Почти ∆-расслоения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Рыжкова, Алла Владимировна

• Рыжкова, Алла Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжкова, Алла Владимировна

Введение

1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности

§ 1. Почти Д—структуры на главных расслоениях.

1.1. Инвариантные покрытия.

1.2. Определение почти Д-структур в терминах функций перехода.

1.3. Морфизмы.

1.4. Категория почти Д-расслоений.

§ 2. Многозначные действия группы Д на пространстве главного расслоения.

2.1. Псевдодействие группы Д

2.2. Многозначные автоморфизмы.

2.3. Псевдодействия и морфизмы.

§ 3. ^-связности.

2 Построение инвариантов и классификация почти Д-расслоений

§ 1. Характеристические классы.

§ 2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы голономии.

§ 3. Инварианты почти А-расслоений с плоскими связностями.

§ 4. Классы эквивалентности почти А-расслоений с плоскими связностями.

§ 5. Классификация почти А-расслоений.

3 Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений

§ 1. А-расслоения.

§ 2. Характеристические классы А-расслоений в категории К,(В, Tk, A, R).

§ 3. Инварианты А-расслоений с плоскими связностями

§ 4. Классы эквивалентности А-расслоений в категории

JC(B,Tk,A,R)

4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры.

§ 1. Связь почти А-расслоений с гироскопическими системами

§ 2. Почти А-расслоения над двумерными базами.

§ 3. Трехмерные почти А-расслоения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Почти ∆-расслоения»

Пусть В - гладкое многообразие, д - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма наБии:Б-уМ - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В, д1 F, и) называют гироскопической системой. Как показано С.П. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения для которого базой является конфигурационное многообразие В, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23], Я.Л. Шапиро, В.А. Иго-шина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34], С.В. Болотина [4], подобные конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29].

Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрий А, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В х А —В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти А-расслоениями. Показано, что в этом случае группа А оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие R поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39].

Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связ-ностями. Исследованием инвариантных связностей относительно однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang [40], К. Nomizu [11].

В диссертации почти Д-расслоения исследованы вплоть до классификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т1 была получена Sh. Kobayashi [35]. Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе К. Kodaira, D.S. Spenser [36](см. также [25]).

В [34] Е.И. Яковлевым с несколько иной точки зрения рассматривались почти Д-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/А является гладким многообразием, а фактор-отображение v : В —> В/А - регулярным накрытием. Если р : Е —> В - проекция расслоения то v о р : Е В/А - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем Д х Тк и многозначными функциями перехода со значениями в той же группе Д х Тк. Такие расслоения названы в [34] почти главными.

В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологий базы В, а не пространства орбит В/А как в [34].

Целью работы является решение следующих задач:

1) построение категории /С (В, Тк, Д, R) главных расслоений с базой В, абелевой структурной группой Тк, ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д,Д), а также содержательных примеров таких расслоений;

2) нахождение инвариантов объектов категории 1С(В} Тк, Д, R);

3) классификация почти Д-расслоепий с заданнымр! базой структурной группой Тк и действием R конечной группы Д на Б;

4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти Д-расслоений содержит обычное А-расслоение.

Методы исследования. Использованы методы дифференциальной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.

Научная новизна.

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы Г = (В, g,F, и) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием R группы Д на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В,Тк, Д, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа SB (В, Тк, Д, R) группы В (В, Тк, Д, Д), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации SB{B) Тк, Д, R) - собственная подгруппа группы В(В,Тк, Д, R).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.

Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КГУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. Н.И.Жукова и Е.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).

Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[49]. В совместных статьях [42],[44],[47], [49] научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе определяются почти Д-расслоения и их мор-физмы, строятся многозначные автоморфизмы, исследуются инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.

Пусть £ - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Тк = (Ж/Ъ)к. Рассмотрим конечную группу Д и правое действие R : В х Д —> В.

Определение 1. Допустим, что открытое покрытие U обладает свойствами:

1) существует ассоциированный с И атлас А(Ы) расслоения

2) Rs(U) = U для всех U еЫ и S € Д.

Тогда U мы будем называть (£, А)-покрытием.

Выберем карты G A(U), Для которых VПС/ ф 0 и функцию перехода : V DU Тк от Си к Определим отображение tJu : U П У Tfc формулой

T¥U=ZVU°R5-ZVU- (1)

Определение 2. Пусть dj/*7 = 0 для всех [/, У £ W и <5 G А. Тогда Л(Ы) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти Д-атласом. Если А - класс эквивалентности почти Д-атласа А(Ы), то пару Р — (£> Л) назовем почти А-расслоением.

Рассмотрим главные расслоения £ и с проекциями р : Е В и р' : Е' —> В и структурной группой а также гладкое отображение f : Е Е' со свойствами: р = р' о f и /(г> • £) = /(г;) • £ для всех v Е Е л t £ Тк. Тогда / : £ —> морфизм над Л. Допустим, что расслоения £ и обладают почти Д-структурами Л и Л7. Выберем атласы A(U) G Л, .A'(W) G А и множества U, У G Zi, У П U ф 0. Имеется функция перехода С,уц \VP\U —> Тк от карты к карте при морфизме /. Определим гладкое отображение сг^*7 : VnU —> Tfc, полагая crlu = Cvu о R5 - Cvu, (2)

Определение 3. Если dcrju ~ 0 для всех £[/ 6= Л(^), G Л'(^) и £ £ Д, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р = (£, Л) и

Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, группы Д и действие R : В X А В, а также полагать G = А хТк. Совокупность почти Д-расслоений над Л со структурной группой и их морфизмов образует категорию JC(B, Тк, Д, i?). Множество

В(В,Тк, Д, R) классов эквивалентности объектов построенной категории является группой относительно операции, индуцированной сложением функций перехода. Ее нейтральный элемент - класс эквивалентности пары ро = (£(ь гДе £о ~ расслоение-произведение В па, Тк, а, Ао содержит атлас {idBxTky.

