4,. периоды собственных форм колебаний, подлежащих гашению.

На примерах расчета показано, что в случае геометрически нелинейных систем после прекращения действия импульса по инерции происходят «остаточные» колебания со сравнительно малыми амплитудами.

6. Предложен способ устранения динамической неустойчивости упругих неконсервативных систем или перевода их колебаний в режим предельного цикла с достаточно малыми и приемлемыми амплитудами с помощью регулируемых нелинейных упруго-вязких связей. Технически подходящими для этого являются элементы с односторонними связями типа стальных лент и тросов (малая масса, удобное расположение и крепление, простая регулировка).

Эффективность этого способа с применением элементов с односторонними связями для подавления флаттера показана на примерах расчета нелинейных аэроупругих колебаний стабилизатора и стреловидного крыла с двигателем на упругом пилоне.

7. По методу возмущений во втором приближении получены формулы для собственных значений и векторов упругой неконсервативной системы при малых изменениях ее параметров. Эти формулы используются для анализа чувствительности динамических характеристик, для управления ими путем целенаправленного изменения параметров системы, для повышения запаса динамической устойчивости и для оптимизации динамических характеристик.

8. Решена связанная нелинейная задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности длинного тонкостенного стержня с круговым поперечным сечением при солнечном нагреве в условиях космоса с учетом влияния деформаций на углы падения солнечных лучей.

В приближенной линеаризованной постановке исследована динамическая устойчивость искривленного стержня при солнечном нагреве как неконсервативной термоупругой системы по изгибным и по изгибно-крутильным формам колебаний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гришанина, Татьяна Витальевна, 2004 год

1. Абовский Н.П. Управляемая конструкция как система. В сб. «Пространственные конструкции в Красноярском крае». Красноярск: Изд-во КИСИ, 1992, с. 3-15.

2. Абовский Н.П. Управляемые конструкции САУ НДС. Красноярск: Изд-во КИСИ, 1995, 125 с.

3. Авдуевский B.C. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1975, 624 с.

4. Айзенберг Я.Е., Сухоребрый В. Г. Проектирование систем стабилизации носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1986, 224 с.

5. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С. и др. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000, 304 с.

6. Албул А.В., Баничук Н.В., Бирюк В.И., Коандэ Н.К Применение метода возмущений для отыскания оптимальных распределений силового материала в стреловидных крыльях // Уч. записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 2, с. 86-93.

7. Аринчев С.В. Теория колебаний неконсервативных систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002, 264 с.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний, изд. 3-е. М.: Наука, 1968, 560 с.

9. Балакирев Ю.Г., Мурыгин В.Е. О построении областей устойчивости колебаний упругого объекта с регулятором. В сб. "Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сборник научных докладов III симпозиума". М.: ЦНТИ "Волна", 1976, с. 27-31.

10. Балакирев Ю.Г., Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью. В сб.

11. Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций". М.: Изд-во инта механики МГУ, 1986, с. 6-19.

12. Балакирев Ю.Г. Исследование устойчивости системы упругий корпус -топливные магистрали двигатели для жидкостных ракет пакетной компоновки // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 2, с. 129-137.

13. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М. и др. Механика больших космических конструкций. -М.: Изд-во «Факториал», 1997, 302 с.

14. Баничук Н.В., Миронов А. А. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости // ПММ, 1975, т. 39, вып. 5, с. 889-899.

15. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции // Уч. записки ЦАГИ, 1978, т. IX, № 5, с. 97-103.

16. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардо Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988, 224 с.

17. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П. и др. Методы оптимизации авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1989, 296 с.

18. Белецкий В. В. , Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. М.: "Наука", 1990, 330 с.

19. Белоцерковский С. М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980, 384 с.

20. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977, 489 с.

21. Бирюк В.И. О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условия прочности и аэроупругости // Уч. записки ЦАГИ, 1972, т. 3, №2, с. 114-119.

22. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977, 232 с.

