Топологическая и гомотопическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Морозов Андрей Игоревич

• Морозов Андрей Игоревич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Морозов Андрей Игоревич

1.1.1 Основополагающие понятия

1.1.2 Порядок Смейла

1.1.3 Согласованная система окрестностей

1.1.4 Ориентируемость гетероклинического пересечения

1.1.5 Метод факторизации

1.1.6 Классификация Нильсена-Терстона

1.2 Топологическая классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей

1.2.1 Оснащенный ориентированный граф

1.2.2 Трехцветный граф

1.3 Топологическая классификация не градиентно-подобных диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях

1.3.1 Гетероклиническая подстановка

1.3.2 Схема

1.3.3 Марковские разбиения

2 Реализация гомеоморфизмов поверхностей алгебраически конечного типа диффеоморфизмами Морса-Смейла с ориентируемой гетерокли-никой

2.1 Компактификация поверхностей с краем

2.2 Реализация гомотопического класса гомеоморфизма ф^ градиентно-подобным диффеоморфизмом

2.3 Склейка динамик посредством ориентируемых гетероклиник

3 Определение гомотопического типа диффеоморфизма Морса-Смейла по гетероклиническому пересечению

3.1 Гетероклинические кольца

3.2 Диффеоморфизмы Морса-Смейла без существенных гетероклинических колец

3.3 Диффеоморфизмы Морса-Смейла с существенными гетероклинически-

ми кольцами

4 Топологическая классификация диффеоморфизмов класса ЫБ\(Ы2)

4.1 Схема диффеоморфизма f € ЫБ\(Ы2)

4.2 Класс эквивалентности схемы - полный инвариант

4.3 Абстрактная схема

5 Диффеоморфизмы с ориентируемой гетероклиникой

5.1 Ьвк(/) = 1 для / е МБ+(М2)

5.2 Топологическая классификация

5.2.1 Построение графа

5.2.2 Граф - полный топологический инвариант

5.2.3 Полиномиальный алгоритм различения изоморфности графов диффеоморфизмов из класса МБ+(М2)

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологическая и гомотопическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях»

Введение

В 1937 году А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин [3] ввели понятие грубой системы дифференциальных уравнений, заданных в ограниченной части плоскости, как системы, не меняющей своих качественных свойств при малых изменениях правых частей, и указали необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была грубой. Наиболее естественное обобщение этих условий выделяет класс динамических систем (потоков и каскадов (см. пункт 1.1.1)) Морса-Смейла. Свое название системы Морса-Смейла получили после публикации работы [69] в 1960 году, где С. Смейл доказал выполнение соотношений, аналогичных неравенствам Морса, для потоков на n-многообразиях, чье неблуждающее множество гиперболично, состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий. Хорошо известно [59], [60], что динамические системы Морса-Смейла на многообразиях любой размерности действительно являются грубыми (структурно устойчивыми), но не являются типичными, за исключением потоков Морса-Смейла на поверхностях [3], [61] и каскадов Морса-Смейла на окружности [43].

Одним из первых вопросов, возникающих при изучении динамической системы, является вопрос о поведении ее траекторий и возможности качественно, с точностью до топологической эквивалентности (сопряженности), отличать это поведение от поведения траекторий другой системы. Решение этих задач составляет топологическую классификацию динамических систем и заключается, во-первых, в выделении информации о системе, однозначно определяющей ее класс топологической эквивалентности (сопряженности) и называемой полным топологическим инвариантом, и, во-вторых, в реализации - построении по выделенной информации стандартного представителя в каждом классе топологической эквивалентности (сопряженности). Возможность реализации также позволяет моделировать системы с заданными свойствами.

Например, класс эквивалентности потока Морса-Смейла на окружности однозначно определяется числом его неподвижных точек. Для каскадов на окружности полный топологический инвариант получен А.Г. Майером [43] в 1939 году и состоит из числа периодических орбит и числа вращения Пуанкаре. В 1955 году Е.А. Леонтович и А.Г. Майер [39] в качестве полного топологического инварианта ввели схему потока с конечным числом особых траекторий на двумерной сфере. В 1971 году М. Пейшото [62] формализовал понятие схемы Леонтович-Майера и доказал, что для потока на произвольной двумерной поверхности полным топологическим инвариантом является класс изоморфности ориентируемого графа, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями, а ребра соответствуют некоторым компонентам связности инвариантных многообразий состояний равновесия и замкнутых траекторий, при этом изоморфность графов

включает в себя сохранение выделенных специальным образом подграфов1.

При переходе от потоков к поверхностным диффеоморфизмам Морса-Смейла появляется новый тип траекторий, называемых гетероклиническими и принадлежащих пересечению W<S П W" инвариантных многообразий различных седловых точек. При этом пересечение W<S П W^2 является счетным множеством и каждая точка этого множества называется гетероклинической точкой, а орбита гетероклинической точки называется гетероклинической орбитой.