Элементы (£, Д)-покрытия Ы и их пересечения не обязаны быть связными. Поэтому тождества dr= 0 и daju = 0 равносильны тому, что отображения tJu и aju только локально постоянны. Добавим, что расслоение-произведение £0 может обладать почти Д-структурой, отличной от Aq.

Пусть £ - главное расслоение с проекцией р : Е В и структурной группой Тк. Каждая его карта '■ U х Тк —> Ец позволяет определить действие Ru : Ец х А 4 Ец группы Д на подмногообразии Ev = q~1(U) с Е с помощью формулы

Ru(tuM,8) = Zu(a-8,t). (3)

При этом для каждого 5 £ Д poRus=R6op. (4)

Если У х Тк —У Еу - другая карта расслоения £ и V П U то действия Ru и Rv связаны на Еупи равенством л?н = Щ(у) ■ т™Ш), (5) где отображение tJu : V Г) U Тк определено формулой (2).

Определение 4. Пусть A(U) - атлас главного расслоения а отображения Ru : Ец хА Ец заданы с помощью карт £ A(U) и формулы (5). Набор 7Z = {Д^]^/ £ мы будем называть псевдодействием группы Д на пространстве расслоения ассоциированным с А(К). Если drju = 0 для всех U, V £ U и S £ Д (то есть Л(^) -почти Д-атлас), то 7Z назовем многозначным действием.

Из равенств (4) и (5) следует, что Щ : Еи —Ец - автоморфизм сужения над U расслоения Поэтому для многозначного действия набор {7lJ$\U G естественно назвать многозначным автоморфизмом расслоения При этом А становится группой многозначных автоморфизмов.

Рассмотрим главное расслоение с проекцией р' : Е' В и структурной группой морфизм / : £ —> и Т^-связности Я на £ и Я' на Е', удовлетворяющие равенству = df(Hv) при всех v £ Е. Выберем карты и расслоений £ и и элемент <5 е Д. Предположим, что V C\U / 0.

Предложение 1. Если связность Н инвариантна относительно преобразования Rf : Ец —> Еи, то Н' инвариантна на E'vnu относительно R'J : E'v —> E'v тогда и только тогда, когда определенное формулой (4) отображение aju : V П U —У Тк локально постоянно.

Из предложения 1 вытекает ряд важных следствий. Для их компактной формулировки нам потребуются также новые определения.

Следствие 1. Рассмотрим главное расслоение £ с проекцией р : Е В и структурной группой Тк и псевдодействие TZ группы Д на Е, ассоциированное с атласом Л(Ы). На пространстве расслоения £ существует Г^-связность Н, инвариантная относительно всех Ru Е тогда и только тогда, когда Л(Ы) - почти Д-атлас, а И -многозначное действие группы Д.

Определение 5. Если в обозначениях следствия 1 связность Н инвариантна относительно всех Ru Е TZ, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 1Z группы Д на Е.

Следствие 2. Предположим, что р = (£, Л) - почти Д-расслоение и Т^-связность Н на пространстве Е главного расслоения £ инвариантна относительно многозначного действия группы

Д, ассоциированного с атласом Л{Ы) £ А. Если А'(Ы') - другой атлас главного расслоения то связность Н инвариантна относительно ассоциированного с ним псевдодействия группы Д на Е тогда и только тогда, когда А(Ы') - почти Д-атлас и A(U') € А.

Определение 6. Пусть G = Д х Тк, р = (£, А) - почти Д-расслоение и Тк-связность Н на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы Д, ассоциированных с атласами А(Ы) £ А. Тогда Н будет называться G-связностью.

Следствие 3. Допустим, что р = (£, А) и р' — (£', А) - почти Д-расслоения, шиш'- формы Т^-связности Н и G-связности Н' на пространствах Е и Е' расслоений р и р', / : £ —> - морфизм главных Т^-расслоений и ш = f*u>'. Тогда Н - G-связность на Е в том и только в том случае, если / : р —> р' - морфизм почти Д-расслоений.

Предложение 2. Пусть Q = du - форма кривизны Тк-связности Н на пространстве Е главного расслоения F - замкнутая 2-форма на базе В со значениями в Жк, удовлетворяющая равенству Q = p*F. Форма F инвариантна относительно действия группы А на В в том и только в том случае, если £ обладает почти А-структурой, относительно которой Н является G-связностью.

Рассмотрим почти Д-расслоения р = (£, А) и р' = (£', А) с проекциями р : Е —> В я р' : Е' —> В, а, также формы шиш' С-связностей Н на Е и Н' на Е'. Предположим, что существует морфизм главных расслоений / : £ —> Тогда на базе В найдется 1-форма D, удовлетворяющая равенству f*u>' — ш = p*D.

Предложение 3. Отображение f является морфизмом почти А-расслоений р и р' в том и только том случае, если форма D инвариантна относительно действия R группы А.

Предложение 4. Пусть р = (£, А) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —В. Тогда [р] = 0 в В(В, Tfc, A, R) в том и только в том случае, если на Е существует G-связность с тривиальной группой голономии.

