Численный анализ динамики и устойчивости геометрически нелинейных упругих стержневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Лукьянов, Андрей Анатольевич

• Лукьянов, Андрей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лукьянов, Андрей Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Геометрически нелинейные математические модели стержневых систем

1.2. Методы построения уравнений движения геометрически нелинейных стержневых механических систем

1.3. Методы численного интегрирования нелинейдых.уравнений движения

1.4. Прикладные вопросы динамики упругих геометрически нелинейных стержневых систем

1.5. Задачи динамики и управления упругих манипуляторов

1.6. Выводы. Постановка задач и цели исследования

2. УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

2.1. Основные кинематические соотношения

2.2. Геометрически нелинейный стержневой конечный элемент

2.3. Особенности реализации модели в методе конечных элементов

2.4. Упругие характеристики отдельного конечного элемента

2.5. Итерационный алгоритм статического расчета геометрически нелинейной стержневой системы

2.6. Методика учета больших поворотов и перемещений узлов конечно-элементной модели стержневой системы

2.7. Выводы

3. ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

3.1. Уравнения динамического равновесия системы

3.2. Прямое численное интегрирование нелинейных уравнений движения

3.3. Исследование точности методик прямого численного интегрирования нелинейных уравнений движения

3.4. Учет нелинейной зависимости сил инерции от перемещений в методах прямого численного интегрирования

3.5. Выводы

4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

4.1. Алгоритмы и подпрограммы, реализующие разработанную математическую модель геометрически нелинейного стержневого конечного элемента

4.2. Модуль прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем

4.3. Архитектура комплекса программ «COMPASS». Особенности его реализации на основе современного программного обеспечения

4.4. Верификация разработанных программ: расчет упругих стержней в статике, анализ устойчивости сжатых и изогнутых стержней

4.5. Динамический анализ стержневых механических систем при наличии в них состояний неустойчивости

4.6. Исследование характеристик упругого виброизолирующего элемента с квазинулевой жесткостью

4.7. Выводы

5. ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ - УПРУГИХ РОБОТОВ

5.1. Постановка задач обратной кинематики и обратной динамики упругих манипуляторов

5.2. Методика формирования уравнений динамики упругого манипулятора

5.3. Методика решения обратной задачи кинематики упругого манипулятора

5.4. Численная проверка методики решения обратной задачи кинематики

5.5. Экспериментальная проверка методики решения обратной задачи кинематики на пространственном упругом манипуляторе

5.6. Проектирование оптимальных манипуляторов промышленных роботов с учетом параметров управления и динамических ограничений

5.7. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ динамики и устойчивости геометрически нелинейных упругих стержневых систем»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время значительное внимание в мире уделяется проблемам экономии материальных и энергетических ресурсов. Задачи уменьшения веса конструкций и механических систем при одновременном увеличении их надежности являются актуальными не только для аэрокосмической и авиационной техники, но и для других областей народного хозяйства. Негативной стороной уменьшения веса элементов инженерных конструкций является снижение их жесткости. Малая жесткость приводит к большим упругим перемещениям элементов, повышается вероятность потери устойчивости элементов. В управляемых механических системах, например, роботах упругие колебания манипуля-ционных систем малой жесткости оказывают существенное влияние на точность позиционирования и быстродействие. В частности, при повышении скорости движения манипулятора робота упругие колебания рабочего органа нередко превышают допустимую технологическим процессом погрешность.

Одним из перспективных направлений уменьшения отрицательных факторов, возникающих при использовании элементов малой жесткости в технических системах является разработка эффективных методов расчета, управления и проектирования на базе уточненных нелинейных моделей упругих деформаций основных элементов технических систем. В работе рассматривается класс стержневых геометрически нелинейных упругих механических систем. Геометрическая нелинейность механических систем с упругими элементами может быть обусловлена двумя следующими причинами. Во-первых, при больших величинах упругих перемещений и поворотов элементов деформированной системы нарушается пропорциональная зависимость между приложенными к системе силами и упругими перемещениями [31, 39, 86, 118, 132]. В частности, в стержневых системах, действующие вдоль оси стержней силы приводят к изменению жесткости этих стержней и способны вызвать потерю их устойчивости. Во-вторых, геометрическая нелинейность может быть вызвана перемещениями и поворотами упругих тел механической системы относительно друг друга благодаря наличию между ними кинематических соединений [99, 100,126,129].

В настоящее время для решения геометрически нелинейных задач статики и динамики упругих стержней имеется хорошо разработанная теория тонких стержней [26, 27, 28, 34, 50, 56, 57], на основе которой можно получать аналитические (в некоторых случаях) или приближенные решения. Однако практическое использование указанной теории при вычислительных экспериментах на ЭВМ существенно осложнено, так как требует

решения нелинейных дифференциальных уравнений со сложными граничными условиями. Для численного решения подобных трехмерных задач прикладной механики в вариационной постановке наиболее хорошо приспособлен метод конечных элементов (МКЭ) [5, 29, 30, 53, 93, 94], ставший основным инструментом численного анализа прочности и надежности конструкций и механических систем. Преимуществами МКЭ являются: хорошо обоснованный математический аппарат, универсальность метода, его направленность на численную реализацию с помощью ЭВМ, удобство инженерной интерпретации сложных моделей как ансамбля конечных элементов. Все это обуславливает большую эффективность основанных на МКЭ нелинейных моделей, позволяющих производить сложные статические и динамические исследования геометрически нелинейных стержневых механических систем большой размерности. Однако разработанные в настоящее время конечноэлементные модели геометрически нелинейных стержней [25, 31, 52, 55, 77, 86, 93, 94, 99, 100, 118, 129, 135] не в полной мере учитывают особенности пространственной деформации стержней. В частности, эти модели не учитывают взаимосвязь пространственного изгиба и кручения, взаимосвязь растяжения и кручения, не учитывается нелинейность распределения осевой силы по оси стержня при его изгибе.

