Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Шурыгин, Вадим Васильевич

• Шурыгин, Вадим Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шурыгин, Вадим Васильевич

Содержание

-л

Введение

3

Глава 1 Гладкие многообразия над локальными алге-

брами

§ 1.1. Категория многообразий над алгебрами

§ 1.2. Подмногообразия, порождаемые инвариантными подмодулями

§ 1.3. Локальные алгебры в смысле А.Вейля и гладкие

функции над локальными алгебрами

§ 1.4. Расслоение А-струй А.Вейля

§ 1.5. Функтор А.Вейля на категории многообразий над

алгебрами

§1.6. Расслоения неголономных струй Эресмана как многообразия над локальными алгебрами

§ 1.7. Трансверсальный функтор А.Вейля на категории

слоеных многообразий

Глава 2 Геометрия расслоения А-струй А.Вейля

§ 2.1. Структурные группы расслоения А-струй

§ 2.2. А-аффинная связность на многообразии

§ 2.3. Лифты полей геометрических объектов и А-гладкие поля геометрических объектов на расслоении А-

струй

§ 2.4. Объект кручения связности в расслоении реперов

Втп

§ 2.5. Связности высших порядков на многообразии

Глава 3 Специальные классы многообразий над ло-

кальными алгебрами

§ 3.1. Канонические слоения и канонические соприкасающиеся расслоения п-мерного многообразия над

локальной алгеброй

§ 3.2. Представления голономии А-гладкого многообразия М„А

о

§ 3.3. Радиантные Ап-многообразия

§ 3.4. Радиантные А-гладкие многообразия

о

§ 3.5. Препятствие к радиантности А"-многообразия

§ 3.7. Трансверсально радиантные структуры по отношению к каноническому 1-слоению

Глава 4 Когомологии многообразий над локальными алгебрами

§ 4.1. Комплекс де Рама А-гладких форм на М„А

§ 4.2. Биградуированные когомологии многообразия . 190 § 4.3. Резольвенты пучков А-гладких форм со значениями в фактор-алгебрах и идеалах

§ 4.4. Когомологии с коэффициентами в пучках ростков

сечений расслоений на А-модули и их применение . 201 § 4.5. А-гладкие связности и классы Атьи-Молино

Список литературы

Список работ автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка»

Введение

Теория гладких многообразий над локальными алгебрами принадлежит области геометрии и топологии многообразий, несущих интегрируемые полиаффинорные структуры, определяемые ассоциативными коммутативными алгебрами. Эта область исследований тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов, геометрией и топологией слоений.

Актуальность темы. Среди многообразий над алгебрами наиболее изученными являются комплексные аналитические многообразия. Их геометрии и топологии, а также геометрии и топологии почти комплексных многообразий, посвящено большое количество работ, из которых следует отметить труды П.А.Широкова [98], монографии К.Яно [204], А.Вейля [19], Чжэнь Шэн-шэня [86], Р.Уэллса [81], К.Кодаиры [150]. Теория комплексных многообразий находит многочисленные приложения в задачах математической физики. Укажем, например, работы А.П.Нордена [59], Р.Уэллса [199], В.Р.Кайгородова [39], Ю.И.Манина [54], А.В.Ами-новой и Д.А.Калинина [99]. Другие двумерные алгебры, алгебры двойных и дуальных чисел, использовались в геометрических исследованиях Э.Штуди [189], А.П.Котельниковым [43]. Неевклидовы пространства над этими алгебрами изучались Б.А.Розенфель-дом [76]. Дифференциальной геометрии многообразий над алгебрами размерности два, их приложениям к линейчатой геометрии посвящены работы П.К.Рашевского [73], А.П.Нордена [58], [60].

Исходным пунктом для развития дифференциальной геометрии пространств над ассоциативными коммутативными алгебрами общего вида явилась теория аналитических функций гиперкомплексного переменного, разработанная в трудах Г.Шефферса

[188], П.Кэтчума [147], Р.Вагнера [197]. Общей теории пространств над алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П.Широкова [91], В.В.Вишневского [22], Г.И.Кручковича [44], [45], И.Ванжуры [195], А.С.Подковырина [67] и других авторов (см. обзор А.П.Широкова [95], книгу В.В.Вишневского, А.П.Широкова, В.В.Шурыгина [27]). А.П.Широковым [95] были обнаружены структуры многообразий над алгебрами НЗ. KcL-сательных расслоениях и расслоениях A-близких точек в смысле А.Вейля [198], что позволило упростить построение лифтов тензорных полей и линейных связностей с базовых многообразий на указанные расслоения (см. работы К.Яно и Ш.Кобаяси [208],

A.Моримото [176], [172], Р.Баумана [108], Л.Паттерсона [179]).

B.В.Вишневским были введены полукасательные расслоения и изучались структуры многообразий над алгебрами плюральных чисел, возникающие на этих расслоениях [23], [24].

Одним из важнейших примеров многообразий над локальными алгебрами являются расслоения А-струй (A-близких точек, А-скоростей) А.Вейля [198], изучению которых посвящено много публикаций. Укажем, кроме упомянутых выше работ А.Моримото, Р.Баумана и Л.Паттерсона, исследования П.Юэна [209], [210], И.Коларжа [151], [152], Э.Окассы [177], [178], а также работы Д.Эка [122], Г.Кайнца и П.Михора [145], Я.Словака [187], О.Лучи-ано [162], В.Микульского [164], [165], Я.Ганкарзевича, В.Микульского и 3.Погоды [133], посвященные теории так называемых функторов сохраняющих произведения, приводящих к расслоениям А-струй и другим многообразиям над алгебрами А.Вейля. Касательные расслоения и расслоения п^-скоростей Ш.Эресмана [124] -[126], представляющие собой частные случаи расслоений А.Вейля, исследовались в работах В.В.Вагнера [15], К.Яно и Ш.Ишихары

[207], Ш.Сасаки [186], А.Моримото [174], [175], Р.Баумана [109], X. Гол лека [135], Н.В.Талантовой и А.П.Широкова [78], М.О.Раху-лы [72], В.В.Трофимова [79]. В.В.Вагнером [14], [15] была установлена связь локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков. Представлениям дифференциальных групп посвящены работы П.К.Рашевского [74], Ю.Г.Лумисте [50]. О.В.Мантуро-вым [55] изучались инварианты представлений полупрямых алгебр Ли, к классу которых принадлежат алгебры Ли некоторых дифференциальных групп. Расслоение А-струй является расслоением, ассоциированным с главным расслоением ç-реперов, где g — высота алгебры А, и поэтому геометрия расслоения А-струй естественным образом связана с теорией дифференциально-геометрических структур высших порядков. В.В.Трофимовым [80] изучались тензорные расширения алгебр Ли с помощью алгебр дуальных и плюральных чисел. Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков, геометрии дифференциальных уравнений, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Ш.Эресмана [127], Г.Ф.Лаптева [48], В.В.Вагнера [13], Б.Л.Лаптева [46],[47], А.М.Васильева [17], П.Либерман [160], [161], У. Пол а [181], Н.М.Остиану [64], Л.Е.Евтушика [34],[35], И.Колар-жа [152], [153], В.И.Близникаса [7],[8], М.В.Лосика [49], А.К.Рыбникова [77], А.М.Виноградова, И.С.Красильщика и В.В.Лыча-гина [20], А.М.Шелехова [90], И.Коларжа и М.Модуньо [155]. Структуры многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами, несут на себе трансверсальные (нормальные) расслоения слоеных многообразий и полукасательные расслоения различных типов над ступенчато расслоенными многообразиями.

Для построения полного лифта поля геометрического объекта с многообразия на трансверсальное или полукасательное расслоение необходимо, чтобы это поле было проектируемым. Поднятия геометрических объектов в трансверсальное и полукасательные расслоения изучались Р.Волаком [201], В.В.Вишневским и Т.А.Пантелеевой [25], [24]. Проектируемость полей геометрических объектов в расслоениях изучалась в работах К.Яно и Ш.Ишихары [205], [206], А.П.Широкова и К.М.Егиазаряна [96], Б.Н.Шапукова [89], В.Е.Фомина [82]. Отметим также работы Б.Рейнхарта [182], П.Молино [167], [168], Л.Кордеро и Р.Волака [113], посвященные трансверсальной геометрии слоений. Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана и расслоениям и функторам А.Вейля, различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А.П.Широкова [95], И.Коларжа [41], Б.Н.Шапукова [88], В.В.Вишневского [23], в монографиях К.Яно и Ш.Ишихары [207], Л .Е.Евтушика, Ю.Г.Лумисте, Н.М.Остиану и А.П.Широкова [36], Б.Л.Рейнхарта [183], П.Молино [169], И.Коларжа, П.Михора и Я.Словака [154].

