Аффинные преобразования касательных расслоений со связностью полного лифта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Султанова, Галия Алиевна

• Султанова, Галия Алиевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Султанова, Галия Алиевна

дуальных чисел................................................ 18

1.3 Лифты тензорных полей с M в TM................................ 22

1.4 Полный лифт линейной связности................................ 27

1.5 Vy—лифты тензорных полей...................................... 31

1.6 Vyr-лифт тензорных полей типа (1,r)(r > 1) и его свойства .... 34

1.7 Нү—лифты тензорных полей...................................... 37

1.8 —лифты тензорных полей типа (1,r)(r> 1) и их свойства ... 43

2 Инфинитезимальные аффинные преобразования в касательных расслоениях со связностью полного лифта

с непроективно-евклидовой базой 46

2.1 Инфинитезимальные аффинные преобразования в касательных

расслоениях со связностью полного лифта ...................... 46

2.2 Условия интегрируемости уравнений инфинитезимальных

аффинных преобразований ...................................... 53

2.3 Структура алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения со связностью

полного лифта ................................................ 55

3

2.4 Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных

аффинных преобразований пространства (TM, V(0)) c непроективно-евклидовой базой Схоутена-Стройка первого типа . . 59

2.5 Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных

аффинных преобразований пространства (TM, V(0)) c непроективно-евклидовой базой Схоутена-Стройка второго типа . . 67

3 Аффинные преобразования касательных расслоений со связностью полного лифта с проективно-евклидовой базой 78

3.1 Оценка сверху размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, V(0))

с проективно-евклидовыми связностями с симметрическим тензорным полем Риччи.......................................... 78

3.2 Размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных

преобразований с несимметрическим тензорным полем Риччи . . . 85

3.3 Проектируемые аффинные векторные поля.......................... 99

3.4 Анализ размерностей алгебр Ли и исследование лакун

в распределении инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, V(0))........................................ 103

3.5 Группы аффинных преобразований в (TM, V(0)) над двумерными

максимально-подвижными пространствами линейной связности . . 107

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аффинные преобразования касательных расслоений со связностью полного лифта»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Теория касательных расслоений над дифференцируемыми многообразиями является одним из активно развивающихся направлений геометрии расслоенных пространств. Они находят разнообразные приложения в геометрии, теории дифференциальных уравнений, анализе, теории групп, а также в теоретической и математической физике.

Касательные расслоения первого порядка TM гладких многообразий возникли в середине 30-х годов прошлого столетия в связи с созданием теории расслоенных пространств [38]. Касательные расслоения высших порядков TkM, названные голономизированными составными многообразиями, были построены В.В. Вагнером [6]. Ш. Эресман [50], [51] исследовал расслоения -скоростей, включающие в себя касательные расслоения TkM. В 1953 году А. Вейль ввел расслоения A-близких точек, где A - алгебра А. Вейля [61]. Касательные расслоения TkM можно истолковать как расслоения "близких точек"А. Вейля. В 1974 году А.П. Широков показал, что на TkM существует гладкая структура над алгеброй плюральных чисел ) [45], а несколько позже А.П. Широковым и В.В. Шурыгиным были обнаружены структуры гладких многообразий на расслоениях Вейля [46], [47].

Исследования в области теории касательных расслоений первого порядка начали интенсивно развиваться с конца 50-х годов, после выхода серии работ Ш. Сасаки [56], [57]. Задав на базе риманову метрику g, он построил на TM риманову метрику, названную впоследствии его именем. В работах Ш. Сасаки введены вертикальные, полные лифты векторных и ковекторных полей с базы M в касательное расслоение TM.

5

Общая теория лифтов векторных и тензорных полей, линейных связностей с дифференцируемого многообразия M в его касательное расслоение была разработана К. Яно, Ш. Ишихара и Ш. Кобаяси [64], [65], [66]. К. Яно и Ш. Кобаяси ввели вертикальные, полные лифты тензорных полей и связностей с базы M в касательное расслоение TM. К. Яно и Ш. Ишихара построили горизонтальные лифты тензорных полей и связностей в касательные расслоения.

Среди отечественных ученых Ф.И. Каган [18] в 1967 году разработал теорию полного поднятия для тензоров произвольных валентностей, включающего как частные случаи вертикальный, горизонтальный и полный лифты. Им же построено семейство римановых метрик на TM, зависящих от трех скалярных полей, получающееся из метрики, заданной на базе расслоения. Метрику Сасаки и метрику полного лифта можно выделить в этом семействе как частные случаи при некоторых значениях скалярных полей.

В 1975 году Н.В. Талантова и А.П. Широков построили в касательном расслоении TM синектическую метрику, исходя из римановой метрики g и симметрического тензорного поля типа (0,2), заданных на базе M [40].

Результаты, полученные при изучении касательных расслоений первого и второго порядков и кокасательных расслоений, изложены в монографии К. Яно и Ш. Ишихара [63]. Построению лифтов тензорных полей и линейных связностей с базы M в касательные расслоения M и в расслоения -скоростей посвящены работы А. Моримото [53], [54]. Им же в работе [55] построено продолжение линейной связности, заданной на гладком многообразии M, в расслоения А. Вейля MA. Получены условия того, что возникающие при этом связности на MA будут локально симметрическими.