Для диффеоморфизма Морса-Смейла f : M2 ^ M2, заданного на ориентируемой поверхности M2, появляется возможность ввести понятие ориентируемого гетерокли-нического пересечения. Для любой гетероклинической точки x Е WS П W™2 определим упорядоченную пару векторов (vU,vSS), где:

• UU — касательный вектор к неустойчивому многообразию точки а2 в точке x и направленный от точки x к точке fm" (x), где mu — это период компонеты связности WU2 \ (a2} содержащей x;

• US — касательный вектор к устойчивому многообразию точки a1 в точке x и направленный от точки x к точке fmS (x), где ms — это период компонеты связности W^ \ (ai} содержащей x.

Гетероклиническое пересечение диффеоморфизма f называется ориентируемым, если упорядоченные пары векторов (vU,vS.) задают одинаковую ориентацию несущей поверхности M2. В противном случае гетероклиническое пересечение называется неори-ентируемым.

Диффеоморфизм f называется градиентно-подобным, если W<S1 П W™2 = 0 для любых различных седловых точек a1,a2 Е П/.

Чтобы получить полную классификацию градиентно-подобных диффеоморфизмов на поверхностях, в 1985 году А.Н. Безденежных и В.З. Гринес [8, 9, 10, 25] ввели оснащенные графы, аналогичные графам М. Пейшото [62] для градиентно-подобных потоков. Оснащение включало в себя информацию о границах ячеек диффеоморфизма. Модифицированный вариант графа описан в работе [29]. Также, аналогично подходу А.А. Ошемкова, В.В. Шарко [58] для градиентно-подобных потоков В.З. Гринес, С.Х. Капкаева и О.В. Починка [27] описали трехцветный граф, как инвариант для градиентно-подобных каскадов.

Следующим логическим шагом в классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла была классификация сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов на ориентируемых поверхностях с конечным множеством гетероклинических орбит. В 1993 году В.З. Гринес [25], на основе графа Пейшото, описал топологический инвариант

1В работе [58] А.А. Ошемкова и В.В. Шарко была замечена неточность инварианта Пейшото,

связанная с тем, что изоморфизм графов не различает неэквивалентного расслоения на траектории областей, ограниченных двумя периодическими орбитами.

для диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит, исчерпывающихся орбитами точек пересечения связных фундаментальных отрезков сепаратрис. Приведенный инвариант являлся графом, оснащенным некоторой гетеро-клинической подстановкой, описывающей схему пересечения инвариантных многообразий.

Немного позднее Р. Ланжевен [38] предложил рассматривать пространство орбит бассейна стока и проекции неустойчивых сепаратрис седловых точек на полученное пространство орбит. Этот подход был обобщен и успешно применен Хр. Бонатти, В.З. Гринесом, В.В. Медведевым, Э. Пеку, Ф. Лауденбахом и О.В. Починкой в работах [12, 13, 11, 34, 65, 66] для топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях. Подход Ланжевена использовался и в двумерном случае. Так, в 2010 году Т.М. Митрякова и О.В. Починка [46] применили его к топологической классификации диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетеро-клинического касания. Они построили топологический инвариант, названный схемой, состоящий из конечного числа двумерных торов с набором простых замкнутых кривых (см. Рис. 13). Они также доказали, что этот инвариант является полным для рассматриваемого класса диффеоморфизмов с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа неподвижных точек, и в работе [45] решили проблему их реализации по допустимой абстрактной схеме.

В 1998 году иной подход использовали Хр. Бонатти и Р. Ланжвен [15], рассматривая диффеоморфизмы Смейла компактных поверхностей - структурно устойчивые диффеоморфизмы с нульмерными базисными множествами. Ими доказано, что каждому диффеоморфизму Смейла соответствует конечный комбинаторный объект, представляющий собой набор геометрических типов марковских разбиений. Диффеоморфизмы Морса-Смейла являются частным случаем диффеоморфизмов Смейла, однако, они не были выделены для отдельного рассмотрения, в связи с чем для них такая классификация оказалась неоправданно трудоемкой.

В разделе 1 приведен обзор имеющихся на сегодняшний день классификационных результатов для не градиентно-подобных диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях. Откуда видно, что, даже в случае конечного числа гетероклинических орбит для диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях, не имеется исчерпывающих классификационных результатов. Основная проблема состоит в том, что все известные на сегодняшний день полные топологические инварианты таких систем не доведены до этапа реализации. В разделе 4 настоящей работы получена полная топологическая классификация сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит на ориентируемых поверхностях, включая реализацию. Инвариантом является пара схем, аналогичных схемам, введенным в работе

[46].