23. Бисплингхофф Р.Л, Эгили X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958,800 с.

24. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961, 340 с.

25. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М: Машиностроение, 1988, 272 с.

26. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985,352 с.

27. Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. Устойчивость упругого тела вращения в потоке газа при действии следящей силы // Инженерный журнал «Механика твердого тела», 1966, №5, с. 151-154.

28. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогид-роупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000, 592 с.

29. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шулъга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций, т. 5. Электроупругость. Киев: Наукова думка, 1989, 279 с.

30. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Колебания аэроупругих систем. В сб. «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов II Всес. конф., Куйбышев. 1-3 июля 1986г.» Куйбышев: Изд-во КуАИ, 1986, с. 40.

31. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Колебания линейных систем с малыми неконсервативными силами. В сб. «Вопросы прочности и долговечности элементов конструкций летательных аппаратов». Куйбышев: Изд-во КуАИ, 1988, с. 36-41.

32. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамические характеристики линейных систем с малыми неконсервативными силами. В сб. «Численные методы исследования прочности летательных аппаратов». М.: Изд-во МАИ, 1988, с. 10-14.

33. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Оптимизация динамических характеристик аэроупругих систем. В сб. «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов III

34. Всес. конф., Казань, 20-22сентября, 1988г.». Казань: Изд-во КАИ, 1988, с. 41-42.

35. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Определение динамических характеристик модифицированных неконсервативных систем. В сб. «Численные и экспериментальные методы исследования прочности конструкций ЛА.». М.: Изд-во МАИ, 1989, с. 12-16.

36. Гришанина Т.В. Определение передаточных функций неконсервативных систем с конечным числом степеней свободы. В сб. Научных трудов Ин-та проблем механики АН СССР, «Гагаринские чтения по космонавтике и авиации, 1988 г.». М.: Наука, 1989, 235с.

37. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Оптимизация аэроупругой системы по условиям динамической устойчивости. В сб. «Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций». Куйбышев: Изд-во КуАИ, 1990, с. 66-72.

38. Гришанина Т.В. Флаттер стреловидного крыла. М.: Изд-во МАИ, 1993, 20 с.

39. Гришанина Т.В. Оптимизация неконсервативных систем по условиям динамической устойчивости. В сб. «Тезисы докладов Всероссийского симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: РИЦ МГАТУ, 1995, с. 20.

40. Гришанина Т.В. Аэроупругие колебания и динамическая устойчивость управляемой ракеты. В сб. «Тезисы докладов II междунар. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: Изд-во «Латмэс» МГАТУ, 1996, с. 46.

41. Гришанина Т.В. Задачи по теории колебаний упругих систем. М.: Изд-во МАИ, 1998,48 с.

42. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Связанная задача термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве // Изв. РАН. МТТ, 2000, №6, с. 161-166.

43. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Управление колебаниями упругих конструкций при нестационарных возмущениях // Изв. РАН, МТТ, 2003, №2, с. 157-167.

44. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика управляемого разворота упругих космических конструкций. В сб. тезисов докладов II Международной конференции и выставки «Авиация и космонавтика 2003». М.: Изд-во МАИ, 2003, с. 119-120.

45. Гришанина Т.В., Савушкина А.Ю. Флаттер цельноповоротного стабилизатора с односторонними связями // Вестник МАИ, 2003 г. Т. 10, №1, с. 9-13.

46. Гришанина Т.В. Управляемый поворот упругого стержня на конечный угол // Вестник МАИ, 2004, том 11, № 1, с. 64-68.

47. Гришанина Т.В. Устранение колебаний упругой системы после ее быстрого передвижения и поворота // Вестник МАИ, 2004 г. Т. 11, №2, с. 68-75.

48. Гришанина ТВ. Расчет деформаций и колебаний крыльев большого удлинения с учетом конусности // Изв.вузов. Авиационная техника, №2, 2004, с. 10-13.

