О классах устойчивой изотопической связности градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Ноздринова Елена Вячеславовна

• Ноздринова Елена Вячеславовна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ноздринова Елена Вячеславовна

4.4.3 Свойства числа mf

4.4.4 Модельные диффеоморфизмы в классах Ст

4.5 Полярные диффеоморфизмы на двумерном торе

4.5.1 Динамика полярных диффеоморфизмов тора

4.5.2 Модельные полярные диффеоморфизмы тора

4.6 Диффеоморфизмы Палиса

5 Изменение динамики градиентно-подобного диффеоморфизма поверхности дугами без бифуркаций

5.1 Вспомогательные факты

5.2 Приведение структурно устойчивого диффеоморфизма к линейному в окрестностях гиперболических периодических точек

5.3 Выпрямление инвариантных седловых многообразий

5.4 Изменение динамики в окрестности аттрактора

5.5 Изменение динамики в блуждающем множестве

5.6 Диффеоморфизмы "источник-сток" на

6 Компоненты устойчивой связности градиентно-подобных диффеоморфизмов 2-сферы

6.1 Тривиализация аттрактора диффеоморфизма f € 0\

6.2 Тривиализация репеллера диффеоморфизма f € Н

6.3 Тривиализация аттрактора диффеоморфизма f € Ст

6.4 Тривиализация репеллера диффеоморфизма f € Нт

6.5 Классификация модельных диффеоморфизмов по отношению устойчивой изотопической связности

7 Устойчивая изотопическая связность диффеоморфизмов Палиса

7.1 Построение устойчивой дуги от диффеоморфизма Палиса к сдвигу на единицу времени градиентного потока

7.2 Визуализация устойчивой дуги на примере полярных диффеоморфизмов тора

7.2.1 Схема построения дуги Hf,t

7.2.2 Построение вспомогательных функций

7.2.3 Построение модельных дуг

7.2.4 Алгоритм построения дуги HJ,t

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О классах устойчивой изотопической связности градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей»

Введение

Знаменитая статья С, Смейла [67], опубликованная в 1967 году, описывает программу изучения дифференцируемых динамических систем (диффеоморфизмов и гладких потоков) с точностью до топологической сопряженности (для диффеоморфизмов) и эквивалентности (для потоков). Первым толчком к этому послужило следующее открытие: динамические системы Мореа-Смейла (системы с гиперболическим цепно рекуррентным множеством, состоящим из конечного числа периодических траекторий и неподвижных точек) определенно не являются плотными в пространстве всех динамических систем, если фазовое пространство по крайней мере двумерно в дискретном случае и трехмерно в непрерывном. Это был момент, когда Смейл изобрел свою подкову. Последовало второе открытие: гиперболичность плюс строгое условие трансверсальности эквивалентны структурной устойчивости и это было предметом очень активных исследований с 60-х по 90-е годы. Следующее было действительно поразительным: структурная устойчивость не является плотной в пространстве динамических систем, что было первоначально показано Ш, Ныохауеом [43], В результате мы получаем следующую картину: в пространстве гладких динамических систем существует открытое множество структурно устойчивых систем, которое на самом деле там не является плотным. Следующим естественным вопросом является вопрос об устройстве границ областей устойчивости. Можем ли мы взять точку в одной компоненте связности этого открытого множества и соединить ее с другой точкой в другой компоненте связности гладкой кривой таким образом, чтобы кривая пересекала дополнение к области устойчивости только в конечном числе точек или, верно ли, что граница между этими компонентами имеет коразмерность один? Проблема существования дуги с не более, чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса-Смейла) на многообразиях, вошла в список пятидесяти проблем Палпса-Пью [60] под номером 33,

Одним из первых исследований, на которое можно взглянуть с этой точки зрения являются так называемые "языки Арнольда", В своей статье [2] В,И, Арнольд представил в пространстве параметров области рациональности числа вращения в двухпа-раметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов. Из этого представления ясно, что типичная гладкая кривая пересечет дополнение к области рациональности по множеству Кантора положительной меры Лебега,

Ш, Ныохауе и Дж, Палие [44], [45] изучали, как однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, начинающееся в диффеоморфизме Морса-Смейла, теряет устойчивость (т, е, проходит через бифуркацию) при изменении параметра. Для типичного семейства приведенное там описание является полным при условии, что диффеоморфизм в первой точке бифуркации имеет предельное множество, состоящее из конечного числа орбит. Оказывается, что все эти орбиты являются периодическими, за ис-

ключением не более одной. Если все периодические орбиты гиперболические, то их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются траневереально, за исключением одной орбиты, В случае, если одна из периодических орбит не является гиперболической, эта орбита должна быть элементарной бифуркацией (седло-узел, флип или орбита Хопфа), другие периодические орбиты должны быть гиперболическими, и все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаться траневереально,

