Диффеоморфизмы Морса-Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Таланова Елена Анатольевна

• Таланова Елена Анатольевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Таланова Елена Анатольевна

2.1 Сведения из топологии

2.2 Диффеоморфизмы Мореа-Смейла

2.3 Классификация 3-диффеоморфизмов Мореа-Смейла

2.4 Топология 3-многообразий, допускающих диффеоморфизмы Мореа-Смейла с заданной структурой неблуждающего множества

2.5 Функция Ляпунова для динамических систем

2.6 Дуги диффеоморфизмов

2.7 Теория узлов

3 Динамика диффеоморфизмов класса С

3.1 Согласованная система окрестностей

3.2 Пространства блуждающих орбит

С

4.1 Сценарий исчезновения несущественных гетероклинических кривых , , ,

4.2 Сценарий исчезновения неориентируемых гетероклинических кривых , ,

4.3 Сценарий исчезновения единственной некомпактной гетероклиничеекой кривой

4.3.1 Приведение структурно устойчивого диффеоморфизма к линейному в окрестностях гиперболических периодических точек , , , ,

4.3.2 Выпрямление гетероклиничеекой кривой

4.3.3 Выпрямление двумерных еедловых многообразий

4.3.4 Слияние еедловых точек

5 Узел Хопфа как полный инвариант диффеоморфизмов класса С+

5.1 Топологическая классификация диффеоморфизмов класса С+

5.1.1 Эквивалентность узлов Ь]-, Ь^

5.1.2 Класс эквивалентности узла Хопфа как полный инвариант топо-

С

5.1.3 Реализация диффеоморфизмов класса С+ узлами Хопфа

5.2 Построение квази-энергетической функции для диффеоморфизмов

¡ъп е С+, порожденных обобщенным узлом Мазура Ьп

5.2.1 Конструкция обобщенного узла Мазура Ьп

5.2.2 Оценка числа критических точек квази-энергетической функции диффеоморфизма Д е С+ через род у зла Ь

2

5,2,3 Построение квази-энергетической функции для диффеоморфизма ¡Ьп € С с хопфовским узлом Ьп

6 Топология многообразий, допускающих диффеоморфизмы класса С

6.1 Линзовое пространство как несущее многообразие для диффеоморфиз-

С

6.2 Построение диффеоморфизмов с дико вложенными сепаратрисами на каждом линзовом пространстве

6.2.1 Построение на линзе Ь0,1 = ¡З2 х ¡З1

6.2.2 Построение на линзе Ьр,д, р =

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диффеоморфизмы Морса-Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях»

Актуальность темы исследования

Важный класс структурно устойчивых динамических систем составляют системы Мореа-Смейла, существенной особенностью которых является наличие тесной взаимосвязи между динамическими свойствами систем и топологией несущих многообразий. Приведем исследования, которые так или иначе способствовали выделению этого класса систем,

В 1937 году A.A. Андронов и Л,С, Понтрягин [1] ввели понятие грубой системы в ограниченной части плоскости и установили критерий грубости такой системы. Оказалось, что эти системы имеют гиперболическое неблуждающее множество и не имеют связок (траекторий, идущих из седла в седло), более того, они плотны в пространстве всех потоков на плоскости. Этот результат был обобщен М, Пейшото [64], [65] на произвольные замкнутые поверхности с заменой понятия грубости понятием структурной устойчивости (равносильность этих понятий для потоков на плоскости была им установлена в той же работе), В начале 60-х годов прошлого века С, Смейл [83], подобно A.A. Андронову и Л,С, Понтрягину, ввел в рассмотрение класс динамических систем с конечным неблуждающим гиперболическим множеством, инвариантные многообразия которых пересекаются траневереально, и доказал, что числа неблуждающих орбит разных индексов удовлетворяют соотношениям, подобным неравенствам Морса, после чего такие системы были названы системами Мореа-Смейла так же, как и их дискретные аналоги. Позже С, Смейлом и Дж, Палисом [61], [63] была доказана структурная устойчивость динамических систем (потоков и каскадов) Мореа-Смейла,

Несмотря на тривиальность неблуждающего множества, топологическая классификация таких систем еще очень далека от своего завершения. Потоки Мореа-Смейла исчерпывающе классифицированы с точностью до топологической эквивалентности на поверхностях (в работах Е.А. Леонтович, А,Г, Майера [49], [50] М. Пейшото [66], A.A. Ошемкова и В,В, Шарко [60]), Перечислим известные результаты, связанные с топологической классификацией различных классов потоков Мореа-Смейла на многообразиях размерности три и выше, Дж, Флейтас [23] получена топологическая классификация полярных потоков (потоков Мореа-Смейла, неблуждающее множество которых содержит в точности две узловые точки и произвольное число седловых периодических точек) на трехмерных многообразиях. Я,Л, Уманским [85] получена топологическая классификация потоков Мореа-Смейла с конечным числом гетероклиничееких траекторий на трехмерных многообразиях. А,О, Пришляк [80] получил полную классификацию трехмерных градиентно-подобных потоков (потоков Мореа-Смейла без периодических траекторий), С.Ю, Пилюгиным [67] получена топологическая классификация потоков Мореа-Смейла без гетероклиничееких пересечений на сфере размерности больше или равной трех. Классификационные результаты для некоторых классов мно-

гомерных градиентно-подобных потоков получены в работах В.З, Гринееа, Е.Я. Гуре-внч, Е.В. Жужомы, О,В, Починки [30], [31], [29], [28], [47], В работах О,В, Починки и Д.Д. Шубина получена классификация трехмерных неособых потоков с малым числом периодических орбит [86], [71], [72],

Диффеоморфизмы Мореа-Смейла на поверхностях, в отличие от потоков на поверхностях, допускают траектории, идущие из седла в седло - гетероклиничеекие траектории (открытые еще А. Пуанкаре), Такие движения приводят к сложному асимптотическому поведению инвариантных многообразий еедловых периодических орбит, что значительно повышает сложность решения задачи о топологической классификации, Классификация диффеоморфизмов Мореа-Смейла на поверхностях была получена в 1998 году X, Бонатти и Р, Ланжевеном [21] как часть классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов с нульмерными базисными множествами (диффеоморфизмов Смейла), Ими доказано, что каждому диффеоморфизму Смейла соответствует конечный комбинаторный объект, представляющий собой набор геометрических типов марковских разбиений. Однако диффеоморфизмы Мореа-Смейла не были выделены для отдельного рассмотрения, в связи с чем для них применение этих инвариантов оказалось неоправданно трудным. При отсутствии гетероклинических точек диффеоморфизм Мореа-Смейла называется градиентно-подобным, и для таких диффеоморфизмов различные полные топологические инварианты были найдены в работах A.I 1. Безденежных, В.З, Гринееа, С.Х, Капкаевой, О,В, Починки [8], [9], [10], [32], В работах В.З, Гринееа, T.M. Митряковой, А.И. Морозова, О.В. Починки [27], [57], [58] получена полная топологическая классификация поверхностных диффеоморфизмов Мореа-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит.

Трудности перехода от двумерных многообразий к многообразиям высшей размерности связаны не только с наличием гетероклинических орбит, но и с возможностью дикого вложения сепаратрис еедловых периодических точек (т.е. замыкание сепаратрисы не является подмногообразием несущего многообразия). Первый пример такого диффеоморфизма на трехмерной сфере построил Д. Пикетон [68] в 1977 году. В.З. Гринее и X. Бонатти [12] в 2000 году доказали, что класс топологической сопряженности диффеоморфизма Пикетона описывается узлом в пространстве орбит действия диффеоморфизма на некотором его блуждающем множестве. Работа X. Бонатти, В.З. Гринееа, О.В. Починки [20] 2019 года, в которой была получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов Мореа-Смейла на произвольных замкнутых связных 3-многообразиях, завершила большую серию работ X. Бонатти, В.З. Гринееа, Е.Я. Гуревич, Е.В. Жужомы, Ф. Лауденбаха, B.C. Медведева, Е. Пеку, О.В. Починки, приближающих решение этой проблемы [29], [12], [13],[15],[17], [16], [18], [41], [69] [19], [39], [42].

В том случае, когда размерность несущего многообразия диффеоморфизма равна трём, гетероклиническое множество может быть непустым дизъюнктным объединением кривых. При изучении детерминированных процессов, описываемых системами

5

Мореа-Смейла, особую роль играют некомпактные гетероклиничеекие кривые, которые в случае потока являются траекториями, а в случае диффеоморфизма - кривыми, инвариантными для некоторой его степени, С конца двадцатого века и по настоящее время в серии работ Е, Приста и Т. Форбса [78], [79] уделено большое внимание проблеме описания топологии магнитного поля в короне солнца, важную роль в котором играют так называемые сепараторы. Математической моделью сепараторов являются как раз гетероклиничеекие траектории и кривые, а вопрос об их существовании является одной из принципиальных проблем магнитной гидродинамики, X, Бонатти, В.З, Гринес, B.C. Медведев и Э, Пеку [15] в 2002 году получили результат, следствием которого является критерий существования гетероклиничееких траекторий и кривых, В.З, Гринееу совместно с Е.В. Жужомой, Т.В. Медведевым и О.В. Починкой [38] удалось его применить для выявления сепараторов в магнитном поле короны солнца.

Из результатов, полученных в [15], следует, что 3-многообразие допускает диффеоморфизм Морса-Смейла без гетероклиничееких кривых тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно S3 или связной сумме конечного чиела копий S2 х S1, явно выражающегося через число еедловых и узловых периодических орбит диффеоморфизма. В.З. Гринееом, Е.В. Жужомой и B.C. Медведевым [40] доказано, что в случае локально плоского (не дикого) вложения одномерных сепаратрис еедловых точек несущее многообразие градиентно-подобного 3-диффеоморфизма допускает разложение Хего-ра, род которого однозначно выражается через число еедловых и узловых периодических орбит диффеоморфизма. Существует ли подобная связь в случае дикого вложения сепаратрис - вопрос, открытый на сегодняшний день.

