Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Багаев, Андрей Владимирович

• Багаев, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багаев, Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОРБИОБРАЗИЯ И ИХ СТРАТИФИКАЦИИ

1.1. Категория орбиобразий.

1.1.1. Определение орбиобразия.

1.1.2. Примеры орбиобразий.

1.1.3. Определение морфизма . *.

1.1.4. Примеры морфизмов орбиобразий.

1.2. Стратификация орбиобразий и ее свойства.

1.2.1. Орбифолдный тип точек орбиобразия.

1.2.2. Свойства стратификации орбиобразия.

1.2.3. Примеры орбиобразий с указанием их стратификации

Глава 2. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ G-СТРУКТУР КОНЕЧНОГО ТИПА НА ОРБИОБРАЗИЯХ

2.1. Расслоенные пространства над орбиобразиями.

2.1.1. Определение расслоенного ^пространства над орбиоб-разием.•■.'.

2.1.2. Векторные расслоенные пространства и их сечения

2.1.3. Касательное векторное пространство к орбиобразию

2.2. G-структуры на орбиобразии.

2.2.1. Главное расслоенное пространство над орбиобразием

2.2.2. (^-структура.

2.2.3. Связность в главном G-расслоении.

2.3. Продолжение G-структур.

2.4. Группа автоморфизмов (^-структуры.

2.5. Влияние стратификации на размерность группы автоморфизмов G-структуры на орбиобразии.

Глава 3. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ РИМАНОВЫХ ОР-БИОБРАЗИЙ И ОРБИОБРАЗИЙ АФФИННОЙ СВЯЗ

НОСТИ

3.1. Группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности

3.1.1. Аффинные связности на орбиобразиях

3.1.2. Автоморфизмы орбиобразий аффинной связности

3.1.3. Накрытия орбиобразий

3.1.4. Влияние стратификации не размерность группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности

3.2. Группы изометрий римановых орбиобразий.

3.2.1. Римановы связности на орбиобразиях.

3.2.2. Топология в группе изометрий риманова орбиобразия

3.2.3. Аналог теоремы Бохнера.

3.2.4. Оценки размерности группы изометрий в зависимости от стратификации.

3.3. Группы аффинных преобразований римановых орбиобразий

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях»

Актуальность темы. Понятие орбиобразия введено И. Сатаки [72] иод названием V-многообразия. Сам термин орбиобразие предложен У. Тер-стоном [78].

Орбиобразия естественным образом появляются и используются в различных областях математики и теоретической физики: в теории струн [49, 16, 17], в симнлектической геометрии [57, 68], в деформационном квантовании [67].

Орбиобразия возникают в теории слоений в качестве "хороших" пространств слоев. Как доказано в [85], из существования собственного слоя с конечной группой голономии для трансверсально полного риманова слоения вытекает, что все слои этого слоения собственные, замкнутые, имеют конечные группы голономии, а пространство слоев является орбиобрази-ем. Известно [70], что это выполняется также в случае замкнутости всех слоев слоения на полном римановом многообразии с "bundle-like" метрикой. Верно и обратное [22], каждое орбиобразие является пространством слоев некоторого трансверсально полного риманова слоения с замкнутыми слоями. Известно также [21, 50], что компактное слоение имеет в качестве пространства слоев орбиобразие тогда и только тогда, когда оно локально стабильно.

У. Терстон [78] использовал двумерные орбиобразия при классификации трехмерных многообразий.

Гладкое орбиобразие является одним из естественных обобщений гладкого многообразия: в качестве модельного пространства берется не Rn, а фактор-пространство Ш.п по конечной группе диффеоморфизмов Г, при этом группа Г не является фиксированной и может меняться при переходе от одной окрестности орбиобразия к другой.

Гладкие орбиобразия образуют категорию, которая является подкатегорией категории А-пространств М.В. Лосика [26, 27].

Для гладкого орбиобразия естественным образом вводится понятие стратификации. Изоморфизм координатных окрестностей в категории орбиоб-разий соответствует эквивалентным действиям одной и той же группы Г на Rn. Мы говорим, что две точки орбиобразия имеют один орбифолд ный тин, если у них существуют изоморфные координатные окрестности. На множестве точек одного орбифолдного типа индуцируется структура гладкого, вообще говоря, несвязного многообразия. Стратификацией n-мерного орбиобразия Af называется его разбиение А (Л/*) = {А&} на А;-мерные, вообще говоря, несвязные подмногообразия где к принимает значения в множестве {0,1,. ,п}. При этом каждая компонента связности многообразия А^ образована точками одного орбифолдного типа. Таким образом, гладкие орбиобразия являются стратифицированными пространствами, причем указанная стратификация совпадает с известной стратификацией орбиобразия [66, 67, 74].

