Топологические аспекты надстроечных слоений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Чубаров, Георгий Владимирович

• Чубаров, Георгий Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Чубаров, Георгий Владимирович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Надстроечные слоения

1 1 Слоения со связностью Эресмана

111 Эквивалентные подходы к слоению

112 Связность Эресмана 21 1 2 Эквивалентные подходы к надстроечному слоснию

12 1 Определение надстроечных слоений

12 2 Эквивалентная конструкция надстроечного слоения 27 1 3 Различные характеризации надстроечных слоений

13 1 Характеризация в классе двуслосний 32 13 2 Характеризация с помощью связности Эресмана

13 3 Характеризация в классе вполне геодезических слоений

1 4 Критерий изоморфности надстроечных слоений

14 1 Доказательство критерия изоморфности надстроечных сло-

ений в категории слоений

14 2 Следствия из критерия изоморфности

2 Графики надстроечных слоений

2 1 График слоения

2 11 Группа голономии слоя

2 12 Определение графика

2 2 Хаусдорфовость графика надстроечноего слоения

2 2 1 Интерпретация групп голономии

2.2.2 Критерий хаусдорфовости графиков надстроечных слоений

2.3 Надстроечные слоения с нехаусдорфовыми графиками

2.3.1 Допустимые для надстройки поверхности

2.3.2 Надстроечные слоения на ориентируемых поверхностях

2.3.3 Надстроечные слоения на неориентируемых поверхностях

3 Топологическое пространство надстроечных слоений

3.1 Типичность хаусдорфовости графика

3.1.1 Подпространство надстроечных слоений

3.1.2 Типичность хаусдорфовости графика в пространстве одномерных надстроечных слоений

3.2 Структурная устойчивость надстроечного слоения

^ 3.2.1 Пространство представлений

3.2.2 Пространство слоений

3.2.3 Вспомогательные утверждения

3.2.4 Критерий структурной устойчивости

3.2.5 Следствия из критерия структурной устойчивости

3.2.6 Структурная устойчивость и хаусдорфовость графика

4 Обобщённые надстроечные слоения

4.1 Строение обобщённых надстроечных слоений

4.1.1 Понятие обобщённого надстроечного слоения

4.1.2 Канонические двуслоения, накрытые произведением

4.1.3 Каноническое обобщённое надстроечное слоение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ч

ЛИТЕРАТУРА

ч

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические аспекты надстроечных слоений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из способов построения слоения является предложенный Хефлигером [56] в 1962 году, алгоритм надстройки (suspension). Слоения, которые можно построить с помощью алгоритма надстройки, мы называем надстроечными.

Надстроечные слоения изучались Тёрстоном и Хиршем [60] с точки зрения слоёных расслоений. В теории динамических систем важную роль играет вариант надстройки [35], с помощью которого строятся специальные потоки над диффеоморфизмами. Надстройка использовалась для построения примеров слоений с «экзотическими» свойствами. Так Данжуа (см. например [38], §7) посредством надстройки сконструировал поток класса С1 на двумерном торе, определяющий одномерное слоение с исключительным минимальным множеством.

Блюменталь и Хебда [45] ввели понятие связности Эресмана для слоений как естественное обобщение понятия связности для расслоений. Слоениям со связностью Эресмана посвящены работы Волака, Шурыгина, Жуковой, Мал ахал ьцева и других. Надстроечные слоения образуют подкласс слоений с интегрируемой связностью Эресмана.

Как известно, на многообразии М с надстроечным слоением Т существует риманова метрика д, относительно которой (М,}г) — вполне геодезическое слоение, то есть каждый его слой — вполне геодезическое подмногообразие риманова многообразия (М,д).

Вполне геодезическим слоениям на римановых многообразиях посвящены работы Карьера, Жиса [55], Джонсона [61], Блюменталя и Хебды [46], Кейрнса, [49] и других.

Понятие группоида голономии слоения введено Эресманом в 1955 году. Позднее Винкельнкемпером [76] была предложена эквивалентная конструкция, названная им графиком слоения.

График G(J-) гладкого слоения Т коразмерности q на п мерном многообразии М несёт в себе информацию о росткововых группах голономии слоения (М, Т) и является линейно связным, вообще говоря нехаусдорфововым, (2п — q)-

мерным многообразием того же класса гладкости, что и слоение Т.

График применялся: Винкельнкемпером [77] — при оценке количества концов универсального слоя риманова слоения на односвязных компактных многообразиях; Волаком [79] — при решении аналогичной задачи для слоений с транс-версальной системой дифференциальных уравнений; Жуковой[14, 82] — при исследовании локальной устойчивости компактных слоёв слоений.

Конн [50] построил С*-алгебры комплекснозначных функций, заданных на группоиде голономии слоения (М, Т) и заложил основы некоммутативной

геометрии слоений (см. обзор Кордюкова [31]). В работах, где С*-алгебры применяются для исследования топологических свойств слоений, нехаусдорфовость графика выступает препятствием, которое либо обходится нетривиальным образом (Конн), либо изначально предполагается хаусдорфовость многообразия С(Т) (Гектор [57], Фак и Скандалис [54]).

В этом контексте важно выделить те классы слоений, которые имеют хау-сдорфов график. Винкельнкемпером [76] был доказан общий критерий хаусдорфовости графика слоения в терминах локальных голономных диффеоморфизмов.

