Анализ и оптимизация составных конструкций и их элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Шаранюк, Александр Валентинович

• Шаранюк, Александр Валентинович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шаранюк, Александр Валентинович

Введение

Глава 1.

Коррекция параметров расчетной модели крыла большого удлинения по результатам частотного эксперимента

Глава 2.

Анализ чувствительности и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости

2.1 Оптимизация параметров динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими нагрузками

2.2 Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа

Глава 3.

Оптимальное проектирование в задачах статической аэроупругости

3.1 Максимизация эффективности элеронов стреловидного крыла большого удлинения

3.2 Максимизация эффективности элеронов крыла малого удлинения

Глава 4.

Оптимизация параметров аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов

4.1 Максимизация критической скорости флаттера крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой

4.2 Оптимизация параметров аэроупругой устойчивости крыла малого удлинения

Глава 5.

Анализ конструктивно - силовых схем и условий эксплуатации большой космической антенны

5.1 Нагрузки, действующие на БКК

5.2 Анализ температур элементов конструкции

5.3 Анализ конструктивно - силовой схемы большой космической антенны

5.4 Применение частотного анализа для оценки динамической жесткости экспериментальной радиоантенны

- 3

Глава 6.

Анализ частот колебаний механических систем

6.1 Анализ чувствительности частот колебаний механических систем

6.2 Оптимизация распределения предварительных усилий и напряжений в конструкциях

6.3 Выбор величины предварительных напряжений экспериментальной радиоантенне

Глава 7.

Анализ и оптимизация конструкций при нестационарных динамических воздействиях

7.1 Движение свободной конструкции

7.2 Анализ системы уравнений динамики свободных упругих конструкций

7.3 Выбор связанной системы координат

7.4 Нестационарная динамика БКК

7.5 Оптимальное проектирование конструкций, рассчитываемых на нестационарные динамические воздействия

7.6 Анализ динамической устойчивости ракеты

Глава 8.

Оптимальное распределение параметров анизотропии конструкций

8.1 Максимизация эффективности элеронов посредством выбора ориентации осей анизотропии ортотропного материала обшивки крыла

8.2 Оптимизация конструктивни - силовых схем с использованием анизотропных моделей по условиям аэроупругой устойчивости

8.3 Применение кватернионов для решения трехмерных задач оптимизации распределения материала в упругих телах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и оптимизация составных конструкций и их элементов»

Оптимизация конструкций является интенсивно развивающейся областью механики деформируемого твердого тела. Проблемы оптимизации конструкций в последнее время привлекают пристальное внимание исследователей как у нас в стране, так и за рубежом. Об этом свидетельствуют большое количество работ, опубликованных главным образом в последние годы. Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования значительно усилился в связи с быстрым развитием машиностроения, авиационной и космической техники. С использованием методов оптимального проектирования достигается значительное снижение массы и улучшение механических характеристик конструкции. Таком образом, исследования в этой области имеют несомненное прикладное значение. Задача уменьшения массы конструкции, совершенствования ее характеристик, повышение ее весовой отдачи несомненно актуальна.

Проблемы оптимального проектирования конструкций имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов задач в этой области, учет все большего количества физических факторов при оптимальном проектировании, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.

Возрастающий с каждым годом поток работ по оптимальному проектированию свидетельствует о все большем интересе к вопросам оптимизации конструкций. Значительная часть исследований в области оптимизации упругих конструкций выполнена с применением классических методов вариационного исчисления. Наряду с широким применением этих методов имеются также работы, основанные на использовании методов теории оптимального управления. По общим вопросам оптимального проектирования конструкций отметим монографии [9], [95], [108], и [131]. Вопросы оптимального проектирования конструкций, такие, как исследование условий оптимальности, доказательство существования и единственности оптимального решения, выделение классов задач, допускающих решение стандартными методами, рассмотрены в работах [89, 92, 249, 252].

Для оптимизации конструкций широко применяются методы теории оптимального управления, в частности, принцип максимума Л.С.Понтрягина [30, 106, 119, 151, 263]. Находят применение и методы теории управления системами с распределенными параметрами [5, 86, 88, 89, 91]. Общие вопросы теории оптимизации рассмотрены в работах [41, 55, 65, 73, 88, 91, 109, 143].

Известные трудности, возникающие при решении задач оптимизации конструкций, обусловливаются нелинейностью условий оптимальности, что приводит, как правило, к необходимости численного решения экстремальных задач. Поэтому большая часть работ по оптимизации конструкций выполняется с использованием компьютеров.

Успешное развитие теории оптимального проектирования и эффективность ее методов при решении прикладных задач связано с разработкой вычислительных алгоритмов и использованием современной вычислительной техники. Кажущаяся простота конструирования численных методов решения задач оптимизации тем не менее не привела к созданию эффективных универсальных численных процедур оптимизации, и для каждого класса экстремальных задач требуется разработка своих, специфических методов. Работы по созданию вычислительных алгоритмов оптимального проектирования, предназначенных для решения определенных классов задач, существенно использующих их специфику, интенсивно ведутся в настоящее время. Отметим работы [44, 66, 68], где рассмотрены вычислительные методы решения задач оптимизации.

Применение и значительное развитие методы оптимизации получили при проектировании авиационных и космических конструкций. Постоянное возрастание требований к летным характеристикам военных и гражданских самолетов неизменно сопровождается поисками путей снижения массы конструкции при условии обеспечения достаточной прочности, надежности, живучести, ресурса и т. д. Для решения этой сложной и всегда актуальной задачи используются все достижения в области конструирования, технологии и авиационных материалов. Значительный эффект достигается за счет повышения прочностной отдачи единицы массы конструкционного материала, т. е. за счет рационального распределения материала между элементами конструкции и повышения их конструктивного совершенства.

Поиск путей снижения массы конструкций космической техники - существенно важная задача, обеспечивающая снижение затрат на доставку полезной нагрузки на заданную орбиту.

Достигнутый в последние годы прогресс в области применения метода конечных элементов в практике проектирования летательных аппаратов [153, 184, 189, 195, 196, 209] послужил предпосылкой к решению задач оптимизации сложных составных многоэлементных реальных конструкций. Так, например, в работах [30, 292] приведено описание алгоритмов и программ оптимизации тонкостенных конструкций с учетом требований статической прочности, общей и местной потери устойчивости, с ограничениями на собственные частоты колебаний конструкции. Число проектных параметров при решении задач оптимизации реальных конструкций достигает нескольких тысяч. В то же время непрерывно возникающие новые требования, предъявляемые к машиностроительным изделиям, обусловливают острую необходимость разработок и исследований в целом ряде новых областей оптимального проектирования.

При проектировании самолетов сложность учета требований аэроупругости объясняется неконсервативностью аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. В частности, при расчете и оптимизации конструкции несущих аэродинамических поверхностей большое значение имеют жесткостные требования, связанные с обеспечением потребной величины минимальной критической скорости флаттера (границы динамической устойчивости неконсервативной механической системы). Основным методом исследования неконсервативных задач упругой устойчивости является динамический метод, основанный на рассмотрении малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Подробному исследованию вопросов анализа устойчивости неконсервативных механических систем посвящена монография Болотина В.В. [36]. Неконсервативный характер задачи определения границы аэроупругой устойчивости обусловлен специфической зависимостью аэродинамических сил, действующих на крыло летательного аппарата, от его перемещений.

Вопросы, связанные с аэроупругой устойчивостью крыльев летательных аппаратов рассмотрены в работах Гроссмана Е.П. [60], Вольмира A.C. [52], Фына Я.Ц. [139], Бисплингхоффа Р.JL, Эшли X., Халфмэна P.JI. [35].

Анализ устойчивости приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных краевых задач (конечномерным аналогом этих задач являются системы уравнений, матрицы коэффициентов которых при обобщенных координатах содержат антисимметричные составляющие). Граница устойчивости неконсервативной механической системы зависит от массовых, жесткостных и геометрический характеристик системы, распределения внешней нагрузки и т.д. Для неконсервативной механической системы может реализоваться одна из двух форм потери устойчивости - динамическая или колебательная, которая характеризуется отличной от нуля частотой колебаний, и статическая, при которой частота равна нулю. При изменении характеристик системы изменяется соответственно и величина критического значения параметра внешней неконсервативной нагрузки (значения, при достижении которого неконсервативная механическая система теряет устойчивость). В общем случае анализ влияния различных параметров затруднителен ввиду того, что критические параметры устойчивости, как правило, не выражаются явно через определяющие параметры системы. Соотношения, выражающие зависимость изменения критических параметров устойчивости (чувствительность) от вариаций определяющих параметров механической системы, можно получить с помощью введения так называемой сопряженной системы уравнений. Эти соотношения можно с успехом применить для решения задач оптимизации критических параметров динамической устойчивости с использованием градиентных методов.

Оптимальное проектирование, как уже отмечалось выше, приводит к сложным нелинейным задачам. Значительные трудности представляет сама корректная постановка задачи оптимизации конструкций. Поэтому важное значение получает выделение наиболее "простых" задач, допускающих подробное исследование (если возможно - аналитическое), выявление основных закономерностей, характеризующих оптимальное решение, позволяющих оценить возможные выигрыши при оптимизации. Эти исследования в ряде случаев удается эффективно провести для одномерных элементов конструкций (балки, колонны, стержневые системы), изучить качественные особенности оптимальных форм, выявить существенные ограничения, сравнить эффективность различных способов оптимизации и, что немаловажно, получить тесты, необходимые для апробации вычислительных алгоритмов и приближенных методик, предназначенных для решения задач оптимизации сложных реальных конструкций.

Задачи оптимизации параметров устойчивости упругих стержней относятся к числу классических проблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [99, 111, 140, 141] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Представляют интерес и сами методы, развитые для решения этих задач. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами на собственное значение. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены значительно меньше.

Задачи максимизации параметров динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами, рассматривались в работах [179 - 181, 201, 235, 286]. В работе [235] показано, что потеря устойчивости неконсервативных механических систем, нагруженных следящими нагрузками и при отсутствии демпфирования, наступает при слиянии двух частот колебаний. Также доказана теорема существования критического значения величины следящей нагрузки. В работах [179, 248] установлено, что при решении задачи максимизации критической силы потери устойчивости стержней, нагруженных следящими силами, возможно касание и перехлест характеристических кривых, образование дополнительных областей устойчивости и неустойчивости, указано, что критическая нагрузка может быть кратной, т. е. одному и тому же значению критического параметра могут соответствовать две различные формы потери устойчивости. Особо следует отметить работу [201], в которой рассмотрена задача максимизации величины критического значения тангенциальной следящей силы для стержня неизменной массы. Решение задачи осуществлялось методом конечного элемента. Получено оптимальное распределение массы в стержне кусочно - постоянного сечения. Максимальное значение критической силы является кратным, причем в процессе последовательной оптимизации происходит касание характеристических кривых, что приводит к скачку в значении критической силы. В работе [181] рассмотрена задача максимизации величины критической силы потери устойчивости стержня неизменной массы при наличии демпфирования.

В перечисленных работах получены весьма противоречивые результаты, не позволяющие выявить характерные особенности задач оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем, оценить возможные выигрыши в значении критических параметров, проанализировать чувствительность критических параметров устойчивости к малым вариациям распределения массовых и жесткостных характеристик.

Значительное внимание уделяется задачам оптимального проектирования авиационных конструкций.

Задача оптимизации параметров аэроупругой устойчивости усложнена тем, что помимо скорости полета, параметрами задачи являются также число Маха М и относительная плотность воздуха (высота полета). Существенно важным вопросом является выбор аэродинамической теории, позволяющей наиболее достоверно вычислять нагрузки, действующие на крыло летательного аппарата, колеблющееся в потоке газа. При расчете и оптимизации реальных авиационных конструкций следует иметь ввиду, что тип аэродинамического оператора изменяется в зависимости от числа Маха М. Немаловажное значение имеет выбор модели крыла, которая должна быть достаточно простой (т. е. описываться малым количеством уравнений) и, в то же время, достаточно эффективно описывать реальную картину поведения конструкции крыла в потоке воздуха.

К числу наиболее "простых" задач относятся задачи оптимизации параметров аэроупругой устойчивости панелей в сверхзвуковом потоке газа, которые рассматривались многими исследователями [114, 115, 241 - 245, 247, 263, 288, 289]. При выборе аэродинамической теории в этих работах, как правило, используется теория плоских сечений. Аэродинамическое демпфирование предполагается пренебрежимо малым. В работах [242, 244, 289] рассмотрены дискретные модели пластинки. В работах [247, 263, 288] необходимые условия минимума веса пластинки при заданной критической I

- 9 скорости флаттера получены с использованием теории оптимального управления. Вопросы оптимизации пластинки с закрепленным одним краем, а другим свободным, рассмотрены в работе [114], где на основании необходимых условий экстремума величины критической скорости для статической формы потери устойчивости -дивергенции, получена оптимальная форма пластинки. Исследована устойчивость пластинки в прямом и обращенном потоке газа.