Большой интерес уделяется задачам управления нелинейными упругими механическими системами [80, 82, 130, 131, 143, 145, 153]. Примером таких стержневых нелинейных упругих стержневых систем являются упругие манипуляторы роботов [99, 111, 126, 129]. Помимо малой массы данные управляемые упругие механические системы обладают также высоким быстродействием и меньшим энергопотреблением по сравнению с их жесткими аналогами. Однако, при управлении ими возникает целый ряд сложных проблем, связанных с негативным влиянием податливости упругих элементов [84, 90, 146, 147, 149]. Для решения задач управления нелинейными упругими стержневыми системами математические модели таких систем должны позволять быстро определять управляющие воздействия и формировать эти воздействия с учетом упругих колебаний систем [85, 113, 115, 140]. Более того, большой интерес уделяется задачам поиска оптимальных параметров конструкции и оптимального управления упругих механических систем на этапе их проектирования с целью достижения оптимальных характеристик [48, 84, 98, 136,139,148].

Таким образом, задачи разработки и численной реализации уточненных моделей геометрически нелинейных упругих стержневых систем очень актуальны. Эффективное решение этих задач позволяет в свою очередь решать актуальные прикладные задачи

расчета, управления и проектирования упругих стержневых механических систем. Решению этих задач посвящена данная диссертационная работа.

Целью диссертационной работы является разработка уточненных математических моделей упругих геометрически нелинейных стержневых управляемых и неуправляемых механических систем, создание алгоритмов и программных модулей на базе предложенных моделей, а также проверка их эффективности и адекватности при решении конкретных прикладных задач.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.

В первой главе приводится краткий аналитический обзор основных существующих методов моделирования геометрически нелинейных упругих стержневых систем, методов численного анализа динамики указанных систем, прикладных вопросов проектирования и управления, связанных с динамическим анализом указанных систем. Проанализированы их особенности, достоинства и недостатки, которые следует учитывать при разработке новых математических моделей и реализации методов численного анализа, позволяющих реализовать статический и динамический расчет широкого класса указанных систем в универсальном пакете программ на ЭВМ. Проанализированы методы решения прикладной задачи динамики и управления упругих манипуляторов роботов - обратной задачи кинематики, отмечены их особенности и недостатки. На основании проведенного анализа формулируются основные задачи исследования.

Во второй главе рассматривается предложенная уточненная модель геометрически нелинейного стержневого конечного элемента для решения задач статики, устойчивости и динамики упругих пространственных стержневых систем; рассматриваются методика учета больших перемещений и поворотов узлов конечного элемента. С использованием аппарата метода конечных элементов разработан геометрически нелинейный стержневой конечный элемент. В аналитическом виде получены выражения для вычисления компонентов матрицы касательной жесткости, вектора упругих сил и вектора напряжений стержневого элемента. Исследованы упругие характеристики разработанного стержневого конечного элемента, подтверждающие особенности его уточненной математической модели. Разработана методика для учета больших перемещений и поворотов узлов стержневых элементов в глобальной системе координат на итерациях нелинейного численного анализа при соблюдении гипотезы о малости поворотов узлов в локальных системах координат элементов.

В третьей главе разрабатывается алгоритм численного интегрирования геометрически нелинейных систем. Дифференциальные уравнения движения геометрически нели-

нейной системы получаются из принципа Даламбера. Проводится сравнительный анализ неявных методов прямого численного интегрирования уравнений движения нелинейных упругих систем, по результатам которого выбирается наилучший метод численного интегрирования. Анализируется точность решения методик в сравнении с аналитическим решением на примере вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы с нелинейной упругой характеристикой. Анализируется ошибка решения для обобщенных перемещений, величина невязки уравнений динамического равновесия, влияние величины шага интегрирования и амплитуды колебаний на точность решения. Исследуется применимость методик для динамического анализа геометрически нелинейных систем с состояниями неустойчивости.

В четвертой главе дается описание подпрограмм и алгоритмов для численного анализа геометрически нелинейных стержневых систем, разработанных на основе предложенных математических моделей, соотношений, методик и алгоритмов. Рассмотренные подпрограммы реализованы на языке Fortran-90 и позволяют моделировать геометрически нелинейные стержневые системы, а также производить их статический и динамический анализ. Рассмотренные подпрограммы выполнены в виде программных модулей, которые были добавлены в состав комплекса программ «COMPASS», что позволяет с его помощью производить статический и динамический расчет широкого класса упругих стержневых систем с учетом их геометрической нелинейности, производить анализ их устойчивости. В главе приведены результаты верификационных расчетов геометрически нелинейных стержневых систем, которые сравниваются с аналитическими решениями задач. Произведен динамический анализ стержневой системы с наличием неустойчивого состояния равновесия. Выполнен прикладной расчет стержневой системы с квазинулевой жесткостью с целью выявления зависимости параметров квазинулевого участка упругой характеристики системы от конструктивных параметров системы.

