Исследование сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности в космической плазме методом крупных вихрей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чернышов, Александр Александрович

• Чернышов, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернышов, Александр Александрович

Введение

Глава 1. Метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности политропной плазмы турбулентности

1.1 Введение.

1.2 Уравнения магнитной гидродинамики

1.3 Формулировка метода крупных вихрей.

1.4 Подсеточное моделирование.

1.4.1 Модель Смагоринского для МГД турбулентности.381.4.2 Модель Колмогорова для МГД турбулентности.

1.4.3 Модель, основанная на перекрестной спиральности.

1.4.4 Модель подобия масштабов для МГД турбулентности.

1.4.5 Смешанная модель для МГД турбулентности.

1.4.6 Динамическая процедура определения констант.

1.5 Численные методы, используемые при моделировании сжимаемой МГД турбулентности.

1.6 Численное моделирование затухающей МГД турбулентности.

1.6.1 Прямое численное моделирование.

1.6.2 Метод крупных вихрей.

1.7 Выводы.

Глава 2. Метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности теплопроводящей плазмы

2.1 Введение.

2.2 Уравнения магнитной гидродинамики теплопроводящей жидкости

2.3 Отфильтрованные уравнения магнитной гидродинамики тепло-проводящей жидкости.

2.4 Параметризации подсеточных слагаемых для сжимаемой магнито-гидродинамической турбулентности.

2.5 Численное моделирование и анализ результатов расчетов.

2.6 Выводы.

Глава 3. Установление слабо сжимаемого режима в МГД турбулентности космической плазмы и свойства турбулентности локальной межзвездной среды

3.1 Введение.

3.2 МГД модель и численное исследование локальной межзвездной среды

3.3 Анализ результатов моделирования и теоретическая интерпретация

3.3.1 Свойства сжимаемости среды.

3.3.2 Динамика намагниченности плазмы.

3.3.3 Турбулентные спектры локальной межзвездной среды.

3.3.4 Анизотропная турбулентность.

3.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности в космической плазме методом крупных вихрей»

Это очень просто мои дорогие: потому что политика гораздо сложнее, чем физика.

Альберт Эйнштейн

Сжимаемая магнитогидродинамическая (МГД) турбулентность является широко распространенным состоянием космической плазмы во многих астрофизических, гелиофизических, геофизических процессах. Например, в аккреционных дисках МГД турбулентность вызвана магнито-ротационной неустойчивостью [6, 49, 92]. Формирование звездных облаков вследствие эффектов магнитного поля и гравитации происходит в турбулентных условиях [12, 67, 123]. Динамика межзвездной и межпланетной среды также имеет турбулентный характер [32, 110, 121]. Большинство турбулентных явлений в физике Солнца описываются в рамках МГД: солнечный ветер, расширение солнечной короны, конвективная зона, фотосфера, солнечный тахоклин [68, 69, 115, 135]. Явления турбулентности наблюдаются в околоземном пространстве как в солнечном ветре, так и в в различных областях магнитосферы Земли, в частности, в дальней области геомагнитного хвоста наблюдаемые спутниками свойства космической плазмы адекватно можно объяснить только в рамках теории и моделей турбулентности [46, 119, 139]. Магнитогидродинамическая турбулентность является важным процессом при возникновении динамо-процессов и генерации магнитного поля в космических условиях [38, 55, 113, 136, 138]. Турбулентные течения в магнитном поле также широко распространены и в прикладных областях. Среди инженерных применений можно указать возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку [9, 58], магнитогидродинамическис течения в каналах [59], в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов [91].

Возникновение турбулентности связано с неустойчивостью исходного состояния космической плазмы. Вследствие неустойчивости амплитуда колебаний в электропроводящей жидкости нарастает до нелинейного уровня, при котором становятся существенными сложные процессы взаимодействия и взаимной трансформации колебаний. Как известно, при больших скоростях потока, то есть при больших числах Рейнольдса (характеризует отношение сил инерции к вязким силам), течение становится неустойчивым и разбивается на крупномасштабные вихри. Нелинейное взаимодействие между вихрями приводит к непрерывному дроблению их масштабов, происходящему вплоть до малых масштабов, для которых существенно затухание, обусловленное молекулярной вязкостью. Дробление масштабов вихрей соответствует перекачке энергии турбулентных движений из длинноволновой в коротковолновую область спектра. В результате в потоке появляются беспорядочные вихри разных размеров, и скорость потока в каждой точке меняется случайным образом. Кроме того, важнейшей особенностью турбулентности в космических условиях является наличие в ней случайных магнитных полей наряду со случайными значениями скорости. Для таких течений существенную роль играют эффекты нелинейности, вязкости, диффузии, сжимаемости, турбулентность является трехмерной, поэтому численное моделирование сжимаемой МГД является важным инструментом для исследования заряженной жидкости в таких МГД течениях. К тому же, плазма в космических условиях, как правило, не доступна для непосредственного экспериментального изучения.

Наиболее подробную информацию о турбулентном течении жидкости можно получить с помощью прямого численного моделирования - DNS (Direct numerical simulation) [89], которое заключается в численном решении полной нестационарной системы магнитогидродипамических уравнений. При таком подходе разрешаются все масштабы движения заряженной жидкости. Метод DNS не требует специальных замыканий для уравнений магнитной гидродинамики. Прямой численный расчет МГД турбулентности сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с большими гидродинамическими и магнитными числами Рейнольдса, которые характерны для исследуемых процессов, так как в этом случае число степеней свободы турбулентного движения велико и минимальное количество узлов на численной сетке должно быть столь большим, что ограничивает применение прямого численного моделирования для изучения турбулентных течений с реальными характерными числами Рейнольдса.