Исследование неконсервативных задач упругой устойчивости тесно связано с теорией линейных несамосопряженных дифференциальных операторов, для которых необходимы эффективные методы нахождения комплексных собственных значений, не уступающие существующим методам для самосопряженных краевых задач, где решение облегчается благодаря наличию соответствующих вариационных принципов. Важным является установление зависимости собственных значений от параметров задачи. Наиболее эффективным методом решения неконсервативных задач упругой устойчивости, по-видимому, является сведение к системе с конечным числом степеней свободы.

Исследования вопросов оптимизации характеристик аэроупругой устойчивости авиационных конструкций развиваются по двум направлениям. К первому направлению относятся исследования по оптимизации распределенных систем, описываемых дифференциальными уравнениями [6, 11, 112 - 119, 132, 152, 158, 268], ко второму направлению исследования по оптимизации дискретных систем [44, 46, 177, 194, 195, 197, 220, 233, 269, 270]. Изучение дискретных систем представляет особый интерес для приложений к современным авиационным конструкциям, описание которых производится обычно с помощью дискретных моделей. Использование для распределенных систем методов решения типа метода конечных разностей, Бубнова - Галеркина, метода конечных элементов и других, также приводит к необходимости исследования дискретных моделей.

Различаются две основных постановки задач оптимизации авиационных конструкций с учетом требования азроупругой устойчивости. Эта максимизация величины критического значения параметра потока при неизменной полной массе материала конструкции и минимизация массы конструкции при заданной фиксированной величине критической скорости аэроупругой устойчивости. Поскольку задача оптимизации параметров аэроупругой устойчивости является составной частью комплексной задачи оптимизации авиационных конструкций, существенно важным является подход, основанный на вычислении производных характеристик устойчивости по вариациям определяющих параметров конструкции (анализ чувствительности), в качестве которых могут быть выбраны массовые, жесткостные и геометрические характеристики.

По-видимому, впервые задача оптимизации конструкции крыла летательного аппарата с учетом требований аэроупругой устойчивости была поставлена в работе [223].

Различается несколько основных подходов к оптимизации параметров аэроупругой устойчивости. Прежде всего это подход, основанный на сведении задачи оптимизации параметров аэроупругой устойчивости к задаче математического программирования, где используются явные выражения для градиентов критических параметров. Впервые формулы производных от флаттерных характеристик по массовым и жесткостным параметрам конструкции крыла малого удлинения были получены В.Г.Буньковым [44]. С использованием этих формул решена задача максимизации критической скорости флаттера крыла летательного аппарата. Была продемонстрирована эффективность использования явных выражений для градиентов критических параметров при решении задачи оптимизации флаттерных характеристик крыльев летательных аппаратов.

Методика вычисления производных от критической скорости, частот и форм флаттера, не использующая сопряженного собственного вектора, описана в [177]. Однако эта методика вряд ли может быть признана эффективной для решения задач оптимизации флаттерных характеристик, поскольку вычисление градиента критической скорости флаттера по N параметрам требует решение N систем линейных уравнений порядка 2п + 2 (п - число степеней свободы). Формулы для вычисления производных критических параметров устойчивости по параметрам проектирования и основанные на них необходимые условия экстремума приведены в [194, 195, 198, 224, 255, 257, 266, 270, 282]. В работах [117, 268] рассмотрены задачи максимизации критической скорости флаттера для распределенных систем. Крыло моделируется консольной балкой и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены вопросы чувствительности и оптимизации критических параметров аэроупругой устойчивости.

В работах [29, 234, 235, 253] для решения задачи оптимизации характеристик аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов используются прямые методы оптимизации. Отметим работу [29], где помимо требований аэроупругой устойчивости учтены комплексные ограничения по статической прочности и аэроупругости (обеспечение потребной величины эффективности управляющих поверхностей), Однако, трудоемкость вычисления градиента целевого функционала, требующая многократного решения прямой задачи, не привела к широкому использованию прямых методов при решении задач оптимизации параметров аэроупругой устойчивости авиационных конструкций. По-видимому, этим объясняется простота модели крыла и малое количество параметров оптимизации, рассмотренных в работе [253].

В работе [199] приведены необходимые условия экстремума, полученные в [198], но они не используются при построении численных алгоритмов для решения задачи оптимизации. Авторы используют эвристический алгоритм, приведенный в работе [269]. Заметим, что даже в случае сходимости этого алгоритма необходимые условия экстремума не выполняются. В работе [220] приведено краткое описание программ, используемых для оптимизации параметров аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов.

Следует отметить, что в задачах оптимизации конструкций летательных аппаратов с учетом требований флаттера прежде всего необходимо знание вектора градиента критической скорости аэроупругой устойчивости по массовым, жесткостным и геометрическим параметрам, которыми может распоряжаться проектировщик. Прежде всего это дает ценную информацию о рациональных способах улучшения динамических свойств конструкции, позволяет сделать приближенные оценки эффекта оптимизации. Градиент может быть использован в разных задачах оптимизации авиационных конструкций с учетом не только требований флаттера, но и ряда других требований: прочности, жесткости, живучести, ресурса, эффективности управляющих поверхностей и т. п.

К числу основных ограничений, которые следует учитывать при проектировании летательных аппаратов, относится требование обеспечения управляемости летательного аппарата по крену. Управляемость летательного аппарата характеризуется относительной величиной - эффективностью органов управления (элеронов). При проектировании конструкции крыла необходимо следить за тем, чтобы величина эффективности рулей лежала в заданных пределах.

Существует несколько путей повышения управляемости летательного аппарата. Это, например, введение дополнительных органов управления, дифференцирован-ность отклонения секций элеронов, изменение положения управляющих поверхностей, изменение геометрии конструкции. Во многих случаях наиболее выгодным является перераспределение материала в конструкции крыла с целью изменения его жесткостных характеристик. Учет требований обеспечения потребной величины эффективности элеронов при оптимальном проектировании прямых крыльев большого удлинения выполнен в работах [29, 112, 116, 119]. В работе [148] разработан прямой метод выбора оптимальных жесткостных характеристик при обеспечении требуемой эффективности органов управления. В работе [116] рассмотрена задача о крыле минимального веса при ограничении по скорости, при которой реализуется заданное значение эффективности элерона. Наилучшие распределения жесткости в крыле минимального веса получены с применением метода возмущений. В статье [112] изучены вопросы минимизации веса прямых крыльев летательных аппаратов при совместных ограничениях, наложенных на на критические скорости реверса элерона и дивергенции. Максимизация эффективности элерона для стреловидного крыла большого удлинения посвящена работа [34]. Решение оптимальной задачи получено при ограничениях на жесткостные параметры, учитывающие требования статической прочности, ресурса и живучести.

Вопросы минимизации веса крыльев большого удлинения из хаотически армированных изотропных композитных материалов при ограничениям по критическим скоростям реверса и дивергенции рассмотрены в работе [11]. Найдены оптимальные распределения концентрации армирующих включений по размаху крыльев и оценены выигрыши по весу, получаемые за счет оптимизации.

Особо актуальной задачей в последние годы было создание больших космических конструкций, которые характеризуются большими размерами и относительно малой массой, лимитируемой ограничениями, связанными с доставкой конструкции на заданную орбиту [16, 19, 50, 62, 157, 207, 272]. Поэтому данные конструкции оказываются весьма гибкими, что и порождает множество проблем, нетипичных для таких относительно жестких систем как самолет или космический аппарат. В то же время к указанному типу конструкций предъявляются высокие требования по жесткости, обусловленные необходимостью точной ориентации конструкции и обеспечением точности функциональных поверхностей. Главными параметрами большой космической конструкции - радиоантенны, определяющими ее функциональную эффективность, являются чувствительность и ее угловое разрешение. Увеличение размеров радиоантенны приводит к двум принципиально важным следствиям. Первое заключается в том, что увеличивается площадь поверхности рефлектора, собирающего энергию, и, тем самым, увеличивается эффективная площадь, определяющая мощность принимаемого сигнала. Второе следствие увеличения размеров рефлектора состоит в повышении разрешающей способности антенны. Заметим, что увеличение площади отражающей поверхности в наземных антеннах существенно затрудненно из-за наличия значительных гравитационных сил и нестационарных атмосферных воздействий.

Другое важное обстоятельство, влияющее на качество радиоантенны, является наличие неровностей на отражающей поверхности и отклонение поверхности рефлектора от идеальной формы. Появление неровностей может быть обусловлено неточностью изготовления элементов рефлектора, ошибками, допущенными при сборке радиоантенны, неравномерным тепловым расширением элементов силового каркаса вследствие солнечной радиации и различного рода внешних воздействий. Если поверхность рефлектора имеет неровности, отстоящие друг от друга не менее чем на величину рабочей длины волны, произойдет смещение фаз для сигналов, отражаемых различными частями рефлектора. При этом поток, воспринимаемый антенной с неидеальным рефлектором в заданном направлении, станет меньше, чем для антенны с идеальной формой отражающей поверхности. Для практического построения большой космической радиоантенны необходимо чтобы "неточность" отражающей поверхности была достаточно мала. Одной из причин неровности поверхности антенны, т. е. отклонение ее рабочей поверхности от параболической, могут быть динамические факторы, в частности, упругие колебания конструкции. Собственные же частоты, рассматриваемые часто в качестве меры динамической жесткости, обратно пропорциональны квадрату характерного размера конструкции. Следовательно, с увеличением характерного размера рефлектора будут быстро возрастать "неточность" отражающей поверхности и ухудшаться функциональные характеристики радиоантенны.

Таким образом, одной из наиболее трудных и важных проблем механики, рассматриваемых на начальной стадии разработки космической радиоантенны, является разрешение противоречия между требованиями увеличения размеров рабочих поверхностей и обеспечением приемлемой жесткости конструкции.

Специфика процедуры создания больших космических конструкций состоит в том, что не существует возможности проведения наземных натурных экспериментов по определению работоспособности и функциональной пригодности конструкции. В связи с этим значительно возрастает роль математического эксперимента и разработки математических моделей, адекватно описывающих механические свойства конструкции.

Для больших космических конструкций, функционирующих в космическом пространстве, важными факторами становятся невесомость, отсутствие или значительная разреженность атмосферы и значительная солнечная радиация. Чтобы воссоздать эти условия в наземных экспериментах, требуются дорогостоящие установки обезвешивания больших космических конструкций, уникальные по размерам вакуумные камеры и сложные облучательные системы. Очевидно, что проведение полномасштабных физических экспериментов в этих условиях оказывается чрезвычайно дорогостоящим делом. Поэтому математический эксперимент, использующий разрабатываемые механические модели больших космических конструкций с идентифицированными параметрами, по-видимому, является альтернативной возможностью проверки и обоснования функциональной пригодности проектируемого изделия.

Очевидно, что не существует способа разработки универсальной математической модели, описывающей все потребные механические характеристики конструкции аппарата. Следовательно, при реальном проектировании возникает необходимость в разработке ряда упрощенных математических моделей, предназначенных для исследования определенных механических параметров радиоантенны.

Значительное внимание должно быть уделено вопросу определения характера и величин внешних стационарных и нестационарных воздействий, действующих на конструкцию антенны, т. к. значительное отклонение формы рабочей поверхности зеркала антенны от заданной параболической формы приводит к потере работоспособности и функциональной пригодности спутника.

Важным моментом в выборе конструктивно - силовой схемы антенны является система автономного развертывания антенны на орбите из сложенного состояния, определяемого размерами контейнера для полезной нагрузки ракеты носителя, до рабочих размеров.

Вопросы проектирования больших космических конструкций рассмотрены в работах [16, 18, 19, 47, 54, 62, 63, 64, 67, 82 - 84, 93, 141, 147, 149, 155, 157, 159, 166, 169, 171, 182, 204, 207, 227, 294].

Общие вопросы проектирования больших космических конструкций рассмотрены в работах [1, 4, 10, 16, 93, 97, 133, 147, 149, 204]. В перечисленных работах затрагиваются вопросы определения нагрузок на космические конструкции, обосновывается выбор конструкционных материалов, обсуждаются вопросы построения конструктивно силовой схемы конструкции и построения адекватной математической модели.