Во второй главе находятся инварианты почти А-расслоений и вычисляется группа их классов эквивалентности.

Если Ф - замкнутая го-форма на многообразии В со значениями в Шк, а [Ф] - ее когомологический класс, то формула /[ф]([с]) = f Ф определяет гомоморфизм : Нп(В) —> Жк.

Обозначим символом AA(B,M.k) группу инвариантных относительно действия группы А внешних го-форм на В со значениями в а символом НА(В, IRfc) - группу гомологий коцепного комплекса

----^ A^fB,!^ 4 АпА{В,Жк) 4 А£+1(Б,К*) ->.

Положим

Hl(B,Rk\Zk) = {[ф]д е НЦВЛк)\1ш1[ф] с ък}.

Пусть р = (£, И.) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В иш - форма G-связности Н на Е. Тогда существует замкнутая 2-форма F на В, удовлетворяющая равенству du = p*F. Согласно предложению 2 F 6 А^В,!^). Так как £ - главное расслоение со структурной группой Тк, а Н - Т^-связность, то imI[F] С Ък.

Когомологический класс [F]a является инвариантом расслоения р в категории /С(-В, Tfc, A, R). Он будет называться характеристическим классом почти А-расслоения р = (£, А). При этом формула т]([р]) = определяет гомоморфизм г) : В(В,Тк, A, R) —> Hl(B,Rk\Ък).

Предложение 5. Для гомоморфизма г) существует правый обратный гомоморфизм fj : Rfc|Zfc) -> В(В, Тк, A, R).

Пусть р = (£, А) - почти А-расслоение с характеристическим классом [F]a = 0. Это эквивалентно существованию на его пространстве плоской G-связности Н.

Предположим, что х : I —у В - кусочно-гладкая петля, а х : I —у Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Н. Тогда найдется элемент т#(ж) G удовлетворяющий равенству х(1) = ж(0) • тн{х). Элемент тн{х) зависит только от гомологического класса цикла х G Zi(B). При этом формула тн([х]) = тн{х) корректно определяет гомоморфизм тн : Hi(B) —у Тк: который мы называем гомоморфизмом голономии связности Н.

Предложение 6. Пусть р = (£, Л) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —у В, Н и Н* - плоские G-связности на Е, из и со* - их формы связности. Тогда из* = из + р*А, где А G и

Тн* = ТН - Ехро1[А].

Пусть для произвольного п G N

HomA{Hn{B),Rk) = {he Hom(Hn(B),Rk)\h([x • 6]) = h([x]) \/6 G A}. Для [F]a G tf£(£,Rfc), [jP] G Hn{B,Rk) и [с] G Hn(B) положим

Ia([FU) = I[F]- (6)

Лемма. Отображение /д : Н%{В,Шк) HomA{Hn(B),Rk), определенное формулой (6), является изоморфизмом.

Для почти Д-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской G-связности Н на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии тн £ Hom(Hi(B),Tk) и гомоморфизм Ехр? : HomA(#i(£),Efc) Нот^Н^В), Тк), определенный формулой Exp^(h) = Exp о h. Положим

7to(\p]) = TH + imExp?. (7)

Предложение 7. Формула (7) корректно определяет отображение г)о : ker?7 —> Hom(Hi(B),Tk)/imExpf.

Таким образом, смежный класс тн + im ЕхрА гомоморфизма голономии тн является инвариантом расслоения р. В предложениях

8-11 показано, что этот характеристический класс позволяет полностью классифицировать группу классов эквивалентности почти Д-расслоений.

Предложение 8. Рассмотрим почти Д-расслоение р = (£, А) с проекцией р : Е —> В, плоскую G-связность Я на его пространстве Е и гомоморфизм голономии Тн : Н\(В) —> Тк. Тогда существует почти А-атлас A(U) € А, обладающий свойствами:

1) локальные формы и>и связности Я тоэюдественно равны нулю для всех U 6 U;

2) функции перехода £vu локально постоянны для любых U:V (EU,

V nU ф 0.

При этом если х : I —» В - петля, 0 = sq < Sx < • • • < si = 1 - разбиение отрезка I = [0,1], KUi,., KUi - компоненты связности элементов покрытия U, удовлетворяющие условиям a;([sji, s^]) с KU{, и a,i = x(si), то тя(И) = ZuiuM + biUt-Aal-1) +----Ь ^C/xOl). (8)

Предложение 9. Отображение щ является гомоморфизмом групп.

Предложение 10. Гомоморфизм щ сюръективен. Предложение 11. Ядро кегт/0 состоит только из нейтрального элемента группы В(В, Тк, Д, R).

Пусть г] : В(В,Тк, Д, R) H2A(B,Rk\Zk) - гомоморфизм, построенный перед предложением 5, imExpf - образ естественного гомоморфизма Expf : Яошл(Я1(Б),ЕА:) Яот(Ях(Я),Тк), а щ : кегт? —У Hom(Hi(B),Tk)/imExpf - гомоморфизм, определенный формулой (7). Согласно предложениям 9, 10 и 11 rjo - изоморфизм. Рассмотрим включение г : кегт/ —у В(В,Тк, Д, R) и положим £ = г о щ1. Тогда из предложения 5 следует, что имеет место следующий основной результат работы:

Теорема 1. Последовательность групп и гомоморфизмов

О Hom(Hi(B)i Tk)/imExpf 4 В(В, Тк, A, R) А

A H2A(B,Rk\Zk) О точна и расщепляется. Поэтому

В(В, Тк, A, R) Hl(Bimk\%k)®Hom(H1(B),Tk)/imExpf.