Для топологизации множества слоений существуют два подхода. Первый — Сг-топология, являющаяся обобщением Сг-топологии для множестве динамических систем. Второй — специфическая для слоений топология, введённая Хиршем [59] и Эпштейном [52]. Последняя топология учитывает не только близость касательных пространств к слоям, но и близость их голономий.

Понятие структурной устойчивости введено Андроновым и Понтрягиным [2]. Структурная устойчивость диффеоморфизмов и потоков на компактных многообразиях является одной из центральных проблем качественной теории динамических систем.

Глубокие результаты по структурной устойчивости слоений в настоящее время получены лишь для отдельных, наиболее простых классов слоений. Структурной устойчивости собственных слоений с морсовскими особенностями коразмерности 1 на компактных многообразиях посвящены работы Бонатти [47] и Брунеллы [48]. Исследование структурной устойчивости надстроечных слоений на компакт-

ных многообразиях начато Палисом [69]. Им был приведён без доказательства критерий структурной устойчивости надстроечных слоений на компактных многообразиях. Структурная устойчивость слоений изучалась так же в статьях Леви и Шуба [65], Жуковой [17].

Орбифолдфы можно рассматривать как многообразия с особенностями. Они введены Сатаки [74] и нашли применение в теоретической физике. Двумерные орбифолды использовал Тёрстон [75] для классификации трёхмерных многообразий. Орбифолды возникают так же в теории слоений как пространство слоёв для слоений некоторых классов [15].

Всё выше сказанное говорит об актуальности темы диссертации.

Цель диссертационной работы. Исследование надстроечных слоений:

• с точки зрения хаусдорфовости их графиков, а именно — сравнение множества слоений с хаусдорфовым и нехаусдорфовым графиками:

— в теоретико-множественном аспекте;

— в топологическом аспекте;

• с точки зрения структурной устойчивости, применительно:

— к слоениям с хаусдорфовыми и нехаусдорфовыми графиками,

— к общим надстроечным слоениям;

• с точки зрения возможности обобщения конструкции надстройки.

Методы исследования. В работе использовались методы римановой геометрии, теории регулярных накрытий, теории связностей Эресмана для расслоений и слоений. При исследовании структурной устойчивости надстроечных слоений использовались результаты качественной теории динамических систем и теории представлений групп.

Научная новизна. Все результаты, выносящиеся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказательство критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений Toi™ (теорема 1.4.1)

2. Доказательство эквивалентности хаусдорфовости графика G{T) надстроечного слоения (M, Т) Sus(B,T, р) квазианалитичности действия его структурной группы Ф := Imp на трансверсальном многообразии Т (теорема 2.2.2). Построение на основе этого результата двух континуальных семейств попарно неизоморфных вполне геодезических слоений с хаусдорфовыми и нсхаусдорфо-выми графиками на каждой из следующих компактных локально евклидовых поверхностей: торе, цилиндре, листе Мёбиуса, и бутылке Клейна (теорема 2.3.1).

3. Доказательство структурной устойчивости представления

p:7r1(B,b0)^Diff(T),

в пространстве представлений Ar(ni(B,bo),T), задающего структурно устойчивое слосние (M, Т) = <Sus(T, В,р) в пространстве слосний Tolrq(M) (предложение 3.2 1).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследованиях в геометрической теории слоений, а так же применены в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов физико-математических специальностей и при выполнении курсовых и учебно-исследовательских работ

Апробация. Результаты диссертации докладывались, на международной летней школе-семинаре «Современные проблемы теоретической и математической физики» в Казани в 1999, 2001, 2002, 2003 гг ; на международной конференции «Лап-тевские чтения» в Москве (МГУ) в 2000 г ; в весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XIII» в Воронеже в 2002 г, на международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы» в Суздале в 2004 и в 2010 гг., на Четвёртой молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские

7

чтения» в Казани в 2005 г., на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», проводимой Институтом математики с ВЦ УНЦ РАН на Южном Урале в 2009 году.

По теме диссертации делались доклады: на «Итоговой научной конференции ННГУ» в Нижнем Новгороде в 1999, на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. проф. Е.И. Яковлев) в 1999-2013 гг

Исследования по теме диссертации вошли в научные проекты, поддержанные следующими грантами в которых диссертант являлся исполнителем 2001— 2003 гг. Грант РФФИ «Слоение и расслоение со связностями» проект № 01-01-590-а; 2009-2011 гг. ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», контракт №1495; 2012-2013 гг ФЦП «Научные и научно-псдагогическис кадры инновационной России на 2012-2013 годы», контракт № 14.В37.21.0361.

Публикации по теме диссертации и вклад соискателя. По теме диссертации опубликовано 15 работ. Среди них 6 статей, из которых 4 входят в издания, рекомендованные ВАК РФ. Две работы написанны единолично, остальные совместно с научным руководителем.

Во всех совместных работах с научным руководителем вклад каждого из соавторов составляет 50 %

Все результаты, выносимые на защиту, получены Чубаровым Г.В самостоятельно

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, заключения и четырёх глав основного текста, разбитых на 10 разделов (4 в первой главе 3 во второй и 2 в третьей и 1 в четвертой) 10-ти рисунков и списка литературы из 81 наименований. Общий объём работы 116 стр.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор литературы по вопросам, рассмотренным в диссертации, сформулированны цели, методы и

основные результаты диссертации, кратко описано её содержание, приведён список публикаций автора по теме диссертации.