В разделе 5.1 установлено, что условие ориентируемости гетероклинического пересечения у сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на ориентиру-

6

емых поверхностях гарантирует конечность числа его гетероклинических орбит. Кроме того, факт ориентируемости пересечения позволил для таких диффеоморфизмов установить в разделе 5.2 существование комбинаторных инвариантов - эффективно различимых графов. Также выделено множество допустимых графов, по каждому из которых реализован диффеоморфизм Морса-Смейла на поверхности, имеющий ориентируемое гетероклиническое пересечение.

Раздел 3 настоящей работы посвящен взаимосвязи поверхностных диффеоморфизмов Морса-Смейла с гомотопической теорией Нильсена-Терстона. Согласно классификации Нильсена-Терстона (смотри, например [16], [4] или [29, с. 284]), множество всех гомотопических классов гомеоморфизмов ориентируемой поверхности представляется в виде четырех непересекающихся множеств Т1}Т2,Т3,Т4. Гомотопический класс из каждого подмножества характеризуется существованием в нем гомеоморфизма, называемого канонической формой Терстона, а именно: 1) периодического гомеоморфизма, 2) приводимого непериодического гомеоморфизма алгебраически конечного типа, 3) приводимого гомеоморфизма не являющегося гомеоморфизмом алгебраически конечного типа, 4) псевдоаносовского гомеоморфизма (смотри раздел 1.1.6 для точных определений).

Канонические формы Терстона не являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами, однако, С. Арансон и В. Гринес [4] предположили, что каждый гомотопический класс поверхностного гомеоморфизма содержит также и структурно устойчивый диффеоморфизм. Для класса Т1 подтверждение гипотезы Арансона-Гринеса получено А. Безденежных и В. Гринесом [10]. Именно, в каждом гомотопическом классе из множества Т1 построен градиенто-подобный диффеоморфизм и получена полная топологическая классификация таких диффеоморфизмов [8, 9]. В статье [72] анонсировано существование в каждом гомотопическом классе Т4 структурно устойчивого диффеоморфизма, неблуждающее множество которого состоит из конечного числа источни-ковых орбит и единственного одномерного аттрактора. В [28] найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух таких диффеоморфизмов. В разделе 2 настоящей работы описана реализация каждого гомотопического класса типа Т2 диффеоморфизмом Морса-Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечением.

Согласно [4] любой гомеоморфизм гомотопического типа Т3 или Т4 имеет бесконечное множество периодических точек. В силу чего поверхностные диффеоморфизмы Морса-Смейла не могут принадлежать гомотопическим классам типов Т3 и Т4. При этом, все градиентно-подобные диффеоморфизмы лежат в гомотопических классах типа Т1. Тогда как диффеоморфизмы Морса-Смейла с гетероклиническими пересечениями могут принадлежать к гомотопическим классам обоих типов Т1 и Т2. В разделе 3 настоящей работы построен алгоритм, позволяющий определить гомотопичсекий тип Нильсена-Терстона для не градиентно-подобного диффеоморфизма Морса-Смейла на поверхности по сигнатуре его гетероклинического пересечения.

Цели и задачи исследования

Основными целями диссертации являются получение новых классификационных и реализационных результатов для класса сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла.

Поставленные задачи делятся по двум направлениям: гомотопическая теория и топологическая классификация сохраняющих ориентацию отображений поверхностей.

В рамках гомотопической теории настоящее исследование решает следующие задачи:

• Построить структурно устойчивого представителя в каждом гомотопическом классе второго типа Нильсена-Терстона;

• Разработать алгоритм, позволяющий определить гомотопический тип Нильсена-Терстона для сохраняющего ориентацию диффеоморфизма Морса-Смейла поверхности.

В рамках топологической классификации сохраняющих ориентацию отображений поверхностей настоящее исследование решает следующие задачи:

• Получить полную топологическую классификацию для диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит, включая реализацию;

• Доказать, что диффеоморфизм Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклини-ческими пересечениями имеет конечное число гетероклинических орбит;

• Получить комбинаторный инвариант для диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими пересечениями;

• Доказать существование эффективного алгоритма различения полученного комбинаторного инварианта.

Научная новизна результатов

Все результаты являются новыми. Именно:

• Получена реализация диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемым ге-тероклиническим пересечением в каждом гомотопическом классе второго типа Нильсена-Терстона .

• Получен алгоритм распознавания принадлежности заданного неградиентно-подобного диффеоморфизма Морса-Смейла первому Т1 или второму Т2 множеству Нильсена-Тёрстона по его гетероклиническому пересечению.

• Получена полная топологическая классификация множества диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит, включая реализацию.

• Доказано, что сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими пересечениями имеет конечное число гетеро-клинических орбит.

• Построен граф, являющийся полным топологическим инвариантом для класса диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими пересечениями.

• Доказано существование эффективного алгоритма установления изоморфности графов.