Осборн Рейнольде предложил статистический подход для исследования турбулентных течений [88], который заключается в осреднении уравнений движения - RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes). В методе RANS все параметры движения разлагаются на среднюю и турбулентную составляющие. В уравнении Навье-Стокса появляются рейнольдсовские напряжения, которые необходимо замкнуть. Следовательно, вся турбулентность моделируется (например, к—е модель [140, 141]), а не высчитывастся, как в методе DNS. Метод RANS обычно используется для теоретических исследований средних течений [23]. Этот подход не содержит информации о динамике турбулентности.

Метод крупных1 вихрей LES (Large eddy simulation) - это метод, который описывает приближенную динамику турбулентности, где крупномасштабная часть турбулентного потока высчитывается непосредственно, а мелкомасштабная -моделируется, то есть LES является промежуточным подходом к изучению турбулентности между DNS и RANS. Это видно на рисунке 1.1, который показывает различие между тремя вычислительными методами, применяемыми для исследования турбулентности.

В методе LES используется операция фильтрации для разложения характеристик турбулентного движения на крупномасштабную и мелкомасштабную части, что связано с достаточной изотропностью, однородностью и универсальностью мелких масштабов турбулентного движения. Мелкомасштабное движение исключается из исходной системы уравнений движения с применением процедуры фильтрации и дальше их влияние па движение моделируется с использованием подсеточных моделей SGS (subgrid scale) (или, другое название, SFS (subfilter scale)), выраженных через отфильтрованные параметры турбулентных течений. Крупномасштабное

Рис. 1. Розница между численными методами DNS, FLANS и LES. движение рассчитывается из решения отфильтрованных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики. LES является методом для моделирования течений с большими числами Рсйнольдса, так как в методе крупных вихрей предполагается, что энергия переносится от больших масштабов к малым только внутри инерционного интервала, поэтому число степеней свободы будет меньше, чем в методе DNS, следовательно, LES требует значительно меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS.

Изначально метод крупных вихрей развивался для моделирования гидродинамической турбулентности нейтральной жидкости [29, 34, 44, 63, 71, 84| для изучении задач метеорологии и океанологии. Большая часть работ была выполнена для несжимаемых течений. Использования LES к сжимаемым средам встречается значительно реже, вследствие увеличения сложности задачи из-за необходимости решения уравнения энергии. В отфильтрованном уравнении энергии появляются сразу несколько дополнительных подсеточных (SGS) слагаемых, которые необходимо параметризовать. Впервые LES рассматривался и использовался к сжимаемой жидкости в работе (98]. Первые применения метода LES к сжимаемым течениям рассматривали транспортное уравнения для внутренней энергии на единицу массы [31, 73], для давления [108] или для удельной энтальпии ]33, 98). В работах [103, 105] было предложено использовать уравнение полной энергии для замыкания системы гидродинамических уравнений нейтральной жидкости, причем некоторые подсеточные слагаемые имеют точно такой же вид, как и в уравнениях внутренней энергии или энтальпии. Подробная информация о различных подсеточных моделях метода крупных вихрей для случая сжимаемой жидкости содержится в работе [70]. В этой статье авторы рассматривают и тестируют параметризации для различных видов уравнений энергии: внутренней энергии, энтальпии и полной энергии.

Метод LES к течениям электропроводящей жидкости применялся и исследовался крайне мало. Все предыдущие работы в этом направлении ограничивались только рассмотрением несжимаемой жидкости для решения индустриальных задач. В работах [1, 47, 77, 78, 107, 114] авторы использовали LES для изучения несжимаемой МГД турбулентности, в статье [51] рассматривалось влияние магнитного поля в методе LES на течение несжимаемой проводящей жидкости при низких значениях магнитного числа Рейнольдса без использования уравнения для магнитной индукции. Во всех вышеупомянутых статьях несжимаемая система МГД уравнений рассматривалась без использования уравнения энергии. Для замыкания системы уравнений магнитной гидродииамики предполагалась политропность (или адиабатичность) процесса, или давление рассматривалось лишь как пассивная величина, которая обеспечивала несжимаемость МГД турбулентности. Тем не менее, многие течения электропроводящей жидкости не могут быть описаны в рамках несжимаемой среды, или сжимаемыми уравнениями в приближении политропии, а необходимо рассматривать теплопроводящую жидкость с использованием уравнения энергии. Применение LES для сжимаемой тенлопроводящей МГД жидкости значительно усложняется из-за того, что нужно решать уравнение энергии, в котором появляются дополнительные слагаемые из-за наличия магнитного поля. К тому же, после фильтрации появляются добавочные подсеточные члены, требующие разработки теории для их параметризации.