В главе 1 описаны два способа конструктивного определения надстроечного слоения, а так же даны различные характеризации надстроечных слоений. Доказан критерий изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений.

Раздел 1.1 носит реферативный характер. В нём даётся определение слоения и связности Эресмана для слоений, вводится категория Сг-слоений ТоГ^, морфизмами в которой служат Св-диффеоморфизмы, где я < г, переводящие слои в слои (определение 1.3.3).

Раздел 1.2 посвящён описанию двух подходов к определению надстроечного слоения и доказательству их эквивалентности. Для построения надстроечного слоения нужно задать два гладких многообразия В и Т размерности р ид соответственно и гомоморфизм р : -к^В^Ъо) —>■ -Ог//г(Т) фундаментальной группы многообразия В в группу'глобальных диффеоморфизмов многообразия Т. Введём обозначения С := 7Т1(В,Ь) и Ф :=

Пусть / : В —>■ В — универсальное накрывающее отображение, рассматриваемое как главное расслоение со структурной группой С и базой В. Гомоморфизм р задаёт левое действие группы С на многообразии Т, поэтому можно построить [30] расслоение М(В, С, Т, В), ассоциированное с главным. Действие дискретной группы С на ВхТ сохраняет тривиальное р-мерное слоение F := {В х {£} | I € Т} произведения ВхТ. Поэтому фактор-отображение /о : ВхТ—> (ВхТ) /С = М индуцирует на (р + д)-мерном фактор-многообразии М гладкое р-мернос слоснис Т, слои которого трансверсальны слоям расслоения р : М —> В.

Пара (М, Т) называется надстроечным слоением и обозначается нами через <5)118(Т,В,р). Субмерсия р : М —» В называется трансверсалъным, расслоением, Т — полной трансе ер салью. Группа диффеоморфизмов Ф := р(С) многообразия Т называется структурной группой надстроечного слоения (М,Т).

Предположения. Везде далее предполагается, что Т компактно, а группа С имеет конечное число образующих.

В разделе 1.3 надстроечные слоения охарактеризованны в классе двусло-

ений (предложение 1.3.2) и в классе слоений со связностью Эресмана (предложение 1.3.3). Здесь доказано также, что слоение (М, Т) трансверсальнос слоям субмерсии р : М —¥ В со связными компактными слоями, является надстроечным тогда и только тогда, когда на М существует полная риманова метрика д, относительно которой (М,Т) — вполне геодезическое слоение (предложение 1.3.5).

Раздел 1.4 посвящён доказательству следующего критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений, который выносится на защиту (пункт !)•

Теорема 1.4.1. Пусть

1) (М,Т) = <5иа{Т,В,р) и (М',Я) = 5ив(Т', В', р') - надстроечные С'-слоения;

2) С, С — группы накрывающих преобразований универсальных накрытий для слоёных многообразий М и М' соответственно;

3) <72 : О —О2, ^ • —У О2 — естественные эпиморфизмы, на индуцированные группы диффеоморфизмов и С2 многообразий Т и Т' соответпсвенно. Слоения (М,Т) и (М',ТГ) изоморфны в категории То!,7'0, г >1, т,огда и только тогда, когда существуют:

1) С8-диффеоморфизмы, где в > 0 и : В х Т ->• В' х Т' и V : Т Т';

2) изоморфизмы групп р : С —>■ & и х ¿2 —&2,

которые для любого д £ О удовлетворяют коммутативной диаграмме:

92(9) ^

Т-

рг 2

РГ2

В х Т-

В х Т

В' х Т'

В' х Т'

я '*Ш)=хЫ9))

Как показывают примеры (пример 1.4.1), структурная группа Ф надстроечного слоения не является инвариантной в категории слоений.

В главе 2 доказывается критерий хаусдорфовости графика надстросчно-

го слоения и на его основе даётся теоретико-множественная оценка соотношения между множествами бесконечно гладких надстроечных слоений с хаусдорфовым и нехаусдорфовым графиком на компактных поверхностях.

Раздел 2.1 посвящён описанию базовых для главы 2 понятий, таких как группа ростковой голономии Г(L, х)) группа 9Я-голономии х), график сло-

ения (группоид голономии) G(J-) (определение 2.1.3). Кроме того, в нём приводится пример надстроечного строения, имееющего нехаусдорфов график (пример 2.1.1).

В подразделе 2.2.1 доказывается, что расслоение М(В,Т,тт1(В,Ьо), В) с проекцией р : М В, трансверсальное надстроечному слоению (М,Т) = Sus(T, В, р), где Т = р_1(р(ж)) имеет группу голономии Ф(ж), изоморфную структурной группе Ф = p(i:i(B, bo)). Группа 9Л-голономии H<m(L,x) слоя L = L(x) слоения (М, Т) изоморфна группе изотропии Фж структурной группы Ф, а ростковая группа голономии Г(L, х) образована ростками диффеоморфизмов из группы изотропии Ф-j; в точке х (теорема 2.2.1).