При анализе динамического поведения конструкции в условиях космического полета существенным вопросом является определение напряженно - деформированного состояния свободной конструкции. Построение математической модели конструкции и выполнение анализа ее напряженно - деформированного состояния приводится в работах [10, 16, 54, 62, 63, 67, 93, 126]. При построении математической модели существенным вопросом является выбор связанной с конструкцией системы координат. Различаются несколько способов задание систем координат, которые можно разделить на два класса: системы подобные предложенной в работе [90], которая привязывается к жесткому недеформируемому элементу свободной конструкции, и так называемые плавающие системы координат, начало которой и ориентация осей может смещаться относительно конструкции в процессе ее деформирования. Способы задания связанных со свободной конструкцией подвижных систем координат рассматриваются в работах [16, 24, 50, 54, 63, 67, 68, 69, 93, 126, 141, 144, 147, 155, 176].

При анализе напряженно - деформированного состояния свободной упругой конструкции важное место занимает разработка эффективных численных методов расчета, которые тесно связаны с разработкой математической модели конструкции [16, 49, 50, 54, 67, 68, 69, 102, 157].

Как правило, при моделировании динамического поведения свободной конструкции используются дискретные модели, основанные на вычисленных частотах и формах свободных колебаний конструкции. Проведение анализа динамического поведения свободной конструкции затруднено тем, что помимо расчета напряженно -деформированного состояния конструкции в связанной неинерциальной системе координат, необходимо интегрировать систему уравнений движения начала связанной системы координат и уравнений, описывающих ее пространственную ориентацию. Применению универсального численного метода - метода конечных элементов, в не-инерциальных системах координат посвящены работы [93, 126, 150].

Ряд работ по анализу и оптимизации свободных конструкций посвящены анализу движения конструкции под действием сосредоточенной следящей силы тяги реактивного двигателя. Анализ динамической устойчивости ракеты, моделируемой балкой, работающей на изгиб, приведен в работах [27, 57, 58, 70, 80, 81, 85, 110, 135]. В работах [57, 80] рассматривается дискретная модель стержня. Конструкция упругого стержня представлена системой жестких недеформируемых балок, соединенных пружинами, моделирующими изгибную жесткость. Уравнение малых колебаний балки, нагруженной следящей силой, которое рассматривается в других работах, впервые получено, по-видимому, Феодосьевым В.И. Особо следует отметить работу [58], в которой определяющее уравнение выведено в "средней" системе координат, связанной с упругим стержнем.

При проектировании летательных аппаратов, помимо правильного распределения материала между элементами конструкции, немаловажным является выбор конструктивно-силовой схемы. Однако, летательные аппараты представляют собой анизотропные (конструктивно анизотропные) конструкции, поэтому использование анизотропных моделей может более точно описать поведение конструкции. Кроме того, в связи с широким использованием в технике анизотропных материалов и возрастающими возможностями создания различных видов конструктивной анизотропии, становятся актуальными вопросы эффективного использования анизотропных свойств материалов в упругих конструкциях. Представляет интерес отыскание распределения материала в анизотропных конструкциях (из материала с заданной анизотропией), оптимальное распределение модулей упругости в элементах конструкции, проблемы совместной оптимизации.

В ряде работ [3, 7, 8, 104] рассмотрена задача оптимизации углов ориентации осей анизотропии в задаче жесткости или минимизации податливости конструкции в случае, когда внешние нагрузки считаются заданными и фиксированными. В авиационной практике представляют интерес задачи выбора направления осей анизотропии в элементах конструкции при учете требований азроупругости (флаттер, дивергенция, реверс), т. е. при взаимодействии упругой конструкции с потоком воздуха. В работах [186, 290] на основе параметрических расчетов для крыла, моделируемого балкой или пластиной, показано, что для крыла обратной стреловидности ориентация конструктивной анизотропии может в значительной степени уменьшить влияние аэроупругости на весовые характеристики крыла.

На основании вышесказанного имеет смысл рассмотреть задачу выбора оптимальных углов ориентации осей анизотропии материала обшивки крыла, моделируемой набором ортотропных панелей, из условия максимизации эффективности органов поперечного управления и критических скоростей флаттера и дивергенции. Следует подчеркнуть, что решение этой задачи может использоваться для целей выбора каркаса конструкции и в качестве дополнительной возможности по увеличению запасов аэроупругой устойчивости и управляемости. Укажем, также, монографию [30], где в комплексе рассмотрены методы оптимального проектирования конструкции летательных аппаратов.

Проектирование и оптимизация реальных конструкций предполагает комплексный подход, основанный на разработке математических моделей конструкции, адекватно описывающих ее механические свойства, подбору современных конструкционных материалов, уточнению условий эксплуатации конструкции и величин и характера внешних воздействий. Несомненно, что решение любой задачи оптимизации конструкции, имеющей реальный прототип, имеет смысл если результаты расчетов, полученных с использованием разработанной математической модели, дают результаты, хорошо согласующиеся с результатами экспериментов, проведенных на реальной конструкции. Поэтому, становятся актуальными задачи коррекции расчетных моделей по результатам эксперимента. Подобные задачи с применением разнообразных подходов рассматривались в работах [111, 172, 175, 279]. Специфика этих задач состоит в том, что как правило экспериментальных данных о конструкции бывает недостаточно для уточнения всех параметров расчетной модели. Поэтом применяются эвристические подходы к построению алгоритмов коррекции расчетных моделей.

Актуальность рассмотренных в работе задач оптимизации конструкций связана с важной практической проблемой проектирования легких и надежных конструкций при сохранении прочностных, жесткостных, динамических и прочих требований, предъявляемых к конструкциям в процессе их эксплуатации.

Целью настоящей работы является разработка методов исследования и оптимизации составных конструкций и их элементов на основе построения адекватных математических моделей конструкций, учета внешних воздействий и условий эксплуатации, создания алгоритмов анализа чувствительности и оптимизации, применения эффективных численных методов.

Содержание работы

В первой главе рассматривается задача коррекции расчетной модели по результатам динамического эксперимента. При проектировании сложных конструкций, подверженных в процессе эксплуатации разнообразным динамическим воздействиям, большой теоретический и практический интерес представляет проблема создания математической модели конструкции, которая адекватно описывает ее жесткостные, массово - инерционные и динамические характеристики. Это важно как для уточнения расчета на флаттер, так и для решения задач оптимизации. Актуальность задачи коррекции исходных данных по результатам частотных испытаний и создания уточненной математической модели несомненна.

Действительно, поведение конструкции описывается системой уравнений, а вопрос о выборе коэффициентов в этой системе, от величины которых зависят массово - инерционные и жесткостные характеристики конструкции, может вызвать определенные трудности. В тех случаях, когда рассматриваются простые конструкции или их элементы, существует соответствие между коэффициентами уравнений и реальными массовыми и геометрическими характеристиками конструкции. Сложнее обстоит дело когда для расчета больших составных конструкций используются упрощенные модели. Так, например, крыло летательного аппарата при решении задач аэроупругости моделируется балкой или пластиной. Задание исходных данных, т. е. выбор распределения массово - инерционных и особенно жесткостных характеристик в таких моделях всегда носит приближенный характер и, следовательно, расчет на основе таких расчетных данных приводит к ошибкам в определении форм и частот колебаний, и, как следствие, критической скорости флаттера.

Поэтому, для решения задач расчета и проектирования возникает необходимость создания математической модели, которая может непрерывно совершенствоваться и уточняться на основе получаемых новых экспериментальных данных с целью наиболее точного описания характеристик исследуемой конструкции.

Свидетельством того, что проявляется значительный интерес к вопросам построения адекватных математических моделей конструкции, может служить все возрастающее число публикаций на эту тему, достаточно назвать [111, 172, 179].

Большинство работ посвящено рассмотрению моделей с конечным числом степеней свободы, т. к. создаваемая математическая модель предназначена для расчета на компьютере.

Использование более совершенных моделей ограничивается, прежде всего, возможностями компьютеров, а усложнение расчета во многих случаях является неоправданным, т. к. выбор для расчета основных определяющих степеней свободы может с достаточной точностью описать поведение реальной конструкции.

Рассматривается задача коррекции распределения масс и жесткостей в расчетной модели крыла большого удлинения по результатам натурного частотного эксперимента. Рассматриваемая задача не является корректной, т. к. в эксперименте определяется лишь небольшое число частот и форм свободных колебаний реальной конструкции. Поэтому, при решении задачи коррекции расчетных параметров применяются эвристические методы, основанные на построении критериев качества, характеризующих адекватность расчетной модели реальной конструкции. В настоящей работе в качестве критерия качества используется квадратичный функционал невязки частот и форм свободных колебаний, полученных в результате расчета и в эксперименте. Приведен пример модельного вычислительного эксперимента и пример коррекции реальной модели крыла, для которого проведен частотный эксперимент.

Во второй главе рассматриваются задачи оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем. Задачи определения границы устойчивости неконсервативных механических систем связаны с вопросом устойчивости колебаний, т. е. динамической устойчивостью. Параметры, которые характеризуют динамическую устойчивость, естественно, зависят от характеристик механической системы, т. е. распределения масс и жесткостей, геометрических характеристик, распределения внешней нагрузки. Представляет значительный интерес задача определения влияния изменения параметров механической системы на изменение параметров, характеризующих ее устойчивость, т. е. анализ чувствительности. Для неконсервативной механической системы существуют две качественно разные формы потери устойчивости - статическая и динамическая. В общем случае анализ влияния различных параметров затруднителен ввиду того, что критические параметры устойчивости, как правило, явно не выражаются через определяющие параметры системы. С помощью введения так называемой сопряженной системы уравнений удается получить соотношения, описывающие чувствительность критических параметров устойчивости к изменению параметров, характеризующих механические свойства системы.

В главе рассматриваются задачи динамической устойчивости неконсервативных механических систем: задача о потере устойчивости упругого стержня переменного сечения под действием распределенной следящей нагрузки и задача о флаттере пластинки переменной толщины в сверхзвуковом потоке газа. Исследуются вопросы чувствительности критических параметров устойчивости и частот колебаний по отношению к вариациям распределений масс и жесткостей. Ставятся задачи максимизации критических параметров устойчивости при неизменной полной массе материала. Варьируемыми функциями являются распределения масс в стержнях и пластинках. Дано описание процедуры решения задач оптимизации. Приводятся и обсуждаются численные результаты. Рассматриваемые задачи относятся к исследованиям по структурной стабилизации механических систем.

В третьей главе рассмотрены задачи оптимизации конструкции крыльев летательных аппаратов с учетом требований статической аэроупругости - эффективности органов поперечного управления летательных аппаратов.

К числу основных ограничений, которые следует учитывать при проектировании летательных аппаратов, относится требование обеспечения управляемости летательного аппарата по крену. Управляемость летательного аппарата характеризуется относительной величиной - эффективностью органов управления (элеронов). При проектировании конструкции крыла необходимо следить за тем, чтобы величина эффективности рулей лежала в заданных пределах.

Существует несколько путей повышения управляемости летательного аппарата. Это, например, введение дополнительных органов управления, дифференцирован-ность отклонения секций элеронов, изменение положения управляющих поверхностей, изменение геометрии конструкции. Во многих случаях наиболее выгодным является перераспределение материала в конструкции крыла с целью изменения его жесткостных характеристик. В главе рассмотрена задача максимизации величины статической эффективности органов поперечного управления стреловидного крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой, работающей на изгиб и кручение, посредством перераспределения конструкционного материала при ограничениях, учитывающих требования прочности, динамической устойчивости и т. д.

Рассмотрена задача максимизации величины динамической эффективности элеронов крыла малого удлинения. Конструкция крыла представляет собой составную конструкцию, состоящую из разнотипных элементов. Силовой набор крыла - лонжероны и нервюры, моделируется балками, работающими на изгиб и кручение. Панели обшивки крыла - пластинами. В качестве параметров проектирования используются жесткости балок и толщины панелей обшивки. Масса конструкции крыла считается неизменной. Задача решается методом последовательной оптимизации с вычислением градиента величины эффективности на каждом шаге.

Четвертая глава посвящена задачам оптимального проектирования крыльев летательных аппаратов с учетом требований аэроупругой устойчивости - флаттера, дивергенции.