В 1976 году Ш, Ныохауеом, Дж, Палисом, Ф, Такенеом [47] было введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии, Такая дуга не меняет своих качественных свойств при малом шевелении. Структура орбит диффеоморфизма в первой точке бифуркации на дуге, начинающейся в диффеоморфизме Мореа-Смейла, стала основой их результатов об устойчивости дуг, соединяющих два диффеоморфизма Мореа-Смейла, В частности, они показали, что если в первой точке бифуркации некоторые устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются не траневереально, то дуга не является устойчивой. Фактически, в этом случае существует по крайней мере однопараметричеекое семейство различных классов эквивалентности дуг вблизи начального. Это соответствует существованию модуля устойчивости, как показал Дж, Палие [57], [58], Когда дуга проходит через орбиту Хопфа, то она также не является устойчивой, это связано с появлением инвариантных окружностей с иррациональными вращениями, С другой стороны, дуга всегда является устойчивой при переходе через флип. Случай седло-узла заслуживает особого внимания, В этом случае сопряжение между двумя дугами, проходящими через седло-узлы должно сохранять сильно устойчивые и сильно неустойчивые слоения устойчивых и неустойчивых многообразий. Таким образом, нетрансверсальность пересечения инвариантных многообразий других периодических орбит с этими слоениями (в такой ситуации седло-узел называется критическим) приводит к неустойчивости дуги, Другим решающим фактором неустойчивости дуги является существование циклов для периодических орбит, которое приводит к появлению орбиты гомоклинического касания и, как следствие, к наличию модулей устойчивости.

Таким образом, в работе [46] установлен следующий критерий устойчивости дуги

£ € [0,1] диффеоморфизмов с конечным предельным множеством, начинающейя и заканчивающейся в диффеоморфизмах Мореа-Смейла: все точки дуги < являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами за исключением конечного числа бифуркационных точек <ь.,1 = 1,... ,д, таких, что:

1) предельное множество диффеоморфизма <ы содержит единственную негиперболическую периодическую орбиту, которая является седло-узлом или флипом;

2) диффеоморфизм <ь. не имеет циклов;

3) инвариантные многообразия всех периодических точек диффеоморфизма <ы пересекаются траневереально;

4) <ы имеет одну негиперболическую периодическую орбиту, которая является орбитой некритического седло-узла или флипа и бифурцирует общим образом,

Устойчивость для дуг, содержащих седло-узловые бифуркации была обобщена Робинсоном [63] на некоторые семейства, начинающиеся с А-диффеоморфизмов,

В 1976 году Ш, Ныохауе и М, Пейшото [48] доказали существование простой дуги (содержащей лишь элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Мореа-Смейла, Из результата работы Ж, Флейтас [25] вытекает, что простую дугу, построенную Ныохауеом и Пейшото, всегда можно заменить на устойчивую. Для диффеоморфизмов Мореа-Смейла, заданных на многообразиях любой размерности, известны примеры систем, которые не могут быть соединены устойчивой дугой, В связи с этим естественно возникает вопрос о нахождении инварианта, однозначно определяющего класс эквивалентности диффеоморфизма Мореа-Смейла относительно отношения связанности устойчивой дугой (компоненту устойчивой изотопической связности)I,

В настоящей работе эта проблема решена для содержательных классов градиентно-подобных диффеоморфизмов на поверхностях. Прежде, чем перейти к изложению результатов, приведем обзор имеющихся по данной тематике исследований, предварив его изложением необходимых общих понятий теории динамических систем.

1 Обзор имеющихся по данной тематике результатов

1.1 Необходимые сведения из теории динамических систем

Пусть диффеоморфизм f : Mn ^ Mn задан на гладком замкнутом (компактном без края) ^-многообразии (и ^ 1) Mn с метрик ой d.

Два диффеоморфизма f, f' : Mn ^ Mn называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм h : Mn ^ Mn такой, что fh = hf'.

Точка x Е Mn называется блуждающ ей для f, если существует открытая окрестность Ux точки x такая, что fn(Ux) П Ux = 0 для всех и Е N. В противном случае точка xf называется неблуждающим множеством и обозначается Qf,

Например, неблуждающими являются все предельные точки диффеоморфизма. Напомним, что точка y Е Mn называется w-пределъной точкой для точки x Е Mn, если существует последовательность tk ^ tk Е Z, такая, что lim d(ftk(x),y) = 0. Множество w(x) мех ^-предельных точек для точки x называется ее ш-предельным множеством. Заменой на — то определяется а-предельное множество a(x) точки x. Множество Lf = cl ( (J ui(x) U a(x)) называется предельным множеством диф-

хеы n

f

Если множество Qf конечно, то каждая точка p Е Qf является периодической,

обозначим через mp Е N период периодической точки р. С любой периодической точ-p

образом:

Ws = {x E Mn : fclim d(fkmP(x),p) = 0},

ru _ S„ Л/fn . К™ f-kmp (

W„u = {x E Mn : lim d(f-kmp(x),p) = 0},

Устойчивые и неустойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Говорят, что периодические орбиты Oi,..., Ok образуют цикл, если Wo. П W^+i = 0 для i E {1,..., к} и Ok+1 = Ob