Вообще, полные нелинейные трехмерные уравнения магнитной гидродинамики (включая диссипативные, тепловые, диффузионные и сжимаемые эффекты) столь сложны, что поддаются лишь приближенному численному решению. Однако, из-за того, что для космических МГД течений характерны большие числа Рейнольдса и числа Маха отличны от нуля, моделирование сжимаемой МГД турбулентности ограничено вычислительными ресурсами и встречается намного реже, чем для несжимаемых сред. Поэтому зачастую пользуются упрощенными моделями, пренебрегая некоторыми эффектами. Например, моделирования идеальных МГД течений, когда пренебрегают диссипацией и теплопроводностью и считают, что проводимость плазмы бесконечная [7]. В этом случае система МГД уравнений становится гиперболической, а пе параболической, как для диссипативной системы уравнений, что упрощает численные решения, так как можно использовать хорошо развитые году поиск ие схемы различного порядка точности (в результате решение трехмерной задачи сводится к решению серии одномерных задач, численные потоки в каждом пространственном направлении вычисляются на основе соответствующей одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва [128]). Существуют несколько работ, где используют TVD схемы, ENO/WENO схемы, схем на основе принципа минимального значения производной и т.д. для решения уравнений вязкого сжимаемого газа для МГД случая [102] путем добавления численных вязких потоков к соответствующим невязким потокам, однако это часто нарушает монотонность разностной схемы и может привести к некорректным результатом, обычно подобного рода реконструкции используются для невязкой жидкости. Иногда используют квазиупругое приближение (anelastic approximation) [42, 43, 57] для МГД моделирования, когда предполагается, что звуковые моды отсутствуют или стационарны, однако такого рода приближение используются в основном только при моделировании конвективных зон Солнца и звезд. Часто межзвездную и межпланетную среду, а также солнечный и звездный ветер, рассматривают предполагая политропное (или адиабатическое) соотношение между плотностью и давлением для замыкания системы уравнений, в этом случае соображения о температуре процесса не являются основными и система сжимаемых МГД уравнений решается без уравнения энергии [15, 24, 32, 45, 69, 94]. Еще одним упрощением является рассмотрение сжимаемой двухмерной МГД турбулентности [25, 41, 56, 83], причем в работах [25, 83] в качестве начальных условий для скорости и магнитного поля использовалось детерминированное, неслучайное распределение (так называемый вихрь Орсзага-Танга [72, 81]), однако случайное распределение начальных значений скорости и магнитного поля является более подходящим условием для космических применений в МГД моделировании. Подробное влияние магнитного числа Рейнольдса на двумерное магнитогидродинамическое течение при различных начальных условиях описывается в работе [56]. Двухмерная МГД турбулентность существенно отличается от трехмерной турбулентности, так как в двухмерном потоке (если пренебречь вязкостью) сохраняется средняя завихренность, в то время как в трехмерном вихревые трубки деформируются и завихренность не является инвариантом движения, также турбулентные дипамо-процессы и генерация крупномасштабного магнитного поля возможны только в трехмерном случае МГД турбулентности [131]. Иногда при вычислении космических течений предполагают, что плазменная бета (отношение давления плазмы к энергии магнитного поля) столь велико,' что пренебрегают магнитным полем и задача сводится к гидродинамической и решается система уравнений для движения нейтральной жидкости [26-28].

Исследование сжимаемой турбулентности как в гидродинамике нейтральной жидкости, так и в магнитогидродинамике является трудной задачей, поскольку не существует аналитической или приближенной теории таких явлений. Однако, несмотря на существенную роль сжимаемости в космической плазме, целый ряд наблюдений показывает воспроизведение колмогоровского спектра флуктуаций плотности [3—5, 97] (этот факт продемонстрирован на рисунке 2). На рисунке 2 приведен трехмерный спектр плотпости электронов в межзвездной среде, полученный с помощью различных прямых и косвенных наблюдений [5], в работе [5] поясняются различные наблюдательные методы, изображенные на этом рисунке. Для интерпретации таких наблюдений была предложена теория "почти несжимаемой"(nearly incompressible) среды, которая описывает флуктуации плотности в гидродинамике нейтрального [111] и магнитного [112] газа в режиме переноса пассивного скаляра. В работе [28] аналитическая теория для сжимаемого нейтрального газа была подтверждена прямым численным моделированием только для двухмерного случая. В работе [94] прямым численным моделированием было показано, что в сжимаемой магнитогидродинамике существует аналогичный эффект уменьшения локального турбулентного числа Маха со сверхзвукового режима в дозвуковой, что соответствует режиму преобразования сверхзвуковых турбулентных

1од10(»ро1ю1 иа^епитЬвг, к (т '))

Рис. 2. Трехмерный спектр плотности электронов в межзвездной среде, полученный с помощью различных прямых и косвенных наблюдений /5/. Сплошная линия демонстрирует колмогоровский спектр определенный здесь без учета к-пространственного объемного коэффициента к2. флуктуаций в дозвуковые. Однако в этой работе в силу ограничений метода прямого численного моделирования не удалось получить спектры плотности и кинетической энергий и показать их совпадения и реализацию пассивного режима для плотности в сжимаемой МГД турбулентности. Несмотря на это авторы этой работы [94] используют эти результаты для интерпретации спутниковых данных о солнечном ветре и локальной межзвездной среде.

Цель работы

Разработать метод крупных вихрей для исследования сжимаемой магнито-гидродинамической турбулентности политропной плазмы. Расширить параметризации подсеточных явлений на случай присутствия эффектов сжимаемости и магнитного поля. Исследовать применимость различных подсеточных параметризаций для различных параметров подобия.

Разработать метод крупных вихрей для теплопроводящей плазмы в сжимаемой МГД турбулентности и разработать теорию принципиально новых подсеточных слагаемых, возникающих в методе крупных вихрей из-за присутствия магнитного поля и флуктуаций температуры.

Осуществить численное моделирование методом крупных вихрей затухающей сжимаемой МГД турбулентности в политропном газе и теплопроводящей плазме. Сравнить результаты моделирования метода крупных вихрей с результатами, полученные методом прямого численного моделирования.

Исследовать спектры флуктуаций плотности и энергии в сжимаемой магиитогидродинамической турбулентной плазме для политропного уравнения состояния. Показать возможность существования режима слабосжимаемых турбулентных пульсаций, когда флуктуации плотности являются пассивным скаляром.

Применить результаты моделирования для интерпретации известных спутниковых данных о флуктуациях плотности межзвездной среды. Исследовать свойства анизотропии сжимаемой турбулентности и намагниченности плазмы в условиях локальной межзвездной среды.

