Глобальная динамика регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Зинина Светлана Халиловна

• Зинина Светлана Халиловна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Зинина Светлана Халиловна

4.1.2.2 Периодические данные

4.1.3 Граф гомеоморфизма f € С

4.1.3.1 Некоторые понятия теории графов

4.1.3.2 Построение графа гомеоморфизма f е С

4.1.3.3 Связь графа (Tf; Pf) с гомеоморфизмом f е Q

4.1.4 Необходимые и достаточные условия сопряженности гомеоморфизмов класса Q

4.1.5 Реализация гомеоморфизмов класса Q

4,1,5,1 Построение гомеоморфизма

4.1.6 Связь допустимого графа с динамикой реализованного гомеоморфизма

4.1.7 Эффективный алгоритм установления изоморфности графов , , ,

4.1.7.1 Общие сведения из теории алгоритмов

4.1.7.2 Построение эффективного алгоритма

4,2 Классификация декартовых произведений регулярных гомеоморфизмов

окружности

4.2.1 Регулярные гомеоморфизмы окружности

4.2.1.1 Периодические данные регулярных гомеоморфизмов окружности

4.2.1.2 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности регулярных гомеоморфизмов окружности ,

4.2.1.3 Модельные преобразования окружности

4.2.2 Декартовы произведения регулярных гомеоморфизмов окружности

4.2.2.1 Динамика гомеоморфизмов класса Нп

4.2.2.2 Топологическая классификация гомеоморфизмов класса

Нп

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальная динамика регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на многообразиях»

Введение

Изучение глобального поведения многомерных динамических систем и их топологическая классификация имеют свою специфику, связанную с тем, что известные на сегодняшний день подходы к решению этих задач оперирует непрерывными категориями, Во многом это связано с возможным существованием нескольких гладких структур на одном и том же многообразии начиная с размерности 4, впервые обнаруженным Дж, Милнором в виде экзотических 7-ефер [69], Методы исследования гладких динамических систем на многомерных многообразиях основаны на аппроксимации гладких подмногообразий кусочно-линейными объектами, что в итоге сводит изучение гладкой динамики к ее топологическому аналогу.

Классическим примером такого исследования является, например, топологическая классификация диффеоморфизмов Мореа-Смейла на многомерной сфере [10]. Исчерпывающую классификацию таких диффеоморфизмов удалось получить с помощью рассмотрения их топологических аналогов - гомеоморфизмов Мореа-Смейла, для которых был доказан аналог теоремы Смейла [74, Theorem 2,3] (детальное доказательство теоремы Смейла можно найти, например, в монографии [13]), Кроме того, инвариантные подмножества гладкой системы зачастую не являются даже топологическими подмногообразиями, в силу чего динамика на таких подмножествах уже не является гладкой, многочисленные примеры таких подмножеств были индуцированы работой Д. Пикетона (см., например, [33], [61], [25], [53]),

Начиная с размерности четыре, появляются так называемые экзотические многообразия, не допускающие гладких структур, многообразия, не допускающие триангуляции, и другие особенности, препятствующие использованию техники изучения гладких многообразий. Впервые нееглаживаемое топологическое многообразие было продемонстрировано М. Кервером [20] на десятимерном примере. Благодаря С, Дональдеону и М. Фридману [5] стало понятно, что многие одноевязные компактные топологические (-многообразия не допускают гладких структур. Существуют примеры топологических многообразий, на которых нельзя ввести гладкую структуру, но в то же время на них существуют топологические потоки. Такая ситуация возникает, например, в случаях, когда нееглаживаемые многообразия допускают существование непрерывной функции Морса, которая (см., например, [21]) порождает нем непрерывный поток. Хорошей иллюстрацией такой ситуации служат проективно-подобные многообразия размерностей 4, 8 и 16, в том числе и нееглаживаемые, на которых Дж, Илеом и Н, Купером [6] построены топологические функции Морса в точности с тремя критическими точками,

В связи с вышесказанным, идея описания свойств динамических систем или функций на многомерных многообразиях, исключительно в топологических терминах, совершенно естественна. При этом в отсутствии дифференцируемости эти свойства интерпретируются как топологическая калька поведения гладкого объекта. Зачастую

такие потоки и функции сохраняют свойства своих гладких аналогов и остаются тесно связанными с топологией объемлющего многообразия. Так, понятие непрерывной функции Морса было введено еще в 1959 году [29], тогда же была доказана справедливость для нее неравенств Морса, Однако вопрос о существовании непрерывной функции Морса на произвольном топологическом многообразии до сих пор является открытым вопросом. Аналогично своему гладкому аналогу определяется непрерывная функция Морса-Ботта, которая также сохраняет тесную связь с топологией несущего пространства.

Классическое определение гиперболического множества связано с дифференциалом отображения, заданного на гладком многообразии и характеризуется разложением касательного расслоения в прямую сумму подпространств, на которых дифференциал действует специальным образом (сжимает, растягивает). Динамические системы с гиперболическим цепно рекуррентным множеством, состоящим из конечного числа орбит с трансверсально пересекающимися инвариантными многообразиями, широко известны как системы Морса-Смейла (поскольку С, Смейл доказал справедливость для таких потоков аналогов неравенств Морса [39]), Топологические аналоги гладких потоков и каскадов Морса-Смейла были введены в работах [11], [27], [10], При этом вопрос о существовании таких систем на произвольном многообразии также является открытым в отличие от гладких аналогов.