Поскольку страта максимальной размерности Ап n-мерного орбиобразия Я является связным открытым всюду плотным подмногообразием в JV и Я = Ап тогда и только тогда, когда N — многообразие, то орбиоб-разие можно рассматривать также как n-мерное многообразие с особенностями, где иод особенностями понимаются страты размерности < п.

Первой работой по римановой геометрии орбиобразий является статья И. Сатаки [73], где он распространил теорему Гаусса-Бонне на римановы орбиобразия. К. Ситон [74] обобщил теоремы Гаусса-Бонне и Пуанкаре-Хоифа на римановы орбиобразия с краем.

Римановой геометрии орбиобразий посвящены работы Ж. Борзели-но [43, 44], Ж. Борзелино и С. Жу [46]. Ж. Борзелино получил обобщения на орбиобразия некоторых результатов римановой геометрии многообразий. В частности, им доказано [44], что компактное n-мерное риманово орбиобразие с неотрицательной кривизной Риччи и первым числом Бетти bi(J\f) = п изометрично n-мерному плоскому тору.

Ж. Борзелино и В. Брансденом [45] показано, что топологическая структура гладкого компактного орбиобразия определяется его группой диффеоморфизмов.

Взаимосвязи между кривизнами римановых орбиобразий и их группами изометрий, а также влиянию стратификаций на размерности групп изометрий римановых орбиобразий и групп автоморфизмов орбиобразий аффинной связности посвящены статьи диссертанта и Н.И. Жуковой [4, 7, 11, 38], а также диссертанта [12, 13].

Согласно результату У. Терстона [78] (X, С)-орбиобразие, где G — группа вещественно-аналитических диффеоморфизмов вещественно-аналитического многообразия X, является хорошим. В [35] показано, в частности, что кокстеровы орбиобразия являются хорошими.

Группы автоморфизмов различных геометрических структур на многообразиях исследовались ван Данцигом (van D. Dantzig) и ван дер Вар-деном (van der B.L. Waerden), Ш. Эресманом (С. Ehresmann), А. Лихне-ровичем (A. Lichnerowicz), Д. Монтгомери (D. Montgomery), J1. Ципии-hom(L. Zippin), П. Либерманн (P. Libermann), Р. Пале (R. Palais), С. Бох-нером (S. Bochner), С. Стернбергом (S. Sternberg), К. Яно (К. Yano), Т. Нагано (Т. Nagano), Ш. Кобаяси (S. Kobayashi), Е. Ру (Е.А. Ruh), X. Ямабе (Н. Yamabe), Н. Танака (N. Tanaka), X. Чжу (Н. Chu) (см. обзоры [2, 3, 24, 25]).

Инфинитезимальным группам автоморфизмов римановых многообразий и многообразий аффинной связности, а также оценкам их размерностей посвящены работы И.П. Егорова [18, 19, 20]. Исследованию и классификации римановых пространств по группам проективных преобразований посвящены труды Г. Фубини [52], А.С. Солодовникова [29, 30, 31]. А.В. Аминовой и ее учениками решается проблема классификации лорен-цевых многообразий по алгебрам Ли проективных и аффинных преобразований [3].

Одной из центральных задач дифференциальной геометрии является вопрос о том, когда группа автоморфизмов геометрической структуры является группой Ли [23]. С. Майерс и Н. Стинрод [63] доказали, что группа всех изометрий риманова многообразия, наделенная компактно-открытой топологией, есть группа Ли. К. Номидзу [64] показал, что группы всех автоморфизмов полного многообразия аффинной связности является группой Ли. Позже Дж. Хано и А. Моримото [53] получили этот результат без предположения полноты аффинной связности. Теорема о том, что группа автоморфизмов G-структуры конечного типа на многообразии допускает структуру группы Ли, принадлежит Ш. Эресману [51]. Известно также, что группа изометрий n-мерного риманова многообразия имеет максимальную размерность п(п -+- 1)/2 только тогда, когда оно является одним из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: евклидово пространство Е"; сфера 5П; проективное пространство RPn; односвязное гиперболическое пространство ЕР, а размерность группы автоморфизмов n-мерного многообразия аффинной связности Л/" максимальна и равна п2 + п только тогда, когда N есть обычное n-мерное аффинное пространство А".

Исследованию групп автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях в зависимости от топологических свойств стратификаций орбиобразий посвящена данная диссертационная работа.

Одним из аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии является техника Бохнера, основанная на получении и использовании интегральных формул. Этот метод, нашел развитие и применение в работах А. Лихнеровича, К. Номидзу, Б.-Я. Чена (B.-Y. Chen), К. Яно, что отражено в обзорах [32,40, 65, 76, 79, 80] и монографиях [34, 75, 81, 83], а также в работах отечественных геометров Н.С. Синюкова, С.Е. Степанова [76, 77].