Научная новизна работы

Метод крупных вихрей ранее хорошо зарекомендовал себя для изучения гидродинамических течений атмосферы и океана, а также многих промышленных течений. Все имеющиеся предыдущие работы рассматривали либо течения несжимаемой жидкости, в том числе и магнитной, либо течения сжимаемой нейтральной жидкости без магнитного поля. В диссертационной работе впервые метод крупных вихрей сформулирован и реализован для изучения сжимаемых турбулентных течений космической плазмы, как в случае политропного газа, так и для теплопроводящей плазмы в магнитогидродинамическом приближении. Применение этого метода к изучению космической плазмы позволило впервые продемонстрировать наличие нетривиального режима, при котором спектры флуктуаций плотности воспроизводят спектры кинетической энергии турбулентности, и сделать вывод о режиме пассивного переноса плотности в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности, а также изучить временную динамику намагниченности плазмы и свойств анизотропии. Эти результаты позволили подтвердить гипотезы относительно спектров флуктуаций турбулентности локального межзвездного газа.

Практическая и научная ценность работы

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования сжимаемых МГД течений, поскольку предложенный метод крупных вихрей позволяет исследовать турбулентные течения с существенно более высокими числами Рейнольдса, что особенно важно для проблем космической плазмы.

В работе определены наилучшие подсеточпые модели при различных числах подобия для моделирования сжимаемой политропной космической плазмы. Предложенные новые параметризации подсеточных. слагаемых для описания турбулентности теплопроводящей плазмы могут быть использованы для изучения процессов в различных инженерных течениях, например, возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку, магнитогидродинамические течения в каналах, в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов.

Результаты исследований слабосжимаемого режима МГД турбулентности объяснили имеющиеся данные наблюдений межзвездного газа и могут быть использованы для планирования их новых наблюдений в космических проектах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается сравнением результатов, полученных методом крупных вихрей, с результатами исследования сжимаемой МГД турбулентности методом прямого численного моделирования, применением хорошо обоснованных численных методов, устойчивостью и сходимостью использованных разностных схем. Достоверность результатов третьей главы обеспечивается сравнением с имеющимися данными наблюдений межзвездной среды и приближенными теориями.

Публикации

Основное содержание настоящей диссертации опубликовано в реферируемых российских и зарубежных изданиях [16-22].

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на российских и международных научных конференциях и симпозиумах:

- ХЬУП и ХШП научных конференциях МФТИ, Москва, 2004-2005

- Конференциях молодых ученых, посвященных дню космонавтики, ИКИ РАН, Москва, 2005-2006

- XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", конференции молодых ученых, Нижний Новгород, 2006

- XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2006

- European Geosciences Union, EGU, Vienna, Austria, 2005

- Conference on Turbulence and Interactions TI2006, Porquerolles, France, 2006

- 8th International School/Simposium for Space Simulations (ISSS-8), Kauai, USA, 2007

- International School of Space Science "Turbulence and Waves in Space Plasmas", L'Aquila, Italy, 2007

Личный вклад автора

Автор принимал участие в формулировке задач и выборе методов их решения. Все численные и теоретические результаты, представленные в настоящей диссертации, а также сравнение с данными наблюдений, разработка численных алгоритмов, были получены лично автором диссертации.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чернышов, Александр Александрович

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

Сформулирован метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности политропной космической плазмы, показано, что в этом случае подсеточные модели получаются комбинацией и обобщением известных нодсеточпых слагаемых в гидродинамике сжимаемой нейтральной жидкости и несжимаемой магнитной жидкости. Исследованы предложенные подсеточные параметризации и выявлены подсеточные модели, которые демонстрируют наиболее точные результаты при моделировании затухающей сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности при различных числах подобия. Показано, что расширенная модель Смагорипского для сжимаемого МГД случая и модель, основанная на взаимной спиральности магнитного поля и скорости, обеспечивают наиболее точные численные результаты.

Разработан метод крупных вихрей для сжимаемой МГД турбулентности электро-и теплопроводящей жидкости и показано, что появляются принципиально новые подсеточные слагаемые в отфильтрованном уравнении полной энергии вследствие наличия магнитного поля. Предложена теория подсеточных турбулентных течений для новых подсеточных слагаемых для замыкания системы отфильтрованных по Фавру МГД уравнений. Проведено моделирование сжимаемой МГД турбулентности при различных числах Маха и показана применимость метода крупных вихрей к моделированию теплопроводящей плазмы при малых и умеренных числах Маха.

Исследована динамика флуктуаций плотности в космической плазме методом крупных вихрей. Установлено, что исходно сильно сжимаемые флуктуации становятся слабосжимаемыми и спектр флуктуаций плотности воспроизводит спектр кинетической энергии, это соответствует тому, что флуктуации плотности переносятся магнитогидродинамическим течением в режиме пассивной примеси. Это позволило подтвердить гипотезу о слабосжимаемой природе флуктуаций плотности, наблюдаемых в локальной межзвездной среде. Исследованы свойства спектров полной энергии со временем. Установлено, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектров также ослабевает. Показано, что увеличивается диссипативный интервал в энергетическом каскаде и уменьшается инерционный интервал. Исследованы свойства анизотропии МГД турбулентности космической плазмы в условиях локального межзвездного газа. Показано, что крупномасштабное МГД течение является анизотропным, а мелкомасштабное - изотропным в турбулентности локальной межзвездной среды.

Заключение

Если бы природа имела столько законов, сколько имеет государство, сам Господь не в состоянии был бы управлять ею.