49. Гришанина Т.В. Динамика управляемого движения упругих систем при конечных перемещениях и поворотах // Изв. РАН. МТТ, 2004, № 6, с. 171-186.

50. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упруго-податливыми звеньями и приводными механизмами // Изв. РАН. МТТ, 2003, №6, с. 18-30.

51. Дегтярев ГЛ., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986,216 с.

52. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987, 232 с.

53. Кашин Г. Н., Федоренко Г. И. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета. М.: Машиностроение, 1974, 312 с.

54. Ковалева А.С. Управление колебательными и виброударными системами. М.: Наука, 1990, 256 с.

55. Колесников К. С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М.: Машиностроение, 1969, 298 с.

56. Колесников К.С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем, М.: Машиностроение, 1971, 260 с.

57. Колесников КС., Сухов З.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М.: Машиностроение, 1974, 268 с.

58. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980, 376 с.

59. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975, 158 с.

60. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 274 с.

61. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961, 824 с.

62. Марченко В.М. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1975, 624 с.

63. Меркин ДР. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976, 320 с.

64. Микигиев Г. Н., Рабинович В. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971, 564 с.

65. Морозов В.И., Овчинников В.В. Нелинейные задачи аэроупругой устойчивости крыла при отрывном обтекании // Изв. РАН. МТТ, 2003, № 6, с. 158-170.

66. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1990, 217 с.

67. Новожилов КВ. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1991, 190 с.

68. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978 с.

69. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1986, 536 с.

70. Образцов И. Ф. , Савельев Л. М. , Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985, 392 с.

71. Панин А.Е. Пьезоэлектрические исполнительные устройства в системах автоматического регулирования // Зарубежная радиоэлектроника, 1996, № 9, с. 57-62.

72. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988, 470 с.

73. Потапенко К.М. Устойчивость движения маневрирующих упругих КА // Космические исследования, 1990, т. 28, вып. 2, с. 203-211.

74. Пространственные конструкции в Красноярском крае; сборник научных трудов. Красноярск: Изд-во КИСИ, 1994, 191 с.

75. Пространственные конструкции в Красноярском крае; сборник научных трудов. Красноярск: Изд-во КИСИ, 1998, 190 с.

76. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975, 416 с.

77. Рабинович Б.И. Прикладные задачи устойчивости стабилизированных объектов. М.: Машиностроение, 1978,232 с.

78. Рабинович Б.И., Ошеров А. Э. Об устойчивости бокового движения контейнеров с велосипедным шасси // Прикладная механика, 1978, т. XIII,вып. 3, с. 52-61.

79. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1983, 296 с.

80. Разыграев А.П. Основы управления полетом космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1990, 480 с.

81. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985, 536 с.

82. Сотое В.И. Исследование аэроупругой устойчивости летательного аппарата с системой автоматического управления по характеристикам динамической жесткости // Труды ЦАГИ, 2004, вып. 2664, с. 86-96.

83. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964, 438 с.

84. Тарлаковский Д.В., Шклярчук Ф.Н Устойчивость движения управляемой системы двух упруго состыкованных тел, одно из которых имеет полости, частично заполненные жидкостью // Изв. АН СССР. МТТ, 1973, №2, с. 15-21.

85. Титов Б.А., Вьюжанин В.А., Дмитриев В.В. Формирование динамических свойств упругих космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1995,304 с.

86. Троицкий Б.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. М.: Машиностроение, 1976, 248 с.

87. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988, 402 с.

88. ФершингГ. Основы аэроупругости. М.: Машиностроение, 1984, 600 с.

89. Флакс А. Аэрогидроупругость. В сб. "Аэрогидроупругость". М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961, с. 5-81.

90. Фьт Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Физматгиз, 1959, 524 с.

91. Хог Э.Дж., Чой К.К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Изд-во "Мир", 1988,428 с.

92. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1998, 288 с.

93. Черемных С. В. Стабилизируемость космических летательных аппаратов. М. .Машиностроение, 1978, 208 с.

