Топологическая классификация диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом модулей топологической сопряженности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Митрякова, Татьяна Михайловна

• Митрякова, Татьяна Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Митрякова, Татьяна Михайловна

Введение

Формулировка результатов

1 Необходимые сведения

1.1 Динамические факты.

1.2 Топологические факты.

2 Динамика диффеоморфизмов класса Ф

3 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф

3.1 Схема диффеоморфизма / £ Ф.

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф.

3.4 Критерий топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф*

4 Реализация диффеоморфизмов класса Ф

4.1 Связь динамики диффеоморфизма / £ Ф с его схемой

4.2 Абстрактная схема.

4.3 Связь рода поверхности со схемой заданного на ней диффеоморфизма

4.4 Теорема реализации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологическая классификация диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом модулей топологической сопряженности»

Предмет исследования. Диссертация посвящена топологической классификации негрубых диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на гладких замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях. Она охватывает исследования автора 2005 - 2011 годов.

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов на замкнутых гладких ориентируемых многообразиях размерности два.

История вопроса. Качественная теория динамических систем исходит из отношения эквивалентности, которое сохраняет разбиение фазового пространства на траектории в следующем смысле.

Два потока : X —» X, дь : X —» X (каскада / : X —> X, д : X —» X) называются топологически эквивалентными (сопряженными), если существует гомеоморфизм Н : X —» X, переводящий траектории одной системы в траектории другой с сохранением ориентации (такой, что д(Н(х)) = гомеоморфизм к при этом называется сопрягающим).

Непосредственная проверка топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем является, вообще говоря, невыполнимой задачей. Поэтому возникает актуальная проблема нахождения обозримых топологических инвариантов (некоторых объектов или свойств системы, сохраняющихся при топологической эквивалентности (сопряженности)) таких, что совпадение инвариантов двух систем гарантирует их эквивалентность (сопряженность). Нахождение топологических инвариантов является частью топологической классификации динамических систем, где под топологической классификацией некоторого класса G динамических систем понимается решение следующих задач:

• нахождение топологических инвариантов динамических систем из класса G\

• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем из G;

• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя, принадлежащего G.

К настоящему времени наиболее исчерпывающим образом задача топологической классификации решена для структурно устойчивых (грубых) потоков на поверхностях, а также для двумерных структурно устойчивых диффеоморфизмов с конечным неблуждающим множеством (диффеоморфизмов Морса-Смейла).

На плоскости и двумерной сфере задача топологической классификации грубых потоков (потоков Морса-Смейла) была полностью решена в работах Е. А. Леонтович и А. Г. Майера [45], [46] с помощью топологического инварианта, названного схемой потока. Фундаментом для этого явились идеи Пуанкаре-Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и J1. С. Понтря-гину [1]. В работе [58] М. М. Пейкшото ввел понятие структурной устойчивости динамических систем, обобщающее понятие грубости. В определении А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина дополнительно требовалось, чтобы при достаточной близости д к / {дь к /*) гомеоморфизм, осуществляющий сопряженность (эквивалентность) систем, был С°-близким к тождественному. М. М. Пейкшото предложил этого не делать. Теперь известно, что подмножества грубых и структурно устойчивых систем совпадают, хотя доказательство этого факта весьма нетривиально. В работах [59], [60] М. М. Пейкшото привел необходимые и достаточные условия структурной устойчивости потоков на замкнутых поверхностях.

Классификация структурно устойчивых потоков на поверхностях, отличных от двумерной сферы, получена в работах [59], [61] М. М. Пейкшото. Для таких потоков он нашел полный топологический инвариант, называемый теперь графом Пейкшото. Фактически, этот инвариант обобщает понятие схемы потока, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером для потоков на плоскости и сфере, и сводит проблему топологической классификации к решению комбинаторных задач.

Достигнутый прогресс в классификации структурно устойчивых потоков на поверхностях обусловлен тем, что эти потоки имеют конечное число гиперболических состояний равновесия и замкнутых гиперболических траекторий, которые вместе с сепаратрисами седловых состояний равновесия однозначно определяют разбиение несущей поверхности на траектории.

При переходе к потокам (каскадам) на многообразиях размерности большей двух (большей единицы) становится возможным существование гомоклинических пересечений инвариантных многообразий седловых периодических движений, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий. Первым, кто обнаружил сложную структуру множества траекторий, принадлежащих окрестности гомоклинической траектории, был А. Пуанкаре [68]. Затем Д. Биркгоф [19] исследовал двумерные сохраняющие площадь отображения и показал, что наличие гомоклинических пересечений влечет существование бесконечного множества периодических орбит. Принципиальным продвижением в этом направлении явилась работа Л. П. Шильникова, в которой дано полное описание множества всех траекторий, остающихся в некоторой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории потока па многообразии размерности большей двух. Из этого описания следует, в частности, наличие в выбранной окрестности счетного миожетва периодических траекторий [81], [82].

Первые феномены, пролившие свет на принципиальное отличие структурно устойчивых потоков (каскадов) на многообразиях размерности большей двух (большей единицы) от структурно устойчивых потоков на поверхностях, обнаруженные в работах [2], [73] Д.В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привели к выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества. Этой тема-татике посвящены работы таких математиков как Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, В.Н. Белых, В.З. Гринес, Ю.С. Ильяшенко, Л.М. Лерман, Ю.И. Неймарк, В.А. Плисс, Р.В. Плыкин, Е.А. Сатаев, Я.Г. Синай, A.M. Степин, А.Н. Шарковский, Л.П. Шильников, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Ж. Палис, Я. Песин, Р. Робинсон, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других (см., например, [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [18], [50], [66], [72], где содержится обширная библиография по данной тематике).

Первоначально, по аналогии с двумерной ситуацией, С. Смейл в 1960 году ([75]) выделил в качестве претендента на множество всех структурно устойчивых потоков на многообразиях размерности большей двух класс потоков с конечным множеством гиперболических состояний равновесия, замкнутых траекторий и трансверсальным пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий этих траекторий. Позже С. Смейлом и Ж. Палисом было доказано, что эти потоки действительно являются структурно устойчивыми, но уже в 1962 году сам же С. Смейл понял, что они не исчерпывают множества всех структурно устойчивых потоков. Однако, в силу важности таких потоков (в частности, для них имеют место неравенства Морса, установленные С. Смейлом в [75]), класс таких потоков подвергся весьма пристальному изучению, получив специальное название потоков Морса-Смейла. Чуть позже по аналогии с потоками был выделен класс дискретных динамических систем Морса-Смейла, для которых неблуждающее множество гиперболично и конечно, а устойчивые и неустойчивые многообразия различных периодических точек пересекаются трансверсально. Согласно работам [54], [57], потоки (каскады) на многообразиях размерности большей двух (большей единицы) являются грубыми, но не являются всюду плотными в пространстве всех динамических систем на рассматриваемом многообразии с С1-топологией, в отличие от двумерных потоков.