Настоящая работа посвящена исследованию динамики регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на топологических многообразиях - динамических систем с топологически гиперболическим цепно рекуррентным множеством, состоящим из конечного числа орбит. Для таких систем получено исчерпывающее описание поведения инвариантных многообразий цепных компонент, как с точки зрения асимптотики так и с точки зрения топологии их вложения в несущее многообразие,

В работе доказано, что на топологическом многообразии любой размерности для регулярного потока с конечным цепно рекуррентным множеством существует (непрерывная) энергетическая функция Морса, Полученный результат является идейным продолжением работы С, Смейла [40], в которой установлено существование гладкой энергетической функции Морса у любого градиентно-подобного потока на многообразии, и частичным решением проблемы Маретона Морса о существовании непрерывных функций Морса на любых топологических многообразиях. Именно топологическое многообразие допускает непрерывную функцию Морса тогда и только тогда, когда оно допускает топологический поток с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством. Этот результат получен в настоящей работе в рамках построения непрерывной энергетической функции Морса-Ботта для произвольного непрерывного регулярного потока на топологическом п-многообразии и является аналогом теоремы К, Мейера [28] (см, также обзор [14] по построению энергетических функций для структурно устойчивых систем), в 1968 году построившего энергетическую функцию Морса-Ботта для произвольного потока Морса-Смейла на гладком замкнутом

4

п-многообразии.

Также в работе получена полная топологическая классификация некоторых содержательных классов регулярных гомеоморфизмов. На языке трехцветного графа с периодической подстановкой описан полный топологический инвариант градиентно-подобных гомеоморфизмов поверхностей, при этом полностью решена проблема реализации таких систем посредством исчерпывающего описания множества допустимых абстрактных графов. Также найден эффективный алгоритм (время работы алгоритма имеет полиномиальную зависимость от числа входных данных) различения классов изоморфноети допустимых трехцветных графов. Классифицированы также п-мерные декартовы произведения регулярных гомеоморфизмов окружности.

1 Формулировка основных результатов работы. Апробация результатов исследования

1.1 Формулировка основных результатов работы

Диссертационная работа посвящена исследованию динамики регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков па замкнутых топологических п-многообразиях Мп, а также топологической классификации таких систем и существованию для них энергетических функций. Актуальность исследования обусловлена прежде всего спецификой изучения динамических систем на многообразиях высокой (большей трех) размерности, В силу возможного отсутствия гладкой структуры на топологических многообразиях, начиная с размерности четыре, динамические системы на таких многообразиях можно рассматривать только в непрерывной категории. Даже если многомерное многообразие допускает гладкую структуру, она может оказаться не единственной, и все известные подходы к изучению объектов, заданных на таких многообразиях, не используют их гладкость, а, наоборот, сводятся к аппроксимации гладких объектов топологическими, В связи с чем черезвычайно полезным является развитие теории топологических динамических систем на многообразиях,

В рамках настоящей диссертационной работы разработаны методы изучения динамики регулярных топологических динамических систем, а также подходы к решению проблемы их классификации и построению для них энергетических функций. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы,

В главе 1 формулируются основные результаты работы и приводится информация об апробации результатов исследования,

В главе 2 вводится понятие регулярной динамической системы, А именно, в разделе 2,1 изучаются регулярные гомеоморфизмы на топологическом п-многообразии Мп с метрикой d, Такие гомеоморфизмы имеют конечное цепно рекуррентное множество, которое является топологически гиперболическим. При этом топологическая гиперболичность периодической точки определяется топологической сопряженностью гомеоморфизма в ее окрестности гладкому аналогу. Традиционно для характеристики блуждаемоети траекторий потока используется понятие цепно рекуррентности (см., например, [37]),

длины т € N соединяющей точку х с точкой у, для гомеоморфизма f называется конечный набор точек х = хо,... ,хт = у, такой что d(f (хг-1),хг) < £ для 1 ^ г ^ т.

£-цепъю длины Т, соединяющей точку х с точкой у для потока р называется конечный набор точек х = х0,... ,хп = у, которому соответствует набор времен ¿1,..., ¿п, такой что d(f^(хг-1),хг) < £ ¿г ^ 1 для 1 ^ г ^ п ш ¿1 + ••• + ¿п = Т.

Точка х € Мп называется цепно рекуррентной для гомеоморфизма р (потока р*), если для любого £ > 0 существует т (Т), зависящее от £ > 0, и £-цепь длины т (Т),

соединяющая точку x с ней самой. Множество всех цепно рекуррентных точек называется цепно рекуррентным множеством и обозначается R/ (R/1), На цепно рекуррентном множестве можно ввести отношение эквивалентности следующим правилом: x ~ у, если для любого е > 0 существу ют е-цепн, соединяющие x с y и y с x. Тогда цепно-рекуррентное множество разбивается на классы эквивалентности, называемые цепными компонентами.