Анализ устойчивости приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных краевых задач (конечномерным аналогом этих задач являются системы уравнений, матрицы коэффициентов которых при обобщенных координатах содержат антисимметричные составляющие). Граница устойчивости неконсервативной механической системы зависит от массовых, жесткостных и геометрический характеристик системы, распределения внешней нагрузки и т.д. Для неконсервативной механической системы может реализоваться одна из двух форм потери устойчивости - динамическая или колебательная, которая характеризуется отличной от нуля частотой колебаний, и статическая, при которой частота равна нулю. При изменении характеристик системы изменяется соответственно и величина критического значения параметра внешней неконсервативной нагрузки (значения, при достижении которого неконсервативная механическая система теряет устойчивость). В общем случае анализ влияния различных параметров затруднителен ввиду того, что критические параметры устойчивости, как правило, не выражаются явно через определяющие параметры системы. Соотношения, выражающие зависимость изменения критических параметров устойчивости (чувствительность) от вариаций определяющих параметров механической системы, можно получить с помощью введения так называемой сопряженной системы уравнений. Эти соотношения можно с успехом применить для решения задач оптимизации критических параметров динамической устойчивости с использованием градиентных методов.

Рассмотрена задача максимизации величины критической скорости флаттера крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой, работающей на изгиб и кручение. В качестве параметра проектирования используется распределение масс и жесткостей по размаху балки. Получены соотношения, характеризующие чувствительность величины критической скорости динамической потери устойчивости крыла, величин декрементов и частот колебаний балки в потоке газа к вариациям распределения материала. Определена зависимость изменения декремента колебаний от величины скорости потока в окрестности критической скорости флаттера (жесткость флаттера). Приведено решение задачи оптимизации для модельного крыла большого удлинения.

Приводится решение задачи оптимизации конструкции крыла малого удлинения по условиям аэроупругой устойчивости. Силовой набор конструкции крыла образован балочными элементами и пластинами. В качестве параметров проектирования рассматриваются жесткости балок, работающих на изгиб и кручение (толщины поясов), толщины панелей обшивки крыла, неконструктивные массы (топливо, приборы и оборудование механизации крыла). Рассмотрены разные конструкции крыльев малого удлинения. Получен значительный выигрыш в величине критической скорости флаттера.

В пятой главе рассматриваются вопросы, связанные с проектированием больших свободных космических антенн. Основное внимание уделено традиционным аспектам проектирования, таким, как анализ конструктивно-силовой схемы, анализ условий эксплуатации и внешних воздействий, выбору конструкционных материалов.

Данные конструкции характеризуются большими размерами и относительно малой массой, лимитируемой ограничениями, связанными с доставкой конструкции на заданную орбиту. Поэтому данные конструкции оказываются весьма гибкими, что и порождает множество проблем, нетипичных для таких относительно жестких систем как самолет или космический аппарат. В то же время к указанному типу конструкций предъявляются высокие требования по жесткости, обусловленные необходимостью точной ориентации конструкции и обеспечением точности функциональных поверхностей. Одной из причин неровности поверхности антенны, т. е. отклонения ее рабочей поверхности от параболической, могут быть динамические факторы, в частности, упругие колебания конструкции. Собственные же частоты, рассматриваемые часто в качестве меры динамической жесткости, обратно пропорциональны квадрату характерного размера конструкции. Следовательно, с увеличением характерного размера рефлектора будут быстро возрастать "неточность" отражающей поверхности и ухудшаться функциональные характеристики радиоантенны.

Таким образом, одной из наиболее трудных и важных проблем механики, рассматриваемых на начальной стадии разработки космической радиоантенны, является разрешение противоречия между требованиями увеличения размеров рабочих поверхностей и обеспечением приемлемой жесткости конструкции.

Специфика процедуры создания больших космических конструкций состоит в том, что не существует возможности проведения наземных натурных экспериментов по определению работоспособности и функциональной пригодности конструкции. В связи с этим значительно возрастает роль математического эксперимента и разработки математических моделей, адекватно описывающих механические свойства конструкции.

Для больших космических конструкций, функционирующих в космическом пространстве, важными факторами становятся невесомость, отсутствие или значительная разреженность атмосферы и значительная солнечная радиация. Чтобы воссоздать эти условия в наземных экспериментах, требуются дорогостоящие установки обезвешивания больших космических конструкций, уникальные по размерам вакуумные камеры и сложные облучательные системы. Очевидно, что проведение полномасштабных физических экспериментов в этих условиях оказывается чрезвычайно дорогостоящим делом. Поэтому математический эксперимент, использующий разрабатываемые механические модели больших космических конструкций с идентифицированными параметрами, по-видимому, является альтернативной возможностью проверки и обоснования функциональной пригодности проектируемого изделия.

Анализируется вопрос определения характера и величин внешних стационарных и нестационарных воздействий, действующих на конструкцию антенны, т. к. значительное отклонение формы рабочей поверхности зеркала антенны от заданной параболической формы приводит к потере работоспособности и функциональной пригодности спутника.

Важным моментом в выборе конструктивно - силовой схемы антенны является возможность автономного развертывания антенны на орбите из сложенного состояния, определяемого размерами контейнера для полезной нагрузки ракеты носителя, до рабочих размеров.

В процессе эксплуатации радиоантенны постоянно возникает необходимость переориентации конструкции в пространстве для прицеливания на определенные участки Земли или космоса, что может осуществляться посредством включения реактивных двигателей малой тяги, работающих в релейном режиме, и приводить к динамическим нестационарным воздействиям, искажающим форму рабочей поверхности зеркала.

В главе рассмотрены внешние воздействия, возникающие в процессе функционирования антенны, определяются динамические характеристики конструкции, исследуются разные варианты компоновки антенны. Приведенные расчеты позволяют проанализировать влияние компановки антенны, используемого конструкционного материала и различных конструктивных решений элементов трансформируемой антенны на ее динамические характеристики.

Шестая глава посвящена анализу частот свободных колебаний механических систем. Проводится качественный и количественный анализ чувствительности частот колебаний линейных механических систем в зависимости от параметров задачи. Такой анализ является актуальным для проектирования современных колебательных устройств, приборов и конструкций.

При разработке конструктивно - силовых схем больших космических конструкций часто возникает необходимость создания предварительно напряженных систем, т. е. в отдельных или во всех элементах конструкции создается начальное предварительное напряжение на стадии монтажа или развертывания трансформируемой конструкции, при сборке ее отдельных фрагментов. В целом, рационально созданные предварительные напряжения могут повысить несущую способность конструкции, что достигается наиболее полным использованием возможностей материала, из которого изготовлены силовые элементы, обеспечить возможность упругого деформирования конструкции при воздействии внутренних и внешних силовых факторов, снизить влияние тепловых напряжений, возникающих в силовых элементах больших космических конструкций в процессе ее эксплуатации.

Существенно важным предназначением создания поля предварительных напряжений в силовых элементах больших космических конструкций является требования обеспечения заданной формы и геометрических параметров аппарата и его рабочих поверхностей. Для трансформируемых конструкций по существу это единственный надежный способ выбрать люфты в шарнирных соединениях. Конструкции, в которых используются силовые вантовые элементы, должны обеспечить предварительные растягивающие усилия в них. Во многих случаях создание предварительных напряжений в конструкции позволяет повысить ее жесткость. Рассматривается задача выбора величины рациональных предварительных усилий в стержневых элементах свободной стержневой ферменной конструкции.

Приведен расчет частот и форм свободных колебаний большой космической антенны и проведен анализ влияния величин предварительных напряжений и усилий в элементах антенны на ее динамические характеристики.

Седьмая глава посвящена анализу и проектированию конструкций при нестационарных динамических воздействиях. При анализе динамического поведения сложных составных многоэлементных конструкций, как правило, используется метод конечных элементов (МКЭ). Среди прочих преимуществ этот метод позволяет с единых позиций рассматривать напряженно - деформированное состояние конструкции, состоящей из разнородных фрагментов, деформации которых описываются разными системами дифференциальных уравнений. Особенно часто такая ситуация возникает при расчете тонкостенных конструкций авиационной и космической техники (например: нервюры, лонжероны и панели обшивки крыла; шпангоуты и обшивка фюзеляжа).

Как правило, динамическое поведение конструкций авиационной и космической техники связано с нестационарными воздействиями двигателей, органов управления, взаимодействием с окружающей средой. Подобные воздействия приводят к изменению характера движения конструкции, возникают динамические нестационарные нагрузки, приводящие к возникновению напряжений и деформаций конструкционных элементов.

Анализ напряженно - деформированного состояния движущихся и маневрирующих конструкций часто бывает удобно проводить в подвижной системе координат, связанной с конструкцией. В отличие от системы координат, связанной с Землей, такая система координат не является инерциальной, вследствие чего в динамических уравнениях, описывающих нестационарные деформации конструкции, появляются дополнительные составляющие.

Получены основные соотношения метода конечных элементов для решения задач динамики конструкций в неинерциальных системах координат. В частности анализируется возможность использования МКЭ для динамического расчета свободных конструкций. Приведен анализ полученных уравнений. Проанализированы способы введения связанных с конструкцией систем координат.

Рассмотрена задача минимизации величины динамической реакции конструкции на нестационарные динамические воздействия. На примере конструкции крыла малого удлинения приводится решение задачи минимизации величины прогиба крыла, находящегося в потоке газа, при действии вертикального порыва. Получены соотношения, характеризующие влияние изменения параметров конструкции крыла на величину максимального прогиба. В качестве проектных параметров приняты величины неконструктивных масс, жесткости балок, моделирующих силовой каркас крыла, толщины панелей обшивки. Рассмотрены разные виды воздействий вертикального порыва.

Получены уравнения, описывающие движение свободной ракеты под действием тяги реактивного двигателя. Анализ динамической устойчивости ракеты проводится в связанной с конструкцией ракеты системе координат - средней системе. Корпус ракеты моделируется балкой. Проведен анализ полученной задачи на собственные значения для определения параметров динамической устойчивости. Показано, что исследование задачи устойчивости ракеты можно заменить значительно более простым уравнением.

Восьмая глава посвящена проектированию конструкций из анизотропных материалов. При создании современных конструкций используются все достижения технологии производства, что позволяет наиболее рациональным образом выбрать конструктивно силовую схему. Кроме того, в распоряжении конструктора имеется богатый выбор конструкционных материалов, что позволяет изготавливать отдельные фрагменты конструкции используя те конструкционные материалы, которые наиболее подходят для создания конкретных узлов конструкции в зависимости от условий их функционирования. Стремление к созданию конструкций, обладающих высоким весовым совершенством, приводит к необходимости использования всех механических свойств конструкционных материалов, в частности, учета анизотропии упругих характеристик. Рассматривается задача выбора оптимальной пространственной ориентации главных осей анизотропии конструкционного материала конструкции для обеспечения минимальной податливости конструкции.

Современные летательные аппараты представляют собой анизотропные (конструктивно анизотропные) конструкции, поэтому использование анизотропных моделей может более точно описать поведение конструкции. Кроме того, в связи с широким использованием в технике анизотропных материалов и возрастающими возможностями создания различных видов конструктивной анизотропии, становятся актуальными вопросы эффективного использования анизотропных свойств материалов в упругих конструкциях. Представляет интерес отыскание распределения материала в анизотропных конструкциях (из материала с заданной анизотропией), оптимальное распределение модулей упругости в элементах конструкции, что позволяет решать проблемы совместной оптимизации - выбора распределения материал в конструкции и одновременно направлений главных осей анизотропии конструкционного материала. На основании вышесказанного имеет смысл рассмотреть задачу выбора оптимальных углов ориентации осей анизотропии материала обшивки крыла, моделируемой набором ортотропных панелей, из условия максимизации эффективности органов поперечного управления и критических скоростей флаттера и дивергенции. Следует подчеркнуть, что решение этой задачи может использоваться для целей выбора каркаса конструкции и в качестве дополнительной возможности по увеличению запасов аэроупругой устойчивости и управляемости.

Научная новизна работы

• Решена задача коррекции параметров расчетной модели конструкции крыла большого удлинения по результатам частотного эксперимента на основе минимизации функционала квадратичной невязки (рассогласования) частот и форм свободных колебаний. Разработан эффективный метод уточнения параметров расчетной модели.

• Решены задачи оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем. Решение прямой и сопряженной задач позволило получить выражение, характеризующее чувствительность критических параметров устойчивости к вариациям распределения масс и жесткостей. Выявлены наиболее существенные факторы, влияющие на динамическую устойчивость механической системы. При решении задач оптимизации обнаружены новые эффекты, такие как кратность критических параметров устойчивости и касание характеристических кривых. Эти эффекты приводят к скачкообразному изменению величины критической нагрузки и появлению дополнительных областей устойчивости и неустойчивости. За счет перераспределения конструкционного материала получено большое увеличение в значении критических параметров динамической устойчивости. Выявлена большая чувствительность критических параметров динамической устойчивости к вариациям распределения массовых и жесткостных параметров конструкции.