Различные структуры на MA изучались В.В. Шурыгиным и его учениками [48], А.Я. Султановым [34], И. Коларжем, П. Михором, Й. Словаком [52]. Векторные и тензорные расслоения исследовались Б.Н. Шапуковым и его учениками [43]. В [44] он построил полный лифт линейной связности на тензорных расслоениях. Полукасательные структуры на гладких многообразиях изучались В.В. Вишневским и его учениками [7], [9].

6

Одной из важных задач в теории расслоенных пространств является изучение инфинитезимальных преобразований римановых метрик и линейных связностей в этих пространствах.

Инфинитезимальные изометрии в касательных расслоениях, снабженных ри-мановой метрикой, исследовал Ш. Сасаки [57]. К. Сато в работе [59] получил общий вид инфинитезимальных аффинных преобразований в касательных расслоениях с метрикой Сасаки. К. Яно и Ш. Кобаяси получили разложение инфинитезимальных аффинных преобразований в TM со связностью полного лифта, сохраняющих слои. Эта задача была решена и в общем случае [65]. Они же исследовали проектируемые инфинитезимальные изометрии касательного расслоения TM c метрикой gC полного лифта метрики g, заданной на M. Полное решение задачи разложения инфинитезимальных изометрий в TM с метрикой полного лифта gC дал Ш. Танно [60].

Группы движений в римановых пространствах изучались Б. Риманом, С. Ли, Г. Фубини, И.П. Егоровым и другими геометрами. Группы проективных, аффинных, конформных движений в псевдоримановых пространствах изучались в работах А.В. Аминовой [1], [2], [3]. Большой вклад в теорию аффинных, проективных движений внесли И.П. Егоров [12], Г. Врэнчану, К. Яно и их ученики [13], [15].

Изучению инфинитезимальных проективных, аффинных, обобщенных конформных, гомотетических, изометрических преобразований в касательном расслоении TM, снабженном метрикой полного лифта и метрикой Сасаки, посвящена работа В.Г. Подольского [26].

Каноническое разложение произвольных инфинитезимального проективного и аффинного преобразований на касательном расслоении TM, снабженном полным лифтом линейной связности V, заданной на базе расслоения, получил Ф.И. Каган [19].

К. Ямагучи [62] рассматривал инфинитезимальные проективные и конформные преобразования в TM с метрикой полного лифта gC над связным римановым многообразием (M, g).

Каноническое разложение инфинитезимальных аффинных преобразований в

7

касательном расслоении TM с синектической связностью в смысле А.П. Широкова получил Х. Шадыев [42]. Синектическим метрикам и их инфинитезимальным изометриям посвящены работы С.Я. Нусь [24].

Изучению касательных расслоений и их автоморфизмов, снабженных различными геометрическими структурами, посвящена серия работ В.И. Паньженского [27]. Движения в касательных расслоениях TM со специальной метрикой изучала О.П. Сурина [37]. Структура алгебры Ли голоморфных векторных полей на расслоениях Вейля рассмотрена А.Я. Султановым [35]. Движения в касательных расслоениях, сохраняющих ортогональную и касательную структуры, рассматривались Р.Х. Ибрагимовой [17]. Результаты исследований инфинитезимальных аффинных преобразований в расслоениях, снабженных линейными связностями специального вида, приведены в работах О.А. Монаховой [22], Н.А. Осьмининой [25], Н.И. Маниной и А.Я. Султанова [21], К.М. Буданова и А.Я. Султанова [5].

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что тема настоящей диссертационной работы является актуальной.

Диссертация по своей теме относится к теории касательных расслоений дифференцируемых многообразий.

Целью диссертационной работы является исследование размерностей групп аффинных преобразований в касательных расслоениях со связностью полного лифта.

Основные задачи диссертационной работы.

1. Исследование условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований касательных расслоений со связностью полного лифта (TM, V(0)).

2. Изучение структуры алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательных расслоений со связностью полного лифта.

3. Установление максимальных размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, V(0)) и точности этих размерностей.

4. Изучение лакун в распределении групп аффинных преобразований в касательном расслоении TM со связностью полного лифта V(0).

8

Методология и методы исследования. В диссертации применяются методы локальной дифференциальной геометрии, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса C^, линейные связности - с нулевым тензорным полем кручения.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Введены Уүг- и Нүг-лифты тензорных полей типа (1,r)(r > 1), являющиеся обобщением Уү -и Нү -лифтов тензорных полей типа (1,1), и доказаны некоторые их свойства.

2. Получены точные оценки сверху размерностей алгебр Ли произвольных инфинитезимальных аффинных преобразований и выделены идеалы алгебр Ли проектируемых инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0).

3. Установлена лакуна в распределении максимальных размерностей групп аффинных преобразований в касательных расслоениях со связностью полного лифта.

4. Исследованы группы аффинных преобразований касательных расслоений со связностью полного лифта над двумерными неплоскими максимально-подвижными пространствами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории расслоенных пространств со связностями и метриками, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов-математиков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции студентов и аспирантов "Математика и ее приложения в современной науке и практике"(Курск, ЮЗГУ, 2013), на международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, ПГУ, 2013), на междуна

9

родной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования"(Барнаул, АлГУ, 2014, 2015), на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых, и молодежной школы-конференции по алгебре, анализу, геометрии (Казань, КФУ, 2016), на геометрическом семинаре кафедры геометрии и математического анализа ПГУ (рук. проф. В.И. Пань-женский и проф. А.Я. Султанов).