Локальные классификационные результаты для гиперболических неподвижных точек диффеоморфизма (см., например, [71, теорема 5,5]) утверждают, что в окрестности гиперболической неподвижной точки диффеоморфизм топологически сопряжен единственному линейному диффеоморфизму aA,M,v : Rn ^ Rn,A G {0,1,...,n}, v G G { — 1, +1} следующего вида:

a\,^,v(xi,x2, ...,xa,xa+i,xa+2, ...,xn) = ■ 2xi, 2x2..., 2xA, v ■ 2-1xA+i, 2-1xA+2,..., 2-1xn).

Определение 1. Неподвижная точка p гомеоморфизма f : Mn ^ Mn называется топологически гиперболической, если существует окрестность Up С Mn точки p, числа Ap G {0,1,...,n}, ^p, vp G { — 1, +1} и гомеоморфизм hp : Up ^ Rn, такие что

hpf |Upn/-l(Up) = aAp,Mp,vp hp|Upn/-1(UP).

Число Ap будем называть индексом Морса гиперболи ческой точки p. Точки индексов n и 0 будем называть источниковыми и стоковыми, соответственно; любую точку p такую, что Ap G {1, ••• , n — 1} будем называть седловой. Топологическая гиперболичность периодической точки p периода per(p) определяется гнперболичностью точки p, как неподвижной точки гомеоморфизма fper(p).

Определение 2. Гомеоморфизм f : Mn ^ Mn называется регулярным, если его цепно рекуррентное множество конечно (следовательно состоит из конечного числа периодических орбит) и топологически гиперболично.

Обозначим через G класс регулярных гомеоморфизмов па замкнутом топологиче-

Mn

ное цепно рекуррентное множество, а значит любая его точка является периодической точкой, а цепная компонента - периодической орбитой,

pf

жества

Wps = U fk(h-1(EAp)), WU = U fk(h-1(EUp)),

fcez fcez

где EAp = {(x1,...,xn) G Rn : x1 = ••• = xAp = 0}, EUp = {(xb...,xn) G Rn : xAp+1 = = ■ ■ ■ = xn = 0}, будем называть устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями точки p. Инвариантные многообразия Wpf), Wpt(f) периодической точки p совпадают с инвариантными многообразиями Wp(fper(p)), Wpt(fper(p)) неподвиж-p

Для периодической орбиты O регулярного гомеоморфизма f G G положим

wo = U wp, wo = U wp\

pea pea

индекс Морса не зависит от выбора точки на периодической орбите, поэтому Aa = Ap. G

динамические свойства, В частности доказывается существование и единственность устойчивых и неустойчивых многообразий периодических точек и отсутствие циклов у любого гомеоморфизма f G G в смысле следующего определения.

На множестве периодических орбит гомеоморфизма f G G введем отношение С, Смейла условием

Oi * Oj ^ W0i n wo.. = 0.

к-циклом (k ^ 1) называется набор попарно различных периодических орбит Oí, O2, ■ ■ ■ , Ok, удовлетворяющих условию Oí * O2 * ■ ■ ■ * Ok * O^

G

шение С, Смейла на множестве периодических орбит регулярного гомеоморфизма по транзитивности продолжается до отношения частичного порядка, а, следовательно, по Теореме Шпильрайна [41], может быть продолжено на множество всех периодических орбит до отношения полного порядка, В дальнейшем будем считать орбиты fGG

порядком:

Oí * ■ ■ ■ * Ofc.

Одним из основных результатов главы 2 является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1 ([35]*1, theorem 1). Пусть f G G. Тогда

(1) мп = j W0i = U W0i/

i=1 i=1

(2) каждая компонента связности, множества WO (WO ) является, топологическим, подмногообразием многообразия Mn, гомеоморфны,м, RA° (Еп-Л°);

(3) c/(W0i) \ W0i с и1 WO. (c/(W0i) \ wO. с и WO.).

j=í j=i+í

В разделе 2,2 вводится понятие регулярного топологического потока. Под регулярным топологическим потоком понимается поток, цепно рекуррентное множество которого состоит из конечного числа топологически гиперболических неподвижных точек и периодических орбит, В основу определения топологической гиперболичности неподвижной точки и периодической орбиты также положена локальная топологическая

Здесь и далее звездочкой отмечены работы, в которых одним из соавторов является диссертант. , с/(^Ц.) мы понимаем замыкание множества ^Ц,.

классификация гиперболических неподвижных точек (см., например, [37, Chapter V, Theorem 5,3]) и периодических орбит (см., например, [19, Theorem 4,2]) гладкого потока.

Определение 3. Неподвижная точка p потока f4 : M ^ M называется топологически гипербол,и,ческой, если существует ее окрестность Up С M, число Л G {0,1, ...,n} и гомеоморфизм hp : Up ^ Rn, такие что hpfi|upn/-i(up) = 4phP|upn/-i(up), где аД : Rn ^ Rn, Л G {0,1,..., n} - линейный поток, заданный формулой

аА(хЬ ХЛ+Ъ = (2хЪ 2^, 2 , 2 *хга).