В подразделе 2.2.2 мы напоминаем понятие квазианалитического действия группы диффеоморфизмов на многообразии (определение 2.2.1) и доказываем следующий критерий, выносящийся на защиту (в п. 2).

Теорема 2.2.2. Если (М.Т) := Sus(B,T, р) — произвольное надстроечное слоение на многообразии М со структурной группой Ф := Imp, то график слоения G(F) хаусдорфов тогда и только тогда, когда группа Ф действует на многообразии Т квазианалитически.

Следствие. Если для надстроечного слоения (М, Т) := Sus(B,T, р) выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) все стационарные подгруппы структурной группы Ф конечны;

б) фундаментальная группа многообразия М конечна;

в) фундаментальная группа многообразия В конечна,

то график G(J-) этого слоения хаусдорфов (следствия 2.2.1 - 2.2.3).

В разделе 2.3 доказывается, что среди двумерных поверхностей нетривиальные надстроечные слоения допускают только цилиндр, тор, бутылка Клейна

и лист Мёбиуса (предложение 2.3.1). На каждой из этих поверхностей строятся два континуальных семейства бесконечно гладких попарно неизоморфных надстроечных слоений. Все слоения первого семейства имеют хаусдорфов график, а второго — нехаусдорфов график. Вывод содержится в теореме 2.3.1 и следствии 2.3.1. Этот результат выносится на защиту (в п. 2).

В главе 3 изучаются топологические аспекты пространства надстроечных слоений.

Раздел 3.1 посвящён топологической оценке множества слоений с хаусдор-фовым графиком в пространстве всех одномерных надстроечных слоений на п-мерном замкнутом многообразии с С^-топологией.

Напомним, что Е называется множеством первой категории в топологическом пространстве X, если оно пред ставимо в виде конечного или счётного объединения подмножеств, нигде не плотных в X. Если Е является дополнением в X к множеству первой категории, то Е называется множеством второй категории. Свойство подмножества Е называется типичным в X, если Е - множество второй категории в X.

Через Ец(М) обозначаем топологическое пространство Сг+1-слоений коразмерности q с Сг-топологией. Доказывается, что свойство графика слоения быть хаусдорфовым типично в подпространстве одномерных надстроечных слоений на компактном многообразии M (теорема 3.1.3).

Обозначим через Sus2(M)■ пространсво С2-гладких надстроечных слоений с С1 -топологией на двумерной поверхности М. Пусть SusH2(M) — подпространство слоений в Sus2(M) с хаусдорфовым графиком, a SusN Н2(М) — с нехаусдорфовым графиком. Доказывается, что множества классов эквивалентности слоений в категории слоений J-ol2'0, находящихся в множествах SusH2(M) и SusNH2(M), равномощны. При этом SusH2(M) является множеством второй категории, a SusNH2 (M) — множеством первой категории в пространстве Sus2(M) (Предложение 3.1.1).

В разделе 3.2 пространство слоений класса Сг коразмерности q на п-мерном многообразии M с топологией Хирша - Эпштейна обозначается через

ГоГд(М).

В подразделе 3.2.1 описывается топология на множестве АГ(С, Т) гладких класса Сг представлений дискретной группы С в Diffr(T) и даётся определение Сг-структурно устойчивого представления р £ АГ(С,Т) (определение 3.2.3).

Слоение (М, Т) называется структурно устойчивым в пространстве То1ц(М), если для любой окрестности и = [/(Мм) в Нотео(М) существует такая окрестность Ы = Ы(Т,и) слоения Т в ТоГ^М), что для каждого слоения Т' £ 1Л найдётся гомеоморфизм с? € II, который является изоморфизмом слоений (М, Т) и (М, У7') в категории слоений То1г,° (определение 3.2.5).

В подразделе 3.2.4 доказано следующее необходимое условие структурной устойчивости надстроечных слоений, выносящееся на защиту (п.З).

Предложение 3.2.1. Если слоение (М, Т) = <5ив(Т, В,р) структурно устойчиво в пространстве слоений 7го1гп(М), то структурно устойчиво и представление р : 7Г1(В,&о) в пространстве предст,авлений

Обратное утверждение к предложению 3.2.1 доказано Жуковой в совместной работе с соискателем [28]. Суммарный результат сформулирован в виде критерия структурной устойчивости надстроечного слоения (теорема 3.2.2).

Связь с результатами Палиса. Палис [69] исследовал С°°-структурную устойчивость надстроечных слоений на компактных многообразиях М. В этом случае база В = р(М) также компактна, следовательно, фундаментальная группа £ = ТТ1(В, Ьо) — конечно порождённая.

Нами исследуются надстроечные слоения в более общих предположениях:

1) требование компактности многообразия М ослаблено до компактности стандартного слоя Т расслоения р : М ^ В и конечной порождённости группы

С;

2) наши результаты получены в классе гладкости Сг, для любого г > 1;

3) в определении структурной устойчивости слоений и представлений групп, в отличие от Палиса, мы предполагаем, что сопрягающий гомеоморфизм есть ^-гомеоморфизм, то есть является малым. В случае потоков это соответствует

структурной устойчивости в смысле Андронова-Понтрягина.

Пейксото в определении структурной устойчивости требовал лишь существования топологического сопряжения. Позднее, как подчеркнул Аносов [6], «весьма нетривиальным образом» была доказана эквивалентность определений структурной устойчивости Андронова-Понтрягина и Пейксото для динамических систем. Не известно, как обстоит дело в случае слоений.