94. Черноусько Ф.Л., Акуленков Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980,383 с.

95. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н, Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989, 368 с.

96. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1983, 80 с.

97. Шклярчук Ф.Н. Аэроупругость самолета. М.: Изд-во МАИ, 1985, 78 с.

98. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Колебания неконсервативных систем. М.: Изд-во МАИ, 1989,46 с.

99. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. М.: Изд-во МАИ, 1993, 68 с.

100. Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругих космических конструкций // Изв. РАН. МТТ, 1996, №1, с. 161175.

101. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Динамика упругих управляемых конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1999, 56 с.

102. Adelman H.M., Haftka R.T. Sensitivity Analysis of Structural Systems //AIAA Journal, 1986, Vol. 24, No. 5, pp. 323-832.

103. Anderson E.H., Moore D.M., Fanson J.L. Development of an Active Member Using Piezoelectric and Electrostrictive Actuation for Control of Precision Structures. AIAA-90-1085-CP, 1990, pp. 2221-2233.

104. Barrett R. Active Plate and Missile Wing Development Using Directionally Attached Piezoelectric Elements // AIAA Journal, 1994, Vol. 32, No. 3, pp. 601-609.

105. Barrett R. All-moving Active Aerodynamic Surface Research // Smart Mater. Struct., 1995, No. 4, pp. 65-74.

106. Barrett R. Active Aeroelastic Tailoring of an Adaptive Flexspar Stabila-tor// Smart Material and Structures, 1996, Vol. 5, pp. 723-730.

107. Bong W., Gonzalez M. Control Synthesis for Flexible Space Structures Exited by Persistent Disturbances // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, Vol. 15, No. 1, pp. 73-80.

108. Cardani C, Mantegazza P. Calculation of Eigenvalue and Eigenvector Derivatives for Algebraic Flutter and Divergence Problems // AIAA Journal, 1979, Vol. 17, pp. 408-412.

109. Chen G-S., Bruno R., Salama M. Selection of Active Member Locations in Adaptive Structures. AIAA-89-1287-CP, 1989, pp. 1127-1135.

110. Chen J.-C. Response of Large Space Structures with Stiffness Control // Journal of Spacecraft and Rockets, 1984, Vol. 21, No. 5, pp. 463-467.

111. Choe K, Baruh H. Actuator Placement in Structural Control // Journal of Control, Guidance, and. Dynamics, 1992, Vol. 15, No.l, pp. 40-48.

112. Connel G.M., Chobotov V. Possible Effects of Boom Flutter on the Attitude Dynamics of the OVl-lO Satellite // Journal of Spacecraft and Rockets, 1969, Vol. 6, No. l,pp. 90-92.

113. Crawley E. F., de Luis J. Use of Piezo-Ceramic as Distributed Actuator in Large Space Structures. 26 th AIAA/ ASME/ASCE/AHS Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 1985.

114. Crawley E. F., de Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures // AIAA Journal, 1987, Vol. 25, No. 10.

115. DanilinA.N., Grishanina T.V., ShklyarchukF.N., BuzlaevD.V. Dynamics of a Space Vehicle with Elastic Deploying Tether // Computers and Structures, 1999, No. 72, pp.141-147.

116. EdbergD. L. Control of Flexible Structures by Applied Thermal Gradients // AIAA Journal, 1987, Vol. 25, No. 6.

117. Ehlers S.M., Weisshaar T.A. Static Aeroelastic Control of an Adaptive Lifting Surface // Journal of Aircraft, 1993, Vol. 30, No. 4, pp. 534-540.

118. Fanson J.L., Blackwood G.H., Chu C.C. Active-Member Control of Precision Structures. AIAA-89-1329-CP, 1989, pp. 1480-1494.

119. Foss K.A. Coordinates which Uncouple the Equations of Motion of Damped, Linear Dynamic Systems // Journal of Applied Mechanics, 1958, Vol. 25, No. 7, pp. 361-364.