Цели и задачи исследования

В настоящей работе рассмотрен класс G градиентно-подобных диффеоморфизмов, заданных на ориентируемых замкнутых связных 3-.многообразиях и имеющих неблуждающие точки попарно различных индексов. Из определения класса следует, что неблуждающее множество диффеоморфизма f G G состоит в точности из четырех точек Uf, aj, af, af с индексами Морса 0,1, 2, 3, соответственно. Первые примеры таких диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами были построены в работе Е.В. Круг.юг,а и Е.А. Талановой [48]. Любой диффеоморфизм f G G имеет в точности две еедловые точки aj, af индексов Морса 1 и 2, соответственно, пересечение двумерных многообразий которых образует гетероклиничеекое множество

Hf = Wfi n Wu2.

j af af

Из результатов В.З. Гринеса, Е.В. Жужомы и B.C. Медведева, полученных в работе [40], следует, что в случае локально плоского вложения одномерных сепаратрис несущее многообразие диффеоморфизма f G G гомеоморфно линзовому пространству Lp,q.

При этом множество Н/ содержит не менее р некомпактных гетероклинических кривых, Верно и обратное утверждение о существовании на любом линзовом пространстве

С

трисами. Основной целью настоящей работы является доказательство существования в рассматриваемом классе диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами и описание топологии несущего многообразия для таких диффеоморфизмов. Задачами исследования также являются нахождение топологических инвариантов и построение квази-

С

Научная новизна результатов

Все результаты являются новыми. Именно:

1, Для диффеоморфизмов Мореа-Смейла с четырьмя неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на ориентируемых замкнутых связных 3-многообразиях описан сценарий перехода от произвольного диффеоморфизма к диффеоморфизму с наименьшим числом гетероклинических кривых,

2, Доказано, что несущим многообразием для рассматриваемых диффеоморфизмов являются линзовые пространства,

3, Получена топологическая классификация диффеоморфизмов из рассматриваемого класса с единственной гетероклинической кривой; доказано, что полным инвариантом является класс (относительно объемлющего гомеоморфизма) узла Хопфа на многообразии §2 х 81.

4, Построены квази-энергетические функции для диффеоморфизмов, порожденных элементарным хопфовеким узлом,

5, Получена точная оценка числа критических точек квази-энергетичеекой функции для диффеоморфизмов из рассматриваемого класса.

Теоретическая и практическая значимость проведенных исследований

Проведенные исследования относятся к классическим фундаментальным направлениям, Полученные результаты вносят вклад в развитие фундаментальной математики, при этом направление динамических систем на 3-.многообразиях и в частности диффеоморфизмы Морса-Смейла имеют приложения в математических моделях большинства естественных и социальных наук. Одним из примеров может быть моделирование процесса мышления на базе теории динамических систем, которое восходит к

модели Дж, Хоифилда и М, Коэиа, С, Гроееберга [11], [44], При достаточно естественных ограничениях на правые части автономной системы дифференциальных уравнений Коэпа-Гроееберга в фазовом пространстве системы существует ограниченная область, в которую входят все траектории системы, что делает возможным применение результатов данной работы (в частности по классификации диффеоморфизмов Мореа-Смейла из рассматриваемого класса на 3-многообразиях) к исследованию моделей нейронных сетей. Другой пример — подход к моделированию искусственных нейронных сетей (ИНС), описанный в работах В, Афраймовича, М, Рабиновича, П, Вароны и др. [5], [4], основой которого является принцип взаимодействия участков сети в условиях конкуренции и приводящий к последовательной смене метаетабильных (неустойчивых) состояний модельной динамической системы. Динамическим образом метастабильного состояния в фазовом пространстве модели является седловое состояние равновесия, а переход из одного метастабильного состояния в другое описывается гетероклиничеекой траекторией, соединяющей два еедловых состояния равновесия. На сегодняшний день гетероклинический канал — это единственная известная динамическая конструкция, с помощью которой разрешается фундаментальное противоречие между чувствительностью (к информационным сигналам за счёт информационного выбора метаетабильных состояний — информационной реорганизации гетероклиниче-ского канала) и надёжностью (устойчивостью канала), И в этом случае также возможно применение результатов, полученных в данной работе для диффеоморфизмов Мореа-Смейла с единственной гетероклиничеекой кривой.

Методология и методы исследования

При исследовании использован оригинальный метод, который заключается во введении понятия гетероклиничеекого индекса р диффеоморфизма f, Было установлено, что именно от него зависит топологическая структура несущего многообразия диффеоморфизмов из рассматриваемого класса.

Для качественного исследования рассматриваемых в работе систем используются классические методы теории динамических систем и топологии: отыскание подходящего характеристического пространства, изучение его топологических свойств и вложения в него следов инвариантных многообразий еедловых состояний равновесия. Также используется теория гомологий и теория узлов. Для построения энергетических функций привлекается теория Морса и перестройки Морса,

Положения, выносимые на защиту

1, Доказано, что для любого диффеоморфизма Мореа-Смейла с четырьмя неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на ориентируемом замкнутом связном 3-многообразии с индексом гетероклиничеекого перееече-

ния,равным р существует изотопный ему диффеоморфизм, индекс которого равен р, и гетероклиничеекое множество ориентируемо (Теорема 1),

2, Доказано, что если у диффеоморфизма из рассматриваемого класса ровно одна гетероклиническая кривая, то он изотопен диффеоморфизму источник-сток (Теорема 2),

3, Доказано, что класс топологической сопряженности диффеоморфизма с единственной гетероклинической кривой полностью определяется классом узла Хопфа, являющегося проекцией одномерной сепаратрисы в пространство орбит бассейна стока. Более того, любой узел Хопфа реализуется таким диффеоморфизмом (Теоремы 3, 4),

4, Построены квази-энергетические функции для диффеоморфизмов, порожденных элементарным хопфовеким узлом, и получена точная оценка числа критических точек квази-энергетичеекой функции для диффеоморфизмов из рассматриваемого класса (Теорема 5),

5, Доказано, что независимо от вложения сепаратрис несущее многообразие лю-

р

гомеоморфно линзовому пространству Ьрд (Теорема 6),

6, Доказано, что каждое линзовое пространство Ьр,д допускает диффеоморфизм с

р

7).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, Общий объем работы составляет 84 страницы, включая 47 рисунков. Список литературы содержит 86 наименований.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертации результаты получены автором самостоятельно. Научному руководителю О,В, Починке принадлежит постановка задач и общее руководство научно-исследовательской деятельностью диссертанта с целью подготовки к защите диссертации, К.В. Круглой и В,И, Шмуклер являлись консультантами по топологическим вопросам.

Содержание работы

В первой главе приведен перечень статей и докладов с основными результатами

работы, представленными на конференциях. Во второй главе содержатся необходи-

9

мые для исследования сведения и факты. Третья глава включает описание динамики диффеоморфизмов рассматриваемого класса,

В четвертой главе для любого диффеоморфизма f € С введно понятие гетеро-клинического индекса 1/ следующим образом. Если множеетво Н/ не содержит некомпактных кривых, то положим 1/ = О, В противном случае обозначим через Н/ подмножество, состоящее из некомпактных кривых. Так как любая кривая 7 С Нf содержит вместе с любой точкой х € 7 точку f (я), будем считать кривую 7 ориентированной в направлении от х к f (х). Также зафиксируем ориентацию на многообразиях WS1 и Ж" . Для некомпактной гетероклинической кривой 7 обозначим через

й7 = (у^Щ, Щ)

тройку векторов с началом в точке х € 7 таких, что - вектор нормалн к _

вектор нормали к и _ касательный вектор к ориентированной кривой 7, Назовем й7 репером некомпактной гетероклиничеекой кривой 7, Очевидно, что ориентация (положительная или отрицательная) репера й7 те зависит от выбора точки х па 7, Положим /7 = +1 (/7 = -1) в случае положительной (отрицательной) ориентации. Число

7С-Н/

назовем гетероклиническим индексом диффеоморфизма Для целого числа р ^ О обозначим через Ср С С подмножество диффеоморфизмов f € С таких, что 1/ = р.

Аналогичным образом определяется репер компактной гетероклиничеекой кривой 7, ограничивающей диск С ЖД, содержащий седло При этом кривая 7 ориентирована так, что при движении вдоль нее диск остается слева.