Людвиг Бёрне

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернышов, Александр Александрович, 2008 год

1. Agullo, O., Miiller, W.-C., Knaepen, B., and Carati, D. (2001). Large eddy simulation of decaying inagnetohydrodynainic turbulence with dynamic subgrid-inodeling. Phys. Plasmas, 8(7), 3502-3505.

2. Anderson, J. D. (1995). Computational fluid dynamics: the basics with applications. McGraw-Hill, Inc., United States, 547 pages.

3. Armstrong, J. W., Cordes, J. M., and Rickett, B. J. (1981). Density power spectrum in the local interstellar medium. Nature, 291, 561-564.

4. Armstrong, J. W., Coles, W. A., Rickett, B. J., and Kojima, M. (1990). Observations of field-aligned density fluctuations in the inner solar wind. Astrophysical Journal, 358, 685-692.

5. Armstrong, J. W., Rickett, B. J., and Spangler, S. R. (1995). Electron density power spectrum in the local interstellar medium. Astrophysical Journal, 443(1).

6. Balbus, S. A., Hawley, J. F., and Stone, J. M. (1996). Nonlinear Stability, Hydro-dynamical Turbulence and Transport in Disks. Astrophysical Journal, 467, 76-86.

7. Balsara, D. (2001). Total Variation Diminishing Scheme for Relativistic Magneto-hydrodynamics. Astrophysical Journal Supplement, 132, 83-101.

8. Bardina, J., Ferziger, J. H., and Reynolds, W. C. (1980). Improved subgrid scale models for large eddy simulation. In AIAA 13th Fluid and Plasma Dynamics Conference, Snowmass, Colo, page 10.

9. Berger, T. W., Kim, J., Lee, C., and Lim, J. (2000). Turbulent boundary layer control utilizing the lorentz force. Phys. Fluids, 12(3), 631-649.

10. Berland, J., Bogey, C., and Bailly, C. (2006). Low-dissipation and low-dispersion fourth-order Runge-Kutta algorithm. Computers and Fluids, 35, 1459-1463.

11. Biskamp, D. (2003). Magnetohydrodynamic turbulence. Cambridge University Press, United Kingdom, 297 pages.

12. Boldyrev, S., Nordlund, A., and Padoan, P. (2002). Scaling Relations of Supersonic Turbulence in Star-forming Molecular Clouds. Astrophysical Journal, 573, 678-684.

13. Brandenburg, A. and Dobler, W. (2002). Hydromagnetic turbulence in computer simulations. Comp. Phys. Comm, 147, 471-475.

14. Brandenburg, A. and Subramanian, K. (2005). Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory. Physics Reports, 417, 1-209.

15. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Large-eddy simulation of magnetohydrodynamic turbulence in compressible fluid. Phys. Plasmas, 13(3), 032304.

16. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Subgrid-scale modelling of compressible magnetohydrodynamic turbulence in heat-conducting plasma. Phys. Plasmas, 13(10), 104 501.

17. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Subgrid-scale modelling in large-eddy simulations of compressible magnetohydrodynamic turbulence. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 21(1), 1-20.

18. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2006). Large eddy simulation of compressible MHD turbulence. In Conference on Turbulence and Interactions TI2006. Porquerolles, France.

19. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2007). Assessment of subgrid-scale models for decaying compressible MHD turbulence. Flow, Turbulence and Combustion, doi 10.1007/sl0494-007-9100-8, 15 pages.

20. Chernyshov, A. A., Karelsky, K. V., and Petrosyan, A. S. (2007). Development of large eddy simulation for modeling of decaying compressible magnetohydrodynamic turbulence. Physics of Fluids, 19(5), 055106.

21. Chkhetiany, 0. G., Moiseev, S. S., Petrosyan, A. S., and Sagdeev, R. Z. (2004). The large scale stability and self-organization in homogeneous turbulent shear flow. Phys. Scr, 49, 214-220.

22. Cho, J. and Lazarian, A. (2003). Compressible magnetohydrodynamic turbulence: mode coupling, scaling relations, anisotropy, viscosity-damped regime and astro-physical implications. Mon.Not.Roy.Astron.Soc., 345, 325-339.

23. Dahlburg, R. BT and'Picone, J. M. (1989): Evolution of the Orszag-Tang"vortex system in a compressible medium. I. initial average subsonic flow. Phys. Fluids B, 1, 2153.

24. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2004). Anisotropic density fluctuations in a nearly incompressible hydrodynamic fluid. Astrophysical Journal, 604(2), L125-L128.

25. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2004). Density spectrum in the diffuse interstellar medium and solar wind. Astrophysical Journal, 602(2), L29-L32.

26. Dastgeer, D. and Zank, G. P. (2005). Turbulence in nearly incompressible fluids: density spectrum, flows, correlations and implication to the interstellar medium. Nonlin. Processes Geophys., 12, 139-148.

27. Deardorff, J. W. (1970). A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers. J. Fluid Mech., 41, 453.

28. Eidson, T. M. (1985). Numerical simulation of the turbulent Rayleigh-Benard problem using subgrid modelling. J. Fluid. Mech., 158, 245-268.

29. El-Hady, N. M., Zang, T. A., and Piomelli, U. (1994). Application of the dynamic subgrid-scale model to axisymmetric transitional boundary layer at high speed. Phys. Fluids, 6(3), 1299-1309.

30. Elmegreen, B. G. and Scalo, J. (2004). Interstellar turbulence I: Observations and processes. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 42, 211.

31. Erlebacher, G., Hussaini, M., Speziale, C., and Zang, T. (1992). Toward the large-eddy simulation of compressible turbulent flows. J. Fluid. Mech., 238, 155-185.