В подразделе 3.2.5 доказываются несколько следствий из критерия структурной устойчивости. В частности, если группа 7Г1(В,Ьо) ;:=< Я > имеет одну образующую, то слоение (М,Т) = 5 из(Т,В,р), полученное надстройкой гомоморфизма р : 7Г1(В,6о) -^► структурно устойчиво тогда и только тогда, когда диффеоморфизм ф = р(д) структурно устойчив (теорема 3.2.3).

Опираясь на это утверждение, в подразделе 3.2.6 доказывается, что все надстроечные слоения с нехаусдорфовыми графиками С^-структурно неустойчивы (следствие 3.2.4). Это объясняет различие между теоретико множественной и топологической оценкой подпространства надстроечных слоений с нехаусдорфо-вым графиком на компактных поверхностях.

В главе 4 нами вводятся и исследуются обобщённые надстроечные слоения.

В подразделе 4.1.1 напоминается определение орбифолда и гладкого отображения орбифолдов. Обобщённое надстроечное слоение получается надстройкой гоморфизма р : 7г°гЬ(В,Ь) —>• /}г//г(Т) фундаментальной группы хорошего орбифолда в группу диффеоморфизмов произвольного многообразия Т. В случае, когда орбифолд является многообразием, эта конструкция совпадает с надстроечным слоением.

В подразделе 4.1.2 приведено понятие канонического двуслоения (определение 4.1.3). Дано краткое доказательство известного утверждения о том, что любое двуслоение, накрытое произведением, изоморфно некоторому каноническому двуслоению, определённому однозначно, с точностью до сопряжённости (теорема 4.1.1).

В подразделе 4.1.3 в классе канонических двуслоений выделяется подкласс слоений, которые являются обобщёнными надстроечными (лемма 4.1.1).

Доказывается, что любое обобщенное надстроечное слоение изоморфно в категории слоений некоторому каноническому обобщенному надстроечному слоению (теорема 4 12) На основании этой теоремы строятся примеры обобщенных надстроечных слоений, не являющихся надстроечными (пример 4 11)

В заключении проводится краткий обзор основных результатов, полученных диссертантом

Публикации в журналах из списка ВАК

[ 1 ] Чубаров, Г В Об одном типичном свойстве одномерных суспенсированных слоений /Н И Жукова, Г В Чубаров // Вестник ННГУ Серия Математическое моделирование и оптимальное управление - Н Новгород Изд-во ННГУ

- 2003 - Вып 1 (26) - С 12-21

[ 2 ] Chubarov, G V Aspects of the Qualitative Theory of Suspended Foliations / N I Zhukova, G V Chubarov // J Diff Equat and Appl - 2003 - V 9, № 3/4 -P 393-405

[ 3 ] Чубаров, Г В Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений /НИ Жукова, Г В Чубаров // Вестник Нижегородского университета им НИ Лобачевского - Н Новгород Изд-во ННГУ -2011 - №1 - С 153-161

[ 4 ] Чубаров, Г В Обобщенные надстроечные слосния /НИ Жукова, Г В Чубаров // Вестник Нижегородского университета им Н И Лобачевского -Н Новгород Изд-во ННГУ - 2012 - №5(1) - С 157-164

Публикации в других изданиях

[ 5 ] Чубаров, Г В Вполне геодезические слоения с нехаусдорфовыми графиками /Н И Жукова Г В Чубаров // Международная школа-семинар памяти Н В Ефимова, 1998 г Тезисы докладов - Ростов-на-Дону НПП Коралл-Микро

- 1998 - С 28-29

[ 6 ] Чубаров, Г.В. Графики сусиенсированиых слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чу-баров //XI Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: «Хэттер».

- 1999. - С. 63.

[ 7 ] Чубаров, Г.В. Графики слоений накрытых произведениями / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Материалы международной конференции посвященная 90-летию Г.Ф. Лаптева. - М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ. - 1999. - С. 21-22.

[ 8 ] Чубаров, Г.В. О суспенсированных слоениях / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров //В кн.: Новейшие проблемы теории поля 1999-2000. - Казань: Изд-во КГУ.

- 2000. - С. 95-103.

[ 9 ] Чубаров, Г.В. Пространство суспенсированных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (МНК АДМ - 2000). Тезисы докладов. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2000. - С. 97-98.

[ 10 ] Чубаров, Г.В. Суспенсированные слоения и их графики /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // XIII Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: «Хэттер». - 2001. - С. 54-55.

[ 11 ] Чубаров, Г.В. Некоторые вопросы качественной теории суспенсированных слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Современные методы в теории краевых задач. Материалы воронежской весенней математической школы «Понт-рягинские чтения XIII» 3-9 мая 2002 г. Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2002. - С. 54.

[ 12 ] Чубаров, Г.В. Типичность хаусдорфовости графика слоения /Г.В. Чубаров // XIV Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: ООО «Издательство РегентЪ». - 2002. - С. 38-39.

[ 13 ] Чубаров, Г.В. Структурная устойчивость суспенсированных слоений с абе-левой голономией / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 5-10 июля 2004 г. Тезисы докладов. - Владимир: Изд-во ВлГУ. - 2004. - С. 89-91.

