Подобно однородные пространства с внутренней метрикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Гундырев Иван Анатольевич

• Гундырев Иван Анатольевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Гундырев Иван Анатольевич

1.1 Определения и теоремы

1.2 Примеры

2 Топологическое строение

2.1 Случай ограниченности кривизны по Александрову

канонически конформно эквивалентного пространства

2.2 Случай ^-однородного

канонически конформно эквивалентного пространства

2.3 Общий случай

2.3.1 Лемма Андреева

2.3.2 Основные результаты

2.4 Существенность условия локальной компактности

3 Алгебраическая характеризация 53 Приложение 63 Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подобно однородные пространства с внутренней метрикой»

Введение

Объектом исследования в данной работе являются подобно однородные неоднородные пространства с внутренней метрикой. Это метрические пространства, в которых расстояние между двумя произвольными точками равно инфимуму длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки, и группа метрических подобий (биекций, изменяющих в фиксированное число раз расстояния между любой парой точек) действует транзитивно на этом пространстве (для любой пары точек существует подобие, переводящее одну точку в другую). Неоднородность означает, что группа всех изометрий действует нетранзитивно. Начало систематического изучения таких пространств положено в статье [14].

Наглядные примеры:

1. К+ —множество положительных вещественных чисел с обычной метрикой, когда расстояние равно модулю разности чисел. Подобие такого пространства — это просто умножение на положительное вещественное число, а изо-метрией является только умножение на единицу, т.е. тождественное отображение.

2. К х К+ —верхняя полуплоскость с евклидовой метрикой. Изометрии такого пространства — это сдвиги вдоль граничной прямой, а подобия — раздутия и сжатия с центром в точке, принадлежащей граничной прямой.

3. К3\{0} — трехмерное вещественное пространство с выколотой точкой и евклидовой метрикой. Изометрии в этом случае — это вращения вокруг точки 0, а подобия — раздутия и сжатия с центром в точке 0.

Примерам подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой посвящен раздел 1.2.

Случай транзитивного действия группы подобий на открытом подпространстве п-мерного афинного пространства рассмотрен в [65].

В основных результатах диссертации предполагается локальная компактность или локальная полнота метрических пространств. Локальная полнота означает, что для любой точки х пространства существует метрически полный замкнутый шар с центром в этой точке радиуса г = г(х) > 0. Точная верхняя грань таких чисел г для данной точки х называется радиусом полноты пространства в точке х и обозначается с(х).

Однородные пространства с внутренней метрикой подробно изучаются в многочисленных работах (см. например [10-13,40], монографии [8,19] и книгу [50], а также списки литературы в них). Группы подобий для пространств с внутренней метрикой рассматриваются в статьях [14,46], в обзоре [27] и в [56]. Псевдоримано-вы подобно однородные многообразия изучаются в недавней статье [49].

Возникает естественный вопрос: когда подобно однородное пространство является однородным? Иначе говоря, когда группа всех подобий Гр действует транзи-тивно на пространстве и подгруппа всех изометрий Г тоже действует транзитив-но. Ответ на этот вопрос дает теорема 2.1 статьи [14] (также см. [33]): локально полное подобно однородное метрическое пространство однородно тогда и только тогда, когда оно метрически полно.

Группа подобий является подгруппой в группе конформных преобразований. Следовательно, подобно однородное пространство является конформно однородным. Результаты для (локально) конформно однородных пространств представлены в главе 5 монографии [8].

Согласно теореме 1.2 статьи [14], локально полное подобно однородное пространство с внутренней метрикой канонически конформно эквивалентно однородному полному пространству с внутренней метрикой. Для римановых Сте-многооб-разий утверждение теоремы 1.2 из [14] является следствием результатов, полученных Д. В. Алексеевским и Б. Н. Кимельфельдом в статьях [3-5]. Для локально конформно однородных римановых многообразий соответствующий результат получен Е. Д. Родионовым и В. В. Славским в работе [61].

В статье [14, следствие 4.2] показано, что всякая связная односвязная разрешимая группа Ли размерности п > 1 с левоивариантной римановой метрикой (С, ^) допускает такую конформно эквивалентную риманову метрику V, что левые сдвиги группы С действуют на (С, и) подобиями, но не обязательно изометриями. Это

утверждение позволяет сделать вывод, что пока недоступна классификация связных подобно однородных неоднородных римановых многообразий.

Первая задача работы — проверка гипотезы из статьи [14] о топологическом строении подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. Вторая задача — дать алгебраическую характеризацию таких пространств.