Для диффеоморфизма f € Ср, р > О, множество Н/ назовем ориентируемым, если оно состоит только из некомпактных кривых, и реперы всех кривых в Н/ имеют одинаковую ориентацию. Для диффеоморфизма f € Со множест во Н/ назовем ориентируемым, если оно либо пусто, либо состоит только из компактных кривых, ограничивающих диски на ЖД, содержащие с едло ст^, и реперы всех кри вых в Н/ имеют одинаковую ориентацию. Обозначим через С+ С Ср, р ^ О, подмножество диффеоморфизмов f € Ср с ориентируемым множеством Н/,

Следующий доказанный в этой главе факт является ключом к описанию топологии

С

1) Для любого диффеоморфизма f : М3 ^ М3 го маееа Ср, р ^ О, существует изотопный ему диффеоморфизм € С+ (Теорема 1),

Этот и следующий результаты позволяют установить, что несущее многообразие любого диффеоморфизма f € С1 гомеоморфно сфере §3,

2) Любой диффеоморфизм f е С1 изотопен диффеоморфизму иеточник-еток (Теорема 2),

Полный топологический инвариант, полученный в [20] для 3-диффеоморфизмов Мореа-Смейла, состоит из замкнутого связного ориентируемого простого 3-многообразия и двух вложенных в него траневереально пересекающихся ламинаций, состоящих из торов и бутылок Клейна, В работе [19] выделены все допустимые инварианты, и по каждому из них реализован диффеоморфизм Мореа-Смейла, Однако, отсутствие классификации простых 3-многообразий и вложенных в них ламинаций не всегда позволяет реализовывать диффеоморфизмы с заданными свойствами, В некоторых частных случаях инварианты могут быть найдены более естественным образом. Так для диффеоморфизмов, имеющих в точности одну еедловую точку (диффеоморфизмов Пикстона), в работе [12] установлено, что их топологическая сопряженность полностью определяется эквивалентностью узлов Хопфа (узлов в Б2 х ¡З1, принадлежащих гомотопическому классу стандартного узла Ь0 = {в} х ¡З1), являющихся проекциями одномерных неустойчивых еедловых сепаратрис в соответствующее каждому диффеоморфизму пространство орбит бассейна стока. Среди хопфовских узлов различают эквивалентные стандартному узлу и неэквивалентные. Из результатов П.М, Ахметьева и О,В, Починки [2] следует, что существует счетное число попарно не эквивалентных стандартному хопфовских узлов, В силу [68], [12], любой узел Хопфа может быть реализован диффеоморфизмом Пикстона на 3-ефере, В пятой главе настоящей работы аналогичный результат получен для диффеоморфизмов класса О+,

3) Класс топологической сопряженности диффеоморфизма f е О+ полностью определяется классом узла Хопфа, являющегося проекцией одномерной сепаратрисы в пространство орбит бассейна стока. Более того, любой узел Хопфа Ь может быть реализован диффеоморфизмом fL е О+, для которого класс эквивалентно-Ь

Из результатов В.З, Гринеса, Ф, Лауденбаха, О,В, Починки [33], [34], [36], [37] известно, что для любого диффеоморфизма f : М3 ^ М3 го маееа О существует функция Морса-Ляпунова - функция Ляпунова ф : М3 ^ М, являющаяся непрерывной функцией Морса, Если при этом функция ф не имеет критических точек вне неблуждающего множества диффеоморфизма f, то, следуя [68], мы называем ее энергетической функцией для диффеоморфизма f. Согласно работе [37], дикое вложение еедловых сепаратрис является препятствием к существованию энергетической функции у диффеоморфизма f е О, В связи с этим в работе [35] было введено понятие квазиэнергетической функции для диффеоморфизма f (функции Морса-Ляпунова с минимальным числом критических точек). Заметим, что число критических точек квазиэнергетической функции является топологическим инвариантом диффеоморфизма f, Обозначим его р/,

Ь

феоморфизм fL е О+, для которого класс эквивалентноети узла Ь является полным топологическим инвариантом. Согласно работе [37] диффеоморфизм fL обладает энер-

Ь

[2] построено счетное семейство попарно неэквивалентных нетривиальных хопфовских узлов Ьп, п е N называемых обобщенными узлами Мазура, В пятой главе настоящей работы получена формула для вычисления количества критических точек квазиэнергетической функции для диффеоморфизмов из рассматриваемого класса,

4) Для диффеоморфизма f = fLr, п е N число критических точек его квазиэнергетической функции вычисляется по формуле

р{ = 4 + 2 п.

(Теорема 5)

В шестой главе доказан следующий факт, являющийся одним из основных результатов работы,

5) Несущее многообразие любого диффеоморфизма f е Ор, р ^ 0, гомеоморфно линзовому пространству Ьр,д (Теорема 6),

Также в этой главе дано конструктивное доказательство следующего утверждения,

6) Каждое линзовое пространство Ьр,д допускает диффеоморфизм ^ ^^ масса Ор с дико вложенными одномерными сепаратрисами (Теорема 7),

Заметим, что все ранее известные примеры диффеоморфизмов рассматриваемого класса с дико вложенными одномерными сепаратрисами строились только на трехмерной сфере.

1 Апробация результатов исследования

Результаты работы были представлены в докладах на следующих международных конференциях:

• VI International Conference Topological Methods in Dynamics and Related Topics dedicated to the memory of Vyacheslav Zigmundovich Grines, Нижний Новгород, 2023, Доклад "Квази-энергетические функции градиентно-подобных 3-диффеоморфизмов ";

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2022, Доклад "A knot as a complete invariant of Mor.se-Smale 3-diffeomorphisms with four fixed points";

• Международная конференция "Shilnikov workshop". Нижний Новгород, 2022, Доклад "Knot as a complete invariant for a Morse-Smale diffeomorphisms with four fixed points";

• Satellite International Conference on nonlinear dynamics and integrabilitv, Ярославль, 2022, Доклад "Узел, как полный инвариант 3-диффеоморфизмов Морса-Смейла с четырьмя неподвижными точками";

• VIII Всероссийская научная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 2008, Доклад "О топологической сопряженности градиентноподобных диффеоморфизмов с конечным, числом гетероклинических кривых на, S3";

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008, Доклад "Классификация градиентноподобных диффеоморфизмов с некомпактными гетероклиническими кривыми";

• VI научная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород, 2002, Доклад "Классификация полярных диффеоморфизмов на, трехмерных многообразиях";

• International conference dedicated to the 100th Anniversary of A,A, Andronov "Progress in nonlinear science". Нижний Новгород, 2001, Доклад "On topological conjugacy of Morse-Smale diffeomorphisms on sphere S3 with finite set of heteroclinic curves";

• II Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996, Доклад "Диффеоморфизмы Морса-Смейла с одномерными гетероклиническими множествами на трехмерной сфере".

Диссертация написана на основании 4 статей, опубликованных в журналах, входящих в международные библиографические базы,

• О, В, Починка, Е, А, Таланова, Квази-энергетическая функция для, 3-диффеоморфизмов Морса- Смейла с неподвижными точками попарно различных индексов, Математические заметки, 115:4, (2024), 1-13,

• О, В, Починка, Е, А, Таланова, Диффеоморфизмы Морса-Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях, Успехи математических наук, 79:1, (2024), 135-184,

• О, Poehinka, V, Shmukler, Е, Talanova, Bifurcation of a disappearance of a non-compact heteroclinic curve, Selecta Mathematiea, New Series, 29:60, (2023), 1-14,

• E.B, Круглой. E.A. Таланова, О реализации диффеоморфизмов Морса-Смейла с гетероклиническими кривыми на трехмерной сфере, Труды МИ АН, 236 (2002), 212-217.

2 Необходимые сведения и факты

2.1 Сведения из топологии

Для любого подмножества X топологического пространства Y будем обозначать через iX : X ^ Y отображение включения.

Для любого непрерывного отображения ф : X ^ Y, где X и Y - линейно связные

топологические пространства, будем обозначать через ф* : ni(X) ^ п (Y) - индуциро-

ф

Cr-вложением (r ^ 0) многообразия X в многообразие Y называется отображение Л : X ^ Y такое, что Л : X ^ A(X) - Сг-дпффеоморфнзм, С0-вложение называют также топологическим вложением,.

Топологическое вложение A : X —> Y ш-многообразия X в и-многообразне Y (ш ^ и) называется локально плоским, в точке A(x), x G X, если точка A(x) принадлежит такой карте (U,^) многообразия Y, что -0(U П A(X)) = Rm, где Rm С Rn - множество точек, у которых последние и — ш координат равны 0 или ^(UП A(X)) = R", вде R" С Rm - множество точек, у которых последняя координата неотрицательна. Вложение AX

если A является локально плоским в каждой точке A(x), x G X, В противном случае

AX A(x) A

дикости.

n

Пусть Dn = {(x1,..., xn) G Rn : x2 ^ 1} — стандартный и-диск (шар), D0 = {0},

i=1

n

Sn-1 = {(x1,..., xn) G Rn : x2 = 1} — стандартная (и — 1)S-1 = 0,

i=1 i

Предложение 2.1 ([15], Lemma 2,1). Пусть A: S2 ^ M3 — топологическое вложение, которое является, гладким всюду, кроме одной точки x0 = A(s0), s0 G S2, E = A(S2), y0 G E \ {x0} — фиксированная точка и V — фиксированная окрестность сферы, E. Тогда, существует гладкий 3-шар В, содержащийся в V та,кой, что x0 G B и дВ трансверсально пересекает E по единственной кривой, разделяющей в E точки x0 и y0-

Топологически вложенная в и-многообразне X (и — 1)-сферa Sn-1 называется цилиндрической или цилиндрически вложенной, если существует топологическое вложение A : Sn-1 х [—1,1] ^ X такое, что A(Sn-1 х {0}) = Sn-1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Таланова Елена Анатольевна, 2024 год

/ / /

✓ / / /

/

/

/

/

X

>

Рис, 5: Графики отображения х\ + ^ + £ для £ = -0,1; ¿ = 0и ¿ = 0,1

Пусть / : Мп ^ Мп - диффеоморфизм Морса- Смейла, ^Д-дуальные аттрактор и репеллер, и V/ = Мп \ (А и Д), Пусть Цд - захватывающая окрестность аттрактора А . Положим Ед = Ца \ /(ЦаХ тогда. с/(Ед) - фундаментальная область ограничения диффеоморфизма / на V. Положим 1д = с/(ТА)//, тогда Уд - гладкое замкнутое п-многообразие, полученное из с/(Ед) отождествлением границ в силу диффеоморфизма /.Обозначим через рд : с/(Ед) ^ 1д естественную проекцию.

Рассмотрим семейство Е/ € Ег//(Мп) таких диффеоморфизмов, что = для любого диффеоморфизма /' € Е/ и диффеоморфизм /' совпадает с диффеоморфизмом / на Цд и в некоторой окрестности репеллера Д.