Хотя динамические системы Морса-Смейла не имеют гомокли-нических траекторий, блуждающее множество потока (диффеоморфизма) Морса-Смейла на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности, из-за наличия гетероклинических пересечений.

Так, В. С. Афраймович и Л. П. Шильников в [11] доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

Ж. Флейтас на языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков

Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источниковой и 2к, к > 2 седловых особых точек (см. [78]). Я. Л. Уманским в [77] найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. Л. Уманского является обобщением схемы динамической системы, введенной Б. А. Леонтович и А. Г. Майером. С. Ю. Пилюгин в [63] полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смейла на сфере размерности п > 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклиниче-ских пересечений. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.

Топологическая классификация грубых каскадов на окружности была получена А. Г. Майером в [47] и затем передоказапа независимо В. И. Арнольдом [9] и В. А. Плиссом [65].

Топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла в предположениях различной общности на двумерных многообразиях посвящены работы А. Н. Безденежных, В. 3. Грине-са, X. Бонатти, Р. Ланжевена, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, (см. [12]-[1б], [26], [27], [29], [34]).

Топологическая классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях получена А. Н. Безденежных и В. 3. Гринесом в работах [12], [14], [16]. Она основана на классификации периодических отображений поверхностей, полученной Ж. Нильсеном в [51] и топологической классификации потоков Морса-Смейла на поверхностях, полученной М.М. Пейкшото в [61].

В работе В. 3. Гринеса [34] показано, что в классе диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит полным топологическим инвариантом является различающий граф диффеоморфизма, аналогичный графу Пейкшото для потоков [61], оснащенный гетероклиническими подстановками, несущими информацию о геометрии пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек. Следует отметить также работу Р. Ланжевена [44], где предложен другой подход к нахождению топологических инвариантов таких диффеоморфизмов. Несмотря на то, что в работе [44] не были получены классификационные результаты, тем не менее, ее идеи оказались весьма плодотворными и нашли свое применение в классификации диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три.

Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях с бесконечным множеством гетероклинических орбит потребовала привлечения аппарата топологических цепей Маркова и следует из работы X. Бонатти и Р. Ланжевена [26], где найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Смейла на поверхностях, которые являются С1-структурно устойчивыми диффеоморфизмами. Ранее полный топологический инвариант был получен В.З. Гринесом [35] для структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей в предположении, что нетривиальные базисные множества являются одномерными (аттракторами и репеллерами), а число блуждающих гетероклинических орбит конечно. На трехмерных многообразиях топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла в предположениях различной общности получена в работах Хр. Бонатти, В.З. Гринеса, B.C. Медведева, Е. Пеку и О.В. Починки (см. [20], [22], [23], [24], [25]). Что касается диффеоморфизмов, заданных на многообразиях размерности большей, чем три, то В. 3. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев в работах [36], [37] получили полную топологическую классификацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности большей трех и удовлетворяющих условиям: множество неустойчивых сепаратрис одномерно и не содержит гетероклинических орбит. Полным топологическим ч Т

V 1 / ч у

Рис. 1: Диффеоморфизмы из окрестности каскада, имеющего точку касания устойчивого и неустойчивого многообразий инвариантом в этом случае является ориентированный граф диффеоморфизма, аналогичный графу Пейкшото.

Согласно работе Ш. Ньюхауса и Ж. Палиса [53], существует открытое множество дуг, которые начинаются в диффеоморфизме Морса-Смейла и имеют первую бифуркационную точку в диффеоморфизме с гетероклиническим касанием. В обзоре [10] описаны бифуркации систем, принадлежащих границе множества систем Морса-Смейла, которую можно разбить на две части: 1) системы с конечным множеством неблуждающих траекторий, содержащие либо негиперболические неподвижные точки или циклы, либо траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов, либо и те, и другие одновременно; 2) системы с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Очевидно, что нарушение условия трансверсальности гетероклинических пересечений седловых точек диффеоморфизма приводит к его негрубости (см. рис. 1). Более того, это приводит к возникновению непрерывных топологических инвариантов — модулей топологической сопряженности и, следовательно, к существованию континуума несопряженных диффеоморфизмов с изоморфными графами и одинаковой геометрией гетероклинического пересечения. Термин "модуль топологической сопряженности" был предложен в работах JI. П. Шильникова и С. В. Гонченко и соответствует термину "moduli of stability", который употребляется в западной литературе. Модули устойчивости, в частности, возникают для систем, лежащих на границе множества систем Морса-Смейла, имеющих конечное множество неблуждающих траекторий и содержащих траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (pi) циклов (см. 110]).

Первым, кто обратил внимание на существование модулей топологической сопряженности, был Ж. Палис [55]. Он обнаружил существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой. Такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. А именно, если / -такой диффеоморфизм (класса Сг, г > 2), имеющий две гиперболические седловые неподвижные точки сг\ и с собственными значениями Qi, fii такими, что [Qi\ < 1 < \{ii\, г = 1,2; кроме того имеет одностороннее касание с в точках некоторой гетероклинической траектории, то параметр

In M является модулем топологической сопряженности, в том смысле, что если / и /' - два двумерных диффеоморфизма с гетероклипически-ми касаниями, то / и /' могут быть сопряжены только в том случае, когда ь|е2| = Нзг! 1п|^1| 1п|/4Г

Весьма интересно отметить тот факт, что П-модули, то есть модули топологической эквивалентности (сопряженности) на множестве неблуждающих траекторий, были открыты раньше, чем само понятие модуля вошло в динамику. Так, в работе Н. К. Гаврилова и Л. П. Шильникова [30], был введен параметр а МА| 1п|7| для двумерных диффеоморфизмов с (квадратичным) гомоклиниче-ским касанием к седловой неподвижной точке о с мультипликаторами А и 7, где 0 < |А| < 1 < |7[. При этом, в [30] было показано, что при изменении значений в в классе систем, где касание сохраняется, могут быть плотны значения в, отвечающие бифуркациям периодических траекторий (то есть "непрерывно" меняется структура множества неблуждающих траекторий). Систематическое изучение П-модулей было начато в работах [31], [32], [33], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями.

