Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Гонченко, Сергей Владимирович

• Гонченко, Сергей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гонченко, Сергей Владимирович

Введение

1. Классификация многомерных диффеоморфизмов с го-моклиническими касаниями и их гиперболические свойства.

1.1. Определение простого гомоклинического касания.

1.2. Свойства локального и глобального отображений То и Т\.

1.3. Геометрическая теория: кодировки, полоски и подковы. 4G

1.4. Нетривиальные гиперболические подмножества диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

1.4.1. Специальная окрестность негрубой гомоклиниче-ской траектории.

1.4.2. Полоски и подковы и их пересечения.

1.4.3. Символическая динамика для траекторий из окрестности негрубой гомоклинической орбиты.

1.5. Классы систем с гомоклиническими касаниями.

1.6. Доказательство лемм 1.1, 1.2 и 1.3.

2. Модули топологической и П-сопряженности многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

2.1. Определение и свойства модулей.

2.2. Модули Пэлиса-Гаврилова-Шильникова.

2.3. Предельные модули в случае диффеоморфизмов первого класса.

2.4. fi-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (1,1).

2.5. fi-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (2,1).

2.6. Модули ^-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (1,2).

2.7. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (2,2).

3. Основные бифуркации периодических траекторий многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

3.1. Постановка задачи и основные результаты.

3.2. Построение отображений первого возвращения. Доказательство леммы о рескелинге.

3.2.1. Отображения первого возвращения в случае (1,1).

3.2.2. Отображения первого возвращения в случае (2,1).

3.2.3. Отображения первого возвращения в случае (1.2).

3.2.4. Отображения первого возвращения в случае (2,2). 171 Щ 3.3. Доказательство основных теорем.

4. Динамические свойства двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами.

4.1. Постановка задачи и формулировки основных результатов.

4.2. Геометрические и аналитические свойства диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром.

4.3. Локальные и глобальные отображения.

4.3.1. Специальная окрестность гетероклинического контура.

4.3.2. Условия пересечений подков и полосок.

4«f) 4.3.3. Кодировки неблуждающих траекторий и нетривиальные гиперболические подмножества

4.4. Классы двумерных диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром.

4.5. Существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой.

4.5.1. Доказательство теоремы 4.1.

4.5.2. Области Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром общего типа,

4.6. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов третьего класса с негрубым гетероклиническим контуром.

4.7. Негрубые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса.

4.8. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса.

4.8.1. Случай, когда седловые величины лежат по одну стороны от единицы.

4.8.2. Случай, когда седловые величины лежат по разные стороны от единицы.

4.9. Интервалы Ньюхауса второго и третьего типов.

5. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса.

5.1. Три класса гомоклинических касаний в двумерном случае.

5.2. Гиперболические свойства диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием третьего класса.

5.3. Сосуществование гомоклинических касаний третьего класса.

5.4. Гомоклинические касания произвольно высокого порядка.

5.5. Периодические траектории высоких порядков вырождения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации»

Гомоклинические траектории Пуанкаре, т.е. двояко-асимптотические к седловым периодическим, являются одним из наиболее интересных объектов в теории динамических систем. Это связано, в частности, с тем, что сам факт наличия в системе хотя бы одной такой траектории уже свидетельствует о сложной динамике системы в целом. Сама по себе, гомоклиническая траектория Пуанкаре является довольно простым объектом - это траектория, которая лежит в пересечении инвариантных многообразий седловой периодической. Если указанное пересечение трансверсальное, то гомоклиническая траектория называется грубой (или трансверсальной), а в случае нетрансверсального пересечения мы имеем дело с негрубой (нетрансверсальной) гомокли-нической траекторией Пуанкаре, или с гомоклиническим касанием. Сложность возникает уже тогда, когда мы пытаемся описать еще и близкие траектории, которые целиком лежат в малой окрестности го-моклинической орбиты. Такая задача описания окрестности грубой гомоклинической траектории получила название задачи Пуанкаре-Биркгофа, и была полностью решена Шильниковым [55], который показал, что множество N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты является нетривиальным гиперболическим множеством, траектории которого находятся во взаимо однозначном соответствии с траекториями топологической схемы Бернул-ли из трех символов.