Основные результаты диссертации отражены в 14 опубликованных работах автора, список которых приведен в конце диссертации. Из них шесть статей опубликовано в журналах, включенных в список ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 131 странице и состоит из введения, трех глав, содержащих 18 параграфов, библиографического списка и списка публикаций автора по теме исследования. Библиографический список содержит 66 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается обзор результатов по исследуемой проблеме и кратко формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению продолжений тензорных полей с гладкого многообразия в его касательное расслоение. §§1.1-1.4 носят реферативный характер.

В §1.1 приводится определение касательного расслоения TM над дифференцируемым многообразием M, вводятся понятия вертикального и полного лифтов функций с базы в касательное расслоение.

В §1.2 описана гладкая структура на касательном расслоении над алгеброй дуальных чисел.

В §1.3 вводятся вертикальные и полные лифты векторных и ковекторных полей на TM и доказываются некоторые их свойства, а также приводятся определе

10

ния естественных лифтов тензорных полей типа (0,s) и (1,s) (s > 1) на TM, порожденных элементами алгебры дуальных чисел и векторным пространством линейных форм, заданных на алгебре дуальных чисел и принимающих значения в поле R действительных чисел.

В §1.4 дается определение полного лифта линейной связности c многообразия M в касательное расслоение TM, приводятся локальные компоненты связности и компоненты тензорных полей кривизны и кручения в натуральном подвижном репере. Линейную связность называют также аффинной связностью. Следует отметить, что иногда в научной литературе понятия аффинной и линейной связностей различают. Мы этого делать не будем.

§1.5 посвящен изучению вертикально-векторных поднятий тензорных полей типа (1,1) c базы в касательное расслоение. Вычислены коммутаторы Уү—лифтов, вертикальных и полных лифтов векторных полей на TM, приведенных в §1.3, необходимые для исследования инфинитезимальных аффинных преобразований, а также доказаны некоторые их свойства.

В §1.6 вводится обобщение Уү-лифтов - Уүr-лифты тензорных полей типа (1,r)(r > 1) на касательном расслоении и доказываются их свойства.

В §1.7 рассматриваются горизонтально-векторные поднятия тензорных полей типа (1,1), а в §1.8 определен Нүг -лифт тензорных полей типа (1,r)(r > 1) с M в TM, являющийся обобщением Нү-лифта тензорного поля типа (1,1), введенного Ш.Танно в 1974 году. Для этих лифтов вычислены производные Ли и ковариантные производные относительно вертикальных и полных лифтов векторных полей на TM.

Во второй главе исследуются инфинитезимальные аффинные преобразования касательных расслоений со связностью полного лифта над непроективноевклидовой базой.

В §§2.1-2.2 рассмотрены условия интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований с учетом структуры канонического разложения произвольного инфинитезимального аффинного преобразования пространства TM, снабженного связностью полного лифта V(0). Доказано, что каноническое

11

разложение единственно. Получены необходимые и достаточные условия, накладываемые на тензорные поля, участвующие в этом разложении.

В §2.3 исследуется структура алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований касательных расслоений со связностью полного лифта.

В §§2.4-2.5 получены точные оценки сверху размерностей алгебр Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, V(0)) с непроектив-но-евклидовой базой. Доказаны

Теорема 2.4.2. Максимальная размерность алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0) наД непроективно-евклиДовым пространством Схоутена-Стройка первого типа равна точно 4n2 — 9n + 14(n > 2), гДе n - размерность базы M.

Теорема 2.5.1. Максимальная размерность алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0) наД непроективно-евклиДовой базой Схоутена-Стройка второго типа не больше 4n2 — 13n + 22(n > 3), гДе n - размерность базы M.

В третьей главе изучаются группы аффинных преобразований и их алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательных расслоений TM, снабженных полными лифтами V(0) линейных связностей V без кручения, заданных на базе M, при условии, что связность V является проективно-евклидовой.

В §3.1 установлена максимальная размерность алгебр Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований в случае, когда база M является эквипроективным пространством. А именно, доказана

Теорема 3.1.3. Максимальная размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TM, V(0)) наД проективно-евклиДовой базой (M, V), тензорное поле Риччи которой симметрическое, равна точно 2n2 + 1(n > 2), гДе n - размерность базы M.

В §3.2 исследуются вопросы об установлении верхней границы размерности алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований в (TM, V(0)) с проективно-евклидовой базой с несимметрическим тензорным полем Риччи. Дока

12

заны следующие утверждения:

Теорема 3.2.1. Если база расслоения (M, V) является проективно-евклиДовым пространством, то любое инфинитезимальное аффинное преобразование X касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0) имеет виД:

X = X(0) + Y(1) + GVY,

гДе X,Y G ^i(M), G G ^}(M).

Теорема 3.2.3. Пусть V - линейная связность, заданная на базе M расслоения TM такая, что rangRic+ = 1, rangRic- = 2 и существуют векторные поля X, Y, заданные в некоторой окрестности U точки p G M, составляющие линейно-независимую систему, причем [X, Y] = 0, удовлетворяющие условию:

Ric+(X,X) = 0,Ric-(X,Y) = 0.

ТогДа максимальная размерность алгебр Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TM, V(0)) равна точно 2n2 — 2n + 3(n > 2), гДе n - размерность базы M.