В пятой главе рассматривается прикладные задачи динамики упругих манипуляци-онных систем. Для решения первой задачи, обратной задачи кинематики упругих манипуляторов роботов, предлагается новый численный итерационный метод. Для моделирования динамики упругого манипулятора использована эффективная приближенная методика, позволяющая получить уравнения движения манипулятора в кратком аналитическом виде, что значительно сокращает вычислительные затраты на реализацию модели в системе управления. Дифференциальные нелинейные уравнения движения манипулятора в его обобщенных координатах получаются в аналитическом виде на основе уравнений Лагранжа второго рода. Обратная задача кинематики упругого манипулятора формули-

руется в виде системы нелинейных дифференциальных алгебраических уравнений, состоящей из алгебраического уравнения геометрической связи, наложенной на положение рабочего органа манипулятора, и дифференциального уравнения динамического равновесия. Решение обратной задачи кинематики находится в процессе совместного интегрирования данной системы уравнений итерационным численным методом. Исследована устойчивость предложенного численного метода, получено достаточное условие его сходимости, выявлены влияющие на сходимость факторы. Проведена экспериментальная проверка разработанного метода решения обратной задачи кинематики на пространственном упругом манипуляторе. Численные и экспериментальные результаты показали хорошую эффективность предложенного метода. В частности, при использовании метода в эксперименте ошибка в отслеживании траектории была уменьшена более чем в 3 раза, по сравнению с управлением движением Манипулятора без учета упругости звеньев.

Вторая прикладная задача представляет собой задачу оптимального проектирования манипулятора промышленного робота с целью достижения максимального его быстродействия. Предлагается новая постановка задачи оптимального проектирования управляемых механических систем, в которой в качестве варьируемых параметров выступают как параметры конструкции манипулятора, так и параметры системы управления движением манипулятора. Ограничения накладываются на пределы изменения варьируемых параметров, на упругие динамические перемещения конца манипулятора, также вводятся ограничения по прочности и мощности привода манипулятора. Манипулятор моделируется линейными конечными элементами. Для выявления зависимости функций ограничений от варьируемых параметров производится динамический анализ чувствительности, при котором ограничения и их чувствительности вычисляются в моменты их максимума. В качестве целевой функции выбрана интегральная характеристика характеризующая быстродействие манипулятора (время переходного процесса). Используя указанную постановку задачи оптимизации был произведен оптимизационный расчет 3-х звен-ного манипулятора робота, в результате которого масса манипулятора была уменьшена на 14%, а быстродействие увеличено на 40% при неизменной мощности привода.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Лукьянов, Андрей Анатольевич

5.7. Выводы.

1. Сформулирована обратная задача кинематики упругих манипуляторов.

2. Для построения уравнений динамического равновесия упругого манипулятора использована разработанная ранее эффективная методика моделирования, требующая малых вычислительных затрат. Методика рассматривает упругий манипулятор в виде цепочки сосредоточенных масс соединенных между собой кинематическими парами и невесомыми упругими стержнями. Получены выражения для вычисления не учитывавшихся ранее векторов обобщенных кориолисовых и центробежных сил, входящих в уравнение динамического равновесия.

3. Предложена итерационная численная методика решения обратной задачи кинематики упругого манипулятора. Решение обратной задачи кинематики ищется как решение системы дифференциальных и алгебраических уравнений, включающей алгебраические уравнения геометрической связи, условно наложенной на положение рабочего органа манипулятора, и дифференциальные уравнения динамического равновесия, описывающих движение упругой подсистемы манипулятора.

4. Проведено исследование устойчивости численной методики решения обратной задачи кинематики. Получено достаточное условие сходимости итерационной методики. Сделаны выводы о факторах, влияющих на сходимость метода.

5. Проведена численная проверка методики в сравнении с имеющимся аналитическим решением обратной задачи кинематики для линейной системы с одной степенью свободы. Результаты свидетельствуют о высокой эффективности предложенной методики.

6. Проведена экспериментальная проверка методики на пространственном упругом манипуляторе. Полученные экспериментальные результаты свидетельствуют об эффективности и работоспособности предложенной методики. Показано, что при практическом применении методики наилучших результатов в управлении можно достичь комбинируя предлагаемую методику с активными методами гашения колебаний рабочего органа упругого манипулятора.

7. Рассмотрена прикладная задача оптимизации манипулятора промышленного робота с учетом упругости его звеньев. Предложена новая постановка задачи одновременной оптимизации параметров конструкции и параметров управления манипулятора с целью увеличения быстродействия манипулятора при ограничениях на динамические упругие перемещения, напряжения, мощности привода и значения варьируемых параметров. Проведен численный оптимизационный расчет манипулятора с 3-мя звеньями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации уточненных моделей для анализа статики, динамики и устойчивости неуправляемых и управляемых геометрически нелинейных упругих стержневых систем, а также решению на основе этих моделей отдельных прикладных задач расчета, управления и проектирования указанных систем.

По основным результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработана уточненная математическая модель геометрически нелинейного стержневого конечного элемента, позволяющая более точно моделировать пространственную деформацию упругих стержней за счет учета взаимовлияния пространственного изгиба и кручения, кручения и растяжения-сжатия, а также за счет учета нелинейности осевой силы по длине стержня при его изгибе.

2. Разработана методика, позволяющая при нелинейном анализе стержневой системы учитывать большие повороты и перемещения узлов конечноэлементной модели системы при соблюдении принятой гипотезы о малости поворотов узлов в локальных системах координат стержневых конечных элементов.

3. На базе полученных уточненной математической модели и методики учета больших поворотов и перемещений узлов конечноэлементной системы разработан эффективный итерационный алгоритм прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем.

4. Разработаны подпрограммы и программные модули, добавленные в программный комплекс «COMPASS», предназначенный расчета конструкций и механических систем методом конечных элементов. Использование данных программных модулей в составе программного комплекса позволяет с его помощью производить анализ статики, динамики и устойчивости геометрически нелинейных стержневых систем.

5. С помощью разработанного программного обеспечения проведены верификационные расчеты задач имеющих аналитическое решение. Решен ряд модельных и прикладных задач. Полученные результаты свидетельствуют не только о точности и эффективности разработанной модели, соотношений, алгоритмов и программ, но и о целесообразности их применения для автоматизированного расчета и проектирования упругих стержневых механических систем и конструкций.