Теоретическая и практическая значимость проведенных исследований

В ходе работы получены фундаментальные математические результаты в области динамических систем. Многие естественные науки используют математические модели, основанные на диффеоморфизмах Морса-Смейла на 2-многообразиях. Большую практическую значимость диффеоморфизмы Морса-Смейла имеют в области обработки данных. Например, в работе [18] исследуются топологический анализ и обработка крупномасштабных распределенных данных, генерируемых сенсорными сетями. Алгоритмы, построенные на основе разложения Морса-Смейла, имеют преимущество в производительности при обработке данных. Так же комплекс Морса-Смейла обеспечивает топологически значимое разложение области. В работе [19] реализована дискретная аппроксимация комплекса Морса-Смейла, что позволяет лучше работать с многомерными наборами данных. Диффеоморфизмы Морса-Смейла могут быть использованы для описания поведения магнитных полей. Как, например, в работе [30] свойства диффеоморфизма Морса - Смейла применены для решения проблемы о существовании сепараторов в магнитном поле плазмы.

Методология и методы исследования

В ходе исследования были разработаны новые инварианты, позволяющие решить поставленные задачи. Для определения типа Нильсена-Терстона для диффеоморфизма Морса-Смейла введен индекс гетероклинического пересечения £. Использована новая идея построения графа, для диффеоморфизма Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими пересечениями. Также оригинальной идеей является использование пары схем для классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла.

Среди классических методов теории динамических систем использованных в работе можно выделить следующие: факторизация, линеаризующие окрестности, теория узлов, последовательное построение сопрягающего отображения.

Положения, выносимые на защиту

• Получена реализация диффеоморфизм Морса-Смейла с ориентируемым гетеро-клиническим пересечением в каждом гомотопическом классе {к} Е Т2 (Теорема 1).

• Разработан алгоритм распознавания принадлежности заданного неградиентно-подобного диффеоморфизма класса МБ (М2) множеству Нильсена-Тёрстона Т1 или Т2 по его гетероклиническому пересечению (Теорема 2).

• Приведена полная топологическая классификация множества МБ1(М2) диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит (Ьвк(/) = 1), включая реализацию(Теоремы 3,4).

• Доказано, что сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими пересечениями имеет конечное число гетеро-клинических орбит (Теорема 5).

• Разработан граф (Tf, Pf) являющийся полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов класса МБ+ (М2) (Теорема 6).

• Доказано существование эффективного алгоритма установления изоморфности графов (Tf, Pf) (Теорема 7).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 91 страницу, включая 44 рисунка. Список литературы содержит 72 наименования.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертации результаты получены автором самостоятельно. Научному руководителю О.В. Починке принадлежит постановка задач и общее руководство научно-исследовательской деятельностью диссертанта с целью подготовки к защите диссертации. В.З. Гринес и Д.С.Малышев являлись консультантами по вопросам теории графов.

1 Обзор имеющихся по данной тематике результатов

1.1 Необходимые сведения из теории динамических систем

Развернутое изложение приведенных в данном разделе понятий и фактов можно найти в [68], [26], [29].

1.1.1 Основополагающие понятия

Непрерывной динамической системой или потоком на иногообразии Мп (называемом фазовым пространством или объемлющим пространством) называется непрерывное отображение f : Мп х М ^ Мп с групповыми свойствами

1) f (х, 0) = х для любого х € Мп;

2) f(р(х,*),в) = f(х,* + в) для любых х Е Мп, в,* € М.

Заменив М. на Z в определении потока, получаем определение дискретной динамической системы или каскада. В дальнейшем для потока (каскада) будем полагать Р*(х) = f(х,*), * € М (* € Из определения потока (каскада) следует, что каждое отображение р : Мп ^ Мп для фиксированного * € М. (* € является гомеоморфизмом. При этом для каскада отображение рк (р-к), к € N есть суперпозиция Р к = Р Р ... Р (Р-к = Р-1 ...р-1). Для потока отображение р1 называют сдвигом

к к

на единицу времени, для каскада часто само отображение f = f1 называют дискретной динамической системой. Таким образом, непрерывная (дискретная) динамическая система — это действие гомеоморфизмами группы R (Z) на топологическом пространстве. В дальнейшем f1 будет означать поток, а f — каскад.

Пусть диффеоморфизм f : Mn ^ Mn задан на гладком замкнутом (компактном без края) n-многообразии (n ^ 1) Mn с метрикой d.

Два диффеоморфизма f, f' : Mn ^ Mn называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм h : Mn ^ Mn такой, что f h = hf'.

Точка x G Mn называется блуждающей для f, если существует открытая окрестность точки x такая, что fn(Ux) П = 0 для всех n G N. В противном случае точка x называется неблуждающей. Множество неблуждающих точек диффеоморфизма f называется неблуждающим множеством и обозначается П/.