Из выше сказанного, в частности, следует, что в любой С1-окрестности диффеоморфизма поверхности, допускающего гетеро-клиническое касание, имеется континуум топологически несопряженных диффеоморфизмов. Если в некоторой окрестности диффеоморфизма / множество классов эквивалентности возможно описать с помощью конечного числа параметров, то говорят что диффеоморфизм / имеет, конечное число модулей топологической сопряэюен-ности. Минимально возможное число таких параметров называют числом модулей топологической сопряженности (модальностью) диффеоморфизма f.

Более строгое определение модулей топологической сопряженности было дано в работах С. В. Гонченко. Именно, пусть х — топологическое пространство с заданным на нем отношением эквивалентности И. Предположим, что определен непрерывный локально непостоянный функционал /г : х ~> Непрерывный функционал /г : х —> К. называется локально непостоянным, если в любой окрестности любой точки х е % существует точка х € х такая, что к{х) ф К{х). Будем называть функционал к — модулем Я-жвивалентности, если из неравенства Н{х\) Ф /г(х2) следует, что х\ и ж2 не эквивалентны. В этом случае говорят, что х € х имеет модуль. Будем говорить, что х имеет (по крайней мере) т модулей, если на х определены т независимых модулей. Независимость системы модулей 1ц,., 1гт можно понимать, например, в следующем смысле: для любых х € х и ^ £ {1,., га} в любой окрестности точки х существует х Е х такая, что Н^х) = /г;(¿с) для всех 1 / г и /¿¿(ж) ф 1ц(х). Говорят, что х имеет бесконечно много модулей, если х имеет га модулей для любого заданного т. В противном случае, х имеет конечное число модулей.

Существенным продвижением явилась работа В. ди Мелу, С. Ж. ван Стрина [49], в которой были найдены необходимые и достаточные условия того, что диффеоморфизм ориентируемой поверхности имеет конечное число модулей топологической сопряженности, описывающих все классы топологической сопряженности, принадлежащие некоторой окрестности такого диффеоморфизма.

В диссертации решается проблема топологической классификации "далеких" систем с конечным числом модулей топологической сопряженности, неблуждающее множество которых конечно и гиперболично, а блуждающее множество содержит конечное число орбит одностороннего гетероклинического касания. Для описания глобальной динамики диффеоморфизмов, рассматриваемых в диссертации, развиваются геометрические идеи работ [20], [22], [23], [24],

25], а также идеи работ [48], [49], [55] для введения локальных инвариантов типа модулей.

В диссертации выделен важный класс Ф сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов / € Бг//г(М2), г > 5, заданных на гладком двумерном замкнутом ориентируемом многообразии М2 и удовлетворяющих следующим условиям:

1) неблуждающее множество П/ состоит из конечного числа неподвижных гиперболических точек и собственные значения Хр, цр любой седловой точки р 6 П/ удовлетворяют условиям 0 < Хр < 1 < }1Р и ■ ц™ ф 1, п,т € {1,2};

2) если (Шр ф 0 для седловых точек р, д е £7/, то "р Ф Я. и для любого седла г € П/ (включая р ид) (Ип = 0 и (И^ \ д) П (И^ \ г) = 0;

3) блуждающее множество / содержит конечное число орбит гетероклинического касания и не существует седловых точек р, д € таких, что все четыре компоненты связности множеств И и IVц \ q содержат точки одностороннего гетероклиничеекого касания инвариантных многообразий И^ и И^".

Цель работы состоит в полной топологической классификации диффеоморфизмов из множества Ф. В диссертации получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из Ф, и в каждом классе топологической сопряженности диффеоморфизмов построен стандартный представитель. Полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов из множества Ф является схема диффеоморфизма, представляющая собой набор геометрических инвариантов и числовых характеристик (модулей топологической сопряженности), связанных с наличием ге-тероклинических касаний.

Методы исследования. Используются топологические и геометрические методы исследования глобальных свойств и аналитические методы изучения локальных свойств динамических систем па многообразиях.

Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — отысканию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий диффеоморфизмов на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности два и применению этих инвариантов к решению проблемы топологической классификации.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы.

1) Установлено, что динамика любого диффеоморфизма из множества Ф представляется в виде источник-сток, где источником (стоком) является репеллер Rf (аттрактор А/) состоящий из источников (стоков) и устойчивых (неустойчивых) многообразий, не содержащих гетероклинических орбит, седловых точек. л

2) Установлено, что пространство орбит Т/ действия диффеоморфизма / Е Ф на дополнении несущей поверхности до множества А /и Rf состоит из конечного числа копий двумерного тора. При этом многообразие Т/ содержит подмножества Гр Г у, состоящие из конечного числа замнутых кривых, являющихся пространствами подмножеств орбит, принадлежащих неустойчивым и устойчивым сепаратрисам седловых неподвижных точек соответственно. Эти кривые пересекаются (касаются) по конечному множеству точек, соответствующих орбитам гетероклинического пересечения (касания).

3) Каждому диффеоморфизму / £ I поставлен в соответствие топологический инвариант, названный схемой диффеоморфизма и представляющий собой комбинацию геометрической составляющей Т/, Гр Г^ с набором числовых параметров — модулей топологической сопряженности, связанных с описанием орбит одностороннего гетероклинического касания.

4) Установлена взаимосвязь между геометрической составляющей схемы диффеоморфизма и родом несущей поверхности.

5) На языке эквивалентности схем диффеоморфизмов сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов из множества Ф.

6) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Ф: a) введено понятие абстрактной схемы; b) для любой абстрактной схемы построен диффеоморфизм / £ Ф, схема которого эквивалентна данной абстрактной схеме.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании двумерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений и потоков на трехмерных многообразиях, имеющих секущую размерности п ~ 2.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях: па международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2010, 2008, 2006); на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва 2008); на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва 2007); на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск 2006, 2005); на международной конференции "Тихонов-100" (Москва 2006); на международной конференции "Динамика, бифуркация и хаос" (Н. Новгород 2005).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады: на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011 г., заведующий отделом академик Д. В. Аносов); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2010 г., руководитель проф. А.Д. Морозов); на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2009 г., руководитель проф. Л.П. Шильников); на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2008 - 2011 гг., руководитель проф. М.И. Сумин); на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии (2005-2011 гг., руководитель проф. В.З. Гринес); на научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (2007 г., Н. Новгород).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 19 работ, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации (см. список литературы). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В.З. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, О.В. Починка являлась консультантом по топологическим вопросам.