32. Ezau, I. (2001). Large eddy simulation theory, models and experiments for the atmospheric boundary layer. An introductory essay, Uppsala Universitet, Sweden.

33. Favre, A. (1965). Equations des gaz turbulents compressible. I. Formes generales. J.Mee., 4, 361-390.

34. Ferziger, J. (1996). Large eddy simulation. In T. Gatski, Y. Hussami, and J. Lum-ley, editors, Simulation and Modeling of Turbulent Flows, pages 109-154. Oxford University Press, New York (NY).

35. Ferziger, J. H. and Peric, M. (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 423 pages.

36. Frick, P., Stepanov, R., and Sokoloff, D. (2006). Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo. Physical Review E: Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 74, 066310.

37. Germano, M. (1992). Turbulence: the filtering approach. J. Fluid. Mech., 238, 325-336.

38. Germano, M., Piomelli, U., Moin, P., and Cabot, W. (1991). A dynamic subgrid-scale eddy-viscosity model. Phys. Fluids A, 3(7), 1760-1765.

39. Ghosh, S. and Matthaueus, W. (1990). Relaxation processes in a turbulent compressible magnetofluid. Phys. Fluids B., 2(7), 1520.

40. Gilman, P. A. and Glatzmaier, G. A. (1981). Compressible convection in a rotating spherical shell. I. anelastic equations. Astrophys. J. Suppl. Ser., 45, 335-388.

41. Glatzmaier, G. A. (1984). Numerical simulations of stellar convcctive dynamos. I -The model and method. Journal of Computational Physics, 55, 461-484.

42. Glazunov, A. V. and Lykossov, V. N. (2003). Large-eddy simulation of interaction of ocean and atmospheric boundary layers. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 18(4), 279-295.

43. Goldstein, M., Roberts, D., and Matthaueus, W. (1995). Magnetohydrodynamics turbulence in the solar wind. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 33, 283-325.

44. Goldstein, M. L. (2005). Magnetosphcric physics: Turbulence on a small scale. Nature, 436, 782-783.

45. Gomez, T., Sagaut, P., Schilling, O., and Zhou, Y. (2007). Large-eddy simulation of very large kinetic and magnetic reynolds number isotropic magnetohydrodynamic turbulence using a spectral subgrid model. Phys. Fluids, 19(4), 032304.

46. Haugen, N. and Brandenburg, A. (2004). Inertial range scaling in numerical turbulence with hyperviscosity. Phys. Review E, 70(026405), 1-7.

47. Hawley, J. F., Gammie, C. F., and Balbus, S. A. (1995). Local Three-dimensional Magnetohydrodynamic Simulations of Accretion Disks. Astrophysical Journal, 440, 742-763.

48. Higdon, J. C. (1984). Density fluctuations in the interstellar medium: Evidence for anisotropic magnetogasdynamic turbulence. I model and astrophysical sites. Astrophysical Journal, 285, 109-123.

49. Knaepen, B. and Moin, P. (2004). Large-eddy simulation of conductive flows at low magnetic reynolds number. Phys. Fluids, 16(5), 1255-1261.

50. Knaepen, B., Debliquy, 0., and Carati, D. (2004). Direct numerical simulation and large-eddy simulation of a shear-free mixing layer. J. Fluid Mech., 514, 153-172.

51. Knaepen, B., Kassinos, S., and Carati, D. (2004). Magnetohydrodynamic turbulence at moderate magnetic reynolds number. J. Fluid Mech., 513, 199-220.

52. Knight, D., Zhou, G., Okong'o, N., and Shukla, V. (1998). Compressible large-eddy simulation using unstructured grids. AIAA Paper, 98-0535.

53. Krause, F. and Radler, H.-K. (1979). On the theory of the geomagnetic dynamo based on mean field electrodynamics,. Phys. Earth planet. Inter., 20, 158-171.

54. Ladeinde, F. and Gaitonde, D. (2004). Magnetic reynolds number effects in compressible magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Fluids, 16(6), 2097-2121.

55. Lantz, S. R. and Fan, Y. (1999). Anelastic Magnetohydrodynamic Equations for Modeling Solar and Stellar Convection Zones. Astrophysical Journal Supplement Series, 121(1), 247-264.

56. Lee, C. and Kim, J. (2002). Control of the viscous sublayer for drag reduction. Phys. Fluids, 14(7), 2523-2529.

57. Lee, D. and Choi, H. (2001). MHD turbulent flow in a channel at low magnetic reynolds number. J. Fluid. Mech., 439, 367 394.

58. Leonard, A. (1974). Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows. Adv. Geophys., 18, 237-248.

59. Lesieur, M. (1990). Turbulence in Fluids. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Holland.

60. Lilly, D. (1992). A proposed modification of the germano subgrid scale closure method. Phys. Fluids A, 4, 633-635.

61. Lilly, D. K. (1967). The representation of small-scale turbulence in numerical simulation experiments. In IBM scientific Computing Symposium on Environmental Sciences, pages 195-210. 320-1951.

62. Liu, S., Meneveau, C., and Katz, J. (1994). On the properties of similarity sub-grid-scale models as deduced from measurements in a turbulent jet. J. Fluid Mech., 275, 83-119.

63. Low, M.-M. M. (1999). The energy dissipation rate of supersonic, magnetohydro-dynamic turbulence in molecular clouds. Astrophys. J., 524, 169-178.

64. Low, M.-M. M. (2004). Turbulence in the interstellar medium. Astrophys. Space Sci., 289, 323-331.

65. Low, M.-M. M., Klessen, R. S., Burkert, A., and Smith, M. D. (1998). Kinetic energy decay rates of supersonic and super-alfvenic turbulence in star-forming clouds. Phys. Rev. Lett., 80, 2754-2764.