Для любого диффеоморфизма /' € Е/ положим / / = ПЕд) и / ^ = рд(^£д П

Ед).

Предложение 2.18 ([70], Лемма 1). Пусть к : 1д ^ 1д изотопный тождественному диффеоморфизм,. Тогда существует гладкая дуга, ф С Е/ такая, что ф0 = /,ф1 = /'и / = к/ / = /

2.7 Теория узлов

Напомним ([82], Chapter 1), что узлом на многообразии Mn называется гладкое вложение y : S1 ^ Mn или образ этого вложения L = Y^1), Узлы L,L' называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h : Mn ^ Mn такой, что h(L) = L'. Через [L] будем обозначать класс эквивалентности узла L,

Предложение 2.19 ([59]). Если, узлы L,L' С Mn, n ^ 3 эквивалентны, то существует диффеоморфизм, h : Mn ^ Mn такой, что h(L) = L'.

Рис, 6: Неизотопные и не эквивалентные хопфовские узлы Ьо и Ьм- а) стандартный хопфов-ский узел Ьо; Ь) узел Мазура Ьм

Узел Ь С §2 х ¡З1 называется узлом Хопфа, если гомоморфизм г^*, индуцированный включением г^ : Ь ^ §2 х ¡З1 является изоморфизмом групп ^(Ь) = ^(¡З2 х ¡З1) = Z.

Любой хопфовский узел гладко гомотопен стандартному хопфовскому узлу Ь0 = |ж}х§1 (см, например [46]), но не является изотопным или эквивалентным ему в общем

Ьм

Ьо

Рис, 7: Обобщенный узел Мазура Ьп

В работе [2] построено счетное семейство хопфовских узлов Ьп (см. Рис, 7, а также подробную конструкцию узлов в разделе 5,2,1), дня которых там же доказано, что они попарно неэквивалентны.

3 Динамика диффеоморфизмов класса G

В настоящем раздело мы устанавливаем некоторые динамические свойства диффеоморфизма f : M3 ^ M3 из класса G,

Напомним, что класс G состоит из диффеоморфизмов f G MS(M3), имеющих в точности четыре неблуждающих точки ш/, о/, о/, а/ с индексами Морса 0,1, 2, 3, соответственно, В рамках рассмотренных в диссертации задач, по уменьшая общности,

f

па всех инвариантных многообразиях седловых точек, В силу отсутствия гетерокли-

f

евоих замыканиях единственную узловую точку (см., предложение 2,7), Именно,

el (Wf) = Wf и ш/, el (Wf) = Wf и а/.

При этом, в силу предложения 2,8, множества А/ = el(W^i), R/ = el(W^) являются попарно по пересекающимися топологически вложенными окружностями (ем. Рис, 8), возможно, дикими в узловых точках (см. Рис, 9),

Рис, 8: Фазовый портрет диффеоморфизма / € С с множеством Hf, состоящим из компактных и некомпактных гстсроклиничсских кривых

Положим

Я/ = Wfi П W"2.

j af af

Я/

elW) = WS U R/, el(WU) = WU U А/.

Рис, 9: Фазовый портрет диффеоморфизма / € С с множеством Hf, состоящим из некомпактных гстсроклиничсских кривых

В противном случае, согласно предложению 2,7, множества

с/Щ) = и , с/^) = Щь и и,

являются топологически вложенными не пересекающимися двумерными сферами (см. Рис. 10).

3.1 Согласованная система окрестностей

Для Ь € (0,1] положим N = {(х, ж2, ж3) € К3 : Х(ж2 + Х3) ^ ¿}, N2 = {(жь ж2, ж3) € М3 : (ж2 + ж2)ж3 ^ Ь} и для г € {1, 2} положим N = N7.

Определим в окрестности N пару трансверсальных слоений ТТ, следующим образом:

Т? = У {(Х1,Ж2,Ж3) €N1 : (Ж2, Х3) = (С2, С3)},

(с2,сз)еОж2Хз

Т = У {(Х1,Х2,Х3) €N1 : Х1 = С1}.

с 1 еОж 1

Определим в окрестности N2 пару трансверсальных с лоений ТТ, следующим образом:

ТТ = У {(Х1,Х2,Х3) €N2 : Ж3 = С3},

сзбОжз

) *2 <

1

2

Рис, 10: Фазовый портрет диффеоморфизма / € С с пустым множеством Н/

-рз Т2

У {(Х1,Х2,Х3) € N2 : (х\, х2) = (С1,С2)}.

(с1,С2}ЕОХ1Х2

Определим диффеоморфизмы щ : М3 ^ М3 формулами:

^1(Х1,Х2,Х3) = ^2x1, у, у) ,

^2(Х1,Х2,Хз) = (у, Х2, 2Х^ .

22

Заметим, что для г € {1, 2}, множество М* является инвариантным относительно диффеоморфизма V, который переводит слои слоения ТУ (Т/) в слои этого же слоения,

В силу [20], седловая точка а/ диффеоморфизма f € С обладает линеаризующей окрестностью Щ/, оснащенной гомеоморфизмом рг : Щ/ ^ М, сопрягающим диффеоморфизм f с диффеоморфизмом и являющимся диффеоморфизмом на Щг \ (^^г и ), Слоения ТУ, Т? индуцируют посредством гомеоморфизма f-инвариантные слоения Гги, Г/ на линеаризующей окрестности Щ/. Для любой точки Х € Щ/ будем обозначать через Ггих (Г/х) единственный слой слоения Гги (Г/), проходящий через точку х.

Если множество Н/ пусто, то набор Щ/ не пересекающихся линеаризующих окрестностей , Щ/2 седловых точек диффеоморфизма f назовем согласованной системой окрестностей, а слоения Г/,Гги (г = 1, 2), согласованными.

Если Н/ = 0, то выберем ^инвариантную трубчатую окрестность ЩН/ С М3 кривых множества Н/, оснащенную ^инвариантным С ^-слоением Г, состоящим из двумерных дисков, трансверсальных Н/, Для любой точки х € ЩН/ будем обозначать

через F, единственный слой слоения F, проходящий через точку x.

Рис, 11: Согласованная система окрестностей

Объединение Nf линеаризующих окрестностей Nj, Nj седловых точек диффеоморфизма f назовем согласованной системой окрестностей, а слоения F/,FU (i = 1, 2), согласованными, если для любой точки x G (Nj П Nf П NHf) и слоя F, слоения F,

x

Fi% П Fx = F2% П (N) П NHf), F^ П F, = F^ П (Nj П NH/).

Предложение 3.1 ([20], Theorem 1). Для любого диффеоморфизм,a, f G G существует согласованная, система окрестностей.

3.2 Пространства блуждающих орбит

Рассмотрим пространства = Ж \ ^ и = //, Обозначим через ^ естественную проекцию. Положим (см. Рис, 12)

А = Р„г (А \ ).

Следующее утверждение является непосредственным следствием предложений 2,8 и 2.10.

Предложение 3.2 ([39], Theorem 2.1.3). Для, любого диффеоморфизм,a, f G G справедливо следующее:

1) пространство Ушf диффеоморфно многообразию S2 х S1;

2) проекция является, накрытием;

Рис, 12: Факторпространство

3) множество Af состоит из пары, непересекающихся узлов L] U L2 в Vf 'таких, что отображение iL^* : ni(Lf) ^ ), i G {1, 2} является изоморфизм,ом,.

Предложение 3.3 ([39], Lemma 4,4). Множество рш (N] \ W^) является дизь-

f °f

юнктным объединением двух заполненных торов NLi, NL2, являющихся трубчатыми окрестностями узлов L], L2, соответственно. Если хотя бы одно из множеств

K,f \ int NL1, Vf \ int NL2 we гомеоморфно заполненному 'тору, то многообразие

f f f

дико вложено в несущее многообразие M3.

В силу предложения 2,9 множества Af и Rf являются дуальными атрактором и репеллером, соответственно, для диффеоморфизма /, Положим

Vf = M3 \ (Af U Rf).

В силу предложения 2,10 пространство орбит V/ = V/^ является гладким замкнутым ориентируемым 3-многообразием, а естественная проекция р/ накрытием и индуцирует эпиморфизм

Pi^f : Vf ^ Vf является

П/ = : п1(/) ^ 1

ставящий в соответствие элементу [с] € п1(Т//) число п € 1 такое, что любое поднятие элемента с соединяет точку х € V/ с точкой fга(х), Положим (см. Рис, 13)

Т? = Р/ № \ ), ту = Р/ да \ ), С/ = Р/ (Н/).

В силу предложений 2,8 и 2,10, множества Т?, Т/ являются гладко вложенными в V/ двумерными торами такими, что п/(гт|*(п1(Тз))) = п/(гти*(п1(Ту))) = 1, Основным результатом раздана является следующая лемма.

Рис, 13: Факторпространство V/

Лемма 3.1. Для, любого диффеоморфизма f € С справедливо следующее:

1. множество V/ является, связным, неприводимым замкнутым 3-многообразием, и, торы / Т/ являются, несжимаемыми в нем;

2. множество С/ состоит из конечного числа узлов с, при, этом ([с]) = 0 тогда, и только тогда, когда, узел, с С С/ является, проекцией компактной гетерокли-нической кривой;

3. любой узел с С С/ такой, что ([с]) = 0, является, стягиваемым, (л,ибо не стягиваемым) одновременно на, обоих торах Т^, / (см. Рис. Ц-

Рис, 14: Варианты расположения узлов в V/ : а)етягшзаемые на обоих торах; Ь) пеетягиваемые

Доказательство. Докажем последовательно все утверждения леммы 1.