Гипотеза( [14]). Всякое локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (Х,р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с-1 (а) х К+ (следовательно с-1 (а) х К), где с-1 (а) — произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (Х,р). Топологическая группа Гр (всех подобий пространства (Х,р)) изоморфна полупрямому топологическому произведению К+ X Г (следовательно К X Г), где Г — группа всех изометрий пространства (X, р).

В статье П. Д. Андреева [6, раздел 5] построен пример локально полного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой, показывающий существенность условия локальной компактности в этой гипотезе (см. раздел диссертации 2.4).

В связи с гипотезой следует упомянуть результат Д. В. Алексеевского

Теорема ( [36], теорема 2.1). Пусть (М,д) — самоподобное риманово или причинное лоренцево многообразие с группой подобий Ф = { фг}, которая не имеет, неподвижных точек. Тогда

1. М — диффеоморфно прямому произведению К х N, где N является многообразием.

2. Ф — однопараметрическая группа переносов линии К:

фг: (и,у) ^ (и + г,у), (и,у) Е К х N.

Псевдориманово многообразие (М, д) с метрикой д называется самоподобным, если оно изометрично многообразию (М, Хд), для любого Л > 0. Лоренцево многообразие называется причинным, если оно не содержит замкнутых времениподоб-ных кривых (см. [25,34]).

В работе получены следующие основные результаты:

1. Доказана гипотеза В. Н. Берестовского из статьи [14] о топологическом строении подобно однородного неоднородного локально компактного пространства с внутренней метрикой и его группы подобий.

2. Дана алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой.

Методы исследования. В работе используются методы метрической геометрии, классические теоремы из теории топологических групп и групп Ли. Важную роль играет глобализация теоремы о локальном представлении группы в виде прямого произведения из теории Ивасавы-Глисона-Ямабе для локально компактных групп [40, предложение 1.2]. Применяются теоремы об однородных пространствах с внутренней метрикой, поскольку согласно теореме 1.2 статьи [14] каждому подобно однородному пространству с внутренней метрикой каноническим образом сопоставляется однородное пространство с внутренней метрикой.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространств с внутренней метрикой.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Нумерация утверждений и формул состоит из двух чисел — номера главы и порядкового номера в главе. Список литературы содержит 74 наименования и приведен в алфавитном порядке, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объем диссертации 75 страниц.

Введение содержит информацию о предмете исследования, целях работы и основных результатах.

Первая глава имеет вспомогательный характер, в ней приведены основные определения, результаты других авторов и доказаны необходимые для дальнейшей работы утверждения. В разделе 1.2 приведены различные примеры изучаемых пространств, взятые из статьи [14].

Вторая глава посвящена исследованию топологического строения изучаемых пространств. В разделах 2.1, 2.2 рассматриваются случаи, когда канонически

конформно эквивалентное однородное пространство (см. определение 1.12, теорему 1.4 (это процитирована теорема 1.2 из [14]) и определение 1.13) имеет ограничение на кривизну по А. Д. Александрову (сверху или снизу) или ^-однородно (см. определение 2.6). При выполнении этих условий проводятся рассуждения, позволяющие доказать гипотезу из статьи [14].

В случае ограничения на кривизну канонически конформно эквивалентного однородного пространства доказана следующая

Теорема 2.3. Пусть (Х,р) — подобно однородное неоднородное локально компактное пространство с внутренней метрикой и (X, рх) — соответствующее ему ( [14, теорема 1.2], \ = 1/с) канонически конформно эквивалентное однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Предположим, что (Х,р\) имеет кривизну > к по А. Д. Александрову; G — наибольшая связная транзитивная локально компактная топологическая группа подобий (движений) пространства (Х,р) ((Х,рх)), существование которой гарантировано предложением 4.1 в [14]; группа I — наибольшая подгруппа изометрий пространства (X, р) в группе G; х0 Е с-1(1) и H С I — стабилизатор точки х0 в группе G; смежный класс дН Е G/H естественно отождествляется с точкой д(х0) при помощи отображения f : G/H ^ X, f (дН) = д(х0). Тогда

1. Топологическая группа G, с компактно-открытой топологией относительно действия G на X, изоморфна некоторому полупрямому произведению топологических групп (R, +) X I, (с нормальной подгруппой I) так что:

2. элементы подгруппы (R, +) X {е} коммутируют с элементами компактной подгруппы H С I и I/Н — эффективное однородное пространство группы I;

3. (Х,рх) = (G/H,px) — однородное эффективное пространство

с G-инвариантной внутренней метрикой рх относительно канонического левого действия G на G/H;

4. пространство (Х,р) естественно изометрично пространству (G/H,p), функция с : (G/H,p) ^ R+ — субметрия и одновременно радиус полноты пространства (G/H,p), где c((t,i)H) = exp(i), (t,i) G (R, +) X I (с учетом п.1)).