В третьей главе мы исследуем вопрос о том, какое место в категории почти А-расслоений занимают расслоения, для которых автоморфизмы из А однозначны.

Пусть р = (£, Л) - почти А-расслоение и Л(Ы) £ Л. Если определенное формулой (1) отображение удовлетворяет условию rju = О, то р - А-расслоение в обычном смысле, а Л(Ы) - А-атлас.

При этом для действия Ru : Еи х А —> Ец группы А па подмногообразии Ejj = q~l(U) С Е верно равенство R^(v) — Rj(v) па любом непустом пересечении Ец П Еу; U,V £ U. Положим Rf(v) = R^{v) для всех v £ Ejj и U Е. U. Этим корректно определены отображения Rf : Е Е и RE : Е х А Е, RE{v, S) = Rf(v). Ясно, что RE -однозначное действие группы А на Е: a Rf : Е —> Е - однозначно определенный автоморфизм.

Для поиска инвариантов А-расслоений нам понадобятся следующие новые конструкции. Символом SB(B, Tfc, A, R) обозначим подгруппу группы В(В, Тк, A, R), образованную классами эквивалентности А-расслоений в категории )C(B,Tk,A,R).

Пусть Сп(В), Zn(B) и Вп(В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми коэффициентами. Введем обозначения:

Сп(В, Д|Z) = {се С„(В)\ с ■ А £ Zn(B)}.

Предложение 12. Пусть р = (£, Л) - А-расслоение, Н - G-связность на его пространстве Е, ш - форма связности Н, F -замкнутая 2-форма па базе В и dw = p*F, где р : Е —» В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с £ А\Я) справедливо включение J F £ Ък.

Предложение 13. Если F - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и J F £ Ък для всех с £ С2(В,А\Я), то существует А-расслоение р с характеристическим классом [-Р]д.

Таким образом, когомологический класс формы, обладающей свойствами, описанными в предыдущем предложении, является инвариантом А-расслоений. В предложениях 14 и 15 указан второй инвариант этих расслоений, что позволяет вычислить группу SB(B,Tk,A,R).

Предложение 14. Если р - А-расслоение с пулевым характеристическим классом [-Р]д = 0, то тд £ HomA(.#i(.B), Tk).

Предложение 15. Если т £ HomA(.#i(B), Tfc), mo существует А-расслоение р, для которого щ([р]) = т + imExpf .

Полагая v(\p\) = г]([р]) для [р] £ SB(B, Tk, A, R), мы определим гомоморфизм v : SB(B,Tk, A, R) -> H2A(B,Rk,CA\Zk).

Определена, точна и расщепляется последовательность

О -> keri/ 4 SB(B,Tk,A,R) А НЦВ, CA\Zk) О, где is - включение. Положив = Vo{[p]) Для всех [р] £ kerz/, мы получим изоморфизм

1/0 : ker v —> Ношл(#i(£) ,Tk)/ imExpf .

Положим ц = is о Vq1 . Тогда из сказанного выше вытекает следующая важная

Теорема 2. Определена короткая точная последовательность О Ношл(Hi(B),Tk)/ imExpf A SB(B, Tk, A, R) A

A H2A(B,Rk,CA\Zk) 0.

Она расщепляется и поэтому

SB(B, Tk, A, R) S* #i(£,R^A|Z*)©HomA(#i(£),Tft)/imExp*.

В четвертой главе рассмотрена связь почти А-расслоений с гироскопическими системами, некоторые свойства таких расслоений с двумерными базами, примеры трехмерных почти А-расслоений.

Почти А-расслоения естественным образом возникают при исследовании динамики натуральных механических систем с гироскопическими силами. Пусть В - конфигурационное многообразие такой системы Г. Ее функционал действия в общей ситуации многозначен. Для преодоления связанных с этим трудностей может быть использовано поднятие рассматриваемой задачи на пространство некоторого главного расслоения £ над В со структурной группой Тк. При этом число к и характеристический класс расслоения определяются формой гироскопических сил. В указанной конструкции также используется некоторая риманова метрика на тотальном пространстве этого расслоения [30]-[33]. Нами доказана

Теорема 3. Система Г инвариантна относительно действия R группы А в том и только в том случае, если расслоение £ обладает почти А-структурой Л и метрику моснсно выбрать инвариантной относительно многозначного действия группы А на Е, ассоциированного с любым атласом из Л.

Пусть В - двумерное гладкое многообразие.

Предложение 16. Если В замкнуто, ориентируемо и для всех 5 £ А диффеоморфизмы Rs : В —> В сохраняют ориентацию, то

H\(B№k\Zk) = Bom(H2(B),Zk) ^ Ък. Во всех остальных случаях Hl(B,Rk\Zk) = 0.

Предложение 17. Пусть В замкнуто, ориентируемо, и группа А действует на нем сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами. Тогда каснсдое главное расслоение над В со структурной группой Тк обладает структурой почти А-расслоения.

Предложение 18. Если двумерное многообразие В и группа Д не обладают хотя бы одним свойством из предложения 17, то на пространстве любого почти А-расслоения над В существует плоская G-связностъ.

Пример 1. Рассмотрим сферу В = S2 = {r(u,v) = (cosit cos-u, cosiisin-u, sin it) | и G [—7г/2, тг/2], v E [0,27г]} и группы T1 А — Ъп. Определим действие R : В х Д —>■ В, полагая

27Г7

Rb](r(u, v))=r(u,v + —), [j] = j + Z, j = 0,1,., n - 1. (9)

Геометрически R[j] есть поворот сферы на угол 2ттj/n вокруг прямой (0,0) х R.