• Решены задачи оптимизации конструкции крыльев летательных аппаратов по условиям аэроупругой устойчивости. Показано, что возникновение кратности критических параметров устойчивости является характерным. Получены значительные выигрыши в величине критической скорости аэроупругой устойчивости. Установлено, что величина градиента критической скорости аэроупругой устойчивости существенно возрастает в процессе последовательной оптимизации.

• Определена чувствительность величины эффективности органов поперечного управления летательного аппарата к вариациям жесткостных параметров конструкции крыла. Показано, что характерным является наличие элементов конструкции крыла, уменьшение жесткости которых приводит к увеличению эффективности элеронов.

• На основе метода конечных элементов разработана расчетная модель для определения динамических характеристик радиоантенны. Проведено исследование величин внешних воздействий на большую космическую радиоантенну, оказывающих влияние на искажение формы рабочей поверхности зеркала. Показано, что наибольшие величины искажения возникают вследствие работы систем ориентации и стабилизации. Из анализа частот и форм свободных колебаний радиоантенны выявлена наиболее рациональная конструктивно-силовая схема. Исследовано влияние выбора конструкционного материала и величин предварительных напряжений в конструкции антенны на ее динамические характеристики.

• Решена задача минимизации величины максимального прогиба крыла летательного аппарата при действии нестационарного динамического нагружения типа вертикального порыва. С использованием сопряженной системы уравнений получены соотношения, позволяющие вычислить чувствительность величины максимального прогиба крыла к вариациям его массовых и жесткостных параметров. Показано, что при нагружении обтекаемого крыла вертикальным порывом возникают области отрицательного значения градиента функционала прогиба. Определены элементы конструкции крыла, уменьшение жесткости которых приводит к уменьшению величины динамической реакции на нестационарные воздействия.

• Разработан эффективный численный алгоритм решения задачи динамики свободных упругих конструкций на основе метода конечных элементов. Решена задача об определении искажения формы рабочей поверхности зеркала антенны при нестационарном воздействии силы тяги реактивных двигателей.

На защиту выносится:

1. исследование задачи коррекции математической модели по результатам частотного эксперимента;

2. исследование класса задач оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем;

3. развитие метода анализа чувствительности параметров аэроупругой устойчивости и управляемости к вариациям массовых и жесткостных характеристик кон-струкци крыльев летательных аппаратов;

4. исследование задач оптимизации конструкций, подверженных действию нестационарных динамических нагрузок;

5. исследование влияния выбора конструктивно - силовой схемы, конструкционных материалов, величин предварительных напряжений на динамические характеристики большой космической радиоантенны;

6. решение задач выбора рационального распределения предварительных усилий в элементах свободной конструкции;

7. развитие метода конечных элементов в задачах анализа динамики свободных больших многоэлементных составных конструкций, рассматриваемых в связанных с конструкцией неинерциальных системах координат;

8. решение задач выбора рациональной ориентации главных осей анизотропии в конструкционном материале плоских и пространственных конструкций;

9. постоение эффективных численных методов анализа и оптимизации составных конструкций и их элементов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается решением модельных задач, сравнением результатов расчетов с данными экспериментов, использованием адекватных численных методов анализа и оптимизации конструкций и сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на семинарах Института проблем механики РАН, Центрального аэрогидродинамического института им. проф. Н. Е. Жуковского, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, на научно-технических советах Центрального научно - производственного объединения " Комета", научно-технической конференции ЦАГИ по статической прочности авиационных конструкций (1980, г. Жуковский), научно-технической конференции "Автоматизация проектирования летательных аппаратов" (1981, г. Жуковский), Всесоюзной конференции по оптимизации механических систем при динамических нагрузках (1981, г. Тарту), Всесоюзной конференции "Проблемы оптимизации в машиностроении" (1982, г.Харьков), Всесоюзной конференции "Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике" (1983, г. Вильнюс), Четвертой Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (1983, г. Москва), Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (1983, г. Москва), Всесоюзной школе по оптимизации в машиностроении (1983, г. Алушта), конференции Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред (1984, г. Ереван), конференции Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций (1984, г. Горький), V Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (1985, г. Казань), 2-й Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (1986, г. Харьков), Шестом Всесоюзном съезд по теоретической и прикладной механике (1986, г. Ташкент), Гагаринских научных чтениях по космонавтике и авиации (1986, г. Москва), конференции Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации (1988, г. Горький), 40-ом Конгрессе международной астронавтической федерации (1989, г. Малага), Гагаринских научных чтениях по космонавтике и авиации (1990, г. Москва), симпозиуме ГОТАМ Динамические проблемы систем упругих твердых тел и конструкций (1990, г. Москва), Симпозиуме по тенденциям и применению математики в механике (1994, г. Лиссабон), Международном аэрокосмическом конгрессе (1994, Москва), Первом всемирном конгрессе по оптимизации конструкций и многопрофильной оптимизации (1995, г. Гослар), конференции Проблемы оптимизации в механике деформируемого

- 29 твердого тела (1995, г. Нижний Новгород), IX Конференции по прочности и пластичности (1996, г. Москва), симпозиуме IUTAM/IACM Методы дискретизации в механике конструкций (1997, г. Вена), международном семинаре Крупногабаритные космические конструкции (1997, г.Москва), XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания (1999, г. Москва), 5-ой Международной конференции по проблемам колебаний (2001, г. Москва).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девятнадцати статьях и трех монографиях [12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 33, 34, 93, 120, 121, 122, 123, 126, 145, 168, 170, 171].

Все опубликованные работы выполнены с соавторами.

Монографии [15, 16, 126] выполнены в равноценном соавторстве.

В работах [12, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 33, 34, 168, 170] автору принадлежит получение необходимых условий экстремума и проведение расчетов. В диссертацию включена часть результатов полученных автором самостоятельно. Работы [120, 121, 122, 123, 145] выполнены в равноценном соавторстве.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шаранюк, Александр Валентинович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершение работы можно сделать некоторые выводы.

Решена задача коррекции параметров расчетной модели конструкции крыла большого удлинения по результатам частотного эксперимента на основе минимизации функционала квадратичной невязки (рассогласования) частот и форм свободных колебаний. Разработан эффективный метод уточнения параметров расчетной модели.

2. Решены задачи оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем. Решение прямой и сопряженной задач позволило получить выражение, характеризующее чувствительность критических параметров устойчивости к вариациям распределения масс и жесткостей. Выявлены наиболее существенные факторы, влияющие на динамическую устойчивость механической системы. При решении задач оптимизации обнаружены новые эффекты, такие как кратность критических параметров устойчивости и касание характеристических кривых. Эти эффекты приводят к скачкообразному изменению величины критической нагрузки и появлению дополнительных областей устойчивости и неустойчивости. За счет перераспределения конструкционного материала получено большое увеличение в значении критических параметров динамической устойчивости. Выявлена большая чувствительность критических параметров динамической устойчивости к вариациям распределения массовых и жесткостных параметров конструкции.

3. Решены задачи оптимизации конструкции крыльев летательных аппаратов по условиям аэроупругой устойчивости. Показано, что возникновение кратности критических параметров устойчивости является характерным. Получены значительные выигрыши в величине критической скорости аэроупругой устойчивости. Установлено, что величина градиента критической скорости аэроупругой устойчивости существенно возрастает в процессе последовательной оптимизации.

4. Определена чувствительность величины эффективности органов поперечного управления летательного аппарата к вариациям жесткостных параметров конструкции крыла. Показано, что характерным является наличие элементов конструкции крыла, уменьшение жесткости которых приводит к увеличению эффективности элеронов.

5. Проведено исследование величин внешних воздействий на большую космическую радиоантенну, оказывающих влияние на искажение формы рабочей поверхности зеркала. Показано, что наибольшие величины искажения возникают вследствие работы систем ориентации и стабилизации. Для определения динамических

- 280 характеристик радиоантенны разработана расчетная модель на основе метода конечных элементов. Из анализа частот и форм свободных колебаний радиоантенны выявлена наиболее рациональная конструктивно-силовая схема. Исследовано влияние выбора конструкционного материала и величин предварительных напряжений в конструкции антенны на ее динамические характеристики.

6. Решена задача минимизации величины максимального прогиба крыла летательного аппарата при действии нестационарного динамического нагружения типа вертикального порыва. С использованием сопряженной системы уравнений получены соотношения, позволяющие вычислить чувствительность величины максимального прогиба крыла к вариациям его массовых и жесткостных параметров. Показано, что при нагружении обтекаемого крыла вертикальным порывом возникают области отрицательного значения градиента функционала прогиба. Определены элементы конструкции крыла, уменьшение жесткости которых приводит к уменьшению величины динамической реакции на нестационарные воздействия.

7. Разработан эффективный численный алгоритм решения задачи динамики свободных упругих конструкций на основе метода конечных элементов. Решена задача об определении искажения формы рабочей поверхности зеркала антенны при нестационарном воздействии силы тяги реактивных двигателей.

8. Решены задачи выбора ориентации главных осей анизотропии материала в элементах конструкции. Показано, что рациональное распределение анизотропного материала в панелях обшивки крыла позволяет в значительной степени улучшить характеристики аэроупругой устойчивости и управляемости летательных аппаратов. Создан новый эффективный вычислительный алгоритм оптимизации жесткостных характеристик пространственных конструкций, основанный на применении нормированных кватернионов для задания ориентации главных осей анизотропии материала.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шаранюк, Александр Валентинович, 2001 год

1. Алексеев К.Б. Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1974, 340 с.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Гостехиздат, 1959, 915 с.

3. Аннин Б.Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных тел. Тр. III Национ. конгр. по теоретич. и прикл. механике. Т. 1, София, Изд-во Болг. АН, 1977,с. 275-280.

4. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

5. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций.- М.: Мир, 1977.

6. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции. //Ученые записки ЦАГИ, т.9, №5, 1978.

7. Баничук Н.В. Об одной задаче на экстремум для системы с распределенными параметрами и определении оптимальных свойств упругой среды. //ДАН СССР, 1978, т. 242, №5, с. 1042-1045.

8. Баничук Н.В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней. //Изв. АН СССР. МТТ, 1978, №4, с. 73 79.

9. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

10. Баничук Н.В., Барсук A.A., Трифанова Л.Р., Шаранюк A.B. Структурное моделирование больших свободных конструкций с применением анизотропных моделей. В кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. - М.: Наука, 1991, с. 52-56.

11. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Некоторые оптимальные задачи статической аэроупругости для крыльев из композиционных материалов. //Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1982.

12. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. Анализ чувствительности и оптимальное проектирование конструкций, рассчитываемых на динамические воздействия. //Изв. АН СССР, МТТ, 1985, №4, с. 166-172.

13. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. В кн: Математические методы в механике деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1987.

14. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк A.B. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. М.: Наука, 1989, 262 с.

15. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М., Маркеев А.П., Соколов Б.Н., Шаранюк A.B. Механика больших космических конструкций. М.: Изд-во "Факториал" , 1997.-302 с.

16. Н.В.Баничук, В.В.Кобелев, Р.Б.Рикардс, Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.:Машиностроение, 1988. - 224 с.

17. Баничук Н.В., Лущин Л.П., Макеев Е.В., Шаранюк A.B. Моделирование и проектирование сложных конструкций. Труды Гагаринских научных чтений по космонавтике и авиации. М.: Наука, 1987, с. 177-179.

18. Баничук Н.В., Макеев Е.В., Филимонов Г.Б., Шаранюк A.B. Численное моделирование свободных конструкций. Труды Гагаринских научных чтений по космонавтике и авиации. М.: Наука, 1990, с. 192-198.

19. Баничук Н.В., Миронов A.A. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости. //ПММ, 1976, т. 40, вып. 3, с. 520 527.

20. Баничук Н.В., Шаранюк A.B. Оптимизация распределения анизотропного материала в деформируемых телах и конструкциях. //Доклады академии наук, 1996, том 347, №2.

21. Баничук Н.В., Шаранюк A.B. Трехмерные задачи оптимального проектирования конструкций из оптотропных материалов. //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация. Москва, 1997.

22. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982, 448 с.

23. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

24. Белецкий В.В., Бронштейн М.Л., Попирный Г.А. Оценка параметров зеркально-диффузионной модели отражения по движению относительно центра масс спутников серии "Протон" //Космические исследования, 1973, т. 11, №2, с. 171-179.

25. Беннигоф Дж.К. Расчет собственных частот методом итераций составляющих мод //Аэрокосмическая техника, №2, 1988, с. 85-93.

26. Бил Р. Динамическая устойчивость гибкой ракеты при действии постоянных и пульсирующих сил тяги. //Ракетная техника и космонавтика, М.: Мир, 1965, JV43, с. 133 141.

27. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. М.:Физматлит,1992. - 392 с.