Если в условии теоремы 2.3 пространство (Х,рх) имеет кривизну < к (вместо > к), то, как показано в работе [40], (Х,рх) является однородным римановым

многообразием секционной кривизны < к, значит по теореме 4.4 из статьи [14] все утверждения теоремы 2.3 верны и в этом случае.

Автору неизвестно, верно ли в общем случае (без условий на ограниченность кривизны) утверждение о коммутировании элементов подгруппы (R, +) X {е} с элементами подгруппы Н (стабилизатора точки х0 Е с-1(1)).

Для заданной точки х Е X изометрия д: (X, р) ^ (X, р) метрического пространства (Х,р) называется 8(х)-смещением, если для любой точки у Е X выполняется неравенство р(у,д(у)) < р(х,д(х)). Пространство с внутренней метрикой называется 8-однородным, если для любых двух точек х,у Е X существует 8(х)-смещение, переводящее х в у.

В случае ^-однородности канонически конформно эквивалентного однородного пространства верна

Теорема 2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.3, но вместо ограничения кривизны > к для (Х,рх) выполнено условие, что (Х,рх) — 8-однородное пространство. Тогда верны пункты 1,3,4 теоремы 2.3.

Переносом Клиффорда-Вольфа пространства с внутренней метрикой (X, р) называется изометрия д, перемещающая все точки в X на одно и тоже расстояние, т.е. р(х,д(х)) = const для всех х Е X.

При проведении доказательства теоремы 2.5 установлена важная

Теорема 2.6. Пусть (Х,р) — подобно однородное неоднородное локально компактное пространство с внутренней метрикой и (X, рх) — соответствующее ему ( [14, теорема 1.2], X = 1/с) канонически конформно эквивалентное однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Предположим, что (Х,р\) — 8-однородное пространство. Тогда в группе движений пространства (Х,рх) существует однопараметрическая подгруппа { g(t) | t Е R } переносов Клиффорда-Вольфа такая, что:

1. множество уровня М1 = (ln ос)-1(а1), а1 Е R+, значений функции

ln ос: (Х,р\) ^ R (радиус полноты с вычисляется в пространстве (Х,р)) при действии на него элемента д Е { g(t) | t Е R } переходит в множество уровня М2 = (ln ос)-1 (а2), а2 Е R+.

2. Для любых двух множеств уровня Mi = (ln ос)-1(щ), щ Е R+, г = 1, 2, существует элемент д Е { g(t) | t Е R } такой, что д(М1) = М2.

В разделе 2.3 доказан общий случай гипотезы о топологическом строении. В доказательстве этого результата используется лемма Андреева и теорема о существовании однопараметрической подгруппы подобий на рассматриваемых пространствах.

На группе подобий Гр (и подгруппе изометрий Г С Гр) метрического пространства (Х,р) вводится метрика Буземана 5Хо (см. [20, (4.7), с.30]). Для произвольной точки х0 Е X, для произвольных подобий д-\_,д2 Е Гр определим:

(91,92) := 8ир(р(д1(х),д2(х)) • е-р(х'х0)).

хех V /

Лемма (П. Д. Андреев). Пусть (Х,р) — локально полное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой, Гр — его группа подобий, Г С Гр — подгруппа изометрий. Пусть на группе Гр задана метрика Буземана 6Х0 (х0 Е X) и существует непрерывный гомоморфизм О: (К+, •) ^ (Гр,5Хо), удовлетворяющий условию на коэффициент подобия

а(О(£)) = Ь при всех Ь Е К+.

Тогда топологическая группа (Гр,5Хо) изоморфна полупрямому произведению топологических групп (К+, •) Х^ (Г, 5Х0).

Теорема 2.7. (О существовании однопараметрической подгруппы подобий) Пусть (Х,р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой и С — транзитивная метризуемая локально компактная связная группа подобий пространства (Х,р), существование которой гарантировано предложением 2.2; I С С — наибольшая подгруппа изометрий пространства (Х,р) в группе С.

Тогда существует непрерывный гомоморфизм О: (К+, •) ^ С С Гр, удовлетворяющий условию а(О(1)) = Ь для всех Ь Е К+.

Важную роль в доказательстве теоремы 2.7 играет глобализация теоремы о локальном представлении группы в виде прямого произведения из теории Ивасавы-Глисона-Ямабе для локально компактных групп — это один из результатов совместной статьи В. Н. Берестовского и К. Плаута (см. [40, предложение 1.2]).