Согласно теореме 1,

В(В, Т1, Д, R) ^£ = £(£,7^), где В(В,Т1) - группа классов эквивалентности главных расслоений с базой В и структурной группой Т1. Как известно, произвольное такое расслоение имеет вид £ = , где m Е Z, а х ~ расслоение Хопфа.

Таким образом, для действия (9) главное расслоение £ = допускает (причем единственную) структуру почти Д-расслоения при любом m £ Z; с помощью теоремы 2 доказывается, что структурой, инвариантной относительно Д, оно обладает тогда и только тогда, когда характеристическое число m нацело делится на порядок п группы Д.

Пример 2.

Пусть теперь В = Т2 = (R/Z)2 и Д = Z2. Действие Я:ВхД-> В определим формулой z, у + z) = ((-l)'® + Z, (-l)'y + Z). (10)

Вычисляя группы, указанные в теореме 1, получаем, что

В(В, Т1, Д, Д) = Z © Т2 = В(В, Т1) ф Т2.

Таким образом, для действия (10) каждое главное расслоение с базой В = Т2 и структурной группой Т1 обладает бесконечным набором попарно не изоморфных почти Д-структур. По теореме 2 получаем, что SB{B,T\ Д, R) = 2Z($) Ъ\.

Пример 3. Рассмотрим, наконец, проективную плоскость В = ШР2 и зададим действие той же группы Д = Z2 на В: полагая

Rb<](x:y/.z) = ((-iyx:(-iyy:z). (11)

По теореме 1 о классификации получаем В(В, Т1, Д, R) = Z2 = В(В,Т1). Это значит, что каждое из двух (не изоморфных) главных расслоений с базой В = ШР2 и структурной группой Т1 допускает (при действии (11)) почти Д-структуру, но только одну. А по теореме 2 получаем, что все они являются Д—расслоениями.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Рыжкова, Алла Владимировна

Выводы: Для действия (4.3)

• главное расслоение £ = тх допускает (причем единственную) структуру почти А-расслоения при любом m £ Z;

• структурой, инвариантной относительно Д, оно обладает тогда и только тогда, когда характеристическое число m нацело делится на порядок п группы А.

Пример 2. Пусть теперь В = Т2 = (M./Z)2 и Д = Z2. Действие Я : В х Д —> В определим формулой

Яф 4- Z, у + Z) = {{-l)jx + Z, (-l)'y + Z). (4.4)

При этом имеются четыре неподвижные точки (s/2 + Z, t/2 -f Z), 6 {0,1}. Поэтому В/A - орбиобразие. Оно также гомеоморфно сфере S2.

Так как йод : В —у В сохраняет ориентацию тора и #г(В) — ^ то

НЦВ, R|Z) - Нотл(Я2(Я), Z) = Hom(tf2(B),Z) ^ Z.

Вместе с тем Дт меняет ориентации одномерных симплексов, и Я!(В) ^ Z2. Поэтому

ПотА(Н1(В)Л) = 0 и Hom(Ki(B),T1)/imExpf = Т2.

По теореме 2.1 отсюда следует, что

В(В, Т\ Д, Д) = Z ф Т2 = В{В, т1) е т2.

Таким образом, для действия (4.4) каждое главное расслоение с базой В = Т2 и структурной группой Т1 обладает бесконечным набором попарно не изоморфных почти Д-структур.

Приведем примеры неизоморфных почти Д-структур на главном Т1 -расслоении над Т2. Рассмотрим сначала расслоение-произведение = (TV, 7* 7*), где Тк = для А: = 1,2,3 и р : Т3 = Т2 х Т1 —> Т2 - естественная проекция. Действие элемента 6 = 1 +Z € Z2 на Т2 определено формулой R$(u-\-W?) = (—Z2). Положим = 1,1 = 1,2}, 84

У = {г; € К2|И < ~,i = 1,2} и

W = {ш G Ш2\ - wl < w2 < 1 - ги1, w1 - 1 < w2 < wl + 1, w2 ф w1} i .д

2 - V.1

2 г „.Г 1

• f — ' w

Тогда множества U = {u + Z2\u 6 U}, V = {v + l?\v G V) и W = {v + Z2\v G W} образуют открытое покрытие Ы = {£/, V} W} тора T2 = R2/Z2. Отметим, что R6(U) = U, R6(V) = V и = W.

Выберем некоторые числа Si G Й, г = 1, 2, и определим отображения фц : и х Т1 ^ Еи = p~x(U% -фу : V х Т1 Еу к ф^ : W х Т1 s = (siis2)) полагая:

4- Z2, £ + Щ = (и1, и2, s^1 + 52u2 + t) + Z3 для u = (t*1,и2) £ U Ht el,

Ф3у(у + Z2, i + Z) = (v\ u2, SiV1 + s2v2 +1) + Z3 для v G V и t G R, Z2, t + Z) = (w\ w2,51Ш1 + W + i) + Z3 для № G Ж и i € К. Этим определены карты фцтфу, фцг расслоения £о- Пересечение U П Vr состоит из четырех компонент связности

D10 = {и + Z2|^ < и1 < 1, 0 < и2 < i}, An = {и + Z2|0 < и1 < i i < u2 < 1}, £>n = {w + z2|- < u{ < 1,2 = 1,2}.

