Многообразия Калуцы-Клейна и двухконцевые задачи для гироскопических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Яковлев, Евгений Иванович

• Яковлев, Евгений Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Яковлев, Евгений Иванович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Цели и задачи диссертации. Основные кон-

струкции

2. Краткий библиографический обзор

3. Структура и содержание работы

4. Результаты, выносящиеся на защиту

5. Новизна и достоверность

6. Публикации по теме диссертации

ГЛАВА 1. ПОЧТИ ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

§1. Главные расслоения с абелевыми структурными группами 36 §2. Категории почти главных П х Т(7)-расслоений 39 §3. Связности и характеристические классы 46 §4. Фактор-расслоения. Гомотопические группы 57 §5. Главные П х Т(/)-расслоения

ГЛАВА 2. МНОГООБРАЗИЯ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА

§6. Многообразия Калуцы-Клейна и гироскопические структуры 66 §7. Тензорное поле кривизны 71 §8. Кривизны в двумерных направлениях 80 §9. Влияние знакоопределенности секционной

кривизны на топологические инварианты

ГЛАВА 3. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ ДЛЯ МНОГОЗНАЧ НЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

§10. Гироскопические системы и многозначные

функционалы

§11. Расслоение, слоение и связности, ассоциированные с многозначными функционалами 95 §12. Теорема редукции

ГЛАВА 4. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ДВУХКОНЦЕВЫХ ЗАДАЧ

§13. Двухконцевая задача для гироскопических

систем классического типа

§14. Движения с ограниченными скоростями

§15. Двухконцевая задача для гироскопических

систем релятивистского типа

ГЛАВА 5. ПРИЛОЖЕНИЯ

§16. Движения заряженной частицы по поверхности в постоянном магнитном поле 152 §17. Движения заряженной частицы в гравитационных и электромагнитных полях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многообразия Калуцы-Клейна и двухконцевые задачи для гироскопических систем»

ВВЕДЕНИЕ

1„ Цели и задачи диссертации. Основные конструкции»

Диссертация посвящена проблеме существования решений двухкон-цевых задач для гироскопических систем.

Гироскопической системой называется четверка Г = (B,h,F,u), где В - гладкое многообразие, h - риманова или лоренцева метрика, F -замкнутая 2-форма им- гладкая функция на В. В случае, когда h -риманова (то есть положительно определенная) метрика, мы называем Г системой классического типа. Такие системы рассматриваются в классической механике [Ко 1; Хар 3]. При этом В называется конфигурационным многообразием, 1г/2 - формой кинетической энергии, и - потенциальной энергией и F - формой гироскопических сил.

В работе рассматриваются также системы релятивистского типа, в которых h - лоренцева метрика с сигнатурой (—[-••■+)• В общей теории относительности гироскопические системы релятивистского типа описывают движения заряженных пробных частиц в гравитационных и электромагнитных полях. При этом В играет роль пространственно-временного многообразия, h - гравитационного потенциала, F - формы электромагнитного поля, и = const [Л-Л, с.317-332].

Всюду далее предполагается, что функция и не обращается в нуль, а форма гироскопических сил имеет представление

(1)

где в G Hom(Em,E), т G N, а Ф замкнутая 2-форма со значениями в Мт, интегралы от которой по двумерным сфероидам многообразия В принадлежат подгруппе

/Zm = /!Zx...x/mZcMm,

¿1,..., lm G { 0,1}. Все используемые объекты считаются, если не оговорено противное, гладкими класса С°°.

Пусть а,Ь £ В ж Qab ~ пространство кусочно-гладких путей в Б, идущих из точки а в точку Ъ. Действием гироскопической системы

Г = (В, /г, Р, и) является, вообще говоря, многозначный функционал Новикова

1

5(<5, х) = 56(яг) = I(М^) _ б2и(х)) ¿8 + <51 ^ (2)

О с

где х £ Оаь, х' — (1х/с1в, <5 £ М и с : I2 —> В - кусочно-гладкая гомо-топия, связывающая путь ж с некоторым фиксированным (опорным) путем хр жз содержащего х гомотопического класса О Е 7Гд (Паь)- Если ж - экстремаль функционала : Паг> —> Ж/69(Шт), то пара (6,х) называется нами экстремалью функционала

5 : К х ПаЬ -> 7г = У (Ш/66(№т)). (3)

¿ем

При <5 > 0 мы называем экстремаль (6, ж) положительно ориентированной. В этой ситуации определенная формулой = х{1/6) кривая Хё '■ [0, <5] -г- В является движением гироскопической системы классического типа Г из положения а в положение Ь за время 6.

Для гироскопической системы классического типа Г = (В, к, Г, и), произвольных точек а,Ь Е В и гомотопического класса В £ 7Го (У1аь) в работе ищутся условия существования положительно ориентированных экстремалей (6,х) £ К. х И функционала Б с заданным значением

55 55

энергии

е(6,х)=1^^ + 62и(х). (4)

Для системы Г = (В, /г, Р, и) такого же типа с компактным конфигурационным многообразием В и точной формой гироскопических сил Р исследуется вопрос о существовании движений из положения а Е В в положение Ь £ В, принадлежащих произвольно выбранному гомотопическому классу идущих из а в Ъ кривых, со скоростями, ограниченными сверху заранее заданным положительным числом.

В релятивистском случае физический смысл имеют только те экстремали (6, х) функционала 5, для которых е(6, х) = 0. Выбрав и = 1/2 и положив Хб(сг) = х(а/6), указанное условие можно свести к тождеству

д, с1хё с1х£ ^ _

с1сг ' ¿а

Последнее означает, что а - собственное время частицы, мировая линия которой совпадает с траекторией движениея х$ : [ 0, <5 ] —» В системы Г [Л-Л, с.303].

Вообще говоря, мы не ограничиваемся случаем, когда и = const. Но предполагаем, что для системы релятивистского типа функция и положительна. При этом тождество е(<5, х) = 0 обеспечивает времени-подобность движения х¿(а) = х{а/6). соответствующего положительно ориентированной экстремали (S,x).

Поэтому двухконцевая задача для гироскопической системы релятивистского типа Г = (В. h, F, и) в диссертации формулируется как проблема существования для произвольной точки а £ В, точки b из ее хронологического будущего 1+(а) и гомотопического класса D G 7г0(Оаб) положительно ориентированных экстремалей (6, х) функционала 5, удовлетворяющих условиям: х Е D и е(6, х) = 0.

Сформулированные двухконцевые задачи решаются как для систем общего вида, так и для конкретных систем, имеющих физические интерпретации. В частности, рассматривается задача о движениях заряженной пробной частицы по поверхности из одной заданной точки этой поверхности в другую под действием постоянного магнитного поля, включающего поля конечного числа магнитных зарядов (монополей Дирака). Соответствующая гироскопическая система имеет классический тип. Кроме того, изучаются движения заряженной пробной частицы в различных гравитационных и электромагнитных полях. При этом в качестве конфигурационного лоренцева многообразия (В, К) соответствующей системы релятивистского типа Г = (В, h,F, и) выбираются четырехмерные пространства Робертсона-Уокера, внешнее пространство-время Райсснера-Нордстрема и пространство-время Шварцшильда-Эрнста. Электромагнитное поле в общем случае предполагается состоящим из нескольких полей. Одно из них является произвольным внешним полем без магнитных монополей. В пространстве Райсснера-Нордстрема к нему добавляются электрическое и магнитное поля заряженной черной дыры, а в пространстве Шварцшильда-Эрнста - магнитное поле вселенной Мелвина.

Одна из основных целей диссертации - разработка метода решения двухконцевых задач для гироскопических систем. Предлагаемая нами схема исследования распадается на две части. Первая из них состоит в построении расслоения р : Е В, риманова слоения Т на Еу его

метрики Рейнхарта д и связности Эресмана Нив редукции вариационных задач с закрепленными концами для многозначного функционала Новикова 3 к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины (или действия) псевдорима-нова многообразия (Е,д); при этом концевые подмногообразия - слои риманова слоения Т. Вторая часть предлагаемой схемы предусматривает вывод условий разрешимости модельных задач и их выражение через исходные объекты: гироскопическую систему Г = (В, /г, .Р, г/.), концевые точки а и Ь и гомотопический класс О Е 7Го(Паь).

Разработка этого метода привела к необходимости построения и изучения ряда вспомогательных конструкций. В частности, в диссертации определяются и исследуются почти главные П х Т-расслоения, где П - фундаментальная группа базы, а Т - конечномерная связная абелева группа Ли. Изначально они были построены для того, чтобы решать двухточечные краевые задачи в каждом гомотопическом классе О Е тго(Паь) по отдельности. Однако в процессе работы обнаружилось, что их использование расширяет область применимости метода, а в ряде случаев приводит к выводу менее обременительных условий существования экстремалей, чем применение обычных главных Т-расслоений.

Пусть п : N —> В - универсальное накрытие и д : Е N - главное расслоение со структурной группой Т. Тогда р = п од- локально тривиальное расслоение со стандартным слоем С = П х Т. На его пространстве Е определено глобальное действие т : ЕхТ —» Е : (и, ¿) —> и4 группы Т. Карта Фи : II х С Ец расслоения р : Е —» В определяет локальное действие тгц : Ец х П —» Ец группы П. Если фу '■ V х С Еу - другая карта и и П V ф 0, то на пересечении Еи П Еу действия ж и и 7г у, вообще говоря, не совпадают. Мы называем композицию р = п о д почти главным П X Т-расслоением, если для некоторого ассоциированного с открытым покрытием Ы атласа Л(р, 14) расслоения р, любых карт фи-, Фу £ Л(р,Ы) с непустым пересечением V (IV, элемента 7 6 Пи компоненты связности К пересечения Еи Г\Еу найдется элемент ¿(7, К) Е Т, при всех V Е К удовлетворяющий равенству

7ги{у,у) = тгу(у,у)^(у,К). (5)

Сформулированное в этом определении условие необходимо и достаточно для существования на пространстве Е рассматриваемого ло-

кально тривиального расслоения р = п о д С-связностей, то есть Т-связностей, инвариантных относительно всех локальных действий ж и : Еи X П —> Еи, Ьт е Ы, группы П.

Последнее равносильно существованию на Е метрик Калуцы-Клей-на, каковыми мы называем псевдоримановы метрики, невырожденные на слоях расслоения р : Е В и инвариантные относительно действия группы Т и всех локальных действий группы П. Именно такие метрики используются в теореме редукции в качестве метрики Рейнхарта д риманова слоения Т. По этой причине значительная часть диссертации посвящена исследованию римановых и лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна.

При рассмотрении римановых многообразий Калуцы-Клейна основное внимание уделяется изучению секционных кривизн и влиянию их знакоопределенности на топологические инварианты соответствующих почти главных расслоений. Для лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна исследуется причинная структура. В частности, решается вопрос об условиях их глобальной гиперболичности.

2. Краткий библиографический обзор.