В случае негрубой гомоклинической траектории соответствующая задача становится гораздо более сложной, и в определенном смысле даже неразрешимой, если иметь в виду именно задачу "полного описания", в особенности, когда рассматривается не только сама система, но и все достаточно близкие. Дело в том. что при малых гладких возмущениях системы с гомоклиническим касанием могут возникать новые гомоклинические касания любых порядков, а также сколь угодно вырожденные периодические траектории [22, 36, 66]. Это означает, с формальной точки зрения, что никакого конечно-параметрического семейства недостаточно для полного исследования бифуркаций таких систем. Одна из основных причин такого явления - это существование бесконечного числа модулей fi-эквивалентности, так называемых Q-модулей, т.е. непрерывных инвариантов топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траекторий. Непрерывность в данном случае означает, что любое изменение значения Q-модуля ведет к изменению в структуре множества неблуждающих траекторий, в частности, в множестве периодических и гомоклинических орбит. С другой стороны, и это очень важно, fi-модули можно рассматривать, при исследовании бифуркаций, как естественные управляющие параметры, конечно, наряду с традиционными параметрами расщепления. Сами по себе, Q-модули являются часто "скрытыми" параметрами, они не присутствуют явно ни "в правых частях", ни являются эмпирически данными. Их нужно находить. В этом смысле, хороший приме}) дают аттракторы лоренцевского типа: они, как известно, обладают инвариантами типа 17-модулей, так называемыми нидинг-инвариантами [82] (их два в несимметричном, и один в симметричном случаях). Использование нидингов является эффективным инструментом исследования таких аттракторов (и не только, например, одномерных отображений, в том числе разрывных [40]). И опять нидинги не присутствуют в правых частях, их существование а также форма выводятся из соответствующего анализа геометрических и динамических свойств отображений, получающихся при факторизации инвариантных слоений. Аналогичная ситуация имеет место и с Q-модулями систем с гомокли-ническими касаниями.

В связи с важностью fi-модулей для теории бифуркации, в работе [36] была разработана программа исследования бифуркаций в системах со сложной структурой, которая, как необходимый элемент, включает а) доказательство существования fi-модулей; б) их явное нахождение; в) использование основных Q-модулей в качестве-управляющих параметров; г) исследование возможности существования счетного множества fit-модулей (и соответственно возможности появления бесконечных вырождений); а также д) исследование динамики систем из областей Ньюхауса пространства динамических систем, в которых плотны системы с гомоклиническими касаниями.

Эта программа была, в принципе, реализована в последующих статьях Гонченко, Тураева и Шильникова. Конечно, она ещё далеко не завершена (в особенности, что касается пунктов г) и д) для многомерного случая). А в некоторой части она даже перекрыта: так, доказано существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой [26, 68, 27]; исследованы консервативные системы с гомоклиническими касаниями [20, 78, 71, 81], и т.п.

В настоящей диссертации излагаются основные результаты, полученные автором при исследовании динамических свойств многомерных систем с гомоклиническими касаниями. При этом, во многих моментах во главу исследований положена концепция ^-модулей (которым, собственно, посвящена глава 2). Ситуация с существованием бесконечного множества Q-модулей рассматривается на примере двумерных диффеоморфизмов.

С целью единообразия, в диссертации рассматриваются только диффеоморфизмы. Естественно, все результаты применимы и к потокам, если иметь в виду, что сами потоки, при полулокальном анализе, могут быть исследованы с помощью отображений Пуанкаре — т.е. сводятся к диффеоморфизмам (с гомоклиническими касаниями) в размерности на единицу меньше, чем размерность фазового пространства потока.

Актуальность исследования.