Определение 4. Периодическая орбита € потока f4 : M ^ M называется топологически гиперболической, периодической, если существует ее окрестность U? С M, числа Л? ее {0,1, ..., n - G {-1, +1}, T? > 0 и гомеоморф изм h : U ^

такие что hf4|u£n(/t)-i(Up) = h|u£n(/t)-i(Up), где _ надстройка над линей-

ным диффеоморфизмом : Rn-1 ^ Rn-1, Л е {0,1,..., n — 1}, v G {-1, +1}.

Определение 5. Поток f4 : Mn ^ Mn называется регулярным, если его цепно рекуррентное множество состоит из конечного числа топологически гиперболических периодических орбит и неподвижных точек.

Обозначим через G4 класс регулярных потоков на замкнутом топологическом многообразии Mn, По аналогии с гомеоморфизмами устанавливается существование и единственность устойчивого и неустойчивого инвариантного многообразия у гиперболической неподвижной точки и периодической орбиты, а также отсутствие циклов. Это позволяет считать цепные компоненты потока f4 пронумерованными: O1 — • • • — Ok, согласованно с отншением С, Смейла, Аналогично теореме 1, устанавливаются следующие свойства регулярных потоков.

Теорема 2 ([36]*, theorem 1). Пусть f е G4. Тогда

1. Mn = U = J ;

¿=1 ¿=1

2. неустойчивое (устойчивое) многообразие Wp (Wp*) неподвижной mочки, Oj = p

является, топологическим подмногообразием многообразия Mn, гомеоморфным

R^ (Rn-лp).

5. неустойчивое (устойчивое) многообразие W/ (W/) периодической орбиты Oj = €

Mn

R^ х S1 (Rn-^-1 х S1) ^ = +1 и R^xS1 (Rn-^-1xS1)2 Лад ^ = —1.

1 c/(W0i) \ W0i С jj1 W0j (c/(W0i) \ W0i С и1 W0j).

j=1 j j=1 j

**

2 Под обозначением x s1 понимается косое произведение на s1.

В главе 3 доказывается существование непрерывной энергетической функции у любого регулярного потока.

Напомним, что функцией Ляпунова для динамической системы называется непрерывная функция, которая убывает вдоль орбит вне цепно рекуррентного множества и является константой на каждой цепной компоненте 3, В силу результатов Кон. ш [3], такая функция существует для любой (непрерывной в том числе) динамической системы, а сам факт существования носит название «фундаментальная теорема динамических систем» (см., например, [37, Chapter IX, Theorem 1.1]). Из конструкции Конли следует, что любая функция Ляпунова < : Mn м R для регулярного потока fг имеет критические точки на цепно рекуррентном множестве в смысле следующего определения.

Пусть < : M м R — непрерывная функция. Точка p G M называется регулярной точкой функции < если в точке p существует локальная карта (Vp,0p : y G Vp м м- (xi(y),..., xn(y)) G Rn, такая что

^(y) = ^(P) + xn(y).

В противном случае p называется критической точкой. Обозначим через Cr^ множество критических точек функции < Естественно ожидать, что свойство строгого убывания функции Ляпунова вне цепно рекуррентного множества приводит к отсутствию там критических точек. Однако это не верно для произвольных динамических систем. Поэтому функцию Ляпунова, чье множество критических точек совпадает с цепно рекуррентным множеством динамической системы называют энергетической функцией.

Для регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков цепно рекуррентное множество состоит из невырожденных критических точек их функции Ляпунова, Именно, точка p G Cr^ называется невырожденной критической точкой индекса, Ар G {0, • • • , n}, если в точке p существует локальная карта (Vp, фр), такая что

Ap n

^(y) = ^(p) x2(y)+ Y1 x2(y).

i=1 i=Ap+1

Функция < н^ыв&ется непрерывной функцией Морса, если множество Cr^ состоит из невырожденных критических точек.

Связное топологическое подмногообразие C С Cr^ размерности k G {1,..., n — 1} многообразия Mn называется невадро^^еннши критическим k-многообразием индекса, Ар G {0, • • • , n — k}, если в любой точке p G C существует локальная карта (Vp, фр),

3Вне цепно-рекуррентного множества точки на траекториях упорядочены по времени.

такая что П С) С |(жъ ..., € Ега : X = ■ ■ ■ = жга—к = 0} и

ЛР га—к

г=1 г=ЛР+1

Функция ^ называется непрерывной функцией Мореа-Боттщ если любая компонента связности множества Сг^ является либо невырожденной критической точкой, либо принадлежит невырожденному критическому подмногообразию.

Утверждение 3.1 ([26]% Шеогет). Любой регулярный поток /1 : Ып ^ Ып с конечным гиперболическим, цепно рекуррентным, множеством обладает непрерывной энергетической функцией, Морса,4.

Понятие непрерывной функции Морса было введено М, Морсом еще в 1959 году [29], тогда же была доказана справедливость для нее неравенств Морса, а позже -ряд свойств, аналогичных свойствам гладкой функции Морса [21], Однако, вопрос о существовании непрерывной функции Морса на произвольном топологическом многообразии до сих пор является открытым вопросом. Поскольку непрерывная функция Морса порождает топологический градиентно-подобный поток на многообразии [21], то утверждение 3,1 является частичным решением проблемы Марстона Морса: топологическое многообразие допускает непрерывную функцию Морса, если и только, если оно допускает топологический поток с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством.