1, В силу предложений 2,9 и 2,10 многообразие V/ является связным, замкнутым, простым 3-многообразием, Так как тор Т/ является ^-существенным в V/, то он не лежит в 3-шаре, Покажем от противного, что тор Т* не ограничивает заполненный тор в V/, Отсюда, в силу предложения 2,2, будет следовать, что многообразие V/ не гомеоморфно ¡З2 х ¡З1 и, следовательно, является неприводимым, а, в силу предложения 2,4, тор Т* является пеежимаемым в V/,

Если предположить, что тор Т* ограничивает в V/ заполненный тор, то V/ \ Т* состоит из двух компонент связности, С другой стороны, в силу предложения 2,6,

м3 = ж* и и и Ж*.

Тогда V/ \ ЖД = Ж* \ А/, и, следовательно, многообразия V/ \ Т* и V*, \ А/ гомео-

/ *

морфны. Поскольку одномерное подмногообразие не делит многообразие размерности три (см, предложение 2,5), то множество V*, \ А / является связным (см. Рис, 12), Получили противоречие с тем, что связное многообразие гомеоморфно не связному,

2, Непосредственно из определения эпиморфизма следует, что ([с]) = 0 тогда

с С С

3, Предположим, что некоторый узел с С С/ стягиваем на торе / и является существенным на торе Т*. Тогда то определению тор Т* является сжимаемым в V/, что противоречит доказанному пункту 1, □

Обозначим через С0 подмпожеетво С/, состоящее из стягиваемых па торах / и Т* кривых. Назовем кривые множества Н0 = р-1(С0) несущественными, оставшиеся гетероклиничеекие кривые будем называть существенными.

111дея доказательства была дана в работе [70], Лемма 2. Здесь приведено полное доказательство

для возможности автономного прочтения рукописи.

4 Тривиализация динамики диффеоморфизмов класса С

Напомним, что для любого диффеоморфизма / € С мы ввели понятие гетерокли-нического индекса 1 следующим образом. Если множество Hf не содержит некомпактных кривых, то положим 1 = О, В противном случае обозначим через Hf подмножество, состоящее из некомпактных кривых. Так как любая кривая 7 С Hf содержит вместе с любой точкой х € 7 точку /(я), будем считать кривую 7 ориентированной в направлении от х к /(х). Также зафиксируем ориентацию на многообразиях ЖД и ЖД ■ Для некомпактной гетероклинической кривой 7 обозначим через

= (V1, V2, V3)

тройку векторов с началом в точке х € 7 таких, что VI - вектор нормали к ЖД, V2 - вектор нормали к Жи2 и V3 - касательный вектор к ориентированной кривой 7.

У °> 1

Назовем репером некомпактной гетероклинической кривой 7 (см. Рис. 15).

^^^ 1 '

щ

Рис. 15: Репер некомпактной гстсроклинической кривой

Очевидно, что ориентация (положительная или отрицательная) репера не зависит от выбора точки х на 7. Положим /7 = +1 (/7 = -1) в случае положительной (отрицательной) ориентации. Число

7СЯ/

/

Для целого числа р ^ О обозначим через Ср С С подмножество диффеоморфизмов / € С таких, что 1 = р. Например, на рисунке 10 изображен фазовый портрет диффеоморфизма из класса С0, а на рисунке 16 - из класса С1.

Заметим, что любая существенная компактная гетероклиническая кривая 7 С Hf

ограничивает диск ^ С ЖV содержащий седло а^ Будем считать любую такую

°> 1

кривую ориентированной так, что при движении вдоль нее, диск остается слева.

Тогда для кривой 7, аналогично некомпактной кривой, определяется ее репер у7.

Множество Н назовем ориентируемым, если оно состоит только из существенных

37

гетероклипичееких кривых, все реперы которых имеют одинаковую ориентацию. В противном случае множество Н/ назовем не ориентируемым (см. Рис. 17). Обозначим через С+ С Ср, р ^ 0 подмножество диффеоморфизмов f € Ср с ориентируемым множеством Н/ (см. Рис. 16). Таким образом, у любого диффеоморфизма f € С+

Рис. 17: Диффеоморфизм / € С\ с неориентируемым множеством И/, состоящим из трех некомпактных кривых

множество Н/ либо пусто, либо состоит либо только из не компактных, либо только из компактных гетероклипичееких кривых (см. Рис. 18).

Основным результатом настоящей главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1 ([73]% Теорема 1). Для, любого диффеоморфизм,а f : М3 ^ М3 из класса, Ср, р ^ 0 заданного на, ориентируемом зам,кнутом, связном, 3-многообразии М3, существует изотопный ем,у диффеоморфизм, € С+.

Доказательство теоремы непосредственно будет следовать из лемм 4.1, 4.2, доказанных ниже.

Рис, 18: Диффеоморфизм f £ С++ с ориентируемым множеством Hf, состоящим из бесконечного множества компактных кривых

4.1 Сценарий исчезновения несущественных гетероклиниче-ских кривых

Обозначим через Ср С Ср подкласс диффеоморфизмов /, для которых множество Н0 пусто.

Основным результатом настоящего раздела является доказательство следующего факта.

Лемма 4.1 ([70], Теорема 1). Для, любого диффеоморфизма / : М3 ^ М3 из класса Ср существует дуга в множестве Ог//(М3), соединяющая диффеоморфизм / с некоторым диффеоморфизмом, / £ Ср.

Доказательство. Пусть / £ Ср, Если Н0 = 0, то лемма доказана, В противном случае,

Рис, 19: Построение 3-шара Ьс

в силу леммы 3,1, для любого узла с С С0 существует единственный диск ¿р такой, что ¿р С Тр с = дйр и аналогичный диск ¿и С Т^ узел с = ОёЦ: ограничивает на торе Т'и (см. Рис. 19, а)).

Среди кривых множества С0 выберем крайнюю кривую с, то есть такую, что гпЬвС П С0 = 0. Поскольку ¿СП^и = с т0 множество ¿Си ¿и является цилиндрически вложенной в многообразие V/ двумерной сферой, В силу леммы 3,1, многообразие V/ неприводимо и, следовательно, эта сфера ограничивает в нем единственный трехмерный шар Ьс. Обозначим через Т/с двумерный тор, полученный сглаживанием тора (Т/ \ ¿и) и ¿С (см. Рис, 19, Ь)), Согласно |43|(ТЬ,3,1) тогда существует изотопный тождественному диффеоморфизм к : V/ ^ V/ такой, что к(Ти) = Тис, По предложению 2,18 существует дуга С Е/ такая, что (0 = / и Т^ = Т/%, Т£ = /

Повторяя этот процесс дня каждой крайней кривой, мы получаем требуемый диффеоморфизм / е Ср. □

4.2 Сценарий исчезновения неориентируемых гетероклиниче-ских кривых

Основным результатом настоящего раздела является доказательство следующего факта.

Лемма 4.2 ([73]% Теорема 1). Для, любого диффеоморфизма, / : М3 ^ М3 из класса Ср существует дуга в множестве Ог//(М3), соединяющая диффеоморфизм / с некоторым диффеоморфизмом, /+ е С++.

Доказательство. Пусть / е Ср. Если множество Н/ пусто или ориентируемо, то лем-

Рис. 20: Проекции некомпактных гстсроклиничсских кривых с реперами разной ориентации в пространство Vf

ма доказана, В противном случае, Cf состоит из нестягиваемых попарно гомотопных друг другу на каждом из торов T^, Tu узлов (см., например, [82], Chapter 2), и среди

Рис, 21: Проекции компактных гстсроклиничсских кривых с реперами разной ориентации в пространство V/

них есть узлы c+, c- с положительно, отрицательно, соответственно, ориентированным репером (см. Рис, 20, 21),

Покажем, что число кривых в множестве Hf можно уменьшить как минимум на

Для этого положим Yf = pш (W^ П VUf ) и Nj = pш (Nj П VUf ). Тогда множество Nj

f ^f f

является дизъюнктным объединением двух заполненных торов NLi, NL2, являющихся трубчатыми окрестностями узлов Хопфа Lf, L2, соответственно. При этом множество Yf \ int Nj состоит го конечного числа колец, границы которых лежат на торах Tj = dNli, T2 = dNl2, В силу неориентируемости множества Hf, существует компонента связности Kи множества Yf \ int Щ, имеющая граничные окружности на одной и той же компоненте связности множества dNj, для определенности положим, что на Tj. Тогда окружности dKи делят тор Tj на два кольца, каждое из которых Ks образует в объединении с кольцом Ku двумерный тор T#«. Покажем, что Ks можно выбрать так, что тор T#« ограничивает заполненный тор Qku внутренность которого не пересекает Nj в VLf (см. Рис. 22, 23).

