Методы волновой динамики в задачах гашения колебаний упругих элементов машин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, доктор физико-математических наук Милосердова, Ирина Валентиновна

• Милосердова, Ирина Валентиновна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Милосердова, Ирина Валентиновна

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение ■

Глава I ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ ^

п. 1.1 Вариационный способ вывода уравнений

движения и краевых условий

п. 1.2 Уравнения изменения энергии 31 п. 1.3 Некоторые модели колебаний упругих

континуальных и регулярных систем

Выводы

Глава II. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ

ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

п.2.1 Волны в линейных упругих системах

п.2.2 Волны в линейных системах с нестационарным

закреплением на границе

2.2.1. Крутильные колебания в вале с нестационарной нагрузкой.

Точное решение в областях устойчивости

2.2.2. Расчет областей параметрической неустойчивости и граничных режимов

2.2.3. Взаимодействие вынужденных и параметрических колебаний

п.2.3 Нелинейные волны в стержнях

2.3.1. Нелинейные периодические волны в стержне с квадратичной нелинейностью среды

109

2.3.2. Продольные колебания в стержне с

кубической нелинейностью

п.2.4 Импульсные волны в стержне с нелинейными

граничными закреплениями

Выводы

142

Глава III. ТОРЦЕВОЙ ГАСИТЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ, КРУТИЛЬНЫХ И ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ

п.3.1 Гаситель продольных колебаний стержня

3.1.1. Теория простейшего согласованного гасителя

3.1.2. Исследование влияния поперечного движения среды на параметры гасителя

п.3.-2 Гаситель крутильных колебаний

п.3.3 Торцевой гаситель изгибных колебаний балки

3.3.1. Упруго-инерционные гасители, рассчитанные в рамках элементарной теории

3.3.2. Согласованный демпфер изгибных колебаний балки (модель Тимошенко)

п.3.4 Гашение колебаний стержня конечной длины

3.4.1. Оптимальный гаситель свободных продольных колебаний стержня

3.4.2. Гашение вынужденных продольных колебаний стержня, нагруженного оптимальными демпферами

3.4.3. Вынужденные колебания балки с согласованными демпферами на концах

Выводы

Глава IV. ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ 198 СТРУКТУРАХ

п.4.1 Гашение крутильных колебаний трансмиссии

п.4.2 Расчет параметров согласованного гасителя

продольных колебаний упругой гусеницы

п.4.3 Уменьшение поперечных колебаний

гусеничной ветви путем согласования

Выводы

Глава V. СОГЛАСОВАНИЕ УПРУГИХ СИСТЕМ С

ПОМОЩЬЮ БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫХ

СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ п.5.1 Согласование стержней по продольным,

крутильным и изгибным колебаниям

5.1.1. Отражение и прохождение волн на границе

двух участков стержня

5.1.2. Согласование импедансов 236 п.5.2 Согласование трансмиссий по крутильным

колебаниям

п.5.3 Соединительный элемент в виде

криволинейного стержня

Выводы

Глава VI. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ГАСИТЕЛИ КОЛЕБАНИЙ

п.6.1 Поглотитель продольных колебаний стержня в виде вязкоупругого стержня с переменной площадью Поперечного стержня

п.6.2 Распределенный резонансный гаситель

крутильных и продольных колебаний стержня

п.6.3 Гашение продольных колебаний с помощью

двух подстроенных элементов

Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы волновой динамики в задачах гашения колебаний упругих элементов машин»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена разработке теоретических основ методов гашения колебаний упругих элементов машин, базирующихся на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии.

Актуальность проблемы. Тенденции развития техники, идущие в направлении увеличения мощности и быстродействия машин, повышения их надежности и долговечности, усложнения технологических процессов и усиления роли экологического фактора, сопровождаются ужесточением требований к допустимым уровням вибраций и шумов. Высокие требования по уровням вибраций, предъявляемые к конструкциям, ставят перед необходимостью разработки эффективных методов уменьшения вибраций и шумов, а также динамических нагрузок в элементах машин.

Для борьбы с недопустимыми вибрациями конструкций используются различные средства и методы [5, 18, 55, 59, 82, 85, 86, 94, 157, 170, 171]: применяются динамические гасители самых разнообразных конструкций; используется виброизоляция; вносятся изменения в конструкцию машины с целью отстройки от резонансных частот и повышения демпфирующих свойств системы; пытаются устранить или снизить виброактивность самого источника колебаний, например, с помощью балансировки и уравновешивания машин и др. Наиболее универсальные подходы и общие принципы виброзащиты, а также достигнутые в этой области итоги на соответствующий момент подведены в [ 55 ]. Естественно, что каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки, свою рациональную область применения. В частности, эффективность методов и успех решения проблемы существенно опирается на специфику объекта виброзащиты и происходящих в нем динамических процессов.

По мере возрастания скоростей работы машин при анализе и прогнозировании их динамического поведения все чаще оказывается необходимым учитывать пространственную структуру колебаний, поскольку она становится сравнимой с размерами элементов машин . Для таких систем, которые необходимо рассматривать как распределенные или многочастотные, задача понижения колебаний сталкивается с особыми трудностями [5, 55, 59, 82, 84, 85, 147]. Так, например, если спектр возмущающего воздействия охватывает большое количество резонансных частот защищаемой системы, то кон-струирование и расчет традиционных динамических гасителей весьма затруднителен и фактически" требует создания многомассовой кон-струкции, не менее сложной, чем объект виброзащиты. При этом возникает далеко не простая задача отыскания параметров гасителей, числа и мест их установки в системе.Причем, как правило, такие гасители используются для достижения локального эффекта, то есть подавления колебаний в местах установки гасителей, в то время как в других местах системы вибрационное состояние может даже ухудшиться

При расчете динамических гасителей распределенных систем, а также теоретическом обосновании других способов виброзащиты применяются традиционно развиваемые методы решения соответствующих задач динамики упругих систем [54, 84, 115]. Как правило, они основаны на сведении исходной континуальной системы к конечномерной дискретной системе, которая затем анализируется с помощью асимптотических методов теории колебаний или численно. Благодаря своим довольно универсальным возможностям такой "колебательный" подход, казалось бы, удовлетворяет многие практические потребности и наиболее эффективным является при изучении одно- или двухчастотных колебаний. Поскольку распределенная система по существу заменяется системой с конечным числом степеней свободы, то естественно, что в ней не следует ожидать эффектов,

отличных от тех, которые могут иметь место в хорошо изученных сосредоточенных системах [54, 13, 116].

Проблема создания эффективных методов гашения колебаний упругих элементов машин требует для своего решения углубленной разработки физических и математических основ теории колебаний распределенных систем, а именно, выявления достаточно полного набора качественных особенностей их поведения и определения математических подходов, учитывающих эти особенности.Для многочастотных и распределенных систем принципиально новые подходы к проблеме виброгашения могут быть предложены на основе рассмотрения динамических процессов с точки зрения теории волн. В основе этих подходов лежит идея согласования потоков волновой энергии.

С позиций знания физической природы динамических процессов любую машинную конструкцию можно рассматривать как сложную колебательную систему, состоящую из стержней, балок, оболочек, в которой всегда имеются источники колебаний (двигатель, неточно выполненные детали и т. п.). От источников колебаний возмущения распространяются по конструкции машины, отражаясь на стыках, неоднородностях, и, таким образом, создавая шумы, спектр которых расширяется при перекачке энергии на нелинейных элементах в область высоких частот. Наличие многократных переотражений создает условия для возникновения локальных резонансов и концентрации энергии колебаний на отдельных участках системы, что является распространенной причиной повышения динамических нагрузок в элементах машин.Исключить возникновение резонансов и тем самым понизить уровень колебаний в системе можно, обеспечив согласование всех элементов конструкции посредством устранения отраженных волн. Этого можно достичь путем присоединения к системе концевых безотражательных гасителей и введения в местах соединения участков с отличающимися параметрами безотражательных соединительных

элементов. В этом случае достигается более равномерное распределение кинематических и динамических характеристик по длине системы в режиме бегущей волны и в этом смысле обеспечивается наименьший уровень колебаний.