Если неблуждающее множество П/ конечно, то каждая точка р G П/ является периодической, обозначим через mp G N период периодической точки р. С любой периодической точкой р связаны устойчивое и неустойчивое многообразия, определяемые следующим образом:

Wps = {x G Mn : Jim d(fkmP(x),p) = 0},

WP = {x G Mn : lim d(f-kmp(x),p) = 0}.

p к^+те

Устойчивые и неустойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Говорят, что периодические орбиты O1,... , Ok образуют цикл, если

Щ П WUг+1 = 0 для г Е{1,...,к} и ак+1 = 01.

Периодическая точка р Е Пf называется гиперболической, если все собственные значения матрицы Якоби (^х^) 1Р по модулю не равны единице. Если все собственные значения по модулю меньше (больше) единицы, то р называют стоковой (источнико-вой) точкой. Стоковые и источниковые точки называются узловыми. Если гиперболическая периодическая точка не является узловой, то она называется седловой точкой.

Из гиперболической структуры периодической точки р следует, что ее устойчивое Wp и неустойчивое Wp многообразия являются образами относительно инъективных иммерсий пространств и Мп-9р, где др - число собственных значений матрицы Якоби, по модулю больших единицы. Число ир, равное +1(-1), если отображение ¡тр сохраняет (меняет) ориентацию Wp, называется типом ориентации точки р. Компонента линейной связности множества Wp \р \р) называется неустойчивой (устойчивой) сепаратрисой точки р.

Замкнутое f -инвариантное множество А С Мп называется аттрактором дискретной динамической системы f, если оно имеет компактную окрестность и а такую, что f (иА) С гиги а и А = П fк (иа). Окрестность иА при этом называется захватывающей, или изолирующей. Репеллер определяется как аттрактор для f-1. Дополнением до захватывающей окрестности аттрактора является захватывающая окрестность дуального репеллера.

Диффеоморфизм f : Мп ^ Мп называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если

1) неблуждающее множество Qf состоит из конечного числа гиперболических орбит;

2) многообразия Wp, Wqt пересекаются трансверсально для любых неблуждающих точек р, д.

Диффеоморфизм Морса-Смейла называется градиентно-подобным, если из условия WS1 П WU2 = 0 для различных точек а1, а2 Е Qf следует, что длш WU1 < длш WU2.

Гетероклиническим пересечением диффеоморфизма Морса-Смейла называется пересечение седловых сепаратрис этого диффеоморфизма.

Везде далее мы будем предполагать, что Мп - ориентируемое многообразие и обозначать через МБ(Мп) множество сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла заданных на многообразии Мп.

1.1.2 Порядок Смейла

Рассмотрим диффеоморфизм f Е МБ(М2). Пусть 0%, О^ периодические орбиты диффеоморфизма Морса-Смейла f : М2 ^ М2. В работе [68] С. Смейл ввел понятие отношения частичного порядка для периодических орбит

0% < 03 ^ W¿. П Щ, = 0.

Для седловых орбит О — О любая точка пересечения П называется гетероклинической. Последовательность различных седловых периодических орбит О = Озд, ,..., = О (к > 1), такая что Озд — — ■ ■ ■ — называется цепью длины к соединяющей периодические орбиты О и О (см. Рис. 1). Максимальная

Рис. 1: Цепь длины 2: 0i 02 ^ 03, для неподвижных седловых точек pi = 0i,p2 =

02, Р3 = O3.

длина седловой цепи соединяющей орбиты 0j и Oj обозначается как beh(0j|0j) (beh от английского behaviour (отношение)). Полагают beh(0j0) = 0, если WOj П WO. = 0. Положим

beh(f) = max{beh(0j |0»)>.

1.1.3 Согласованная система окрестностей

Идея рассмотрения согласованных трубчатых систем окрестностей для диффеоморфизмов Морса-Смейла восходит к работам Дж. Палиса и С. Смейла [59], [60]. Мы изложим модификацию этой идеи для диффеоморфизма р € Мб"(М2).

Для V € { — 1, +1} обозначим через а^ : М2 ^ М2 диффеоморфизм, заданный формулой

а^(х,у) = (и ■ х■ 2у) .

Диффеоморфизм а^ : М2 ^ М2 имеет единственную неподвижную седловую точку в начале координат О с устойчивым многообразием ЖО = Ох и неустойчивым многообразием ЖО = Оу.

Положим N = {(х, у) € М2 : |ху| < 1}. Определим в окрестности N пару транс-версальных слоений ^ следующим образом:

= и {(х, У) € N : у = Су},

С2€Оу

= U {(x,y) gn : x = cx}.

схбОж

Заметим, что множество N является инвариантным относительно канонического диффеоморфизма аи, а также аи переводит слои слоения Ти (Тв слои этого же слоения.

Пусть а - седловая периодическая точка диффеоморфизма f € МБ(М2). Обозначим через ш0 период седловой точки а. Напомним, что типом ориентации седловой точки а называется число иа, равное —1 (+1), если диффеоморфизм f т" меняет (сохраняет) ориентацию.