При выполнении Иркутским филиалом ИЛФ СО РАН РФ хоздоговорной научно-исследовательской работы «Разработка методик расчета и технических средств для повышения эффективности эксплуатации и ремонта оборудования нефтехимических производств» программный комплекс «COMPASS» был передан АО ИркутскНИИхиммаш для расчета и оптимального проектирования оборудования нефтехимических производств, что подтверждается соответствующим актом внедрения. Данный программный комплекс также используется при проведении учебного процесса по дисциплине "Строительная механика" в Иркутском государственном техническом университете.

6. Разработан численный метод решения обратной задачи кинематики упругих мани-пуляционных систем, основанный на совместном численном интегрировании системы дифференциальных алгебраических уравнений, получаемых после наложения нестационарной кинематической связи на положение рабочего органа. Полученный метод позволяет рабочему органу пространственного упругого манипулятора более точно отслеживать заданную в пространстве траекторию за счет компенсации упругих отклонений рабочего органа приводами манипулятора

7. Разработанный численный метод решения обратной задачи кинематики экспериментально проверен на пространственном упругом манипуляторе FLEBOT-2. Результаты эксперимента свидетельствуют о работоспособности и эффективности предложенного метода.

8. Предложена новая постановка задачи оптимального проектирования управляемых механических систем в динамике, в которой в качестве варьируемых параметров выступают как параметры конструкции, так и параметры системы управления при ограничениях на динамические перемещения. Проведен оптимизационный расчет манипулятора промышленного робота с целью повышения его быстродействия с варьируемыми параметрами конструкции и системы управления при ограничениях на упругие динамические перемещения его конца, на напряжения, на мощность привода и значения варьируемых параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лукьянов, Андрей Анатольевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский Н.П., Палагушкин В.И. Активное управление колебаниями конструкций: Учебное пособие. - Красноярск: КрасГАСА, 1997. - 100 с.

2. Абовский Н.П., Палагушкин В.И. Разработка конструкций нового типа с автоматическим управлением напряженно-деформируемым состоянием // Пространственные конструкции в Красноярском крае, -Красноярск: КрасГАСА, 1998. - 190 с.

3. Ананьин А.И. О конструировании схем прямого численного интегрирования уравнений движения. // Известия вузов. Строительство, № 1-2,1997, с. 23-27.

4. Андреева JI.E. Упругие элементы приборов. - М.: Машиностроение, 1981. - 392 с.

5. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов, - М.: Стройиздат, 1982.^48 с.

6. Безделев В.В. Анализ чувствительности динамических параметров состояния геометрически и физически нелинейных систем, II Всероссийский семинар «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1998, с. 25-29.

7. Безделев В.В., Буклемишев A.B., Лукьянов A.A. Компьютерная система COMPASS для расчета и оптимизации пространственных конструкций. Учет особенностей задач ОПК в архитектуре системы // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады II Всероссийского семинара. - Новосибирск: НГАСУ, 1998. с. 29-37.

8. Безделев В.В., Буклемишев A.B., Лукьянов A.A., Распопина В.Б. Компьютерная система COMPASS и ее применение в расчетах объектов химического машиностроения // Вестник ИрГТУ, № 3, - Иркутск: ИрГТУ, 1998, с. 128-133.

9. Безделев В.В., Гребенюк Г.Н., Попов Б.Н. Комплекс программ расчета и оптимизации конструкций РИОСК // Тез. докл. всесоюзной конф. Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике. Проблемы оптимизации. - Вильнюс, МОКС-ЛАС, 1983. с. 14-15.

10. Безделев В.В., Дмитриева Т.В., Лукьянов A.A. Определение собственных значений и собственных векторов матриц. - Методическое пособие по курсу «Численные методы и программирование на ЭВМ». - Иркутск: ИрГТУ, 1995. - 52 с.

11. Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Анализ чувствительности параметров состояния в задачах оптимизации пространственных систем, подверженных нестационарному динамическому воздействию. И Известия вузов. Строительство и архитектура, 1990, № 3, с. 106-110.

12. Безделев В.В., Лукьянов A.A. Оптимальное проектирование манипуляционных систем с учетом ограничений на динамические перемещения // Материалы I межрег. семинара «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск: НГАСУ, 1996, с. 5-12.

13. Безделев В.В., Лукьянов A.A. Оптимальное проектирование распределенных динамических систем // Совершенствование производства строительных конструкций. -Иркутск: ИрГТУ, 1996. с 26-35.

14. Безделев В.В., Лукьянов A.A. Применение методов нелинейного математического программирования в оптимальном проектировании гибких манипуляторов // Тез. докл. II Сибирского конгресса ИНПРИМ-96, Новосибирск, 1996, с. 210.

15. Безделев В.В., Лукьянов A.A. Программная система «COMPASS» для расчета и оптимального проектирования конструкций, подверженных статическим и динамическим воздействиям // Тез. докл. XV Международной конференции «Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел», Санкт-Петербург, 1996, с. 72.

16. Безделев В.В., Лукьянов A.A., Низамова Р.К. Расчет и оптимальное проектирование пространственных конструкций под статическим и динамическим воздействием // Материалы семинара «Теоретические основы строительства», Варшава, 2-5 июля 1996, с. 37-43.

17. Безделев В.В., Учитель И.М., Лукьянов A.A. Расчет фрагмента температурно-уса-дочного блока плотины Иркутской ГЭС на температурное воздействие // Вестник ИрГТУ, Строительство: автомобильные дороги, основания и фундаменты, - Иркутск: ИрГТУ, 1998, с. 123-125.

18. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1976. - 608 с.

19. Березкин E.H. Курс теоретической механики, - Издательство МГУ, 1974. - 646 с.

20. Борискин О.Ф., Кулибаба В.В., Репецкий О.В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. - Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1989. - 144 с.

21. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. В.Н. Челомей - М.: Машиностроение, 1980.