[ 14 ] Чубаров, Г.В. О хаусдорфовости графиков некоторого класса вполне геодезических слоений / Г.В. Чубаров // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 31. - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2005. - С. 170-172.

[ 15 ] Чубаров, Г.В. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений и его применение / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. Тезисы докладов. - М.: МИАН. - 2010. - С. 83-84.

Глава 1

Надстроечные слоения

Цель настоящей главы — напомнить понятие надстроечного слоения, указать различные подходы к этому понятию, сформулировать и доказать критерий изо-морфности надстроечных слоений в категории слоений.

Результаты этой главы опубликованны в статьях [21], [81].

1.1 Слоения со связностью Эресмана 1.1.1 Эквивалентные подходы к слоению

Основным объектом нашего исследования являются слоения на многообразиях. Если многообразие имеет край, то рассматриваются слоения, касательные к краю. Существует два эквивалентных подхода к определению слоения на многообразии: локальный и глобальный. С точки зрения глобального подхода слоение — это разбиение многообразия, обладающее специальными свойствами. Локальным подходом мы называем определение слоения посредством специальной псевдогруппы локальных преобразований.

Пусть М — п-мерное многообразие класса Сг, г > 1, п 6 N с краем <ЭМ, возможно пустым.

Глобальный подход к понятию слоения. Через обозначается 71-мерное арифметическое пространство с обычной топологией. Напомним, что стандартным р-мерным слоением на Мп (или М+), 1 < р < п называется разбиение Мп = Мр х М9

(или М" = Мр х М+), где д := п — р, д-мерными плоскостями вида:

7 := { Мр х {С} | С е М9 (или С е М^)}. Определение 1.1.1. Разбиение

{Ьа \a.ej},

многообразия М на линейно связные подмножества Ьа называется р-мерным Сг-слоением Т на М, касательным к краю [38], если для любой точки х Е М существует карта (17, (р) многообразия М, обладающая следующими свойствами:

1) <р(и) = х М9, где <? = п — р, <р(х) = 0 € М"', если х - внутренняя точка М (соответственно </?([/) = Мр х <р(х) = О Е М" если х — краевая точка М);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чубаров, Георгий Владимирович, 2013 год

Литература

[1] Александров, П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров - М.: Наука, 1977. - 370 с.

[2] Андронов, A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, JI.C. Понтрягин // ДАН СССР. - 1937. - Т.14, № 5. - С. 247-250.

[3] Аносов, Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. - 1967. - Т. 90 - С. 3-210

[4] Аносов, Д.В. Гладкие динамические системы / Аносов, А.Д. и др.// В кн.: Динамические системы - 1. Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фун-дам. направления - М.: ВИНИТИ, 1985. - Т.1. - С. 151-242.

[5] Аносов, Д.В. Динамические системы с гиперболическим поведением / Аносов, А.Д. и др. //В кн.: Динамические системы - 9. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. - М.: ВИНИТИ, 1991. - Т.66 - С. 5-242.

[6] Аносов, Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века / Аносов, А.Д. // Студенческие чтения МК НМУ. - М.: МЦНМО, 2000. - Вып. 1. - 74 с.

[7] Бишоп, Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттенден - М.: Мир, 1967. - 335 с.

[8] Буземан, Г. Геометрия геодезических / Г. Буземан - М.: Физматлит, 1962. -507 с.

[9] Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С Владимиров -М.: Наука, 1983. - 512 с.

10] Жукова, Н.И. О некоторой категории приводимых двулистных структур / Н.И. Жукова // Изв. вузов. Математика. - 1976. - № 3. - С. 103-105.

11] Жукова, Н.И. О некоторых классах почти произведений: автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. 01.01.04 / Жукова Нина Ивановна. - Горький, 1976.

12] Жукова, Н.И. Субмерсии со связностью Эресмана / Н.И. Жукова // Изв. вузов Математика. - 1988. - № 5. - С. 25-34.

13] Жукова, Н.И. График слоения со связностью Эресмана и некоторые его приложения / Н.И. Жукова - Горький: ВИНИТИ. - 1990.

14] Жукова, Н.И. Графики слоений со связностью Эресмана и слоевая стабильность / Н.И. Жукова // Изв. вузов Математика. - 1994. - № 2. - С. 78-81.

15] Жукова, Н.И. Слоения с локально стабильными слоями / Н.И. Жукова // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 7. - С. 21-31.

16] Жукова, Н.И. Свойства графиков эресмановых слоений / Н.И. Жукова // Вестник ННГУ. Сер. Математика. - 2004. - Вып. 1. - С. 73-87.

17] Жукова, Н.И. Компактные слои структурно устойчивых слоений /Н.И. Жукова // Труды МИАН, - М.: МАИК Наука. - 2012. - Т. 278. - С. 102-113.

18] Жукова, Н.И. Вполне геодезические слоения с нехаусдорфовыми графиками /Н.И. Жукова Г.В. Чубаров // Международная школа-семинар памяти Н.В. Ефимова, 1998 г. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: НПП Коралл-Микро.

- 1998. - С. 28-29.

[19] Жукова, Н.И. Графики суспенсированных слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров //XI Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: «Хэттер».

- 1999. - С. 63.