В случае, когда F — 0, и = const и метрика h положительно определена, двухконцевая задача для системы Г = (В, h, F, и) решается теоремами Гильберта [Нов 1, с. 166; Янг, с. 188] и Хопфа-Ринова [ХоРи; Г-К-М, с. 184]. В теории Морса [Морс 1; Мил, с.78-110] установлена связь между топологией пространства соединяющих две точки путей и множеством принадлежащих этому пространству геодезических риманова многообразия. Исследование топологии пространства путей позволило Морсу [Зе-Тр, с.91-94] и Серру [Серр] получить условия существования бесконечного множества соединяющих две точки геодезических. Интересное уточнение этих результатов получено в работе Шварца [Шв].

При F = 0 и и ф const для решения двухконцевой задачи используется принцип наименьшего действия Мопертюи [Арн, с.211-214; Ко 1]. Для систем с ограниченной сверху потенциальной энергией этим задача полностью решается. Случай неограниченной функции и сложнее. Интересные результаты о существовании либрационных движений в

этой ситуации получены Козловым и Болотиным [Ко 1 - Ко 3; Бол 1; Бол-Ко].

В работах Гликлиха [Гл 1 - Гл 3] доказаны теоремы существования решений двухточечной краевой задачи для механических систем с ограниченными силовыми полями при несопряженности концевых точек хотя бы на одной соединяющей их геодезической.

Для гироскопических систем классического типа с точной формой F существование движений, соединяющих несопряженные точки, доказано автором настоящей работы в [Як 1]. Этот результат был обобщен в соавторстве с Шапиро и Игошиным на случай, когда форма F пропорциональна форме с целочисленными интегралами по всем двумерным циклам конфигурационного многообразия В [И-Ш-Я]. Аналог теоремы Гликлиха для произвольных гироскопических систем классического типа получен в [Як 2]. Мы отмечаем эти результаты в данном разделе, поскольку они не включены в диссертацию.

Для свободных систем релятивистского типа (F = 0, и = const) условия существования решений двухконцевой задачи получены Аве-зом [Аве] и Зейфертом [Зе 2] (см. также [Бим-Эр, с. 130]).

Используемые в диссертации многозначные функционалы построены впервые в работе Новикова и Шмельцера [Нов-Шм]. В [Нов-Шм] и ряде других работ Новикова [Нов 2 - Нов 4; Нов-Т] построены содержательные (с точки зрения физики) примеры гироскопических систем с многозначным действием, разработан аналог теории Морса для многозначных функционалов и рассмотрены его приложения к периодической задаче. Полное обоснование с помощью теории Морса-Новикова существования несамопересекающихся замкнутых экстремалей многозначных или не всюду положительных функционалов оказалось весьма сложной задачей. Для ряда важных случаев эта проблема решена Таймановым [Нов-Т; Т 1 - Т 4].

Идея моделирования движений механических систем геодезическими римановых многообразий восходит к концепции Герца бессиловой механики [Ге]. При ее реализации обычно используется метод Рауса понижения порядка в механических системах с симметрией.

Из результатов Харламова [Хар 1 - Хар 3] следует, что инвариантная относительно действия структурной группы риманова метрика д на пространстве главного Т-расслоения р : Е В и 1-форма 9 на алгебре Ли группы Т порождают на базе гироскопическую систему Г = (B,h, F,u). При этом геодезические риманова многообразия

(.Е,д), на которых интеграл момента принимает значение в, проектируются на траектории системы Г. Форма гироскопических сил I71 системы Г имеет вид Г = 9 о Ф, где Ф - проекция на В формы кривизны Т-связности, ортогональной слоям расслоения р : Е —>• В. Согласно [Коб 1] интегралы от формы Ф по двумерным циклам многообразия В представляют собой наборы целых чисел.

С другой стороны, каждой гироскопической системе Г = (В, /г, Е,и) с формой удовлетворяющей сформулированным условиям, соответствуют главное Т-расслоение р : Е В и порождающая указанную систему Г-инвариантная риманова метрика д на Е. Этот факт установлен в работах [И-Ш-Я; Ш-И-Я; Бол 2]. Локально аналогичный вопрос рассматривался в [Жур].

С идейной точки зрения к обсуждаемым конструкциям близок метод проектирования, разработанный Олыпанецким и Переломовым [Ол-Пе 1 - Ол-Пе 3]. Ими рассматривались гамильтоновы системы и задача явного интегрирования уравнений движения. При этом во многих случаях в качестве моделирующих использовались свободные системы, соответствующие геодезическим потокам [Пе, с.44-48,134-137].

С геодезическим моделированием связаны работы Петрова [Пет 1, Пет 2], Сингатуллина [Син], Аминовой [Ам 1].

Главные расслоения и инвариантные относительно действия структурной группы лоренцевы метрики используются физиками для построения различных единых теорий поля. Впервые попытка такого построения была предпринята Калуцой и Клейном [Ка; Кл 1; Кл 2; Пау, с.309-314]. В их работах рассматривались расслоения с четырехмерной базой и одномерной структурной группой. Однако теориями типа Калуцы-Клейна принято называть и гораздо более общие современные теории [Кон-По; Вв].

Главные расслоения с одномерными структурными группами исследованы Кобаяси [Коб 1]. Несколько раньше Кодаирой и Спенсером изучались ассоциированные с главными II (1 )-расслоениями расслоения на комплексные прямые над компактными келеровыми многообразиями [Код-Сп].

Главное или почти главное расслоение р : Е —> В с заданной на Е метрикой Калуцы-Клейна является римановой субмерсией. Исследованию римановых субмерсий посвящено множество работ. Среди них отметим работы Хермана [Херм 2], Нагано [На], О'Нейла [О'Не 1; О'Не 2] и Грея [Грей 1]. В частности, в [О'Не 1] и [Грей 1] изучались

кривизны тотального пространства римановой субмерсии. Бишопом и О'Нейлом [Би-О'Не] исследованы кривизны скрещенных произведений римановых многообразий.

В ряду известных результатов по проблеме влияния знакоопределенности кривизны на топологию полного риманова многообразия отметим классическую теорему Гаусса-Бонне и ее обобщения, полученные Кон-Фоссеном [Кон-Фо], Аллендорфером и Вейлем [Ал-Ве], а также Чженем [Чж 2]. Близка к ним теорема Чженя-Милнора [Чж; Бесс 2, с Л 67] о характеристике Эйлера четырехмерного компактного риманова многообразия знакоопределенной кривизны.

Теорема Адамара-Картана [Г-К-М, с.221] характеризует топологию односвязных полных римановых многообразий неположительной кривизны. В работах Хопфа [Хо], Майерса [Май], Синга [Синг], Рауха [Ра], Клингенберга [Кли 1 - Кли 3], Топоногова [Топ 1 - Топ 3], Берже [Бер] и Вольфа [Во] исследовалась топология компактных римановых многообразий положительной кривизны. Кон-Фоссеном [Кон-Фо], То-поноговым [Топ 4], Громолом, Мейером и Чигером [Гро-Ме; Чи-Гро], Шарафутдиновым [Шар], Бураго [Бур; Бур-3 1], Мареничем [М 1; М 2; М-Топ] и Перельманом [Пер] изучалось строение некомпактных полных римановых многообразий неотрицательной кривизны.

По данной проблеме имеется также ряд результатов для римановых многообразий, снабженных дополнительными структурами. Среди них наиболее близки к нашей работе теорема Бохнера [Бох] и ее обобщения [Фр; Коб 2]. Также известно, что на произведении компактных многообразий не может существовать риманова метрика отрицательной кривизны [Г-К-М, с.230].

Римановы слоения впервые рассмотрены в работах Рейнхарта [Рей] и Хермана [Херм 1]. Понятие связности Эресмана для слоения введено Блюменталем и Хебдой [Бл-Хеб]. Слоения со связностями Эресмана и, в частности, римановы слоения активно изучаются и в настоящее время [Мол; Жу 1 - Жу 3].

О'Нейлом исследована причинная структура лоренцевых многообразий, являющихся скрещенными произведениями римановых и лоренцевых многообразий. В частности, им получены критерии глобальной гиперболичности таких многообразий [О'Не 3; Бим-Эр, с.57-79].

3. Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 17 параграфов, разбитых на 5 глав, и списка литературы. Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых является номером параграфа, а второе - номером формулы в данном параграфе. То же справедливо для теорем, предложений и лемм. При этом все утверждения нумеруются последовательно, независимо от их типа. Например, если за теоремой 3.1 следует лемма, то она имеет номер 3.2, даже в том случае, когда других лемм в §3 нет. Определения и следствия не нумеруются.

В главе 1 (§1-§5) определяются и изучаются почти главные расслоения.

Пусть п : Е —» В - гладкое универсальное накрытие, П - фундаментальная группа многообразия 1?, га £ 14, / = (/1,..., /то), !{ £ {0,1} и Т{(1) = для г = 1,... ,га, Т(1) = Щ!) х...х Т1П{1) и д : Е N -главное расслоение со структурной группой Т(1). Композиция р = под является локально тривиальным расслоением со стандартным слоем П хТ(1). Рассмотрим простое покрытие Ы базы В и ассоциированный с ним атлас Л(р, Ы) расслоения р : Е —В. Для любых £/, V £ Ы с непустым пересечением IIП V и произвольного а £ П существуют элемент иуи £ П и гладкое отображение фу и : 11Г\У —» Т{1), удовлетворяющие равенству

фи(а,= фу(а, "уи + а, Фуи(а) + *)>

где фи,фу £ Л(р,Ы), а£Ц"ПУи^£ Т(7). При этом набор

Фуи = { ("уи,Фуи) | « £ П } (6)

мы называем псевдофункцией перехода от карты фи к карте фу, а

набор

©ус, = Ктеп}

- особенностью псевдофункции перехода Фу и- Последнюю мы называем локально постоянной, если для каждой пары а, 7 £ П найдется элемент 0уи(7) £ Т(7), удовлетворяющий тождеству

фЖ-фЪи^вЫ 7).

По определению р - почти главное П х Т(/)-расслоение, если хотя бы один его атлас обладает системой псевдофункций перехода с локально постоянными особенностями.

Разумеется, р : Е —» В является главным расслоением со структурной группой П X Т(1) тогда и только тогда, когда особенности соответствующих какому-либо атласу псевдофункций перехода Фу и состоят из одних нулей; при этом пары (руи, Фу и) £ Фу/у не зависят от а и представляют собой обычные функции перехода от одной карты к другой.

Карта фи • и х П х Т(1) —► Еи, и еЫ, Еи = р~1(11), расслоения р

индуцирует локальное действие -кц : Еи хП —► Еи группы П формулой

7Г и (Фи (а, 7) ~ Фи(а, о + 7% /).

В §2 доказано, что псевдофункция перехода (6) имеет локально постоянную особенность тогда и только тогда, когда для каждой пары а, 7 Е П найдется такой элемент вуи(7) группы Т(7), что при всех V Е Ец П Еу, Еу = фи (и х а х Т{1)), имеет место равенство (5). Это позволяет сформулировать другое, но эквивалентное определение почти главного расслоения (см. п.1).

Построены две категории почти главных П х Т(1)-расслоений с базой отличающиеся друг от друга морфизмами. В категории /С\ мор-физмом почти главных П х Т (/) -р асс л о ений р : Е —> В и р' : Е' —» В называется морфизм (р : Е —Е' главных Т(1)-расслоений д : Е N ж д' : Е' —■»■ А7"', индуцирующий морфизм ф : N Ы' накрытий п : N В и п' \ М' В. В категории К2 от морфизма (р дополнительно требуется эквивариантность относительно индуцированных атласами Л(р,Ы) и Л(р',и) локальных действий группы П на многообразиях Е и Е'. Иначе говоря, для каждого и £ Ы действия 7ги : Еи х П —» Еи и ж'и : Е'-ц х П —> Е'-ц должны удовлетворять равенству

при всех г; Е Еи и у Е П.