Очевидно, на .D0o карты т/^ и фу совпадают. Если точки w + Z2, w £

U, и и + Z2, v Е V принадлежат компоненте то они равны тогда и только тогда, когда и1 — v1 + 1 и и2 = v2. Поэтому система условий и + Ъ2 = v + Z2 Е £>ю и ф^и + Ъ2+ = ф3у{у + Z2,U +Щ эквивалентна системе / и1 = -у1 + 1, U2 = V2, si(V + 1) + s2v2 +1 + Z = 51V1 + s2v2 + и + Z. Последнее равенство верно в том и только том случае, если — t + Z = Si + Z. Таким образом, функция перехода фуи : V П U —У Т1 на .Dio имеет вид фуц = Si + Z.

Аналогично проверяется, что на D01 она имеет вид фуц = 52 + Z, а на £>п - вид = + s2 + Z.

Пусть 5=1 + ZeZ2 = Ah Туи = фуц о R5 — фУи. Ясно, что RS{D00) = Du, RS(D10) = Dou RS(D01) = Dw и Rs(Du) = A*. Поэтому

TyV = Si + s2 + z на Ao, TyV = s2 - Si + Z на £>10, TyV = si - s2 + Z на D01, TyV = —si - s2 + Zна £>ц. Это значит, что отображение Туу :

V DU Т локально постоянно. Точно также проверяется, что аналогичным свойством обладают и отображения : W П V -У Т1 и rfjW : U f)W ->• Т1.

Поэтому AS(U) = {фу, фу, фу/} ~ почти Д-атлас, а его класс эквивалентности As представляет собой почти Д-структуру на расслоении

Форма uis — —Sidu1 — s2du2 + du3 является формой некоторой плоской Т1-связности на Т3. Поскольку

RU5 ° и2) + Z2, w3 + Z) = Фи((-и\ -и2) + Z2, и3 + Z), то Jff((u1,u2,s1u1 + s2u2+u3)+Z3) = (-it1, -и2, -SyU1 -S2u+Uz)+Z3. Отсюда следует, что матрица Якоби для

Ru имеет вид

J = -1 0 -2si \ О -1 —2S2

V о о 1 у

Поэтому (R^)*uj = со. Аналогично проверяется, что (RJ)*uj = ш и (i?D+u; = из.

Итак, ша - форма G-связности На, где G = Д х Т1. Рассмотрим пути хг : I Т2, Xl(t) = (t, 0) + Z2 и z2 : I -)• Т2, x2(t) = (0,t) + Z2. Их горизонтальные лифты относительно Н3 имеют вид = (t, 0, s^) + Z3 и x\{t) - (0, t, s2t) + Z3. Поэтому th'{xi) = si + Z, ths(x2) = s2 + Z. (4.5)

Так как HomA(#i(T2), К.) = 0, то гомоморфизм голономии тНа : Н\(Т2) —>• Т1 является инвариантом почти Д-расслоения = (£o,As). Согласно (4.5), rHS = thsi s' — s = (s'x — si, s2 - s2) G Z2.

А поэтому для £o имеется M.2/Z2 = T2 неизоморфных почти Д-структур.

Если теперь £ = (Е,р, Т2, Т1) - произвольное главное расслоение над Т2 со структурной группой Т1, A(U) - некоторый его почти Д-атлас, {фуи* 4>wv, rfuw} ~ соответствующие функции перехода, то набор s = 0ьз2) ^ R2 определяет новый почти Д-атлас AS(U) расслоения Таким образом, можно получить различные почти Д-структуры Л3 для Согласно полученному выше

Н\{В, K|Z) = Н2{В,Ж\Щ = Z.

Образующим элементом этой группы является класс формы F — F'/S, где F' - форма площади на торе, a S - площадь. В качестве образующих группы Д|2) можно, рассматривать такие цепи на торе, которые переводятся преобразованием Яэд в их дополнение.

Ясно, что интегралы от формы п ■ F, п G Z, по указанным образующим будут целыми числами тогда и только тогда, когда п -четное. Поэтому Н\(В,%С*\Ъ) вложена в Я2(В,МЩ как 2Z в Ъ. Кроме того,

Нот(Я1(В),Г1) = Hom(Z2, Т1) = Т2.

Пусть ft 6 Нош(Я1(Я),Т1) и h([x]) = а + Z, ft ([у]) = /3 + Z, где И, [у] € Я:(Г2), € [0,1). При этом ft(%(W)) - М"М) =

1 - а -f Z и А(Д[1]([у])) - М~И) = 1-^ + 2. Ясно, что а -I- Z = 1 — а + Z тогда и только тогда, когда а — 0 или а = 1/2. Аналогично, /? + Z = 1 — /3 + Z тогда и только тогда, когда /3 = 0 или (3 = 1/2. Таким образом, инвариантным гомоморфизм h является только в тех случаях, если а, /? 6 {0,1/2}. Следовательно,

НошЛ(Я1(В),Г1) ^Zl

И, по теореме 3.1, SB(T2, Т\ Д, Д) S 2Z ф Ъ\.

Пример 3. Рассмотрим, наконец, проективную плоскость В = ШР2 и зададим действие той же группы Д = Z2 на В, полагая

Дш(х р : z) = ((-l)Jx : (-1 )jy : z). (4.6)

Неподвижными являются точки (0 : 0 : 1) и (ж : у : 0) при всех щу G R, В/Д » £>2.