66. Mangeney, A., Grappin, R., and Velli, M. (1991). MHD turbulence in the solar wind. In E. Priest and A. Hood, editors, Advances in Solar System Magnetohydrodynamics, pages 327-356. Cambridge University Press, Cambridge, U.K.; New York, U.S.A.

67. Marsch, E. (1991). MHD turbulence in the solar wind. In R. Schwenn and E. Marsch, editors, Physics of the Inner Heliosphere II. Heidelberg: Springer-Verlag.

68. Martin, P., Piomelli, U., and Candler, G. (2000). Subgrid-scale models for compressible large-eddy simulations. Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 13, 361-376.

69. Meneveau, C. and Katz, J. (2000). Scale-invariance and turbulence models for largc-eddy simulation. Annu. Rev. Fluid Mech., 32, 1-32.

70. Mininni, P. D., Pouquet, A., and Montgomery, D. C. (2006). Small scale structures in three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Physical Review Letters, 97, 244503.

71. Moin, P., Squires, K., Cabot, W., and Lee, S. (1991). A dynamic subgrid-scale model for compressible turvulence and scalar transport. Physics of Fluids A, 3, 2746-2757.

72. Montgomery, D., Brown, M. R., and Matthaeus, W. H. (1987). Density fluctuation spectra in magnetohydrodynamic turbulence. J. Geophys. Res., 92, 282-284.

73. Müller, W.-C. and Biskamp, D. (1999). Decay laws for three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Rev. Lett, 83, 2195 2198.

74. Müller, W.-C. and Biskamp, D. (2000). Scaling properties of three-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. Phys. Rev. Lett, 84, 475-478.

75. Müller, W.-C. and Carati, D. (2002). Dynamic gradient-diffudion subgrid models for incompressible magnetohydrodynamics turbulence. Phys. Plasmas, 9(3), 824-834.

76. Müller, W.-C. and Carati, D. (2002). Large-eddy simulation of magnetohydrodynamic turbulence. Computer Physics Communications, 147, 344-347.

77. Orszag, S. and Tang, C.-M. (1979). Small-scale structure of two-dimensional magnetohydrodynamics. J. Fluid Mech, 90, 129-143.

78. Park, N., Yoo, J., and Choi, H. (2004). Discretization errors in large eddy simulation: on the suitability of centered and upwind-biased compact difference schemes. J. of Comput. Phys, 198, 580-616.

79. Picone, J. M. and Dahlburg, R. B. (1991). Evolution of the Orszag-Tang vortex system in a compressible medium. II. supersonic flow. Phys. Fluids B, 3, 29-44.

80. Piomelli, U. (1999). Large-eddy simulation: achievements and challenges. Progress in Aerospace Sciences, 35, 335-362.

81. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1992). Three-dimensional supersonic homogeneous turbulence: A numerical study. Phys. Rev. Lett, 68, 3156 -3159.

82. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1994). Kolmogorov-like spectra in decaying three-dimensional supersonic flows. Physics of Fluids A, 6, 2133-2142.

83. Porter, D. H., Pouquet, A., and Woodward, P. R. (1994). A numerical study of supersonic turbulence. Theor. and Comput. Fluid Dynarn., 4, 13-49.

84. Reynolds, O. (1895). On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 186, 123-164.

85. Rogallo, R. S. and Moin, P. (1984). Numerical simulation of turbulent flows. Ann. Rev. Fluid Mech., 16, 99-137. '

86. Sagaut, P. and Grohens, R. (1999). Discrete filters for large eddy simulation. Int. J. Numer. Mech. Fluids, 31, 1195-1220.

87. Shaikh, D. and Zank, G. P. (2006). The Transition to Incompressibility from Compressible Magnetohydroynamic Turbulence. Astrophysical Journal, 640, L195-L198.

88. Shaikh, D. and Zank, G. P. (2007). Three-dimensional simulations of turbulent spectra in the local interstellar medium. Nonlin. Processes Geophys., 4, 351-359.

89. Shebalin, J. V., Matthaeus, W. H., and Montgomery, D. (1983). Anisotropy in MHD turbulence due to a mean magnetic field. J. Plasma Phys., 29, 525-547.

90. Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with the primitive equations. Mon. Weather Rev., 91, 99-164.

91. Spangler, S. (2001). Multi-scale plasma turbulence in the diffuse interstellar medium. Space Science Rev., 99, 261-270.

92. Speziale, G., Erlebacher, G., Zang, T., and Hussaini, M. (1988). The subgrid-scale modelling of compressible turbulence. Phys. Fluids, 31(4), 940-942.

93. Stanescu, D. and Habashi, W. (1998). 2N-storage low dissipation and dispersion Runge-Kutta schemes for computational acoustics. J. Computational Physics, 143(2), 674-681.

94. Theobald, M., Fox, P., and Sofia, S. (1994). A subgrid-scale resistivity for magne-tohydrodynamics. Phys. Plasmas, 1(9), 3016 3032.

95. Ting, A. C., Matthaeus, W. H., and Montgomery, D. (1986). Turbulent relaxation processes in magnetohydrodynamics. Phys. Fluids, 29, 3261-3274.

96. Ustyugov, S. D. and Andrianov, A. N. (2002). Numerical simulation of magneto-convection in a stellar envelope. Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs, pages 281-288.

97. Vreman, B. (1995). Direct and Large-Eddy Simulation of the Compressible Turbulent Mixing Layer. Ph.D. thesis, University of^Twente, the Netherlands.

98. Vreman, B., Geurts, B., arid Kuerten, H. (1994). Realizability conditions for the turbulent stress tensor in large eddy simulation. J. Fluid Mech., 278, 351-362.