Предложение ( [40], предложение 1.2). Пусть С — связная локально компактная (хаусдорфова) топологическая группа. Тогда существует компактная подгруппа К С С, связная односвязная группа Ли Ь и локально изоморфный эпиморфизм ж: К х Ь ^ С топологических групп. Если кроме того С локально связна, то К связна и локально связна, а ж — накрывающий эпиморфизм.

Утверждения гипотезы из [14] подтверждаются доказательством теоремы 2.8.

Теорема 2.8. Пусть (Х,р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой. Тогда

1. Топологическая группа (Гр,5Х0) изоморфна полупрямому топологическому произведению (Е+, ■) X Г (следовательно (Е, +) X Г);

2. Пространство (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с-1 (а) х Е+ (следовательно с-1 (а) х Е), где с-1 (а), а Е Е+, — произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (Х,р).

Если объединить требования ограниченности кривизны снизу по А. Д. Александрову и ^-однородности к канонически конформно эквивалентному пространству, то получается следующая

Теорема 2.9. Пусть (Х,р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой, (Х,р\) — соответствующее ему ( [14, теорема 1.2], X = 1/с) однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Если пространство (Х,рх) имеет кривизну > к (по А. Д. Александрову) и 5-однородно, то пространство (Х,рх) изометрично евклидову произведению (1п ос)-1(1) х Е (радиус полноты с вычисляется на пространстве (X, р)).

В разделе 2.4 приведен пример из статьи [6] локально полного (не локально компактного) подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой. Этот пример является Е-деревом. Пространство X называется Е-деревом, если 1) оно геодезическое (т.е. для любых двух точек в этом пространстве существует кратчайшая между ними, длина которой равна расстоянию между этими точками), 2) любые две точки в этом пространстве можно соединить единственным отрезком (= кратчайшей реализующей расстояние между началом и концом пути) и 3) для любых его трех точек х,у,г Е X отрезок [х, у] содержится в [х, г] и [у, г].

R-деревья активно изучаются в научных работах по всему миру и появляются в различных областях математики.

В третьей главе дана алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой.

Теорема 3.2. Пусть G — хаусдорфова связная локально компактная группа с первой аксиомой счетности, I — нормальная подгруппа в G, H — компактная подгруппа в G и H С I. Предположим, что выполнены следующие условия:

(a) каноническое левое действие группы G на G/H эффективно;

(b) существует изоморфизм топологических групп Ф: G ^ (R+, ■) X I;

(c) фактор-пространство G/H локально связно.

Тогда на пространстве G/H существует внутренняя метрика р такая, что (G/H,p) является подобно однородным неоднородным пространством относительно канонического левого действия группы G на G/H и радиус полноты пространства (G/H,p) определяется формулой с(дН) = рг1(Ф(^)).

Теорема 3.3. Пусть G — хаусдорфова локально компактная группа с первой аксиомой счетности, I — нормальная подгруппа в G, H — компактная подгруппа в G и H С I. Предположим, что выполнены следующие условия:

a) каноническое левое действие группы G на G/H эффективно;

b) существует изоморфизм топологических групп Ф: G ^ (R+, ■) X I;

c) фактор-пространство G/H локально связно;

d) фактор-пространство G/H связно.

Тогда каноническое левое действие подгруппы Ge на X = G/H транзитивно, существует внутренняя метрика р такая, что (X, р) является подобно однородным неоднородным пространством относительно этого действия и радиус полноты пространства (Х,р) определяется формулой с(х) = с(дН) = рг1(Ф(^)).

Теорема 3.4. Пусть X = G/H —эффективное локально компактное фактор-пространство связной полной топологической группы G c компактно-открытой топологией относительно канонического левого действия G на G/H. Пространство X допускает внутреннюю метрику с группой подобий G (включающей и элементы, не являющиеся изометриями) относительно этого действия тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. G — хаусдорфова связная локально компактная группа с первой аксиомой счетности;

2. H — компактная подгруппа в G;

3. G/H — локально связно;

4. Для некоторой подгруппы I в G существует изоморфизм топологических групп Ф: G ^ (R+, •) X I.

В приложении построен пример бесконечномерного подобно однородного неоднородного локально компактного пространства с внутренней метрикой. Основой для этого примера служит конструкция Ивасасавы в [54, с. 550-551] и раздел 3 в совместной статье В.Н. Берестовского и К. Плаута [40].

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научных мероприятиях:

• «Математика в современном мире», Новосибирск, 2007.

• «Лобачевские чтения - 2007», Казань, 2007.

• «Анализ, геометрия и топология», Барнаул, 2013.