Интегральные формулы для орбиобразий применяется нами при получении аналогов указанных ниже теорем Бохнера и Яно для римановых орбиобразий.

Цель диссертационной работы — исследование взаимосвязи между кривизнами, стратификациями и размерностями групп автоморфизмов римановых орбиобразий и орбиобразий аффинной связности.

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной и глобальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, а также теории расслоенных пространств.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана теорема о том, что группа У(ЛГ) всех изометрий произвольного n-мерного риманова орбиобразия Л/", наделенная компактно-открытой топологией, является группой Ли преобразований N размерности dim 1{Я) < ^, причем равенство dimJ(A/") = возможно только в случае, когда N изометрично одному из следующих n-мерных римановых многообразий постоянной кривизны: а) евклидову пространству En; Ь) сфере Sn] с) проективному пространству RPn; d) односвязному гиперболическому пространству ЕР (теорема 3.2.1). «

2. Доказана теорема о конечности группы изометрий компактного ри-манова орбиобразия с неположительно определенным тензором Рич-чи, имеющего точку, в которой тензор Риччи отрицательно определен (аналог теоремы Бохнера) (теорема 3.2.2).

3. Найдены оценки размерности группы автоморфизмов n-мерного орбиобразия аффинной связности в следующих двух случаях: когда ор-биобразие допускает fc-мерную страту, и когда орбиобразие допускает незамкнутую fc-мерную страту, где к < п в обоих случаях, а также доказана точность полученных оценок (теорема 3.1.2, предложение 3.1.5). Таким образом показано как существование орбифолдных точек орбиобразия аффинной связности уменьшает размерность его группы автоморфизмов.

4. Доказана теорема о совпадении компонент связности единицы группы Ли 3(Л/") всех изометрий и группы Ли Л (Л/*) всех аффинных преобразований компактного риманова орбиобразия N (аналог теоремы Яно). С помощью этой теоремы получены оценки размерности группы аффинных преобразований собственного риманова орбиобразия, имеющего либо компактную компоненту связности страты, либо незамкнутую компоненту связности, замыкание которой компактно. Доказана точность полученных оценок (теорема 3.3.1, следствие 3.3.1, теорема 3.3.2, предложение 3.3.1).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использованы при исследовании геометрии орбиобразий, в теории слоений и расслоений, применены в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов-математиков.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались: на международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, ТГПУ, 2003); на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, МГУ, 2003); на международной конференции "Неевклидова геометрия в современной физике и математике" (Н. Новгород, ННГУ, 2004); на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2005); на международных летних школах-семинарах по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" (Казань, КГУ, 2003, 2004, 2005); дважды на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, КГУ, 2003, 2005).

По теме диссертации сделаны доклады: на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. доц. Н.И. Жукова и проф. Е.И. Яковлев); на семинаре кафедры теории статистических решений факультета ВМК ННГУ (сентябрь 2006 г., рук. проф. А.П. Колда-нов); а также на трех конференциях студентов и аспирантов механико-математического факультета ННГУ (2002, 2003, 2006). По результатам диссертации сделан доклад на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (май 2006 г., рук. нроф. Б.Н. Шапуков).

Исследования но теме диссертации вошли в научные проекты, поддержанные следующими грантами: грант Российского Фонда Фундаментальных Исследований (тема НИР "Слоения и расслоения со связностями и их приложения", науч. рук. Е.И. Яковлев, № 01-01-590-а); грант для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗов Министерства образования России (тема НИР "Группы автоморфизмов геометрических структур на орбиобразиях", науч. рук. Н.И. Жукова, № А03-2.8-480); ведомственная программа "Развитие научного потенциала высшей школы" (тема НИР "Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях", науч. рук. Н.И. Жукова, № 4603).

Публикации и вклад соискателя. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце введения.

Во всех совместных работах научному руководителю Н.И. Жуковой принадлежат постановки задач, руководство работой и идеи доказательств некоторых теорем.

В [4] доказательство теорем 1, 2 и 3 получено научным руководителем и диссертантом совместно. Кроме того, Н.И. Жуковой введены индуцированные группы автоморфизмов компонент связности страт орбиобразия, ею доказаны лемма 4 и теорема 5, А.В. Багаевым доказана теорема 4.

В [7] научному руководителю принадлежит доказательство предложения 2, диссертанту — доказательство предложения 1 и теоремы.

В [11] научным руководителем доказан^ теорема о том, что группа автоморфизмов орбиобразия аффинной связности является группой Ли, и утверждение о замыкании компонент связности страт. Диссертантом получены оценки размерностей групп автоморфизмов орбиобразий аффинной связности в зависимости от стратификации.

В [38] научным руководителем доказаны теоремы 1, 3, предложения 2, 4, 6, 7, 8, а соискателем — теоремы 2, 4 и предложения 1, 3, 5 и 9.