Окрестность N и седловой точки а назовем линеаризующей, если существует гомеоморфизм к0 : N ^ N, сопрягающий диффеоморфизм fт N с каноническим диффеоморфизмом а„а .

Слоения Ти, Т5 индуцируют посредством гомеоморфизма к-1, fт" -инвариантные слоения ^ на линеаризующей окрестности N 0 (см. Рис. 2). Для любой точки х € N „ обозначим через ^и*, ^и* слои слоений ^и, проходящие через точку х.

Г

Ж* А

Ти<

Я

о

К

Рис. 2: Линеаризующая окрестность седловой точки а.

та -1

Окрестность N0= и fк (N0-), оснащенную отображением ко, составленным из

к=о

гомеоморфизмов к0f-к : fк(N0-) ^ N, к = 0,..., ш0 — 1, будем называть линеаризующей окрестностью орбиты 00.

Набор Nf из f-инвариантных линеаризующих окрестностей N0- всех седловых точек а диффеоморфизма f € МБ(М2) называется согласованной системой окрестностей, если выполняются следующие свойства (см. Рис. 3):

• Если П= 0 и ПЩ2 = 0 для седловых точек а1 }а2} то N0г П N а2 = 0;

• Если Ш! П Щи, = 0 для седловых точек а1, а2, то

К.* П N02) с ^.*, П N0!) с

01.x 1

для х € (N01 П N02).

Рис. 3: Пересечение линеаризующих окрестностей Ж(71 и седловых точек о и о2.

Предложение 1.1 ([14], Теорема 2). Для любого диффеоморфизма р € М5(М2) существует согласованная система окрестностей2.

1.1.4 Ориентируемость гетероклинического пересечения

Для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла р, заданных на ориентируемой поверхности М2, введем понятие ориентируемой гетероклиники следующим образом.

Пусть , о — седловые точки диффеоморфизма р такие, что Ж®. П = 0. Для любой гетероклинической точки х € П Ж", определим упорядоченную пару

г 3

векторов (Ц^иХ), где:

• Чс — касательный вектор к неустойчивому многообразию точки о в точке х и направленный от точки х к точке р(х), где ти — это период компонеты связности Ж". \ {о} содержащей х;

• иХ — касательный вектор к устойчивому многообразию точки о в точке х и направленный от точки х к точке рт" (х), где т5 — это период компонеты связности Ж® \ {ог} содержащей х.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозов Андрей Игоревич, 2024 год

Список литературы

[1] Au T. K. K., Luo F., Yang T. Lectures on the Mapping Class Group of a surface //Transformation groups and moduli spaces of curves. - 2010. - Vol. 16. - P. 21-61.

[2] Abikoff, W. (1981). The uniformization theorem. The American Mathematical Monthly, 88(8), 574-592.

[3] Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы //докл. АН СССр. - 1937. - Т. 14. - №. 5. - С. 247-250.

[4] Anosov D. V., Aranson S. Kh., Grines V. Z., Plykin R.V., Sataev E. A., Safonov A. V., Solodov V. V., Starkov A. N., Stepin A. M., Shlyachkov S. V. Dynamical systems with hyperbolic behavior, Dynamical systems - 9, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. directions, 66, VINITI, M., 1991, 5-242.

[5] Арансон С. Х., Гринес В. З. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных многообразиях, УМН, 45:1(271) (1990), 3-32; Russian Math. Surveys, 45:1 (1990), 1-35

[6] Banyaga A. On the structure of the group of equivariant diffeomorphisms //Topology.

- 1977. - Vol. 16. - №. 3. - P. 279-283.

[7] Безденежных А.Н. Диссертация "Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемым гетероклиническим множеством на двумерных многообразиях. ", Горьковский ордена трудового красного знамени государственный университет им. Н.И. Лобачевского. Горький, 1985 г.

[8] Bezdenezhnykh A. N., Grines V. Z. Dynamical Properties and Topological Classification of Gradient-Like Diffeomorphisms on Two-Dimensional Manifolds I. Sel. Math. Sov. 1992. V. 11, 1, 1-11.

[9] Bezdenezhnykh A. N., Grines V. Z. Dynamical Properties and Topological Classification of Gradient-Like Diffeomorphisms on Two-Dimensional Manifolds II. Sel. Math. Sov. 1992. V. 11, 1, 13-17.

[10] Bezdenezhnykh A. N., Grines V. Z. Realization of gradient-like diffeomorphisms of two-dimensional manifolds //Differential and integral equations. - 1985. - С. 33-37.

[11] Bonatti C. et al. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds //Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 2019.

- Vol. 39. - №. 9. - P. 2403-2432.

[12] Bonatti C. et al. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds //Topology. - 2004. - Vol. 43. - №. 2. - P. 369-391.

[13] Bonatti C., Grines V. Z., Pochinka O. V. Classification of morse-smale diffeomorphisms with finite sets of heteroclinic orbits on 3-manifolds //Doklady Mathematics. - Pleiades Publishing, Ш.(Плеадес Паблишинг, Лтд), 2004. - Vol. 69. - №. 3. - P. 385-387.