Периодическая точка p E П/ называется гиперболической, если все собственные

значения матрицы Якоби (dfdxp) |p по модулю не равны единице. Если все собственные

p

вой) точкой. Стоковые и иеточниковые точки называются узловыми. Если гиперболическая периодическая точка не является узловой, то она называется седловой точкой.

p

Wp и неуетойчивое WjU многообразия являются образами относительно инъективных иммерсий пространств Rqp и Rn-qp, где qp - число собственных значений матрицы Якоби, по модулю больших единицы. Число vp, равное +1(-1), если отображение fmp |

W u p

нента линейной связности множества WjU \p {Ws \p) называется неустойчивой (устой-

p

Замкнутое f-инвариантное множество A С Mn называется аттрактором дискретной динамической системы f, если оно имеет компактную окрестность Ua такую, что f(Ua) С intUA и A = П fk(Ua). Окрестность Ua при этом называется захватывающей, или изолирующей. Репеллер определяется как аттрактор для f-1, Дополнением до захватывающей окрестности аттрактора является захватывающая окрестность дуального репеллера.

Диффеоморфизм f : Mn ^ Mn называется диффеоморфизм,ом, Морса-Смейла, если

1) неблуждающее множество П/ состоит из конечного числа гиперболических орбит;

2) многообразия Wp, Wq4 пересекаются траневереально для любых неблуждающих pq

Диффеоморфизм Морса-Смейла называется градиентно-подобным, если из условия W^ П W" = 0 для различных точек а1,а2 E П/ следует, что dim W" < dimW'U2.

Mn

который называется градиентно-подобным, в случае отсутствия периодических траекторий.

Развернутое изложение приведенных в данном разделе фактов можно найти в [67],

[19], [21].

1.2 Устойчивые дуги в пространстве диффеоморфизмов

Рассмотрим однопараметричеекое семейство диффеоморфизмов (дугу) :

Mn ^ Mn,t E [0,1], Дуга <^t называется гладкой, если отображение

^ : Мп х [0,1] ^ Мп, заданное формулой Г(х,£) = фг(х), является диффеотопией -гладким отображением, которое при каждом фиксированном £ является диффеоморфизмом, В топологической категории такое отображение называется изотопией.

Гладкая дуга фг называется гладким произведением гладких дуг фг и фг таких, что

ф1 = ф0, если фг

Фт(2Ь), 0 ^ £ ^ 1,

Фт(2Ь-1), 1 ^ ^ ^ 1,

где т : [0,1] ^ [0,1] - гладкое монотонное

отображение такое, что т(в) = 0 для 0 ^ 5 ^ | и т(в) = 1 для | ^ в ^ 1, Будем писать

фг = Фг * Фг.

Согласно [46], гладкая дуга фг называется устойчивой, если она является внутренней точкой класса эквивалентности относительно следующего отношения: дуги фг, ф[ называются сопряженными, если существуют гомеоморфизмы Н : [0,1] ^ [0,1], Нг : М ^ М такие, что Нгфг = ф'щ)Н,1 Е [0,1], и Нг непрерывно зависит от ¿.

Обозначим через 2 множество гладких дуг фг,Ь Е [0,1] такое, что каждая дуга из этого множества начинается и закапчивается в диффеоморфизмах Морса-Смейла и любой диффеоморфизм фг имеет конечное предельное множество,

В работе [46] также установлено, что дуга фг Е 2, оде £ Е [0,1] является устойчивой тогда и только тогда, когда все ее точки являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами за исключением конечного числа бифуркационных точек фЬ.,1 = 1,... ,д, таких, что:

1) предельное множество диффеоморфизма фь1 содержит единственную негиперболическую периодическую орбиту, которая является седло-узлом или флшюм;

2) диффеоморфизм фЬ. не имеет циклов;

3) инвариантные многообразия всех периодических точек диффеоморфизма фь1 пересекаются трапсвереалыю;

4) фЬ. имеет одну негиперболическую периодическую орбиту, которая является орбитой некритического седло-узла или флина и бифурцирует общим образом (см. Рис, 1),

седло-узел или флип Ьх

диффеоморфизмы Морса-Смейла

Рис, 1: Устойчивая дуга

Напомним определение бифурцирования общим образом дня случаев неподвижного седло-узла или флипа в случае, когда негиперболическая точка имеет период к > 1,

к

аналогичное определение дается для дуги ^к-

Седло-узел р бифурцирует общим образом, на дуге € 2, оде Ь € [0,1] (см. Рис, 2), если в некоторой окрестности точки (р, Ьг) € Мп х [0,1] дога ^ (или дуга сопряжена дуге

Ф1(х 1

, х2, . . . , х1+пи , х2 +'пи , ... , хп) —

±Х2+Пи ±хп

/у2

Jb 1

Х1 + у + i, ±2x2,..., ±2xi+„u,-2"

2

где (xi,... ,xn) G Rn, |xi| < 1/2, |i < 1/10.