[20] Жукова, Н.И. Графики слоений накрытых произведениями / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Материалы международной конференции посвященная 90-летию Г.Ф. Лаптева. - М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ. - 1999. - С. 21-22.

[21] Жукова, Н.И. О суспенсированных слоениях / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров //В кн.: Новейшие проблемы теории поля 1999-2000. - Казань: Изд-во КГУ.

- 2000. - С. 95-103.

[22] Жукова Н.И. Чубаров Г.В. Пространство суспенсированных слоений. // Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (МНК АДМ - 2000). Тезисы докладов. - Воронеж, - 2000. - С.97-98.

[23] Жукова, Н.И. Пространство суспенсированных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (МНК АДМ - 2000). Тезисы докладов. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2000. - С.97-98.

[24] Жукова, Н.И. Некоторые вопросы качественной теории суспенсированных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Современные методы в теории краевых задач. Материалы воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XIII» 3-9 мая 2002 г. Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2002.

- С. 54.

[25] Жукова, Н.И. Об одном типичном свойстве одномерных суспенсированных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2003. - Вып. 1 (26). - С. 12-21.

[26] Жукова, Н.И. Структурная устойчивость суспенсированных слоений с абс-левой голономией / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суз-

даль, 5-10 июля 2004 г. Тезисы докладов. - Владимир: Изд-во ВлГУ. - 2004.

- С. 89-91.

[27] Жукова, Н.И. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений и его применение / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конф_ер_ен-_ ция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. Тезисы докладов. - М.: МИАН. - 2010. - С. 83-84.

[28] Жукова, Н.И. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2011. - №1. - С. 153-161.

[29] Жукова, Н.И. Обобщённые надстроечные слоения / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского -Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2012. - №5 (1). - С. 157-164.

[30] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Но-мидзу. - М.: Наука, 1981. - Т.1 - 334 с.

[31] Кордюков, Ю. А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением / Ю. А. Кордюков // Успехи математических наук. -2009. - Т. 64, вып. 2 (386). - С. 73-202.

[32] Нитецки, 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. - М.: Мир, 1975. - 304 с.

[33] Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем / Ж. Палис, В. Ди Мелу. - М.: Платон, 1998. - 300 с.

[34] Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягип. - М.: Наука, 1984.

- 520 с.

[35] Смейл, С. Дифференцируемые динамические системы / С. Смейл // УМН.

- 1970. - Т.25, №1 (151). - С. 113-185.

[36] Смейл, С. Математические проблемы следующего столетия / С. Смейл //В кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: ИКИ, 2002. -С. 280-303.

[37] Стинрод, Н. Топология косых произведений / Н. Стинрод. - М.: ИЛ, 1953. 1 245 с.

[38] Тамура, И. Топология слоений / И. Тамура. - М.: Мир, 1979. - 317 с.

[39] Хирш, М. Дифференциальная топология / М. Хирш. - М.: Мир. 1979. -280 с.

[40] Чубаров, Г.В. Типичность хаусдорфовости графика слоения / Г.В. Чубаров // XIV Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: ООО «Издательство РегентЪ». - 2002. - С. 38-39.

[41] Чубаров, Г.В. О хаусдорфовости графиков некоторого класса вполне геодезических слоений / Г.В. Чубаров // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 31. - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2005. - С. 170-172.

[42] Шапиро, Я.Л. О приводимых многообразиях и локальных произведениях / Я.Л. Шапиро // Докл. АН СССР. - 1972. - Т.206, № 6. - С. 305-308.

[43] Шапиро, Я.Л. Поля направлений на двумерных многообразиях / Я.Л. Шапиро, С.Е. Ланда // Изв. вузов. Математика. - 1975. - № 7. - С. 80-91.

[44] Blumenthal, R.A. De Rham décomposition theorems for foliated manifolds / R.A. Blumenthal, J.J. Hebda // Ann. Inst. Fourier. - 1983. V. 33, № 2. - P. 183198.

[45] Blumenthal, R.A. Ehresmann connection for foliations / R.A. Blumenthal, J.J. Hebda // Indiana Univ. Math. J. - 1984. - V. 33. - P. 597-611.

[46] Blumenthal, R.A. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations / R.A. Blumenthal, J.J. Hcbda // Quarterly J. Math. - 1984. - V. 35, № 2. - P. 383-392.

[47] Bonatti, C. Sur les feuilletages singuliers stables des variétés de dimension trois / C. Bonatti // Commun. Math. Helv. - 1985. - V. 60, № 2. - P. 429-444.

[48] Brunella, M. Remarks on structurally stable proper foliations / M. Brunella // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1994. - V. 115, № 1. - P. 111-120.

[49] Cairns, G. The duality between Riemannian foliations and geodcsiblc foliations / G. Cairns // in P. Molino, Riemannian Foliations. - Boston: Birkhâuser, 1988.

- Progress in Math. V. 73. - P. 249-263.

[50] Connes, A. Geometrie non commutative / A. Connes - Paris: InterEdition, 1990.

- 240 p.

[51] Ehresmann, C. Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Colloque de Topologie. Bruxelles. - 1950. - P. 29-55.

[52] Epstein, D.A. Topology for the space of foliation / D.A. Epstein // Geometry and Topology, Lecture Notes in Math. - 1976. - V. 597 - P. 132-150.