Исследование систем с гомоклиническими структурами является весьма актуальным также с точки зрения теории динамического хаоса, математическим образом которого является странный аттрактор -нетривиальное притягивающее множество с неустойчивым поведением траекторий на нём. Гомоклинические орбиты являются не только необходимым атрибутом любого странного аттрактора, но и определяют главные элементы его динамики. Поэтому весьма часто термином "гомоклинический хаос" обозначают хаотическую динамику, демонстрируемую странными аттракторами, отличными от гиперболических и квазигнперболических (аттракторов Лоренца). Аттракторы последних двух типов тоже содержат гомоклинические траектории Пуанкаре, но они являются здесь грубыми. В большинстве же динамических моделей с хаотическим поведением встречаются (неустранимым образом) гомоклинические касания. Более того," в основе механизмов возникновения и разрушения странных аттракторов могут лежать бифуркации, связанные с образованием гомоклинических касаний. Благодаря опять же гомоклиническим касаниям, внутренняя структура большинства аттракторов является неоднородной: помимо "больших" гиперболических подмножеств, содержащих седловые периодические траектории одного индекса, могут существать также устойчивые траектории или седловые других индексов. Некоторые типы аттракторов, так называемые квазиаттракторы [59]. считающиеся "странными" на физическом уровне, содержат помимо седловых траекторий ещё и асимптотически устойчивые периодические траектории, но весьма больших периодов. Существование таких устойчивых траекторий вытекает из теории [14, 98], и типична ситуация, когда устойчивых периодических траекторий бесконечно много и в замыкании они содержат нетривиальные гиперболические подмножества [98]. Тогда, естественно, возникает вопрос (Ньюхаус), а что мы наблюдаем: хаотическую (неравномерно) гиперболическую динамику, или сложный переходный (очень долговременный) процесс притяжения к устойчивым периодическим траекториям. По-видимому, здесь происходит одновременно и то и другое, и какие процессы превалируют при этом совсем не очевидно. Во всяком случае, некоторые устойчивые периодические траектории могут проявлять себя как "окна устойчивости". При этом указанное поведение траекторий может быть характерным для открытых областей значений параметров (областей Ньюхауса), и эти области, как показывают вычисления [87], могут быть весьма обширны. Даже если в аттракторе гарантированно нет устойчивых периодических траекторий, как, например, в диких спиральных аттракторах [50], проблемы, связанные с неоднородностью структуры, остаются. Наконец, существование вырождений высоких порядков говорит о том, что в гомоклиническом хаосе нет той масштабной инвариантности, которая характерна для гиперболической и одномерной динамики.

Если посмотреть с другого конца, то исследование систем с гомо-клиническими касаниями или с негрубыми гетероклиническими контурами, является естественным продолжением гиперболической теории. Дело в том, что гиперболическая теория, развитая в трудах Алексеева, Аносова, Синая, Смейла, Песина и др., см. [2, 3], имеетдело, в основном, с грубыми гиперболическими множествами. II здесь Q-множество состоит из конечного числа так называемых гиперболических базисных множеств. В системах с гомоклиническими касаниями тоже есть свои "базовые" гиперболические множества [14, 34], которые формируют во многом скелет множества неблуждающих траекторий но всё его, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, указанные "базовые" множества в совокупности не являются грубыми и меняют свою структуру при изменении параметров.1 При этом могут возникать гиперболические подмножества весьма различной природы: "тонкие", "толстые", с малой и большой хаусдорфовой размерностью [99, 103]. Причем, существование "аномальных" гиперболических множеств ("толстых" и с большой хаусдорфовой размерностью) является типичным свойством систем в областях Ньюхауса [61]. Исследование таких гиперболических множеств является одной из наиболее трудных задач в данной тематике. Но эта задача очень важна, поскольку как раз такие гиперболические множества делают возможным неустранимые касания, и таким образом, ответственны за явление "грубой негрубости", весьма важного для нелинейной динамики.

Цели и задачи исследования.

Основная цель диссертации — это исследование динамических явлений в многомерных системах, которые вносят гомоклинические касания. В связи с этим, вторичной целью является разработка новых методов исследования систем со сложным поведением траекторий, включающая также обобщение уже известных методов.

Основная часть диссертации (главы 1,2 и 3) посвящены изучению многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. Гла

1 Заметим, что при явлениях гомоклинического fi-взрыва могут возникать настоящие гиперболические базисные множества, и здесь в пространстве параметров будут чередоваться области, отвечающие гиперболическому и хаотическому поведению. вы 4 и 5, где рассматриваются двумерные диффеоморфизмы, дополняют эти исследования — здесь акцент делается на выяснение новых и весьма неожиданных динамических явлений (основные из которых — существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой и существование бесконечных вырождений в областях Ньюхауса).