99. Vreman, B., Geurts, B., and Kuerten, H. (1995). Subgrid-modeling in les of compressible flow. Applied Scientific Research, 54, 191-203.

100. Williamson, J. H. (1980). Low-storage Runge-Kutta schemes. J. of Comput. Phys., 35, 48-56.

101. Yoshizawa, A. (1987). Subgrid modeling for magnetohydrodynamic turbulent shear-flows. Phys. Fluids, 30(4), 1089-1095.

102. Zang, T. A., Dahlburg, R. B., and Dahlburg, J. P. (1992). Direct and large-eddy simulations of three-dimensional compressible Navier-Stokes turbulence. Phys. Fluids A, 4(1), 127-3140.

103. Zang, Y., Street, R. L., and Koseff, J. R. (1993). A dynamic mixed subgrid-scale model and its application to turbulent recirculating flows. Phys. Fluids A, 5(12), 3186-3196.

104. Zank, G. P. (1999). Interaction of the solar wind with the local interstellar medium: a theoretical perspective. Space Science Reviews, 89, 413-688.

105. Zank, G. P. and Matthaeus, W. H. (1991). The equations of nearly incompressible fluids. I. hydrodynamics, turbulence and waves. Phys. Fluids A, 3(1), 69-82.

106. Zank, G. P. and Matthaeus, W. H. (1993). Nearly incompressible fluids. II: Magne-tohydrodynamics, turbulence and waves. Phys. Fluids A, 5(1), 257-273.

107. Zeldovich, Y. B., Ruzmaikin, A., and Sokoloff, D. (1983). Magnetic Fields in Astrophysics. Gordon and Breach, N.Y., 364 pages.

108. Zweibel, E. (1999). Magnetohydrodynamics problems in the intermedium medium. Phys. Plasmas, 6, 1725-1731.

109. Zweibel, E. (2002). Ambipolar drift in a turbulent medium. Astrophysical Journal, 567, 962-970.

110. Вайнштейн, С. И., Быков, А. М., и Топтыгин, И. Н. (1989). Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме. Наука, Москва, 311 стр.

111. Зеленый, Л. М. и Милованов, А. В. (2004). Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. Усп. Физ. наук, 174(8).

112. Иванов, Б. II. (2002). Мир физической гидродинамики: От проблем турбулентности до физики космоса. Едиториал УРСС, Москва, 240 стр.

113. Каплан, С. А. (1958). Межзвездная газодинамика. Гос.издательство физико-математической лит-ры, Москва, 194 стр pages.

114. Карельский, К. В., Петросян, А. С., и Чернышов, А. А. (2005). Метод крупных вихрей для сжимаемых магнитогидродинамических течений. Фильтрация по Фавру и подссточное моделирование. Препринт, Пр-2106, ИКИ РАН, 32 стр.

115. Колесничепко, А. Н. и Маров, М. Я. (2007). О влиянии спиральности на эволюцию турбулентности в солнечном протопланетном облаке. Астрономический Вестник, 41(1), 3-23.

116. Колмогоров, А. Н. (1941). Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. Докл. Академ. Наук СССР, 30(4).

117. Колмогоров, А. Н. (1941). К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой среде. Докл. Академ. Наук СССР, 31(6).

118. Колмогоров, А. Н. (1941). Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности. Докл. Академ. Наук СССР, 32(11).

119. Конторович, Л. и Крылов, В. (1949). Приближенные методы высшего анализа. Гос.издательство технико-теоретической лит-ры, Ленинград, 697 стр.

120. Куликовский, А. Г., Погорелов, Н. В., и Семенов, А. Ю. (2001). Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. Физматлит, Москва, 608 стр.

121. Куликовский, А. Г. and Любимов, Г. А. (1962). Магнитная гидродинамика. Физматлит, Москва, 247 стр.

122. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Е. М. (1986). Теоретическая физика: Гидродинамика, том VI. Наука, Москва, 736 стр.

123. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Е. М. (2005). Теоретическая физика: Электродинамика сплошных сред, том VIII. Физматлит, Москва, 656 стр.

124. Обухов, А. М. (1941). О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Докл. Академ. Наук CCCF, 32(1).

125. Обухов, А. М. (1941). О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Изв. Акад. Наук СССР. Серия геогрю и геофиз., 5(4-5).

126. Поттер, Д. (1975). Вычислительные методы в физике. Мир, Москва, 392 стр.

127. Прист, Э. Р. (1985). Солнечная магнитогидродинамика. Мир, Москва, 590 стр.

128. Рузмайкип, А. А., Шукуров, А. М., и Соколов, Д. Д. (1988). Магнитные поля галактик. Наука, Москва, 280 стр.

129. Сивухин, Д. В. (1990). Термодинамика и молекулярная физика (Общий курс физики; rn.II). Наука, Москва, 592 стр.

130. Соколов, Д. и Фрик, П. (2003). Модель многомасштабного МГД-динамо. Астрон. журн., 80(6).

131. Фортов, В. Е., Храпак, А. Г., Храпак, С. А., Молотков, В. И., и Петров, О. Ф. (2004). Пылевая плазма. Усп. Физ. наук, 174(5).

132. Фрик, П. Г. (1998). Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. ПГТУ, Пермь, 108 стр.

133. Фрик, П. Г. (1998). Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. ПГТУ, Пермь, 136 стр.

134. Фриш, У. (1998). Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. Фазис, Москва, 346 стр.

135. Хинце, И. (1963). Турбулентность. Физматлит, Москва, 680 стр.

136. Ши-и, Бай. (1964). Магнитная газодинамика и динамика плазмы. Мир, Москва, 302 стр.