[14] Bonatti C., Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2019. Vol. 39. No. 9. P. 2403-2432.

[15] Bonatti C., Langevin R., Diffeomorphismes de Smale des surfaces. Asterisque. Societe mathematique de France. Paris. 1998, 250.

[16] Casson A. J., Bleiler S. A. Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston. -Cambridge University Press, 1988. - №. 9.

[17] Cobham A. The intrinsic computational difficulty of functions. Proceedings of the 1964 international congress for logic, methodology, and philosophy of science, North-Holland, Amsterdam, P. 24-30.

[18] Gao J. Sarkar R. Zhu X. (2008). Morse-smale decomposition, cut locus and applications in wireless sensor networks.

[19] Gerber S., Potter K. Data analysis with the morse-smale complex: The msr package for r //Journal of Statistical Software. - 2012. - Т. 50. - С. 1-22.

[20] Constantin, A., and Kolev, B. (2003). The theorem of Kerekjarto on periodic homeomorphisms of the disc and the sphere. arXiv preprint math/0303256.

[21] Farb B., Margalit D. A primer on mapping class groups (pms-49). - Princeton university press, 2011. - Vol. 41.

[22] Гэри М. и др. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - Мир, 1982. - Т. 416.

[23] Gilman J. On the Nielsen type and the classification for the mappingclass group. Adv. Math.— 1981.— 40, № 1.— P. 68—96

[24] Gilman J. Thurston classes using Nielsen types. Trans. Amer. Math. Soc, 1982,— 272, № 2. — P. 669—675

[25] Grines V. Z. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms with finite set of heteroclinic trajectories on surfaces //Matematicheskie Zametki. - 1993. - Т. 54. -№. 3. - С. 3-17.

[26] Гринес В. З. и др. Классификация систем Морса-Смейла и топологическая структура несущих многообразий //Успехи математических наук. - 2019. - Т. 74. - №. 1 (445. - С. 41-116.

[27] Grines V. Z., Kapkaeva S. K., Pochinka O. V. A three-colour graph as a complete topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of surfaces //Sbornik: Mathematics. - 2014. - Vol. 205. - №. 10. - P. 1387.

[28] Grines V. Z., Kurenkov E. D. Diffeomorphisms of 2-manifolds with one-dimensional spaciously situated basic sets //Izvestiya: Mathematics. - 2020. - Vol. 84. - №. 5. - P. 862.

[29] Grines V. Z., Medvedev T. V., Pochinka O. V. Dynamical systems on 2-and 3-manifolds. - Cham : Springer, 2016. - Vol. 46.

[30] Гринес В. З. и др. Гетероклинические кривые диффеоморфизмов Морса-Смейла и сепараторы в магнитном поле плазмы //Russian Journal of Nonlinear Dynamics.

- 2014. - Т. 10. - №. 4. - С. 427-438.

[31] Grines V.Z. et al. Global attractor and repeller of Morse-Smale diffeomorphisms //Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2010. - Vol. 271. - №. 1.

- P. 103-124.

[32] Grines V., Morozov A., Pochinka O. Determination of the Homotopy Type of a Morse-Smale Diffeomorphism on an Orientable Surface by a Heteroclinic Intersection //Qualitative Theory of Dynamical Systems. - 2023. - Vol. 22. - №. 3. - P. 120.

[33] Grines V. Z., Morozov A. I., Pochinka O. V. Realization of Homeomorphisms of Surfaces of Algebraically Finite Order by Morse-Smale Diffeomorphisms with Orientable Heteroclinic Intersection //Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2021. - Vol. 315. - №. 1. - P. 85-97.

[34] Гринес В. З., Починка О. В. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях //Успехи математических наук. - 2013. - Т. 68. - №. 1 (409. - С. 129-188.

[35] Grines V., Pochinka O., Van Strien S. On 2-diffeomorphisms with one-dimensional basic sets and a finite number of moduli // Moscow Mathematical Journal. 2016. Vol. 16. No. 4. P. 727-749.

[36] Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размерности два и три //Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований. - 2011.

[37] Косневский Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М., Мир, 1983, 302 с.

[38] Langevin R. Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Morse-Smale dune surface //Annales de linstitut Fourier. - 1993. - Vol. 43. - №. 1. - P. 265-278.

[39] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории //ДАН СССР. - 1955. - Т. 103. - №. 4. - С. 557-560.

[40] Lickorish W. B. R. A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold //Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - Cambridge University Press, 1964. - Vol. 60. - №. 4. - P. 769-778.

[41] Luks E. M. Isomorphism of graphs of bounded valence can be tested in polynomial time //Journal of computer and system sciences. - 1982. - Vol. 25. - №. 1. - P. 42-65.