В локальных координатах (x1,..., xn, i) бифуркация происходит в момент времени i = 0 и начало координат O G Rn является седло-узловой точкой (см. Рис. 3). При этом ось Ox1 является центральным многообразием, множество {(x1,x2,... , xn) G Rn : x1 ^ 0, x2+nu = ■ ■ ■ = xn = 0} является неустойчивым многообразием точки O, множество {(x1,x2,...,xn) G Rn : x1 ^ 0, x2 = ••• = x1+nu = 0} является устойчивым многообразием точки O,

¥ / f \ К

ц \ > А *

Рис. 2: Седло-узловая бифуркация

Если р - седло-узловая точка диффеоморфизма фы-, то существует единственное ^-инвариантное слоение Fss с гладкими слоями такими, что Ws является слоем этого слоения [29], Fss называется сильно устойчивым слоением, (см. Рис, 4), Аналогичное сильно неустойчивое слоение обозначается F'u, Точка р называется в-критической, если существует некоторая гиперболическая периодическая точка q такая, что W' пересекает некоторый слой слоения F^s не трансверсально; и-кри,тич,ность определяется р

ви

ви

ви

Впервые эффект неустойчивости дуги в окрестности некритического седло-узла был открыт в 1974 г, B.C. Афраимовичем и Л.П. Шилышковым |1|, |3|, Существование инвариантных слоений Fss, F'u ранее также было доказано в работе В,И, Лукьянова и Л.П. Шилышкова 1331,

Рис, 4: Сильно устойчивое и неустойчивое слоения

Замечание 1. Для диффеоморфизмов поверхности устойчивое и неустойчивое многообразия седло-узловой точки р имеют размерность один и два. Некритичность та,кой точки влечет отсутствие пересечения, ее одномерного инвариантного многообразия, с сепаратрисами седловых точек. Одномерное слоение двумерного многообразия седло-узловой точки должно пересекаться, тра,нсверса,л,ьно с седловыми сепаратрисами, (см. Рис. 5).

Флии - пегинербо.ническая точка, возникающая в результате бифуркации удвоения периода, Флип р бифурцирует общим образом, на дуге фг Е 2, оде £ Е [0,1] (см. Рис, 6), если в некоторой окрестности точки (р, Ьг) дуга фг (либо дуга ф1-г) сопряжена дуге

ф?(х1

, х2, . . . , х1+пи , х2+пи , ... , хп) —

ч

у

УУ

Рис, 5: Р1 - 8-критическая седло-узловая точка, Р2 - м-критическая седло-узловая точка, рз нскрити чсская седло-узловая то чка

-Х1(1 ± ¿) + х1 ±2x2,..., ±2X1 +пи

±х

2+Пи

±хп

где (х1,...,хп) е мп, |х,| < 1/2, |£| < 1/10 (см. Рис. 7).

А

А

А

А

А

V/

Рис. 6: Бифуркация удвоения периода (флин)

ы

V

■1 —

X,

Рис. 7: Графики отображения —Х1(1 ±¿) + х1 и квадрата этого отображения для И = -0,1; £ = 0 и £ = 0,1

Будем говорить, что диффеоморфизмы /0, f1 принадлежат одному и тому же классу устойчивой изотопической связности, если в пространстве диффеоморфизмов они могут быть соединены дугой с описанными выше свойствами 1)-4).

1.3 Простая дуга, соединяющая потоки Морса-Смейла

Вопрос о существовании дуги с "хорошими" свойствами, соединяющей два потока Морса-Смейла па данном многообразии, был решен Ньюхаусом и Пейшото |48|,

2

2

Предложение 1.1 (|48|, Theorem В). Любые два потока Морса-Смейла па данном замкнутом многообразии соединяются простой дугой.

Простота означает, что вея дуга состоит из систем Морса-Смейла за исключением конечного множества точек, в которых векторное поло в определенном смысле наименьшим образом отклоняется от векторного ноля Морса-Смейла, а именно, либо содержит единственную негинербо.ническую точку тина седло-узел, либо единственную траекторию нетрансверсаньного пересечения инвариантных еедловых многообразий (гетероклиническое каст ше).

Идея доказательства состоит в построении дуги, соединяющей исходный ноток с градиентным потоком некоторой функции Морса,

Если Mn — гладкое n-многообразие и Ф : Mn ^ R — Сг-гладкая (г ^ 2) функция, то точка p е Mn называется критической точкой функции Ф, если grad Ф(р) = 0, то есть дф (p) = • • • = (p) = 0 в локальных координатах xi,... ,xn точки p. При этом точка p называется невырожденной, если матрица вторых производных (матрица Гес-са) ^дхд^дФ ) \р невырождена, в противном случае — точка p называется вырожденной. Ф

Непрерывная функция Ф : Mn ^ R называется функцией Ляпунова для, системы

Mn

она строго убывает вдоль блуждающих траекторий и постоянна па периодических орбитах,

Ф

Ф

щим множеством системы.

Первый шаг в построении дуги реализуется разрушением замкнутых орбит путем последовательного рождения седло-узла па каждой замкнутой орбите (см. Рис, 8), При прохождении через седло-узел рождаются две гиперболические точки соседних индексов, а конечная точка дуги является градиептно-подобным потоком.