Основные результаты главы получены в §3.

В теореме 3.1 доказано, что композиция р = п о д универсального накрытия п : N В ж главного Т(/)-расслоения д : Е N является почти главным П х Т(/)-расслоением в том и только в том случае, если на Е существует Т(1)~связность Н, инвариантная относительно всех локальных действий группы П, индуцированных картами некоторого атласа А(р,Ы). При этом Н называется П х Т(/)-связностью.

Утверждение теоремы 3.1 можно считать обоснованием целесообразности выделения класса почти главных П х Т(/)-расслоений.

Рассмотрим группу когомологий де Рама Н2(В,Шт), гомоморфизм

Руревича х - к2(В,Ь) Н2{В) и для каждого [Ф] G Н2(ВЖт) определим гомоморфизмы

1[ф] : Н2{В) №m, 7[ф] : 7г2(Л, Ъ) IRTO

формулами

*[ф]([с]) = УФ> ¿[Ф]=1[Ф]°Х-

с

Для произвольной подгруппы G С Мто положим

П2(В,0) = {[Ф]еЯ2(5,Г) | im J[фj CG}. В теоремах 3.3 и 3.4 доказано, что формулы

^([рЬ) = [Ф], т(Ш = [т,

где р : Е В - почти главное П х Т(/)-расслоение, [р]2 и [р]i -его классы эквивалентности в категориях К2 и /Ci соответственно, [ Ф ] - когомологический класс проекции формы кривизны некоторой П х Т(1)~связности и [[Ф]] = [Ф] + П2(Б,0), определяют сюръекцию щ множества классов эквивалентности объектов категории ¡С2 на группу П2(В, IZm) и биекцию щ множества классов эквивалентности объектов категории К\ на фактор-группу IÍ2(B, lZrn)/U2(B, 0).

Использованные в этих теоремах когомологический класс [Ф] и смежный класс [[Ф]] = [Ф]-)-П2(В, 0) названы соответственно характеристическим /-классом и характеристическим J-классом почти главного П х Т(/)-расслоения р.

В §4 рассмотрены фактор-расслоения почти главных П х Т(/)-рас-слоений по подгруппам группы Т(1). Найдена зависимость гомотопических групп тотального пространства почти главного П X Т(/)-рассло-ения от гомотопических групп базы и характеристического J-класса расслоения.

В §5 показано, что почти главное П х Т(/)-расслоение является главным расслоением со структурной группой П х Т{1) только тогда, когда его характеристический I-класс удовлетворяет условию

1[ф] еНош(я2(в),ггт).

Установлена связь с категорией главных Т(/)-расслоений. Рассмотрены примеры.

Глава 2 состоит из §6-§9 и посвящена исследованию многообразий Калуцы-Клейна. В §6 рассматривается связь между метриками Калуцы-Клейна на пространстве почти главного П х Т(/)-расслоения р : Е В и гироскопическими структурами на его базе В. Полученные здесь утверждения являются обобщениями известных результатов.

В §7 и §8 получены формулы, в которых тензор кривизны и секционные кривизны многообразия Калуцы-Клейна выражены через объекты соответствующей гироскопической структуры. В случае одномерности структурной группы найдены критерии знакоопределенности секционных кривизн римановых многообразий Калуцы-Клейна.

В §9 изучено влияние знакоопределенности секционных кривизн полного риманова многообразия Калуцы-Клейна (Е,д) на топологические инварианты почти главного расслоения р : Е В.

Согласно теореме 9.1 из неотрицательности кривизн полного риманова многообразия Калуцы-Клейна (Е, д) во всех точках и по всем двумерным направлениям и существования точки v Е Е, в которой все секционные кривизны положительны, следует, что характеристические I- и J-классы расслоения р = п о q : Е —> В отличны от нуля, при этом расслоение q : Е —» N нетривиально; ранг образа гомоморфизма Гуревича \ ^{В^Ъ) —» H-2(B) положителен, в частности, rank7г2(.В, Ь) > 0 и тг,пкН2(В) > 0; многообразия Е и В компактны; группы П и тп(£\ v) конечны. В случае, когда (Е,д) - многообразие положительной кривизны, dimЕ - нечетное число; Т(1) = M/Z; 7Ti(E,v) - конечная циклическая группа; П = 0, если многообразие В ориентируемо, и П = Z2 в противном случае.

По теореме 9.2 для полного /г-мерного риманова многообразия Калуцы-Клейна (Е,д) неположительной кривизны характеристический J-класс соответствующего почти главного П х Т(/)-расслоения p = noq:E—>B равен нулю (при этом расслоение q тривиально), а база В представляет собой пространство Эйленберга-Маклейна типа К(П, 1). Если все секционные кривизны многообразия (Е,д) отрицательны, то база В некомпактна и либо стягиваема, либо является пространством субмерсии а : В —» М; при этом многообразие Е также некомпактно, а старший класс Штифеля-Уитни Wk(B) и класс Эйлера е(В) (в случае ориентируемости В) равны нулю.

В теоремах 9.3 и 9.4 аналогичные результаты получены для Т(1)~ инвариантных римановых метрик на пространствах главных Т(/)-рас-слоений.

В главе 3 (§10—§ 12) разрабатывается метод решения двухконцевых

задач для гироскопических систем.

Пусть Г = (В, к, Г, и) - гироскопическая система, причем и ф 0 и форма Р имеет представление Р = в о Ф, где в Е Ногп(Мте,Е) и [Ф] Е П2(В,1Хт), I Е {0,1}т. Формулами (2) и (3) определяется многозначный функционал 5:ЖхГ2аь—действие системы Г.

Рассмотрим канонический изоморфизм ] : Нот(Мт,М) —Мт и положим

о'1 = вит* 1(Р^) = оНр1я1 + --- + ртят) и а = .цв)/е2.

Тогда (Ете, 7) - евклидово пространство, а О, - вектор единичной длины в (Мта, 7), ортогональный подпространству кетв. Формулами

е(г) = (г! -\-liZ, ...,гт + 1т%) и Э = е(кег #)

определим накрытие е : М.т —> Т(1) и подгруппу О С Т(1).

Согласно теореме 3.3 существует почти главное П х Г(1)-расслоение р : Е —В, П = 7Гх(-В, 6), с характеристическим 1-классом [Ф]. При этом на пространстве Е расслоения р имеется С-связность Н, С = П х Т(1), с формой связности ш и формой кривизны с?а; = р* Ф. В предложении 11.1 показано, что формулы

д(Х,¥) = 7(и(Х)МУ))/МЬ)+р*к(Х,У),

ПУ = {Х еТуЕ I и>(Х) - в(и;(Х))а},

где V Е Е, Ь = р (у) и X, У Е ТУЕ, определяют риманово слоение Р на Е, его метрику Рейнхарта д и связность Эресмана Н. При этом {Е,д) - многообразие Калуцы-Клейна. Связность Л интегрируема тогда и только тогда, когда Ф = РО,.

Произвольный кусочно-гладкий путь у : I —> Е единственным образом можно представить в виде у (в) -= у0 (в) ■ е^я)), где у0 : I —» Е -горизонтальный относительно С-связности Н лифт пути х = р о у с

началом у°(0) = у(0), а г : I Мт - кусочно-гладкий путь в Мт с началом ¿(0) = 0. Мы говорим, что путь у увеличивает (уменьшает) форму в, если

ф(1))>0 = ф(0)) (9(г(1)) < 0).

В предложении 11.2 устанавливается, что для кусочно-гладкого пути х & Паь числа 6 6 М и точки V слоя = существу-

ет единственный кусочно-гладкий путь у : I —» Е, удовлетворяющий условиям

ш(ау/аз)/2и(х) = <52, роу

X и

У(0) =

v.

При этом мы полагаем у = Х"(6, х) и называем путь у ¿»-лифтом пути х. Таким образом определена инъекция произведения М X в пространство Г2(г>, С^) кусочно-гладких путей многообразия Е, идущих из точки V в точки слоя Сь = р~1(Ь). Отметим, что любой ¿-лифт горизонтален относительно связности Эресмана 'К слоения Т.

Отображение А1' : М х Паг, —> 0(г>, Сь) играет важную роль в разрабатываемом методе исследования двухконцевых задач. Поэтому ряд утверждений главы 3 посвящен изучению его свойств.

Определим функционалы

А : К. х ПаЬ Т(/) и IV Ш/9(Шт)

формулами

1

А(6,х) = е(0, У 2<5и(ф)) ¿Ь - ^ Ф),

0 с

1

х) = цг(6, X, с) + 9{1Хт),

где с : I2 —> В - кусочно-гладкая гомотопия, связывающая путь х с опорным путем хц из содержащего х гомотопического класса О £ тгЛЪаь).

-■ и ~ииу •

о

В предложении 11.5 рассмотрены число 6, путь х £ Оаъ, гомотопический класс D £ 7г0(йаь), лифты = Xv(0, xd) и г/ = Av(<5, ж), слои L]j ж L слоения Т, содержащие точки у.о(1) и у(1) соответственно, и элементы í £ Т(/) и г £ Жт. Показано, что равенство у(1) = уd(1) • t равносильно условиям х £ D, Д(<5, х) = t, a L = Ь£>-е(г) тогда и только тогда, когда х £ D и ж) = 0(r) + 0(/Zm).

Пары (Si, хi) £ Ж х ¿ — 1,2, мы называем Неэквивалентными, если пути х\ и ж2 гомотопны и W(8\,x\) — W(82,х2). В силу предложения 11.5 Неэквивалентность указанных пар равносильна существованию слоя слоения Т, содержащего концы У\(1) и 7/2(1) путей Ух = А^1 (<5i,) и У2 = Xv(62,x2y, последние по определению имеют общее начало v = 2/1 (0) = у2(0).

По лемме 12.3 геодезическая у £ Q(v, G&) многообразия (Е,д) принадлежит образу Im отображения А15 : Ж х Оаб —» ft(v,Gb) тогда и только тогда, когда она ортогональна проходящему через точку у{1) слою L £ Т. Последнее равносильно горизонтальности пути у относительно связности Эресмана ТС слоения Т.

Символом : Q,(v, L) —» Ж обозначается функционал

у' — йу/йв, определенный на пространстве 0(г>, Ь) идущих из V в точки слоя Ь £ Т кусочно-гладких путей.

Согласно предложению 12.4 путь х £ Паь является экстремалью функционала в том и только в том случае, если его 6-лифт у представляет собой экстремаль функционала

где v — ?/(0), a L - содержащий точку у( 1) слой слоения Т.