Теорема 3.2.4. Пусть V - линейная связность, заДанная на базе M расслоения TM такая, что rangRic+ = 1,rangRic- = 2 и Для любых векторных полей X, Y выполняется слеДующее условие:

если Ric+(X,X) = 0, то Ric-(X, Y) = 0.

ТогДа размерность алгебр Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, V(0)) не превосхоДит 2n2 — 4n + 7(n > 2), гДе n - размерность базы M.

Как следствие этих теорем доказана

Теорема 3.2.5. Максимальная размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0) наД проективно-евклиДовой базой с несимметрическим тензорным полем Риччи равна 2n2 — 2n + 3(n > 2).

В §3.3 описаны проектируемые аффинные векторные поля и идеалы алгебры Ли проектируемых инфинитезимальных аффинных преобразований касательных

13

расслоений со связностью полного лифта. Доказано

Предложение 3.3.2. В алгебре Ли K1 всех проектируемых инфинитезимальных аффинных преобразований виДа X(0) + Y(1) + GVY, гДе X, Y G 3g(M), G G ^1(M) касательного расслоения TM со связностью V(0) можно выДелить цепочку вложенных иДеалов

K1 о K11 = {Y(1) + GVY} о L1 = {Y(1)}.

ИДеал L1 является также иДеалом алгебры K1.

Показано, что в общем случае последний идеал L1 в этой цепочке вложенных идеалов может и не быть идеалом исходной алгебры K1.

§3.4 посвящен установлению максимальной размерности алгебр Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований и исследованию лакун в распределении групп аффинных преобразований пространств (TM, V(0)). Доказаны следующие утверждения:

Теорема 3.4.1. Максимальная размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в касательных расслоениях TM со связностью полного лифта V(0) с ненулевым тензорным полем кривизны равна точно

4n2 — 9n + 14(n > 2).

Теорема 3.4.2. Максимальная размерность групп аффинных преобразований в касательных расслоениях TM со связностью полного лифта V(0) связности V с ненулевым тензорным полем кривизны равна точно 4n2 — 9n + 14 (n > 2).

Теорема 3.4.3. Не существует касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0), гДе V - проективно-евклиДова линейная связность, группа аффинных преобразований которого имеет максимальную размерность г, удовлетворяющую неравенствам

2n2 — 2n + 3 < r < 2n2 — 1(n > 2).

Теорема 3.4.4. Не существует касательного расслоения TM со связностью полного лифта V(0), группа аффинных преобразований которого имеет максимальную размерность г, удовлетворяющую неравенствам

14

4n2 — 9n + 14 < r < 2n(2n + 1)(n > 2).

В §3.5 исследованы максимальные размерности групп аффинных преобразований пространств (TM2, V(0)), когда база M является двумерным максимальноподвижным пространством линейной связности.

Доказаны

Теорема 3.5.4. Алгебра Ли всех инфинитезимальных аффинных преобразо-заний касательного расслоения TM2, снабженного полным лифтом максимальнопоДвижной линейной связности с ненулевым тензорным полем кривизны, имеет размерность 9.

Теорема 3.5.5. Группа аффинных преобразований касательного расслоения TM2, снабженного полным лифтом максимально-поДвижной линейной связности с ненулевым тензорным полем кривизны, имеет размерность 9.

И.П. Егоровым установлено три типа двумерных максимально-подвижных пространств линейной связности. В диссертации исследован вопрос о разрешимости алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований над этими пространствами. Доказана

Теорема 3.5.6. Алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM2, V(0)) наД Двумерными максимально-поДвижными пространствами (M2, V) являются разрешимыми.

15

Глава 1

Продолжение тензорных полей с гладкого многообразия в касательное расслоение

1.1 Касательное расслоение первого порядка. Лифты функций

Пусть M - n-мерное связное дифференцируемое многообразие класса C^, C^(M) - алгебра гладких класса Cфункций, заданных на M. Выберем произвольную точку p G M и координатную окрестность (U, x]) гладкого атласа многообразия M такую, чтобы p G U. На U возникают естественный подвижной репер (д]), где д] = дд и дуальный ему корепер (dx])(i = 1, 2,...,n), связанные между собой соотношениями dx^j) = dj. Значения векторного поля д] в точке p обозначим через дф, а дифференциала dx] - через dx]p. Тогда дф/ = (д]/ )(p) для каждой функции f G C^(M), df]p = (дф/)dx]p = (д]fdx])]p. Каждый арифметический вектор p = (pi,Pi, ...,Pi) G Rn определяет выражение Р]_дф = в точке p G M. Совокупность таких всевозможных линейных комбинаций образует векторное пространство относительно сложения и умножения на действительные числа, введенных условиями

pi^p + д,]р = (pl + )д,]р, А^дф) = (Аp1)д,]p.

16

Это векторное пространство обозначается TpM, каждый вектор этого пространства называется касательным вектором к M в точке p G M, а само TpM - касательным пространством к многообразию M в точке p G M. Касательное пространство TpM канонически изоморфно арифметическому векторному пространству Rn.

Обозначим через TM объединение всех касательных пространств к многообразию M:

TM TpM.

pGM

Отображение п : TM M, заданное условием n(tp) = p, называется

канонической проекцией, а тройка (TM, п,М) - касательным расслоением. Гладкое многообразие M называется базой расслоения, TM - пространством расслоения (иначе - тотальное пространство). Для каждой функции f G C^(M) функция определенная условием f(0) = f о п, называется ее вертикальным лифтом. Обозначим через п—1(U) полный прообраз области U карты (U, ^) и определим функции следующим образом. Для каждой точки G п—1(U) положим

x0(tp) = x'(P) = Р\

x1(tp) = dx[p(tp) = pp.