Эффект отражения волн от препятствий и неоднородностей и принцип согласования хорошо изучен в электродинамике, оптике, акустике в основном применительно к простейшим системам, описываемым волновым уравнением [20, 95, 123, 129]. Систематическое изложение теории отражения электромагнитных и акустических волн от границ раздела сред и слоев дано в [ 19 ]. Результаты этих исследований получены, главным образом, для безграничных сред и, вообще говоря, неприменимы для анализа динамики упругих систем, так как для последних принципиально важен учет конечности их размеров. Кроме того, упругие элементы машин обладают сложными и своеобразными дисперсионными и нелинейными свойствами и описываются уравнениями в частных производных четвертого, шестого порядка и выше [ 64 ]. Волновые эффекты в таких системах имеют специфические особенности проявления и требуют дальнейшего изучения с целью их правильного учета.

В последние годы исследования, связанные с изучением волн в машинах, оформились в новое научное направление - волновая динамика машин, которое получило признание после выхода в свет монографии И.И.Артоболевского, Ю.И. Бобровницкого, М.Д.Генкина " Введение в акустическую динамику машин ". М. Наука, 1979 , коллективной монографии " Волновая динамика машин "( ред. К.В.Фролов, Г.К.Сорокин) М. Наука, 1991, а также монографии В.Е.Накорякова, Б.Г.Покусаева, И.Р.Шрейбера " Волновая динамика газо- и парожидкостных сред". М. Энергоатомиздат, 1990.

При анализе волновых процессов можно использовать как аналитические, так и численные методы. Выбор того или иного

конкретного метода анализа зависит от характера задачи, опыта исследователя и традиций научной школы, к которой данный исследователь относится. В традиции нижегородской школы, представителями которой являютя Ю.И.Неймарк,

М.И.Фейгин,А.И.Весницкий, Г.Г.Денисов, Р.Г.Мусарский, входит исследование динамических процессов аналитическими методами теории колебаний и волн, позволяющими получить решение в замкнутой форме. При изучении динамики конструкций при кратковременных ( ударных) нагрузках эффективными являются численные методы (см., например, Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. " Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости JI. Судостроение, 1984; Баженов В.Г., Кочетков A.B., Михайлов Г.С., Угодчиков А.Г. Взаимодействие упругопластических тонкостенных элементов конструкций в ударными волнами в идеальных сжимаемых средах // Изв.АН СССР. МТТ.1979.№2.С.141-149.). Численные методы также широко применяются при изучении упруго-пластических волн в конструкциях ( Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн в твердых телах // Сообщения по прикладной математике.М. ВЦ АН СССР, 1976), при расчете вынужденных колебаний и излучения элементами машин и конструкций со сложной геометрией (Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Расчет импедансных характеристик элементов машин при вынужденных колебаниях в акустической среде // Волновая динамика машин.М. Наука, 1991. С. 75-82). Использование численных методов для исследования задач оптимизации динамических систем изложено в монографии Малкова В.П., Угодчикова А.Г. "Оптимизация упругих систем". М.Наука, 1981.

Однако, центральная идея диссертации о согласовании потоков волновой энергии в элементах машин может быть сформулирована,а доказательство основных положений может быть получено только при аналитическом описании динамических процессов. Это, конечно, не

исключает применения различных численных методов ( метод конечных элементов, метод сеток, метод быстрого преобразования Фурье и др. )для расчета конкретных систем, которые , в силу своей сложности не поддаются аналитическому исследованию.

Применительно к конструкциям машин исследования отражения волн развивались, главным образом в связи с проблемой виброизоляции [5, 85], осуществляющей условия "нераспространения" волны на некотором участке системы. Результаты этих исследований особенно хорошо зарекомендовали себя и активно применяются, например, для борьбы с вибрациями и шумами на судах [85, 94, 144]. Теоретические основы некоторых волновых методов виброизоляции машин изложены в [ 5 ], где основное внимание уделяется исследованию дисперсионных свойств элементов машин и конструкций и анализу потоков колебательной энергии в различных структурах.

Интерес к теоретическому исследованию согласования как способа виброгашения был стимулирован, в частности, результатами предшествующих им экспериментальных работ, которые показали эффективность применения условий согласования для понижения колебаний крутильных систем трансмиссий и гусеничных цепей [4,75]. Достаточного теоретического обоснования исследования согласования потоков волновой энергии с целью виброгашения в динамике машин не получили. Такие исследования необходимы для разработки общих принципов проектирования машин и механизмов с минимальным уровнем колебаний, которые еще окончательно не сформулированы.

Цель настоящей работы состоит в:

— обосновании эффективности методов теории волн для решения задач динамики линейных, нелинейных и нестационарных упругих систем;

— разработке методов виброгашения, основанных на использовании эффекта согласования потоков волновой энергии;

— разработке практических рекомендаций по расчету параметров безотражательных концевых демпфирующих устройств и безотражательных соединительных элементов.

Диссертация содержит шесть глав.

В первой главе излагается постановка задач для распределенных систем с дискретными элементами на границах на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для случаев, когда Лагранжиан распределенной системы зависит от частных производных обобщенных координат до второго порядка включительно, то есть практически для всех наиболее часто используемых как линейных, так и уточненных теорий продольных, крутильных и изгибных колебаний одномерных систем.Глава носит в значительной степени обзорный характер, основной ее целью является вывод уточненных уравнений колебаний стержней и соответствующих им краевых условий, систематическое изложение которых в литературе отсутствует.

В п. 1.1 выведены уравнения движения и краевые условия в общем виде, которые затем (п. 1.3) применяются для получения конкретных уравнений, описывающих волновые процессы в тонком стержне конечного диаметра, а также краевых условий, возникающих при использовании концевых гасителей. Для записи потенциальной энергии деформации используется представление внутренней энергии в виде ряда по степеням алгебраических инвариантов тензора деформации. Таким образом учитываются нелинейные упругие свойства тел, определяемые зависимостью энергии деформации от частных производных смещений по координате в третьей и четвертой степени (физическая нелинейность), а также нелинейной связью компонент тензора деформации с производными смещений по координатам (геометрическая нелинейность). Построен ряд моделей различной степени точности, описывающих продольные, крутильные и изгибные колебания стержня. При их построении делаются предположения о квазистатической

зависимости смещений от поперечных координат в текущем сечении стержня. Получены часто встречающиеся в прикладных задачах краевые условия, учитывающие нелинейные слагаемые. Они естественным образом вытекают из вариации функционала действия, поэтому не возникает вопроса о несоответствии граничных условий уравнениям движения. В п. 1.2 из общих вариационных уравнений выведено уравнение изменения энергии, позволяющее рассматривать явление согласования на основе анализа потоков колебательной энергии.

Во второй главе излагаются основы волновой динамики применительно к одномерным линейным, а также нелинейным упругим системам, являющимся распространенными элементами машин и механизмов.

В п. 2.1 обсуждаются некоторые общие свойства волновых процессов в распределенных линейных системах. Рассматриваются особенности применения волнового описания динамических процессов для анализа поведения линейных дискретных систем регулярной структуры.В п. 2.2-2.4 исследуются волновые процессы в нелинейных и параметрических упругих системах. Показано, что в таких системах могут распространяться волны существенно несинусоидальной (импульсной) формы. С одной стороны, эффекты формирования импульсных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку приводят к преждевременному износу и повреждениям элементов машин, значительно сокращая срок их службы, а с другой стороны, они являются полезными и могут найти применение в мощных виброударных и ультразвуковых установках для поддержания необходимых технологических режимов при виброиспытаниях, ультразвуковой обработке материалов, дефектоскопии и т. п.