По предложению 4.1, #^(B,R]Z) = 0. Поскольку Дод переводит образующий элемент группы Н\(В) в себя, то

Но шЛ(Я1(Я),М) = Horn

Следовательно,

Нош(Я1(В),Т1)/imExpf = Ext(#i(5), Z) ^ Z2.

В результате: Б(Д, Г1, Д, Д) ^ Z2 Si Т1). Это значит, что каждое из двух (не изоморфных) главных расслоений с базой В = ШР2 и структурной группой Т1 допускает (при действии (4.6)) почти Д-структуру, но только одну. Так как

1(£,R,Ca|Z) С Я|(Я,ЕЩ = О, а группа Д действует на Н\(В) тривиальным образом, то НотЛ(Я1(Б),Т1) = Нот(Я1(Б),Т1), и, по теореме 3.1,

SB(RP2, Т1, Д, R) = B(RP2, Т1, Д, R), т.е. каждое главное расслоение с базой ШР2 и структурной группой Т1 является Д—расслоением.

Пример 4• Пусть В- замкнутая ориентированная гладкая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве Е3 и а0 € Е3. Она является краем некоторого компактного трехмерного многообразия Р С Е3. Предположим, что в точках щ G Р\В расположены неподвижные магнитные заряды д^ г — 1,. ,п. Заряд qt создает магнитное поле, напряженность которого в точке а е E3\{ai,., ап} равна

7],[4]. Допустим также, что в Е3 задано постоянное магнитное поле без монополей Яо> и положим п i=о

Рассмотрим заряженную пробную частицу х> которая может двигаться только по поверхности В. Выберем систему единиц измерения, в которой скорость света в вакууме с = 1. Предположим, что в этой системе единиц отношение электрического заряда частицы х к ее массе также равно единице, а магнитного заряда у % нет. Тогда если х : [0,5] —» В - движение частицы % и x(t) = aox(t), то в момент времени t на х действует сила где Я1 (#(£)) - ортогональная к В составляющая вектора #(&(£)), а квадратные скобки обозначают векторное умножение.

Буквой h обозначим риманову метрику на В, индуцированную евклидовой метрикой пространства Е3. Для индекса % £ {0,1,., п}, точки a 6 В и касательных векторов X, Y £ ТаВ положим п f(X, у) = h([X, Ht(a)}, Y) и / = U i=о

Этим определены замкнутые 2-формы /о, /1,., fn и / на В. Положив и = 1/2 и Г — (Я,/г, /, и), закончим построение гироскопической системы Г, описывающей динамику частицы % на поверхности В под действием магнитного поля Н.

Рассмотрим теперь частный случай, когда В - трехосный эллипсоид, который в декартовой системе координат (0, и1, и2, и3) задается уравнением

С»1)2 , W2 , W2 .

4 + 9 + 16 ' п = 2, заряды gi и #2 равны по величине, т.е. qi = q2 = q, точки ai и a2 имеют координаты (1,1,1) и (—1, —1,1) соответственно, а Н0 = ё3 = {О, О, Л} - однородное магнитное поле, направленное вдоль оси ои3.

Трехосный эллипсоид В допускает группу преобразований, порожденную поворотами на угол 7Г вокруг осей координат и отражениями относительно координатных плоскостей. При этом магнитное поле Н сохраняется только при повороте на угол 7г вокруг оси ои3. Таким образом, система Г имеет группу симметрий А = {<5[о],<%]} = где 5[0] = id, а tf[i](u\ и2, и3) = (-и1,-и2, и3).

Поскольку Н2(В) = Z и fB f = 4-7r(gi + q2) = Sttq, то можно положить в = Snq и F = f /в. Тогда fc F G Z для всех [с] G H2(B). Таким образом, представление f = 9 о F, где 9 G Hom(Rfc,R) и [F] G Я2(В, R*|Zfc), и > О в данном случае имеет вид / = 6 • F, а к = 1. Если £ = (Е,р, В,Тг) - главное расслоение с характеристическим классом [F] G Н2(В,Ш|Z), то оно изоморфно расслоению Хопфа.

Согласно результатам, полученным в примере 1 (почти Д-расслоения над S2), £ обладает единственной почти Д-структурой Л. Но так как его характеристическое число 1 — fB F на порядок группы Д = Ъ2 не делится, то структурой обычного Д-расслоения Л быть не может.

Заключение

Основными результатами диссертации, выносящимися на защиту являются следующие:

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы Г = (В, д, F,u) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием R группы Д на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В, Тк, Д, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа SB(B, Д, R) группы B(B,Tk,A,R), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации SB {В, Tfc, Д, R) - собственная подгруппа группы В(В,Тк, Д, R).

Результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора:

1. Казапцева(Рыжкова) А.В., Яковлев Е.И. Локально инвариантные расслоения// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. Казань: Изд-во КГУ. 2000. С. 436-437.

2. Рыжкова А.В. Локально инвариантные расслоения с плоскими связностями // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. Казань: Изд-во Регентъ. С.409-416.

3. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с конечными группами многозначных автоморфизмов и инвариантные связности // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление.

2002. Вып. 1(25). С. 49-56.

4. Рыжкова А.В. Расслоения с многозначными автоморфизмами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2002. Т. 18. С. 76-77.

5. Рыжкова А.В. Почти А—расслоения над двумерными многообразиями // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2).

2003. С. 61-69.

6. Яковлев Е.И., Рыжкова А.В. Почти А—расслоения. // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. 2003. С.866-867.

7. Рыжкова А.В. Подгруппа А-расслоений группы почти Д-расслоений // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003. Т.21. С. 194-195.