Заметим, что x0 = X о п = (x^)(0). Функции x0,X задают взаимнооднозначное отображение множества п—p(U) на U х и естественную топологию на TM, базой которой являются всевозможные прообразы открытых множеств из U х для всех областей U карт гладкого атласа M. Снабдив каждый прообраз п—p(U) координатными функциями x0,xp, получим на TM карты (п—p(U),x0,xp). Если (п—p(V),X0,Xp) - другая карта и п—p(U) О п—p(V) = 0, то U П V = 0. Пусть

17

xi

= xi(x1, ...,xn). Тогда для каждой точки tp G п 1(U) П п 1(V) будем иметь

x0(tp) = x'(p) = xi(x1(p),...,xn(p)) = x0(xi(tp ),...,xn(tp)),

xi (tp) = dx'(tp) = (dk x')(0)dxk (tp) = (dk x')(0)x^ (tp).

Отсюда заключаем, что

Q0

— (x1 xn)

Q0(x0,..., x0 ),

Qi __ dx0 xk

x1 x1,

(1.1.1)

причем эти функции перехода имеют класс гладкости C^, то есть принадлежат

алгебре функций C^(M) [63]. В этих формулах д^0 =

Якобиева матрица J =

дх0

дх0

дХ1

дх0

дх0 \ dxj t dXi j

dxj /

имеет вид

(dj xi)(0) (djk x')(0)xk

0

(dj xi)(0)

Поэтому detJ = (det]](djxi)(0)]])2 > 0 в каждой точке tp G п-1(и) П п-1(У). Таким образом, карты вида (п-1(и),x0,xi) составляют атлас гладкой структуры на TM.

Используя формулы (1.1.1), введем функцию f(1), называемую (1)-лифтом функции f G C^(M) следующим условием

f(i) = № f )(0)xj.

Отсюда следует, что для координатных функций xi имеем (xi)(1) = xi

18

(0)-лифт и (1)-лифт функций удовлетворяют очевидным тождествам:

(А& + ^g)(a) = ^/(а) + ^g(а), (а = 0, ^-, ^, ^ G R).

1.2 Гладкая структура на касательном расслоении над алгеброй

дуальных чисел

Гладкая структура касательного расслоения тесно связана с гладкой структурой на TM над алгеброй дуальных чисел A = R(e). В общем случае, существование на касательном расслоении TrM порядка r гладкой структуры над алгеброй плюральных чисел R(er) было показано А.П. Широковым в [45]. Опишем гладкую структуру на TM над алгеброй R(e) = {a + be ] a, b G R, e2 = 0}. Естественный базис этой алгебры составляют элементы е0 = 1,е^ = е. Наряду с алгеброй A = R(e) удобно пользоваться векторным пространством A* линейных форм, заданных на A и принимающих значения в R [34]. В этом пространстве выберем базис (e0,ei), дуальный базису (е0,е^), то есть еа(ee) = (а,в = 0,1).

Следуя А.П. Широкову, в каждой карте (п—^(U),x0,x)) введем дуальные переменные (координатные функции) (X)A = x0 + Ж]_е. Будем считать, что

(F)A(tp) = x0(tp) + x1(tp )е.

Рассмотрим функцию F, зависящую от переменных (x')A. Она задает на TM две функции F0(x0,X]_),Fi(x0,X]_), которые связаны с F равенством

F (Ы )A) = F0 (ж,0,ж';) + Ғ,(ж,0,ж1)е.

Будем считать, что функции F0,Fi имеют класс гладкости Дифференциал

19

dF((F)A) определим формально равенством

dF ((x')A) = dFo(x0,xi) + dFi(x0,xi)e,

в частности d(F)A = dx0 + dx]_e.

Определение 1.2.1[9]. Функция F((F)A) называется A—глаДкой, иначе -голоморфной по Шефферсу, если Дифференциал dF((x^)A) можно преДставить слеДующим образом:

dF ((X )A) = Ф^ d(F)A (1.2.1)

Для некоторых функций Ф^, заДанных на n—1(U) и принимающих значения в алгебре A Дуальных чисел.

Функции Ф^-((A)A), удовлетворяющие условию (1.2.1), называются частными производными F по переменным (X)A:

dF (F)A d (xj )A

= Ф^. ((x^)A).

Левую часть в этих равенствах для краткости запишем так:

dAF ((x')A).

Для любой функции f G C(M) ее ограничение на U будет зависеть от переменных А. На n—1(U), снабженном координатными функциями x0, x1, зададим функцию f A условием

fA = f(0) + f(1)S, (1.2.2)

где f(0) и f(!) - функции, введенные выше. Функция fA - A-гладкая, так как

(df )A = ((dif )(0) + (dif )(1)S)d(x')A.

20

Из этого равенства следует, что

дА/А = (д^ )(0) + (д]/)(1)^ = (д]/)А (1.2.3)

Таким образом, на п—1(U) можно ввести координатные функции (x])A. При переходе к другой карте (V, x]) на M возникают координатные функции (x])A. Если UHV = 0, то на пересечении UnV функции перехода имеют вид: x] = x](x1,..., xn). На основании формул (1.1.1) заключаем, что

(x])A = (x])A((x1 )A,..., (xn)A).