Структура диссертации: оглавление, введение, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем диссертации: стр. 126, рис. 15, наименований литературы 102. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 2.1, 2.2, 3.1, 3.2 и 4.1.

Формулировка результатов

Диссертация посвящена топологической классификации множества Ф негрубых диффеоморфизмов, заданных на поверхностях и имеющих конечное число модулей топологической сопряженности. В работе получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов рассматриваемого класса, а также решен вопрос построения стандартного представителя в каждом классе топологической сопряженности множества Ф.

Пусть / : М2 —> М2 — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, заданный на гладком двумерном замкнутом ориентируемом многообразии М2 рода д > 0.

В диссертации рассматривается класс Ф сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов / £ 1}г//г(М2), г > 5, удовлетворяющих следующим условиям:

1) неблуждающее множество состоит из конечного числа неподвижных гиперболических точек и собственные значения Лр, ¡1Р любой седловой точки р £ О,/ удовлетворяют условиям 0 < Хр < 1 < ¡1Р и А£ • /г™ ф 1, п,т £ {1, 2};

2) если (И^\р)п(И^\д) ф 0 для седловых точекр, д £ Г2/, тор Ф ц и для любого седла г £ О/ (включая р и д) (И/г5\г)п(И^\р) = 0

3) блуждающее множество / содержит конечное число орбит гетероклинического касания и не существует седловых точек р, д £ Лf таких, что все четыре компоненты связности множеств Wps\p и \ д содержат точки одностороннего гетероклинического касания инвариантных многообразий и УУ™.

В главе 1 приводятся основополагающие определения и факты, необходимые для изложения и понимания последующего материала.

В главе 2 описывается динамика диффеоморфизмов класса Ф.

За счет нарушения условия трансверсальности гетероклиниче-ских пересечений инвариантных многообразий седловых неподвижных точек, диффеоморфизмы класса Ф не являются структурно устойчивыми, но имеет место следующий факт. Предложение 2.1 Любой диффеоморфизм / е Ф является устойчивым.

Динамические свойства диффеоморфизмов из класса Ф во многом определяются свойствами вложения и взаимного расположения инвариантных многообразий неподвижных точек. Особую роль в этих вопросах играет исследование асимптотических свойств инвариантных многообразий седловых неподвижных точек. Теорема 2.1 Пусть / £ Ф. Тогда:

1) м2 = и Щ1; (*) рбП/

2) является гладким подмногообразием многообразия М2 для каждой точки р € П/ и сопряжено с сохраняющим ориентацию линейным растяжением;

3) сЩ) с и И? для любой неустойчивой геП/^пИ^Й сепаратрисы неподвижной точки р е О./, в частности, если £р не имеет гетероклинических пересечений для седловой точки р, то с1(£р) \ (^"и р) — {а;}, где ш — стоковая точка.

Упорядочим неподвижные точки р\,р2, ■ ■ - ,Рк} диффеоморфизма / следующим образом: сначала точки множества Д^ стоков диффеоморфизма /, затем точки множества Щ седловых точек диф-феоморфртзма /, неустойчивые многообразия которых не содержат точек гетероклинического пересечения, затем точки множества седловых точек диффеоморфизма /, неустойчивые многообразия которых содержат точки гетероклинического пересечения и далее точки множества Д^ источников. Так как диффеоморфизм / е Ф является Г2-устойчивым, то на множестве Q,f определено отношение С. Смейла -<: Р{ -< V] И^. п Ш™. ф 0. Заметим, что введенный на множестве неподвижных точек порядок согласуется с отношением -<(, то есть если р1 -< р^ то г < '].

Для каждой неподвижной точки р^ г = 1,. положим = \У1 и ИТ4 = И'".

Рг * РI

Для г = 1,., к/ — 1 положим г

Д = ии7, 0 У/1 У1 = М2\(А1 =

7=1 ^'=г+1

Здесь К* — пространство орбит действия диффеоморфизма / на множестве У{. Обозначим через р1 : У^ —> У — естественную проекцию.

Теорема 2.2

Пусть / е Ф. Тогда

1) множество А{ является аттрактором диффеоморфизма f г и имеет захватывающую окрестность с и У/- такую, что

7=1

М{ \ пй /(Мг-) является фундаментальной областью ограничения диффеоморфизма / на У{]

2) проекция р1 : У\ —Ц является накрытием, индуцирующим структуру гладкого замкнутого 2-многообразия на пространстве орбит У{ и отобраоюение щ, состоящее из эпиморфизмов г). : 7Г1(г?г-) —> Ъ на каждой компоненте связности щ многообразия У,; л

3) многообразие У^ состоит из конечного числа компонент связности, каждая из которых гомеоморфна двумерному тору.

Обозначим через к^ т^ га" и к™ — число точек в множествах Др Ер Еу и Д", соответственно.

Положим А} = Ац+т*{, Я/ = Яц+тп-}, М/ = и Т> =

Согласно теореме 2.2, множества А/ и Я/ являются аттрактором и репеллером, соответственно, множество Л4/ является двумерным многообразием и состоит из конечного числа компонент связности. Пространство орбит Т/ действия диффеоморфизма / на множестве Л4/ состоит из конечного числа копий двумерного тора, а естественная проекция р} \ Л4/ Tf является накрытием, индуцирующим отображение , составленное из эпиморфизмов в группу Z, действующих на фундаментальных группах торов множества Т/.

В главе 3 вводится понятие схемы диффеоморфизма, которая является полным топологическим инвариантом диффеоморфизмов рассматриваемого в диссертации класса.

Пусть 8 £ {и, б}. Для любой сед повой точки а5 € Е^ положим 1аь — \ По построению, %5 является парой гладких непересекающихся узлов (диффеоморфных образов окружности) на многобразии Т/, таких, что г)1 [с] — 1 для каждого узла с из множества Т/. Положим Г^ = и 7^«, Г/ = Г^иГу. Из условий, наложенных на рассматриваемый класс Ф, следует, что каждое из множеств Гр Гу- является объединением непересекающихся пар узлов, а пересечение Г^ П Г^ состоит из конечного числа точек.

Введенные объекты Т/, Г/ и г]} являются геометрической составляющей схемы диффеоморфизма /. Аналитическая составляющая схемы связана с точками одностороннего касания множеств Гу и Г^ и опирается на существование линеаризующей окрестности седло-вой точки.

Для 0 < А < 1 и ^ > 1 обозначим через : М2 —> М2 — линейный диффеоморфизм, заданный формулой

А(х,у) = {¡IX, Ху).