С помощью предложений и лемм 11.1 - 11.5 и 12.1 - 12.4 получен основной результат главы 3 - доказана теорема 12.5. В ней рассматриваются точка v £ Ga и класс эквивалентности С £ Ж х Qab/W и утверждается существование слоя L слоения Т, обладающего свойствами: а) для произвольной пары (б,х) £ Ж х 0,аь и пути у = \v(6,x) включения (6, х) £ С и у( 1) £ L равносильны; б) если и > 0 (и < 0),

i

о

£¿ : ü(v,L) ->Ж,

то отображение Хь устанавливает биективное соответствие между множеством принадлежащих Иг-классу С положительно ориентированных экстремалей функционала 8 : М х 0,аь —»■ 71 и множеством увеличивающих (уменьшающих) форму 9 экстремалей функционала Ё^ : ОМ; при этом тождество

е(6,х)= +62и(х) = О

для экстремали (6, х) Е С эквивалентно изотропности геодезической у = Ху(6, х).

Теорема 12.5 сводит задачу с закрепленными концами для функционала 5 к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала действия (или функционала длины) многообразия Калуцы-Клейна (Е,д). При этом концевыми подмногообразиями являются слои слоения Т.

В главе 4 (§13 - §15) получены основные результаты диссертации по проблеме существования решений двухконцевых задач для гироскопических систем.

В §13 рассмотрены системы классического типа. Лемма 13.1 утверждает, что полнота риманова многообразия Калуцы-Клейна (1?, д) равносильна полноте конфигурационного риманова многообразия (Б,/г) соответствующей гироскопической системы Г = (В, /г, ^Р, и).

Отметим, что представление (1) формы гироскопических сил Е определено неднозначно. В частности, не ограничивая общности, можно считать, что /] = • • • = 1т-1 = 1 и = 0(ег-) > 0 для г = 1,..., т. Положим к = т при 1т = 1 и к = т — 1 при 1т = 0. Таким образом, Тк = Щ1) х ... х Тк(1) = {Ж/Ъ)к - ¿-мерный тор, Т(1) = Тк при 1т = 1 и Т(1) = Тк х Ж при 1т = 0.

Для гомотопического класса О Е &аь определим отображение А°п : В -»■ Т(1) формулой

А0п(^ = МО,х) = е(- I Ф),

с

где с : I2 —» В - связывающая пути Х£> и х кусочно-гладкая гомотопия.

В теореме 13.4 получены условия разрешимости двухконцевой задачи для гироскопической системы классического типа Г = (В, к, Е, и).

Предполагается, что потенциальная энергия и положительна, а рима-ново многообразие (В, К) полно. Рассматриваются произвольные точки а и b конфигурационного многообразия В, гомотопический класс D £ 7Го(^аб), точная нижняя грань dp длин путей из D, множество Кр принадлежащих классу D геодезических длины djj и подмножество О = A°D(K]j) группы Т(|). Тогда если индуцированный включением г : Tk \ О —>Тк гомоморфизм

Нк^{Тк \0) ^ Нк.г(Тк)

сюръективен, то найдется такое число v > /j, = d2D/2, что для почти любого £ £ (/i, ъ>) существует положительно ориентированная экстремаль (<5, х) функционала 5 : R х Qa& —> 71, для которой яг £ D и

б(Л,ж)= +S2U(X) = £.

При этом <5 > 0 и формула xs(t) = x(t/S) определяет движение : [О, <5] —> В системы Г из положения а в положение Ь. Для к = О имеет место равенство (¿¿, г/) = (/¿,+оо).

Гомоморфизм «¿-I из теоремы 13.4 заведомо сюръективен, если множество кратчайших А^д не более чем счетно и, в частности, если точки а и Ъ не сопряжены на геодезических из класса D. Однако последнее вовсе не является необходимым.

С другой стороны, %k-i может не быть эпиморфизмом, если

rank Н\ (Kd) > 0.

Такие гомотопические классы существуют для некоторых пар концевых точек на римановых многообразиях с достаточно большой группой изометрий. Среди последних можно отметить сферы и ряд классических групп Ли с инвариантными римановыми метриками [Пос, с.548; Мил, с. 127-147].

Наиболее трудным в §13 является доказательство теоремы 13.3, в которой рассматриваются модельные задачи на многообразии Калуцы -Клейна (Е,д). Отметим, что свойства слоев слоения Т ~ концевых подмногообразий модельных задач - зависят от параметров ш, к и в. При m = 1 они вырождаются в точки, при rank0 = 1 и к = m - компактны, при rank в = 1 и к = m — 1 - некомпактны, но собственны;

наконец, при гапк0 > 1 слои слоения Т несобственны. В последнем случае каждый слой Ь Е Т является иррациональной обмоткой содержащей его компоненты связности слоя расслоения р : Е —В. При этом слой Ь всюду плотно заполняет указанную компоненту.

В такой ситуации стандартные методы доказательства существования экстремалей вариационного исчисления в целом встречаются с серьезным препятствием - некомпактностью подпространств

(7 6 1, пространства Еще более усложняет задачу налагае-

мое на искомую экстремаль дополнительное ограничение - согласно теореме 12.5 она обязана увеличивать форму 0.

В §14 рассмотрена система Г = (В, И, Е,и) классического типа с компактным конфигурационным многообразием В и точной формой гироскопических сил Е = ¿А. Такие системы могут моделироваться и римановыми, и лоренцевыми многообразиями Калуцы-Клейна. Здесь выбрана лоренцева модель (Е,д). В теореме 14.5 доказана ее глобальная гиперболичность.

Пусть Т1В - многообразие единичных касательных векторов к В,

и+ = та хи(Ь), = ттм

ьев 4 ' ьев

а = тах А(Х), х&т^в

и

/3 = у/2(и+ - «_) + а2. Выберем прозвольное число V Е (/3, +оо) и положим

¡л = -у/г/2 — 2(гб+ — г/_), щ = и — и+ — ¡л2/2. Для гомотопического класса I) Е ж о (0аг>) существует число

I

хеи ]

о

удовлетворяющее неравенствам

Основной результат параграфа - теорема 14.6. Она утверждает, что для любых а,Ь £ В, В £ Щ(Паь) и х £ (—оо,-хд] найдется положительно ориентированная экстремаль (<5, ж) функционала 5 : Ж х ПаЬ ->■ 7г такая, что ж. £ Д

и формула жД^) = х{1/8) определяет движение х$ : [0,<5] —» В гироскопической системы Г из положения а в положение Ь со скоростью | йхь/(11 ( < и.

В §15 исследуется гироскопическая система Г = (В,к,Р,и) релятивистского типа с положительной функцией и.

Согласно теореме 15.3 из глобальной гиперболичности лоренцева многообразия (В, к) следует глобальная гиперболичность соответствующего системе Г лоренцева многообразия Калуцы-Клейна (Е,д).

Пусть = 2ик/92. Рассмотрим произвольную точку а £ Б, точку Ь из ее хронологического будущего 1+ (а.) и гомотопический класс В £ 7Го (&аъ)- Символами Х)" жВ~° обозначим множества принадлежащих классу В времениподобных и непространственноподобных путей соответственно. Положим

При В~ ф 0 договоримся выбирать опорный путь хр времениподоб-ным. Предположим, что на некоторой односвязной окрестности II множества J(B) существует 1-форма А со значениями в Жт, удовлетворяющая равенству (НА = Ф \и. Тогда формулы

где С\{х) - длина пути х в лоренцевом многообразии (В,к\), определяют функционалы Ф^. : В~ —» Ж и Ф!_ : В~ —» Ж, % — 1 ,...,т. В случае глобальной гиперболичности лоренцева многообразия (В, к) существуют числа

1

о

J(B) = (ф) | ж е в~°, 5 е I}.

Хо~х

Хр—Х

фг+ = эир фг+(ж) и фг_= ы ф!_(ж),

г = 1,..., т.

Основная теорема §15 - теорема 15.4 утверждает, что если точки а £ В и Ь £ 1+(а) и гомотопический класс В £ жо(£1аь) удовлетворяют условиям: (1) лоренцево многообразие (В, /г) глобально гиперболично, (2) В~ ф 0 и в В нет изотропных геодезических, (3) Ф ¡у — йА на некоторой односвязной окрестности II множества ,1{В)1 (4) фг+ — фг_ < 1 для г = 1, то существует положительно ориентированная экстремаль

(ё, х) функционала 5, для которой х £ В и

е(ё,х) = ^Х'2Х'^ +ё2и{х) = 0.

При этом формула х§(о) = х{а/ё) определяет направленную в будущее времвшшодобную кривую Х£ : [0, б] —» В, являющуюся движением гироскопической системы релятивистского типа Г из точки а в точку Ь.

Трудности, аналогичные отмеченным при обсуждении теоремы 13.3, встречаются и в доказательстве теоремы 15.4. Но здесь появляется новая, связанная с тем, что искомая экстремаль функционала : О(?;,£) 1 в модельной задаче должна быть изотропной и направленной в будущее. Для того, чтобы это дополнительное требование было выполнено, приходится обосновывать существование экстремали с концом на контуре будущего Е+(у) = ,/+(г>) \ 1+(и) начальной точки V (,7+(и) - причинное будущее точки у). Последнее приводит к необходимости исследования связи между множествами /+(г>), </+(г>), Е+(у), составляющими причинную структуру лоренцева многообразия Калуцы-Клейна (Е,д), и объектами исходной гироскопической системы Г = (В, /г, Е, и).

Глава 5 посвящена приложениям основных результатов предыдущей главы к задачам электродинамики.

В §16 рассмотрены движения заряженной пробной частицы х по полной двумерной поверхности В (замкнутой или открытой) под действием постоянного магнитного поля Н. Предполагается, что в выбранной системе единиц скорость света в вакууме и отношение заряда частицы х к ее массе равны 1, Н является суммой произвольного магнитного поля без монополей и полей, создаваемых конечным числом магнитных зарядов. Описывающая движения частицы х гироскопическая система Г имеет классический тип.

Возможны четыре случая: (1) поверхность В замкнута и все магнитные заряды расположены во внешней по отношению к В области (2) поверхность В замкнута, но не гомеоморфна сфере, а ограниченная ею область содержит магнитные заряды; (3) поверхность В открыта (то есть некомпактна и полна); (4) поверхность В гомеоморфна сфере и внутри ограниченной ею области В+ имеются магнитные заряды.

В случае (1) найдется окрестность U множества В U В+, в которой магнитное поле Н имеет гладкий вектор-потенциал А. Для Ь Е В символом AT(h) обозначим ортогональную проекцию вектора А(Ь) на касательную к В плоскость ТьВ. В силу компактности многообразия В определено число

а = max I AT(b) I. ьев w

При этом по предложению 16.1 для любых точек a,b Е В, гомотопического класса D Е тго(0,аъ), опорного пути хр Е D ж чисел v > а и ¡1 > (2а + p)do, d]j — inf С(х), существует положительно ориентированная экстремаль (6, х) соответствующего системе Г функционала S, удовлетворяющая условиям: х Е D, поток магнитного поля Н через ограниченную контуром х — xjj часть поверхности В равна числу ц — 6р2, а формула x$(t) = x(t/5) определяет движение х$ : [0, <5] —> В частицы х из точки а в точку ъ со скоростью | dxs/ds | < ту.

Согласно предложению 16.2 в случаях (1) - (3) при произвольных а, 6 Е В, D Е 7Го (Паь) и е > d?D существует экстремаль (6,х) функционала S, для которой х Е D,

S2 + С(х)2 = £ (7)

и xs(t) = x(t/6), t Е [0,(5], - движение частицы х по поверхности В из точки а в точку Ь.