То есть функции перехода от (x])A к (x])A на п—1(U) Пп—1 (V) являются A—гладкими. На основании этого можно сделать вывод, что совокупность окрестностей п—1(U), снабженных функциями (x])A, составляют атлас A-гладкой структуры на касательном расслоении TM.

В заключение отметим, что равенство (1.2.2) позволяет установить, что касательное расслоение можно рассматривать как расслоение А. Вейля над алгеброй A дуальных чисел. Действительно, каждый касательный вектор tp к многообразию M в точке p G M порождает отображение

tp : C^(M) A,

удовлетворяющее условию tp(f) = fA(tp).

Это отображение является гомоморфным, так как для любых f, g G C(M) и А G R будем иметь:

tp(f + g) = (f + g )A(tp) = (f + g)(0)(tp) + (f + g)(1)(tp)^ =

= (f(o)(tp) + f(i)(tp)^) + (g(o)(tp) + g(i)(tp)^) = fA(tp) + gA(tp) = tp(f) + tp(g).

21

Аналогично

^(Af) = Atp(f)

для любого A G R.

Далее, с одной стороны,

^p(fg) = (fg)A(tP).

С другой - на основании равенства (1.2.2), получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Султанова, Галия Алиевна, 2017 год

Литература

[1] Аминова, A.B. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности, I / А.В. Аминова // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ. - 1974. - №6. - С. 317-346.

[2] Аминова, A.B. Группы почти проективных движений пространств аффинной связности / А.В. Аминова // Изв. вузов. Матем. - 1979. - №4. - С. 71-75.

[3] Аминова, А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий /А.В. Аминова. - М.: Янус-К, 2003. - 619 с.

[4] Бишоп, Р.Л. Геометрия многообразий / Р.Л.Бишоп, Р.Дж. Криттенден. - М.: Мир, 1964. - 336 с.

[5] Буданов, К.М. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения Вейля второго порядка со связностью полного лифта / К.М.Буданов, А.Я.Султанов // Изв. вузов. Матем. - 2015. - №12. - С. 3-13.

[6] Вагнер, В.В. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии. Дополнения к книге Веблен О. и Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии / В.В. Вагнер. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949. - С. 135-221.

122

[7] Вишневский, В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры / В.В.Вишневский // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ. — 1988. - Т. 20 - С. 35-75.

[8] Вишневский, В.В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации / В.В.Вишневский // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. ВИНИТИ. - 2002. - Т. 73. - С. 6-64.

[9] Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1984.

- 264 с.

[10] Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны. Пер. с англ. Ю.Д. Бураго / Дж.А. Вольф. - М.: Наука, 1982. - 480 с.

[11] Громол, Д. Риманова геометрия в целом. Пер. с нем. Ю.Д. Бураго. Под ред. и с добавлением В.А. Топоногова / Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер. -М.: Мир, 1971. - 344 с.

[12] Егоров, И.П. Движения в пространствах аффинной связности / И.П. Егоров.

- Казань: Изд-во Казанского гос.унив-та, 1965. - С. 5-179.

[13] Егоров, И.П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах / И.П. Егоров. // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. ВИНИТИ. - 1967. - С. 375-428.

[14] Егоров, И.П. Геометрия / И.П. Егоров. - М.: Просвещение, 1979. - 256 с.

[15] Егоров, И.П. Автоморфизмы в обобщенных пространствах / И.П. Егоров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ. - 1980.- Т. 10. - С. 147-191.

123

[16] Желобенко, Д.П. Компактные группы Ли и их представления / Д.П. Желобенко. - М.: Наука, 1970. - 674 с.

[17] Ибрагимова, Р.Х. Движения на касательных расслоениях, сохраняющие ортогональную и касательную структуры / Р.Х. Ибрагимова // Изв. вузов. Математика. - 1996. - №8. - С. 29-34.

[18] Каган, Ф.И. Римановы метрики в касательном расслоении над римановым многообразием / Ф.И. Каган // Изв. вузов. Математика. - 1973. - №6. - С.4251.

[19] Каган, Ф.И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении / Ф.И. Каган // Матем. заметки. - 1976. - 19:2.- С. 247-258.

[20] Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии в 2 т. Т.1 / Ш.Кобаяси, К. Номидзу; перевод с англ. Л.В.Сабинина. — М.: Наука, 1981. - 344 с.

[21] Манина, Н.И., Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта / Н.И. Манина, А.Я. Султанов // Изв. вузов. Матем. - 2011. - №9. - С. 62-69.

[22] Монахова, О.А. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта: дис. на соиск. учен. степ. к.ф.-м.н.:01.01.04 / Оксана Александровна Монахова; Казанский гос. ун-т. - Казань, 2004. - 105 л.

[23] Никитин, Н.Д. Инфинитезимальные движения в пространствах нелинейной связности / Н.Д. Никитин // Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сб. научных трудов Пенз. гос. пед. ун-та. - 1999. - С. 93-101.

124

[24] Нусь, С.Я. Специальные римановы метрики в касательных расслоениях: Дис. на соиск. учен. степ. к.ф.-м.н.:01.01.04 / Светлана Яковлевна Нусь; Казанский гос. ун-т. - Казань, 1985. - 95 л.