22. Власов В.З. Избранные труды. В 3-х т. - М.: Изд-во АН СССР, 1962-1964.

23. Горелик A.M., Ушакова В.Л. Фортран сегодня и завтра. - М.: Наука, 1990. - 206 с.

24. Городецкий A.C., Евзеров И.Д., Стрелец-Стрелецкий Е.Б., Боговис В.Е., Гензерский Ю.В., Городецкий Д.А. Метод конечных элементов: теория и численная реализация. Программный комплекс «ЛИРA-Windows»-К.: ФАКТ, 1997.-138 с.

25. Гребенюк Г.И., Роев В.И. Влияние деформации сдвига и продольных сил на динамические характеристики стержневых систем, / Известия вузов. Строительство, № 6 (474), с. 40-45,1998.

26. Грудев И.Д. О больших прогибах пространственных тонких стержней. / Тр. ВНИИ физ.-техн. и радиотехн. измерений, № 8, 1971, с. 17-36.

27. Грудев И.Д. О собственных частотах пространственных криволинейных стержней / Известия вузов. Машиностроение, № 6, 1970. с. 19-24.

28. Джанелидзе Г.Ю. Обобщенные зависимости теории тонких стержней. / Докл. АН СССР, № 4 (66), 1949, с. 597-600.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике, М.: Мир, 1975. - 538 с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986.-318 с.

31. Иванов Б.Э., Игнатова Е.В., Синицын С.Б. Решение задач динамики и устойчивости строительных конструкций методом конечных элементов, Учеб. Пособие, Моск. инж.-строит. ин-т им. В.В. Куйбышева. - М.: МИСИ, 1990. - 106 с.

32. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений, - М.: Наука, 1984. - 192 с.

33. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики, Минск, Вышэйшая школа, 1990. - 349 с.

34. Ильюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. -Киев: Наук, думка, 1979. - 216 с.

35. Кирхгоф Г. Механика. - М.: Изд-eo АН СССР, 1962. - 402 с.

36. Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений. Учебник для вузов. - М.: Строиздат, 1980. - 616 с.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1974. - 832 с.

38. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций, - М.: ОГИЗ, 1947. 275с.

. 39. Лукаш П.А. Основы нелинейной механики, - М.: Стройиздат, 1978. 204с.

40. Лукьянов A.A., Безделев В.В. Геометрически нелинейный конечный элемент для моделирования динамики и устойчивости пространственных стержневых систем при

больших перемещениях и поворотах, II Всероссийский семинар «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1998, с. 70-77.

41. Лукьянов A.A., Безделев В.В. Моделирование и анализ геометрически нелинейных плоских стержневых систем. // Тез. докл. научно-технической конференции в ИВАНУ, Иркутск, 1998.

42. Лукьянов A.A., Дай Й., Учияма М. Метод точного управления быстрым пространственным движением манипулятора с гибкими звеньями // Материалы IV российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», Иркутск, 1997, с. 105— 108.

43. Лукьянов A.A., Дай Й., Учияма М. Отслеживание траектории пространственными гибкими манипуляторами с помощью решения обратной задачи кинематики и гашения вибраций, I Всероссийский семинар «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1997, с. 16-27.

44. Лурье А. И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

45. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. / Тр. Ленинградского политехнического ин-та, № 3,1941, с. 47-54.

46. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: Гостехиздат, 1935. - 674 с.

47. Масленников A.M. Расчет конструкций при нестационарных воздействиях. - Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1991. - 164 с.

48. Миллер Д.Ф., Шим Дж. Одновременная оптимизация конструкции и управления с помощью градиентных методов, Аэрокосмическая техника, № 2, с. 94-103,Февраль 1988.

49. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. - Новосибирск: Наука, 1990. - 216 с.

50. Николаи Е.Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны. / Труды по механике.

51. Новожилов В.В. Теория упругости, М.: СУДПРОМГИЗ, 1958. - 380 с.

52. Овсянко В.М. Моделирование геометрически нелинейных изгибаемых систем на основе электроаналогий. // Известия вузов. Строительство, № 3,1997, с. 109-114.

53. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, М.: Мир, 1976.-456 с.

54. Остроменский П.И. Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. - Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1992. - 173 с.

55. Отчет о НИИР. Оптимальное проектирование геометрически нелинейных систем, работающих в условиях статического и динамического нагружения, Научн. рук.: Безделев В.В., ИрГТУ, Иркутск 1993.

56. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней, - М.: ОГИЗ, 1948. 170 с.

57. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. - М.: Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., 1986. - 296 с.

58. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. -М.: Наука, 1978. 256 с.

59. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

60. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. пособие для студентов вузов. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. школа, 1982. - 264 с.

61. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей, - М.: Машиностроение, 1978. - 222 с.

62. Светлицкий В.А. Механика стержней: учеб. для втузов. В 2-х ч. Часть 2: Динамика, -М.: Высш. шк., 1987. - 304 с.

63. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. - 2-е изд., - Киев: Наук, думка, 1988. - 736 с.

64. Ставраки Л.Н., Сеницкий Ю.Э. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля на пространственную нагрузку (по В.З. Власову). / Учеб. пособие, - Куйбышев: 1963. -124 с.

65. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учебник для вузов/ Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H.; Под. ред. Смирнова А.Ф. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

66. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.

67. Тимошенко С.П., Гудиер Дж. Теория упругости: Пер. с англ., - 2-е изд., - М.: Наука, 1979,-516 с.

68. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела, в 3-х т., т. 1, - М.: Наука, 1975. - 832 с.

69. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела, в 3-х т., т. 2, - М.: Наука, 1975.-616 с.

70. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника, - М.: Мир, 1989.

71. Хог Э., Apopa Я.С. Прикладное оптимальное проектирование: механические системы и конструкции, - М.: Мир, 1988.-428 с.

72. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 428 с.

73. Чаплинский И.А., Дмитриева Т.Л., Гребенюк Г.И., Безделев В.В. Совершенствование двойственных алгоритмов поиска экстремума в задачах оптимального проектирования конструкций. // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1990, № 6, с. 19-24.

74. Шапошников Н.Н., Катаев С.К., Белозерская О.В. Развитие методов численного интегрирования уравнений движения динамических систем, Известия вузов. Строительство, № 9 (465), с. 89-93,1997.

75. Юрьев Г.С. Виброизоляция прецизионных устройств. Препринт 89-146. - Новосибирск: Ин-т ядерной физики СО АН СССР, 1989. - 15 с.

76. Asher U.M., Chin Н., Retzold L.R., Reich S. "Stabilization of Constrained Mechanical Systems with DAEs and Invariant Manifolds," Mechanics of Structures & Machines, Vol. 23, No. 2, pp. 135-157, 1995.

77. Bathe K.J. Finite Element Methods in Engineering Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1984.

78. Bathe K.J., Finite Element Procedures for Solids and Structures - Nonlinear Analysis, MIT Center for Advanced Engineering Studies, 1986.

79. Bathe K.J., Ram E., Wilson E.L. "Finite Element Formulations for Large Deformation Dynamic Analysis," Int. J. Numerical Methods in Engineering, Vol. 9, pp. 353-386, 1975.

80. Bauchau O.A., Damilano G., Theron N.J. "Numerical Integration of Non-Linear Elastic Multi-Body Systems", Int. Journal for Numerical Methods In Engineering, Vol. 38, pp. 2727-2751,1995.

81. Bayo E., Papadopoulos P., Stubbe J., Serna M.A. "Inverse Dynamics and Kinematics of Multi-Link Elastic Robots: An Iterative Frequency Domain Approach," The Int. J. of Robotics Research, Vol. 8, No. 6, pp. 49-62,1989.

82. Bayo E., Serna M.A. "Penalty Formulations for the Dynamic Analysis of Elastic Mechanisms", Journal of mechanisms, Transmissions and Automation in Design, Vol. Ill, pp. 321-327, September 1989.

83. Belytschko T. "A Survey of Numerical Methods and Computer Programs for Dynamic Structural Analysis," Nucl. Engng. Design, Vol. 37, pp. 23-34,1976.

84. Bendsoe M.P., Olhoff N., Taylor J.E. "On the Design of Structure and Controls for Optimal Performance of Actively Controlled Flexible Structures", Mech. Struct. & Mack, Vol.

15, No. 3, pp. 265-295,1987.

85. Book W.J. "Recursive Lagrangian Dynamics of Flexible Manipulator Arms", The Int. Journal of Robotics Research, Vol. 3, No.3, pp. 87-101, 1984.

86. Borri C., Hufendiek H.-W. "Geometrically Nonlinear Behavior of Space Beam Structures", J. of Structural Mech, Vol. 13, No. 1, pp. 1-26,1985.

87. Boyer F., Coiffet P. "Symbolic Modeling of a Flexible Manipulator Via Assembling of Its generalized Newton-Euler Model", Mech. Mack Theory, Vol. 31, No. 1, pp. 45-56, 1996.

88. Brayton R.K., Gustavson F.G., Hachtel G.D. "A New Efficient Algorithm for Solving Differential-Algebraic System Using Implicit Backward Differentiation Formulas," Proceedings of the IEEE, Vol. 60, No. 1, pp. 98-108, 1972.

89. Campbell S. L. "High-Index Differential Algebraic Equations," Mechanics of Structures & Machines, Vol. 23, No. 2, pp. 199-222, 1995.

90. Carrera E., Serna M.A. "A General Solution for the Inverse Dynamics of Flexible Robots", Draft. Memo UDEN-LB-1-93. University of Navarra, Faculty of Engineeering.

91. Caughey T.K. "Classical Normal Modes in Damped Linear Systems," Journal of Applied Mechanics, Vol. 27, pp. 269-271, 1960.

92. Conci A., Gattass M. "Natural Approach for Geometric Non-Linear Analysis of Thin-Walled Frames," Int. J. Numerical Methods in Engineering, Vol. 30, pp. 207-231,1990.

93. Crisfield M.A. "Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures," Vol. 1: Essentials, Wiley & Songs, 345 p., 1997.

94. Crisfield M.A. "Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures," Vol. 2: Advanced Topics, Wiley & Songs, 496 p., 1997.

95. Dai Y.Q., Loukianov A.A., Uchiyama M. "A Hybrid Numerical Method for Solving the Inverse Kinematics of a Class of Spatial Flexible Manipulators", Proc. 1997 IEEE Int. Conf. on Robotics & Automation, Albuquerque, pp. 3449-3454, 1997.

96. Dai Y.Q., Loukianov A.A., Uchiyama M. "Spatial Flexible Manipulator Trajectory Control Through Solving the Inverse Kinematics," Preprints of 5th IF AC Symposium on Robot Control, Nantes, France, September 3-5, 1997.

97. Devasia S., Meressi T., Paden B., Bayo E. "Piezoelectric actuator design for vibration suppression: Placement and sizing," AIAA Journal of Guidance, Dynamic and Control, Vol.

16, pp. 859-864,1990.

98. Dhingra A.K., Lee B.H. "Multiobjective Design of Actively Controlled Structures Using a Hybrid Optimization Method", Int. J. for Numerical Methods in Eng., Vol. 38, pp. 3383— 3401,1995.

99. Du H., Lim M.K., Liew K.M. "A Nonlinear Finite Element Model For Dynamics of Flexible Manipulators", Meek Mach. Theory, Vol. 31, No. 8, pp. 1109-1119,1996

100. Du H., Ling S.F. "A Nonlinear Dynamics Model For Three-Dimentional Flexible Linkages", Computer & Structures, Vol. 56, pp 15-23,1995.