Рис, 8: Разрушение периодических орбит

В силу результата К, Мейера |36|, любой градиентно-нодобный ноток обладает

11

энергетической функцией Морса, Используя .пинии уровня этой функции можно построить дугу, соединяющую градиентно-нодобный ноток с градиентным потоком его функции Морса (см, раздел 4,6, где аналогичная конструкция приведена дня диффеоморфизмов Морса-Смейла), Далее, используя результат С, Смейла |66|, непрерывным изменением метрики на многообразии можно построить дугу из градиентных потоков, последний из которых связан с некоторой фиксированной метрикой на многообразии. Наконец, две функции Морса в фиксированной метрике соединяются дугой, которая типично порождает простую дугу градиентных потоков.

Однако результаты Ш, Ньюхауса и М, Пейшото не могут быть напрямую использованы дня построения устойчивых дуг между диффеоморфизмами Морса-Смейла. Для этого есть несколько причин. Во-первых, типично диффеоморфизмы Морса-Смейла не включаются в потоки Морса-Смейла (см., например, |15|, |17| и обзор |16|). Во-вторых, дискретизация дуги с гетероклиническим касанием не является устойчивой дугой. Второй проблемы удается избежать в силу следующего результата, полученного Ж, Флейтас |25|,

Предложение 1.2 (|25|, Theorem). Если г/радиентно-подобные потоки на, многообразии Mn соединяются дугой с единственной бифуркационной точкой гетероклиниче-ского касания, то они ,могут быть соединены дугой с двумя, седло-узловыми, бифуркациями (см. Рис. 9).

Рис. 9: Замена гетероклиничеекого касания седло-узлами

При этом дискретизация такой дуги является устойчивой дугой, соединяющей сдвиги на единицу времени исходных градиентно-нодобных потоков. Идеи доказательства этого факта будут приведены в раздело 7.2 с модификацией дня случая дискретных динамических систем.

1.4 Препятствия к существованию устойчивой дуги между изотопными диффеоморфизмами Морса-Смейла

В настоящем раздело мы изложим обзор известных на сегодняшний день препятствий к существованию устойчивых дуг между изотопными диффеоморфизмами Морса-Смейла.

1.4.1 Несовпадение чисел вращения у грубых преобразований окружности

Число вращения было введено А. Пуанкаре в 1885 году для гомеоморфизма окружности при изучении потоков на торе без точек покоя [62],

Представим окружность З1 в виде отрезка [0,1] с отождествленными концами. Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм / : ¡З1 ^ ¡З1 и его поднятие / : М. ^ М. относительно накрывающего отображения

п(х) = {х},

где {х} - дробная часть числа х Е К, Тогда для всех х Е М. существует предел

/п(х) — х

/" п/

Иш

п

дробная часть г(/) которого те зависит от выбора поднятия отображения / и от точки х

Диффеоморфизмы Мореа-Смейла на окружности были подробно изучены А,Г, Майером [35], Он показал, что эти диффеоморфизмы исчерпывают класс грубых преобразований окружности и характеризуются конечным множеством гиперболических периодических точек. Для сохраняющих ориентацию грубых преобразований окружности возникает рациональное число вращения. При этом существуют диффеоморфизмы Мореа-Смейла с любым рациональным числом вращения.

Поскольку число вращения непрерывно меняется при непрерывном изменении гомеоморфизма (см., например, [30]), то любая дуга, связывающая диффеоморфизмы Мореа-Смейла с различными числами вращения на окружности, содержит континуум бифуркаций и, следовательно, не является устойчивой, В разделе 3 доказано, что число вращения является полным инвариантом устойчивой изотопической связности грубых преобразований окружности,

1.4.2 Нетривиальная связанность периодических точек

В работе [34] Ш, Матеумото показал, что двумерный тор Т2 допускает изотопные тождественному диффеоморфизмы Мореа-Смейла, которые не могут быть соединены устойчивой дугой. Данный результат основан на следующем понятии.

Периодические точки р, д диффеоморфизма / : Мп ^ Мп называются тривиально связанными, если существует кривая с С Мп такая, что дс = {д} — {р} и для некоторого целого N такого, что /м (р) = р и /м (д) = д, замкнутая кривая /м (с) — с гомотопна нулю, В противном случае точки р, д называются нетривиально связанными. Заметим, что для изотопного тождественному диффеоморфизма введенное понятие корректно,

с

физма / тривиально связаны, то / называется тривиальным, в противном случае

1нетривиальным,.

Ш, Матеумото построй,:: два изотопных тождествеппому диффеоморфизма Мореа-Смейла /о,/\ Т2 ^ Т2, Один из них, /0, является сдвигом на единицу времени градиентного потока типичной функции Морса, Другой, является композицией /0 с двумя противоположно направленными вращениями Дэна (см. Рис, 10), Нетрудно убедиться, что диффеоморфизм / является тривиальным, а /1 - нетривиальным.

Рис, 10: Пример Ш, Матеумото

Предложение 1.3 ([34], Theorem 1,3). Диффеоморфизмы, f0, f двумерного тора T2 не соединяются устойчивой дугой.