Структуры гладких многообразий над алгеброй дуальных чисел естественно возникают на многообразиях с интегрируемыми почти касательной или почти трансверсальной структурой и некоторых их обобщениях. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений и другие проблемы исследовались в работах Ф.Брикел-ла и Р.Кларка [110], М.Крэмпина и Дж.Томпсона [116], С.Де Фи-липпо, Дж.Ланди, Дж.Мармо, Дж.Виласси [119], Дж.Томпсона и У.Швардмана [191], М.де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо [159]. Проблема эквивалентности симплектической структуры стандарт-

ной структуре кокасательного расслоения исследовалась М.К.Фа-мом [180]. Топологии многообразий над алгеброй дуальных чисел посвящены статьи М.А.Малахальцева [51] и [52].

Геометрия многообразий с почти комплексными структурами, структурами почти произведения, /-структурами, и другими по-лиаффинорными структурами изучалась многими авторами. Отметим ранее упоминавшуюся монографию К.Яно [204], обзорные работы В.Ф.Кириченко [40], Н.М.Остиану [65], Н.Д.Полякова [69], статьи Ш.Ишихары [144], А.А.Салимова [185], где можно найти ссылки на литературу по теории указанных структур. Аффинор-ные структуры, естественно возникающие на Ф-пространствах, см. монографию А.С.Феденко [83], изучались в работах В.В.Балащен-ко, Н.А.Степанова и Ю.Д.Чурбанова [3], [4], [87].

Многообразие над локальной алгеброй А несет на себе канонические слоения, соответствующие идеалам алгебры А, на слоях которых индуцируются структуры (X. (^-многообразий в смысле У.Терстона [192] (см. также монографию Б.А.Апанасова [2]), и, таким образом, многообразие над локальной алгеброй несет на себе структуры тангенциальных (X, С)-слоений (см. работы Т.Инабы [142], М.А.Малахальцева [53]). В частных случаях алгебр высоты q — 1 слои канонических слоений оказываются аффинными многообразиями, теория которых развита в работах Л.Ауслендера и Л.Маркуса [102], [101], Дж.Милнора [166], Д.Фрида, У.Голдмана и М.Хирша [132], [134]. Тангенциально аффинным структурам ла-гранжевых слоений посвящены работы И.Вайсмана [194], Т.Инабы [142]. Наличие мультислоеных структур (см. работу К.Кодаиры и Д.Спенсера [149]) на многообразиях над алгебрами обусловливает возможность применения методов теории слоений при их изучении. Из обширной литературы, посвященной слоениям на

многообразиях, отметим, кроме указанных выше, исследования С.П.Новикова [57], Р.Ботта [106], Ф.Камбера и Ф.Тондера [146], И.Вайсмана [193], И.Н.Бернштейна и Б.И.Розенфельда [6], А.Хеф-лигера [139], ДжХейтша [140], Р.Блюменталя и Дж.Хебды [103] — [105], Эль Касими [129], Н.И.Жуковой [38], В.Ю.Ровенского [75]. Подробную библиографию публикаций, посвященных слоениям, можно найти в обзоре Д.Б.Фукса [84], монографиях П.Молино [169], Б.Рейнхарта [183].

В работе Ш.Кобаяси [148] изучались многообразия, моделируемые модулями над алгебрами гладких функций на компактном многообразии, В.С.Владимировым и И.В.Воловичем [28] развито дифференциальное исчисление для функций над коммутативными банаховыми супералгебрами, структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И.Н.Бернштейном и Б.И.Ро-зенфельдом [6]. Функторы А.Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых удобными [156] локально выпуклыми векторными пространствами, изучались в работе А.Кригла и П.Михора [157]. Другое обобщение функтора А.Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И.Коларжем [153].

Таким образом, изучение в общей ситуации геометрии и топологии гладких многообразий над локальными алгебрами и геометрии расслоения А-струй А.Вейля как многообразия над алгеброй является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии и топологии.

Цели работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии гладких многообразий над ло-

кальными алгебрами.

1. Изучение действия функтора А.Вейля на категории многообразий над алгебрами и определение условий, при которых гладкое многообразие над локальной алгеброй А эквивалентно расслоению 1А1¥п А-струй А.Вейля некоторого вещественного гладкого многообразия 1¥п. Нахождение условий редуцируемоети псевдогрупповой структуры многообразия к подпеевдогруппе локальных А-диффеоморфизмов модельного А-модуля Ап, порождаемой А-продолжениями локальных диффеоморфизмов пространства К".

2. Построение комплекса А-значных дифференциальных форм на обобщающего комплекс Дольбо комплексного многообразия, и резольвенты пучка А-гладких дифференциальных форм на многообразии

3. Изучение А-аффинной дифференциальной группы, являющейся структурной группой расслоения /АМП, и соответствующих А-аффинных связностей в расслоении А-гладких полей геометрических объектов на 3АМп и условий их эквивалентности А-продолжениям полей вещественных объектов с базового многообразия Мп.

4. Нахождение препятствий к существованию А-гладких связностей на А-гладком многообразии и препятствий к продолжению трансверсальных связностей до А-гладких. Изучение А-аффинных горизонтальных распределений на и нахождение препятствий к их существованию.

Методы исследования. Многообразия над алгебрами несут на себе естественные псевдогрупповые структуры и канонические слоения. Это обусловливает необходимость применения при их изучении различных специальных методов. При исследовании

вопросов, относящихся к геометрии расслоений струй, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П.Молино [169], Л.Е.Евтушик, Ю.Г.Лу-мисте, Н.М.Остиану, А.П.Широков [36]). В разделах, посвященных изучению топологических свойств многообразий над локальными алгебрами, применяются методы геометрии и топологии слоений (Б.Л .Рейнхарт [183], П.Молино [171]), (X, £)-мнообразий (У.Терстон [192], Д.Фрид, У.Гольдман, М.Хирш [132], [134]), теории пучков (Р.Уэллс [81]).

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем:

1) Получены общие формулы для локального представления дифференцируемого над локальной алгеброй А отображения из области А-модуля А" © Кто в А-модуль А"' 0 Кт' и исследовано действие функтора А.Вейля на категории многообразий над алгебрами.

2) Построено присоединенное к расслоению А-струй JAMn главное расслоение В(А)Мп А-аффинных реперов на МП1 структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа. Построен объект А-аффинной связности на гладком многообразии и получены уравнения параллельного перенесения в А-аффинной связности.

3) Найдено необходимое и достаточное условие эквивалентности А-гладкого поля дифференциально-геометрического объекта на расслоении /АМП полному лифту поля дифференциально-геометрического объекта с базового многообразия Мп.

4) Получены новые условия ковариантной постоянности дифференциально-геометрических объектов относительно связностей высших порядков в терминах А-продолжений этих объектов. Уста-

новлена связь обращения в нуль формы кручения связности высшего порядка с инвариантностью горизонтальных подрасслоений расслоений А<ЭМ(е)®М(£)-струй относительно диффеоморфизмов, порождаемых автоморфизмами алгебры А ® <8>

5) В терминах когомологий с коэффициентами в пучке проектируемых сечений расслоения трансверсальных А-струй над многообразием Мп над локальной алгеброй А построены препятствия для редуцируемости псевдогрупповой структуры А-гладкого многообразия на Мп к подпсевдогруппе Г7, порождаемой А-продол-жениями вещественных диффеоморфизмов. Доказано, что полное А-гладкое многообразие, допускающее Г'-атлас, А-диффеоморфно расслоению А-струй А.Вейля.

6) Введено понятие голономии слоя канонического слоения гладкого многообразия над локальной алгеброй и установлены соотношения, связывающие это понятие с голономией слоя, как (X, (^-многообразия, и с голономией слоя в смысле теории слоений.

7) Построен ¿-комплекс А-значных дифференциальных форм на обобщающий, с одной стороны, ¿^-комплекс Дольбо комплексного аналитического многообразия, а, с другой стороны, — ¿^-комплекс многообразия со слоением. Построена тонкая резольвента пучка ростков А-гладких р-форм на М^.

8) В терминах ¿-когомологий построены препятствия (классы Атьи-Молино) для существования А-гладких связностей в А-гладких главных расслоениях над М^ и препятствия для продолжения трансверсальных связностей на М^ до А-гладких связностей.