• «Лобачевские чтения - 2013», Казань, 2013.

• «Дни геометрии в Новосибирске - 2014», Новосибирск, 2014.

• «Лобачевские чтения - 2014», Казань, 2014.

• Омский Алгебраический Семинар (ОФ ИМ СО РАН, Омск, 2015).

• Омский Геометрический Семинар (ОФ ИМ СО РАН, Омск, 2015).

• Семинар отдела анализа и геометрии (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2015).

Публикации. Всего автором опубликовано 9 работ по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех научных статьях (в журналах рекомендованных ВАК) [66-68]. Шесть публикаций в материалах конференций [69-74].

Благодарности.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Валерию Николаевичу Берестовскому за постановку задач и поддержку в работе.

Автор глубоко признателен сотрудникам математического факультета ОмГУ и Омского филиала ИМ СО РАН за полезные дискуссии, ценные советы и дружескую помощь в процессе подготовки диссертации.

Глава 1

Определения и предварительные результаты

1.1 Определения и теоремы

Определение 1.1. Пусть (Х,р) —метрическое пространство и отрезок [а,Ь] С R. Непрерывное отображение I: [a,b] ^ (Х,р) называется путем в пространстве (Х,р). Длина s(l) пути I равна

п

s(l) := snpY- p(l(tj),l(tj+l)),

Т —

1 г=0

где Т — множество всех разбиений отрезка [a,b]: t0 = а < tl < t2 < ... < tn = b, n = 2, 3, 4,... .

Определение 1.2. Путь называется спрямляемым если он имеет конечную длину.

Обозначим через REP(x, у) множество всех спрямляемых путей в пространстве (Х,р) соединяющих точки х,у G (Х,р).

Определение 1.3. Пусть (Х,р) —метрическое пространство. Метрика р называется внутренней, если для любых х,у G X расстояние р(х,у) между ними равно точной нижней грани множества длин спрямляемых путей, соединяющих эти точки, т.е. выполнено равенство р(х,у) = inf |^(/)}.

Определение 1.4. Метрика р на пространстве X называется строго внутренней, если для любых двух точек х,у Е X существует кратчайшая между ними, длина которой равна р(х, у). В таком случае метрическое пространство (X, р) называется геодезическим.

Определение 1.5. Биекция f: X ^ X метрического пространства (Х,р) на себя называется а-подобием (а Е К+), если для любой пары точек х,у Е X выполнено равенство

Р(1 (х)Л(У)) = а • р(х,у).

Биекция £: X ^ X называется подобием, если £ — а-подобие при некотором а Е Е+.

Число а Е Е+ называется коэффициентом подобия.

Замечание 1.1. Подобие с коэффициентом, равным единице, называется изо-метрией или движением.

Обозначим Гр группу всех подобий метрического пространства X (групповая операция — композиция подобий). Группа Г всех движений (изометрий) пространства X является нормальной подгруппой в Гр. Для любого к Е Гр определим функцию а: Гр ^ Е+, а(К) = а, если к — а-подобие. Отображение а: Гр ^ Е+ является гомоморфизмом с ядром Г.

Определение 1.6. Метрическое пространство X называется однородным, если группа его изометрий действует транзитивно на X.

Определение 1.7. Метрическое пространство X называется подобно однородным, если группа его подобий действует транзитивно на X.

Обозначим замкнутый шар в пространстве (X, р) с центром в точке х Е X радиуса г через Вх(х,г) или, когда понятно, о каком пространстве идет речь, через В(х,г).

Определение 1.8. Метрическое пространство X называется локально полным, если для каждой его точки х существует положительное число г(х) такое, что замкнутый шар В(х,г(х)) с индуцированной из X метрикой является полным метрическим пространством. Точную верхнюю границу таких чисел г(х) для фиксированной точки х (возможно бесконечную) будем обозначать с(х) и называть радиусом полноты (пространства X в точке х).

Если хотя бы для одной точки х Е (Х,р) выполнено равенство с(х) = то пространство (X, р) полное. В противном случае функция с = с(х) удовлетворяет неравенству

1с(х) - с(у)1< р(Х,у). (1.1)

Из неравенства (1.1) следует, что с : (X, р) ^ К+ — нерастягивающее отображение.

Замечание 1.2. Локально компактное метрическое пространство является локально полным.

Теорема 1.1 ( [14], теорема 2.1). Локально полное подобно однородное метрическое пространство однородно тогда и только тогда, когда оно метрически полно.

В дальнейшем подробно изучаются локально компактные подобно однородные неоднородные пространства с внутренней метрикой.