120. Gade P.V.N., Inman D.J. Active Control of Store-Induced Flutter in Incompressible Flow // Journal of Aircraft, 1998, Vol. 35, No. 3. pp. 454-461.

121. Giurgiutiu V., Chandhry Z, Rogers C.A. Active Control of Helicopter Rotor Blades with Induced Strain Actuators. AIAA-94-1765-CP, 1994, pp. 288-297.

122. Graham J.D. Solar Induced Bending Vibrations of a Flexible Member // AIAA Journal, 1970, Vol. 8, No. 11, pp. 2031-2036.

123. Hablani H.B. Zero-Residual Energy, Single-Axis Slew of Flexible Spacecraft Using Thrusters: Dynamic Approach // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, Vol. 15, No. l,pp. 104-113.

124. Haftka R.T. Optimum Placement of Controls for Static Deformations of Space Structures // AIAA Journal, 1984, Vol. 22, No. 9, pp. 1293-1298.

125. Hagedorn P. Zurn Eigenwertpoblem Diskreter Linearer Mechanischer System mit Schwacher Dampfimg und Kleinen Gyroskopischen Termen // Zangew. Math, und Mech., 1984, 64, N 4,48-49.

126. Hagood N.W., Chung W.H., von Flotov A. Modelling of Piezoelectric Actuator Dynamics for Active Structural Control. AIAA-90-1087-CP, 1990, pp. 2242-2256.

127. Hall B.D., Mook D.T., Nayfeh A.H., Predikman S. Novel Strategy for Suppressing the Flutter Oscillations of Aircraft Wings // AIAA Journal, 2001, Vol. 39, No. 10, pp. 1843-1850.

128. Hecht N.K., Junkins J.L. Near-Minimum-Time Control of a Flexible Manipulator // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, Vol. 15, No. 2, pp. 477-481.

129. Heverly D.E., Wang K.W., Smith E.C. An Optimal Actuator Placement Methodology for Active Control of Helicopter Airframe Vibrations // Journal of the American Helicopter Society, 2001, Vol. 5, pp. 251-261.

130. Is sac J.C., Kapania R.K. Aeroelastic Sensitivity Analysis of Wings Using Automatic Differentiation // AIAA Journal, 1997, Vol. 35, No. 3, pp. 519525.

131. Iyer A., Singh S.N. Variable Structure Slewing Control and Vibrations Damping of Flexible Spacecraft // Acta Astronautica, 1991, Vol. 25, No. 1, pp. 1-10.

132. Jordan P.F. Comment on "Thermally Induced Vibration and Flutter of a Flexible Boom" // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, Vol. 8, No. 2, pp. 204-205.

133. Kapania R.K., Bergen F. D., Barthelemy J.M. Shape Sensitivity Analysis of Flutter Response of a Laminated Wing // AIAA Journal, 1991, Vol. 29, No. 4, pp. 611-612.

134. Karpel M. Reduced-Order Models for Integrated Aeroservoelastic Optimization // Journal of Aircaft, 1999, Vol. 36, No. 1, pp. 146-155.

135. Lim J.W., Chopra I. Aeroelastic Optimization of a Helicopter Rotor Using an Efficient Sensitivity Analysis // Journal of Aircraft, 1991, Vol. 28, No. 1, pp. 29-37.

136. Lin C.Y., Crawley E.F. Aeroelastic Actuation Using Elastic and Induced Strain Anisotropy // Journal of Aircraft, 1995, Vol. 32, No. 5, pp. 1130-1137.

137. Livne E., Schmit LA., Friedmann P.P. Exploratory Design Studies of Actively Controlled Wings Using Integrated Multidisciplinary Synthesis // AIAA Journal, 1992, Vol. 30, No. 5, pp. 1171-1179.

138. Livne E. Integrated Aeroservoelastic Optimization: Status and Direction // Journal of Aircaft, 1999, Vol. 36, No. 1, pp. 112-145.