В п. 2.2 исследуются волновые процессы в распределенных системах с изменяющимся во времени параметром граничного закрепления, описываемых линейным волновым уравнением. Рассмотрение проводится

на примере крутильных колебаний во вращающемся вале, который на одном конце соединен с двигателем, задающим закон вращения, а на другом скреплен с диском, связанным через шатун с поршнем. Основное внимание здесь уделяется изучению многочастотных свободных и вынужденных колебаний вала. Получено (п.2.2.1) точное решение о колебаниях системы в областях устойчивости. В п.2.2.2 на примере продольных колебаний стержня с переменной жесткостью закрепления обсуждаются особенности параметрической неустойчивости в системе, связанной с наличием эквидистантного спектра частот. Рассчитаны области параметрической неустойчивости и граничные режимы колебаний,"имеющих импульсную форму. В п.2.2.3 на основе точного решения исследуются вынужденные колебания вала и резонанс в областях устойчивости. Исследованные многочастотные процессы в вале имеют, как правило, высокую частоту, так, например, в двухметровом стальном вале они могут наблюдаться при частотах изменения параметра 0~103 гц, и скоростях вращения вала -50-103 об/мин. Такие вибрации могут служить источниками интенсивного шума [97,151], изучение возбуждения, распространения и трансформации которого в упругих элементах машин и механизмов актуально для динамики машин [ 5 ].

В п.2.3 рассматриваются несинусоидальные волновые процессы в стержне из нелинейно-упругого материала, обладающем слабой дисперсией, обусловленной конечностью его диаметра. Подробно исследованы нелинейные стоячие волны, представляющие собой наложение бегущих навстречу друг другу периодических стационарных волн, удовлетворяющих краевым условиям. Показано, что в такой системе в результате нелинейного самовоздействия возбуждается большое число гармоник, и форма бегущих волн может изменяться от синусоидальной при малых амплитудах до импульсной (квазисолитоны) при больших амплитудах. Исследованы квазистационарные процессы в

стержне конечной длины. Показано, что при квадратичной нелинейности встречные волны в первом приближении не взаимодействуют. Взаимодействие волн в системе с кубической нелинейностью приводит к малому изменению их скоростей и периодов.

В п.2.4 на основе волнового представления решения изучаются колебания импульсной формы в линейных системах с нелинейными граничными закреплениями. Известно, что во многих случаях устройства (например, виброударные и ультразвуковые) работают в пределах линейно упругого поведения материала стержня, а нелинейные эффекты имеют место лишь на его границах из-за конструктивных особенностей закрепления (наличие зазоров, ограничителей в соединениях деталей и т.п.). В таких системах при наличии внутренних резонансов, также, как и в системах с распределенной нелинейностью, могут существовать стационарные периодические волны с широким спектром частот. Они обладают свойствами, сходными со свойствами стационарных волн, рассмотренных в п.2.3, однако имеют свою специфику и требуют разработки соответствующих методов исследования.Предложен метод, позволяющий исследовать несинусоидальные периодические процессы в системах с двумя нелинейными границами. Выявлены характерные свойства импульсных стационарных волн при кубической нелинейности пружин: найдены параметры волн и зависимость их периода от амплитуды.

В третьей главе излагается теория безотражательных торцевых гасителей продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней.

Гасители колебаний занимают особое место среди средств виброзащиты[1,70,84,128].Их использование может быть предусмотрено не только на стадии проектирования и создания конструкций, но и в случае, когда неудовлетворительные динамические качества конструкции выявлены уже в процессе ее эксплуатации. Достоинством гасителей является также то, что при сравнительно малых затратах

дополнительного материала они позволяют относительно просто получить желаемый эффект уменьшения уровня колебаний.

В п.3.1 рассматривается задача об, отыскании безотражательного гасителя продольных колебаний стержня в случае простейшей модели (п.3.1.1), а также для уточненной модели, учитывающей движение среды в поперечном направлении (п.3.1.2). Показано, что при продольных колебаниях стержня в приближении элементарной модели существует согласованный гаситель колебаний, не дающий отраженных волн при любых возмущениях системы. Естественно, что учет поперечного движения стержня и связанной с ним дисперсии продольных волн приводит к зависимости параметров гасителя от частоты падающей волны. Однако, на низких частотах (в области слабой дисперсии) параметры такого гасителя можно выбрать постоянными и рассчитанными по элементарной модели. Отраженные волны в этом случае полностью не устраняются, однако такой гаситель будет близок к согласованному при частоте, лежащей в некотором достаточно широком (в силу малой дисперсии) диапазоне. Предлагаемый широкополосный гаситель эффективен не только при синусоидальном, но также при существенно негармоническом, например, импульсном воздействии, поскольку он устраняет отражение одновременно нескольких спектральных составляющих возмущения. Показано, что при работе на высоких частотах необходимо .предусмотреть возможность перемещения гасителя не только в продольном, но также и в поперечном направлении, рассчитаны диссипативные и инерционно-упругие параметры такого гасителя. В п.3.2 определены параметры безотражательного концевого гасителя крутильных колебаний стержня для элементарной и уточненной модели.

В п.3.3 рассматривается гашение изгибных колебаний балки с помощью торцевого согласованного гасителя. Изгибные колебания балки рассматриваются как суперпозиция двух бегущих навстречу друг другу

волн и двух экспоненциально спадающих по мере удаления от закреплений осцилляций. На примере модели Бернулли в п.3.3.1 найдены условия, которым должны удовлетворять параметры согласованного концевого демпфера, устраняющего отраженную волну и приграничную осцилляцию. Определены также параметры гасителей, обладающих инерционными и упругими элементами и осуществляющих гашение колебаний, близкое к оптимальному, то есть устраняющих отраженную волну, но не осцилляцию. В п.3.3.2 проводится обобщение результатов на случай уточненной модели изгибных колебаний (балка Тимошенко).

В п.3.4 рассматриваются динамические процессы в стержне конечной длины, снабженном согласованными концевыми гасителями. В п.3.4.1 рассматриваются свободные колебания стержня, на одном конце жестко защемленного, а на другом закрепленного с помощью согласованного демпфера. Показано, что такой демпфер устраняет любые возмущения в системе за наименьшее время, равное времени удвоенного пробега волны вдоль стержня, и в этом смысле является оптимальным. Следует отметить, что задача об отыскании оптимального демпфера, осуществляющего абсолютное затухание за конечное время, может быть поставлена и решена в рамках распределенных систем при использовании волнового представления решения. Как известно, для систем с конечным числом степеней свободы абсолютное затухание колебаний за конечное время невозможно. В п.3.4.,2 рассмотрены продольные колебания стержня, на границах соединенного с демпферами и находящегося под действием периодической внешней силы. Показано, что, если демпферы согласованные, то отраженные волны в системе отсутствуют. В п.3.4.3 исследуются вынужденные изгибные колебания балки с согласованными демпферами на концах. Проводится оценка влияния на эффективность гашения малых изменений параметров концевых демпферов.

В четвертой главе идея согласованного гасителя колебаний применяется к распространенным в технике конструкциям, особенностью

которых является дискретный характер (таким, как гусеничные цепи, зубчатые передачи и т.д.).