Чтобы объяснить результат Матеумото, предположим противное: существует устойчивая дуга, соединяющая тривиальный диффеоморфизм с нетривиальным. Тогда существует устойчивая дуга ф^, имеющая единственную бифуркацию g = фi и такая, что фо - тривиальный диффеоморфизм, а ф\ - нетривиальный. Поскольку бифуркация удвоения периода не создает нетривиальных отношений между периодическими точками, то диффеоморфизм g должен содержать периодическую точку седло-узел, обозначим ее через р. Поскольку g не имеет циклов, то орбита Op точки p имеет ближайшие соседние орбиты Oq, Or (возможно, не единственные) в частичном порядке Смейла

Oq XOp X Or,

то есть W¿q П WOp = 0-, WOp П WOr = 0 и не существует периодической точки х такой, что либо WOч П WOx = 0, WOх П WOp = 0, либо W¿р П WOx = 0, WsOх П WOr = 0.

Из некритичности седло-узла р следует, что либо д, либо г является узловой точкой, что приводит к противоречию, поскольку узловая точка тривиально связана с любой другой периодической точкой и отношение тривиальной связанности является транзитивным.

Очевидно, что аналогичные эффекты присущи любым поверхностям с нетривиальной фундаментальной группой. Более того, они естественным образом обобщаются на

14

1 L

ai

1 r

со"

1 ^^

' Sx~--— 7\

х. 1 ■ " / W

в--1 (!) ai ~:

—

О- ,

а

Рис, 11: Пример диффеоморфизмов на Sn 1 х S^n ^ 3, не соединяемых устойчивой дугой

многомерные многообразия. Так, в работе [24] построены тривиальный f0 и нетривиальный f1 изотопные тождественному диффеоморфизмы Морса-Смейла на многообразии Sn-1 х S 1,n ^ 3 (см. Рис, 11), Как и в примере Матсумото, диффеоморфизм f0 является декартовым произведением диффеоморфизмов источник-сток на сфере Sn-1

S1 f1 f0

многомерным вращением Дэна вокруг cl(W% ), которое диффеотопно тождественному отображению,

f0 f1

Sn-1 х S1,n ^ 3 не соединяются устойчивой дугой.

1.4.3 Несогласованность периодических разбиений

Д. Пикстон |61| установи,:! факт существования энергетической функции Морса Фf : M2 ^ R у любого диффеоморфизма Морса-Смейла f на поверхности M2, Используя множества уровня этой функции П, Бланшар |7| построй,:! специальное разбиение несущей поверхности линиями уровня функции Ф^ связанное с понятием нечетности периодической орбиты, и доказал, что согласованность таких разбиений для разных диффеоморфизмов является необходимым условием существования устойчивой дуги между ними.

Пусть M2 - ориентируемая поверхность и f : M2 ^ M2 - сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла с неблуждающим множеством Qf, Нечетностью периодической орбиты Op С Qf периода m называется нечетное число l такое, что m = 2kl для некоторого неотрицательного k, Разбиение

M2 = M1 и ■ ■ ■ и Mn

несущей поверхности M2 называется периодическим разбиением, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

• каждый элемент Mi разбиения является поверхностью, край которой либо пуст, либо состоит из регулярных линий уровня функции Ф/, и различные подмногообразия Mi и Mj могут пересекаться только по их общей граничной компоненте;

• Q/ П Mi = 0 для каждого i и все периодические орбиты Op С Mi имеют одинаковую нечетность /i; называемую нечетностью M^ при этом еели Mi П Mj = 0 для i = j, то их нечетности различны,

Mi

меоморфен объединению колец и векторное поле Ф/ направлено внутрь кольца на одной граничной компоненте и наружу - на другой.

Допустимым, упрощением периодического разбиения называется изъятие несуще-

Mi Mj

чащему с кольцом по линии выхода grad Ф/, При этом новому элементу присваивается нечетность j и он объединяется с граничащими с ним элементами, имеющими ту же нечетность.

Обозначим через D/ разбиение несущей поверхноети M2, полученное из периодического разложения посредством всех возможных допустимых упрощений. Два разбиения D/, D// поверхноети M2 называются эквивалентными, если существует гомеомор-M2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ноздринова Елена Вячеславовна, 2021 год

Список литературы

[1] В, С, Афраймович, Л, П, Шильников, О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел, Докл. АН СССР, 219:6 (1974), 1281-1284.

[2] В.И. Арнольд. Малые знаменатели. I. Отображение окружности на саму себя, Изв. акад. Наука СССР Сер. Мат. 25 (1961), 21-86.

[3] В. С. Афраймович, Л. П. Шильников, О малых периодических возмущениях автономных систем, Докл. АН СССР, 214:4 (1974), 739-742.

[4] A. Banvaga, The structure of the group of equivariant diffeomorphism, Topology, 16 (1977), 279-283.