Теорема 5 из [4], а также доказательства теорем 1 и 3 из [38] не включены в диссертацию.

Результаты, анонсированные в тезисах совместных докладов [5]-[6], [8]-[10], [37], включенные в диссертацию, вошли в статьи [4, 7, 11, 38].

Все результаты, выносящиеся на защиту, получены лично А.В. Багаевым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и подразделы, списка литературы и включает в себя 10 рисунков. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы состоит из 85 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багаев, Андрей Владимирович, 2006 год

1. Алексеевский, Д.В. Инвариантная метрика / Д.В. Алексеевский // Математическая энциклопедия. - М. : Советская энциклопедия, 1985. - Т. 2. - С. 529-531.

2. Аминова, А.В. Группы преобразований римановых многообразий / А.В. Аминова // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. -М. : ВИНИТИ. 1990. - Т. 22. - С. 97-165.

3. Аминова, А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий / А.В. Аминова. М. : Янус-К, 2002. - 619 с.

4. Багаев, А.В. Группы автоморфизмов G-структур конечного типа на орбиобразиях / А.В. Багаев, Н.И. Жукова // Сиб. Мат. Журнал. -2003. Т. 44, № 2. - С. 263-278.

5. Багаев, А.В. Римановы орбиобразия с малыми группами изометрий / А.В. Багаев, Н.И. Жукова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества.- 2003. Т. 21. - С. 67-71.

6. Багаев, А.В. Стратификации и группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности / А.В. Багаев, Н.И. Жукова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань : Изд-во Казанского матем. общества. 2005. - Т. 31. т С. 18-20.

7. Багаев, А.В. Некоторые оценки размерностей групп аффинных преобразований римановых орбиобразий / Багаев А.В.; Нижегор. гос. ун-т. Н.Новгород, 2006. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.08.2006, № 1106- В2006.

8. Бредон, Г. Введение в теорию компактных групп преобразований / Г. Бредон. М. : Наука, 1980.

9. Винберг, Э.Б. Семинар но группам Ли и алгебраическим группам / Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. М. : УРСС, 1995.

10. Грин, М. Теория суперструн / М. Грин, Дж. Шварц, Э. М. Виттен.- М. : Наука, 1990. Т. 1.

11. Грин, М. Теория суперструн / М. Грин, Дж. Шварц, Э. М. Виттен.- М. : Наука, 1990. Т. 2.

12. Егоров, И.П. О римановых пространствах первых трех лакунарно-стей в геометрическом смысле / И.П; Егоров // ДАН СССР. 1963.- Т. 150, № 4. С. 730-732.

13. Егоров, И.П. Движения в пространствах аффинной связности / И.П. Егоров. Казань : КГУ, 1965.

14. Егоров, И.П. Автоморфизмы в обобщенных пространствах / И.П. Егоров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М. : ВИНИТИ. - 1980. - Т.10. - С. 147-191.

15. Жукова, Н.И. Слоения с локально стабильными слоями /Н.И. Жукова // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 7. - С. 21-31.

16. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. М. : Наука, 1986. - 224 с.

17. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М. : Наука, 1981. - Т. 1. - 344 с.

18. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М. : Наука, 1981. - Т. 2. - 416 с.

19. Лосик, М.В. О характеристических классах структур на многообразиях / М.В. Лосик // Функцион. анализ и его прил. 1987. - Т. 21, № 3. - С. 38-52.

20. Лосик, М.В. Некоторые методы теории категорий и гомологической алгебры в дифференциальной геометрии: автореф. дис. докт. ф.-м. наук: 01.01.04 / Лосик Марк Вольфс!вич. Казань, 1996. - 27 с.

21. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. М.: Мир, 1986. - 168 с.

22. Солодовников, А.С. Проективные преобразования римановых пространств / А.С.Солодовников // УМН. 1956. - Вып. 11. - С. 45-116.

23. Солодовников, А.С. Пространства с общими геодезическими / А.С.Солодовников // ДАН СССР. -1956. Т. 108, № 2. - С. 201-203.

24. Солодовников, А.С. Геодезические классы пространства V{K) / А.С.Солодовников // ДАН СССР. т 1956. Т. Ill, № 1. - С. 3336.

25. Степанов, С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и ло-ренцевой геометриях / С.Е. Степанов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. И, № 1. - С. 35-84.

26. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. М.: Мир, 1964.

27. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. М. : ИЛ, 1957.

28. Alekseevsky D. Reflection groups on riemannian manifolds / D. Alek-seevsky, A. Kriegl, M. Losik, P.W. Michor // Preprint. Austria, Wien : The International Erwin Schrodinger Institute for Mathematical Physics, Vol. 1331.

29. Arens, R. A topology for spaces of transformations / R. Arens // Ann. of Math. 1946. Vol. 47, № 3. - P. 480-495.