9) Введены А-аффинные горизонтальные распределения на М^, обобщающие А-аффинные связности в расслоении А-струй, и по-

строено препятствие — класс Атьи-Молино канонического соприкасающегося слоеного расслоения над — для существования А-аффинного горизонтального распределения на М^. Доказано, что на полном М^ А-аффинное горизонтальное распределение является связностью Эресмана в смысле Р.Блюменталя-Дж.Хеб-ды.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях по теории дифференциально-геометрических структур высшего порядка, в геометрии и топологии многообразий, несущих на себе структуру представления ассоциативной алгебры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

Восьмой Всесоюзной научной конференции по современным проблемам дифференциальной геометрии. Одесса, 20—21 сентября 1984 года;

Всесоюзном геометрическом семинаре имени Г.Ф.Лаптева. Москва, апрель 1986 года;

Всесоюзной геометрической школе "Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях и их приложения". Черновцы, 25—29 мая 1987 года;

Девятой Всесоюзной геометрической конференции. Кишинев, 20—22 сентября 1988 года;

Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия". Казань, 18—22 августа 1992 года;

Международной конференции "Lie-Lobachevsky Colloquium", Тарту, 26—30 октября 1992 года;

Лобачевских чтениях по современным проблемам геометрии. Москва, 14—19 декабря 1992 года;

Международной конференции "Classic and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces". Москва, 12—20 августа 1994 года;

Международном семинаре "Современная геометрия и ее приложения", посвященном 100-летию со дня рождения выдающегося российского ученого П.А.Широкова. Казань, 31 января — 2 февраля 1995 года;

Международной конференции "Foliations: Geometry and Dynamics". Варшава, 29 мая — 2 июня 1995 года;

Международной конференции " Conference on Differential Geometry and Applications". Брно, 28 августа — 1 сентября 1995 года;

Международной топологической конференции посвященной 100-летию со дня рождения П.С.Александрова. Москва, 27—31 мая 1996 года;

Втором европейском математическом конгрессе. Будапешт, 22—26 июля 1996 года;

Международной конференции " Conference on Differential Geometry". Будапешт, 27—30 июля 1996 года;

Международном геометрическом семинаре имени Н.И.Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей". Казань, 4 — 6 февраля 1997;

Семинаре кафедры высшей геометрии и топологии МГУ под руководством профессора А.С.Мищенко, 27 марта 1997 года.

Семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством академика РАН А.Т.Фоменко, 16 февраля 1998 года.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [211]—[239].

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

Глава 1 посвящена описанию категории многообразий над конечномерными ассоциативными коммутативными унитальными алгебрами, теории гладких функций над локальными алгебрами и действию функтора А.Вейля на категории многообразий над алгебрами.

В §1.1 описываются категория Л ассоциативных коммутативных конечномерных алгебр над полем R вещественных чисел, категория Л—Mod модулей над алгебрами из Л, имеющих конечную размерность над М, и категория Л—Man гладких многообразий над алгебрами из Л, моделируемых модулями из Л—Mod, а также приводятся примеры многообразий над алгебрами.

§1.2 посвящен рассмотрению распределений на А-гладком многообразии М, моделируемом А-модулем L, индуцируемых подмодулями L' С L инвариантными относительно группы GL(L, А) автоморфизмов модуля L. Такие распределения оказываются вполне интегрируемыми, а на их интегральных многообразиях индуцируются структуры А-гладких многообразий. Специально рассмотрен случай подмодулей, порождаемых главными идеалами алгебры. Результаты параграфа могут рассматриваться как обобщение результатов В.В.Вишневского [21] о структуре многообразий над прямыми суммами алгебр.

В §1.3 приводится определение локальной алгебры А в смысле А.Вейля, рассматриваются основные понятия, касающиеся локальных алгебр. Основным результатом параграфа является теорема 1.3.1, устанавливающая локальный вид А-гладкого отображения из области А-модуля строк А" в А-модуль Ак. Кроме того, в этом параграфе найдены локальные выражения для А-гладких отображений вида Ап —► Ак, где А = А/Е — фактор-алгебра (предложение 1.3.2) и А-гладких отображений вида Ап —► Ак в случае, когда алгебра А является полупрямой суммой А = А 0 I подалгебры А и идеала I (предложение 1.3.3), а также установлены свойства аналитических продолжений (рк : Ап —»• Ак отображений вида <р : Rn А*.

В §1.4 вводится расслоение А-струй А.Вейля JAMn вещественного гладкого многообразия Мп, рассматривается структура А-гладкого многообразия на JAMn и приводятся примеры многообразий над локальной алгеброй А, моделируемых А-модулем Ап.

Гладкое отображение (р : Мп —> Wk индуцирует А-гладкое отображение (рА = Jk(p : JAMn —»■ JAWk, и соответствие, относящее многообразию Мп расслоение /АМП, а гладкому отображению tp его А-продолжение <рА, является функтором JA : Man —» Л—Man из категории гладких многообразий в категорию многообразий над алгебрами. Функтор называется функтором А-продолжения А.Вейля. §1.5 посвящен изучению действия этого функтора на категории многообразий над алгебрами. Основным результатом этого параграфа является теорема 1.5.1, утверждающая, что расслоение JkM над А'-гладким многообразием М, моделируемым А'-модулем L, несет на себе структуру A (g) А'-гладкого многообразия, моделируемого модулем A <g> L.

В §1.6 метод построения неголономных продолжений Эресма-

на рассматривается в применении к расслоениям А-струй. Теорема 1.6.1 устанавливает естественную эквивалентность функторов Тдг : Man —> Bun и Т% : Man —> Bun неголономного и полугол ономного продолжений Эресмана соответственно функторам А.Вейля : Man Bun и J3*^,«) . Man Bun для алгебры

R(N, q) = K(l, q) <g>... <g> M(l, q) и некоторой ее подалгебры R(iV, q).

v-v-^

q раз

В §1.7 вводится расслоение трансверсальных А-струй JAM над гладким (п + т)-мерным многообразием М со слоением Т коразмерности п. Установленный в теореме 1.7.1 вид А-гладкого отображения Ф : W С Ап © Rm -»- Ап' © Rm> позволяет ввести на J^M структуру А-гладкого многообразия, моделируемого А-модулем An©Km. Далее исследуются свойства функтора JA трансверсаль-ного А-продолжения А.Вейля на категории слоеных многообразий. Как приложение, строятся лифты проектируемых функций и векторных полей с многообразия М на расслоение JAM.

Глава 2 посвящена изучению геометрии расслоения А-струй JAMn.

В §2.1 построена группа Ли Dn{А), называемая А-аффинной дифференциальной группой, и главное расслоение В(А)Мп со структурной группой Dn{А), присоединенное к расслоению JAMn. Группа Dn(A) интерпретируется как группа А-линейных автоморфизмов некоторой локальной алгебры A(n,q) (теорема 2.1.1). В теореме 2.1.2 выводятся структурные уравнения группы Dn{А). Для касательного расслоения, рассматриваемого как расслоение М(е)-струй для алгебры дуальных чисел К(е), группа Ли Dn(М(г)) совпадает с группой аффинных преобразований, а расслоение B(R(s))Mn с расслоением аффинных реперов на Мп.

о

Связность Г в расслоениир : Е —> со стандартным слоем А",

о

где А — максимальный идеал в А, и структурной группой Dn(k)

называется А-аффннной связностью, в частности, связность в расслоении В(А)Мп называется А-аффинной связностью на Мп.

В §2.2 выведены уравнения горизонтального распределения А-аффинной связности (теорема 2.2.1) и закон преобразования коэффициентов А-аффинной связности (теорема 2.2.2).

В §2.3 исследуется действие функтора А.Вейля на полях геометрических объектов на многообразии Мп. Введено понятие производной Ли Са\ поля геометрического объекта А на многообразии Мп в направлении поля А-струи а (теорема 2.3.1). Основным результатом этого параграфа является теорема 2.3.2, утверждающая, что А-гладкое поле А объекта порядка г типа JAF на расслоении 1АМп эквивалентно А-продолжению поля объекта А типа Г на Мп тогда и только тогда, когда ограничение объекта Л на расслоение реперов Вг(Мп) совпадает с производной Ли СдХ для некоторого поля А-струи в на Мп. Теорема 2.3.2 обобщает соответствующий результат А.П.Широкова для синектических метрик на касательном расслоении ТМп [97].

В §2.4 изучаются свойства объекта кручения связности Г в расслоении В<1Мп реперов порядка q. Связность Г определяет горизонтальное подрасслоение ТнТн1кМп во втором касательном расслоении ТТ1кМп расслоения А-струй для всякой локальной алгебры А высоты q — 1. Расслоение ТТ/АМП естественно эквивалентно расслоению А'-струй над Мп для алгебры А' = А®М(е) (8)К(ё:). Основным результатом параграфа является следующая геометрическая характеристика объекта кручения (теорема 2.4.1): связность Г имеет нулевую форму кручения тогда и только тогда, когда горизонтальное подрасслоение Т^Т^^Ми инвариантно относительно автоморфизма расслоения ТТ/АМ„, индуцируемого автоморфизмом алгебры А', переставляющим две дуальные едини-

цы.