Поскольку тор Tj гомотопически нетривиален в Vf > то кольцо Ku можно выбрать так, что тор TKu также гомотопически нетривиален. В силу предложения 2.2, тор

TK« ограничивает заполненный тор QK« в Если Nli С QK«, то по построению

ff

cl(QKu) \Nli - также заполненный тор, ограниченный тором, построенным по второму кольцу Ks. Поэтому везде далее мы пола гаем, что QK« П Nli = K

Таким образом, с каждым кольцом ^связан т ор TK ненный тор QKu в Vf Поскольку в силу предложения 2,4 любой тор, гомотопически петривианьпо вложенный в заполненный тор, ограничивает там единственный запо-

Рис, 22: Проекции инвариантных седловых многообразий в пространство соответствующие рисунку 20

ненный тор, то среди всех таких заполненных торов (к «существует та кой (к«, чья внутренность не пересекается с кольцами Ки. Тогда внутренность тора (к« не пересекается с торами Щ и (к« П Yf = К^ Обозначим через К£ вторую половину тора

Тк

Положим ЩТа = (Щ П Vf), ЩТ« = (N"2 П Vf), Обозначим через К компоненту

^и \ Г1 тттл

связности множества Т^ \ С^^ такую, что pf (р-1(Ки)) С К и чеРе3 К£ компоненту связности множества \ такую, что кольца pf (р-1(К£)), К£ лежат в одной и той

же компоненте связности N множества \ Ти. Обозначим через К'5 компоненту

f

связности множества дЩТаПЩ, отличную отр (р_1(К£)). Положим К0и = Кии(с/(Щ)П

ту). f f

По построению дК£ = дКу = с+ и с_, оде с+, с_ С Cf - нестягиваемые кривые с положительно, отрицательно ориентированным репером, соответственно. Кроме того, тор 70 = Ку и К£ ограничивает заполненный тор <20 в V/, внутренность которого не пересекается с множеством Ту и Т/, Обозначим через Т'¡и двумерный тор, полученный сглаживанием тора (Ту \ К'и) и К'5. Поскольку тор 70' = К'и и К0 ограничивает заполненный тор 20 в У^, внутренность которого не пересекается с тором Ти, то существует изотопный тождественному диффеоморфизм к : Vf ^ Vf такой, что к(Ти) = Т'и. Тогда в силу предложения 2,18 существует дуга ^ С такая, ч то (0 = /, С1 = /'и

гри _ гр'и грв

1f' = 1f^ 1f'

грв 1f■

Таким образом, диффеоморфизм /' е С задан на том же многообразии М3, что /

/

диффеоморфизмом /+ е С++. □

Рис, 23: Проекции инвариантных седловых многообразий в пространство соответствующие рисунку 21

4.3 Сценарий исчезновения единственной некомпактной гете-роклинической кривой

Настоящий раздел посвящен доказательству следующего факта.

Теорема 2 ([76]% ТЬеогет 2). Любой диффеоморфизм Д € изотопен диффеоморфизму источник-сток.

Доказательство. Здесь мы наметим доказательство теоремы 2 со ссылками па леммы, которые будут доказаны в следующих разделах.

Пусть f € тогда множество Н/ состоит из одной некомпактной гетерокли-нической кривой 7/, В силу леммы 4,3 без ограничения общности можно считать, что в окрестности седловой точки а^ диффеоморфизм f имеет локальную карту (и1,ф1), ф1 : и1 ^ М3 такую, что а]- € и1; ф1(а^) = О (см. Рис, 24), и диффеоморфизм -Д—-1 является линейным диффеоморфизмом Q в некоторой окрестности

А 0 0\

—1 (и1) точки О, заданным матрицей 0 2 0 .

\0 0 2/

По лемме 4,4 диффеоморфизм f соединяется дугой без бифуркаций (это означает, что все элементы дуги являются попарно топологически сопряженными диффеоморфизмами) с диффеоморфизмом Д : М3 ^ М3 , обладающим следующими свойствами:

1) диффеоморфизм совпадает с диффеоморфизмом ^е и1 и в некоторой окрестности У1 С и1 седла а]-;

2) —1(7Л П У1) С Ох, оде 7/ — гетероклиническая кривая диффеоморфизма Д. Сделав аналогичное построение в локальной карте (и2,—2), : и2 ^ М3 такой,

что а2 € и2, —2(а2) = О и = Q-% получим диффеоморфизм Д2 : М3 ^ М3,

Рис, 24: Локальная карта в седловой точке а^

который связан дугой без бифуркаций с диффеоморфизмом /1 : М3 ^ М3 и обладает следующими свойствами:

1) диффеоморфизм /2 совпадает с диффеоморфизмом Д вне и2 ив некоторой окрестности У2 с и2 седла а2;

2) ф2(1н П У2) С Ох, где 7^ — гетероклиническая кривая диффеоморфизма /2 и У2 С и2 окрестность точки а2 (см,Рис, 25),

Рис, 25: Укладка гетероклинической кривой на координатную ось

/2

физмом /3 : М3 ^ М3 со следующими свойствами:

/3 /2

сти [/а, множества Af = е1 и в некоторой окрестности И1 С У1 седловой точки

а

2) ^(ИД П И^) С Охг (см,Рис, 26).

Сделав аналогичную конструкцию в окрестности а2, получим дугу без бифуркаций, соединяющую диффеоморфизм /3 с диффеоморфизмом /4 : М3 ^ М3 со следующими свойствами:

1) диффеоморфизм /4 совпадает с диффеоморфизмом /3 вне некоторой окрестно-

Рис, 26: Укладка многообразия Wu2 на координатную плоскость

сти URf множества Rf = cl Ws2 и в некоторой окрестности W2 С V2 точки f 2) П W2) С Oxz.

Согласно лемме 4,6 диффеоморфизм /4 связан дугой с одной седло-узловой бифур-

М3

М3 — трехмерная сфера, □

4.3.1 Приведение структурно устойчивого диффеоморфизма к линейному в окрестностях гиперболических периодических точек

Пусть p — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма f : Mn ^ Mп. Тип точки p — это набор параметров (qp, vp, pp), оде qp = dim W^U, vp = +1 (-1), если

f |w« сохраняет (меняет) ориентацию и pp = +1 (—1), если f |Wp сохраняет (меняет)

f

точки p тапa (qp,vp,pp) топологически сопряжен линейному диффеоморфизму про-

странства Кп, заданному матрицей

Ар

V р • 2 0 0 2

0 0 0

V

0 0 0

00

0 0

0 0

20 0 Рр • 1/2 00

0 0

0 0

1/2

0 0

0 0 0

1/2

количество строк Ар, содержащих 2 (включая ир • 2), равно Обозначим через Ар : Кп ^ Кп линейный диффеоморфизм, заданный Ар. Пусть Кр = Ох1.. .хЧ , К5 =

ОхЧр+1 . . . хП1 Ар

(х\, ... , Хдр ) е Кр

А

-р|Ки

и а!5 р

А

-р|К8

хр

(хдр+1,..., хп) е К5 диффеоморфизм Ар имеет вид

Ар(хр,х5) = (АРр(хр),Ар(х3)).

Лемма 4.3. Пусть структурно устойчивый диффеоморфизм ф0 : Мп ^ Мп имеет изолированную гиперболическую неподвижную точку р, пусть (и0,ф0) — локальная карта Мп такая, что р е и0, ф0(р) = О и и0 не содержит неблуждающих точек диффеоморфизм,а, ф0, отличных от р. Тогда, существуют окрестности, и1,и2 точки р, и2 С и1 С и0 и дуг а, фг : Мп ^ Мп,Ь е [0,1] такие, что:

1) диффеоморфизм, фг, Ь е [0,1} совпадает с диффеоморфизмом ф0 вне множества

и1

2) р — изолированная гиперболическая точка для, каждого фг;

3) = Ш'р(ф0) и Шрр(фг) = Шрр(фо) вне множества и1;

4) диффеоморфизм фоф^ф-1 совпадает с диффеоморфизмом Ар на множестве

фо(и2).

п

Доказательство. Для г > 0 положи м Вг = {(х1,...,хп) е Кп : £ х2 ^ г2} Вгр =

г=1

Чр

{(х1,...,х,р) е Кр :£ х2 ^ г2} и В*г = {(хчр+1 ,...,хп) е К5 : £ х2г ^ г2}.

г=1 1=Чр+1

фо

достаточно близкий к ф0 в С^-топологии, может быть соединен с ф0 дугой без бифуркаций, Согласно лемме Фрэнкеа [25]2 можно считать, что диффеоморфизм ф0 =

2 В лемме Фрэнкеа в окрестности ир неподвижной точки р диффеоморфизма / : Мп ^ Мп рассматривается локальная карта (ир, фр), где ф-1 = ехр : ТХМп ^ ир— экспоненциальное отображение. Тогда в этих локальных координатах диффеоморфизм / имеет вид / = ехр-1 о / о ехр : Мп ^ Мп. Утверждение леммы Фрэнкеа состоит в том, что в любой окрестности диффеоморфизма / существует диффеоморфизм д, имеющий неподвижную точку р и линейное локальное представление д = ехр-1 о д о ехр, если оно достаточно близко к В/р. Таким образом, в любой окрестности диффео-

0

0

0

ф0ф0фО- 1 в некотором шаре Br0 С ^o(Uo) совпадает с линейным диффеоморфизмом Фр : Rn ^ Rn заданным матрицей Фр, все собственные значения которой попарно различны. Следовательно диффеоморфизм Фp гладко сопряжен линейному диффеоморфизму заданному нормальной жордановой формой Q матрицы Фр (см., например, [26, Chapter 3]), То есть существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм £ : Rn ^ Rn такой, что Q = £Фр£-1. Согласно [56, раздел 6, лемма 2], £ изотопен тождественному, поэтому существует изотопия из £0 = id в £1 = Согласно предложению 2,16 существует изотопия St : R2 ^ R2 между тождественным отображением S0 = id и диффеоморфизмом St, совпадающим с на Br2 и являющимся тождественным отображением вне Bri для некоторого r2 < r1 < r0.