Основные задачи, которые рассматриваются в диссертации можно разбить на следующие большие группы.

1) Классификация многомерных систем с гомоклиническими касаниями и исследование их гиперболических свойств.

2) Теория модулей топологической и П-сопряженностн (fi-мо дулей) многомерных систем с гомоклиническими касаниями.

3) Исследование основных бифуркаций в рамках общих (трансвер-сальных) конечно-параметрических семейств (в которых в качестве управляющих параметров, помимо параметров расщепления, рассматриваются также ^-модули.

4) Исследование условий существования в областях Ньюхауса грубых периодических траекторий различных топологических типов, а также негрубых периодических траекторий и инвариантных торов.

5) Установление существования областей Ньюхауса различных типов, и, в частности, доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность.

6) Доказательство плотности в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями, и тем самым, установление невозможности полного исследования динамики таких систем с помощью конечно-параметрических семейств.

Объект исследования.

В диссертации рассматриваются актуальные проблемы нелокальной теории бифуркаций, относящиеся к одному из наиболее интересных и трудных для исследования её разделов ~ теории бифуркаций систем с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре.

Основное внимание уделяется системам с простыми гомоклиническими касаниями. Они характеризуются только одним негрубым условием - существование гомоклинического касания, которое к тому же является квадратичным. Остальные условия, накладываемые на систему, являются общими (типа неравенств). Таким образом, системы с простым гомоклиническим касанием могут неустранимым образом встречаться в общих (трансверсальных) параметрических семействах. Более того, здесь имеет место явление Ньюхауса, заключающееся в том, что в таких семействах существуют области (интервалы) значений параметров с плотными подмножествами, каждому значению параметров из которых отвечает система с простым гомоклиническим касанием. В этом случае, в силу наличия различного типа транзитивных свойств (из-за существования, опять же, раномерно или неравномерно гиперболических подмножеств), те свойства динамики", которые выясняются при полулокальном рассмотрении, могут иметь также и глобальный характер. К таким свойствам можно отнести, в частности, а) существование смешанной динамики в областях Ньюхауса и б) плотность в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями. Последние два типа динамических явлений анализируются в диссертации на примере двумерных диффеоморфизмов.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Вообще тот факт, что устойчивые и неустойчивые многообразия седловых периодических траекторий могут пересекаться, не совпадая при этом, установил Пуанкаре. Он показал, что соответствующие го-моклинические решения могут существовать на примере классической задачи трех тел в своем знаменитом мемуаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики, 1889" (см. [44]). Эта работа Пуанкаре, которая была связана с научным конкурсом, приуроченным к юбилею шведского короля Оскара II, была высоко оценена Вейерштрасом. Как член жюри конкурса, он писал: "Поэтому я без колебаний признаю эту работу достойной премии. эта работа настолько значительна, что с её опубликованием, по моему мнению, начнется новая эпоха в истории небесной механики". Сам Пуанкаре также придавал большое значение факту существования гомоклинических пересечений, с которым он связывал прежде всего сложность динамики в целом и принципиальную невозможность интегрирования большинства моделей классической динамики. Собственно говоря, Пуанкаре, кажется, получил только один результат, относящийся к структуре множества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомоклинической орбиты: он показал, что в этой окрестности существует счетное множество других гомоклинических траекторий (двояко-асимптотических к той же самой седловой точке). Это связано, по-видимому, с тем, что, во-первых, он больше уделял внимание не столько этой по-существу полулокальной задаче, сколько тому насколько гомоклинические, а также гетероклинические, траектории существенны для динамики в целом; во-вторых, Пуанкаре придавал больше ценности устойчивым периодическим траекториям, чем седловым, которые, как он, по-видимому, знал, только и могут существовать в окрестности грубой гомоклинической орбиты. Им даже были высказаны несколько гипотез "на эту тему", из которых представляются весьма интересными и актуальными следующие две. Первая - "гомоклинические точки плотны", т.е. устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия одной седло-вой периодической орбиты образуют такую сложную пересекающуюся сеть, что точки пересечения (гомоклинические точки) плотны. Вторая - "(устойчивые) периодические траектории плотны в фазовом пространстве". Обе эти гипотезы относятся к симплектической динамике и до сих пор не доказаны и не опровергнуты.2