В §2.5 в терминах А-продолжений получены условия, при которых ковариантно постоянен геометрический объект порядка г на многообразии Мп в связности порядка q в расслоении реперов В*Мп (теоремы 2.5.2 и 2.5.3).

В §2.6 результаты предыдущего параграфа применяются к полю метрического тензора на многообразии Мп. Доказана теорема 2.6.1: Если на римановом многообразии Мп существует связность порядка г > 2 с нулевой формой кручения, по отношению к которой метрический тензор ковариантно постоянен, то это риманово многообразие является локально евклидовым.

Объектом изучения в главе 3 является гладкое многообразие М^ над локальной алгеброй А, моделируемое А-модулем Ап. Исследования концентрируются в целом вокруг проблемы эквивалентности многообразия М^ некоторому расслоению А-струй А.Вейля /АМП. В связи с этим рассматриваются специальные классы А-гладких многообразий, допускающих атласы с преобразованиями координат, принадлежащими псевдогруппе локальных А-диффеоморфизмов А-модуля Ап, порождаемой А-продолжениями вещественных диффеоморфизмов.

В §3.1 с каноническим Р-слоением Т1, индуцируемым на М^ идеалом I С А, ассоциируется расслоение О ¡Г (МА) со стандартным слоем Р и структурной группой называемое каноническим соприкасающимся 1п-расслоением, и доказывается, что ОI (М^) и гомотопический группоид Пц(М^) слоения Т1 несут на себе структуры п-мерных гладких многообразий над алгеброй Ад, получаемой из А удвоением идеала I.

В §3.2 вводится представление голономии слоя Ь1 канонического Р-слоения на М^ (представление 1-голономии), из которо-

го факторизацией получаются представление голономии Ь1 как (X, (^-многообразия в смысле У.Терстона и представление голономии Ь1 в группе ростков диффеоморфизмов локальной транс-версали (предложения 3.2.1 и 3.2.2). Определяются понятия группоида Гц(М^) 1-голономии многообразия М^ и псевдогруппы Г(<^) 1-голономии многообразия М^ для трансверсального морфизма (р : И7^ —► М^. Доказывается, что Гц(М^) несет структуру Ад-гладкого многообразия (предложение 3.2.3), которое является хаусдорфовым в том и только том случае, когда М^ не имеет исчезающих циклов 1-голономии (предложение 3.2.4). Основные результаты этого параграфа:

Если многообразие М^ — полное, а <£> : \Уп —> М^ — погруже-

о

ние полной трансверсали для канонического Ап-слоения, то М^ А-диффеоморфно многообразию 1к\¥п/Т(у>) (теорема 3.2.2).

о

Если каноническое А"-слоение на полном А-гладком многообразии образовано слоями субмерсии р : М^ —> Мп с од-носвязными слоями, то многообразие А-диффеоморфно расслоению А-струй А.Вейля /АМП (теорема 3.2.3).

о

Полное многообразие каноническое Ап-слоение которого

образовано слоями субмерсии р : М^ —*■ Мп, допускающей сечение § : Мп —> накрывается расслоением А-струй А.Вейля JkMn (теорема 3.2.4).

Указанные утверждения обобщают соответствующие результаты М.Крэмпина и Дж.Томпсона [116] для многообразий с интегрируемой почти касательной структурой.

о

Слой канонического Ап-слоения на несет на себе естественен

ную структуру (X, 6?)-многообразия, где I = А", а (? = 1)п(А).

о

Такие (X, (^-многообразия называются в настоящей работе Ап-

о

многообразиями. Ап-многообразие называется радиантным, если

его (Ап, £>„(А))'-структура допускает редукцию к дифференциальной группе С Оп(А). Основным результатом §3.3 явля-

о

ется следующая теорема 3.3.1: Полное связное радиантное Ап-

1 О

многообразие изоморфно многообразию А".

Радиантным А-гладким многообразием называется многообразие М^, допускающее атлас, преобразования координат которого являются А-продолжениями вещественных диффеоморфизмов. Ф.Брикеллом и Р.С.Кларком была доказана теорема ([110], теорема 5), утверждающая, что полная близко касательная структура на многообразии изоморфна стандартной почти касательной структуре на некотором касательном расслоении. §3.4 посвящен доказательству следующего обобщения этого результата (теорема 3.4.1): Полное радиантное А-гладкое многообразие М^ изоморфно в категории А—Мапга(] расслоению А-струй /АМ„ некоторого вещественного многообразия Мп.

Здесь доказана также следующая теорема 3.4.2: Полное радиантное А-гладкое многообразие , моделируемое А-модулем Ап 0 Кт, А-диффеоморфно расслоению трансверсальных А-струй некоторого вещественного слоеного многообразия ТУ. В случае алгебры дуальных чисел М(е) этот результат сводится к теореме Т.В.Дука [121] о полных квазитрансверсальных структурах.

В §3.5 построены когомологические классы с коэффициентами в пучках ростков плоских сечений некоторых расслоений, ассоциированных с Ап-многообразием М^, являющиеся препятствиями к

о

радиантности М^ (теорема 3.5.1). В случае полного многообразия

о

М^ тривиальность соответствующих когомологических множеств

о о

эквивалентна изоморфности многообразия М„ А-модулю Ап (те-

о о

орема 3.5.2). Для Й(е)"-многообразия М^е> построенные классы совпадают с препятствиями к радиантности аффинных мно-

гообразий, построенными У.Голдманом и М.У.Хиршем в работе [134].

В §3.6 построены когомологические классы с коэффициентами в некоторых пучках, ассоциированных с (в частности, в пучке 5 ростков проектируемых сечений расслоения трансвер-сальных А-струй на МА), являющиеся препятствиями для ради-антности (теорема 3.6.1). В случае, когда многообразие является полным, тривиальность соответствующих когомологических множеств (в частности множества Н1(М^,<5)) эквивалентна А-диффеоморфности многообразия расслоению А-струй некоторого вещественного многообразия ]¥п (теорема 3.6.2).

§3.7 посвящен исследованию структуры полных трансверсаль-но радиантных А-гладких многообразий и нахождению условий трансверсальной радиантности многообразия Теоремы 3.7.1 и 3.7.2 из этого параграфа обобщают результаты §3.4 и §3.6.

Глава 4 посвящена изучению некоторых комплексов внешних дифференциальных форм на многообразиях над локальными алгебрами.

В §4.1 рассматриваются комплекс де Рама А ® 0*(МА) А-значных форм на комплекс де Рама (МА) А-гладких

форм на и конус Соп^) вложения ¿ : —> А ®

П*(МА). Для комплексов и Сопг(£) доказываются

леммы Пуанкаре (предложения 4.1.2 и 4.1.3), что позволяет построить резольвенту

О - ОГа1|г(М„А) Л СТп°(М») Д С5п\м£) Д ...

пучка ростков А-гладких функций на (теорема 4.1.1).

В предложении 4.1.5 устанавливаются некоторые соответствия между когомологиями де Рама многообразия и базовыми ко-гомологиями этого многообразия по отношению к каноническим

слоениям.

В §4.2 определяются специальные комплексы дифференциальных форм на МА и вводятся биградуированные когомологии (¿-ко-гомологии) многообразия МА, которые являются аналогом кого-мологий Дольбо комплексных многообразий и слоеных когомоло-гий многообразий со слоениями (с^-когомологий), что позволяет построить тонкую резольвенту

о - л ^>*(мА) Л л ^(мА) Л...

пучка ростков А-гладких з-форм на МА (теорема 4.2.1).

В §4.3 результаты §4.2 распространяются на случай форм со значениями в фактор-алгебрах и идеалах (предложения 4.3.1, 4.3.2, теорема 4.3.1) и устанавливаются некоторые соответствия между ¿-когомологнями и (1 ^-когомол огиями для канонических слоений на МА (предложение 4.3.1).

В §4.4 ¿-когомологии распространяются на случай форм с коэффициентами в пучке £ ростков А-гладких сечений А-гладкого расслоения на А-модули Е —> МА, что позволяет найти следующие представления

для когомологий многообразия МА с коэффициентами в пучке ростков А-гладких «-форм (теорема 4.4.1). Исполь-

зование этого изоморфизма позволяет представить в терминах 3,-когомологий препятствия к существованию А-гладких связностей в А-гладких главных расслоениях (классы Атьи) , а также пространства, содержащие инфинитезимальные деформации А-гладкой структуры на многообразии в смысле Кодаиры-Спенсера.