[25] Осьминина, Н.А. Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка с синектической связностью: Дис. на соиск. учен. степ. к.ф.-м.н.:01.01.04 / Наталья Александровна Осьминина; Казанский гос. ун-т. — Казань, 2003. - 103 л.

[26] Подольский, В.Г. Инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки / В.Г. Подольский // Изв. вузов. Математика. - 1976. - №9. - С. 128-132.

[27] Паньженский, В.И. Инфинитезимальные автоморфизмы метрических пространств финслерова типа / В.И. Паньженский // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математ и ее приложения. Темат. обзоры. - 2009. - Т. 123. - С. 81-109.

[28] Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы. Монография / Л.С. Понтрягин. -М.:Наука, Физматлит, 1973. - 527 с.

[29] Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М.: Наука, Физматлит, 1967. - 664 с.

[30] Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 744 с.

[31] Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств / Н.С. Синюков. - М.: Наука, 1979. - 258 с.

[32] Сорокина, М.В. Об инфинитезимальных автоморфизмах почти симплектической структуры на касательном расслоении обобщенного

125

лагранжева пространства / М.В. Сорокина // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2005. - 147:1 . - С. 154-158.

[33] Султанов, А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения линейных реперов со связностью полного лифта / А.Я. Султанов // Тр. геом. сем. - 1994. - №22.- С. 78-88.

[34] Султанов, А.Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля / А.Я. Султанов // Изв. вузов. Матем. - 1999. - №9. - С. 64-72.

[35] Султанов, А.Я. Голоморфные аффинные векторные поля на расслоениях Вейля / А.Я. Султанов // Матем. заметки. - 2012. - 91:6. - С. 896-899.

[36] Султанов, А.Я. Линейные алгебры, их дифференцирования и линейные связности. Монография / А.Я. Султанов. - Пенза: ПГПУ, 2010. - 280 с.

[37] Сурина, О.П. О движениях в пространствах с метрикой (x, y) = e2v(x,y)yij(x)

/ О.П. Сурина // Геометрия обобщенных пространств. Межвузовский сб. научных трудов Пенз. гос. пед. ин-та. - 1992. - С. 96-100.

[38] Стинрод, Н. Топология косых произведений / Н. Стинрод. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. - 274 с.

[39] Схоутен, И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии Т.2 / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк. - М.: Государственное изд-во иностр. литер., 1948. - 348 с.

[40] Талантова, Н.В. Замечание об одной метрике в касательном расслоении / Н.В. Талантова, А.П. Широков // Изв. вузов. Матем. - 1975. - №6. - C. 143-146.

[41] Хамфрис, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Дж. Хамфрис. - М.: МЦНМО, 2003. — 216 с.

126

[42] Шадыев, Х. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении / Х. Шадыев // Тр.геом.сем. - 1984. - Т. 16. - С. 117-127.

[43] Шапуков, Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б.Н. Шапуков // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. - 1983. - Т. 15. - C. 61-93.

[44] Шапуков, Б.Н. Лифт связности на тензорных расслоениях / Б.Н. Шапуков // Изв. вузов. Матем. - 1986. - №12. - C. 70-72.

[45] Широков, А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях / А.П. Широков // Труды геом. сем. М. ВИНИТИ АН ССР. - 1974. - Т.5.- С. 311318.

[46] Широков, А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами / А.П. Широков // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. ВИНИТИ. - 1981. - №12.- С. 61-95.

[47] Шурыгин, В.В. Многообразия над локальными алгебрами, эквивалентные расслоениям струй / В.В. Шурыгин // Изв. вузов. Матем. - 1992. - №10. - С. 68-79.

[48] Шурыгин, В.В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля / В.В. Шурыгин // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. ВИНИТИ. - 2002. - Т. 73. - C. 162-236.

[49] Шурыгин, В.В. Некоторые аспекты теории многообразий над алгебрами и расслоения Вейля / В.В. Шурыгин // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. ВИНИТИ. - 2009. - Т. 123. - C. 211-256.

[50] Ehresmann, С. Les prolongements d'une variete differentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal / C. Ehresmann // C. E. Acad. Sci. — 1951. - № 11. — P. 598-600.

127

[51] Ehresmann, C. Les prolongements d'une variete differentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de dans Vm / C. Ehresmann// C. E. Acad. Sci. — 1951. — № 15. — P. 777-779.

[52] Kolar, I. Natural operation in differential geometry / I. Kolar, P. Michor, J. Slovak. - Berlin: Springer. — Verlag, 1993 - 437 p.

[53] Morimoto, A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order / A. Morimoto // Nagoya Math. J. - 1970. - Vol. 40. - P. 99-120.

[54] Morimoto, A. Liftings of some type of tensor fields and connections to tangent bundles of -velocities / A. Morimoto // Nagoya Math. J. - 1970. - Vol. 40. - P. 13-31.

[55] Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points / A. Morimoto //J. Diff. Geom. — 1976. — Vol. 11. — P. 479-498.

[56] Sasaki, Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds. I / Sh. Sasaki // Tohoku Math. J. - 1958. - № 3. - P. 338-354.

[57] Sasaki, Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds. II / Sh. Sasaki // Tohoku Math. J. - 1962. - Vol.14, № 2. - P. 146-155.

[58] Sato, K. Complete lifts from a manifold tangent bundle / K. Sato // Kodai Math. Semin. Repts. — 1968. — V.20.— № 4.— P. 458-468.