28. Бирюк В.И. О задачах оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости. //Ученые записки ЦАГИ, т. III, №2, 1972.

29. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977.

30. Бирюк В.И., Баничук Н.В., Шаранюк A.B. Использование анизотропных моделей для синтеза конструктивно-силовых схем. Тезисы Всес. конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов". Москва, 1983.

31. Бирюк В.И., Моисеенко В.П. о применении дискретно-непрерывного принципа максимума к задачам оптимального проектирования конструкций. //Ученые записки ЦАГИ, 1973, т.4, №4.

32. Бирюк В.И., Шаранюк A.B. Оптимизация конструктивно-силовых схем при использовании анизотропных моделей по условиям аэроупругости. //Ученые записки ЦАГИ, т. XV, 1984, №6, с. 77-84.

33. Бирюк В.И., Шаранюк A.B., Яремчук Ю.Ф. Оптимизация конструкции стреловидного крыла из условия эффективности элерона. //Ученые записки ЦАГИ, 1981, №4.

34. Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфмэн П.Л. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958.

35. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961.

36. Болотин В.В. Эфекты стабилизации и дестабилизации в задачах устойчивости упругих систем. В сб.: "Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением". Новосибирск: Наука, 1979.

37. Болотин В.В., Григалюк Э.И. Устойчивость упругих и неупругих систем. -В сб.: "Механика в СССР за 50 лет". Т.З. М.: Наука, 1972.

38. Болотин В.В., Новичков Ю.Н., Швейко Ю.Ю. Теория аэроупругости. В сб.: "Прочность, устойчивость, колебания". Т.З. М.: Машиностроение, 1968.

39. Болотин В.В., Симонов Б.П. Устойчивость упругих панелей с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа. //Изв. АН СССР. МТТ, 1979, №2, с. 129 135.

40. Брайсон А.Е., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972.

41. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.:Наука, 1973, 320 с.

42. Буньков В.Г. Расчет на флаттер крыла малого удлинения. Тр. ЦАГИ, вып 905, 1964.

43. Буньков В.Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента. Труды ЦАГИ, вып 1166, 1969.

44. Буньков В.Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

45. Буньков В.Г., Рыбаков A.A. К расчету оптимальных флаттерных характеристик. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

46. Васидзу К. Вариациоммые методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987, 542 с.

47. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

48. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в механике систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1986, 192 с.

49. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980, 292 с.

50. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

51. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости.- М.: Наука, 1976.

52. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа. //Ученые записки ЦАГИ, т.7, №3, 1976.

53. Ганиев Р.Ф., Закржевский А.Е. Программные движения деформируемых управляемых конструкций. М.: Наука, 1995, 213 с.

54. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. -М.: изд-во МГУ, 1970.

55. Голубев И.С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев.- М.: Машиностроение, 1970.

56. Гопак К.Н. Потеря устойчивости свободным стернем, ускоренно движущимся под действием следящей силы. //Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №4, 1960.

57. Горошко O.A. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета.- Киев, Наукова думка, 1965, 168 с.

58. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек.- В сб.: "Механика. Итоги науки". М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965.

59. Гроссман Е.П. Флаттер. Труды ЦАГИ, вып.284, 1937.

60. Гроссман Е.П. Флаттер хвостового оперения. Труды ЦАГИ, вып.501, 1940.

61. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. М.: Радио и связь, 1987, 71 с.

62. Гуляев В.И., Кошкин В.Л., Рыраховский Л.А. Оптимальное управление движением в центральном силовом поле системы двух тел, соединенных шарниром. //Изв. АН СССР, МТТ, 1989, №6, с. 30-37.

63. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986, 214 с.

64. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

65. Динамика ракет: Учебник для студентов вузов / Абгарян К.А., Калязин Э.Л., Мишин В.П. и др.: Под общ. ред. В.П.Мишина. М.: Машиностроение, 1990. - 464 с.

66. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987, 232 с.

67. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика упругого летательного аппарата. В кн.: Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1982, т. 5, с. 135-197.

68. Докучаев Л.В. Построение областей устойчивого вращения космического аппарата с упругими штангами //Космические исследования, 1969, т. 7, №4, с. 523546.

69. Живов Ю.Г., Сухов В.Н. Устойчивость упругих конструкций свободной балки со следящей силой. Труды ЦАГИ, вып. 1180, 1970, 16 с.

70. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, 543 с.

71. Излучательные свойства твердых материалов. Под общ. редакцией А.Е.Шейндлина, М., 1974.

72. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

73. Ишлинский А.Ю. Механика. Идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985, 624 с.

74. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. М.: Наука, 1986, Кн.2: Механика упругих и абсолютно твердых тел. 416 с.

75. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.

76. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: Из - во Моск. ун - та, 1980, 165 с.

77. Келдыш М.В. Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами. Труды ЦАГИ, вып.357. 1938.

78. Келдыш М.В., Пархомовский Я.М. Колебания крыла с упруго прикрепленным мотором. Труды ЦАГИ, вып. 535, 1941.

79. Кениг Р. Влияние реактивной силы на изгибные механические характеристики ракеты. //Вопросы ракетной техники, 1965, №5.

80. Кириллов О.Н. Оптимизация устойчивости летящего стержня. //Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика. 1999, №1, с. 64-78.

81. Климов Д.М., Маркеев А.П. Динамика неоднородного упругогого кольца в гравитационном поле: Препринт №331. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1988, 42 с.

82. Климов Д.М., Маркеев А.П. Плоские движения упруговязкого кольца в гравитационном поле //Известия АН СССР. МТТ. 1990, №3, с. 3-13.

83. Климов Д.М., Маркеев А.П., Бардин B.C. Квазистатические движения вяз-коупругого кольца с материальной точкой в гравитационном поле: Препринт №510.- М.: Ин-т пробл. мех. РАН, 1992, 31 с.

84. Колесников К.С., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М.: Машиностроение, 1974, 268 с.

85. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975.

86. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-М.:Гостехтеориздат, 1947, 355 с.

87. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

88. Литвинов В.Г. Некоторые вопросы оптимизации пластин и оболочек. //Прикл. механика, 1972, т.8, №11, с. 33 42.

89. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961, 824 с.

90. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. -М.: Наука,, 1975.

91. Лурье К.А., Черкаев A.B. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин. //Изв. АН СССР. МТТ, 1976, №6, с. 157- 159.

92. Лущин Л.П., Шаранюк A.B. Метод конечных элементов в задачах динамики свободных конструкций. //Ученые записки ЦАГИ, т. XXXI, №3-4, с. 156 177.

93. Ляв А. Математическая теория упругости. М.;Л.:Гостехиздат, 1935, 674 с.

94. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1981.

95. Маркеев А.П. Влияние продольных упругих колебаний тела на его быстрые вращения в гравитационном поле //Изв. АН СССР. МТТ. 1989, №6, с. 38-45.

96. Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле //Космические исследования. 1989, т. 27, вып. 2, с. 163-175.

97. Маркеев А.П. Об одном частном случае движения динамически симметричного упруговязкого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле //Космические исследования. 1990, т. 28, вып. 5, с. 643-654.

98. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990, 414 с.

99. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Госте-хиздат, 1957, 476 с.

100. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. ч.2. М., 1994.

101. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск: Наука, 1990, 217 с.

102. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек. В сб.¡"Механика деформируемого твердого тела". Т.П. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР,1978.

103. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. оптимальное армирование оболочек вращения из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1977.

104. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебание упругих систем. -М.: Наука, 1979.

105. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

106. Попов JI.C. О влиянии фюзеляжа и хвостового оперения самолета на вибрации крыла . Труды ЦАГИ, вып.343, 1938.

107. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977.

108. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969.

109. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет носителей космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1983, 296 с.

110. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. -Киев: Наук, думка, 1985, 216 с.

111. Сейранян А.П. Оптимизация веса крыла при ограничении по статической аэроупругости. //Изв. АН СССР. МТТ, №4, 1978.

112. Сейранян А.П. Задача минимизации веса крыла с обратной стреловидностью при ограничении по скорости дивергенции. //Ученые записки ЦАГИ, №6,1979.

113. Сейранян А.П. Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа. //Изв. АН СССР. МТТ, №5, 1980.

114. Сейранян А.П. Пластинка, оптимальная по устойчивости в сверхзвуковом потоке газа. Труды XII Всес. конференции по теории оболочек и пластин. Ереван: исд-во ЕГУ, т.З, 1980.

115. Сейранян А.П. Оптимальная задача об эффективности элерона. //Изв. АН Арм.ССР, Механика, т.ЗЗ, №1, 1980.

116. Сейранян А.П. Анализ чувствительности и оптимизация характеристик аэроупругой устойчивости. Препринт Ин-та проблем механики АН СССР, №162, 1980.

117. Сейранян А.П. Влияние распределения масс и жесткостей на критическую скорость флаттера. //Изв. АН Арм.ССР, Механика, №3, 1981.

118. Сейранян А.П., Арутюнов Ю.А. Оптимизация жесткостных характеристик крыла с применением принципа максимума. //Ученые записки ЦАГИ, т.1, №5, 1976.

119. Сейранян А.П., Шаранюк A.B. Анализ чувствительности частот колебаний механических систем. //Изв. АН СССР, МТТ, №2, 1987.

120. Сейранян А.П., Шаранюк A.B. Оптимизация флаттерных характеристик. //Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1984, №5.

121. Сейранян А.П., Шаранюк A.B. Чувствительность и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости. //Изв. АН СССР. МТТ, №5, 1983.

122. Сейранян А.П., Шаранюк A.B. Задачи оптимизации динамической устойчивости. Динамика и прочность машин: Респ. медвед. научн.-техн. сб. Вып. 40.- Харьков: Вища школа, изд-во при ХГУ, 1984, с. 98 102.

123. Серегин Г.А., Троицкий В.А. О наилучшем расположении плоскостей упругой симметрии в ортотропном теле. //Прикл. матем. и мех., 1981, т. 45, Вып. 1, с. 185 189.

124. Сидоренко В.В. Исследование устойчивости стационарных движений упругого кольца в плоскости круговой орбиты: Препринт №108, М.: Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1986, 28 с.

125. Современные компьютерные методы решения задач механики / Веретенников В.Г., Карпов И.И., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Шаранюк A.B.: Учебное пособие.- М.:Изд-во МАИ, 1999. 144 с.

126. Строительная механика летательных аппаратов /Образцов И.Ф., Булычев JI.A., Васильев В.В. и др. М.: Машиностроение, 1986, 536 с.

127. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985, 472 с.

128. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1986, - 288 с.

129. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. -М.: Машиностроение, 1976.

130. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.

131. Украинцев Г.В., Фролов В.M. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. //Ученые записки ЦАГИ, т.З, №4, 1972.

132. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. -М.: Машиностроение, 1988, 392 с.

133. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления.- М.: Наука, 1978.

134. Феодосьев В.И. Об одной задаче устойчивости. //ПММ, 1965, т. 29, вып. 2.

135. Физика космоса. Маленькая энциклопедия. Глав. ред. С.Б.Пикельнер. -М.: Сов. энциклопедия, 1976, 655 с.

136. Физическая энциклопедия. Глав. ред. А.М.Прохоров, т. 1. М., 1988.

137. Физическая энциклопедия. Глав. ред. А.М.Прохоров, т. 4. М., 1994.

138. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Физматгиз, 1959.

139. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование. Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983, 478 с.

140. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами //ПММ. 1978, т. 42, вып. 1, с. 34-42.

141. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями,- М.: Наука, 1980.

142. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы, М.: Наука, 1973.

143. Черноусько Ф.Л., Шамаев A.C. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и диссипативными элементами //Изв. АН СССР. МТТ. 1983, №3, с. 33-42.

144. Шаранюк A.B., Яремчук Ю.Ф. Проектирование конструкции крыла из условия максимизации эффективности элеронов. //Ученые записки ЦАГИ, т. XV, №2, 1984.

145. Шиманский Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1964, 408 с.

146. Эшли X. Динамика крупных гибких объектов на орбите //Ракетн. техника и космонавтика, 1967, т. 5, №3, с. 92-104.

147. Яремчук Ю.Ф. Исследование влияния параметров жесткости конструкции самолета на характеристики эффективности его органов управления. Труды ЦАГИ, вып. 1831, 1977.

148. Anderson M.S. Vibration of Prestressed Periodic Lattice Structures //AIAA J., v. 20, №4, 1982, pp. 551-555.

149. Argyris J., Mlejnek H.-P. Dynamics of Structures. North Holland, 1991, v. 5.

150. Armand J. L. Application of optimal control theori to structural optimization: analitical and numerical approach. Proc. IUTAM Sympozium on Optimization in Structural Design, Warsaw, Berlin, Springer-Verlag, 1973, p. 15 - 39.