101.Eiler L. Methodus inveniendi lineas curvas. 1744; русский перевод: JI. Эйлер, Методы нахождения кривых линий, 1934.

102. Fallahi В. "A Nonlinear Finite Element Approach to Kineto-Static Analysis of Elastic Beams," Meek Mack Theory, Vol. 31, No. 3, pp. 353-364,1996.

103.Feliu V., Rattan K.S., Brown H.B., Jr. "Modeling and Control of Single-Link Flexible Arms With Lumped Masses", Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 114, pp. 59-69, March 1992.

104. Gaulter P.E., Cleghorn W.L. "A Spatially translating and Rotating Beam Finite Element for Modeling Flexible Manipulators", Mech. Mach. Theory, Vol. 27, No. 4, pp. 415-433, 1992.

105. Gear C.W. "The Control of Parameters in The Automatic Integration of Ordinary Differential Equations," Comm. ACM, Vol. 14, pp. 176-179,1971.

106. Нас M., Osinski J. "Finite Element Formulation of Rigid Body Motion in Dynamic Analysis of Mechanisms", Computers & Structures, Vol. 57, No. 2, pp. 213-217,1995.

107. Нас. M. "Dynamics of Flexible Mechanisms with Mutual Dependence Between Body Motion and Longitudinal Deformation of Links", Meek Mach. Theory, Vol. 30, No. 6, pp. 837-847, 1995.

108.Haftka R.T., Kamat M.P. "Simultaneous Nonlinear Structural Analysis and Design," Computational Mechanics, Vol. 4, pp. 409-416,1989.

109.Hilber H.M., Hughes T.J.R., Taylor R.L. "Improved Numerical Dissipation for Time Integration Algorithms," Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 5, pp. 283292, 1977.

110. Hsieh C.C., Arora J.S. "Efficient Method for Dynamic response optimization", AIAA Journal, Vol. 23, No. 9, pp. 1454-1456,1985.

111. Jonker B. "A Finite Element Dynamic Analysis of Flexible Manipulators", The Int. Journal of Robotics Research, Vol. 9, No. 4, pp. 59-74, August 1990.

112. Kim J.S., Suzuki К., Konno A., Uchiyama M. "Force Control of Constrained Flexible Manipulators," Proc. of IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Vol. 1, pp. 367-372, 1996.

113.ICing J.O., Gourishankar V.G., Rink R.E. "Composite Pseudolink End-Point Control of Flexible Manipulators", IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 20, No. 5, pp. 969-977,1990.

114. Konno A., Uchiyama M. "Modeling of a Flexible Manipulator Dynamics Based upon Hol-zer's Model", Proc. ofIROS'96Int. Conference, pp. 862-868, 1996.

115. Konno A., Uchiyama M. "Vibration Suppression Control of Spatial Flexible Manipulators," Control Eng. Practice, Vol. 3, No. 9, pp. 1315-1321,1995.

116. Lagrange J.L. Miscellanea Taurinencia, т. 5, 1773.

117.Ledesma R., Devasia S., Bayo E. "Inverse Dynamics of Spatial Open Chain Flexible Manipulators with Lumped and Distributed Actuators," Journal of Robotics Systems, Vol. 11, No. 4, pp. 327-338,1994.

118. Leung A.Y.T., Fung T.C. "Geometrically Non-Linear Vibration of Spinning Structures by Finite Element Method", J. of Sound and Vibration,N ol. 139, No. l,pp. 43-62,1990.

119. Liao D.X., Sung C.K., Thompson B.S. "The Design of Flexible Robotic Manipulators with Optimal Arm Geometries Fabricated from Composite Laminates with Optimal Mass Properties", The Int. Journal of Robotic Research, Vol. 16, pp. 116-130,1987.

120.Loukianov A.A., Bezdelev V.V. "Geometrically Nonlinear Spatial Beam Finite Element for Large Rigid Body Displacements and Rotations Analysis of Flexible Beam Structures" // Материалы 7 польско-российского семинара «Теоретические основы строительства», Варшава, 1998, с. 57-60.

121.Loukianov А.А., Dai Y.Q., Uchiyama М. "A Method for Flexible Manipulator Inverse Kinematics Using the Solution of a Differential-Algebraic System," Proc. of Annual Conference of the Robotics Society of Japan, Niigata, Japan, pp. 759-760, November 1-3, 1996.

122.Loukianov A.A., Dai Y.Q., Uchiyama M. "Trajectory Tracking of Spatial Flexible Link Manipulators Using Inverse Kinematics Solution and Vibration Suppression," Proc. of 8th International Conference on Advanced Robotics (ICAR '97), Monterey, USA, pp. 221-226, July 7-9,1997.

123.Lucibello P., Panzieri S. "End Point Trajectory Control with Internal Stability of a Flexible Link by Learning," Proc. of IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Vol. 3, pp. 2117-2123, 1996.

124. Luh Y.S., Walker M.W., Paul R.P.C. "Resolved Acceleration Control of Mechanical Manipulators," IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. 25, No. 3, pp. 468-474, 1980.

125.Mackerle J. Finite Elements in Analysis and Design. Special volume: Finite element methods. A Guide to Information Sources. Int. J. of Applied Finite Elements and Computer Aided Engineering, Vol. 8, No. 1-4, 1990. - 373 p.

126. Meek J.L., Liu H. "Nonlinear Dynamics Analysis of Flexible Beams Under Large Overall Motions And The Flexible Manipulator Simulation", Computers & Structures, Vol. 56, No. l,pp. 1-14,1995.