Замечание 1.3. Пусть (Х,р) — локально полное метрическое пространство, f: (X, р) ^ (X, р) — изометрия, д: (X, р) ^ (X, р) — подобие с коэффициентом а(д) = а. Тогда для любой точки х Е (Х,р) справедливы следующие равенства

с(! (х)) = с(х), (1.2)

с(д(х)) = а(д) • с(х) = а • с(х). (1.3)

Группа подобий Гр (а значит и подгруппа изометрий Г С Гр) метрического пространства (Х,р) метризуется так же, как группа изометрий в книге [20, (4.7), с.30]. Именно, зафиксируем произвольную точку х0 Е X, для произвольных подобий д\,д2 Е Гр определим метрику Буземана:

5Хо(91,д2) :=8пр(р(91(х),д2(х)) • (1.4)

хех V /

Утверждения следующей теоремы доказаны в статье [33]. Теорема 1.2. Пусть (Х,р) — метрическое пространство. Тогда

1. (Гр,5Х0) — топологическая группа, действующая непрерывно на пространстве (Х,р) [33, теорема 7].

2. Отображение вычисления £: (Гр ,5Х0) х (Х,р) ^ (Х,р), определенное формулой £(д,х) := д(х), непрерывно.

Для различных точек х0,х\ Е (Х,р) топологии на группе Гр (на группе Г), порожденные метриками 8Х0,8Х1, совпадают (см. [13,20,33]). Эту топологию будем называть метрической топологией Буземана. Если на множестве X заданы разные метрики р\,р2, то будем обозначать соответствующие метрики Буземана

^Х0,Р1 , $Х0,Р2 .

Докажем простое

Предложение 1.1. Пусть (Х,р) — локально полное неполное метрическое пространство. На группе подобий Гр этого пространства задана топология г такая, что отображение вычисления £: (Гр ,т) х (Х,р) — (Х,р) непрерывно. Тогда функция (коэффициент подобия) а: (Гр ,т) —у К.+ непрерывна.

Доказательство. Функция с: (X, р) — К+ конечна на неполном пространстве (X, р) и непрерывна в силу (1.1). Следовательно, функция 1/с: (X, р) — К+ непрерывна. Для любого подобия д Е Гр из равенства (1.3) получаем, что а(д) = с(д(х))/с(х), х Е X. Непрерывность а следует из непрерывности £, д,с и 1/с. □

Из этого предложения и теоремы 1.2 получаем следствие.

Следствие 1.1. Пусть (Х,р) — локально полное неполное метрическое пространство. На группе подобий Гр этого пространства задана метрика Буземана 5Х0. Тогда функция (коэффициент подобия) а: (Гр ,5Х0) — непрерывна.

Определение 1.9 ( [16], [38]). Отображение метрических пространств ф: X — У называется субметрией, если для каждого числа г Е К+ и каждой точки х Е X образ замкнутого шара радиуса г в X с центром в точке х есть замкнутый шар радиуса г в У с центром в точке ф(х). Слабая субметрия определяется аналогично, заменой замкнутых шаров на открытые. Субметрия называется собственной, если прообраз компактного подмножества компактен.

Любая субметрия является слабой субметрией. Непосредственно из определения субметрии следует предложение: всякая субметрия не увеличивает расстояний; следовательно является непрерывным (липшицевым) отображением (с константой 1).

Определение 1.10. Пусть х1,х2,х3,х'3 - точки метрического пространства (X, р); Тогда (х\х2х3) означает х2 Е {х\,х3} и р(х\,х3) = р(х\,х2) + р(х2,х3). Пространство (X, р) удовлетворяет условию неналегания кратчайших, если из выполнения условий: (х\х2х3), (х\х2х'3), р(х2,х3) = р(х2,х'3) следует х'3 = х3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гундырев Иван Анатольевич, 2015 год

Список литературы

[1] Адамс Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979.

[2] Александров А. Д., Берестовский В. Н., Николаев И. Г. Обобщенные римановы пространства // УМН — 1986. — Т. 41. — № 3(249). — С. 3-44.

[3] Алексеевский Д. В. Группы конформных преобразований римановых пространств // Матем. сб. — 1972. — Т. 89(131). — № 2(10). — С. 280-296.

[4] Алексеевский Д. В. §га и Ега — единственные римановы пространства, допускающие существенное конформное преобразование // УМН — 1973. — Т. 28. — № 5(173). — С. 225-226.

[5] Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Матем. заметки — 1978. — Т. 24. — № 1. — С. 103-110.

[6] Андреев П. Д. Полулинейные метрические полурешетки на К-деревьях // Изв. вузов. Матем. — 2006. — № 6. — С. 3-13.