Таким образом, дуга ф = StAрS-1 : Rn ^ Rn соединяет диффеоморфизм ф0 = ФР с диффеоморфизмом ф, совпадающи м с Q па Br2 и с фр гае Bri, Кроме то го, ф — дуга без бифуркаций O, изолированная гиперболическая точка для каждого ф и WO (At) = WO (фр), WO(ф) = WO(фр) вне множества Bri,

Если Q = Ар, то лемма доказана, В противном случае в силу того, что собственные значения матрицы Q попарно различны, она имеет квазидиагональный вид с блоками,

С„ст0ящими либо И:! Росших значений, либо и:! МаТриц „Ида (а М , ГДр

a J

0 < a2 + в2 < 1 ми a2 + в2 > 1. Тогда диффеоморфизм Q имеет вид

Q р(хи,х*) = (0ф ;(xu),Q р (xs)),

где (<3U)_1(BU) С intBU для каждого диска BU и (Зр(В^) С intBS для каждого диска Brs. Выберем r3 < r2 таким образом, чтобы BU3 х (<Зр)_1(В^3) С ¿niBr2 , Выберем rU,rS е (r3/2, r3) таким образом, чтобы (Q?u)_1(BU3) С ¿niB^ и QQр(В^3) С

'4, '4 € V' 3/^> ' 3) ^ь™ ""разит, ииш У^гз) с с ыьь ^г

В доказательстве предложения 5,4 монографии [62] дуги г" : Ru ^ Ru, А/ строятся из линейных гиперболических сжатий, таких что

(rtu) 1(BU) С int ВТ Для любого диска ВТ и С int BS Для любого диска BS;

= Q^o = and 4о = QQP, 4i = Ap-

p> ' 1 np '0 _ ' 1

U = Q?U(rit) 1, = (Qp) ' t1

Рассмотрим изотопии AU = Qu(rtu) 1, = (QQр) V/, которые соединяют тожде-

ственные отображения А" = А0 = г^ с диффеоморфи змом А" = ^(Ар-1, А1 = (ОР)-1Ар соответственно. По построению ^(В") С ^(В^) и А?(В;:з) С (^рр)-1(ВГ|) для каждого £ € [0,1], Таким образом, в силу предложения 2,16 существуют изотопии Л" : Ru ^ Ru, : Rs ^ Rs, начинающиеся с тождественных отображений Л" = Л0 = совпадающие с Ар на ВЦ,, Врз и в точности тождественные вне ^(В^), (^!)-1(Вг|) соответственно , Пусть

Ät (xu,xs) = ((Ли )-1Q;(xu),QpÄS (xs)).

морфизма / существует диффеоморфизм имеющий неподвижную точку р и линейное локальное представление, заданное матрицей, все собственные значения которой попарно различны.

Обозначим дугу, совпадающую с p1 вне Br2 и с Л ¿на Br2, чере з pt : Rn ^ Rn, Выберем

rp(BU3) X BZ3.

r5 < Г4 такое, что Br5 С QU(B'U) X Bf Пусть U2 = Br5, Ui = Bn и

ф = u * Ct.

Тогда (pt — дуга без бифуркаций, совпадающая с ф0 вне U1; O — изолированная гиперболическая точка для каждого (pt, WO(<pt) = WO(ф0), WO(<pt) = WO(<p0) вне множества UTl, и диффеоморфизм ф1 совпадает с диффеоморфизмом up па U2. Итак, дуга ф : Mn ^ Mn, совпадающая с ф-1ф1ф0 па U0 и с ф0 гае U0, удовлетворяет всем условиям леммы в U1 = ф-1(1!1) ш U2 = ф-1 (U2). □

4.3.2 Выпрямление гетероклинической кривой

В этом разделе диффеоморфизм f = ф0 принадлежит множеству G+ и в седловой точке имеет локальную карту (U1,ф1), ф1 : U1 ^ R3 такую, что G U1; ф1(^1) = O, и диффеоморфизм ф1 ф0ф-1 в некоторой окрестности точки O является линейным диф-

Q

(\ 0 0\ 0 2 0

В следующей лемме мы переводим

\0 0 2/

гетероклиничеекую кривую в каноническое положение, необходимое в дальнейшем для бифуркации.

Лемма 4.4. Существует окрестность Ух С и точки а^ и дуга фг : М3 ^ М3е [0,1] без бифуркаций со следующими, свойствами:

1) диффеоморфизм, фг, Ь е [0,1} совпадает с диффеоморфизмом ф0 вне Их и в окрестности, Ух;

2) ф\{р(Ф1 О У1) С Ох, где — гетероклиническая кривая диффеом,орфизм,а, фх.

Доказательство. Построение искомой дуги будем проводить в локальных координатах в М3 в два шага: сначала на плоскости Оху, затем продолжим построение вдоль оси Ог.

Шаг 1. Конструкция на плоскости Оху. Пусть д = Ц|0ху■ Тогда д(х,у) = (х/2,у/2). Пусть 7 = фх(7Ф0 О [Д), Для г > 0 мы полагаем Вг = {(х,у) е М2 : х2 + у2 < г2}, Пусть К0 = В2 \ тЬ Вх. Обозначим через Ед множество сжатий (диффеоморфизмов, топологически сопряженных диффеоморфизму д) ф : М2 ^ М2, совпадают,их с д вне Вх и в некоторой окрестности ВГф. Для ф е Ед пусть

1Ф = U ^(U n K0).

kez

По построению ф-ипвариаптпая кривая ^ф совпадает с д-ипвариаптпой кривой 7 вне Вх, Построим дугу из сжатий фг : М2 ^ М2,Ь е [0,1] такую, что

(1) диффеоморфизм фг,Ь е [0,1] совпадает с диффеоморфизмом д гае Вх;

(2) П Вгф1) С Ох.

Для построения дуги введем следующие обозначения для любого диффеоморфизма ф €

Представим двумерный тор Т2 как пространство орбит действия диффеоморфизма д на R2 \ О и обозначим через р : R2 \ О ^ Т2 естественную проекцию. Зафиксируем на торе Т2 образующие а = р(Ох+) и Ь = р^1). Пусть Кф = ВГф \ ВГф/2 и 7ф = р(7ф П ф), Тогда кривая 7ф является узлом на торе Т2 с гомотопическим типом (1, —Пф), Пф € ^ в базисе а, Ь (см., например, [39]).

Дуга ф^ будет гладким произведен нем дуг ^ и где

I) дуга € [0,1] состоит го сжатий, совпадающих с диффеоморфизмом д гае В1; и соединяет диффеоморфизм ^о = д с некоторым диффеоморфизмом € Е таким, что узел 7П1 имеет гомотопический тип (1, 0) в базисе а, Ь ;

II) дуга ^ € , £ € [0,1] соединяет диффеоморфизм (о = П1 с диффеоморфизмом таким, что 7^1 = а.

I) Если Пф = 0 т0 полагаем п = д для всех £ € [0,1]. В противном случае определим диффеоморфизм € [0,1] : R2 ^ R2 в полярных координатах (р,^) так, что ^¿(О) = О и 6^(рег^) = рег(^+^(р)), где ^¿(р) - гладкая монотонно убывающая функция, равная 2пфп£ при р ^ 2 и равная 0 при р ^ 1.

Тогда п = % : R2 ^ R2 — искомая дуга.

II) По построению диффеоморфизм п1 принадлежит и узел 7П1 имеет гомотопический тип (1, 0) в базисе а, Ь. Согласно [82], существует диффеоморфизм, гладко изотопный тождественному к : Т2 ^ Т2, такой, что к(7П1) = а. Для 0 < г < 1/2 пусть Кг = Вг \ Вг/2. Выберем открытое по крытие О = {О,..., } тор а Т2 такое, что компонента связности О множества р-1(О^) является подмножеством Кг. для некоторых г < г2-1 и г1 < г0/2. Согласно предложению 2.17 существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы Л1,... , и : Т2 ^ Т2 со следующими свойствами:

^ дЛЯ каждого г € {1,..., д} существует гладкая изотопия {и^}, тождественная вне О и соединеняющая тождественное отображение с и^;

11) к = и1... и^.

Пусть и^ : R2 ^ R2 — диффеоморфизм, совпадающий с (р|К )-1и^р на Кг. и совпадающий с тождественным отображением вне . Тогда искомая дуга определяется формулой

& = им ..

Шаг 2. Продолжение ф^а R3.

I) Продолжим дугу п : R2 ^ R2 ДО ДУГи А : R3 ^ R3 следующим образом. Положим С = В1 х [—1,1]. Определим изотопию А : R3 ^ R3 формулой

А , , , ^¿Д-^)^^), (х,У^) € C, (х,у,г), (х,у,г) € R3 \ С.

Пусть щ = : К3 ^ К3.

II) Продолжим дугу ^ : К2 ^ К2 ДО дуг и : К3 ^ К3 следующим образом. Положим Сг = Ог х [—1,1], Определим изотопию : К3 ^ К3 формулой

_ , , I (1г,t(1-z2)(x,y),z), (х,у,г) е Сг

{(х,у^), (х,у^) е К3 \ Сг.

Пусть = ... Щ^Щ.

Тогда искомая дуга фг : К3 ^ К3 будет гладким произведением дуг Щ и О- П

4.3.3 Выпрямление двумерных седловых многообразий

В этом разделе диффеоморфизм f = ф0 принадлежит множеству и в окрестности еедловой точки а^ имеет локальную карту (У^ ф1), ф1 : У1 ^ К3 такую, что аЦ е У, ф^а^) = О, диффеоморфизм ф1фоф-1 _ линейный диффеоморфизм Q в некоторой окрестности точки О, и ф1(^Ф0 П VI) С Ох для гетероклинической кривой

диффеоморфизма ф0, В следующей лемме мы переводим Ши2 в каноническую Познер

цию, необходимую для дальнейшей бифуркации.

Лемма 4.5. Существуют окрестность Ш1 С VI точки а 1; окрестность аттрактора Af = с1 и дуга фг : М3 ^ М3е [0,1] без бифуркаций со следующими, свойствами:

1) каждый диффеоморфизм, фг, Ь е [0,1] совпадавт с ф0 вне иА{ и в Ш1;

2) ф1(Ши2 П Ш1) С Ох^ ^^^ ^^^еоморфизма ф1.