В §4.5 конструкция П.Молино с/^-когомологий тензориальных форм на слоеном главном расслоении распространяется на слу-

чай ¿/-когомологий тензориальных форм на А-гладком главном расслоении РА. В терминах ¿-когомологий тензориальных форм построены препятствие (класс Атьи-Молино расслоения РА) к существованию А-гладкой связности в РА (теорема 4.5.1) и препятствие к продолжению проектируемой связности 1\г в ассоциированном с РА трансверсальном слоеном главном расслоении РЪт До А-гладкой связности в РА (теорема 4.5.1).

В §4.6 на многообразии МА изучаются А-аффинные горизон-

о

тальные распределения — трансверсальные к слоям А"-слоения распределения, локальные уравнения которых имеют такой же вид как уравнения А-аффинной связности на расслоении А-струй А.Вейля. Доказывается, что препятствием к существованию А-аффинного горизонтального распределения на МА является класс Атьи-Молино слоеного главного расслоения, присоединенного к каноническому соприкасающемуся расслоению ОуМА (теорема 4.6.1).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шурыгин, Вадим Васильевич, 1998 год

Список литературы

1. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычагин B.B. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 28. М. 1988, 289 с.

2. Апанасов Б.Н. Геометрия дискретных групп и многообразий. М., Наука, 1991, 432 с.

3. Балащенко В.В., Степанов H.A. Канонические аффинорные структуры на регулярных Ф-пространствах. Успехи мат. наук, 1991, т. 46, вып 1 , с. 205-206.

4. Балащенко В.В., Чурбанов Ю.Д. Инвариантные структуры на однородных Ф-пространствах порядка 5. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, вып 1 , с. 169-170.

5. Белько И.В. Класс Атъя-Молино слоеного алгеброида Ли. Докл. АН Беларуси, т. 37, N 5, 1993, с. 16-18.

6. Бернштейн И.Н., Розенфельд Б.И. Однородные пространства бесконечномерных алгебр Ли и характеристические классы слоений. Успехи мат. наук, 1973, т. 28, вып 4 (172), с. 103-138.

7. Близникас В.И. Линейные дифференциально-геометрические связности высшего порядка в пространстве опорных элементов. Известия вузов. Математика, 1966, N 5, с. 13-24.

8. Близникас В.И. О геометрии нормальных систем дифференциальных уравнений высшего порядка с частными производными. Лит. мат. сб., 1969, т. 21, N 3, с. 310-325.

9. Ботт Р., Ту Jl.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М., Наука, 1989, 336 с.

10. Бояршинова A.B. О пространстве существенных инфините-зимальных деформаций. Известия вузов. Математика, 1997, N 8, с. 3-12.

11. БурбакиН. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра. М., Наука, 1987, 184 с.

12. Вагнер В.В. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии. Дополнение к книге Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., ИЛ, 1949, с. 135-223.

13. Вагнер В.В. Теория составного многообразия. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 8, МГУ, 1950, с. 11-72.

14. Вагнер В.В. Алгебраическая теория дифференциальных групп. ДАН СССР, т. 80, N 6, 1951, с. 845-848.

15. Вагнер В.В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 10, МГУ, 1956, с. 31-88.

16. Васильев A.M. Полувекторные поля в расслоениях. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 7. М. 1975, с. 23-26.

17. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур. Изд-во МГУ, М. 1987, 190 с.

18. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., ИЛ, 1949, 230 с.

19. Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. М., ИЛ, 1961, 220 с.

20. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1987, 336 с.

21. Вишневский В.В. Об одном свойстве аналитических функций над алгебрами и его приложении к изучению комплексных структур в римановых пространствах. Труды семин. каф. геом. Изд-во Казанск. ун-та, 1966, вып. 2, с. 5-12.

22. Вишневский В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами. Докторск. дисс., Казанский университет, 1972.

23. Вишневский В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 20. М. 1988, с. 35-75.

24. Вишневский В.В. Лифты дифференциально-геометрических структур в полукасательные расслоения высших порядков. Известия вузов. Математика, 1995, N 5, с. 16-24.

25. Вишневский В.В., Пантелеева Т.А. Голоморфные продолжения объектов в полукасательное расслоение второго порядка. Известия вузов. Математика, 1985, N 9, с. 3-10.

26. Вишневский В.В., Терина Г.А. К теории пространств над тензорными произведениями алгебр. Труды семин. каф. геом. Изд-во Казанск. ун-та, 1968, вып. 3, с. 12-23.

27. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань, изд-во Казанского университета, 1984. 264 с.

28. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление. Теорет. и мат. физика, 1984, т. 59, N 1, с. 3-27.

29. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М., Мир, 1973, 188 с.

30. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., Мир, 1976, 464 с.

31. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М., Наука, 1979, 760 с.

32. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы гомологической алгебры. М., Наука, 1984, 344 с.

33. Евтушик JI.E. Дифференциальные связности и инфинитези-мальные преобразования продолженной псевдогруппы. Труды геом. семин. ВИНИТИ АН СССР, т. 2. М., 1966, с. 119-150.

34. Евтушик JI.E. Нелинейные связности в метрических пространствах высших порядков. Известия вузов, Математика. 1970, N 1, с. 48-60.

35. Евтушик J1.E. Нелинейные тр-связности в главных расслое-

Матем. заметки., 1972, т. 11, N 3, с. 341-351.

36. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 9. М., 1979, 247 с.

37. Егиазарян K.M. О структуре аффинных связностей и тензорных полей на касательном расслоении высшего порядка. Докл. АН СССР, 1979, т. 246, N 4, с. 797-801.

38. Жукова Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев. Известия вузов, Математика. 1994, N 2, с. 79-81.

39. Кайгородов В.Р. Структура кривизны пространства-времени. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 14, М., 1983, с. 177-204.

40. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-прост-ранств. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 8, М., 1977, с. 95-126.

41. Коларж И. Естественные расслоения и операторы. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 23, М., 1991, с. 67-98.

42. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии.., т. I, М., Наука, 1981, 344 с.

43. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые его приложения к геометрии и механике. Казань, 1895, 216 с.

44. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 16, МГУ, 1972, с. 174-201.

45. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, II. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 17, МГУ, 1974, с. 218-227.

46. Лаптев Б.Л. Производная Ли в пространстве опорных элементов. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 10, МГУ, 1956, с. 227-248.

47. Лаптев Б.Л. Пространство опорных элементов. Тр. 4-го Все-союзн. матем. съезда, т. 2, М., 1964, с. 221-226.

48. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. Труды геом. семин. т. 1, Институт научн. инф. АН СССР, М. 1966, с. 139-189.

49. Лосик М.В. О теореме приведения для связностей высшего порядка. В сб.: Дифференциальная геометрия. Саратовский ун-т, 1980, N 5, с. 53-64.

50. Лумисте Ю.Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения р-кореперов. Труды геом. семин. т. 5, ВИНИТИ АН СССР, М. 1974, с. 239-257.

51. Малахальцев М.А. Аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел. Известия вузов. Математика, 1990, N 11, с. 82-84.

52. Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. Труды геом. семин., вып. 22, Изд-во Казанск. ун-та, 1994, с. 47-62.

53. Малахальцев М.А. (X, -слоения. Известия вузов. Математика, 1996, N 7, с. 55-65.

54. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., Наука, 1984, 336 с.

55. Мантуров O.B. Инварианты присоединенных и коприсоеди-ненных представлений полупрямых алгебр Ли. Докл. АН СССР, 1989, т. 305, N 3 с. 337-370.

56. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М., Наука, 1984, 208 с.

57. Новиков С.П. Топология слоений. Тр. Москов. матем. об-ва, 1965, т. 14, с. 248-278.

58. Норден А.П. О параллельном перенесении дуальных векторов. Ученые записки Казанск. ун-та, 1950, т. 110, вып. 3, с. 95-103.

59. Норден А.П. О комплексном представлении тензоров пространства Лоренца. Известия вузов. Математика, 1959, N 1, с. 156-163.

60. Норден А.П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства. Известия вузов. Математика, 1972, N 12, с. 84-94.

61. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., Наука, 1976, 432 с.

62. Норден А.П., Широков А.П. Наследие Лобачевского и деятельность Казанских геометров. Успехи мат. наук, 1993, т.48, вып.2, с. 47-74.

63. Онищик A.JI. Некоторые понятия и применения теории не-абелевых когомологий. Труды Моск. мат. об-ва, 1967, т. 17, с. 45-87.

64. Остиану Н.М. Ступенчато-расслоенные пространства. Труды геометр, семин. ВИНИТИ АН СССР, т. 5, М., 1974, с. 259309.

65. Остиану Н.М. Подмногообразия в дифференцируемых многообразиях, наделеных дифференциально-геометрическими структурами. V. CR-подмногообразия в многообразии почти комплексной структуры. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 19, М., 1987, с. 59-100.

66. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М., Мир, 1986, 544 с.