Наиболее сложен случай (4). Рассмотрим точки а, 6 Е В. Поскольку в этом случае многообразие В односвязно, то имеется единственный гомотопический класс D = 0,аь. Пусть Кр - множество идущих из а в Ъ кратчайших геодезических поверхности В ж хр £ К¿> Предположим, что в точках «1,..., а^ £ В+ расположены магнитные заряды. Если существует отличный от хд путь х* £ Кр, то контур х* — хр разбивает поверхность В на две части, которые мы обозначим символами с\ и с2 • Для каждого пути х £ Ко найдется единственный сегмент

с(х) поверхности В, ограниченный контуром х — хв и не содержащий точки х*(1/2). Символами ср\, <рг2 ж <рг(х) обозначим величины телесных углов, под которыми сегменты С1, с-2 и с(х) видны из точки аЪ1 г = 1,..., к. Очевидно, что | (р\ — (р2 \ = Аж ж (р\(р2 < 0. Обозначим, наконец, символом Iх интервал с граничными точками (р\ и ср2.

В силу предложения 16.3 если отображение <рг : К в \ { а'*} —► ./? не сюръективно при всех г = 1 то существует положительно

ориентированная экстремаль (<5, х) функционала 5, удовлетворяющая равенству (7); при этом = £ £ [0,<5], - движение частицы

X из а в Ь по В. Утверждение тем более верно, если К в состоит из единственной геодезической хг>.

Если в случае (4) условие предложения 16.3 не выполнено, то согласно предложению 16.5 существует движение частицы х из точки а в точку Ъ по поверхности В, полученной из В сколь угодно малым возмущением сколь угодно малой области II С Б, не содержащей концевых точек а ж Ъ.

В §17 исследуются движения заряженной пробной частицы х в различных гравитационных и электромагнитных полях.

Пусть </ - интервал вещественной прямой М, (ТУ, д) ~ риманово многообразие, В = <7 х р : В —> 3 жд\В —> ]¥ - естественные проекции. Рассмотрим гладкие функции Д : / —> Ж+ и / : \¥ —> М+ и каноническую 1-форму М на /. Положим Й = Ло р, / = /оди

н = /{-Р*((И (8) (И) + Ё Я*д). (8)

Тогда (В, к) - лоренцево многообразие с естественной временной ориентацией

Если tl,t2 £ </, £ И7, а = (¿1,^1) и Ь= (¿2,^2)5 то проекция д

индуцирует биекцию до •' Для гомотопического

класса О £ 7Го(^аб) и числа £ / положим

= Ы' С(у), уе£>

где С(у) - длина пути у : I —IV в римановом многообразии (\¥,д), а символом Т(£), ¿1) обозначим множество чисел ¿2 £ 3, для которых существуют идущие из точки а = (¿1,11)1) в точку Ь = (^2,^2) и

принадлежащие гомотопическому классу В = д0 1 (В) направленные в будущее изотропные геодезические лоренцева многообразия

и

определим функцию : 3 —М. В силу леммы 17.2 если (В, К)

- многообразие класса С00, то для любых I) и множество Т(В, tl) замкнуто и имеет меру нуль в </.

В теореме 17.3 рассматривается случай, когда / = 1 и (№,д) -трехмерное изотропное риманово многообразие. При этом

(В, К) = (3 х И7, -р* 0 ей) + Д

- четырехмерное пространство Робертсона-Уокера. Выберем произвольную замкнутую 2-форму ¥ на В и положим и = 1/2. Тогда Тцуу = (В, к, Г, и) - гироскопическая система релятивистского типа. При известных ограничениях Г можно интерпретировать как форму внешнего электромагнитного поля.

Пусть и)1, и>2 Е И7", В £ жо(Пи?1т2) и ¿1 Е </. Тогда согласно теореме 17.3 для любого числа ¿2 Е 3\Т(В,1 1), удовлетворяющего неравенству /^(¿2) > точек а = (¿1,^1) и 6 = (¿2,^2) и гомотопического класса I) = Е 7Го(^аб) существует положительно ориентированная экстремаль ж) соответствующего системе функционала 5 такая, что ж Е В и /¿(ж', ж') = —б2. При этом формула ж^(сг) = ж (а/6) определяет направленную в будущее времениподоб-ную кривую ж £ : [0,6] —> В, являющуюся соединяющей события а и Ъ мировой линией частицы Отметим, что если (IV, д) не является эллиптическим пространством (РГ ф МР3), то В = В = £1аъ и

- расстояние между точками ги\ и гл)2 в (И7, д); если (И7, д) - евклидово или гиперболическое пространство (ТУ = М3), то множество Т(1),£ 1) состоит из единственной точки /^(¿р).

Пусть далее а, е, к Е Ж, ¡л Е и е2 + < ¡I2. Положим

г+ = ¡л2 - г2 - к2 и \¥ = {ги Е М3 | | ги | > г+}.

Символами (р(и)) я ф(уи) обозначим сферические координаты точки ги £ IV. На \¥ рассмотрим функции

Е = + Т = г23т2Р> А = 1 + / = Л2£,

т V 4

риманову метрику

1 , йг 0 ¿г о , , Т . . , . х 9 = £ '—£— + ®а(р+—<1ф® аф)

с функцией расстояния (1 : ТУ х ТУ —» № и формы

йф

С}<2 — к эт с1(р Л ¿ф, Аз = аТ

2А

Предположим, что «7 = М, I? = 1, и = 1/2 / = / од, г = год и лоренцева метрика /¿наБ = </хТУ = ЖхТУ определена формулой (8). Выберем произвольную точную 2-форму ^о на 5 и положим

г

и ^ = ^о + + + ^3. Этим построена гироскопическая система релятивистского типа Г^лг^м-

При о; = 0 лоренцево многообразие (Б, /г,) представляет собой внешнее пространство-время Райсснера-Нордстрема. В этом случае е -электрический, ая- магнитный заряды черной дыры, ^ и ^ - соответствующие им электрическое и магнитное поля [Но-Фр, с. 127]. Если е = к = 0, то (В, К) - пространство Шварцшильда-Эрнста. Оно интерпретируется как внешнее пространство-время черной дыры Шварц-шильда в магнитной вселенной Мелвина, при этом - магнитное поле вселенной Мелвина [Га, с.21-22]. В обоих случаях ¡1 - масса черной дыры. При очевидных дополнительных ограничениях 1<о можно трактовать как внешнее электромагнитное поле, пренебрежимо мало влияющее на геометрию пространства-времени.

Поскольку многообразия В и ТУ односвязны, то для произвольных а,Ъ Е В и ъи1,и)2 Е ТУ пространство путей 0,аь состоит из единственного гомотопического класса V = а пространство £2и,1ги2 ~~ из единственного гомотопического класса И = Для ¿1 Е К. положим

Пусть и>1 и Ю2 ~ произвольные точки риманова многообразия (ТУ, д), р0 ~ расстояние между ними и ¿1 Е М.. В теореме 17.4 доказаны утверждения: (1) при к = 0 для любого числа ¿2 Е (¿1 + ро, 4-со) \ и

точек а = (/1,^1) и Ъ = (¿2,^2) существует экстремаль (6,х) соответствующего системе Гдл^я функционала 5 : I х Оаь —» удовлетворяющая тождеству к(х',х') = —82; (2) при к ф 0 и а = 0 такая экстремаль существует для точек и)\ и т2, не лежащих на диаметрально противоположных радиальных лучах многообразия ТИТ, и числа #2 из некоторого интервала (¿1 + />о, ¿1 + р), р > Ро; (3) если к, ф 0, а — е = О, Хо = 0 и проходящие через точки и ъи2 радиальные лучи диаметрально противоположны, то ни при каком ¿2 € Ж рассматриваемая задача решений не имеет.

Таким образом, для любых £ ¿1 £ Ж и почти каждого

Ь > ¿1 + Ро в пространстве-времени Шварцшильда-Эрнста (Ж х IV, д) существует идущая из точки а = (¿1,^1) в точку Ь = (¿2,го2) мировая линия заряженной пробной частицы х, движущейся под действием гравитационного поля соответствующей черной дыры, магнитного поля вселенной Мелвина и внешнего электромагнитного поля ^. При отсутствии у черной дыры Райсснера-Нордстрема магнитного заряда в ее внешнем пространстве-времени (Ж х И7", д) для таких же точек а и Ъ найдется соединяющая их мировая линия частицы х, движущейся под действием гравитационного и электрического полей черной дыры и внешнего поля . Если черная дыра Райсснера-Нордстрема обладает магнитным зарядом, то аналогичное утверждение справедливо для точек а = (¿1, г^) и Ъ = (12,11)2), удовлетворяющих более обременительным условиям. Согласно утверждению (3) эти условия существенны.

Отметим интересное следствие теоремы 17.4, относящееся к случаю е = а = 0и^0=0. Рассмотрим в \¥ диаметрально противоположные радиальные лучи А1 и А* и точку £ А] . На подмножестве Ш* = 1¥ \ X* существует 1-форма Л2, удовлетворяющая равенству <142 = Я2 Форма А2 является потенциалом поля магнитного заряда к. Она не может быть гладко распространена на все многообразие У/. Препятствующий этому особый луч А^ обычно называется нитью или струной Дирака. Допустим, что наблюдатель неподвижен относительно выбранной системы отсчета и занимает пространственное положение Он может изучать гравитационное и магнитное поля черной дыры с магнитным зарядом к, анализируя свойства траекторий, испускаемых из г^ электрически заряженных пробных частиц. Согласно теореме 17.4 при этом обнаружится, что ни одна из траекторий не пересекает А^, хотя через любую точку т2 £ И7"* проходит

бесконечное множество траекторий. Таким образом, для наблюдателя N сингулярность магнитного потенциала А2 на нити Л^ имеет физический смысл. Кроме того, Л^ - единственная нить, исключив которую из пространства мы получим регулярный потенциал поля монополя ас, но никак не повлияем на результаты экспериментов наблюдателя Аг.

4. Результаты, выносящиеся на защиту.

1) Разработан метод исследования двухконцевых задач для гироскопических систем Г = (В, /г, Е, и) с ограниченной хотя бы с одной стороны потенциальной энергией и и формой гироскопических сил пред-ставимой в виде линейной комбинации форм с целочисленными периодами по сфероидам. Метод состоит в редукции вариационной задачи для многозначного функционала Новикова 5, являющегося действием гироскопической системы Г, к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины расслоенного над конфигурационным многообразием системы псевдориманова многообразия Калуцы-Клейна (Е,д). При этом Е - пространство почти главного расслоения с базой В и структурной группой С = П х Т, где П - фундаментальная группа многообразия В, а Т - конечномерная связная абелева группа Ли, д - невырожденная на слоях и инвариантная относительно действия группы Т и всех локальных действий группы П псевдориманова метрика. Концевыми подмногообразиями модельных задач являются слои риманова слоения Т на Е, для которого д - метрика Рейнхарта, а ортогональное слоям распределение максимальной размерности Л - связность Эресмана.