[59] Sato, K. Infinitesimal affine transformations of the tangent bundles with Sasaki metric / K. Sato // Tohoku Math. J.— 1974.— 26.— № 3.— P. 353-361.

[60] Tanno, S. Infinitesimal isometries on the tangent bundles with complete lift metric / S. Tanno // Tensor, N.S. - Vol.28. - 1974. - P. 139-144.

128

[61] Weil, A. Theorie des points proches sur les varieties differentiables, Colloque in-ternat. Centre nat. rech. Sci. / A. Weil // Geom. Different. — 1953. - Vol. 52- P. 111-117.

[62] Yamauchi, K. Infinitesimal projective and conformal transformations in a tangent bundle / K. Yamauchi // Sci. Rep. Kagoshima Univ. - 1983. - №32. - P. 47-58.

[63] Yano, K. Tangent and cotangent bundles. Differential Geometry / K. Yano, S. Ishihara. - New York, Marcel Dekker, 1973. - 423 p.

[64] Yano, K. Prolongation of thensor fields and connective to tangent bundles. I. General theory / K. Yano, Sh. Kobayasi //J. Math. Soc. Japan. - 1966. - Vol. 18. -№2. - P. 194-201.

[65] Yano, K. Prolongation of thensor fields and connective to tangent bundles. II. Infinitesimal automorphisms / K. Yano, Sh. Kobayasi // J. Math. Soc. Japan. -1966. - Vol. 18. - №3. - P. 236-246.

[66] Yano, K. Horisontal lifts and connections to tangent bundles / K. Yano, S. Ishihara //J. Math. and Mech. - 1967. - Vol. 16, №9. - P. 1015-1029.

129

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях (в соответствии с Перечнем ВАК)

1. Султанова, Г.А. О некоторых свойствах лифтов тензорных полей в касательных расслоениях / Г.А. Султанова // Вестник педагогического университета.

- Душанбе, 2013. - №5(54). - С. 87-89.

2. Султанова, Г.А. Некоторые лифты тензорных полей типа (1,r) c базы в его касательное расслоение / Г.А. Султанова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. - 2014. - №1(29). - С. 54-63.

3. Султанов, А.Я. Оценка размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения T(M) со связностью полного лифта / А.Я. Султанов, Г.А. Султанова // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2014. - Том 156. - Книга 2. - С. 43-54.

4. Султанова, Г.А. О горизонтально-векторных поднятиях тензорных полей с базы в ее касательное расслоение / Г.А. Султанова // Вестник БФУ им. И.Кан-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Вып. №10. - С. 80-89.

5. Султанова, Г.А. О размерностях алгебр Ли автоморфизмов в касательных расслоениях со связностью полного лифта над проективно-евклидовой базой / Г.А. Султанова // Дальневост. матем. журн. - 2016. - Т.16. - №1. - С. 83-95.

6. Султанова, Г.А. Об алгебрах Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в касательных расслоениях со связностью полного лифта / Г.А. Султанова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки.

- 2016. - №4(40). - С. 38-50.

130

Работы, опубликованные в других изданиях

7. Султанова, Г.А. Условия интегрируемости уравнений движений в касательном расслоении со связностью полного лифта / Г.А. Султанова // Материалы II Международной конференции студентов и аспирантов "Математика и ее приложения в современной науке и практике". - Курск, 2013. - С. 83-86.

8. Султанова, Г.А. Моделирование касательных расслоений расслоениями Вейля / Г.А. Султанова // VIII Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(АЧМ-2013). - Пенза, 2013 г. - С. 72-78.

9. Султанова, Г.А. Свойства Нү -лифтов тензорных полей типа (1,1) в касательных расслоениях / Г.А. Султанова // Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты: сб. науч. тр. по мат-лам Междунар. науч.-практ. конф. 31 мая 2014 г. - Тамбов, 2014. - Часть 9. - С. 139-142.

10. Султанова, Г.А. О некоторых подалгебрах алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения TM со связностью полного лифта / Г.А. Султанова // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования". Секция "Анализ, геометрия и топология". - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2014. - С. 378-381.

11. Султанова, Г.А. О некоторых свойствах Нүr-лифтов тензорных полей типа (1, r), (r > 1) с базы в его касательное расслоение / Г.А. Султанова // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования". Секция "Анализ, геометрия и топология". - Барнаул : Изд-во Алт. Ун-та, 2015. - С. 563-566.

131

12. Султанова, Г.А. О группах движений в касательных расслоениях со связностью полного лифта над двумерными максимально подвижными пространствами аффинной связности / Г.А. Султанова // Диф. геом. многообразий фигур. -2015. - Вып.46. - С. 153-161.

13. Султанова, Г.А. Движения в касательных расслоениях со связностью полного лифта над проективно-евклидовой базой / Г.А. Султанова // Материалы межд. конф. по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям проф. Казанского ун-та математиков П.А. и А.П. Широковых, и молодежной школы-конференции по алгебре, анализу, геометрии. - 2016. - С. 322-323.

14. Султанова, Г.А. Об оценке размерностей алгебр Ли инфинитезимальных автоморфизмов касательных расслоений со связностью полного лифта над непроек-тивно-евклидовой базой / Г.А. Султанова // Диф. геом. многообразий фигур. - 2016. - Вып.47. - С. 146-153.