В п.4.1 рассматриваются крутильные колебания однородной цепочки, состоящей из дисков, соединенных упругими безынерционными валами. Такая модель часто используется при изучении крутильных колебаний трансмиссий [75, 97, 151]. На концах цепочки установлены гасители колебаний, каждый из которых включает в себя диск, упругий элемент и демпфер. Колебания дисков возбуждаются посредством изменения угла поворота дисков цепочки по гармоническому закону. Динамические процессы, происходящие в цепочке, представляются в виде бегущих навстречу друг другу волн, фаза которых (в отличие от распределенной системы) изменяется не непрерывно, а скачком при переходе от одного диска к другому. Найдены упруго-инерционные и диссипативные параметры согласованных гасителей, полностью поглощающих энергию волн, распространяющихся от источника. Поскольку рассматриваемая система обладает дисперсией, которая является следствием ее дискретности, то при фиксированных параметрах гасителя и системы согласование обеспечивается лишь на определенной частоте возмущения. Однако, для длинноволновых возмущений коэффициент демпфирования гасителя можно считать постоянным и не зависящим от частоты возмущения. В длинноволновом приближении дискретная цепочка эквивалентна распределенному валу, и найденное условие совпадает с условием согласования для сплошного вала. Показано, что согласованный гаситель колебаний дискретной цепочки дисков также, как и торцевой гаситель колебаний стержня, не критичен к малому изменению его параметров.

В п.4.2 рассматривается задача об уменьшении продольных колебаний гусеничной ветви путем установки концевого демпфирующего устройства. В качестве модели гусеничной ветви при продольных колебаниях используется цепочка однородных масс и невесомых упругих

элементов. Исследовано влияние на параметры демпфирующего устройства потерь в шарнирных соединениях гусеницы. Показано, что при малых потерях величина коэффициента демпфирования закрепления близка к значению, вычисленному в отсутствие гистерезисных потерь упругих связей звеньев гусеницы.

В п.4.3 для решения задачи согласования гусеницы по поперечным колебаниям рассматривается модель гусеничной ветви в виде набора однородных шарнирно соединенных между собой жестких звеньев. Концевые звенья ветви выполняют функцию демпфирующих устройств и включают в себя диссипативные и упругие элементы, учитывающие поперечное' смещение и поворот звена. К одному из концевых звеньев приложена периодическая внешняя сила и вращающий момент. Малые поперечные колебания гусеничной ветви в вертикальной плоскости описываются двумя обобщенными координатами, следовательно, предлагаемая модель является примером более сложных упорядоченных структур, ячейка периодичности которых имеет две степени свободы. Исследованы дисперсионные свойства системы в зависимости от соотношения между упругими и инерционными параметрами гусеничной ветви. Показано, что при работе на низких частотах в случае длинноволновых возмущений гусеничная ветвь аналогична по своим свойствам балке, совершающей изгибные колебания. Найдены параметры концевых согласованных демпфирующих устройств, показано, что в длинноволновом приближении их значения совпадают с параметрами согласованного демпфера изгибных колебаний балки.

Пятая глава посвящена решению задачи о согласовании упругих систем с помощью безотражательных соединительных элементов.

Реальная конструкция является сложной колебательной системой, состоящей из участков с отличающимися друг от друга параметрами. Это различие в свойствах системы приводит к отражению энергии упругих колебаний в местах соединения звеньев. Равномерное распределение

энергии вибропотоков может быть достигнуто посредством устранения отраженных волн путем введения в местах соединения звеньев безотражательных согласующих устройств. Такие согласователи обеспечивают условия полной передачи энергии потока вибраций в режиме бегущей волны и исключают возникновение резонансов в системе. Известно [19, 126], что отражение на границе двух сред можно целиком ликвидировать, если между этими средами поместить четвертьволновой слой с импедансом, равным среднему геометрическому импедансов этих сред. Этот принцип применяется для повышения качества оптических систем [19]. Совершенно также при соединении двух длинных электрических линий вводят переходный элемент с соответствующим импедансом, создающим добавочный четвертьволновой набег фазы [ 98, 126].В твердых телах, например, в пластинах, стержнях и вообще в средах, где может существовать несколько типов волн, исследование поведения волн на границе раздела сред является затруднительным. В [5, 60] предложена процедура обобщения формул Френеля для вычисления амплитуд отраженных и прошедших волн на среды с произвольным числом волн, позволяющая представить коэффициенты отражения в виде, удобном для численных расчетов.В настоящей главе рассматривается согласование упругих систем на примере стержней и дискретных цепочек трансмиссий.

В п. 5.1 рассмотрена .задача о согласовании стержней по продольным, крутильным и изгибным колебаниям. Рассмотрено поведение волн в месте соединения участков стержня с отличающимися параметрами. Показано, что предположение об отсутствии отраженной волны и потерь энергии в месте соединения приводит к соотношению, выражающему равенство импедансов этих участков. Если импедансы участков стержня различны, то согласование обеспечивается посредством введения элемента связи в виде четвертьволнового участка стержня с

импедансом, равным среднему геометрическому импедансов согласуемых участков.

В п. 5.2 исследуется согласование дискретных систем трансмиссий по крутильным колебаниям. В п.5.2.1 рассмотрена система, состоящая из двух однородных, но несогласованных друг с другом цепочек с различными параметрами. Цепочки связаны между собой с помощью диска и примыкающих к ним участков валов. В п.5.2.2 изучается система трех однородных цепочек с ответвлениями. Найдены параметры цепочек и диска сочленения, при которых отраженные волны в системе отсутствуют.

В п.5.3 проводится постановка задачи о связанных продольно-поперечных колебаниях криволинейного стержня. Обсуждается вопрос о возможности использования криволинейного стержня в качестве безотражательного соединительного элемента, а также преобразователя продольных колебаний в поперечные и наоборот.

В шестой главе рассматриваются некоторые виды концевых распределенных гасителей колебаний стержней.

В п.6.1 рассматривается распределенный гаситель продольных колебаний стержня, выполненный в виде вязкоупругого стержня с переменной площадью поперечного сечения. Найдены параметры стержня и гасителя, при которых отраженные от гасителя волны отсутствуют, а энергия возмущений, распространяющихся внутри гасителя, по существу полностью поглощается его материалом. Показано, что гаситель в виде присоединенного стержня с экспоненциально убывающей площадью поперечного сечения практически выполняет роль "абсолютно черного тела", то есть объекта, от которого волны не отражаются ни при каких частотах.

В п.6.2, 6.3 предложен способ согласования продольных и крутильных колебаний стержня путем установки концевого гасителя и дополнительных подстроечных масс, которые могут свободно

перемещаться вдоль стержня. Регулируя положение масс, можно проводить непрерывную подстройку параметров динамической системы в зависимости от частоты возмущения и согласовывать потоки вибраций. Определены условия согласования, при которых отраженная волна на участке стержня вне распределенного гасителя отсутствует. Показано (п.6.3), что достаточно только двух подстроечных элементов, чтобы обеспечить согласование потоков волновой энергии в стержне при любых параметрах концевого закрепления. Единственным необходимым условием согласования является наличие диссипации концевого закрепления. При этом подстроечные массы необходимо поместить на расстоянии,' близком к четверти длины волны друг от друга и от закрепления. В п.6.2 показано, что непрерывную подстройку можно осуществлять также с помощью одного подстроечного элемента, регулируя одновременно не только его местоположение, но и массу.