67. Подковырин A.C. Гиперповерхности унитарного пространства. I. Известия вузов. Математика, 1967, N 8, с. 41-52.

68. Подковырин A.C. Гиперповерхности унитарного пространства. II. Известия вузов. Математика, 1967, N 9, с. 75-85.

69. Поляков Н.Д. Дифференциальная геометрия многообразий /структуры. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 15, М., 1983, с. 95-126.

70. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. М., Наука, 1987, 480 с.

71. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. М., Наука, 1988, 496 с.

72. Рахула М.О. Теория катастроф и дифференциальная геометрия. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 16, М., 1984, с. 35-80.

73. Рашевский П.К. Скалярное поле в расслоенном пространстве. Труды семин. по вект. и тенз. анализу, вып. 6, МГУ, 1948, с. 225-248.

74. Рашевский П.К. О линейных представлениях дифференциальных групп и групп Ли с нильпотентным радикалом. Труды Моск. мат. об-ва, т. 6, 1957, с. 337-370.

75. Ровенский В.Ю. Метрические разложения слоений с неотрицательной кривизной. Докл. АН России, 1994, т. 334, N 6, с. 699-701.

76. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. ГИТТЛ, М.-Л., 1955, 744 с.

77. Рыбников А.К. О реализации аффинных связностей второго порядка. Вестник МГУ. Мат. Мех., 1984, N 3, с. 41-46.

78. Талантова Н.В., Широков А.П. Замечания об одной метрике в касательном расслоении. Известия вузов. Математика, 1975, N 6, с. 143-146.

79. Трофимов В.В. Плоская псевдориманова структура на касательном расслоении плоского многообразия. Успехи мат. наук, 1992, т. 47, N 3, с. 177-178.

80. Трофимов В.В. Канонические координаты на орбитах коп-рисоединенного представления тензорных расширений групп Ли. Успехи мат. наук, 1994, т. 49, N 1, с. 229-230.

81. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М., Мир, 1976, 286 с.

82. Фомин В.Е. Проектирование связностей в расслоениях банахова типа. Труды геом. семин., вып. 18, Казанск. ун-т, 1988, с. 95-117.

83. Феденко A.C. Пространства с симметриями. Минск., БГУ, 1977, 168 с.

84. Фукс Д.Б. Слоения. Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 18, М., 1981, с. 151-213.

85. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М., Мир, 1973, 280 с.

86. Чжэнь-Шэн-шэнь Комплексные многообразия. М., ИЛ, 1961, 240 с.

87. Чурбанов Ю.Д. Геометрия специальных аффинорных структур однородных Ф-пространств нечетного порядка. Известия вузов. Математика, 1994, N 2, с. 84-86.

88. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 15, М., 1985, с. 61-95.

89. Шапуков Б.Н. Проектируемость тензорных полей и связно-стей в расслоении. Труды геометр, семин., вып. 17. Казанский ун-т, 1983, с. 84-100.

90. Шелехов А.М. О дифференциально-геометрических объектах высших порядков многомерной три-ткани. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 19, М., 1987, с. 101-154.

91. Широков А.П. Пространства определяемые алгебрами. Док-торск. дисс., Казанский университет, 1965.

92. Широков А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами. Труды геометр, семин. ВИНИТИ АН СССР, т. 1, М., 1966, с. 425-456.

93. Широков А.П. К вопросу о чистых тензорах и инвариантных подпространствах в многообразиях с почти алгебраической структурой. Труды семин. каф. геометрии, вып. 2. Казанск. ун-т, 1966, с. 81-89.

94. Широков А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях. Труды геометр, семин. ВИНИТИ АН СССР, т. 5, М., 1974, с. 311-318.

95. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ), т. 12. М., 1981, с. 61-95.

96. Широков А.П., Егиазарян K.M. Проектирование связностей в расслоениях и его приложения к геометрии пространств над алгебрами. В сб. Дифференциальная геометрия, вып. 4, Саратовск. ун-т, 1979, с. 132-140.

97. Широков А.П., Шурыгин В.В. Структуры в касательных расслоениях, определяемые локальными алгебрами. В сб. Всесоюзная геометрическая школа "Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях и их приложения". Черновцы, 1991, с. 156-164. Библ. 13. Деп. в ВИНИТИ 05.02.91, N 562-В91.

98. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань, 1966, 432 с.

99. Aminova A.V., Kalinin D.A. Quantization of Kahler manifolds H-projective mappings. Tensor, 1995, vol. 56, pp. 1-11.

100. AtiyahM.F. Complex analytic connections in fibre bundles. Trans. AMS., vol. 85, 1957, pp. 181-207.

101. Auslander L., Markus L. Holonomy of flat affinely connected manifolds. Ann. Math., vol. 62, 1955, pp. 139-151.

102. Auslander L. The structure of complete locally affine manifolds. Topology., vol. 3, Suppl. 1, 1964, pp. 131-139.

103. Blumental R.A., Hebda J.J. Ehresmann connections for foliations. Indiana Math. J., 1984, vol. 33, no. 4, pp. 597-612.

104. Blumental R.A., Hebda J.J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations. Quart. J. Math., 1984, vol. 35, no. 4, pp. 597-612.

105. Blumental R.A., Hebda J.J. An analogue of the holonomy bundle for a foliated manifold. Tôhoku Math. J., 1988, vol. 40, no. 2, pp. 189-197.

106. Bott R. Lectures on characteristic classes and foliations. Lecture Notes in Math., vol. 279, Springer, 1972, pp. 1-94.

107. Bowman R.H. On differential extentions. Tensor., 1970, vol. 21, no. 2, pp. 139-150.

108. Bowman R.H. Concerning a problem of Yano and Kobayashi. Tensor., 1972, vol. 25, pp. 105-112.

109. Bowman R.H. Second order connections. J. Different. Geom., 1972, vol. 7, no. 3-4, pp. 549-561.

110. Brickell F., Clark R.S. Integrable almost tangent structures. J. Different. Geom., 1974, vol. 9, no. 4, pp. 557-563.

111. Clark R.S., Bruckheimer M. Sur les structures presque tangents. C. R. Acad. Sci., 1960, vol. 251, pp. 627-629.

112. Clark R.S., Goel D.S. On the geometry of an almost tangent manifold. Tensor, 1972, vol. 24, pp. 557-563.

113. Cordero L.A., Wolak R.A. Examples of foliations with foliated geometrical structures. Pacif. J. Math., 1990, vol. 142, no. 2, pp. 265-276.

114. Crampin M. Tangent bundle geometry for Lagrangian dynamics. J. Phys., 1983, vol. A 16, pp. 3755-3772.

115. Crampin M. Defining Euler-Lagrange fields in terms of almost tangent structures. Phys. Lett., 1983, vol. 97 A, pp. 466-468.

116. Crampin M., Thompson G. Affine bundles and integrable almost tangent structures. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1985, vol. 98, pp. 61-71.

117. Crittenden R., Covariant differentiation. Quart. J. Math., 1962, vol. 13, no. 5, pp. 285-298.

118. Dazord P., Hector G. Integration symplectique des variétés de Poisson totalement asphériques, in Symplectic Geometry, Grou-poids and Integrable Systems. Séminaire Sud Rhodanien à Berkeley , 1989. Springer Math. SKIP 20, 1991, Springer, pp. 38-72.

119. De Filippo S., Landi G., Marmo G., Vilasi G. Tensor fields defining a tangent bundles structure. Ann. Inst. Henri Poincaré, 1989, vol. 50, N 2, pp. 205-218.

120. Doupovec M., Kolár I. Natural affinors on time-dependent Weil bundles. Archiv. Math., 1991, vol. 27b, pp. 205-209.

121. Duc T.V. Structures presque-transverse. J. Different. Geom., 1979, vol. 14, no. 2, pp. 215-219.

122. Eck D.J. Product-preserving functors on smooth manifolds. J. Pure Appl. Algebra, 1986, vol. 42, pp. 133-140.

123. Ehresmann C. Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable. Colloq. de Topologie, Bruxelles, 1950, Paris, 1951, pp. 29-55.

124. Ehresmann C. Les prolongements d'une variété différentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal. C. R. Acad. Sci., 1951, t. 233, N 11, pp. 598-600.

125. Ehresmann C. Les prolongements d'une variété différentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm. C. R. Acad. Sci., 1951, t. 233, N 15, pp. 777-779.

126. Ehresmann C. Extension du calcul des jets aux jets non holono-mes. C. R. Acad. Sci., 1954, t. 239, N 25, pp. 1762-1764.

127. Ehresmann C. Sur les connexions d'ordre superior. Atti del V Congresso dell'Unione Math. Italiana, Roma, 1955, pp. 326-328.