Доказательство. По условию Af = иш/. Пусть Rf = и а/, Уf = М3\(Af и Rf) и Уf = V}/ф0. Обозначим через pf : у/ ^ у/ естественную проекцию. Согласно предложению 2,9, множество Af является аттрактором и имеет замкнутую компактную окрестность такую, что f (иА/) С 1пЬиА} и Р| ) = Af. Множество

гаем

В = иА/ \ гпЬф0(ил}) является фундаментальной областью ф0, ограничен ной Уf. По предложению 2,9 множество Rf является репеллером, пространство Уf состоит из блуждающих точек, а диффеоморфизм ф0 действует па Уf свободно и разрывно, так что проекция pf : Уf ^ у/ накрытие, а пространство орбит Уf - гладкое замкнутое многообразие.

Заметим, что (Ши2 \ а2) С у/, и диффеоморфизм ф0|^«2 топологически сопряжен а f <>}

с линейным растяжением. Тогда множество Т2 = р(Ши2) является гладко вложенным в 1/ двумерным тором. Аналогично множество Т1 = р(Ш^1) - двумерный тор, гладко вложенный в у/. Пересечение П

1 состоит из единственной некомпактной гетероклинической кривой 7ф0, на которой диффеоморфизм ф0 топологически сопряжен

Т1 П Т2

с = р(1Фо )■

Рис, 27: Пространство орбит V

Пусть К = {(х,у,г) : |хг| ^ 1,х > 0,у = 0} и К = р(^-1(К)^, По построению К - двумерное кольцо, содержащее кривую с внутри себя. Выберем такую трубчатую окрестность ис С V/ кривой с, чт0 множества К2 = ис П Т2, К1 = ис П Т1, К0 = ис П К являются двумерными кольцами (см. Рис, 27),

К2 Ко К1 с

Следовательно существует диффеоморфизм ф : V// ^ V/, изотопный тождественному, такой, что ф(Т1) = Т! и ф(К2) = К0,

Выберем открытое покрытие ..., <} пространства V// такое, что компонента связности 5г множества р_1(5г) является подмножеством фундаментальной области Вг = \ ) диффеоморфизма ф0, ограниченного V/, оде Ц+1 С )

для г = 0,..., к, = ЦаСогласно предложению 2,17 существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы и1,... , : V"/ ^ V1/ со следующими свойствами:

дЛЯ каЖдОГО г € {1,..., к} существует гладкая изотопия {и^}, тождественная вне Вг и соединяющая тождественное отображение с и) ф = и ...

Пусть и^ : V/ ^ V/ — диффеоморфизм, который совпадает с (р^.)_1и^р на << и совпадает с тождественным отображением вне Тогда дуга ф определяется по формуле ф = ^¿...и^^, □

4.3.4 Слияние седловых точек

В этом разделе диффеоморфизм f = ф0 принадлежит множеству G+ и обладает следующими свойствами: в a| существует локальная карта (Wi,^i), : W1 ^ R3 такая, что aj G W1; ^(a^ = О, диффеоморфизм корректно определен и

равен линейному отображению Q в окрестности начала координат, причем ^(W^ П W1) С Ожг, Аналогично, существует локальная карта (W2,-02), : W2 ^ R3 такая, что a2 G W2, ^2(a2) = О, диффеоморфизм : R3 ^ R3 корректно определен и

равен линейному отображению Q-1 в окрестности начала координат, причем ^(W^ П W2) С Oxz f

В следующей лемме мы сливаем еедловые точки a|, a2 вдоль гетероклипической кривой 7фо_

Лемма 4.6. Существует окрестность U С M3 \ (a/ U ш/) гетероклипической кривой и дуг а ф : M3 ^ M 3,t G [0,1] с седло-узловой бифуркацией такой, что диффеоморфизм ф4, t G [0,1} совпадает с диффеоморфизмом ф0 вне мпожесmea, U, а диффеоморфизм, ф1 является диффеоморфизмом, источник-сток.

Доказательство. Пусть U = {(ж,у,г) G R3 : |ж| < 1, |у| < 1, |z| < 1}, Определим вложение ф : U ^ R3 формулой

. / ж2 1 y

ф(ж, у,z) = ж +----, - , 2z

,у, j ^ 2 10' 2'

По построению ф имеет еедловые точки P1(-ж0, 0, 0) и Р2(ж0,0, 0), ж0 G (0,1/2), Пусть As = Wpi П U, Au = WP2 П U, = WP1 П U, Is = Wp2 П U (см. Рис. 28). Свойства ф0 позволяют найти окреетноеть U гетероклинической кривой и вложение в : U ^ U7, индуцирующее диффеоморфизм

фо = вФов "1|ü,

для которого точки P1, P2 являются гиперболическими неподвижными седловыми точками с локальными инвариантными многообразиями, принадлежащими As,/u; Au,/s, Выберем множества П1 С в(U) гада П1 = {(ж,у, z) G R3 : |ж| < a, |y| ^ b, |z| ^ b}, a G (ж0, 2), b G (0,1) и такие, что ф(Щ) С (ф0(в(U)) П в(U)).

Определим вложение £0 : П1 ^ в(U) по формуле £0 = ф-^щ, Тогда по предложению 2.16, существует семейство вложений : П1 ^ в(U) такое, что = id, £í(As) С As, Cí(1u) С Iu, Cí(Au) С Au, Cí(1s) С Семейство вложений Z = ф0£1-t : П1 ^ в(U) соединяет ф0 с ф, Определим семейство вложений п : П1 ^ в(U) формулой

ж2 1 y

П*(ж,у,*)= (ж + - + -(2t - 1), 2, 2z

Тогда изотопия п еоединяет по = ф с вложением пъ неблуждающее множество ко-

52

Рис, 28: Слияние еедловых точек

торого пусто. Пусть вг = * г/г- Тогда семей ство гфг = ф-16г : П ^ в (и) соединяет тождественное отобржение с вложением В силу предложения 2,16 существует

изотопия ф: : в (и) ^ в (и), совпадающая с ^ на П1; тождественная на дв (и) и такая, что ф0 = г& Пусть Ф: : М3 ^ М3 — изотопия, совпадающая с в-1ф:в на и и совпадающая с тождественным отображением вне и. Тогда ф = ф0Ф: является требуемой изотопией, □

5 Узел Хопфа как полный инвариант диффеоморфизмов класса

В настоящем разделе приводится полная топологическая классификация диффеоморфизмов класса включая реализацию, а также построение квазиэнергетической функции дня некоторого подкласса таких диффеоморфизмов,

5.1 Топологическая классификация диффеоморфизмов класса

Пусть f € Обозначим через Ц, I/ одномерные неустойчивые сепаратрисы точки а/ В силу трансверсальности они не пересекаются в М3, поэтому, согласно предложению 2,7, замыкание с1(£/) (г = 1, 2) одномерной неустойчивой сепаратрисы точки а/, гомеоморфпо простой компактной дуге и состоит из этой сепаратрисы и двух точек: точки а/, и стока ш/ (см. Рис, 16), Согласно предложению 2,8, пространство орбит бассейна стока V», диффеоморфно многообразию §2 х^1 (везде далее мы будем отождествлять эти многообразия), В силу предложения 2,10 подмножество Ь/ = р»,(I/), г = 1, 2 является узлом Хопфа в нем,

5.1.1 Эквивалентность узлов ЬЦ, Ь2

Лемма 5.1 ([77]% Лемма 1,1). Для, любого диффеоморфизма f € узлы ЬЦ, Ь2 являются, изотот шми.

Доказательство. Положим (см. Рис, 29)

У/ = р»,Щ п V»,).

Рис, 29: Возможные варианты проекции У/ двумерного неустойчивого седлового многообра-

Согласно предложению 2,8, пространство орбит (ЖЦг \ а2)// гомеоморфно двумерному тору, и пространство орбит Н/// гомеоморфно окружности, являющейся нетривиальным узлом на торе (Ж^г \ а2)//■ Так как П = \ (Н/ и а2), то множество У/ гомеоморфно двумерному кольцу. При этом гомоморфизм 1у{*■, индуцированный включением 1у{ : У/ ^ 82 х 81, является изоморфизмом групп п^У/) = ^(¡З2 х 81) = Z. Поскольку Ж/1 П = Ж/1 \ 1, то множество

^ = Я,, (/

является дизъюнктным объединением двух заполненных торов N1 = N¿1 и N¿2, являющихся трубчатыми окрестностями узлов ЬЦ, Ь2, Положим (см. Рис, 30)

Т/ = , = Т/ П У/.

Поскольку множество Н/ = Ж ^ П состоит го единственной некомпактной /-

Рис, 30: Трубчатые окрестности узлов ЬЦ, Ь2

инвариантной кривой, то множество $N1 П состоит из двух некомпактных /инвариантных кривых, проекцией которых в многообразие = 82 х 81 являются узлы и 52, Отсюда следует, что 5/1, 52 - изотопные хопфовские узлы.

Таким образом, узлы 5/, Ь/ являются образующими заполнеиного тора N¿1^. Тогда они ограничивают в нем двумерное кольцо и, следовательно, являются изотопными.

5.1.2 Класс эквивалентности узла Хопфа как полный инвариант топологической сопряженности в классе С

Из леммы 5,1 и предложения 2,16 следует, что хопфовские узлы Ь^, Ь2 эквивалентны, Обозначим через С/ = [ЬЦ] = [Ь2 ] класс эквивалентности этих узлов.

Теорема 3 ([77]% Теорема 1,1). Диффеоморфизмы f,f' € С+ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда, С/ = С//.

Доказательство.

^ Пусть диффеоморфизмы f : М3 ^ М3, f' : М'3 ^ М'3 € С+ топологически сопряжены посредством некоторого гомеоморфизма Н : М3 ^ М'3, Поскольку Н переводит инвариантные многообразия неподвижных точек диффеоморфизма ^ ^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^разия диффеоморфизма f' с сохранением устойчивости, то ) = Щ', Н(1/) = I/,. Так как Нf = f'Н, то гомеоморфизм Н определяет гомеоморфизм Н : V», ^ V»,, формулой