151. Armand J. L., Vitte W.T. Foundation of aeroelastic optimization to continuous systems. Report SUDAAR №390, Stanford, 1970.

152. Arora J.S., Govil A.K. An effecient method for optimal structural design by substructuring. //Intern. J. Computers and Structures, 1977, VIII, v.7, №4, p. 507 515.

153. Artjukh A.I., Banichuk N.V. Application of optimization methods to identification problems. //Proc. of the Workshop on Optimization and Optimal Control. Ber. Univ. Jyvaskyla Math. Inst. 58, 1993, pp. 5-16.

154. Ashley H. Observation on the dynamic behavior of large flexible bodies in orbit //AIAA J. 1967, v. 5, No. 3, pp. 460-469.

155. Ashley H. On making things the best-aeronautical uses of optimization. //Journal Aircraft, v.19, №1, Jan. 1982, p. 228 234.

156. Ashley H., Mcintosh S.С. (jr.) Applications of aeroelastic constraints in structural optimization. //Proc. XII Intern. Congr. Appl. Mech. Stanford Univ., 1968, Berlin: Springer, 1969, pp. 100-113.

157. Balas M.J. Active Control of Flexible Systems //J. of Optimization Theory and Applications, vol. 25, 1978, No. 3, pp. 415-436.

158. Banichuk N.V. Application of analytical models for the optimization of large structural systems. In: Optimization of Large Structural Systems (Ed.: G.I.N.Rozvany), vol. II, Dordrecht, Kluwer Academic Publisher, 1993, pp. 1051-1072.

159. Banichuk N.V. Optimal design of anisotropic structural elements. In: P.Pedersen (Ed.) Optimal Design with Advanced Materials, Amsterdam, Elsevier, 1993, p.37-50.

160. Banichuk N.V. Optimization problems for elastic anisotropic bodies,//Arch. Mech., 33, 6, 1981, p.347-363.

161. Banichuk N.V. Problems and methods of optimal structural design. N.Y.: Plenum Press, 1983, 313 p.

162. Banichuk N.V., Barboni R., Peroni I. Composite materials influence on aeroelastic and structural design. //Proc. Intern. Count. Aeronaut. Soc. USA, Seatle, 1982.

163. Banichuk N.V., Klimov D.M., Sokolow B.N. Modeling and Design of Large Space Antennas. International Aerospace Congress, 1994, Moscow IAC'94.

164. Banichuk N.V., Larichev A.D. Optimal design problems for curvilinear shallow elements of structures. //Optimiz. Control Appl. Mech., 1984, v. 5, No. 3, pp. 197-205.

165. Banichuk N.V., Makeev E.Y. Sensitivity Analysis and Optimal Design for Large Unrestrained Structures //Proc. 38 Congress of the International Astronautical Federation, Brighton, United Kingdom, 1987.

166. Banichuk N.V., Sharanyuk A.V. Application of quaternions to 3-d optimization problem of material distributions in solids and structures. //Proc. Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. Lisboa, 1994, University Press.

167. Banichuk N.V., Sharanyuk A.V. Modeling and Analysis of Large Space Structures. 40 th Congress of Int. Astronautical federation. Oct. 7 - 12, 1989, Malaga, Spain, IAF - 89 - 346.

168. Baruh M. Correction of stiffness matrix using vibration tests. //AIAA J., v. 20, №3, 1982, p. 441 442.

169. Berke L. Khot N.S. Use of optimality criteria methods for lardg scale system. AGARD LS-70, 1974,1 1 -1 - 29.

170. Brekwell J.V. Stability of an orbiting ring //AIAA Paper, 1980,No. 57.

171. Bert M., Calkin E.D., Sholar M.S. Linear estimation of structural parameters from dynamic test data. AIAA/ASME 11th Strustures, Structural dynamics and Materials Conference. Denver, Colorado /April, 1970, p. 22 - 24.

172. Canavin J.R., Likins P.W. Flotating reference frames for flexible spacecraft //J. Spacecraft and Rockets, 1977, v. 14, No. 12, pp. 724-732.

173. Cardani C., Mantegazza P. Calculation of eigenvalue and eigenvector derivatives for algebraic flutter and divergence eigenproblems. //AIAA J., v. 17, №4, 1979.

174. Cinquini C., Rovati M. Optimal orientation of orthotropic properties for continuum bodies and structural elements. In:G. I. N. Rozvany (Ed.). Optimization of Large Structural Systems. Vol. 2, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993, p.707-729.

175. Claudon J.L. Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory loads. //J. Mehanique 14, 1975, p. 531 543.

176. Claudon J.L. Determination et maximization de la charge critique d'une colonne de Hunger en Preseuse d'amortissement. //ZAMP 29, 1978, p. 226 236.

177. Claudon J.L.,Sunakawa M. Optimizing distributed structures for maximum Rutter load. //AIAA J. 19, 1981, p.957 959.

178. Dinkier D., Hanle U., Krôplin B. Dynamics of flexible elastic structures with geometric nonlinearities. In: Dynamics and Control of Structures in Space II. Sauthampton, Computational Mechanics Publications, 1993, pp. 61-73.

179. Dosch J., Leo D., Inman D. Modeling and control for vibration suppression of a flexible smart structure. In: Dynamics and Control of Structures in Space II. Sauthampton, Computational Mechanics Publications, 1993, pp. 603-618.

180. Dwyer W.J., Emerton R.K. An automated procedure for the optimization of practical aerospace structures. AFFDL TR - 70 - 118, 1971.

181. Edberg D.L. Mateial Damping of Simple Structures in a Simulated Space Environment //J. Spacecraft, v. 23, No. 3, pp. 288-296.

182. Ellis W., Dobbs S.K., Miller J.D. Structural design and wing turnel testing of a forvard swept foghter wing. AFWAL TR - 80 - 3073, 1980.

183. Flower W.R., Schmidt L.C. Analysis of Space Truss as Equivalent Plate //J. of the Structural Division, ASCE, v. 90, No. ST12, Dec. 1971, pp. 2777-2789.

184. Gellatly R.A., Berke L. Optimal structural design. AFFDL TR - 70 - 165, 1971.

185. Gellatly R.A., Berke L. A magic compartible large scale automated minimum weight design program. AFFDL TR - 74 - 97, 1974.

186. Gellatly R.A., Helenbrook R.G., Kocher L.H. Multiple constraints in structural optimization. //J. for Numerical Methods in Enginneering, v. 13, 1978, №2, p. 297 309.

187. Gevarter W.B. Basic relations for control of flexible vehicles //AIAA J. 1970, vol. 8, No. 4, p. 666-672.

188. Greene W.H., Sobieszczanski Sobieski J. Minimum mass sizing of a large low-aspect ratio airframe for flutter-free performance. //J. Aircraft, v. 19, №3, 1980.

189. Greene W.H., Sobieski J.S. Minimum mass sizing of a large low-aspect ratio airframe for flutter-free performance. NASA TM 81 - 818, 1980.

190. Gwin L.B., Taylor R.F. General method for flutter optimization. //AIAA Paper №73 391.

191. Haftka R.T. Automated procedure for design of wing structures to satisfy strength and flutter requirements, NASA TN D - 7264, 1973.

192. Haftka R.T., Prasad B. Programs for analysis and resizing of complex structures. //Int. J. Computers and Structures, 1979, IV, v. 10, №1 2, p. 323 - 330.

193. Haftka R.T., Starnes J.H. Application of quadratic extented penalty function for structural optimization. //AIAA J. , v. 14, 1976.

194. Haftka R.T., Starnes J.H., Barton F.W. Comparison of two types of structural optimization procedures for satisfying flutter requirements. //AIAA Paper 74 405, 1974.

195. Haftka R.T., Starnes J.H., Barton F.W., Dixon S.C. Comparison of two types of structural optimization procedures for satisfying flutter requirements. //AIAA J., v. 13, №10, 1975.

196. Haftka R.T., Yates E.C. On repititive flutter calculations in structural design. //J. Aircraft, 1976, v. 13, №7, p.454 461.

197. Hanaoka H., Washizu K. Optimum design of Beck's column. //Computer and Structures, 1980, №11, p. 473 480.

198. Haug E.J. Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Volume I: Basic Methods, Allyn & Bacon, Boston, 1989.

199. Haug E.J. Elements and methods of computational dynamics. In: Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics (Ed.: E.J.Haug), Berlin, Springer-Verlag, 1984, pp. 3-38.

200. Hang E.J., Feng T.T. Optimal design of dynamically loaded continuous structures, //Int. J. for Numerical Methods in Engineering, 1978, v. 12, №2, p. 299 317.

201. Hedgepeth J.M. Accuracy Potentials for Large Space Antenna Reflectors with Passive Structure. //J.Spacecraft, v. 19, No. 3, 1982, pp. 211-217

202. Hedgepeth J.M. Application of High-Fidelity Structural Deployment Analysis to the Development of Large Depoyable Trusses //Proc. 40th Congress of the International Astronautical Federation, Oct. 7-12, 1989, IAF-89-339.

203. Hedgepeth J.M. Influence of Fabrication Tolerances on the Surface Accuracy of Large Antenna Structures. //AIAA Journal, v. 20, No. 5, 1982, pp. 680-686

204. Hutton D.V. Modal Analysis of a Deployable Truss Using the Finite Element Method //J. of Spacecraft and Rocets, 1984, v. 21, No. 5, pp. 468-472.

205. Isakson G., Pardo H., Lerner E., Venkayya V.B. ASOP 3, A program for optimum structural design to satisfy strenght and deflection constraints. //J. Aircraft, v. 15, 1978, p. 422 - 428.

206. Johnson E.H., Rizzi P., Ashley H., Segenreich S.A. Optimization of continuous one-dimensional structures under steady harmonic excitation. //AIAA J., v. 14, 1976, p. 1690 1698.

207. Johnson T.L. Progress in Modelling and Control of Flexible Spacecraft. //Journal of the Franklin Institute, v. 315, No. 5/6, 1983, pp. 495-520.

208. Keller J.B. The shape of the strongest colomn. //Arch. Rational Mech. and Anal., 1960, v. 5, №4, p. 275 285.

209. Kirillov O.N., Seyranian A.P. Optimization of stability of a flexible missaile under follower thrust. //А1АА Paper 98 4969, 1998.

210. Kiusalaas J., Reddy G.B DESAP 2 a structural design program with strees and buckling constraints. - NASA CR - 2797, 1977.

211. Khot N.S. Computer program (OPTCOMP) for optimization of composite structures for minimum weight design. AFFDL - TR - 76 - 149, 1977.

212. Komkov V. Sensitivity analysis in some engineering applications. In: Lecture Notes in Mathematics (Eds.: A.Doldand, B.Eckmann), Berlin, Springer-Verlag, 1984, pp. 1-30.

213. Kumar V.K., Bainum P.M. Dynamics of a flexible body in orbit // AIAA Paper, 1978, No. 78-1418.

214. Kumar V.K., Bainum P.M. Dynamics of a flexible body in orbit //J.Guidance and Control, 1980, v. 3, No. 1, pp. 90-93.

215. Lansing W., Dwyer W., Emerton В., Ranalli E. Application of fully stressed design procedure to wing and empennage structures. //J. Aircraft, №8, 1971.

216. Lansing W., Lerner E., Taylor R.F. Application of structural optimization for strenght and aeroelastic design requirements. AGARD - R - 664, 1977.

217. Leipholz H. Analysis of nonconservative, nonholonomic system. Proc. IUTAM Cong., Toronto, Canada, Springer-Veglas, New York, 1980.

218. Likins P., Ohkami Y., Wong C. Appendage modal coordinate trunkation criteria in hybrid coordinate dynamic analysis //J. of Spacecraft and Rocets, v. 13, 1976, No. 10, pp. 611-617.

219. McDonald E.P. The minimum weight design of wing for flutter conditions. //J. Aero Sci, 1953, v. 20, №8.

220. Mcintosh S.C., Ashley H. On the optimization of discrete structures with aeroelastic constraints. //Computers and Structures, v. 8, №3, 1978.

221. Mcintosh S.C., Easter F.E. Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. //AIAA J., v. 6, №7, 1968, p. 962 964.

222. Maxwell J.G. On the stability of the motion of Saturn's rings. In: The scientific paper of J.G.Maxwell. Paris: Hermann, 1927, v. 1, pp. 288-376.

223. Meirovich L., Nelson H.D. On the High-Spin Motion of a Satellite Containig Elastic Parts //J. of Spacecraft and Rocets, v. 3, Nov. 1966, pp. 1597-1602.