[7] Андреев П. Д., Берестовский В. Н. Размерности К-деревьев и самоподобные фрактальные пространства неположительной кривизны // Матем. тр. — 2006. — Т. 9. — № 2. — С. 3-22.

[8] Балащенко В. В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Однородные пространства: теория и приложения. Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.

[9] Берестовский В. Н. Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минков-ского // Сиб. матем. журн. — 1994. — Т. 35. — № 1. — С. 3-11.

[10] Берестовский В. Н. О структуре однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой // Сиб. матем. журн. — 1989. — Т. 30. — № 1. — С. 23-34.

[11] Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой // ДАН СССР. — 1988. — Т. 301. — № 2. — С. 268-271.

[12] Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой / Докт. дисс.., Ин.-т матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1990. — 269 с.

[13] Берестовский В. Н. Однородные С-пространства Буземана // Сиб. матем. журн. — 1982. — Т. 23. — № 2. — С. 3-15.

[14] Берестовский В. Н. Подобно однородные локально полные пространства с внутренней метрикой // Изв. вузов. Матем. — 2004. — № 11. — С. 3-22.

[15] Берестовский В. Н. Пространства с ограниченной кривизной и дистанционная геометрия //Сиб. матем. журн. — 1986. — Т. 27. — № 1. — С. 11-25.

[16] Берестовский В. Н. Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны // Сиб. матем. журн. — 1987. — Т. 35. — № 4. — С. 44-56.

[17] Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Формы сфер специальных неголономных левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42. — № 4. — С. 731-748.

[18] Берестовский В.Н., Николаев И. Г. Многомерные обобщенные римановы пространства // М.: ВИНИТИ Геометрия - 4. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления — 1989. — Т. 70. — С. 190-272.

[19] Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г. Римановы многообразия и однородные геодезические. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.

[20] Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.

[21] Бураго Ю.Д., Бураго Д. Ю., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: РХД, 2004.

[22] Бураго Ю.Д., Громов М. Л., Перельман Г. Я. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН — 1992. — Т. 47. — № 2(284). — С. 3-51.

[23] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.

[24] Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.

[25] Гичев В. М., Мещеряков Е. А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб. матем. журн. — 2007. — Т. 48. — № 1. — С. 75-88.

[26] Грушин В. В. Об одном классе гипоэллиптических операторов // Матем. сб. — 1970. — Т. 83. — № 3. — С. 456-473.

[27] Егоров И. П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях //М.: ВИНИТИ Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1984. — № 16. — С. 81-126.

[28] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

[29] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии Т. 1. М.: Наука, 1981.

[30] Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматгиз, 1959.

[31] Понтрягин Л. Н. Непрерывные группы. М.: Едиториал УРСС, 2004.

[32] Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Московск. пед. ин-та. — 1938. — Т. 3. — Вып. 2. — С. 83-94.

[33] Сосов Е. Н. О конечной компактности и полноте некоторых пространств отображений с метрикой Буземана // Изв. вузов. Матем. — 1993. — № 11. — С. 62-68.

[34] Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

[35] Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1976.

[36] Alekseevski D. Selfsimilar Lorentzian manifolds // Ann. Global Anal. Geom. — 1985. — V. 3. — № 1. — P. 59-84.

[37] Alexander S. B., Bishop R. L. Warped product of Hadamard spaces // Manuscripta Math. — 1998. — V. 96. — № 4. — P. 487-505.

[38] Berestovskii V. N., Guijarro L. A Metric Characterization of Riemannian Submersions // Ann. Global Anal. Geom. — 2000. — V. 18. — № 6. — P. 577-588.

[39] Berestovskii V.N., Plaut C.P. Covering R-trees, R-free groups, and dendrites // Adv. Math. — 2010. — V. 224. — № 5. — P. 1765-1783.

[40] Berestovskii V., Plaut C. Homogeneneous Spaces of Curvature Bounded Below // J. Geom. Anal. — 1999. — V. 9. — № 2. — P. 203-219.

[41] Berestovskii V., Plaut C. and Stallman C. Geometric groups 1 // Trans. Amer. Math. Soc. — 1999. — V. 351. — № 4. — P. 1403-1422.

[42] Bernig A., Foertsch T., Schroeder V. Non standard metric products // Beitrage Algebra Geom. — 2003. — V. 44. — № 2. — P. 499-510.

[43] Bestvina M. R-trees in topology, geometry and group theory // in: Handbook of Geometric Topology, Elsevier, Amsterdam — 2002. — P. 55-91.

[44] Bishop R. L., O'Neill B. Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc. — 1969. — V. 145. — P. 1-49.