8. Рыжкова А.В. Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти А-расслоений // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2004. С.148-158.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжкова, Алла Владимировна, 2004 год

1. Аминова А.В. Поверхность вращения как динамическая модель лагранжевой системы с одной степенью свободы. // Гравитация и теории относительности. Казань: Изд-во КГУ. Вып. 22. 1985. 12-30.

2. Аминова А.В. Группы преобразований римановых многообразий. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.:ВИНИТИ. Т.22. 1990. 97-165.

3. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир. 1967.

4. Болотин С В . Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца // Вест МГУ, сер. матем.-мех. 1986. Вып. 5. 51-53

5. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука. 1980.

6. Вишневский В.В., Шапуков Б.Н., Широков А.П., Шурыгин В.В. Структуры на гладких расслоениях. // Фундам. проблемы мат. и мех.: Математика ч.1. М.:МГУ. 1994. 168-169.

7. Dirac Р.А.М., Proc.Roy.Soc.Lond. 133 А (1931) Р.61-71.

8. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир. 1976.

9. Дубровин Б.А., Новиков С П . , Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука. 1979.

10. Игошин В.А., Шапиро Я.Л., Яковлев Е.И. Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка. // Математические заметки. 1985. Т.38, Вып.

11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1,2. М.: Наука. 1981.

12. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их приложения. М.: Наука. 1984.

13. Новиков С П . Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т. 37, вып. 5. С 3-49

14. Петров А.З. Моделирование физических полей. // Гравитация и теория относительности. Казань: Изд-во КГУ. Вып. 4-5. 1968. • 7-21.

15. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука. 1977.

16. Свитцер Роберт М. Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии. М.: Наука. 1985.

17. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях. М.: Мир. 1986.

18. Стинрод Н. Топология косых произведений. М.: ИЛ. 1953.

19. Тайманов И.А. Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях. // УМН 47. Вып. 2. 1992. 143-185.

20. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука. 1989.

21. Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией. // Механика твердого тела 8. Киев. 1976. 4-18.

22. Харламов М.П. Характеристический класс расслоения и существование глобальной функции Рауса. // Функ. анализ и его приложения 11. Вып. 1. 1977.

23. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: ЛГУ. 1988.

24. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир. 1970.

25. Чжень Шен-Шень. Комплексные многообразия. М.: ИЛ.1961.

26. Шапиро Я.Л. Геодезические поля направлений и проективные системы путей. // Матем. сборник 36. Вып. 1. 1955. 125-148.

27. Шапиро Я.Л. Геодезическое поле направлений в целом. // Изв. вузов. Математика. Вып. 4. 1970. 103-111.

28. Шапуков Б.Н. Проективные расслоения и проективные связности. // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1995. 83-90.

29. Шапуков Б.Н. Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и проектируемость в расслоениях. // Тр. геом. семин. Вып. 23. 1997. 165-174.

30. Яковлев Е.И. Двухконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов. // Функциональный анализ и его приложения. 1990. Т.24, вып.4. 63-73.

31. Яковлев Е.И. Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов // Функциональный анализ и его приложения. 1996. Т. 30, вып. 1. 89-92

32. Яковлев Е.И. Двухточечные краевые задачи в релятивистской динамике // Математические заметки. 1996. Т.59, вып.З. 437-449.

33. Яковлев Е.И. О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, вып. 2. 256-271

34. Яковлев Е. И. Почти главные расслоения // Матем. сборник. 1999. Т. 190, Вып. 9. 151-176

35. Kobayashi S. Principal fibre bundles with the 1-dimensional toroidal group// Tohoky Math. J. 1956. V. 8. P. 29-45.

36. Kodaira K., Spenser D.S. Groups of complex line bundles over compact Kahler manifolds // Proc. Nat. Acad. Aci. USA. 1953. V.39. P.868-872.

37. Phodes F. On lifting transformation groups // Proceedings Amer. Math. Soc. 1968. V.19. P.905-908.

38. Satake I. On a generalization of the notion of manifold // Proceedings of the Nat. Ac. of Sciences. 1956. V.42. N.6. P.359-363.

39. Stewart Т.Е. Lifting group actions in fibre bundles // The Annals of Mathematics. 1961. V.74.P.192-198.

40. Wang H.C. On invariant connections over a principal fibre bundles // Nagoya Math. J. 1958. V.13. pp.1-19.

41. Yang C.T. The triangulability of the orbit space of difFerentiable transformation group // Bulletin of the Amer. Math. Soc. 1963. V.69. P.405-408.

42. Казанцева(Рыжкова) А.В., Яковлев Е.И. Локально инвариантные расслоения// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. Казань: Изд-во КГУ. 2000. 436-437.

43. Рыжкова А.В. Локально инвариантные расслоения с плоскими связностями // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. Казань: Изд-во Регентъ. 409-416.

44. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с конечными группами многозначных автоморфизмов и инвариантные связности // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2002. Вып. 1(25). 49-56.

45. Рыжкова А.В. Расслоения с многозначными автоморфизмами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2002. Т. 18. 76-77.

46. Рыжкова А.В. Почти Л—расслоения над двумерными многообразиями // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2003. 61-69.

47. Яковлев Е.И., Рыжкова А.В. Почти Д—расслоения. // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. 2003. 866-867.

48. Рыжкова А.В. Подгруппа Д-расслоений группы почти Д- расслоений // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003. Т.21. 194-195.

49. Рыжкова А.В. Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2004. 148-158. d