Положим

Определение 3.1. f-инвариантную окрестность иа точки <7 £ Е/ назовем С2-линеаризующей, если существует С2-диффеоморфизм фа : 11а и^^, сопрягающий диффеоморфизм /к с диффеоморфизмом

Предложение 3.1 У любой седловой точки а диффеоморфизма / е Ф существует линеаризующая окрестность.

Обозначим через А множество точек одностороннего гетерокли-нического касания диффеоморфизма /. Для любой точки а £ А обозначим через о5а € Е6 Е" седловые точки такие, что а € П Из условия 3) определения класса Ф следует, что все точки одностороннего касания из множества И^, п принадлежат не более чем трем компонентам связности множества (И7^ \ &1) и (УУ^и \ а"). Если в точности одна сепаратриса множества {у/** \ (7ц) и {уУ^и \ с") не содержит точек одностороннего касания, то обозначим через £а парную к ней сепаратрису (принадлежащую тому же инвариантному многообразию). Если в множестве (И^ \ &1) и (И^ \ <Тд) две сепаратрисы не содержат точек одностороннего касания, то через £а обозначим устойчивую сепаратрису, участвующую в гетероклиническом касании. Обозначим через 1а — промежуток [а, f{a)) С 1а- Пусть \ха = Аа = \аи и е =

1пАа'

Обозначим через 11а компоненту связности множества иа* п Ц содержащую точку а. Для любой точки г Е 11а положим г8 = фа*(г) = {гьх, г'1) и г11 = фаи(г) = Положим да = фаи о

Ф<т3а\иа)~1 '■ Фа*(иа) —> Фа%(иа) и запишем отображение в координатном виде 00(я, 3/) = (6а(ж,у),77а(ж,г/)). Положим а = !*<"•> = Цм

Положим На = (int Ia) п Л П n W%u. Если Ha ф 0, то пронумеруем точки множества На согласно ориентации на 1а от точки a: 1

In ца для всех а к точке f(a): а\,., ата и введем параметр тга = ^ г — 1,., пга. Для любой точки а 6 Л определим набор параметров с { (©а, Та\ т1., т™«), если Наф% \ 0а, если #а = 0.

В лемме 3.4 доказано, что для любой точки а £ Л набор параметров Са не зависит от выбора линеаризующих окрестностей седловых точек а®, <Тд диффеоморфизма /.

Пусть 5 £ {и, з}. Положим А = р1(Л) и заметим, что множества Г у- и Г ^ касаются вдоль Л. Для а € Л выберем любую точку а 6 (а) и положим Са = Са. В предложении 3.4 доказано, что набор параметров Са не зависит от выбора точки в множестве р~1(а), поэтому определен корректно. Положим

С; = {Са,асА}.

Определение 3.2. Набор 5/ = (Т/, гу/5 Г/, С/) назовем схемой диффеоморфизма /€Ф.

Определение 3.3. Схемы 5/ = (Т/, ту/5 Г/, С/) и =

Тр,г]}ПГ/>, С//) диффеоморфизмов f7f, € Ф; соответственно, назовем эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм ф : Т/ —> Т// такой, что:

1) = ъ;

2) ф(Ц) = Г^,, причем ф(= где а5 еЦ и а'5 е

3,) Са = С^) для Са € С/.

Равенство Са = С^а) в условии 3) определения 3.3 эквивалентности схем диффеоморфизмов достаточно проверить хотя бы для одной точки одностороннего касания в каждой паре касающихся узлов.

Заметим, что класс Ф содержит все диффеоморфизмы Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит. Для диффеоморфизмов Морса-Смейла множество Су является пустым, а условие эквивалентности схем равносильно условиям, полученным В.З. Гринесом [34] в 1993 году для диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит.

Основными результатами главы 3 являются следующие теоремы. Теорема 3.1 Если схемы диффеоморфизмов /, /' £ Ф эквивалентны, то диффеоморфизмы топологически сопряжены.

Обозначим через Ф* множество диффеоморфизмов / £ Ф таких, что отношение ©а является иррациональным числом для любого а £ Л. Тогда для диффеоморфизмов из класса Ф* теорема 3.1 усиливается следующим образом. Теорема 3.2

Диффеоморфизмы /, f £ Ф* топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.

Глава 4 посвящена построению по абстрактной схеме диффеоморфизма из класса Ф. Для этого описывается структура схемы диффеоморфизма / £ Ф следующей леммой. Лемма 4.1 Пусть Sf — схема диффеоморфизма / £ Ф. Тогда ч А

1) пересечение Г) Г^ ф 0 для каждого £ Гр

2) если мноэюество п содержит точки одностороннего касания, то все они принадлежат не более чем трем узлам из множества и

3) если На ф 0; то для каждой точки ai,., am¡x £ На имеют ri+l J место равенства: т1, — i = 1,. ,ma — 1 и т!?а = е«^ ■ -f^-. k Tak-1 л k Tak-1

4) мноэюество, полученное из многообразия Tf отождествлением узлов в каждой паре множества Г/ является связным.

Отталкиваясь от свойств схемы диффеоморфизма, вводится понятие абстрактной схемы.

Пусть b : Е2 —> IR2 — линейный диффеоморфизм, заданный формулой Ь{х,у) = (§,§)• Тогда, пространство орбит Т2 = (М2 \ 0)ь действия диффеоморфизма 6 на М2 \ О является стандартным двумерным тором и естественная проекция рт : М2 \ О —> Т2 является накрытием по предложению 1.1. Обозначим через г)т : 7Г1(Т2) —> Ъ — эпиморфизм, сооветствующий накрытию рт. Везде в дальнейшем будем рассматривать такие ориентированные узлы £ на ТГ2. для которых г)т{[£\) = 1. к

Пусть Т = и Т2 — объединение к е N непересекающихся копий

1=1 стандартного двумерного тора. Для 5 £ {и, 5} и га5 > 0 обозначим через Г* подмножество многообразия Т, которое для тп° — О является пустым, и для т5 > 0 состоит из попарно непересекающихся подмножеств 71,72, •• •,, каждое из которых состоит из пары непересекающихся гладких узлов, которые мы будем называть парными. Положим Г = Г" и Р и потребуем, что пересечение Г" П Гя состоит из конечного числа точек, каждая из которых является либо точкой трансверсального пересечения, либо точкой А касания. Пусть Л — множество точек одностороннего касания, при

Л А А надлежащих Г" П и для каждой точки а £ Л обозначим через 7^ и 7| пары узлов таких, что а £ 7а пТа- Потребуем, чтобы для любой точки а £ А существовал узел, принадлежащий хотя бы одному из множеств 7^, 7|, который не содержит точек одностороннего касания, принадлежащих множеству 7^П7|. Если такой узел в точности один, то обозначим через £& парный к нему узел. Если таких узлов А два, то через £& обозначим узел пары 7?, участвующий в гетерокли-ническом касании. Каждой точке а £ Л поставим в соответствие набор параметров С& по следующему правилу:

1) если множество 7^ П 7? содержит в точности одну точку а одностороннего касания, то Са = ©а, где ©а — действительное отрицательное число;

2) если множество 7^П7! содержит более одной точки одностороннего касания а, ах,., ата, которые пронумерованы согласно ориентации на узле 4, то Са = (0а, г], т|,., т™а), где ©а < 0, а т? > О для всех г = 1,гаа.