128. Ehresmann C. Applications de la notion de jet non holonome. C. R. Acad. Sci., 1955, t. 240, N 4, pp. 397-399.

129. El Kasimi-Alaoui A. Sur la cohomologie feuilletée. Compositio Math. vol. 49, 1983, pp. 195-215.

130. El Kasimi-Alaoui A., Tihami A. Cohomologie bigraduée de certains feuilletages. Bull. Soc. Math. Belg., 1986, t. 38, ser B, fasc. 2, pp. 144-156.

131. Eliopoulos H.A. Structures presque tangents sur les variétés différentiables. C. R. Acad. Sci., 1962, vol. 255, pp. 1563-1565.

132. Fried D., Goldman W., Hirsch M.W. Affine manifolds with nilpotent holonomy. Comm. Math. Helv., 1981, vol. 56, no. 4, pp. 487-523.

133. Gancarzewicz J., Mikulski W., Pogoda Z. Lifts of some tensor fields and connections to product preserving functors. Nagoya Math. J., 1994, vol. 135, pp. 1-41.

134. Goldman W., Hirsch M.W. The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds. Trans. Amer. Math. Soc., 1984, vol. 26, no. 2, pp. 629-649.

135. GollekH. Anwendungen der Jet-Theorie auf Faserbündel und Lie-sche Transformationsgruppen. Math. Nachricht., 1972, B. 53, H. 1-6, S. 161-180.

136. Grifone J. Structure presque tangent et connexions. I. Ann. Inst. Fourier, 1972, vol. 22, no. 1, pp. 287-334.

137. Grifone J. Structure presque tangent et connexions. II. Ann. Inst. Fourier, 1972, vol. 22, no. 3, pp. 291-338.

138. Guillemin V., Sternberg S. Deformation theory of pseudogroup structures. Memoirs of Amer. Math. Soc. no. 64, 1966, 80 pp.

139. Haefliger A. Homotopy and integrability. Lecture Notes Math., 1971, vol. 197, pp. 133-163.

140. Heitsch J.L. A cohomology for foliated manifolds. Comment. Math. Helv., 1975, vol. 50, pp. 197-218.

141. Hermann R. On the differential geometry of foliations. Ann. of Math. Helv., 1960, vol. 72, pp. 445-457.

142. Inaba T. The tangentially affine structures of Lagrangian foliations and the tangentially projective structures of Legendrian foliations. 9 pp. Preprint.

143. Inaba T., K.Masuda. Tangentially affine foliations and leafwise affine functions on the torus. Kodai Math. J., 1993, vol. 16, pp. 32-43.

144. Ishihara S. On a tensor field $ satisfying = ±1. Tôhoku Math. J., 1961, vol. 13, no. 3, pp. 443-454.

145. Kainz G., Michor P. Natural transformations in differential geometry. Czech. Math. J. 1987, vol. 37, pp. 584-607.

146. Kamber F.W., Tondeur Ph. Foliated bundles and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, vol. 493, Springer 1975, 208 pp.

147. Ketchum P.W. Analytic functions of hypercomplex variables. Trans. Amer. Math. Soc., 1928, vol. 30, 641-667.

148. Kobayashi S. Manifolds over function algebras and mapping spaces. Tôhoku Math. J., 1989, vol. 41, no. 2, pp. 263-282.

149. Kodaira K., Spencer D.C. Multifoliate structures. Ann. Math., 1961, vol. 74, no. 1, pp 52-100.

150. Kodaira K. Complex manifolds and deformations of complex structures. Springer, 1986, 465 pp.

151. Kolâr I. Covariant approach to natural transformations of Weil functors. Comment. Math. Univ. Carolinae, 1986, vol. 27, pp. 723-729.

152. Kolâr I. On the natural operators on vector fields. Ann. Global Anal, and Geom., 1988, vol. 6, no. 2, pp. 109-117.

153. Kolâr I. An infinite dimensional motivation in higher order geometry. Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Aug.28 — Sept.l, 1995, Brno, Czech Republic, Brno, 1996, pp. 151-159.

154. Kolâr I., Michor P.W., Slovâk J. Natural operations in differential geometry. Springer, 1993, 434 pp.

155. Kolár I., Modugno M. On the algebraic structure on the jet prolongations of fibred manifolds. Czech. Math. J., 1990, vol. 40, no. 4, pp. 601-611.

156. Kriegl A., Michor P.W. A convenient setting for real analytic mappings. Acta Math., vol. 165, 1990, pp. 105-159.

157. Kriegl A., Michor P.W. Product preserving functors of infinite dimensional manifolds. Archiv. Math., vol 32, 1996, pp. 289-306.

158. León M. de, Rodrigues P.R. nk almost-tangent structures and the Hamiltonization of higher-order field theories. J. Math. Phys., 1989, vol. 30, no. 6, pp. 1351-1353.

159. León M. de, Méndes I., Salgado M. Integrable p-almost tangent manifolds and tangent bundles of pl-velocities. Acta Math. Hung. 1991, vol. 58, no. 1-2, pp. 45-54.

160. Liberman P. On sprays and higher order connections. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1963, vol. 49, no. 4, pp. 459-462.

161. Liberman P. Calcul tensoriel et connexions d'ordre supérieur. An. Acad, brasil, ciênc. 1965, t. 37, N 1, pp. 17-29.

162. Luciano O.O. Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points. Nagoya Math. J. 1988, vol. 109, pp. 67-108.

163. Mihai A. Sur Vexistence des connexions analytiques complexes d'ordre supérieur. Rev. roum. math, pures et appl. 1987, t. 32, N 3, pp. 265-268.

164. Mikulski W.M. Natural transformations of Weil functors into bundle functors Rend. Circ. mat. Palermo, Sér 2, 1989, vol. 22, pp. 177-191.

165. Mikulski W.M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds. Archiv. Math., vol 32, 1996, pp. 307-316.

166. Milnor J. On fundamental groups of complete affinely flat manifolds. Adv. Math., 1977, vol. 25, pp. 178-187.

167. Molino P. Propriétés cohomologiques et propriétés topologiques des feuilletages à connexion transverse protectable. Topology, 1973, vol. 12, pp. 317-325.

168. Molino P. Sur la géométrie transverse des feuilletages. Ann. Inst. Fourier, 1975, vol. 25, pp. 279-284.

169. Molino P. Théorie des G-structure: le problème d'équivalence. Lecture Notes in Mathematics, vol. 588, Springer, 1977.

170. Molino P. Actions de groures de Lie et presque-connexions. Lecture Notes in Mathematics, vol. 484, Diff. Topology and Geom., Springer, 1975, pp. 153-161.

171. Molino P. Riemannian foliations. Birkhâuser, 1988, 339 pp.

172. Morimoto A. Prolongation of G-structures to tangent bundles. Nagoya Math. J. 1968, vol. 32, N 6, pp. 67-108.

173. Morimoto A. Prolongation of G-structures to tangent bundles of higher order. Nagoya Math. J. 1970, vol. 38, pp. 153-179.

174. Morimoto A. Liftings of some types of tensor fields and connections to tangent bundles of pr-velocities. Nagoya Math. J. 1970, vol. 40, pp. 13-31.

175. Morimoto A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order. Nagoya Math. J. 1970, vol. 40, pp. 99-120.

176. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. J. Different. Geom., 1976, vol. 11, no. 4, pp. 479-498.

177. Okassa E. Prolongements des champs de vecteur à des variétés de points proches. C. R. Acad. Sci., 1985, sér 1, t. 300, N 6, pp. 173-176.

178. Okassa E. Relèvements des structures symplectiques et pseudo-Riemanniennes à des variétés de points proches. Nagoya Math. J., 1989, no. 115, pp. 63-71.

179. Patterson L.-N. Connexions and prolongations. Canad. J. Math., 1975, vol. 27, no. 4, pp. 766-791.

180. Pham M.Q. Sur la linéarisation du champ de vecteurs fondamental sur une variété symplectique exacte et la caractérisation des fibrés cotangents. C. R. Acad. Sci., 1986, sér 1, t. 303, pp. 139142.

181. Pohl W.F. Differential geometry of higher order. Topology, 1962, vol. 1, pp. 169-211.

182. Reinhart B.L. Foliated manifolds with bundle-like metrics. Ann. Math. 1959, vol. 69, no. 2, pp. 119-132.

183. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations. The fundamental integrability problem, Springer, 1983, 195 pp.

184. Roger C. Cohomologie (p,q) des feuillrtages et applications. Asterisque, 1984, vol. 116, pp. 195-213.

185. Salimov A.A. The generalized Yano-Ako operator and complete lift of tensor fields. Tensor, 1994, vol. 55, no. 2, pp. 142-146.

186. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds. Tôhoku Math. J. 1958, vol. 10, no. 3, pp. 333-354.