2) Для гироскопической системы классического типа Г = (В, /г, Е, и) с полным конфигурационным римановым многообразием (В, К) и удовлетворяющими условиям из п.1) потенциальной энергией и и формой гироскопических сил Р, а также произвольных точек а и 6 из В получено условие на гомотопический класс идущих из а в 6 путей, при выполнении которого этот класс содержит экстремаль функционала 5 с заданным значением интеграла энергии, являющуюся движением системы Г из положения а в положение 6.

3) Доказано, что если конфигурационное риманово многообразие (Б, К) гироскопической системы Г компактно, а форма гироскопических сил Р точна, то для некоторого положительного числа и и любых точек а и Ь из В существуют движения Г из положения а в положение 6, принадлежащие произвольно выбранному гомотопическому классу путей, со скоростями, ограниченными сверху числом V.

4) С помощью результатов п.2) и п.З) исследована задача о движениях заряженной пробной частицы по двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве под действием постоянного магнитного поля, включающего поля конечного числа неподвижных магнитных зарядов (монополей Дирака).

5) Для гироскопической системы релятивистского типа Г с глобально гиперболическим конфигурационным лоренцевым многообразием (В, к) и удовлетворяющими условиям из п. 1) функцией и и формой Р, произвольной точки а из В и точки Ь из ее хронологического будущего найдены ограничения на гомотопический класс И идущих из а в Ь путей, при которых существуют принадлежащие О движения системы Г.

6) В каждом из четырехмерных пространств Робертсона-Уокера, во внешнем пространстве-времени Райсснера-Нордстрема и в пространстве-времени Шварцшильда-Эрнста для произвольной точки а указаны точки из ее хронологического будущего, которые можно соединить с а мировыми линиями заряженной пробной частицы, движущейся под действием соответствующего гравитационного поля и внешнего электромагнитного поля, к которому в пространстве-времени Райсснера -Нордстрема добавляются поля электрического и магнитного зарядов черной дыры, а в пространстве-времени Шварцшильда-Эрнста -магнитное поле вселенной Мелвина. В частности, установлено, что во внешнем пространстве черной дыры с магнитным зарядом каждому начальному положению ю соответствует луч, являющийся множеством недостижимых точек. Указанный луч может быть выбран в качестве нити (или струны) Дирака. При этом с точки зрения наблюдателя, занимающего пространственное положение ги, сингулярность потенциала поля магнитного заряда на дираковской нити приобретает физический смысл.

7) Определен и изучен класс почти главных П х Т-расслоений, использованный при исследовании двухконцевой задачи для гироскопических систем. В частности, рассмотрены две категории почти главных расслоений и соответствующие им характеристические классы; выделены подгруппы Р и (5 двумерной группы когомологий де Рама базы В (со значениями в алгебре Ли группы Т) и показано, что конструкции характеристических классов определяют в одной категории сюръекцию множества классов эквивалентности почти главных расслоений на группу Р, а в другой категории - биекцию аналогичного множества на фактор-группу Р/ф; определена зависимость гомотопических групп тотального пространства от гомотопических групп базы и характеристических классов расслоения.

8) Изучены секционные кривизны римановых многообразий Калу-цы-Клейна и их влияние на топологическое строение. Показано, что положительная определенность секционной кривизны полного рима-нова многообразия Калуцы-Клейна (Е, д) влечет за собой нетривиальность характеристических классов соответствующего почти главного расслоения р : Е —» В, четность размерности базы В и одномерность структурной группы (9, компактность многообразий В, С и и ряд утверждений о гомотопических группах. Из неположительности кривизны многообразия (Е,д) следует, что характеристические классы расслоения р тривиальны, а В - пространство Эйленберга-Маклейна типа К(П, 1). В случае отрицательности секционной кривизны многообразия (Е, д) база В некомпактна и либо стягиваема, либо является пространством субмерсии В —> Ж. Указанные результаты приводят к классификации почти главных П х Т-расслоений с трехмерными тотальными пространствами, допускающими полные римановы метрики Калуцы-Клейна положительной или отрицательной кривизны.

9) Исследована причинная структура лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна. В частности, доказана глобальная гиперболичность ло-ренцева многообразия Калуцы-Клейна (Е,д) в случаях, когда база (В, К) является компактным римановым многообразием и Т = 1 или база (В, К) представляет собой глобально гиперболическое лоренцево многообразие, а группа Т произвольна.

5» Новизна и достоверность.

В диссертации впервые вариационная задача с закрепленными концами для многозначного функционала Новикова 5 сведена к задачам с фиксированным началом и подвижным концом для функционала длины С риманова или лоренцева многообразия Калуцы-Клейна. Результат получен с использованием новых для этой задачи конструкций -риманова слоения Т и его связности Эресмана Л. Конструкции, рассматривавшиеся ранее [Хар 1 - Хар 3; Ш-И-Я; Бол 2], приводили к модельным задачам с неголономными связями. Новым является также применение в данной задаче лоренцевой геометрии.

В отличие от полученных ранее результатов по обсуждаемой проблеме [И-Ш-Я] (см. также [Гл 1 - Гл 3]) теорема существования решений двухконцевой задачи для гироскопических систем классического типа доказана без предположения о несопряженности концевых точек. В связи с этим, а также в силу сложного поведения слоев Ь £ Т - концевых подмногообразий модельных задач - разрешимость последних не следует из известных теорем существования вариационного исчисления в целом. Стандартные схемы теории Морса встречаются с серьезным препятствием - некомпактностью поверхностей уровня функционала С : Ь) Ж. В диссертации найден способ преодоления указанного препятствия.

Для систем классического типа с компактным конфигурационным многообразием и точной формой гироскопических сил доказано существование движений из одного произвольно выбранного положения в другое со скоростями, ограниченными сверху заранее заданным положительным числом. В [Гл 1 - Гл 3] речь идет о движениях с достаточно большими скоростями, а в [И-Ш-Я] никакой информации о скоростях нет.

В качестве приложения общих теорем существования исследована задача о движениях заряженной пробной частицы по полной поверхности В под действием постоянного магнитного поля, включающего поля конечного числа магнитных зарядов. Показано, что почти во всех случаях имеются движения частицы из произвольно выбранной точки а £ В в любую другую точку Ь £ Б; при этом сопряженность точек а и Ь на геодезических поверхности В не имеет значения. Указаны ситуации, в которых возможно отсутствие движений частицы из а в Ь; доказано, что они неустойчивы относительно возмущений поверхности

В. Все эти результаты являются новыми.

Двухконцевая задача впервые рассмотрена и решена для (не свободных) гироскопических систем релятивистского типа. Ранее для релятивистского случая был известен только один результат - теорема Авеза и Зейферта о существовании непространственноподобных геодезических, соединяющих две причинно связанные точки глобально гиперболического лорендева многообразия.

Динамика заряженной пробной частицы в различных гравитационных и электромагнитных полях и, в частности, в полях черных дыр исследовалась многими авторами (см. например, [Руф, с.412-419; Ча 1, с.224-226]). Однако вопрос о существовании мировой линии частицы, соединяющей две хронологически связанные точки пространства-времени, при наличии электромагнитного поля не изучен. В диссертации этот вопрос решен для пространств Робертсона-Уокера (вселенных Фридмана), внешнего пространства-времени черной дыры Шварц-шильда в магнитной вселенной Мелвина и внешнего пространства-времени черной дыры Райсснера-Нордстрема (с электрическим и магнитным зарядами); во всех случаях предполагается, что в пространстве-времени имеется еще и внешнее электромагнитное поле. При этом найдена новая интерпретация дираковской нити (струны) во внешнем пространстве черной дыры с магнитным зарядом.

Определен и изучен новый класс расслоений, названных почти главными П х Т(/)-расслоениями. Некоторые из полученных здесь утверждений аналогичны результатам Кодаиры и Спенсера [Код-Сп] и Ко-баяси [Коб 1], изучавшим расслоения с одномерными структурными группами. Но доказаны они иначе, чем в [Код-Сп] и [Коб 1].

В известных формулах О'Нейла [О'Не 1] и Грея [Грей 1] кривизны тотального пространства (Е, д) римановой субмерсии р : Е —* В выражены через объекты на Е. В диссертации получены формулы для вычисления тензора кривизны и секционных кривизн многообразия Калуцы-Клейна (Е,д) по заданным параметрам соотвествующей гироскопической структуры на базе В. В случае, когда структурная группа одномерна, это позволило вывести ограничения на гироскопическую структуру, при которых многообразие Калуцы-Клейна (Е,д) является римановым многообразием положительной или отрицательной кривизны (в некоторых примерах такие ограничения имеют физический смысл). Но наиболее важно то, что с помощью указанных формул удалось оценить влияние, оказываемое знакоопределенностью

секционных кривизн многообразия (Е, д) на топологические инварианты соответствующего расслоения р : Е —> В. Почти все результаты диссертации, относящиеся к последней проблеме, являются новыми. Исключение составляет вывод о некомпактности многообразия Калуцы-Клейна отрицательной кривизны, который следует из теоремы Бохнера [Бох].

В диссертации впервые найдены условия глобальной гиперболичности лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна. Ранее аналогичные результаты были получены О'Нейлом [О'Не 3] для скрещенных произведений римановых и лоренцевых многообразий. Отметим, что многообразие Калуцы-Клейна (Е, д) является скрещенным произведением тогда и только тогда, когда форма гироскопических сил F соответствующей системы Г = (B,h,F,u) равна нулю.

Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Их достоверность проверена строгими математическими доказательствами.

Завершая введение отмечу, что с общей концепцией геодезического моделирования меня познакомил мой учитель профессор Я.Л.Шапиро. Он же обратил мое внимание на возможность использования метрик типа Калуцы-Клейна при исследовании гироскопических систем.

Я благодарен Н.И.Жуковой за консультации по теории слоений.

6. Публикации по теме диссертации.

[Як 6] Яковлев Е.И., Двухконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов, Функц. анализ и его прил. 24 (1990), вып. 4, 63-73.

[Як 9] Яковлев Е.И., Движения гироскопических систем и лоренцева геометрия, Изв. вузов. Математика (1992), N 7, 78-86.

[Як 11] Яковлев Е.И., Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов, Функц. анализ и его прил. 30 (1996), вып. 1, 89-92.

[Як 12] Яковлев Е.И., Двухточечные краевые задачи в релятивистской динамике, Матем. заметки 59 (1996), вып. 3, 437-449.

[Як 16] Яковлев Е.И., Секционные кривизны, многообразий типа Калуцы-Клей-на, Изв. вузов. Математика (1997), N 9, 75-82.

[Як 17] Яковлев Е.И., О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа, Алгебра и анализ (1997), вып. 2, 256-271.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Яковлев, Евгений Иванович, 1996 год

ЛИТЕРАТУРА

[Аве] Avez A., Essais de geometrie riemannienne hiperboligue globale, Ann. Inst.

Fourier. 13 (1963), N 2, 105-190.

[Ад] Hadamard J., Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesiques,

J. Math. Pures Appl. 4 (1898), 27-73.

[Ал-Ве] Allendorfer C.B., Weil A., The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra, Trans. Amer. Math. Soc. 53 (1943), 101-129.

[Ам 1] Аминова A.В., Поверхность вращения как динамическая модель ла-гранэюевой системы с одной степенью свободы, Гравитация и теория относительности. (1985), вып. 22, Казань: Изд-во КГУ, 12-30.