Утверждение 3,1 непосредственно следует из более общего следующего результата главы 3,

Теорема 3 ([36]% Шеогет 2). Любой, регулярный поток /1 € С1 обладает непрерывной энергетической функцией, Морса-Ботта, критические точки которой либо не вырождены, либо образуют невырожденные одномерные многообразия.

Факт существования энергетической функции принципиально отличает непрерывные регулярные системы от дискретных. Для последних, препятствием к построению энергетической функции служит возможное наличие диких седловых сепаратрис, обнаруженное Д. Пикетоном [33] в 1977 году в размерности три. Известны примеры и регулярных потоков с дикими сепаратрисами, такие потоки сконструированы, например, в недавних работах В, Медведева и Е, Жужомы [27], В работе [34] построен пример 4-мерных потоков па многообразии §3 х 81, седловая периодическая орбита которого имеет дико вложенное двумерное неустойчивое многообразие и доказано, что таким свойством обладает надстройка над нетривиальным диффеоморфизмом Пикстона, Однако, из результатов настоящей работы следует, что для непрерывных регулярных систем дикость сепаратрис не является препятствием к существованию энергетической функции Морса,

Результаты главы 3 являются идейным продолжением работ С, Смейла [40] и

4Для случая п = 2 результат был получен в [62] *.

К. Мейера [28], о существовании энергетической функции Морса для градиентно-подобных потоков и энергетической функции Мореа-Ботта для потоков Морса-Смейла, соответственно.

Полное изложение результатов главы 3 опубликовано в статьях [36] *, [26]*, [62]*. В главе 4 получена топологическая классификация некоторых содержательных классов гомеоморфизмов, А именно, в разделе 4,1 вводятся градиентно-подобные гомеоморфизмы - регулярные гомеоморфизмы f : M2 м M2, инвариантные многообразия различных еедловых точек которых не пересекаются. Обозначим через Q класс таких гомеоморфизмов.

Динамика градиентно-подобного диффеоморфизма поверхности легко понимается из динамики градиентно-подобного потока, поскольку отличается от него домножени-ем на периодическое преобразование (см., например, [50], [13]), Динамика градиентно-подобных потоков исторически изучалась методом выделения ячеек - областей с одинаковым асимптотическим поведением траекторий [32], [45], [67], [48], [49],

Для градиентно-подобных гомеоморфизмов в главе 4 приводится обоснование разбиения фазовой поверхности на ячейки, аналогичные ячейкам Леонтович-Майера-Пейшото [67], [32], Далее эти ячейки подразбиваются на треугольные области с однородным динамическим поведением, подобно атомам Ошемкова-Шарко [70], Наконец, каждой треугольной области ставится в соответствие вершина графа, вершины соединяются ребром, если соответствующие области имеют общую границу. Таким образом,

fGQ

сопряженности. Полученный инвариант является комбинаторным и представляет из себя класс изоморфноети трехцветного графа Tf с периодической подетановкой Pf,

Теорема 4 ([56]*, Теорема 1). Гомеоморфизмы, f, f из класса Q топологически сопряжены тогда, и только тогда, когда, графы, (Tf; Pf), (Tf/; Pf/) изоморфны.

Для решения проблемы реализации выделено множество допустимых трехцветных графов (T, P), для каждого из которых описана процедура реализации по нему градиентно-подобного гомеоморфизма.

Теорема 5 ([56]% Предложение 3). Для, любого допустим,ого графа, (T, P) существует гомеоморфизм f : M2 м M2 из класса Q, граф (Tf, Pf) которого изоморфен графу (T P).

Также найден эффективный алгоритм (время работы алгоритма имеет полиномиальную зависимость от числа входных данных) различения классов изоморфноети

допустимых трехцветных графов,

*

графов Tf, Tf/ гомеоморфизмов f, f G Q можно распознать за, врем,я, O(n3/og(n)).

M2 Tf

В разделе 4,2 рассмотрен класс Hn гомеоморфизмов ф, являющихся декартовыми

произведениями п регулярных гомеоморфизмов окружности

ф = ф1 х ■ ■ ■ х фп, ф, : 51 ^ 51.

Регулярные гомеоморфизмы окружности являются топологическим обобщением грубых преобразований окружности, исчерпывающим образом изученных А. Г, Майером в работе [68], Так сохраняющие ориентацию преобразования являются композицией регулярных гомеоморфизмов с неподвижными точками и поворотов на рациональный угол, а меняющие - регулярных гомеоморфизмов и меняющих ориентацию инволюций. Гомеоморфизмы рассматриваемого класса Нп являются регулярными гомеоморфизмами п-мерного тора Тп, Одним из основных результатов главы 4 являются найденные необходимые и достаточные условия топологической сопряжённости гомеоморфизмов ф, ф' € Нп.