[45] Bridson M. R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. Series of Comprehensive Studies in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1999. — V. 319.

[46] Busemann H. Similarities and differentiability // Tohoku Math. J. — 1957. — V. 9. — № 1. — P. 56-67.

[47] Chen C.-H. Warped product of metric spaces of curvature bounded from above // Trans. Amer. Math. Soc. — 1999. — V. 351. — № 12. — P. 4727-4740.

[48] Chow W. L. Systeme von linearen partiellen differential Gleichungen erster Ordnung // Math. Ann. — 1939. — V. 117. — P. 98-105.

[49] Garcia-Rio E., Gilkey P., Nikcevic S. Homothety curvature homogeneity and homothety homogeneity // Ann. Global Anal. Geom. — 2015. — V. 48. — № 2. — P. 149-170.

[50] Deng S. Homogeneous Finsler Spaces. Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2012.

[51] Dieck T. Transformation Groups. Berlin: Walter de Gruyter, 1987.

[52] Dyubina A., Polterovich I. Explicit constructions of universal R-trees and asymptotic geometry of hyperbolic spaces // Bull. Lond. Math. Soc. — 2001. — V. 33. — № 6. — P. 727-734.

[53] Foertsch T., Schroeder V. Products of hyperbolic metric spaces // Geom. Dedicata — 2003. — V. 102. — P. 197-212.

[54] Iwasawa K. On some types of topological groups // Ann. Math. — 1949. — V. 50. — № 3. — P. 507-558.

[55] Koszul J.-L. Lectures on Groups of Transformations. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1965.

[56] Lovas Rezso L., Szilasi J. Homotheties of Finsler manifolds // arXiv.org, Cornell University Library, 2009. — 13 pp. URL: http://arxiv.org/abs/0904.3228

[57] Mayer J.C., Nikiel J., Oversteegen L. G. Universal spaces for R-trees // Trans. Amer. Math. Soc. — 1992. — V. 334. — № 1. — P. 411-432.

[58] Morgan J. W., Shalen P. Free actions of surface groups on R-trees // Topology — 1991. — V. 30. — № 2. — P. 143-154.

[59] Pansu P. Metriques de Carnot-Caratheodory et quasiisometries des espaces symetrique de rang une // Ann. of Math. — 1989. — V. 119. — P. 1-60.

[60] Patrao M. Homotheties and isometries of metric spaces // Mathematica Contemporanea. — 2005. — V. 29. — P. 79-97.

[61] Rodionov E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae — 2002. — V. 43. — № 2. — P. 271-282.

[62] Stroppel M. Locally Compact Groups. Zurich: EMS, 2006.

[63] Tits J. A «theorem of Lie-Kolchin» for trees // in: Contributions to Algebra: A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin, Academic Press, New York — 1977. — P. 377-388.

[64] Yamabe H. A generalization of a theorem of Gleason // Ann. of Math. — 1953. — V. 58. — № 2. — P. 351-365.

[65] Zastrow A. Transitivity domains of groups of similarities // Manuscripta Math. — 1988. —V. 61. — № 3. — P. 373-382.

Публикации автора по теме диссертации

[66] Гундырев И. А. О подобно однородных локально-компактных пространствах с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2008. — № 4. — С. 28-42.

[67] Гундырев И. А. Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Математические труды. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 132-141.

[68] Гундырев И. А. Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. II / И. А. Гундырев // Математические труды. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 15-26.

Тезисы конференций

[69] Гундырев И. А. О подобно однородных пространствах с внутренней метрикой [Электронный ресурс] / И. А. Гундырев // Российская научная конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Тезисы докладов. Новосибирск. — 2007. — С. 59-61. Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/conf50/ Abstracts.pdf

[70] Гундырев И. А. Топологическое строение подобно однородных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань. — 2007. — Т. 36. — С. 62-64.

[71] Гундырев И. А. О подобно однородных неоднородных пространствах с внутренней метрикой и их группах подобий [Электронный ресурс] / И. А. Гундырев // Труды Всероссийской молодежной школы-семинара «Анализ, геометрия и топология» Ч. 1. Барнаул. — 2013. — С. 200-202. Режим доступа: https://sites.google.com/site/geometryaltai/home/news/sborniktrudov

[72] Гундырев И. А. Строение подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой и их групп подобий / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань. — 2013. — Т. 47. — С. 36-38.

[73] Гундырев И. А. Алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске-2014», посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск. — 2014. — С. 24-25.

[74] Гундырев И. А. О существовании внутренней подобно однородной метрики на локально компактном пространстве связной группы / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань. — 2014. — Т. 50. — С. 60-61.