[Ам 2] Аминова А.В., Группы преобразований римановых многообразий, Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 22 (1990), М.: ВИНИТИ, 97165.

[Арн] Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М.:

Наука, 1979.

[А-К-Н] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З, М.: ВИНИТИ, 1985.

[А-Э] _, Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей,

М.: Мир, 1979.

[Бесс 1] Бессе А, Многообразия Эйнштейна. Т.2, М.: Мир, 1990.

[Бесс 2] Бессе А, Четырехмерная риманова геометрия, М.: Мир, 1985.

[Бер 1] Berger M., Les variétés riemanniennes a courbure positive, Bull. Soc. Math. Belg. 10 (1958), 89-104.

[Бер 2] Berger M., Variétés riemanniennes a courbure positive, Bull. Soc. Math. France. 87 (1959), 285-292.

[Бер 3] Berger M., Pincement riemannien et pincement holomorphe, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 14 (1960), 151-159.

[Бер 4] Berger M., Pincement riemannien et pincement holomorphe, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16 (1962), 297.

[Бим-Эр] Бим Дж., Эрлих П., Глобальная лоренцева геометрия, М.: Мир, 1985.

[Би-О'Не] Bishop R.L., O'Neill В., Manifolds of negative curvature, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 1-49.

[Бл-Хеб] Blumental R.A., Hebda J.J., Ehresmann connections for foliations, Indiana University Math. Journal 33 (1984), N 4, 597-611.

[Бол 1] Болотин C.B., Либрационные движения натуральных динамических систем, Вест. МГУ, сер. матем.-мех. (1978), вып. 6, 72-77.

[Бол 2] Болотин C.B., Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца, Вест МГУ, сер. матем.-мех. (1986), вып. 5, 51-53.

[Бол-Ко] Болотин C.B., Козлов В.В., Либрации в системах со многими степенями свободы, ПММ 42 (1978), вып. 2, 245-250.

[Бох] Bochner S., Vector fields and Ricci curvature, Bull. Amer. Math. Soc. 52

(1946), 776-797.

[Бур] Бураго Ю.Д., О трехмерных открытых римановых пространствах

неотрицательной кривизны, Исследования по топологии 2. Записки научн. сем. ЛОМИ 66 (1976), 103-113.

[Бур-3 1] Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А., Выпуклые множества в римановых пространствах неотрицательной кривизны, УМН 32 (1977), вып. 3, 3-55.

[Бур-3 2] Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А., Геометрические неравенства, Д.: Наука, 1980.

[Вв] _, Введение в супергравитацию. Сборник статей, М.: Мир, 1985.

[Веб] Veblen О., Projective Relativitätstheorie, Berlin: Springer-Verlag, 1933.

[Ви-Ф 1] Виро О.Я., Фукс Д.Б., Введение в теорию гомотопий, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 24 (1988), М.: ВИНИТИ, 6-122.

[Ви-Ф 2] Виро О.Я., Фукс Д.Б., Гомологии и когомологии, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 24 (1988), М.: ВИНИТИ, 123-238.

[Во] Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, М.: Наука, 1982.

[Ву-Янг] Wu Т.Т., Yang C.N., Phys. Rev. D. 14 (1976), N 2, 437-445.

[Га] Гальдов Д.В., Частицы и поля в окрестности черных дыр, М.: МГУ,

1986.

[Галл] Gallissot F., Les formes exiterieures en mechanique, Ann. de 1' Inst. Fourier. 4 (1952).

[Ге] Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, М.: Изд-во

АН СССР, 1959.

[Гл 1] Гликлих Ю.Е., Об одном обобщении теоремы Хопфа-Ринова о геодези-

ческих, УМН 29 (1974), вып. 6, 161-162.

[Гл 2] Гликлих Ю.Е., Двухточечная краевая задача в геометрической ме-

ханике систем с ограниченным силовым полем, Воронежск. гос.ун-т. Воронеж. (1977), Деп. в ВИНИТИ 6.06.77. N 2217.

[Гл 3] Гликлих Ю.Е., Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики, Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.

[Г-К-М] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, М.: Мир, 1971.

[Гро-Ме] Gromoll D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive curvature, Ann. of Math. 90 (1969), N 1

[Грей 1] Gray A., Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersions, J. Math. Mech. 16 (1967), 715-737.

[Грей 2] Gray A., Compact Kahler manifolds with non-negative sectional curvature, Inv. Math. 41 (1977), 33-43.

[Дир 1] Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. Lond. 133 A (1931), 61-71.

[Дир 2] Dirac P.A.M., Phys. Rev. 74 (1948), 817.

[Дир 3] Dirac P.A.M., Inv. J. of Theor. Phys. 17 (1978), 235.

[Д-Н-Ф] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы и приложения, М.: Наука, 1986.

[Д-Н-Ф 2] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы теории гомологий, М.: Наука, 1984.

[Жу 1] Zhukova N., On the stability of leaves of Riemannian foliation, Ann. Global Anal, and Geoxn. 5 (1987), N 3, 261-271.

[Жу 2] Жукова Н.И., Критерий локальной стабильности слоев римановых слоений с особенностями, Изв. вузов. Математика (1992), N 4, 88-91.

[Жу 3] Жукова Н.И., График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев, Изв. вузов. Математика (1994), N 2, 79-81.

[Жур] Журавлев В.Ф., О некоторых свойствах гироскопических систем в связи с концепцией Герца в механике, Изв. АН СССР, МТТ (1982), N 2, 15-19.

[Зе 1] Seifert Н., Periodische Bewegungen mechanischer Systeme, Math. Z. 51

(1948), N 2, 197-216.

[3e 2] Seifert H.-J., Global connectivity by timelike geodesies, Zs. f. Naturforsche

22 a (1967), 1356-1360.

[Зе-Тр] Зейферт Г., Трельфалль В., Вариационное исчисление в целом, М.: Гос. изд-во ИЛ, 1947.

[Зу-Ви] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, М.: Мир, 1975.

[И-Ш-Я] Игошин В.А., Шапиро Я.Л., Яковлев Е.И., Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка, Матем. заметки 38 (1985), вып. 3, 429-439.

[Ка] Kaluza Th., Zum Unitätsproblem der Physik, S. B. Berlin Acad. Wiss.

(1921), 966-972.

[Кл 1] Klein O., Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie, Z. Physik 37 (1926), N 12, 895-906.

[Кл 2] Klein O., Zur fünfdimensionalen Darstellung der Relativitätstheorie, Z. Physik 46 (1928), N 3-4, 188-208.

[Кли 1] Klingenberg W., Contributions to Riemannian geometry in the large, Ann. Math. 69 (1959), 654-666.

[Кли 2] Klingenberg W., Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung, Comment. Math. Helv. 35 (1961), 47-54.

[Кли 3] Klingenberg W., Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben beschränkter Krümmung, Ann. Mat. Рига Appl. 60 (1960), 49-59.

[Ко 1] Козлов B.B., Вариационное исчисление в целом и классическая меха-

ника,, УМН 40 (1985), вып. 2, 33-60.

[Ко 2] Козлов В.В., Принцип наименьшего действия и периодические реше-

ния в задачах классической механики, ПММ 40 (1976), N 3, 399-407.

[Ко 3] Козлов В.В., О геометрии областей возможных движений с краем, Вестн. МГУ, сер. матем.-мех. (1977), N 5, 118-120.

[Коб 1] Kobayashi S., Principal fibre bundles with the 1-dimensional toroidal group, Tohoky Math. J. 8 (1956), 29-45.

[Коб 2] Kobayashi S., On the automorphism group of a certain class of algebraic manifolds, Tohoky Math. J. 11 (1959), 184-190.

[Коб-Н 1] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии. Т 1, М.: Наука, 1981.

[Коб-Н 2] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии. Т 2, М.: Наука, 1981.

[Код-Сп] Kodaira К., Spenser D.S., Groups of complex line bundles over compact Kahler manifolds, Proc. Nat. Acad. Aci. USA 39 (1953), 868-872.

[Кон-По] Коноплева Н.П., Попов B.H., Калибровочные поля, М.: Атомиздат, 1972.

[K-Фок] Котельников А.П., Фок В.А., Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике, M.-JL: ГТТИ, 1950.

[Кон-Фо] Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М.: Физматгиз, 1959.

[Л-Л] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика. Т 2. Теория поля,

М.: Наука, 1988.

[Ле-Хар] Леонов H.A., Харламов М.П., Понижение порядка в механических системах с гироскопическими силами, Механика тверд, тела (1985), вып. 17, Киев.

[Май] Myers S.B., Riemannian manifolds in the large, Duke Math. J. 1 (1935),

39-49.

[M 1] Маренич В.Б., Метрическое строение четырехмерных открытых ана-

литических многообразий неотрицательной кривизны, Сиб. мат. журнал 21 (1980), N 5, 161-165.

[М 2] Маренич В.Б., Строение открытых многообразий неотрицательной

кривизны, ДАН СССР 305 (1989), N 6, 1311-1314.

[М-Топ] Маренич В.Б., Топоногов В.А., Открытые многообразия неотрицательной кривизны. Проблемы геометрии. Т 21, М.: ВИНИТИ, 1989.

[Ма-Сто] Масси У., Столлингс Дж., Алгебраическая топология. Введение, М.: Мир, 1977.

[Мен] Менский М.Б., Группа путей. Измерения. Поля. Частицы,, М.: Наука,

1983.

[Мил] Милнор Дж., Теория Морса, М.: Мир, 1965.

[Мил-Ст] Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, М.: Мир, 1979.

[Мол] Molino P., Riemannian foliations, Birkhauser, 1988.

[Морс 1] Morse М., The critical points of a function of n variables, Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1931), 71-91.

[Mope 2] Morse M., The calculus of variations in the large, New York, 1934.

[Mop] Моррис С., Двойственность Понтрягина и строение локально ком-

пактных абелевых групп, М.: Мир, 1980.

[На] Nagano Т., On fibred Riemannian manifolds, Sc. Papers of the college of

General Education, vol. 10, Univ. of Tokyo, 1960, pp. 17-27.

[He] Neiman C., Jour. Reine Angew. Math. 56 (1859), 46.

[Нов 1] Новиков С.П., Топология-1. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т 12, М.: ВИНИТИ, 1986.

[Нов-Шм] Новиков С.П., Шмельцер И., Периодические решения уравнений Кирхгофа свободного движения твердого тела в идеальной жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ), Функц. анализ и его при л. 15 (1981), вып. 3, 54-66.

[Нов 2] Новиков С.П., Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа 2, Функц. анализ и его прил. 15 (1981), вып. 4, 37-52.

[Нов 3] Новиков С.П., Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса, ДАН СССР 260 (1981), N 1, 31-34.

[Нов 4] Новиков С.П., Гамилътонов формализм и многозначный аналог теории Морса, УМН 37 (1982), вып. 5, 3-49.

[Нов-Т] Новиков С.П., Тайманов И.А., Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов, ДАН СССР 274 (1984), N 1, 26-27.

[Но-Фр] Новиков И.Д., Фролов В.П., Физика черных дыр, М.: Наука, 1986.