[5] А. И. Безденежных, В. 3. Гринее, Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях, Чаеть 1. Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз, темат. сб. научи, тр. под ред. Е.А. Лентович-Андроновой.Горький. (1985), 22-38; Имеется перевод: A.N. Bezdenezhykh, V.Z, Grines, Dynamical Properties and Topological Classification of Gradient-rike Diffeomorphisms on Two-Dimensional Manifolds I. Sel. Math. Sov. 11:1 (1992), 1-11.

[6] А. И. Безденежных, В. 3. Гринее, Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий, Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. науч. тр. под ред. Н.Ф. Отрокова. Горький ГГУ. (1985), 33-37; Имеется перевод: A.N. Bezdenezhykh, V.Z, Grines, Realization of Gradient-like diffeomorphisms of two-dimensional manifolds. Sel. Math. Sov. 11:1 (1992), 19-23.

[7] P. R. Blanchard, Invariants of the NPT isotopy classes of Morse-Smale diffeomorphisms of surfaces, Duke Mathematical Journal, 47:1 (1980), 33-46.

[8] C. Bonatti, V. Z. Grines, Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3, J. Dvnam, Control Systems, 6:4 (2000), 579-602.

[9] C. Bonatti, V. Grines, F. Eaudenbaeh, O. Pochinka, Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 39:9 (2019),2403-2432.

[10] C. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds, Duke Mathematical Journal, 168:13 (2019), 25072558.

[11] X, Бонатти, В, 3, Гринес, В, С, Медведев, О, В, Починка, Бифуркации диффеоморфизмов Мореа-Смейла с дико вложенными сепаратрисами, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей, К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН,Наука, М,, 256 (2007), 54-69,

[12] J, Cerf, Sur les diffeomorphismes de la sphere de dimension trois (T4 = 0), Lecture Notes in Math., 53 (1968).

[13] И, M. Гельфанд, Лекции no линейной алгебре, M. Наука, (1971), 273.

[14] V. Grines, Е. Gurevich, D. Malvshev, О. Poehinka, On topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on the sphere Sn(n > 3), Nonlinearitv, 33:12 (2020), 7088-7113.

[15] B. 3. Гринес, E. Я. Гуревич, В. С. Медведев, О. В. Починка, О включении в поток диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности, большей двух, Математические заметки, 91:5 (2012), 791-794.

[16] В. 3. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, О включении, диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток, Современная математика. Фундаментальные направления, 66:2 (2020), 160-181.

[17] V. Grines, Е. Gurevich, О. Poehinka, On Embedding of Multidimensional Morse-Smale Diffeomorphisms into Topological Flows, Moscow Mathematical Journal, 19:4 (2019), 739-760.

[18] B. 3. Гринес, E. В. Жужома, В. С. Медведев, О. В. Починка, Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла, Тр. МИАН 271 (2010), 111-133; V. Z. Grines, Е. V. Zhuzhoma, V. S. Medvedev, О. V. Poehinka, Global attractor and repeller of Morse-Smale diffeomorphisms, Proc. Steklov Inst. Math., 271 (2010), 103-124.

[19] B. 3. Гринес, E. Я. Гуревич, E. В. Жужома, О. В. Починка, Классификация систем, Морса-Смейла и топологическая структура несущих многообразий, Успехи математических наук, 74:1 (2019), 41-116.

[20] В. 3. Гринес, Ф. Лауденбах, О. В. Починка, Динамически упорядоченная энергетическая функция для, диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях, Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 278:0,5 (2012), 34-48.

[21] V. Grines, Т. Medvedev, О. Poehinka, Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds, Switzerland, Springer International Publishing. 303, (2016).

[22] B. 3. Гринес, О. В. Починка, О простом изотопическом классе диффеоморфизм,а, "источник-сток" па, 3-сфере, Математические заметки, 94:6 (2013), 828-845.

[23] V, Grines, О, Pochinka, S, Van Strien, On 2-diffeomorphisms with one-dimensional basic sets and a finite number of moduli, Moscow Mathematical Journal, 16:4 (2016), 727-749.

[24] A. Dolgonosova, E. Nozdrinova, O. Pochinka, On the obstructions to the existence of a simple arc joining the multidimensional Morse-Smale diffeomorphisms, Динамические системы, 7(35):2, (2017), 103-111.

[25] G. Fleitas, Replacing tangencies by saddle-nodes, Bol. Soc. Brasil. Mat., 8:1 (1977), 47-51.

[26] J. Franks, Necessary conditions for the stability of diffeomorphisms, Trans. A. M. S,, 158 (1971), 301-308.

[27] F. Hararv, Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, MA (1969).

[28] M. W. Hirsch, Differential topology, (1979), 280.

[29] M. W, Hirsh, C.C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Springer Lecture Notes in Math., (1977) 583.

[30] А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М,: Факториал, (1999), 768.

[31] В. von Kerekjarto, Uber die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der Kugelflache Math. Ann, 80:1 (1919), 36-38.

[32] A. E. Колобянина, E. В. Ноздринова, О. В. Починка, Современное изложение классификации грубых преобразований окружности, Журнал Средневолжского математического общества, 20:4 (2018) 408-418.