Теорема 7 ([58]% Теорема 1). Гомеоморфизмы ф = ф1 х ••• х фп, ф' = ф1 х х ■ ■ ■ х фП € Нп топологически сопряжены тогда и только тогда, когда, существует

(1 2 ... п \

индексов из множества {1, 2,..., п}, п(г) = П»,?

П1 П2 ... Пп )

такая что гомеоморфизмы ф, и ф' топологически сопряжены, для, г = 1,... ,п.5

п

окружности на рациональные углы, как это было сделано в работе [65], то полным инвариантом при топологическом сопряжении таких гомеоморфизмов является период их периодических точек. Случай топологической классификации произведений регулярных гомеоморфизмов окружности существенно отличается от результатов, представленных в вышеупомянутой работе.

Полное изложение результатов данной главы опубликовано в статьях [60]*, [58]*, [56]*, [12]*.

1.2 Апробация результатов исследования

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях:

1, международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость», посвященной 110-летию Н, Г, Четаева и 80-летию В, М, Матросова (Севастополь 2012);

2, международная математическая школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е, В, Воскресенского (Саранск 2013, 2020);

3, международная конференция «Боголюбовские чтения. Дифференциальные

5 Для п = 2 результат следует из работы [60]*.

уравнения, теория функций и их приложения», посвященной 75-летию академика А. М, Самойлепко (Севастополь 2013);

4, международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», посвященной памяти Л, П, Шильникова (Нижний Новгород 2013);

5, международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2014);

6, международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск 2012, 2014, 2019);

7, международная конференция «Аттракторы, слоения и предельные циклы», посвященной 70-летию Ю, С, Ильяшенко (Москва, 2014);

8, международная конференция «Hamiltonian Dynamics, Nonautonomus Systems, and Patterns in PDE» (Нижний Новгород 2014);

9, международные конференции КРОМШ-2019, КРОМШ-2020, КРОМШ-2021 (Симферополь 2019, 2020, 2021);

10, научная конференция «Огаревские чтения» (Саранск 2019, 2020, 2021);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зинина Светлана Халиловна, 2022 год

Список литературы

[1] Bonatti Ch., Grines V,, Langevin E, Dynamical system in dimension 2 and 3: eonjugaey invariants and classification // Computational and Applied Mathematics, - 2001, -Vol. 20, No 1-2. - P. 11-50.

[2] Bonatti Ch., Langevin E. Difféomorphismes de Smale des surfaces// Astérisque. -Vol. 250. - Société mathématique de France, Paris. - 1998. - 236 p.

[3] Conlev C. Isolated invariant sets and the Morse index. Providence, EI: AMS, 1978. (CBMS Eegional Conference Series in Math.; Vol. 38). 89 p.

[4] Demuner D. P., Federson M,, Gutierrez C. The Poincare'-Bendixson theorem on the Klein bottle for continuous vector fields // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2009. - Vol. 25, No 2. - P. 495-509.

[5] Donaldson S.An application of gauge theory to four-dimensional topology // Journal of Differential Geometry. - 1983. - Vol. 18., No 2. - P. 279-315.

[6] Eells J., Kuiper N. Manifolds which are like projective planes. - Publ. Math. IHES 14. - 1962.- P. 5-46.

[7] Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three / G. Fleitas // Bol. Soc. Mat. Brasil - 1975. - Vol. 6. - P. 155-183.

[8] Galil Z., Hoffmann Ch. M., Luks E. M., Schnorr C.-P., Weber A. An O(n3/ogn) Deterministic and an O(n3) Las Vegas Isomorphism Test for Trivalent Graphs // Journal of the Association for Computing Machinery. - 1987. - Vol. 34., No. 3. -P. 513-531.

[9] Garev M.E., Johnson D. S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, San Francisco,Calif.: Freeman. - 1979. - 338 p.

[10] Grines V., Gurevieh E,, Malvshev D,, Pochinka O. On topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on the sphere Sn (n > 3) // Nonlinearity, - 2020. -Vol. 33, No. 12. - P. 7088-7113.

[11] Grines V., Gurevieh E,, Medvedev V., Pochinka O. An analog of Smale's theorem for homeomorphisms with regular dynamics // Math. Notes.- 2017. - Vol. 102, No. 3-4. -P. 569-574.

[12] Grines V. Z,, Malvshev D. S,, Pochinka O. V., Zinina S. Kh. Efficient Algorithms for the Eecognition of Topologicals Conjugate Gradient-like Diffeomorhisms // Eegular Chaotic Dynamic. - 2016. - Vol. 21, No 2. - P. 189-203.

[13] Grines V,, Medvedev Т., Poehinka O, Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds, -2016, - Switzerland: Springer, - 313 p.

[14] Grines V,, Poehinka O, The Constructing of Energy Functions for П-stable Diffeomorphisms on 2- and 3-Manifolds// Journal of Mathematical Sciences, - 2020, -Vol, 250. - P. 537-568.

[15] Guest M. Morse Theory in the 1990's [Электронный ресурс] // arXiv.org. 2001. Дата обновления: 21.09.2021. URL: http://arxiv.org/abs/math/0104155vl

[16] Hararv F. Graph Theory. - Addison-Wesley, Reading, MA. - 1969. - 275 p.