Вошедшие в диссертацию материалы докладывались и обсуждались на научно-технической конференции "Повышение эффективности проектирования, эксплуатации автомобилей и строительно-дорожных машин" (Горький, 1988) [33]; на Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989) [107]; на Всесоюзном совещании - семинаре "Инженерно - физические проблемы новой техники" (Москва, 1990, 1992, 1994, 1996, 1998) [45, 108, 109]; на XI Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1991) [36]; на научно-технической конференции "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций" (Н. Новгород, 1991) [37]; на Международном научном коллоквиуме по волновым процессам в машинах и конструкциях "Евромех - 295" (Н. Новгород, 1992) [173]; на Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1993, 1996) [111]; на Международном симпозиуме по колебаниям в физических системах (Познань, Польша, 1994) [175]; на Международной конференции "Механика твердого тела" (Генуя, Италия,

1994) [176]; на Международном семинаре "Волны в механических системах" (Каунас, 1994) [177]; на Всероссийским научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин" (Санкт-Петербург, 1993) [41]; на Международной конференции "Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники" (Москва-Егорьевск, 1995, 1997) [46, 112]; на научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" (Курск, 1995, 1997) [48]; на XXIII и XXIV школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1996, 1997) [113]; на IV Международной конференции по проблемам железнодорожного транспорта'(Югославия, 1997) [179]; на II Международной конференции по методам управления в машиностроении (Лион, Франция, 1997) [178]; на симпозиумах "Динамика виброударных систем" (Москва, 1981, 1998) [51], а также семинарах Института проблем механики РАН, Института машиноведения РАН, Института проблем машиноведения РАН и опубликованы в работах [31, 33-44, 47,49, 50,52, 53,99, 100-106, 110, 114].

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Милосердова, Ирина Валентиновна

Основные результаты диссертации

1. На основе точных решений модельных задач упругих систем показано, что существуют согласованные концевые гасители колебаний, не дающие отраженных волн в системе. Такие гасители исключают появление резонансов, возникающих в результате многократных переотражений волн, и тем самым позволяют понизить общий уровень колебаний в системе. В частности, найдены параметры безотражательных концевых гасителей продольных и крутильных колебаний стержня. Показано, что в приближении элементарных моделей продольных и крутильных колебаний существуют безотражательные концевые гасители для любых возмущений системы. В случае уточненных моделей, учитывающих конечные размеры поперечного сечения стержня, такие гасители обеспечивают согласование потоков волновой энергии в достаточно широком диапазоне частот; для свободных продольных колебаний стержня показано, что безотражательный концевой демпфер является оптимальным, так как обеспечивает абсолютное затухание любых возмущений за наименьшее время, равное удвоенному времени пробега волны вдоль стержня; определены параметры согласованного демпфера изгибных колебаний балки, устраняющего отраженную волну и приграничную осцилляцию при заданной частоте гармонической волны. В рамках элементарной модели найдены диссипативные и упругоинерционные параметры гасителей, близких к согласованным.

2. Идея безотражательного концевого гасителя обобщена на случай кинематических цепей, представляющих собой периодические структуры из дискретных упругих систем: найдены параметры концевого согласованного гасителя крутильных колебаний однородной системы трансмиссии; на примере продольных колебаний гусеничной ветви исследовано влияние потерь в шарнирных соединениях гусеницы на параметры согласованного гасителя; для исследования поперечных колебаний гусеничной ветви предложена дискретная модель в виде набора шарнирно-соединенных жестких звеньев, на основе которой исследованы дисперсионные свойства системы; показано, что для низкочастотных длинноволновых возмущений рассматриваемая система близка по своим свойствам к балке, совершающей изгибные колебания; рассчитаны параметры гусеничной ветви и согласованных концевых демпфирующих устройств.

3. Показана принципиальная возможность создания нерезонансных крутильных систем трансмиссий машин, которые могут быть сконструированы в виде набора однородных кинематических цепей, соединенных безотражательными согласующими устройствами. Рассчитаны параметры кинематических цепей и показано их соответствие экспериментальным данным.

4. Теоретически обосновано применение распределенных безотражательных концевых гасителей, эффективных в широкой полосе частот. Показано, что при продольных колебаниях стержня гаситель в виде присоединенного стержня с экспоненциально убывающей площадью поперечного сечения выполняет роль "абсолютно черного тела", от которого волны не отражаются ни при каких частотах.

5. Предложен способ согласования потоков волновой энергии с помощью вносимых в конструкцию дополнительных подстроенных элементов. Для продольных и крутильных колебаний стержня показано, что достаточно двух подстроенных элементов, чтобы обеспечить согласование при любых диссипативных и упруго-инерционных параметрах концевого закрепления.

6. Исследованы импульсные волны, обладающие большими градиентами напряжений и деформаций, которые не могли быть изучены методами теории линейных волн. Полученные результаты могут быть использованы для проектирования приборов импульсной дефектоскопии, а также могут найти применение в акустодиагностике твердых тел.

Полученные в диссертации результаты использовались при выполнении договора о научно-техническом сотрудничестве между Горьковским университетом и производственным объединением "Горькийтрансгаз", а также между Нижегородским филиалом института машиноведения РАН и науно-исследовательской лабораторией испытания материалов. Результаты исследования, выполненных по теме диссертации, вошли в курсы лекций, читаемых для студентов Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского и Нижегородского государственного технического университета и нашли отражение в трех методических пособиях автора. •

Результаты диссертации могут найти применение в судостроении, для борьбы с вибрациями проводов, с целью снижения уровня колебаний различных инженерных конструкций, а также для улучшения работы измерительных приборов и качества виброизоляции в переходных режимах. Разработаные методики и рекомендации по расчету параметров безотражательных концевых гасителей и безотражательных соединительных элементов могут составить основу адекватных методов инженерного расчета и проектирования машин и механизмов с минимальным уровнем колебаний.

Полученные результаты позволяют по новому взглянуть на решение не только проблемы виброгашения, но и ряда других актуальных задач, что продемонстрировано в диссертации на конкретных примерах. Результаты исследований могут быть использованы для оценки и расчета крутильных колебаний высокоскоростных валов. Они позволяют рассчитывать колебания стержневых элементов мощной ультразвуковой и виброударной аппаратуры с учетом нелинейных и параметрических эффектов, а также могут быть использованы новых виброустановок импульсной ультразвуковой дефектоскопии.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность научным консультантам А.И.Весницкому и А.И.Потапову — за обсуждения и советы, соавторам В.М.Зябликову, В.Ф.Смирнову, Н.Д.Романову и А.А.Новикову, совместно с которыми получены отдельные результаты, вошедшие в диссертацию, а также Г.А.Уткину и Е.Е.Лисенковой — за полезные дискуссии по тематике моих научных исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации расмотрены некоторые новые методы понижения уровня колебаний упругих систем, основанные на использовании волновых эффектов.

Работа выполнялась на кафедре теоретической механики НГТУ в сотрудничестве с отделом волновой динамики Нф ИМАШ РАН. Она связана с исследованиями НФ ИМАШ РАН по темам: "Разработка теории согласования потоков вибраций в конструкциях машин с целью минимизации виброактивности" (1992-1993г.г.), "Изучение волновых эффектов в упругих системах в приложении к проблемам скоростного транспорта" (1997-по н.в.), а также по планам Нижегородского научно-учебного центра " Физические технологии в машиностроении" в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция" (1997-2000г.г.). Кроме того, работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) 94-01-01416 и 96-01-00680 .

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Милосердова, Ирина Валентиновна, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

¡.Алексеев А.М, Сборовский А.К. Судовые виброгасители. Л.: Судпромгиз, 1962.196 с.

2.Аверков С.И., Весницкий А.И., Степанов Н.С. О волнах в системах с параметрическими условиями на границах // Изв.вузов. Радиофизика. 1974.Т. 17.№ 1.С. 68 - 74.

3.Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний.М.: Наука, 1981.568 с.

4.Антонец В.А. Снижение колебаний упругих гусениц на основе анализа волновых процессов в ветвях гусеничных обводов. Дисс. ... канд. техн. наук. Горький, 1987. 186 с.

5.Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И.,Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 296 с.

6.Асташев В.К., Герц М.Е. Возбуждение и стабилизация резонансных режимов колебаний ультразвуковых стержневых систем // Акуст.журн. 1976. Т. 22. № 2. С. 192-200.