Другое дело, полулокальная динамика, т.е. задача о структура мно

2Хотя здесь есть ряд весьма интересных результатов. Причем, наибольший прогресс достигнут в случае С1-гладких симплектических диффеоморфизмов, заданных на компактных многообразиях. Здесь, как установили Пью, Робинсон, Такенс, Ньюхаус, типичны (т.е. выполняются для множества систем второй категории) следующие свойства: 1) в фазовом пространстве плотны гиперболические периодические точки ([109]); 2) каждая гиперболическая периодическая точка в произвольной окрестности любой точки из фазового пространства имеет трансверсальную гомоклиническую точку ([122, 123, 102]); 3) если диффеоморфизм не является аносовским, то, [102], в фазовом пространстве также плотны 1-эллиптические периодические точки (у такой точки все ее собственные значения, кроме пары комплесных , где ip ф 0,7Г, не лежат на единичной окружности - в двумерном случае 1-элл1№тичсские точки являются эллиптическими). Что касается гладкого случая, то здесь можно отметить результат Трешёва [49, 125] о том, что в случае двумерных симплектических диффеоморфизмов замыкания устойчивого и неустойчивого многообразий совпадают при наличии гомоклинической точки и при условии, что эти многообразия не покидают некоторую оганиченную область в фазовом пространстве (в частности, этот результат справедлив в случае симплек-тического диффеоморфизма на замкнутом двумерном многообразии); результаты Дуарте [63, 64] о существовании областей Ньюхауса у двумерных симплектических отображений; а также наши результаты (Гонченко, Щильников, Тураев) о том, что симплектические диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа плотны на некоторых бифуркационных поверхностях коразмерности один: в двумерном случае, [20, 71], такие поверхности образуют диффеоморфизмы с негрубым гетероклиническим контуром, а в четырехмерном, [78, 74], симплектические диффеоморфизмы, имеющие гомоклинические касания к периодическим точкам типа седло-фокус. жества N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой го-моклинической траектории. Как мы уже отмечали, первоначальный прогресс в этой задаче был достигнут Пуанкаре: доказательство существования счетного множества вторичных гомоклинических траекторий. Далее, Биркгоф [60] установил существование (в случае двумерных симплектических отображений, но его рассуждения годятся и для общего двумерного случая) счетного множества (однообходных) периодических траекторий. Существенное продвижение в решении задачи Пуанкаре-Биркгофа было достигнуто лишь спустя тридцать лет, благодаря работам Смейла и Шильникова. После их результатов существование в системе грубой гомоклинической траектории стало одним из основных критериев сложной динамики. Отметим, что Смейл [120] установил, опираясь на его знаменитый пример подковы [119], что в N существует нетривиальное гиперболическое подмножество Q - тем самым, в N существует счетное множество седловых периодических траекторий, континуум траекторий устойчивых по Пуассону и т.п.

Что касается работы Шильникова [55], то в ней было дано окончательное решение задачи Пуанкаре-Биркгофа, т.е. было найдено полное описание множества N. Пусть О - седловая периодическая траектория, IVs(О) и IVй(О) - ее инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия, Г С Ws(0) П Wu(0) ~ гомоклиническая к О траектория, в точках которой многообразия Ws(0) и Wu(0) пересекаются трансвер-сально. Пусть U — £У(ОиГ) - достаточно малая окрестность контура О U Г. Ее можно представить в виде объединения малой окрестности траектории О и малой окрестности собственно гомоклинической траектории Г. На рис. 0.1 представлена такая окрестность в случаях а) диффеоморфизма плоскости и б) трехмерного потока. Обозначим через N множество траекторий динамической системы, целиком лежащих в окрестности U. Тогда, как установлено в [55], в случае потока, N будет топологически эквивалентно надстройке над схемой Бернул-ли из двух символов, причем, независимо от размерности системы. В случае диффеоморфизма имеет место аналогичный результат, только полное описание здесь дается не схемой Бернулли из двух символов, а топологической марковской цепью, изображенной на рис. 0.2. Кроме того, множество N является гиперболическим: все его траектории, а)

Рис. 0.1. Окрестность гомоклинической траектории Г в случае а) диффеоморфизма плоскости; Г:) трехмерного потока. включая О, седловые и размерности их устойчивых и неустойчивых многообразий равны соответственно dim Ws(0) и dim Wu(0). Аналогичная задача Пуанкаре-Биркгофа была решена также и для случая гомоклинического многообразия седлового инвариантного тора [56]. для отображений в банаховых пространствах [39] (включая также случай, когда неустойчивое многообразие бесконечномерно), а также для неавтономных непериодических по времени систем [90].