139. Masters B.P., Crawley E.F. Evolutionary Design of Controlled Structures // Journal of Aircaft, 1999, Vol. 36, No. 1, pp. 209-217.

140. Meirovitch L., Ryland G. Response of slightly Damped Gyroscopic Systems //Journal of Sound, and Vibration, 1979, Vol. 67, No. 1, pp. 1-19.

141. Miller D.W., Crawley E.F. Theoretical and Experimental Investigation of Space-Realizable Inertial Actuation for Passive and Active Structural Control // Journal of Control, Guidance, and Dynamics, 1988, Vol.11, No.5, pp. 449458.

142. Minra K., Furnya H. Adaptive Structure Concept for Future Space Applications // AIAA Journal, 1988, Vol. 26, No. 8.

143. Modi V.J., Chan J.K. Dynamics of the Space Station Based Mobile Flexible Manipulator // Acta Astronautica, 1991, Vol. 25, No. 3, pp.149-156.

144. Morita Y., Modi V.J. Dynamics of a Flexible Orbiting Platform with MRMS. The Institute of Space and Astronautical Science, Tokyo, Rep. No. 625, 1988, 69 p.

145. Murthy D. V., Haftka R. T. Derivatives of Eigenvalues and Eigenvectors of a General Complex Matrix // Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 1988, Vol. 26, pp. 293-311.

146. Nam C., Kim W., Oh S. Active Flutter Suppression of Composite Plate With Piezoelectric Actuators. AIAA-94-1745-CP, i994, pp. 127-134.

147. Nam C., Kim Y. Optimal Design of Composite Lifting Surface for Flutter Suppression with Piezoelectric Actuators // AIAA Journal, 1995, Vol. 33, No. 10, pp. 1897-1904.

148. Nelson R. B. Simplified Calculation of Eigenvector Derivatives // AIAA Journal, 1976, Vol. 14, No. 9, pp. 1201-1205.

149. Newland D.E. On the Modal Analysis of Non-conservative Linear Systems // Journal of Sound and Vibration, 1987, Vol. 112, No. 1, pp. 69-96.

150. Nitzsche F., Breitbach E.J. Using Adaptive Structures to Attenuate Rotary Wing Aeroelastic Response // Journal of Aircraft, 1994, Vol. 31,No. 5, pp. 1178-1188.

151. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.I. Dynamics and Control of Large Space Structures // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1984, Vol. 7, No, 5, pp. 514-526.

152. Preumont A., Dufour J.-P., Malekian C. Active Damping by a Local Force Feedback with Piezoelectric Actuators // Journal of Control, Guidance, and Dynamics, 1992, Vol. 15, No. 2, pp. 390-395.

153. Reich G.W., van Schoor M.C., Lin C.Y., Crawley E.F. An Active Aeroelastic Wing Model For Vibration and Flutter Suppression. AIAA-95-1193-CP, 1995, pp. 314-324.

154. Rogers L.C. Derivatives of Eigenvalues and Eigenvectors // AIAA Journal, 1970, Vol. 8, No. 5, pp. 943-944.

155. Roy I.D., Eversman W. Adaptive Flutter Suppression of an Unswept Wing // Journal of Aircraft, 1996, Vol. 33, No. 4, pp. 775-783.

156. Rudisill CS., Bhatia K.G. Second Derivatives of the Flutter Velocity and the Optimization of Aircraft Structures // AIAA Journal, 1972, Vol. 10, No. 10, pp. 1569-1572.

157. Scott R.C., Weisshaar T.A. Panel Flutter Suppression Using Adaptive Material Actuators // Journal of Aircraft, 1994, Vol. 31, No. 1, pp. 213-222.

158. Shirai Y, Arakawa H., Toda N., Taneda Y., Sakura K. Active Vibration Control for Aircraft Wing I IJSME International Journal, Series C, 1993, Vol. 36, No. 3, pp. 319-324.