[53] Epstein, D.A Foliations with all leaves compact / D.A. Epstein // Ann. Inst. Fourier. - 1976. - V. 26, № 1. - P. 265-282.

[54] Fack, T. Sur les representations et idéaux de la C*-algebre d'un feuilletage / T. Fack, G. Skandalis // Journal of Operator Theory. - 1982. - V. 8. - P. 95129.

[55] Ghys, E. Classification des feuilletage totalement geodesiques de codimension 1 / E. Ghys // Comment. Math. Helv. - 1983. V. 58- P. 543-572.

[56] Haefliger, A. Variétés feuilletees / A. Haefliger // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.

- 1962. - V. 16. - P. 367-397.

[57] Hector, G. Groupoides, feuilletages et C*-algebres / G. Hector // Proceedings of Geometryc study of foliation. Singapore: World Scientific. - 1994. - P. 3-34.

[58] Hermann, R. The differential geometry of foliations / R. Hermann // Ann. of Math. - 1960. - V. 72. - P. 445-457.

[59] Hirsh, M.W. Stability of compact leaves of foliations / M.W. Hirsh // Dinamical Sistems, Proc. Symp. University of Bahia Salvador 1971. - 1973. - P. 135-153.

[60] Hirsch, M. Foliated bundles, invariant measures and flat manifolds / M. Hirsch, W. Thurston // Ann. Math. - 1975. - V. 101, № 3. - C. 369-390.

[61] Jonson, D.L. Deformations of totally geodesic foliations / D.L. Jonson // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York. - 1987. - V. 105. - P. 167-178.

[62] Johnson, D.L. A topological obstruction to the geodesibility of foliation of odd dimension / D.L. Johnson, A.M. Naveira // Geom. Dedicata. - 1981 - № 11. -P. 347-352.

[63] Kashiwabara, S. The decomposition of differentiable manifold and its applications / S. Kashiwabara // Tôhoku Math. I. - 1959. - V. 11, № 1. -P. 43-53.

[64] Kupka, I. On two notions of structural stability / I. Kupka //J. Differential Geometry - 1974. - № 9. - P. 639-644.

[65] Levin, H. Stability of foliations / H. Levin , M. Shub // Trans of AMS. - 1973. - V. 184. - P. 419-437.

[66] Mane, R. A proof of the C1 stability conjecture / R. Mane // Publ. math. 1'I.H.E.S. - 1987. - V. 66. - P. 161-210.

[67] Molino, P. Riemannian foliations / P. Molino. - Progress in Math. V.73. Boston: Birkhàuser, 1988. - 360 p.

[68] Nomizu, K. The existence of complete Riemannian metrics / K. Nomizu, H. Ozeki // Proc. Amer. Math. Soc - 1961. - V. 12, № 6. - P. 889-891.

[69] Palis, J. Regidity of centralizers of diffeomorphisms and structural stability of suspended foliations / J. Palis // Lecture Notes in Math. - 1978. - V. 652. -P. 114-121.

[70] Palis, J. A global perspective for non-conservative dinamcs / J. Palis // Ann. de l'Inst. H.Poincare. Analyse Non Lineare. - 2005. - V. 22, № 4. - P. 485-507.

[71] Palis, J. Topologigical equivalence of normally hyperbolic dynamical systems / J. Palis, F. Takens // Topology. - 1977. - V.16, № 4. - P. 336-346.

[72] Pugh, C. An impruved closing lemma and general density theorem / C. Pugh // Amer. J. Math. - 1967. - V. 89. - P. 136-146.

[73] Pujals, E.R. Some simple questions related to the Cr stability conjecture // Nonlinearity. - 2008. - V. 21, № 11. - P. 233-237.

[74] Satake, I. The Gauss-Bonnet theorem for ^/-manifolds / I. Satake //J. Math. Soc. Japan. - 1957. - V. 9. - P. 464-492.

[75] Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds // Mimeographed Notes. Princeton Univ. 1978.

[76] Winkelnkemper, H.E. The graph of a foliation / H.E. Winkelnkemper // Ann. Global Analysis and Geometry. - 1983. - V. 1. - P. 57-75.

[77] Winkelnkemper, H. E. The number of ends of the universal leaf of a Riemannian foliation // Progr. in Math. - 1983. - V. 32. - P. 247-254.

[78] Wolak, R.A. The graph of a totally geodesic foliation / R.A. Wolak // Annales Polonici Mathematici. - 1995. - V. LX. - P. 241-247.

[79] Wolak, R.A. Le graphe d'un feuilletage admettant un s.ysteme transverse d'e'quations diffe'rentielles / R.A. Wolak // Math. Z. - 1989. - V. 201, № 2. - P. 177-182.

[80] Yoo, H. L. Existence of complete metrics of Riemannian foliation / Hwal Lan Yoo // Math. J. Toyama Univ. - 1992. - V. 15. - P. 35—38.

115

[81] Zhukova, N. I Aspects of the Qualitative Theory of Suspended Foliations /N.I. Zhukova, G.V. Chubarov // J. Diff. Equal, and Appl. - 2003. - V.9, № 3/4. -P. 393-405.

[82] Zhukova, N. I. Local and Global Stability of Compact Leaves and Foliations / N.I. __Zhukova // >KvpH. MaTeM. anaji., reoM.^-_2013.,- T. 9, № 3. - E._400=420.