Положим С = и С а. а€л

Определение 4.1 Набор 5 = (Т, Г, С) назовем абстрактной схемой, если выполняются следующие условия:

1) пересечение 7* П Ги ф 0 для каждого у- € Г5/

2) если множество П 7| ф 0; то для любой точки а £ А существует узел, принадлео1сащий хотя бы одному из множеств %, не содержащий точек одностороннего касания из множества 7а П 71;

3) если множество 7? п 7? содержит более одной точки одного1 стороннего касания, то 6Й = &ак и т1~ = г € {1,., тпа — 1}; к 4-1

4) множество, полученное из многообразия Т отождествлением узлов в каждой паре 7^ множества Г является связным.

Раздел 4.4 посвящен построению диффеоморфизма / € Ф по абстрактной схеме. Для реализации абстрактной схемы диффеоморфизмом класса Ф нам понадобится следующая операция.

Пусть 7 — пара замкнутых кривых на объединение торов Т и V (7) с Т — трубчатая окрестность узлов 7, которую будем отождествлять с множеством §ö х S1 х D1. Определим диффеоморфизм ¡1 : dV(j) —> §° х S1 х формулой /¿(ж, у, z) = (z,y,x). Положим Ц = (Т \ int V(7)) IJ (S° x S1 x D1) и будем говорить, что

А А пространство I'у получено перестройкой многообразия Т вдоль 7. Заметим, что пространство Т\ является дизъюнктным объединением к 4-1 копий стандартных двумерных торов в случае, когда узлы пары 7 лежат на одной компоненте связности множества Т, и дизъюнктным объединением к — 1 копий стандартных двумерных торов в случае, когда узлы пары 7 лежат на разных компонентах связности множества Т.

Введенная операция естественным образом обобщается до пере

А А стройки многообразия Т вдоль множества 5, состоящего из конечного числа попарно непересекающихся пар замкнутых кривых. Будем обозначать через пространство, полученное перестройкой многообразия Т вдоль В. Заметим, что пространство Тд является дизъюнктным объединением конечного числа копий стандартных двумерных торов.

Для абстрактной схемы Б = (Т, Г, С) обозначим через ки( кв) количество торов в множестве Три (Тр3), полученных в результате перестройки на многообразии Т вдоль множества Г" (Гв), состоящего из га" (гав) пар узлов. Положим га = т11 + гпи и к = ки кв.

Имеет место следующая теорема. Теорема 4.1 Для каждой абстрактной схемы £ на поверхности рода д — 2~к+т существует диффеоморфизм / е Ф с к узловыми и т седловыми точками, схема которого эквивалентна ¿>.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Митрякова, Татьяна Михайловна

Заключение

В диссертации исследована актуальная задача топологической классификации негрубых диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на гладких замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях.

Для рассмотренного в диссертации класса Ф диффеоморфизмов удалось найти полную систему топологических инвариантов. Привлеченные для исследования методы качественной теории динамических систем, топологии и геометрии могут быть использованы в дальнейшем для анализа более общего класса негрубых диффеоморфизмов на двумерных многообразиях и многообразиях более высокой размерности.

Работа носит теоретический характер, целью которой являлась полная топологическая классификация диффеоморфизмов из класса Ф.

Основные научные результаты являются новыми и заключаются в следующем.

1) Установлено, что динамика любого диффеоморфизма из множества Ф представляется в виде источник-сток, где источником (стоком) является репеллер Я/ (аттрактор А/) состоящий из источников (стоков) и устойчивых (неустойчивых) многообразий, не содержащих гетероклинических орбит, седловых точек.

2) Установлено, что пространство орбит Т/ действия диффеоморфизма / е Ф на дополнении несущей поверхности до множества AfURf состоит из конечного числа копий двумерного тора. При этом многообразие Г/ содержит подмножества Г^, 14, состоящие из коночного числа замнутых кривых, являющихся пространствами подмножеств орбит, принадлежащих неустойчивым и устойчивым сепаратрисам седловых неподвижных точек соответственно. Эти кривые пересекаются (касаются) по конечному множеству точек, соответствующих орбитам гетероклинического пересечения (касания).

3) Каждому диффеоморфизму / £ Ф поставлен в соответствие топологический инвариант, названный схемой диффеоморфизма и представляющий собой комбинацию геометрической составляющей 2/, Г", Г^ с набором числовых параметров — модулей топологической сопряженности, связанных с описанием орбит одностороннего гетероклинического касания.

4) Установлена взаимосвязь между геометрической составляющей схемы диффеоморфизма и родом несущей поверхности.

5) На языке эквивалентности схем диффеоморфизмов сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов из множества Ф.

6) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Ф: a) введено понятие абстрактной схемы; b) для любой абстрактной схемы построен диффеоморфизм / е Ф, схема которого эквивалентна данной абстрактной схеме.

Полученные в диссертации результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании двумерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений и потоков на трехмерных многообразиях, имеющих секущую размерности п = 2 и использованы специалистами МИ РАН им. В.А. Стеклова, МГУ, ЛГУ, ННГУ и др.

Диссертация является существенным продвижением в направлении глобальной классификации негрубых диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности два.

Всего по теме диссертации опубликовано 19 работ, при этом основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми и принадлежат автору.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Митрякова, Татьяна Михайловна, 2011 год

1. Андронов А. А., Понтрягин JL С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. - Т. 14, № 5. - С. 247-250.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1967. - Т. 90. - С. 1-210.

3. Аносов Д. В. Исходные понятия. Глава 1 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - I. ВИНИТИ АН СССР. - 1985. - С. 151-178.