159. Song O., Librescu L., Rogers C.A. Application of Adaptive Technology to Static Aeroelastic Control of Wing Structures // AIAA Journal, 1992. Vol. 30, No. 12, pp. 2882-2889.

160. Stanway R., Sproston J.L., El-Wahed A.K. Application of Electro-Rheological Fluids in Vibration Control: a Survey // Smart Materials and Structures, 1996, Vol. 5, pp. 464-482.

161. Suleman A., Vankayya V.B. Formulation of a Composite Panel with Piezoelectric Layers for Application to the Flutter Problem. Active Contr. Vibr.: Symp. Int. Union Theor. and Appl. Mech., Bath, 5-8 Sept., 1994. London, 1994, pp. 9-16.

162. Sumi S., Murozono M., Imoto T. Thermally-Induced Bending Vibration of Thin-Walled Boom with Tip Mass Caused by Radiant Heating // Technology Reports of Kyushu University, 1988, Vol. 61, No. 4, pp. 449-450.

163. Sutter T.R., Camarda C.J., Walsh J.L, Adelman H.M. Comparison of Several Methods for Calculating Vibration Mode Shape Derivatives // AIAA Journal, 1988, Vol. 26, No. 12, pp. 1506-1511.

164. Suzuki S., YonezawaS. Simultaneous Structure/Control Design Optimization of a Wing Structure with a Gust Load Alleviation System // Journal of Aircraft, 1993, Vol. 30, No. 2, pp. 268-274.

165. Wada В, K, Fanson J.L, Chen G.-S. Using Adaptive Structures to Enable Future Missions by Relaxing Groung Test Requirements // Journal of Spacecraft and Rockets, 1991, Vol. 28, No. 6, pp. 663-669.

166. Wada B.K. Adaptive Structures. AIAA-89-1160-CP, 1989, pp. 1-11.

167. Wada B.K. Adaptive Structures: An Overview // Journal of Spacecraft and Rockets. 1990. Vol. 27. No. 3. pp. 330-337.

168. Walz C., Chopra I. Design and Testing of a Helicopter Rotor Model with Smart Trailing Edge Flaps. AIAA-94-1767-CP, 1994, pp. 309-319.

169. Waszak M.R. Flutter Suppression for the Active Flexible Wing: A Classical Design // Journal of Aircraft, 1995, Vol.32, No. 1, pp. 61-67.

170. Wicher J., Nalecz A.G. Second Order Sensitivity Analysis of lumped Mechanical Systems in the Frequency Domain // Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, Vol. 24, pp. 2357-2366.

171. Won C.C., Sparks D., Belvin K., Sulla J. Application of Piezoelectric Devices to Vibration Suppression: from Modeling and Controller Designs to Implementation. AIAA-92-4610-CP, 1992, pp. 1381-1389.

172. Yu Y.-Y. Thermally Induced Vibration and Flutter of a Flexible Boom // Journal of Spacecraft and Rockets, 1969, Vol. 6, No. 8, pp. 902-910.

173. Yu Y.-Y. Reply by Author to P.F. Jordan and G. Augusti and New Results of Two-mode Approximation Based on a Vigorous Analysis of Thermal Bending Flutter of a Flexible Boom // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, Vol. 8, No. 2, pp. 205-208.

174. Zheng Z., Tan M. A Perturbation Method for the Complex Mode Theory of Linear Non-conservative Dynamic Systems. Proc. 4th Int. Modal Anal. Corif., Los Angeles, Calif., Febr. 3-6, 1986, Vol. 2, pp. 1292-1298.

175. Zhong W., Cheng G. Second-order Sensitivity Analysis of Multimodal Eigenvalues and Related Optimization Techniques // Journal of Struct. Mech., 1986, Vol. 14, No. 4, pp. 421-436.

176. Zhon R.C., Lai Z, Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of Nonlinear Panel Flutter with Piezoelectric Actuators Using finite Element Method // AIAA Journal, 1995, Vol. 33, No. 6, pp. 1098-1105.