Но инвариантные многообразия седловых периодических траекторий могут и касаться. Эта ситуация является в некотором смысле общей для однопараметрических семействах многомерных систем со сложной динамикой. Тогда возникает естественная задача о структуре множества N траекторий, целиком лежащих в малой окрестности нео< у

Рис. 0.2. Топологическая марковская цепь из к -f щ символов. Число к + по является инвариантом, оно зависит только от размеров окрестности U; число по определяется выбором двух гомоклинических точек - он равен числу итераций диффеоморфизма, связывающих гомоклинические точки М^ £ W*oc п f-'o 11 А/— £ ^Tic n а " :,то минимальное число итераций, необходимое точкам из окрестности Л/+, чтобы их образ попал в окрестность точки грубой гомоклинической орбиты Пуанкаре, включающая также исследование бифуркаций при изменении параметров. Такую задачу впервые поставили и решали Гаврилов и Шильников [14]. Они рассмотрели случай трехмерных потоков (двумерных диффеоморфизмов) и установили ряд фундаментальных результатов о структуре множества N.

Во-первых, было показано, что, в зависимости от геометрии (квадратичного) касания, структура множества N может быть совершенно различной. И здесь они выделили три класса систем с гомоклиническими касаниями. Этот результат мы проиллюстрируем на примере двумерных диффеоморфизмов, имеющих седловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ai,7i такими, что 0 < |Ai| < 1 < |-yi| и |Ani| Ф 1, и негрубую гомоклиническую траекторию Го, в точках которой многообразия IVs(О) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Мы также будем полагать, что Ai > 0,71 > 0 (хотя в [14] рассмотрены также случаи, когда Ai и/или 71 отрицательны), и седловая величина а = |Ai7i| меньше единицы (случай а > 1 сводится к cr < 1 для обратного диффеоморфизма /-1). Тогда имеется 4 различных типа гомоклинических касаний: два случая гомоклинических касаний "снизу" (рис. 0.3а) и Ь)), и два случая гомоклинических касаний "сверху" (рис. 0.3с) и cl)). Системы с гомоклиническим касанием "снизу" принадлежат первому классу, это тот случай, когда множество N имеет тривиальную структуру: N = {О; Го}. Системы с гомоклиническим касанием "сверху" в случае рис. 0.3с) принадлежат второму классу: здесь множество N имеет неравномерно гиперболическую структуру - все траектории из N, за исключением Го, являются седловыми того же индекса, что и О. Кроме того, в этом случае множество N допускаа) b) с) Ф

Рис. 0.3. ет полное описание на языке символической динамики.3 Диффеоморфизмы в случае рис. 0.3d) (а также все оставшиеся диффеоморфизмы, кроме тех, у которых касание "снизу" и 71 > 0,Ai < 0) относятся к третьему классу. Здесь множество N имеет сложную структуру: в N содержатся нетривиальные гиперболические подмножества, которые, в отличие от диффеоморфизмов второго класса всё iV, вообще говоря, не исчерпывают (правда, при резонансах, т.е. когда А'{ = 7^ при натуральных р и д, множество N может допускать полное описание [18]).