7.Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М.: Наука, 1978.

352 с.

8.Бердичевский Л.И. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

9.Бидерман Л.И. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1980. 408 с.

10.Бобровницкий Ю.И., Тютекин В.В. Энергетические соотношения для составных волноводов // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 5. С. 658-666.

Н.Богатырев Ю.К., Горшков К.А., Островский Л.А. Нелинейные волны в периодических структурах // Радиотехн. и электроника. 1976. Т. 21. № З.С. 458-465.

12.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 4-е, испр. и доп. М.: Наука, 1974. 503с.

13.Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

14.Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок // Инж. сб. 1961. № 31. С. 3-4.

15.Болдин В.П. Машины и приборы волнового принципа действия // Волновая динамика машин. М.: Наука, 1991. С. 30-44.

16.Болдин В.П., Весницкий А.И., Кажаев В.В. и др. Некоторые задачи волновой динамики машин. Горький, 1988. 28 с. Препр. ( Гф ИМАШ СССР; №4).

17.Болдин В.П., Лисенкова Е.Е. О движущей силе волнового транспортера // Прикл. механика: Прикладные задачи динамики и устойчивости. Л.: Изд - во ЛГУ, 1990. Вып. 8. С. 235-239.

18.Болотник H.H. Оптимизация амортизационных систем. М.: Наука, 1983.257.

19.Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 502с.

20.Бриллюен Л. ,Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: ИЛ, 1959. 457 с.

21 .Весницкий А.И., Крысов C.B.,Шохин С.Р. Параметрическое возбуждение импульсов в распределенных механических системах с нестационарными границами // ПМТФ. 1976 . №4. С. 145 -151.

22.Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Параметрическая неустойчивость продольных колебаний стержней с нестационарными закреплениями И Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 3. С.166 - 174.

23.Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Экспериментальные исследования параметрического возбуждения импульсных колебаний в

одномерных механических системах// Прикл. механика. 1980. Т. 16. №12. С.122-125.

24.Весницкий А.И., Потапов А.И. О некоторых свойствах волновых систем с нестационарными границами // Радиотехн. и электроника. 1979. Т.24. №5. С.990-999.

25.Весницкий А.И., Потапов А.И. Волновые явления в одномерных системах с движущимися границами (обзор) // Межвуз. сб.: Динамика систем. Горький: Изд-е Горьк. ун-та, 1978. вып. 13. С. 38-88.

26.Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем. Горький: Изд-е Горьк. ун-та, 1980. 88 с.

27.Вёсницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем, исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Учебное пособие. Горький. Изд-е Горьк. унта. 1983. 65 с.

28.Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // ПММ. 1983. Т.47. №5. С.863-866.

29.Весницкий А.И., Романов Н.Д., Уткин Г.А. О коэффициенте полезного действия волнового движителя // ДАН СССР. 1989. Т.308. №4. С.810-811.

30.Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Крысов C.B., Уткин Г.А. Самосогласованные задачи динамики одномерных систем с движущимися нагрузками и закреплениями. Горький, 1982. 25 с. Препр. (НИРФИ, №159).

31.Весницкий А.И., Милосердова И.В., Потапов А.И. Вынужденные колебания и резонанс в вале с нестационарной нагрузкой // Прикл. механика. 1984. Т.20. №9. С.103-110.

32.Весницкий А.И., Романов Н.Д. К построению демпфера гашения изгибных колебаний балки // Прикладная механика. 1988. №6. С. 122-124.

33.Весницкий А.И., Зябликов В.М., Милосердова И.В. Расчет оптимальных параметров демпфера крутильных колебаний в трансмиссиях // Тр. науч.-техн. конф. "Повышение эффективности проектирования, эксплуатации автомобилей и строительно-дорожных машин". Аннот. докл., Горький, 1988. С. 21.

34.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Крутильные колебания в трансмиссиях. Методич. пособие. Горький: ГПИ, 1988.29 с.

35.Весницкий А.И., Зябликов В.М., Милосердова И.В., Смирнов

B.Ф. Оптимальные гашения крутильных колебаний в трансмиссии // Изв.вузов. Машиностроение. 1989. №5. С.12-16.

36.Вёсницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые принципы динамического гашения крутильных колебаний в трансмиссях // Тр. XI Всесоюзн. акуст. конф. Сек. Л.-М.: АКИН, 1991. С.70-72.

37.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Основы теории оптимальных гасителей колебаний упругих систем // Тр. науч. - техн. конф. "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций". Аннот. докл., Нижний Новгород, 1991. С. 24-25.

38.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Распределенный резонансный гаситель продольных колебаний стержня // Волновые задачи механики. Нижний Новгород, 1991. С. 108-112.

39.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласование трансмиссий по крутильным колебаниям // Изв. вузов. Машиностроение. 1991. №4-6.

C.86-90.

40.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые принципы гашения колебаний в упругих элементах машин // Волновые задачи механики. Нижний Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1992. С. 115-131.

41.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласование потоков вибраций как метод гашения колебаний в упругих элементах машин // Тр.

Всесоюз. науч. семинара "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин". Аннот. докл., С.-П., 1993. С. 5.

42.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Нерезонансные трансмиссии //Акуст. журнал. 1993. Т.39. №3. С. 549-554.

43.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Гашение продольных колебаний стержней с помощью подстроечных элементов И Акуст. журн. 1994. Т.40. МЗ. С. 337-339.

44.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Гашение продольных колебаний стержня с помощью вязко-упругого стержня с переменной площадью поперечного сечения // Сб. "Волновые задачи механики". Нижний Новгород: ИМАШ РАН, 1994. С. 75-81.

45.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласование потоков вибраций в стержнях с помощью подстроечных элементов // Тр.II Междунар. совещания "Инженерно-физические проблемы новой техники". Аннот. докл., М., 1994. С. 52.

46.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласование потоков вибраций в упругих системах // Тр. Междунар. конф. "Инженерно-физич. проблемы авиац. и космич. техники". Аннот. докл., М. -Егорьевск, 1995. С.83.

47.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Согласованный торцевой гаситель изгибных колебаний балки // Акуст. журн. 1995. Т.41. №4. С.572-575.

48.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Снижение уровня вибраций машин путем согласования // Tp.II научн.-техн. конф. "Вибрационные машины и технологии". Аннот. докл., Курск, 1995. С. 44-45.

49.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продольных колебаний стержня // ПММ. 1997. Т.61. №3. С.537-540.

50.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. №3.

51.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Об одном способе гашения поперечных колебаний гусеничной ветви // Тр. XII Симпозиума "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем." Аннот. докл.,М.- Звенигород, 1998.

52.Весницкий А.И., Милосердова И.В. Методы гашения колебаний упругих систем. Методич. пособие. Нижний Новгород: НГТУ, 1995. 31с.

53.Весницкий А.И., Милосердова И.В., Романов Н.Д. Согласование потоков волновой энергии в одномерных упругих системах. Методич. пособие. Нижний Новгород: ННГУ, 1996. 40с.

54.Вибрации в технике: Справ.: В 6 т. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В.Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352с.

55.Вибрации в технике: Справ.: в 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456с.

56.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1979. 384с.

57.Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. 2-е изд., перер. и доп. М.: Физматгиз, 1959. 568с.

58.Гапонов A.B., Островский JI.A., Рабинович М.И. Одномерные волны в нелинейных средах с дисперсией (обзор) // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. 13. №2. С. 163-213.

59.Генкин М.Д., Рябой В.М. Упруго-инерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. М.: Наука, 1988. 191с.

60.Генкин М.В., Маслов В.П. Прохождение плоских волн через соединения пластин // Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях. М. : Наука, 1974.

61.Генкин М.Д., Яблонский В.В. Поток энергии колебаний как критерий виброактивности механизма // Машиноведение. 1965. №5. с. 55-58.