127. Meirovitch L. Analytical Methods in Vibrations, Macmillan Publishing Co., Inc., 1967.

128.Moallem M., Khorasani K., Patel R.V. «Optimum Structure Design for Flexible-Link Manipulators», Proc. of the 1996 IEEE Int. Conf on Robotics & Automation, Minneapolis, Minnesota, pp. 798-803, April 1996.

129.Naganathan G., Soni A.H. "Non-Linear Flexibility Studies for Spatial Manipulators", '86 IEEE Int. Conf on Robotics & Automation, pp. 373-378,1986.

130.Nagarajan S., Turcic D.A. "Lagrangian Formulation of the Equations of Motion for Elastic Mechanisms With Mutual Dependence Between Rigid Body and Elastic Motions. Part I: Element Level Equations", Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 112, pp. 203-214, June 1990.

131.Nagarajan S., Turcic D.A. "Lagrangian Formulation of the Equations of Motion for Elastic Mechanisms With Mutual Dependence Between Rigid Body and Elastic Motions. Part II: System Equations", Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 112, pp. 215-224, June 1990.

132. Narayanan G., Krishnamoorthy "An Investigation of Geometric Non-Linear Formulations for 3D Beam Elements," Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol. 25, No. 6, pp. 643-662, 1990.

133.Newmark N. M. "A Method of Computation for Structural Dynamic," A.S.C.E., Journal of Engineering Mechanics Division, Vol. 85, pp. 67-94, 1959.

134.Noor A.K., Pilkey W.D. State of Art Surveys on Finite Element Technology. A Review, ASME, New York, 1983. - 530 p.

135.Paola M.D., Muscolino G. "Differential Moment Equations of FE Modelled Structures With Geometrical Non-Linearities," Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol. 25, No. 4, pp. 363-373,1990.

136. Park J.H., Asada H. "Concurrent Design Optimization of Mechanical Structure and Control for High Speed Robots", Transactions ofASME, Vol. 116, pp. 344-356, September 1994.

137.Poldneff M.J., Rai I.S., Arora J.S. "Implementation of Design Sensitivity Analysis for Nonlinear Elastic Structures," AIAA Journal, Vol. 31, No. 11, pp. 2137-2142,1993.

138.Roberson E., Schwertassek R. Dynamics of multibody systems, Springer-Verlag, Berlin, 325p, 1988.

139. Salama M., Gabra J., Demsetz L. "Simultaneous Optimization of Controlled Structures", Computational Mechanics, Vol. 3, pp. 275-282, 1988.

140. Siciliano B., Book W.J. "A Singular Perturbation Approach to Control of Lightweight Flexible Manipulators", The International Journal of Robotics Research, Vol. 7, No. 4, pp. 79-90,1988.

141. Simo J.C., Tarnow N. "A New Energy Conserving Algorithm for the Nonlinear Dynamics of Shells," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 37, pp. 2527-2549,1994.

142. Simo J.C., Tarnow N., Doblare M. "Nonlinear Dynamics of 3-D Rods: Exact Energy and Momentum Conserving Algorithms," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 38, pp. 1431-1474, 1995.

143. Sriram B.R., Mruthyunjaya T.S. "Dynamics of Flexible-Link Mechanisms", Computers & Structures, Vol. 56, pp. 1029-1037,1995.

144. Sunada W., Dubowsky S. "On the Dynamic Analysis and Behavior of Industrial Robotic Manipulators With Elastic Members", Transactions of the ASME, Vol. 105, pp. 42-51, March 1983.

145. Sunada W., Dubowsky S. "The Application of Finite Element Methods to the Dynamic Analysis of Flexible Spatial and Co-Planar Linkage Systems", Journal of Mechanical Design, Vol. 103, pp. 643-651, July 1981.

146. Surdilovich D., Vukobratovich M. "Deflection Compensation for Large Flexible Manipulators", Mech. Mack Theory, Vol. 31, No. 3, pp. 317-329, 1996.

147. Svinin M.M., Uchiyama M. "Contribution to Inverse Kinematics of Flexible Robot Arms", JSMEInt. J., Series C. Vol. 37, No. 4, pp. 755-764,1994.

148. Tseng C.H., Arora J.S. "Optimum Design of Systems for Dynamics and Controls Using Sequential Quadratic Programming", AIAA Journal, Vol. 27, No. 12, pp. 1793-1800, December 1989.

149.Uchiyama M., Konno A. "Modeling, Controllability and Vibration Suppression of 3D Flexible Robots", Robotics Research: the 7th International Symposium, Springer-Verlag, London, pp. 90-99,1996.

150.Usoro P.B., Nadira R., Mahil S.S. "A Finite Element/Lagrange Approach to Modeling Lightweight Flexible Manipulators", Transactions of the ASME, Vol. 108, pp. 198-205, September 1986.

151. Usui K., Uchiyama M. "An Inverse Kinematics Solution for Flexible Robots Using Learning Algorithm," SICE Tohoku Branch, the 157th Research Meeting, No. 157-7,1995.

152. Wilson E.L., Penzien J. "Evaluation of Orthogonal Damping Matrices," Int. J. for Numerical Methods in Engineering, Vol. 4, No. 1, pp. 5-10, 1972.

153. Wu S.C., Haug E.J., Kim S.S. "A Variational Approach to Dynamics of Flexible Multi-body Systems", Mechanics of Structures & Machines, Vol. 17, No. 1, pp. 3-32, 1989.

154. Wu. C.C., Arora J.S. "Design Sensitivity Analysis and Optimization of Nonlinear Structural Response Using Incremental Procedure," AIAA Journal, Vol. 25, No. 8, pp. Ill 8— 1125,1987.

155.Xi F. "Trajectory Tracking of a Spatial Flexible Link Manipulator Using An Inverse Dynamics Method," Meek Mack Theory, Vol. 30, No. 8, pp. 1113-1126,1995.