[42] Майер А. О траекториях на ориентируемых поверхностях //Матем. сб. - 1943. -Т. 12. - №. 54. - С. 1.

[43] Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность //Ученые записки ГГУ. - 1939. - №. 12. - С. 215-226.

[44] Malyshev D., Morozov A., Pochinka O. Combinatorial invariant for Morse-Smale diffeomorphisms on surfaces with orientable heteroclinic //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Vol. 31. - №. 2. - P. 023119.

[45] Mitryakova T. M., Pochinka O. V. Realization of cascades on surfaces with finitely many moduli of topological conjugacy //Mathematical Notes. - 2013. - Vol. 93. - P. 890-905.

[46] Митрякова Т. М., Починка О. В. О необходимых и достаточных условиях топологической сопряженности диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания //Труды Математического института имени ВА Стеклова. - 2010. - Т. 270. - №. 0. - С. 198-219.

[47] Митрякова Т. М., Починка О. В. Реализация каскадов Морса-Смейла на поверхностях. ННГУ Нижний Новгород.

[48] Morozov A. I. Determination of the Homotopy Type of a Morse-Smale Diffeomorphism on a 2-torus by Heteroclinic Intersection //Russian Journal of Nonlinear Dynamics. -2021. - Vol. 17. - №. 4. - P. 465-473.

[49] Morozov A., Pochinka O. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with a finite set of heteroclinic orbits on surfaces // Moscow Mathematical Journal. 2023. Vol. 23. No. 4. P. 571-590.

[50] Morozov A., Pochinka O. Morse-Smale surfaced diffeomorphisms with orientable heteroclinic //Journal of Dynamical and Control Systems. - 2020. - Vol. 26. - P. 629-639.

[51] Munkres J. Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms //Annals of Mathematics. - 1960. - P. 521-554.

[52] Munkres J.; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13181629-2.

[53] Nielsen, J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen.// I Acta Math. - 1927. - 50. - p. 189-358; II Acta Math. - 1929 - 53. - p. 1-76; III Acta Math. - 1932. - 58. - p. 87-167;

[54] Nielsen, J. Die Structur periodisher Transformationen von Flachen. // D.K. Dan. Vidensk. Selsk. Math-fys. Medd. - 1937. - 15. - p. 1-77.

[55] Nielsen, J. Surface transformation classes of algebraically finite type.// Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. - 1944. - 21. - p. 89.

[56] Nozdrinova E., Pochinka O. Solution of the 33rd Palis-Pugh problem for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2021. Vol. 41. No. 3. P. 1101-1131.

[57] Nozdrinova E., Pochinka O. Stable Arcs Connecting Polar Cascades on a Torus // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2021. Vol. 17. No. 1. P. 23-37.

[58] Oshemkov A. A., Sharko V. V. Classification of Morse-Smale flows on two-dimensional manifolds //Sbornik: Mathematics. - 1998. - Vol. 189. - №. 8. - P. 1205.

[59] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems //Topology. - 1969. - Vol. 8. - №. 4. - P. 385-404.

[60] Palis J., Smale S. Structural stability theorems //The Collected Papers of Stephen Smale. Vol 2. - 2000. - P. 739-747.

[61] Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds //Topology. - 1962. - Vol. 1. - №. 2. - P. 101-120.

[62] Peixoto M. M. On the classification of flows on 2-manifolds //Dynamical systems. -Academic Press, 1973. - P. 389-419.

[63] Pixton D. Wild unstable manifolds //Topology. - 1977. - Vol. 16. - №. 2. - P. 167-172.

[64] Р. В. Плыкин, О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов, УМН, 39:6(240) (1984), 75-113; Russian Math. Surveys, 39:6 (1984), 85-131

[65] Pochinka O. V. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds //Doklady Mathematics. - SP MAIK Nauka/Interperiodica, 2011. - Vol. 84. - P. 722-725.

[66] Починка О. В., Шутов А. А. О связи динамики градиентно-подобного 3-диффеоморфизма со структурой характеристического пространства //Динамические системы. - 2014. - Т. 4. - №. 3-4 (32). - С. 185-192.

[67] Rolfsen D. Knots and links. - American Mathematical Soc., 2003. - Vol. 346.

[68] Smale S. Differentiable dynamical systems //Bulletin of the American mathematical Society. - 1967. - Vol. 73. - №. 6. - P. 747-817.

[69] Smale S. Morse inequalities for a dynamical system. - 1960.

[70] Thurston W. P. On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces //Bulletin of the American mathematical society. - 1988. - Vol. 19. - №. 2. - P. 417-431.

[71] Travaux de Thurston sur les surfaces - Seminaire Orsay. Asterisque, no. 66-67 (1979), 296 p.

[72] Zhirov A. Y., Plykin R. V. The correspondence between one-dimensional hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces and generalized pseudo-Anosov diffeomorphisms //Mat. Zametki. - 1995. - Vol. 58. - №. 1. - P. 149-152.