[Ол-Пе 1] Олыпанецкий М.А., Переломов A.M., Функц. анализ и его прил. 10

(1976), вып. 3, 86.

[Ол-Пе 2] Олыпанецкий М.А., Переломов A.M., Функц. анализ и его прил. 11

(1977), вып. 1, 75.

[Ол-Пе 3] Олыпанецкий М.А., Переломов A.M., Функц. анализ и его прил. 12

(1978), вып. 2, 60.

[О'Не 1] O'Neill В., The fundamental equations of a submersion, Mich. Math. J. 13 (1966), 459-469.

[O'He 2] O'Neill В., Submersions and geodesies, Duke Math. J. 34 (1967), 363-373.

[О'Не 3] O'Neill В., Semi-riemannian geometry, Academic Press. New York, 1983.

[Пау] Паули В., Теория относительности, М.: Наука, 1983.

[Пе] Переломов A.M., Интегрируемые системы классической механики и

алгебры Ли, М.: Наука, 1990.

[Пер] Perelman G., Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll, J. Differ.

Geom. 40 (1994), N 1, 209-212.

[Пет 1] Петров A.3., Моделирование физических полей, Гравитация и теория относительности. (1968), вып. 4-5, Казань: Изд-во КГУ, 7-21.

[Пет 2] Петров А.З., О моделировании путей пробных тел в поле гравитации, ДАН СССР 186 (1969), N 6, 1302-1305.

[Пос] Постников М.М., Введение в теорию Морса, М.: Наука, 1971.

[Pa] Rauch Н.Е., A contribution to differential geometry in the large, Ann. Math.

54 (1951), 38-55.

[Рей] Reinhart В., Foliated manifolds with bundle-like metric, Ann. of Math. 69

(1959), 119-132.

[Рум] Румер Ю.Б., Исследования no 5-оптике, M.: Гостехиздат, 1956.

[Руф] Руффини Р., О гравитационно сколлапсировавших объектах, В кн:

Астрофизика, кванты и теория относительности (1982), М.: Мир, 397468.

[Серр] Серр Ж.П., Сингулярные гомологии расслоенных пространств, В кн: Расслоенные пространства и их приложения (1958), М.: ИЛ, 8-98.

[Син] Сингатуллин Р.С., Отображение линий тока заряженной жидкости в

ОТО геодезическими линиями, Гравитация и теория относительности. (1977), вып. 12, Казань: Изд-во КГУ, 153-158.

[Синг] Synge J.L., On the connectivity of spaces of positive curvature, Quart. J. Math. (Qxford Ser.) 7 (1936), 316-320.

[Смейл] Смейл С., Топология и механика, УМН 27 (1972), вып. 2, 77-135.

[Спе] Спеньер Э., Алгебраическая топология, М.: Мир, 1971.

[Стерн] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, М.: Мир, 1970.

[Т 1] Тайманов И.А., Принцип перекидывания циклов в теории Морса-Но-

викова, ДАН СССР 268 (1983), N 1, 46-50.

[Т 2] Тайманов И.А., Несамопересекающиеся замкнутые экстремали много-

значных или не всюду положительных функционалов, Изв. АН СССР, Математика 55 (1991), N 2, 367-383.

[Т 3] Тайманов И.А., Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях,

УМН 47 (1992), вып. 2, 143-185.

[Т 4] Тайманов И.А., Замкнутые несамопересекающиеся экстремали мно-

гозначных функционалов, Сиб. мат. журнал 33 (1992), N 4, 155-162.

[Та] Тамура И., Топология слоений, М.: Мир, 1979.

[Тел] Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия,

М.: Мир, 1967.

[Топ 1] Топоногов В.А., Римановы пространства ограниченной снизу кривизны, УМН 14 (1959), N 1, 87-130.

[Топ 2] Топоногов В.А., Зависимость меснсду кривизной и топологической структурой римановых пространств четной размерности, ДАН СССР 133 (1960), N 5, 1031-1033.

[Топ 3] Топоногов В.А., Граница длины замкнутой геодезической в компактном римановом пространстве положительной кривизны, ДАН СССР 154 (1964), 1047-1049.

[Топ 4] Топоногов В.А., Метрическое строение римановых пространств неотрицательной кривизны, содержащих прямые линии, Сиб. мат. журнал 5 (1964), N 6, 1358-1369.

[Фет] Фет А.И., Вариационные задачи на замкнутых многообразиях, Матем.

сборник 30 (1952), вып. 2, 271-316.

[Фом] Фоменко А.Т., Симплектическая геометрия. Методы и приложения,

М.: Наука, 1988.

[Фом-Ф] Фоменко А.Т., Фукс Д.Б., Курс гомотопической топологии, М.: Наука, 1989.

[Фр] Frankel Т.Т., Оп Theorems of Hurwitz and Bochner, J. Math. Mech. 15

(1966), 373-377.

[Xap 1] Харламов М.П., Понижение порядка в механических системах с симметрией, Механика тверд, тела 8 (1976), Киев, 4-18.

[Хар 2] Харламов М.П., Характеристический класс расслоения и существование глобальной функции Рауса, Функц. анализ и его прил. 11 (1977), вып. 1

[Хар 3] Харламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Л.: ЛГУ, 1988.

[Херм 1] Hermann R., Оп the differential geometry of foliations, Ann. of Math. 72 (1960), 445-457.

[Херм 2] Hermann R., A sufficient condition that a mapping of Riemannian manifolds be afibre bündle, Proc. A.M.S. 11 (1960), 236-242.

[Xo] Hopf H., Uber die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math.

Ann. 95 (1925), 340-367.

[Хо-Ри] Hopf H., Rinow W., Uber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Flächen, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 209-225.

[Хью] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, М.: Мир, 1970.

[Хо-Эл] Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, М.: Мир, 1977.

[Ча 1] Чандрасекар С., Математическая теория черных дыр. Часть 1, М.: Мир, 1986.

[Ча 2] Чандрасекар С., Математическая теория черных дыр. Часть 2, М.: Мир, 1986.

[Чж 1] Чжэнь Шэн-Шэнь, Комплексные многообразия, М.: Изд-во ИЛ, 1961.

[Чж 2] Chern S.S., A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Ann. Math. 45 (1944), 747-752.

[Чж 3] Chern S.S., Pseudo-Riemannian geometry and Gauss-Bonnet formula, Ann. Acad. Brasil. Ci. 35 (1963), 17-26.

[Чж 4] Chern S.S., On curvature and characteristic classes of a Riemannian manifold, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 20 (1955), 117-126.

[Чи-Гро] Cheeger J., Gromoll D., On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Ann. Math. 96 (1972), N 2, 413-443.

[Ша 1] Шапиро Я.Л., Геодезические поля направлений и проективные системы путей, Матем. сборник 36 (1955), N 1, 125-148.

[Ша 2] Шапиро Я.Л., Геодезическое поле направлений в целом, Изв. вузов. Математика (1970), N 4, 103-111.

[Ша 3] Шапиро Я.Л., Пространства, включающие проективные системы путей и траекторий, Горький. Деп. в ВИНИТИ 10.07.1990. N 3856-В90, 1990.

[Ша-Ла] Шапиро Я.Л., Ланда С.Е., Поля направлений на двумерных многообразиях, Изв. вузов. Математика (1975), N 7, 80-91.

[Ш-И-Я] Шапиро Я.Л., Игошин В.А., Яковлев Е.И., О моногеодезическом моделировании, Изв. вузов. Математика (1986), N 2, 78-80.

[Шар] Шарафутдинов В.А., Полные открытые многообразия неотрицательной кривизны, Сиб. мат. журнал 15 (1974), N 1, 177-191.

[Шв] Шварц A.C., О геодезических дугах на римановых многообразиях, УМН

13 (1958), вып. 6, 181-184.

[Як 1] Яковлев Е.И., Риманово-геодезическое моделирование некоторых физических полей, Методы качеств, теории дифф. уравнений. Межвуз. сб. (1982), Горький: Изд-во ГГУ, 116-122.

[Як 2] Яковлев Е.И., О траекториях уравнений типа Кирхгофа, Материалы 10 научн. конф. молодых ученых мех.-мат. фак. и НИИ Механики. 24 апр. 1985, Деп. в ВИНИТИ 24.03.87. N 2097-В87, 213-217.

[Як 3] Яковлев Е.И., О разрешимости двухконцевой задачи для некоторых дифференциальных уравнений 2-го порядка на многообразиях, Бакинская международная топологическая конф. Тезисы докладов (1987), Баку, 361.

[Як 4] Яковлев Е.И., Геодезическое моделирование двухконцевой задачи для многозначных функционалов С.П.Новикова, Всесоюзная конф. по геометрии и анализу. Тезисы докладов (1989), Новосибирск, 101.

[Як 5] Яковлев Е.И., О траекториях гироскопических систем, Исследования по дифф. и интегр. уравнениям. Межвуз. сб., ГГУ, Горький (1990), Деп. в ВИНИТИ 9.04.90, N 1990-В90, 158-168.

[Як 6] Яковлев Е.И., Двухконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов, Функд. анализ и его прил. 24 (1990), вып. 4, 63-73.

[Як 7] Яковлев Е.И., О решениях некоторых краевых задач для систем с гироскопическими силами, 9 коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". Тезисы докладов (1992), Нижний Новгород, 56.

[Як 8] Яковлев Е.И., Лоренцева геометрия и динамика систем с гироскопическими силами, Международная научн. конф. "Лобачевский и современная геометрия". Тезисы докладов. Часть 2 (1992), Казань, 58-59.

[Як 9] Яковлев Е.И., Движения гироскопических систем и лоренцева геометрия, Изв. вузов. Математика (1992), N 7, 78-86.

[Як 10] Яковлев Е.И., Кривизны трехмерных многообразий типа Калуца-Клейна, Вторая международная конф. "Математические алгоритмы". Тезисы докладов (1995), Нижний Новгород, 64-65.

[Як 11] Яковлев Е.И., Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов, Функц. анализ и его прил. 30 (1996), вып. 1, 89-92.

[Як 12] Яковлев Е.И., Двухточечные краевые задачи в релятивистской динамике, Матем. заметки 59 (1996), вып. 3, 437-449.

[Як 13] Яковлев Е.И., Многообразия типа Калуцы-Клейна и их приложения в электродинамике черных дыр, Второй сибирский конгресс по прикл. и индустр. математике. Тезисы докладов (1996), Новосибирск, 88.

[Як 14] Яковлев Е.И., Почти главные расслоения и их применения, Международная научн. конф. "Стохастический и глобальный анализ". Тезисы докладов (1997), Воронеж, 92-93.

[Як 15] Яковлев Е.И., Многообразия Калуцы-Клейна и их применения, Международный геом. семинар им. Н.И.Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей". Тезисы докладов (1997), Казань, 135.

[Як 16] Яковлев Е.И., Секционные кривизны многообразий типа Калуцы-Клейна, Изв. вузов. Математика (1997), N 9, 75-82.

[Як 17] Яковлев Е.И., О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа, Алгебра и анализ 9 (1997), вып. 2, 256-271.

[Ян-Бох] Яно К., Бохнер, Кривизна и числа Бетти, М.: ИЛ, 1957.

[Янг] Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимально-

го управления, М.: Мир, 1974.