[17] Hoperoft, J. E,, Wong, J.K. Linear Time Algorithm for Isomorphism of Planar Graphs: Preliminary Report, in Proc, of the 6th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (Seattle, Wash., 1974). - P. 172-184.

[18] Hurewiez W,, Wallman H. Dimension theory. - Prineewton, NJ. Princeton University Press. - 1984. - 174 p.

[19] Irwin M. C. A classification of elementary cycles // Topology. - 1970. - Vol. 9. - P. 3547.

[20] Kervaire M. A manifold which does not admit any differentiable structure // Commentarii Mathematici Helvetiei, - 1960. - Vol. 34, No 1. - P. 257-270.

[21] Kirbv R.C., Siebenmann L.C.. Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations // (AM-88), Vol. 88. Princeton University Press. -2016.

[22] Konig D. Grafok es matrixok. Matematikai les Fizikai Lapok. - 1931. - Vol. 38. -P. 116-119.

[23] Kruglov V., Malvshev D,, Poehinka O. On Algorithms that Effectively Distinguish Gradient-Like Dynamics on Surfaces // Arnold Mathematical Journal. - 2018. - Vol. 4, No. 3-4. - P. 483-504.

[24] Langevin R. Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Mors-Smale D'une surface // Ann. Ins. Fourier, Grenoble. - 1993. - Vol. 43, No 1. - P. 265-278.

[25] Medvedev Т., Poehinka O. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems // Dynamical Systems. - 2018. - Vol. 33, No 4. - P. 660-666.

[26] Medvedev Т., Poehinka O,, Zinina S. On existence of Morse energy function for topological flows // Advances in Mathematics. - 2021. - Vol. 378. - 107518.

[27] Medvedev V. S,, Zhuzhoma E. V. Morse-Smale systems with few nonwandering points // Topology Appl. - 2013. - 3 (160). - P. 498-507.

[28] Meyer K, R. Energy functions for Morse Smale systems // Amer, J, Math, - 1968, -Vol. 90. - P. 1031-1040.

[29] Morse M. Topologicals non-degenerate functions on a compact n-manifold //J. Analyse Math. - 1959. - Vol. 7. - P. 189-208.

[30] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems / Topology. - 1969. - Vol. 8, No 4. - P. 385-404.

[31] Peixoto M. M. On structural stability // Ann. Math. 1959. - Vol. 69. - P. 199-222.

[32] Peixoto M. M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems. -1973. - Acad, press N.Y. London. - P. 389 - 419.

[33] D. Pixton. Wild unstable manifolds // Topology. - 1977. - Vol. 16, No 2,- P. 167-172.

[34] Pochinka O,, Shubin D. On 4-dimensional flows with wildly embedded invariant manifolds of a periodic orbit // Applied Mathematics and Nonlinear Sciences. - 2020.

- Vol. 5, No 2. - P. 261-266.

[35] Pochinka O,, Zinina S. Dynamics of topological flows and homeomorphisms with a finite hyperbolic chain recurrent set on n-dimensional manifolds // Dynamical systems. -2019. - Vol. 9(37), No. 3. - P. 289-296

[36] Pochinka O. V., Zinina S. Kh. Construction of the Morse-Bott Energy Function for Regular Topological Flows // Regular and Chaotic Dynamics. - 2021. - Vol. 26, No. 4.

- P. 350-369.

[37] Robinson C. Dynamical systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. - 1999. -Vol. 28. CRC press Boca Raton. - 520 p.

[38] Rolfsen D. Knots and links. Lecture Series 7. University of British Columbia. Math. -1990. - 439 p.

[39] Smale S. Morse inequalities for a dynamical systems // Bull. Am. math. Soc. - 1960. -Vol. 66 - p.43-49

[40] Smale S. On gradient dynamical systems. // Ann. of Math. (2). - 1961. - Vol. 74. -P. 199-206.

[41] Szpilrajn E. Sur l'extension de l'ordre partiel // Fundamenta mathematicae. - 1930. -Vol. 1, No 16. - P. 386-389.

[42] Wilson F. W. Smoothing derivatives of functions and applications. // Trans. Amer.Math. Soc. - 1969. - Vol. 139. - P. 413-428.

[43] Алексеев В. К.. Таланов В, А, Графы, Модели вычислений. Структуры данных : Учебник, - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, - 2005, - 307 с,

[44] Андронов А, А,, Леонтович Е, А,, Гордон И, И,, Майер А, Г, Качественная теория динамических систем второго порядка, - 1966, - М, Наука, - 568 с,

[45] Андронов А, А,, Понтрягин Л, С, Грубые системы // Доклады АН СССР, - 1937, -Т. 14. - № 5. - С. 247-250.

[46] Арансон С. X., Гринес В. 3. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных поверхностях // Успехи Мат. Наук. - 1990. - Т. 45, Л'" I. - ('. 3-32. [Английский перевод в Российской Мат. Серии - 1990. - JVS 4.]