187. Slovak J. Prolongations of connections and sprays with respect to Weil functors. Rend. Circ. mat. Palermo, 1987, vol. 36, Suppl. N 14, pp. 143-156.

188. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewöhnlichen komplexen Funktionen. Berichte Sachs. Akad. Wiss., 1893, Bd. 45, S. 828-842.

189. Study E. Geometrie der Dymamen. Leipzig, 1902, 603 S.

190. Thompson G. Integral almost cotangent structures and Legendri-an bundles. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1987, vol. 101, pp. 61-78.

191. Thompson G., Schwardmann U. Almost tangent and cotangent structures in the large. Trans. Amer. Math. Soc., 1991, vol. 327, no. 1, pp. 313-327.

192. Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton Univ. Lecture Notes. 1978/1979.

193. Vaisman I. Variétés riemanniennes feuilletées, Czech. Math. J. vol 21, no. 1, 1971, pp. 46-75.

194. Vaisman I. df-cohomology of Lagrangian foliations, Monatshefte Math, vol 106, no. 3, 1988, pp. 221-244.

195. Vanzura J. On the geometry and topology of manifolds over algebras. Weiterbildungszentr. Math. Kybern. und Rechentechn. Sect. Math., vol 28, 1978, pp. 133-136.

196. Virsik G. Bunch connections. Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Aug. 28 - Sept. 1, 1995, Brno, Czech Republic, Brno, 1996, pp. 215-230.

197. Wagner R.D. The generalized Laplace equations in a function theory for commutative algebras. Duke Math. J., 1948, vol. 15, pp. 455-461.

198. Weil A. Théorie des points proches sur les variététes différen-tiables. Colloque internat, centre nat. rech. sci., vol 52, Strasbourg, 1953 , pp. 111-117.

199. Wells R. Complex geometry in mathematical physics. Les presses de l'université de Montreal, 1982.

200. Winkelnkemper H. The graph of a foliation. Ann. Glob. Anal. Geom., 1983, vol. 1. pp. 51-75.

201. Wolak R. Normal bundles of foliations of order r. Demonstratio Math., 1985, vol. 18, no. 4, pp. 977-994.

202. Wolak R. The structure tensor of a transverse G-structure on a foliated manifold. Bollet. Unione mat. Ital., 1990, Ser. 7, vol. 4-A, N 1, pp. 1-15.

203. Wolak R.A. Graphs, Ehresmann connections and vanishing cycles. Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Aug. 28 - Sept. 1, 1995, Brno, Czech Republic, Brno, 1996, pp. 345-352.

204. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. N.Y., 1965.

205. Yano К., Ishihara S. Fibered spaces and projectable tensor fields. Perspectives geom. and relativity. Bloomington—London, Indiana Univ. Press., 1966, pp. 468-481.

206. Yano K., Ishihara S. Fibered spaces with projectable Riemannian metric. J. Diff. Geom., 1967, vol. 1, no. 1, pp. 71-88.

207. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Marcel Dek-ker, N.Y., 1973.

208. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I. General theory. J. Math. Soc. Japan, 1966, vol. 18, no. 2, pp. 194-210.

209. Yuen P.C. Prolongements de G-structures aux espaces de prolongement. C. r. Acad. sci., 1970, vol. 270, N 3, pp. A538-A540.

210. Yuen P.C. Sur la notion d'une G-structure déométrique et les A-prolongements de G-structures. C. R. Acad. Sci., 1970, vol. 270, N 24, pp. A1589-A1592.

Список работ автора по теме диссертации

211. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. Труды геом. сем., вып. 15. Изд-во Казанск. ун-та, 1983, с. 98-115.

212. Шурыгин В.В. Расслоения струй, определяемые локальными алгебрами. Известия вузов, Математика, 1983, N 12, с. 77-80.

213. Шурыгин В.В. К теории дифференциальных групп высших порядков. Восьмая Всесоюзная научная конф. по соврем, проблемам дифференциальной геометрии. Одесса, 20-21 сентября 1984 года. Тезисы, с. 180.

214. Шурыгин B.B. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. II. Труды геом. сем., вып. 16. Изд-во Казанск. ун-та, 1984, с. 127-142.

215. Шурыгин В.В. К теории дифференциальных групп высших порядков. Известия вузов, Математика, 1984, N 11, с. 77-81.

216. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. III. Труды геом. сем., вып. 17. Изд-во Казанск. ун-та, 1986, с. 110-120.

217. Шурыгин В.В. Уравнения параллельного переноса А-струи. Известия вузов, Математика, 1987, N 9, с 78-80.

218. Шурыгин В.В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами. Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ), т. 19., М., 1987, с. 3-22.

219. Шурыгин В.В. О структурных уравнениях расслоений реперов высших порядков. Девятая Всесоюзная геометрическая конференция. Кишинев, 20—22 сентября 1988 года. Тезисы, с. 371.

220. Шурыгин В.В. О лифтах G-структур на расслоение А-струй. Труды геом. сем., вып.19. Изд-во Казанск. ун-та, 1989, с. 127-133.

221. Шурыгин В.В. О лифтах геометрических структур на расслоение А-струй. Материалы итоговой научной конф. Казанск. ун-та за 1987 год. Естественные и точные науки. Изд-во Казанск. ун-та, 1989, с. 18-19.

222. Шурыгин В.В. Структурные уравнения расслоения А-аффин-ных реперов. Известия вузов, Математика, 1989, N 12, с. 78-80.

223. Шурыгин В.В. Проектируемые геометрические объекты на расслоении А-струй. Труды геом. сем., вып. 20. Изд-во Ка-занск. ун-та, 1990, с. 120-126.

224. Шурыгин В.В. Применение теории многообразий над алгебрами в трансверсальной геометрии слоений. В сб. Памяти Лобачевского посвящается. Вып. 2. Изд-во Казанск. ун-та, 1992, с. 119-140.

225. Шурыгин В.В. Связности высших порядков и лифты полей геометрических объектов. Известия вузов, Математика, 1992, N 5, с. 96-104.

226. Шурыгин В.В. Об одном геометрическом свойстве объекта кручения связности высшего порядка. Между нар. научная конф. "Лобачевский и современная геометрия". Казань, 18— 22 августа 1992 года. с. 117-118.

227. Шурыгин В.В. Многообразия над локальными алгебрами эквивалентные расслоениям струй. Известия вузов, Математика, 1992, N 10, с. 68-79.

228. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй. Успехи мат. наук, т. 48, вып. 2 (290), 1993, с. 75-106.

229. Шурыгин В.В. О категории многообразий над алгебрами. Труды геом. сем., вып. 22. Изд-во Казанск. ун-та, 1994, с. 107122.

230. Шурыгин В.В. Об одном геометрическом свойстве объекта кручения связности высшего порядка. Известия вузов, Математика, 1994, N 2, с. 71-74.

231. Shurygin V.V. Horizontal distributions on manifolds over local algebras. Conference on Differential Geometry and Applications. Aug. 28 - Sept. 1, 1995, Brno, Czech Republic. Abstracts, p. 40.

232. Шурыгин В.В. Связность Эресмана для канонического слоения на многообразии над локальной алгеброй. Матем. Заметки. т.59, вып. 2, 1996, с. 303-310.

233. Shurygin V.V. On the bigraduated cohomology of manifolds over local algebras and its applications. Topology and Applications. International Topological Conference Dedicated to P.S.Alexand-roff's 100th Birthday, Moscow, May 27 - 31, 1996. Moscow, Phasis, 1996, pp. 211-212.

234. Shurygin V.V. Transversal and smooth metrics and connections on manifolds over local algebras. Abstracts of 4th International Congress of Geometry, Thessaloniki, Greece, May 26 — June 1, 1996, p. 118.

235. Shurygin V.V. Radiant structures on manifold over local algebras. Satellite Conference of the Second European Congress of Mathematics: Differential Geometry. Abstracts. Budapest, Hungary, 1996, July 27- 30, p. 112.

236. Шурыгин В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами. Изв. вузов. Математика, 1996, N 9, с. 74-88.

237. Shurygin V.V. Smooth connections and horizontal distributions on manifolds over local algebras. Proceedings of the Conference on Differential Geometry and Applications. Aug. 28 - Sept. 1, 1995. Brno. Czech Republic., Brno, 1996, pp. 309-319.

238. Shurygin V.V. The Atiyah-Molino classes for smooth manifolds over local algebras. Мешдунар. геометр, семинар "Современная

геометрия и теория физических полей". Казань, 4-6 февраля 1997. Тезисы., с. 141.

239. Шурыгин В.В. Классы Атьи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй А как препятствия к продолжению трансверсальных связностей до А-гладких. Труды геометр, семинара. Казанск. ун-т., вып. 23, 1997, с. 199-210.