224. Modi V.J. Attitude dynamics of a satellite with flexible appendages (a brief review) //J. Spacecraft and Rockets, 1974, v. 11, No. 11, pp. 743-751.

225. Natori M., Ogura S., Motohashi S. Vibration Control of Truss Structures Using Active Members //Prac. 39th Congress of the International Asronautical Federation, Oct. 8-15, 1988/Bangalore, India, IAF-88-290.

226. Nayfeh A.H., Hefzy M.S. Continuum Modeling of the Mechanical and Thermal Behavior of Discrete Large Structures //AIAA J., v. 19, No. 6, 1980, pp. 766-773.

227. Newmark N.M. A Method of Computation for Stuctural Dynamics //ASCE J. of Engineering Mechanics Division, v. 85, 1959, pp. 67-94.

228. Nicholson D.W. Stable Response of Nonclassically Damped Mechanical Systems. //Appl. Mech. Rev., v. 40, No. 6, 1987, pp. 733-740.

229. O'Connell R.F., Hassig H.J., Radovcich N.A. Study of flutter related computational procedures for minimum weight structural sizing of advanced aircraft-supplemental data. NASA CR - 132722, 1975.

230. O'Connell R.F., Hassig H.J., Radovcich N.A. Structural optimization with flutter speed constraints using maximized step size. //J. Aircraft, v, 14, 1977.

231. Odeh F., Tadjbaksh I. The shape of the strongest column with a follower load. //J. Opt. Theory and Appl., 15, 1975.

232. Olhoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped colums. //Int. J. Solids and Structures, v. 13, №7, 1977, p. 605 614.

233. Pedersen P. On sensitivity analysis and optimal design of specially orthotropic laminates, //Eng. Opt., 11, 1987 ,p.305-385.

234. Pedersen P. On optimal orientation of orthotropic materials, //Struct. Optim.,1, 1989, p.101-106.

235. Pedersen P. On thickness and orientational design with orthotropic materials. //Struct. Optim, No.3, 1991, 69-78.

236. Pedersen P., Seyranian A.P. Sensetivity analysis for problems of dynamic stability. //DCAMM Report №229, 1982.

237. Pierson B.L. A survej of optimal structural design under dynamic constraints, //Int. J. for Numerical Methods in Engineering, v. 4, 1972, p.491 499.

238. Pierson B.L. Discrete variable approximation to minimum weight paneles with fixed flutter speed. //AIAA J., v. 10, №9, 1972.

239. Pierson B.L. Aeroelastic panel optimization with aerodynamic damping. // AIAA J., v. 13, №4, 1975.

240. Pierson B.L. Panel flutter optimization by gradient projection. //Int. J. Numer. Meth., v. 9, №2, 1975.

241. Pierson B.L., Hajela P. Optimal aeroelastic design of an unsymmetrically supported panel. //J. Struct. Mech., 1980, v. 8, №3.

242. Pines S., Newman M. Constrained structural optimization for aeroelastic requirements. //J. Aercraft, v. 11, №6, 1974.

243. Plaut R.H. The effect of various parameters on an aerroelastic optimization problem. //J. Opt. Theory and Appl., v. 10, №5, 1972.

244. Plaut R.H. Optimal design for strability under dissipative, gyroscopic, or circulatory loads. // Proc. IUTAM Symp., Warsaw, Poland, Srpinger-Verlag, 1975, p. 168 180.

245. Plaut R.H. Determining the nature of instability in nonconservative problems. //AIAA J., v. 10, 1972, p. 967 968.

246. Prager W., Taylor J.E. Problems of optimal structural design. //J. Appl. Mech. Trans. ASMER. 1968, v. 35, №1, p. 102 106.

247. Prasad S.N., Herrmann G. The usefulness of adjoint systems in solving nonconservative sttability problems of elastic continua. //Int. J. Solids Structures, №5, 1969.

248. Prasad S.N., Herrmann G. Adjoint variational methods in nonconservative stability problems. //Int. J. Solids and Structures, №8, 1972.

249. Radovcich N.A. Structural optimization with flutter speed and minimum gage constraints. 1974, №5, LP - 26405 (ADA015 604).

250. Rangacharyulu M.A.V., Dome G.T.S. A survey of structural optimization under dynamic constraints. //Shock and Vibration, №12, 1979.

251. Rao S.S. Rates of chahge of flutter Mack number and flutter frequency. //AIAA J., v. 10, №11, 1972.

252. Rizzy P. Optimization of multi-constrained structures based on optimality criteria. // Proc. AIAA/AIAA/SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conf., May 1976, King of Prussia.

253. Redisill C.S., Bhatia K.G. Optimization of complex structures to satisfy flutter requirements. //AIAA J., v. 9, №8, 1971.

254. Rodden W.P. A method for deriving structural influence coefficients from ground vibration tests. //AIAA J., v.5, №5, 1967, p. 991 1000.

255. Rudisill C.S., Bhatia K.G. Second derivatives of flutter velocity and the optimization of aircraft structures. //AIAA J., v. 10, №12, 1972.

256. Rodden W.P. A method for deriving structural influence coefficients from groud vibration tests. //AIAA J., v. 5, No. 5, 1967, pp. 991-1000.

257. Santiny P. Stability of flexible spacecrafts //Acta Astronáutica, 1976, v. 3, No. 9-10, pp. 685-713.

258. Santini P., Balis-Crema L., Peroni I. Structural optimization in aeroelastic conditions. //Aerotécnica Missile e Spazio, 1976, II IV, v. 55, №1 - 2, p. 83 - 93.

259. Santini P., Betti F., Gasbarri P., Rossi A. Control of flexible multi body systems by means of intelligent structures. - In: Dynamics and Control of Structures in Space II. Sauthampton, Computational Mechanics Publications, 1993, pp. 585-602.

260. Schiehlen W.O. Computer generation of equations of motion. In: Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics (Ed.: E.J.Haug), Berlin, Springer-Verlag, 1984, pp. 183-215.

261. Segenreich S.A., Mcintosh S.C. Weight minimization of structures for fixed flutter speed via an optimality criterion. //AIAA Paper, 75 779, 1975.

262. Seyranian A.P. Homogenious functional and structural optimization problems. //Int. J. Solids and Structures, v. 15, №10, 1979.

263. Seyranian A.P. Sensitivity analysis and optimization of aeroelastic stability. //Int. J. Solids Structures, v. 18, №9, 1982.

264. Siegel S. A flutter optimization program for aircraft structural design. //AIAA Paper, 72 795, 1972.

265. Simodynes E.E. Gradient optimization of structural weight for spicified flutter speed. //J. Aircraft, v. 11, №3, 1974.

266. Shrivastava S.K., Maharana P.K. Flexural vibration of gravity- stabilized, structurally damped, large flexible satellites //J.Guidance Control and Dynamics, 1985, v. 8, No. 2, pp. 214-222.

267. Shrivastava S.K., Maharana P.K. Longitudinal vibration of gravity-stabilized, large, damped spacecraft modeled as elactic continua //J. Guidance Control and Dynamics, 1985, v. 8, No. 6, pp. 689-696.

268. Sobieski J.S., Barthelemy J.F., Riley K.M. Sensitivity of optimum solutions to problem parameters. // Proc. AIAA/ASME/ASCE/AHS 22nd Structures, Sructural Dynamics and Materials Conference, Atlanta, Ga., April, 1981.

269. Soni M.L., Kluesener M.F., Drake M.L. Damping Synthesis and Damped Design for Flexible Spacecraft Structures. //Computer and Structures, v. 20, No. 1-3, 1985, pp. 563-574.

270. Stroud W.J. Automated structural design with aeroalastic constraints: "A Review and Assessment of the State of the Art". //ADM, v. 7, ASME, 1974.

271. Sudararajan C. Optimization of non-conservative elastic system with stability constraints. //J. Opt. Theory Applic., 16 (34), 1975.

272. Tadjbaksh I., Keller J.B. Strongest columns and isoperimentric inequalities for eigenvalue. //J. Appl. Mech., 1962, v. 29, №1.

273. Taylor J.E. Scaling a discrete structural model to match measured modal frequencies. //AIAA J., v. 5, No. 11, 1977, pp. 1647-1649.

274. Taylor J.E. The strongest column, an energy approach. //J. Appl. Mech. Trans. ASME, 1967, v. 34, m.

275. Taylor R.F., Gwin L.B. Application of a general methods for flutter optimization. //AGARD CP-123, 1973.

276. J.Tomsen, Optimization of composite discs. Struct. //Optim.3, 1991,p.89-98.

277. Turner M.J. Optimization of structures to satisfy flutter requirements. //AIAA J., v. 7, №5, 1969.

278. Venkayya V.B. Design of optimum structures. //Int. J. Computers and Structures, v. 1, m 2, 1971.

279. Venkayya V.B. Structural optimization: A Review and Some Recommendations. //Int. J. Numer. Meth. Eng., 13, 1978.

280. Venkayya V.B., Khot N.S., Berke L. Application of optimality criteria to automated design of large practical structures. //AGARD CP-123, 1973.

281. Vera K. Generalization of an energetic optimality condition for non-conservative system. //J. Struct. Mech., 2, 1973.

282. Vitte W.J., Mcintosh S.C., Ashley H. Application of aeroelastic constraints in structural optimization. Stranford University, //SUDDAR Report №390, 1968.

283. Weisshaar T.A. Aeroelastic optimization of a panel in high mach number supersonic flow. //J. Aircraft, v. 9, №9, 1972.

284. Weisshaar T.A. Panel flutter optimization a refined finite element approach. //Int. J. Numer. Meth. Eng., v. 10, №1, 1976.

285. Weisshaar T.A. Divergence of forvard sweept composite wings. //AIAA Paper 79 72, 1979.

286. Weisshaar T.A., Plaut R.H. Structural optimization under non-conservative loading. //Proc. NATO Advanced Study Inst., p. 843 864, Sijthoff and Noordhoff, Amsterdam, 1981.

287. Wilkinson K., Lerner E., Taylor R.F. Practical design of minimum-weight aircraft structures for strength and flutter requirements. //J. Aircraft, v. 13, 1976.

288. Wittenburg J. Dual quaternions in the kinematics of spatial mechanisms. In: Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics (Ed.: E.J.Haug), Berlin, Springer-Verlag, 1984, pp. 129-145.

289. Wu S.C., Haug E.J., Kim S.S. A variational approach of dynamics of flexible multibody systems. //Mech. Struct. Mash., v. 17, 1989, pp. 3-32.

290. Yoo W.S., Haug E.J. Dynamics of articulated structures: Part 1. Theory. //J. Struct. Mech., v. 14, 1986, pp. 105-126.

291. Yoo W.S., Haug E.J. Dynamics of articulated structures: Part 2. Computer implementation and applications. //J. Struct. Mech., v. 14, 1986, pp. 177-189.

292. Ziegler H. Principles of structural stability. Blaisdell, Waltham, Mass., 1969.

293. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 482 с.

294. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

295. Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы. //ПММ, 1976, т. 40, вып. 4, с. 606 — 610.

296. Балинский А.И. Поведение частот гироскопических систем. — В кн.: Математические нетоды и физики-механические поля. Киев: Наук, думка, 1978, вып. 7, с. 20, 21.

297. Метелицын И.И. Влияние изменения параметров линейных гироскопических систем на частоты колебаний и коэффициенты затухания. //Докл. АН СССР, 1963, т. 153, №3, с. 540 — 542.

298. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 269 с.

299. Братусь А.С., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственных значений. //ПММ, 1983, т. 47, вып. 4, с. 546 — 554.

300. Братусь А.С., Сейранян А.П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений. //ПММ, 1984, т. 48, вып. 4, с. 657 — 667.

301. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций. //Изв. АН СССР, МТТ, 1982, №2, с. 110 124.

302. Arora J.S., Haug E.J. Discussion in optimum structural design and dynamic constraints. //J. Structural Div., Proc. ASCE, 1977, v. 103, No. 10, p. 2071 2074.

303. Гринев В.Б., Васильченко В.Ф. Оптимизация балок при непериодическом нагружении. В. кн.: Динамика и прочность машин. Харьков: Выща школа, 1979, вып. 29, с. 25 - 30.

304. Yamakawa Н. Optimum structural designs for dynamic. In: New Directions in Optimum Stuctural Design (eds. Artek E., Gallagher R.H., Ragsdell K.M., Zienkiewicz O.C.). N.Y.: Wiley, 1984, p. 249 - 268.

305. Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем. /Под ред. Болотина В.В., М.: Машиностроение, 1978, 352 с.