[47] Арансон С. X, Гринес В. 3. Каскады на поверхностях. - Глава 3 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 9. ВИНИТИ РАН. - 1991. - Т. 66. - С. 148-187. [Имеется перевод: Aranson S. Kh,, Grines V. Z, Cascades on Surfaces. "Encyclopaedia of Mathematical Sciences", Dynamical Systems IX, Springer-Verlag-Berlin-Heidelber, -1995. - V. 66. - P. 141-175.]

[48] Безденежных A. H, Гринес В. 3. Динамические свойства и топологическая классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях / / Часть 1. Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз, те-мат. сб. научи, тр. под ред. H.A. Лентович-Андроновой, - 1985, - ГГУ, - Горький, -С. 22-38.

[49] Безденежных А. И, Гринес В. 3. Динамические свойства и топологическая классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях / / Часть 2. Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. те-мат. сб. научи, тр. под ред. Е. А. Лентович-Андроновой. - 1987. - ГГУ. - Горький. -С. 24-32.

[50] Безденежных А. Н,, Гринес В. 3. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий // Дифференциальные и интегральные уравнения, Сб. науч. тр. под ред. Н.Ф, Отрокова, - 1985, - ГГУ, Горький,- С, 33-37,

[51] Боревич Е. А. Условия топологической эквивалентности двумерных диффеоморфизмов Морса-Смейла // Дифференциальные уравнения. - 1981. - .V" (i. - С. 14811482.

[52] Власенко И. Ю. Полный инвариант диффеоморфизма Морса—Смейла на двумерных многообразиях // Некоторые вопросы современной математики под ред. В. В. Шарко. - Киев, Ин-т математики НАНУ, 1998. - Т. 25 - С. 60-93.

[53] Гринес В, 3,, Гуревич Е, Я,, Жужома Е, В., Зинина С, X, Гетероклинические кривые диффеоморфизмов Мореа-Смейла и сепараторы в магнитном поле плазмы // Нелинейная динамика, - 2014, - Т. 10, - № 4, - С, 427-438,

[54] Гринес В, 3,, Гуревич Е, Я,, Медведев В, С,, Починка О, В, О включении диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток на многообразиях размерности большей двух // Математические заметки, - 2012, - Т. 91:5, - С, 791-794,

[55] Гринес В, 3,, Гуревич Е, Я,, Медведев В, С,, Починка О, В, Аналог теоремы Смей-ла для гомеоморфизмов с регулярной динамикой, - Математические заметки, -2017. - Т. 102. - № 4. - С. 613-618

[56] Гринес В. 3., Капкаева (Зинина) С. X., Починка О. В. Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей // Математический сборник. - 2014. - Т. 205. - № 10. - С. 19-46.

[57] Гринес В. 3. Починка О. В. Каскады Морса-Смейла на 3-.многообразиях // Успехи математических наук. - 2013. - Т. 68. - № 1. - С. 129-188.

[58] Голикова И. В., Зинина С. X. Топологическая сопряжённость п-кратпых декартовых произведений грубых преобразований окружности // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2021. - Т. 29. - .V" 6. - С. 851862.

[59] Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в п-мерном пространстве // Математический сборник. - 1962. - Т. 58, 1. - С. 77-94.

[60] Гуревич Е. Я, Зинина С. X. О топологической классификации градиентно-подобных систем на поверхностях, являющихся локально прямыми произведениями // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17. -№ 1. - С. 37-45.

[61] Е. В. Жужома, В. С. Медведев. Поверхностные базисные множества с дико вложенными несущими поверхностями // Матем. заметки. - 2009. - Т. 85. - 2. -С. 356-372.

[62] Зинина С. X., Починка О. В. Энергетическая функция Морса для топологических потоков с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством на поверхностях // Математические заметки. - 2020. - Т. 107. - № 2. - С. 276-285.

[63] Каток А. Б, Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М,: Изд-во "Факториал". - 1999. - 768 с.

[64] Колобянина А, Е,, Ноздринова Е, В., Починка О, В, Современное изложение классификации грубых преобразований окружности / / Журнал Средневолжского математического общества. 2018. - Т. 20. - № 4. - С. 408-418.

[65] Куренков Е, Д., Рязанова К, A. On periodic translations on torus // Динамические системы. - 2017. - Т. 7(35). - № 2. - С. 113-118.

[66] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, опредляющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Доклады АН СССР. - 1937. - Т. 14. -№ 5. - С. 251-257.

[67] Леонтович К.. Майер А. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории. Доклады академии наук СССР. - 1955. - Т. 103. - JV2 4. -С. 557-560.

[68] Майер, А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Учён. зап. ГГУ. - 1939. - No 12. - С. 215-229.

[69] Мн.шор Дж. О многообразиях гомеоморфных семимерной сфере // Сб. Математика. - 1957. - Т. 1. - № 3. - С. 35-42.

[70] Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Математический сборник. - 1998. - Т. 189. - .V" 8. - С. 93-140.

[71] Палие Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение: Пер. с англ. - 1986. - М. Мир. - 301 с.

[72] Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. - М. Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1947,- 142 с.

[73] Постников М. М. Лекции по геометрии. - М. Наука. - 1987. - 480 с.

[74] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. - 1970. - Т. 25. -1(151). - С. 113-185.