[33] В. И. Лукьянов, Л. П. Шильников, О некоторых бифуркациях динамических систем, с гомоклиническими структурам,и,, Докл. АН СССР, 243:1 (1978), 26-29.

[34] S. Matsumoto, There are two isotopic Morse-Smale diffeomorphisms which cannot be joined by simple arcs, Inventiones mathematical, 51 (1979), 1-7.

[35] A. G. Mayer, Rough transformation of a circle to a circle, Sci. Notes Gorkiv State Univ., 12 (1939) 215-229.

[36] K. R. Meyer, Energy functions for Morse-Smale systems, Amer. J. Math., 90 (1968), 1031-1040.

[37] J. W, Milnor, О многообразиях гомеоморфных семимерной сфере, Сб. Математика, 1:3 (1957), 35-42.

[38] Дж, У, Милнор. Теория Морса, М,: Мир, (1965), 184,

[39] Дж, Милнор, А, Уоллес, Дифференциальная топология, Издательство Мир, Москва, (1972).

[40] Дж, Милнор, Теорема, об h-кобордизме, Издательство Мир, Москва, (1969),

[41] Т. М, Митрякова, О, В, Починка, А, Е, Шишенкова, Энергетическая функция для ди,ффеом,орфи,зм,ов поверхностей с конечным, гиперболическим, цепно рекуррентным множеством, Журнал Средневолжского математического общества, 14:1 (2012), 98-106.

[42] J. Munkres, Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms, Ann. 2110 Math., 72(3) (1960), 521-554.

[43] S, Newhouse. Non-density of axiom A on S2, Proe, AMS svmp, pure math., 14 (1970), 191-202.

[44] S, Newhouse, J, Palis, Bifurcations of Morse-Smale dynamical systems, Dynamical Systems, Academic Press (1973), 303-366,

[45] S, Newhouse, J, Palis, Cycles and bifurcation theory, Asterisque, 31 (1976), 43-140,

[46] S, Newhouse, J, Palis, F, Takens, Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms, Publications mathematiques de Г I.H.E.S, 57 (1983), 5-71,

[47] S. Newhouse, J. Palis, F. Takens, Stable arcs of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soe., 82:3 (1976), 499-502.

[48] S. Newhouse, M. Peixoto, There is a simple arc joining any two Morse-Smale fows, Asterisque, 31 (1976), 15-41.

[49] J. Nielsen, Die struktur periodischer transformationen von flachen, Math.-fvs. Medd. Danske Vid. Selsk. 15 (1937).

[50] E. В. Ноздринова, Существование связного характеристического пространства у градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, Журнал Средневолжского математического общества, 19:2 (2017), 91-97.

[51] Е. Nozdrinova, On a stable arc connecting Palis diffeomorphisms on a surface, Динамические системы, 10(38):2 (2020), 139-148.

[52] E. Nozdrinova, Rotation number as a complete topological invariant of a simple isotopic class of rough transformations of a circle, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 14:4 (2018), 543-551.

[53] Е, В, Ноздринова, О, В, Починка, О решении 33-ей проблемы Полиса-Пью для градиентно-подобных диффеоморфизмов двумерной сферы, Успехи математических наук, 75:2 (2020), 195-196.

[54] Е, Nozdrinova, О, Poehinka, Solution of the 33rd Palis-Pugh problem for gradientlike diffeomorphisms of a two-dimensional sphere, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 41:3 (2021), 1101-1131.

[55] E, Nozdrinova, O, Poehinka, Stable arcs connecting polar cascades on a torus, Russian Journal of Non-linear Dynamics, (2021),

[56] J, Palis,On Morse-Smale dynamical systems, Topology, 8:4 (1969), 385-404,

[57] J, Palis, A differentiable invariant of topological conjugacies and moduli of stability, Astfrisque, 51 (1978), 335-346.

[58] J, Palis, Moduli of stability and bifurcation theory, Proc, Int. Congres of Math, Helsinki (1978), 835-839.

[59] Ж. I la. inc. В. ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем,, Мир., (1998), 301.

[60] J. Palis, С. Pugh, Fifty problems in dynamical systems, Lecture Notes in Math., 468 (1975), 345-353.

[61] D. Pixton, Wild unstable manifolds, Topology, 16:2 (1977), 167-172.

[62] А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Серия "Классики естествознания". -М-Л,: ОГИЗ, (1947).

[63] С, Robinson, Global structural stability of a saddle-node bifurcation, Trans, A,M.S., 236 (1978), 155-172.

[64] D. Rolfsen, Knots and links, Bull. Amer. Math. Soe., 83:5 (1977), 931-935.

[65] S. Smale, Diffeomorphisms of the 2-sphere, Proc. AMS. 10 (1959), 621-626.

[66] S. Smale, On gradient dynamical systems, Ann. of Math., 74:2 (1961), 199-206.

[67] S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soe,, 73:6 (1967), 747817, (Пер, на рус, яз.: Смейл С, Дифференцируемые динамические системы, Успехи мат, наук., 25:1 (1970), 113-185).