62.Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически изменяющимися параметрами // ЖТФ. 1934. Т. 4. №10.С. 1783-1817; 1935. Т. 5. №2. С. 195-215; 1935. Т.5. №3. С. 489-517.

63.Горошко O.A. Критические случаи движения стержня с демпфером на конце // Прикл. механика. 1978. Т.14. №4. С. 129-132

64.Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Сб.: Итоги науки и техники. Сер. механика деформируемого твердого тела. Вып. 5. М.: ВИНИТИ. 1973. 271с.

65.Гольденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336с.

66. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 580с.

67.Денисов Г.Г., Новиков В.В. Об устойчивости бесконечной балки, вдоль которой перемещаются два ограничителя // Динамика систем. Оптимизация и адаптация. Горький: Изд-е ГГУ, 1982. С. 182-195.

68.Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней // ПММ. 1949. Т.13. №6. С. 598-608.

69.Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Гидроаэромеханика и теория упругости./ Изд. Днепропетровск, ун-та. 1984. Вып. 32. С. 78-82.

70.Елисеев.С.В., Нерубенко.Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск: Наука, 1982. 144с;

71.Завадский В.Ю. О гипотетических условиях " просветления" границы раздела сред // Акуст. журн. 1994. Т. 40. №5. С. 809-811.

72.3арембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // УФН. Т. 102. №4. С. 549586.

73.Зябликов В.М., Иванов В.А., Смирнов В.Ф. Определение количества рассеиваемой энергии колебаний в агрегатах силовых передач // Вестник машиностроения. 1975. №9. С. 21-24.

74.Зябликов В.М., Смирнов В.Ф., Красненьков В.И., Иванов В.А. Демпфер вязкого трения. А.С. 920299 СССР // Б.И. 1982.№14.

75.Зябликов В.М., Смирнов В.Ф. Уменьшение динамических нагрузок в крутильных системах согласованием импедансов // Изв. вузов. Машиностроение. 1985.№9. С. 82-87.

76.Леонов.С.И. Волновое движение ветвей гусеничных двигателей // Изв. вузов. Машиностроение. 1963. №5. С. 174.

77.Источники мощного ультразвука: Сборник / Под ред.Л.Д. Розенберга. М.: Наука, 1967. 379с.

78.Исакович М.А., Кашина В.И., Тютекин В.В. Экспериментальное исследование виброизоляции изгибных волн, создаваемой импедансными системами // Акуст. журн. 1977. Т. 23. №3. С. 384-389.

79.Канер В.В., Руденко О.В., Хохлов Р.В. К теории нелинейных колебаний в акустических резонаторах // Акуст. журн. 1977. Т. 23. №5. С. 756-765.

80.Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 176 с.

81.Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд. иностр. лит., 1961.

778с.

82.Карамышкин В.В. Динамическое гашение колебаний. Л.: Машиностроение, 1988г. 108 с.

83.Кажаев В.В. Гашение вибраций балки свободно скользящим объектом // Волновые задачи механики. Горький.ИМАШ РАН, 1990. С. 41-47.

84.Корнев B.C., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М.: Наука, 1988. 302с. 1991. С. 102103.

85.Клюкин И.И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. Л.: Судостроение, 1971. 418 с.

86.Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с.

87.Кочин Н.Е. О крутильных колебаниях коленчатых валов // ПММ. 1934. Т. 1. №11. С. 3-28.

88.Кобелев В.М., Копелев Ю.Ф., Ревва В.Ф. Ударно-динамические виброгасители // Механика машин. 1977. Вып. 33-34. С. 103-110.

89.Кобелев В.М., Копелев Ю.Ф., Ревва В.Ф. Демпфирование микроколебаний механических системах многомассовыми виброгасителями // Рассеяние энергии при колебаниях мех. системы. Киев: Наук, думка, 1970. С. 442-449.

90.Кулешов Ю.В., Потехин А.Ф. Изгибные колебания балки с нелинейным механическим демпфером // Тр. Тамбовского института хим. машиностроения. 1970. Вып. 4. С. 215-219.

91.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретичская физика: В 9 т. М.: Наука, 1965. Т. 7. Теория упругости. 3-е изд., испр. и доп., 1965. 203с.

92.Ляв А. Математическая теория упругости. М. Л.: ОЕТИ. 1935.

674с.

93.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512с.

94.Ляпунов В.Т.,Никифоров А.С. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л.: Судостроение, 1975. 232с.

95.Лепендин Л.Ф. Акустика. М.:Высшая школа, 1978. 448 с.

96.Мандельштам Л.И. Вопросы электрических колебательных систем и радиотехники. В. кн.: Л.И.Мандельштам. Полное собр. трудов. М.: АН СССР. 1950. Т. 3, С. 58.

97.Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов: Справочник. 2-е изд., перер. и доп. М.: Машиностроение, 1980. 151 с.

98.Мейнке X., Гундлах Ф. Радиотехнический справочник. М.: Госэнергоиздат., 1960. Т. 1, 416 с.

99.Милосердова И.В. Аналоговое моделирование распределенных систем с нелинейными и нестационарными границами // Прикл. задачи теории динамики систем. Вып. 3. Горький. 1980. С. 61-72. (Рукопись представлена Горьк. ун-том. Деп. в ВИНИТИ в 1981 г., № 2701-81).

ЮО.Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. №6. С. 178-183.

101.Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. М.: АН СССР, 1981. Т. 2. С. 118-121.

Ю2.Милосердова И.В., Потапов А.И. О параметрической неустойчивости систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями первого порядка // Дифференц. и интегральн. ур-ия. Горький: Изд-е Горьк. ун-та, 1981. Вып. 5. С. 116-120.

ЮЗ.Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержне конечной длины // Акуст. журн. 1983. №4. С. 515-520.

104.Милосердова И.В., Потапов А.И. Вибрации в нелинейных стержнях при наличии внутренних резонансов // Машиноведение. 1983. №4. С. 18-24.

105.Милосердова И.В. Импульсные колебания в системах с нелинейными граничными закреплениями // Дифференц. и интегральн. ур-ия. Горький: Изд-е Горьк. ун-та, 1986. С. 110-111.

Юб.Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными

закреплениями // Динамика систем. Горький: Изд-е Горьк. ун-та, 1987. С. 172-182.

107.Милосердова И.В. О построении оптимального демпфера крутильных колебаний трансмиссий // Тр. Всесоюзн. конф. "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". Аннот. докл., Горький, 1989. С. 25-26.

108.Милосердова И.В. Принципы моделирования трансмиссий с оптимальной виброактивностью по крутильным колебаниям // Тр. Всесоюзн. совещ.-семинара "Инженерно-физические проблемы новой техники". Аннот. докл., Звенигород, 1990. С. 63.

109.Милосердова И.В. Оптимальный гаситель изгибных колебаний балки // Tp.II Междунар. совещания-семинара "Инженерно-физические проблемы новой техники". Аннот. докл., М.: МГТУ. 1992. с. 65.

ПО.Милосердова И.В. Расчет параметров согласованного концевого гасителя продольных колебаний стержня // Прикладная механика и технологии машиностроения. Н.Новгород: Изд-во "Интелсервис". 1977. Ч.Ш. С. 148-153.

111 .Милосердова И.В. Об одном способе снижения колебаний упругих звенчатых гусениц // Тр. IV конф. "Нелинейные колебания механических систем". Аннот. докл., Н.Новгород, 1996. С. 107.

112.Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями машин // Тр. II Междунар. научн.-техн. конф. "Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники". Аннот. докл., М.Егорьевск, 1997. С. 50.

113.Милосердова И.В. Теоретические основы волновых методов борьбы с вибрациями машин // Тр.XXIV школы-семинара:"Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". С.-П., 1997. С.411-430.