4. Аносов Д. В. Элементарная теория. Глава 2 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - I. ВИНИТИ АН СССР. - 1985. - С. 178-204.

5. Anosov D. V. Flows on closed surfaces and behavior of trajectories lifted to the universal covering plane // Journal of dynamical and control systems. 1995. - V. 1, № 1. - C. 125-138.

6. Аносов Д. В., Солодов В. В. Гиперболические множества. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 9 (под ред. Д. В. Аносова). - 1991. - Т. 66. - С. 12-99.

7. Арансон С. X., Гринес В. 3. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных поверхностях // Успехи Мат. Наук. 1990. - Т. 45, № 4. - С. 3-32. Английский перевод в Российской Мат. Серии - 1990. - № 4.]

8. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Отображение окружности на себя // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1961. - Т. 25. - С. 2186.

9. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильни-ков J1. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ РАН. 1986. - Т. 5. - 283 с.

10. Афраймович В. С., Шильников J1. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла // Труды ММО. 1973. - Т. 28. - С. 181214.

11. Безденежных A. H., Гринес В. 3. Диффеоморфизмы с ориентируемыми гетероклиническими множествами на двумерных мно-гобразиях // Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. науч. тр. под ред. Н. Ф. Отрокова, Горький, ГГУ. 1985. -С. 111-112.

12. Белицкий Г. P. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979. 174 с.

13. Белых В. Н. Хаотические странные атракторы двумерных отображений // Матем. сб. 1995. - Т. 185., № 3. - С. 3-18.

14. Birkhoff G. On the periodic motions of dynamics // Acta math. -1927. V. 50. - P. 359-379.

15. Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariants for gradientlike diffeomorphisms of the sphere S3 // Journal of Dynamical and Control Systems, Plenum Press, New York and London. 2000. -V. 6., № 4. - P. 579-602.

16. Bonatti Ch., Grines V., Langevin R. Dynamical system in dimension 2 and 3: conjugacy invariants and classification // Computational and Applied Mathematics. 2001. - V. 20., № 12.- P. 11-50.

17. Бонатти X., Гринес В. 3., Медведев В. С., Пеку Э. О диффеоморфизмах Морса-Смейла без гетероклинических кривых на три-многообразиях // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2002. - Т. 236. - С. 58-69.

18. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Three-manifolds admitting Morse-Smale diffeomorfisms without heteroclinic curves // Topology and its Applications. 2002. - V. 111. - C. 335-344.

19. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds // Topology. 2004. - V. 43. - C. 369-391.

20. Бонатти X., Гринес В. 3., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2005. - Т. 250. - С. 5-53.

21. Bonatti Ch., Langevin R. Difféomorphismes de Smale des surfaces. Astérisque № 250, société mathématique de France, Paris. 1998.

22. Боревич E. A. Условия топологической эквивалентности двумерных диффеоморфизмов Морса-Смейла // Дифференц. уравнения. 1981. - № 6. - С. 1481-1482.

23. Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию М.:Наука, Физматлит, 1995 - 416 с.

24. Власенко И. Ю. Полный инвариант диффеоморфизма Морса—Смейла на двумерных многообразиях // Некоторые вопросы современной математики под ред. В. В. Шарко. Киев, Ин-т математики НАНУ, 1998. - Т. 25 - С. 60-93.

25. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой //I) Матем. сб. 1972. - № 4. - С. 475-492; II) Матем. сб. -1973. - № 1. - С. 139-157.

26. Гонченко С. В. Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей)- В кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций", Горький. 1989. - С. 34-49.

27. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Инварианты сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журн. 1990. - № 2. - С. 153-159.

28. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Изв. Росс. Акад. Наук. -Серия матем. 1992. - № 6. - С. 1165-1196.

29. Гринес В. 3. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических траекторий на поверхностях // Мат. заметки. 1993. - Т. 54., № 3.- С. 3-17.

30. Гринес В. 3. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномернымиаттракторами и репеллерами // Матем. сб. 1997. - Т. 188, № 4. - С. 57-94.

31. Гринес В. 3., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех // Труды Математического Института им. В.А. Стеклова. 2008. - Т. 261. - С. 61-86.

32. Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве // Матем. сб. 1962. -Т. 58, № 1. - С. 77-94.

33. Katok A., Hasselblatt В. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Math, and its Appl. Cambridge Univ. Press. 1995. - V. 54.

34. Каток А. В., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. - 768 с.

35. Келдыш JI. В. Топологические вложения в евклидово пространство. М.: Наука, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 81. 1966.

36. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983. - 302 с.

37. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 496 с.

38. Langevin R. Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Mors-Smale D'une surface // Ann. Ins. Fourier, Grenoble. 1993. -V. 43., № 1. - P. 265-278.

39. Леонтович E. А., Майер А. г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Докл. АН СССР. 1937. - Т. 14., № 5. - С. 251-257.

40. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. АН СССР.- 1955. Т. 103., № 4. - С. 557-560.

41. Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Уч. Зап. ГГУ. Горький, Изд-во ГГУ. Вып. 12. 1939. - С. 215229.

42. Melo W. Moduli of stability of two-dimensional diffeomorphisms // Topology. 1980. - V. 19. - P. 9-21.

43. Melo W., Strien S. J. Diffeomorphisms on surfaces with a finite namber of moduli // Ergod. Th. and Dynam. Sys. 1987. - V. 7. -P. 415-462.

44. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

45. Nielsen J. Die Structure periodisher Transformation von Flachen // Det. Kgl. Dansk Videnskaternes Selskab. Math.-Phys. Meddelerser.- 1937. V. 15.

46. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Наука, 1975. - 304 с.

47. Newhouse S., Palis J. Bifurcations of Morse-Smale dynamical systems. Dynamical systems (edited by M. Peixoto). Academic Press, New York, 1973.

48. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. -V. 8., № 4. - P. 385-404.

49. Palis J. A differentiable invariant of topological conjugacies and moduli of stability // Asterisque. 1978. - V. 51. - P. 335-346.

50. Palis J., Melo W. Геометрическая теория динамических систем.- М.: Мир, 1998. 301 с.

51. Peixoto М. On structural stability // Ann. of Math. 1959. - V. 69, № 1. - P. 199-222.

52. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. - V. 1, № 2. - P. 101-120.

53. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds (a further remarks) // Topology. 1963. - V. 2, № 2. - P. 179-180.

54. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems Proc. Symp. held at the Univ.of Bahia, Salvador, Brasil. 1971. M. Peixoto (ed.) N.Y.London: Acad, press.- 1973. C. 389-419.

55. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. - B. 32. - P. 703-728.

56. Пилюгин С.Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах// Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 2. - С. 245-254.

57. Pixton D. Wild unstable manifold // Topology. 1977. - V. 16. -P. 167-172.

58. Плисс В. А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе // Вестник ЛГУ. Сер. Мат., Мех. 1960. - Т. 13., № 3. - С. 15-23.

59. Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Шлячков С. В. Странные аттракторы. Глава 1 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 9. ВИНИТИ АН СССР. - 1991. - С. 100-148.

60. Прасолов В. В. Элементы теории гомологий М.: Издательство МЦНМО, 2004.

61. Poincare H. Les methodes nouvelle de la mecanique celeste, III -Paris, 1899.

62. Robinson С. Dynamical Systems: stability, symbolic dynamics, and chaos Studies in Adv. Math., Sec. edition, CRC Press, 1999.

63. Rolfsen D. Knots and links University of British Columbia, Math. Lecture Series 7, 1990.

64. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы М.: Наука, 1977.

65. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73, № 6. - P. 747-817. Пер. на рус. яз.: Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. - 1970. - Т. 25, № 1. - С. 113-185.]

66. Smale S. Morse inequalities for a dynamical systems // Bull. Am. math. Soc. 1960. - V. 66. - P. 43-49. Русский перевод: сб. Математика, 11:4 - 1967. - С. 79-87.]

67. Терстон У. Трехмерная геометрия и топология. М.: МЦНМО, 2001. - 310 с.

68. Уманский Я. J1. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий// Мат. сб. 1990. - Т. 181, № 2. - С. 212-239.

69. Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three// Bol. Soc. Mat. Brasil 1975. - V. 6. - P. 155-183.

70. Hartman R. On the local linearization of differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 14, № 4. - P. 568-573.

71. Хирш M. Дифференциальная топология. M.: Мир, 1979. - 280 с.

72. Шильников J1. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа// Математический сборник 1967. - Т. 74(116), № 3. - С. 378-397.

73. Шильников JL П. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомоклинической кривой// ДАН СССР 1967. - Т. 172, № 2. - С. 29&-301.

74. Шильников Л. П., Шильников A. JL, Тураев Д. В., Чуа JL Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. - 428 с.

75. Грииес В. 3., Митрякова Т. М., Починка О. В. Новые топологические инварианты неградиентно-подобных диффеоморфизмов на ориентируемых поверхностях // Труды Средневолжско-го мат. общества. Саранск - 2005. - Т. 7, № 1. - С. 123-129.

76. Гринес В. 3., Митрякова Т. М., Починка О. В. Связь схемы диффеоморфизма Морса-Смейла с родом несущей поверхности // Труды Средневолжского мат. общества. Саранск. - 2006. -Т. 8, № 1. - С. 194-202.

77. Гринес В. 3., Митрякова Т. М., Починка О. В. Схема диффеоморфизма поверхности с конечным числом модулей полный топологический инвариант // Тезисы докладов международ, конф. по диф. уравнениям и динамич. системам - Суздаль. -2010. - С. 63-64.

78. Mitryakova Т. About realization of nongradient-like diffeomorphisms on surface // The International conference "Dynamics, bifurcation and chaos". Тезисы докладов на международ. конф. "Динамика, бифуркация и хаос" Н. Новгород. -2005. - С. 31-33.

79. Митрякова Т. М. Построение неградиентно-подобных диффеоморфизмов па поверхностях // Тезисы докладов VII Всероссийской науч. конф. "Нелинейные колебания механич. систем" Н. Новгород. - 2005. - С. 159-161.

80. Митрякова Т. М. О связи схемы диффеоморфизма Морса-Смейла с родом несущей поверхности // Тезисы докладов международ. конф. по диф. уравнениям и динамич. системам Суздаль. - 2006. - С. 160-162.

81. Митрякова Т. М. Оснащённая схема как топологический инвариант простейших негрубых диффеоморфизмов сферы // Тезисы докладов международ, конф. "Дифферен. ур-я и смеж. вопр.", поев, памяти И.Г. Петровского Москва. - 2007. - С. 195.

82. Митрякова Т. М. О негрубых диффеоморфизмах поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания // Тезисы научн. конф. учебно-научного иннов. комплекса "Модели, методы и программные средства" Н.Новгород. - 2007. - С. 284286.

83. Митрякова Т. М. Построение диффеоморфизмов с конечным числом орбит гетероклинического касания на поверхностях // Труды Средневолжского мат. общества. Саранск. - 2008. -Т. 10, № 1. - С. 223-232.

84. Mitryakova Т. On realization of difFeomorphisms with a finite number of heteroclinic contacts on surfaces // Тезисы докладов международ, конф. "Дифферен. ур-я и топология", поев. 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина. Москва. - 2008. -С. 58-59.

85. Митрякова Т. М. Диффеоморфизмы поверхностей с гетерокли-ническими касаниями // Тезисы докладов международ, конф. по диф. уравнениям и динамич. системам Суздаль. - 2008. -С. 185-187.

86. Митрякова Т. М., Починка О. В. О классификации диффеоморфизмов с касанием нечетного порядка на поверхностях // Тезисы докладов международ, конф. "Тихонов-100", выпуск 1 -Москва. 2006. - С. 175-176.

87. Митрякова Т. М., Починка О. В. Топологические инварианты диффеоморфизмов поверхности с конечным числом орбит тетерок линического касания / / Труды Средневолжского мат. общества Саранск. - 2007. - Т. 9, № 1. - С. 210-217.

88. Митрякова Т. М., Починка О. В. Достаточные условия топологической сопряжённости диффеоморфизмов с гетероклиниче-скими касаниями на поверхностях // Труды Средневолжского мат. общества. Саранск. - 2008. - Т. 10, № 2. - С. 166-176.

89. Митрякова Т. М., Починка О. В. Классификация простейших диффеоморфизмов сферы в2 с одним модулем устойчивости // Современная математика и ее приложения. Институт кибернетики АН Грузии. - 2008. - Т. 54. - С. 99-113.

90. Митрякова Т. М., Починка О. В. Реализация абстрактной схемы диффеоморфизмом поверхности с конечным числом модулей устойчивости // Труды Средневолжского мат. общества. -Саранск. 2009. - Т. 11, № 1. - С. 157-165.

91. Митрякова Т. М., Починка О. В. К вопросу о классификации диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом модулей топологической сопряженности // Нелинейная динамика. -2010. Т. 6, № 1. - С. 91-105.