114.Милосердова И.В. Волновой метод снижения продольных колебаний упругих гусениц // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. №1. С.16-18.

115.Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Лекции по применению асимптотических методов к решению уравнений в частных производных. Киев: Изд. ин-та матем. АН УССР, 1968. 414с.

Пб.Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.400с.

117.Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомимздат. 1972. 392с.

118.Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. 456с.

119.Нагаев Р.Ф., Степанов A.B. Об оптимизации коэффициента затухания свободных колебаний двухмассовой системы // Изв. АН. СССР. МТТ. 1979. №4. С. 24-28.

120.Нагаев Р.Ф., Ходжаев K.M. Колебания механических систем с периодической структурой. Ташкент: Фан, 1973. 270с.

121.Новиков A.A. Методы возмущений и естественные формы в теории нелинейных волн // Волны и дифракция. М.: АН СССР. 1981. Т.2. С. 66-69.

122.Новиков A.A. О применении метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19.№2.С.321 -323.

123.0сновы теории колебаний / Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. / Под. Ред. В.В.Мигулина. М.:Наука, 1978. 392с.

124.Островский Л.А. Приближенные методы в теории нелинейных волн (обзор ) // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. № 4.

125.Островский Л.А. Ударные волны и солитоны // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т.19. № 5 - 6.С.661-690.

126.Островский JI.A. О разрывных колебаниях в акустическом резонаторе // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 1. С. 140 -142.

127.0стровский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях// ПММ.1977. Т.41. № 3. С.531 - 537.

128.Пановко Я.Г. Присоединенные динамические системы как гасители колебаний // Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3. М.Машиностроение, 1968. С.331 - 346.

129.Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.:Мир, 1979. 389 с.

130.Пелиновский E.H., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения . Таллин: Валгус, 1984. 154 с.

131.Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Учебн. пособие. Горький: ГГУ, 1985. 108 с.

132.Платонов В.Ф. Динамика и надежность гусеничного движителя. М.: Машиностроение, 1973. 231 с.

133.Потехин А.Ф., Кулешов Ю.В. Динамический гаситель колебаний балочного типа // Тр. Тамбовского ин - та хим. Машиностроения. 1969. Вып. 3. С. 146 - 148.

134.Прудников A.C., Шегай В.В. Об одном способе синтеза слоистых согласующих систем // Акуст. журн. 1977. Т.23. № 3. С. 424 -429.

135.Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем / Под. Ред. Писаренко Г.С. Киев : Наукова думка, 1966. 304 с.

136.Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

137.Рабинович М.И. О методе усреднения по стационарным волнам // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 2. С. 214 - 223.

138.Рэлей ( Стрэтт Д.В. ) Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т.1.

499с.

139.Сен - Венан Б. Мемуары о кручении и изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

140.Скотт Э., Чжу Ф., Маклафлин Д. Солитон - новое понятие в прикладных науках. // ТИИЭР, 1973. Т. 61. № 10. С.79 - 123.

141.Соддатов М.А., Миролюбов A.A. Однородные разностные уравнения. Горький : Изд - е Горьк. ун-та, 1975. 183 с.

142.Смирнов В.Ф., Зябликов В.М. Фазовые скорости в дискретных крутильных системах//Изв. вузов. Машиностроение. 1984. №8. С. 32 - 36.

143.Сноудон. Пластинчатые динамические поглотители колебаний // 1975. № 1.С. 92-98.

144.Справочник по судовой акустике / Под. ред. И.И. Клюкина, И.И. Боголепова Л.: Судостроение, 1978. 503 с.

145.Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под. ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука. 1979. 832 с.

146.Степанов A.B. Гашение свободных колебаний упругих систем на нескольких собственных частотах // Волновые задачи механики. Н.Новгород: Изд-е Нф. ИМАШ РАН. 1992. С. 132 - 138.

147.Степанов A.B. Оптимальное гашение свободных колебаний линейно распределенных упругих систем // Прикладная механика и технологии машиностроения. Н. Новгород: Изд - во " Интелсервис ", 1997. 4.3. С. 140 - 147.

148.Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука., 1964.

440 с.

149.Сум, Ли Оптимальное проектирование линейных и нелинейных виброгасителей для задемпфированных систем // Тр. Амер. о-ва инж. -механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. № 1. С. 60 - 66.

150.Тафт В.А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем. М.: Энергия, 1978. 272 с.

151.Терских В.П. Крутильные колебания валопровода силовых установок. JL: Судостроение, 1969.

152.Теумин И.И. Ультразвуковые колебательные системы. М.: 1959.

153.Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле : Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

154.Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735с.

155.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. / Под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир. 1974. 624с.

156.Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 517с.

157.Фролов К.В., Фурман Д.А, Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение. 1988. 276с.

158.Фурунжиев Р.И., Останин А.Н. Современные направления создания гашения прямолинейных колебаний при помощи маятникового демпфера//Сб. переводов "Механика". 1961. №2. С. 45-58.

159.Харкевич A.A. Спектры и анализ. М.: Гостехиздат, 1953. 216с.

160.Шалашов Г.М. Модуляционные методы измерения нелинейных упругих параметров твердых тел. Автореф. дис.... канд. физ-мат. наук. М.: 1978. 16с.

161.Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. 336с.

162.Эйбрамсон Х.Н., Пласс Х.Дж., Риппергер Э.А. Распространение

волн напряжения в стержнях и балках. В сб.: Проблемы механики. Пер. с англ / Под ред. Г.Ю. Джанелидзе. М.: Изд. иностр. лит., 1961. Вып. 3. С. 24-90.

163.Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах: Обзор. ТИИЭР, 1976. Т. 64.№14. С.22-59.

164.Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

165.Энгельбрехг Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.256 с.

166.Bishop R.E.D. Longitudinal waves in beams // The aeronotical quart. 1952.V.3.№4. P.280.

167.Brock J.E. A note on the damped vibration absorber // J. Appl. Mech. 1946. V.13.№4. P. A284.

168.Brock J.E. Theory of the damped dynamic absorber for inertial disturbances // J. Appl. Mech. 1949. V. 16. №1. P.86.

169.List V, Pochop L. Mechanical gesign of over head transmission lines. Prague: SNTL, 1963.

170.Shock and vibration handbook. New York: MC Craw-Hill, 1976. P.1211.

171.Snowdon J.C. Vibration and Shock in damped mechanical systems. New York :J. Wiley and sons, 1968. 486 p.

172.Snowdon J.C., Nobile M.A. Beamlike dynamic vibration absorbers // Acustica. 1980. V. 44, X°2. P. 98-108.

173.Miloserdova I.V. Matching of transmissions in terms of torsional oscillations // Wave processes in machinery and structures. Proc. EUROMECH -295. N.Novgorod. 1992. p. 55.

174.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. A distributed resonant damper of torsional vibrations of a shaft // Machine vibration. 1992. №8. P.201-202.

175.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. A distributed damper of torsional vibrations of a shaft // Vibrations in phisical systems. Proc. of the XVI Symposium. Poznan-Btazejenko. 1994. P.325-326.

176.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Reduction of rod vibration intensity using ajusting elements // Proc. of the EUROMECH 2nd European solid mechanics conference. Genoa. 1994. P. 24.

177.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Matching of vibration flows in elastic systems // Wave mechanical systems. Proc. of International seminar. Kaunas. 1994. P. 142-145.

178.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Damping of longitudinal oscillations in rods by tuning elements // Active control in mechanical engineering. Prog of 2nd International conference. Lion, 1997. P. 68-74.

179.Vesnitsky A.I., Miloserdova I.V. Matching of vibrations flows as a method of vibration attenuation // Proc . of 4th International scientific conference of railway experts. Yugoslavia. 1997. P. 320-324.