Во-вторых, в [14] было выяснено значение гомоклинических касаний

3Но в отличие от случая грубой гомоклинической траектории - уже с помощью фактор-системы схемы Бернулли из трех символов; факторизация здесь возникает из-за того, что образ гомоклинической траектории Го при символическом описании получается из "склеивания" двух гомоклинических траекторий (.,0,.,О, 1,0,., 0,.) и (.,0,.,0,2,0.О,.). различных типов для динамики систем в целом. Так, было установлено, что системы с гомоклиническими касаниями первого класса могут лежать на границе систем Морса-Смейла. При переходе через такую границу сложная структура возникает сразу - взрывом, поэтому совокупность всех соответствующих бифуркационных явлений получила наименование гомоклинического Q-взрыва. В дальнейшем, эти явления были более детально изучены в ряде работ Ньюхауса. Пэлиса. Такен-са, Стенькина и Шильникова (см., например, [101. 104. 48]). Важность систем второго класса проявляется в том. что они могут разделять системы с гиперболической структурой и системы со сложным хаотическим поведением траекторий.4 Системы с гомоклиническими касаниями третьего класса являются своеобразными индикаторами сложности: они показывают, что не только сама система, но все близкие, имеют чрезвычайно сложную динамику. Так, в [14] было показано, что здесь еще до момента первого касания (у таких диффеоморфизмов как на рис. 0.3d)) уже имеет место сложная структура.

В-третьих, в [14] были изучены основные бифуркации периодических траекторий в рамках общих (трансверсальных) однопараметри-ческих семейств (где fi - параметр расщепления инвариантных многообразий IVs (О) и IVй(О) относительно некоторой точки гомоклинического касания). Основной результат в этом направлении - это

Теорема о каскаде периодических стоков": в любом общем (транс-версалъном) семействе существует последовательность непересекающихся интервалов 5 k значений параметра //, которые накапливаются к ji = 0 при к —> оо, таких, что при р, £ 8k диффеоморфизм /ц имеет периодическую асимптотически устойчивую периодическую траекторию (периода к).

Наконец, отметим еще одну важную особенность диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, обнаруженную в [14]. Она касается диффеоморфизмов третьего класса и состоит в том, что на би

4 Например, бифуркационные значения параметров, отвечающие гомоклиническим касаниям второго класса являются "последними" при рождении "полной" подковы Смейла, а также при возникновении гиперболической структуры в отображении Эно [59, 70, 83]. Также кажется, что системы с такого типа гомоклиническими касаниями должны лежать на границе областей Ньюхауса. фуркационных поверхностях таких систем плотны системы с негрубыми периодическими траекториями. С этим связано существование У диффеоморфизмов третьего класса Q-модулей - непрерывных инвариантов топологической эквивалентности (сопряженности) на множестве неблуждающих траекторий. Вообще, результаты о Q-модулях были доказаны позже, в [23, 24], но уже в [14] был, фактически, указан основной fi-модуль, это инвариант

Практически в одно время с работами Гаврилова и Шильникова появились также знаменитые статьи Ньюхауса [97, 98, 99] о существовании так называемых "диких гиперболических множеств" вблизи гомо-клинических касаний. Собственно, статья [97] не имеет прямого отношения к гомоклиническим касаниям. В ней приведен пример однопа-раметрического семейства диффеоморфизмов, известного как "крюк Ньюхауса", в котором гомоклинические касания не исчезают при из-^ менении параметра. Точнее, любое данное касание расщепляется монотонно вместе с параметром, но неизбежно появляются новые касания. Но пример статьи [97] был слишком специальным, чтобы его можно было бы использовать вообще для диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. В этом отношении для теории динамических систем гораздо более важной оказалась статья [99], в которой было показано, что в любой окрестности любого двумерного диффеоморфизма с гомоклиническим касанием существуют области, в которых диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями плотны. Такие области, как в пространстве динамических систем, так и в пространстве параметров, получили наименование областей Ньюхауса.

В работе [98] было установлено одно замечательное свойство систем областях Ньюхауса - сосуществование периодических траекторий различных типов. Применительно к случаю двумерных диффеоморфизмов оно звучит так: в областях Ньюхауса вблизи диффеоморфизма с гомоклиническим касанием в случае о < 1 плотны диффеоморфизмы со счетным множеством устойчивых и седловых периодических траекторий (в случае а > 1 - со счетным множеством вполне

Рис. 0.4. неустойчивых). В самой работе [98] приводится многомерный результат (dim Wu(0) = l,dim Ws(0) = n, и мультипликаторы.точки О такие, что 0 < |А„| < . < |Л2| < |Ai| < 1 < |-у| и а = |Ап| < 1), но дополнительно накладываются такие условия, что полученный в [98] результат может использоваться для систем весьма специального вида (например, предполагается существования структуры типа прямого произведения и т.п.). Вообще говоря, этот результат верен и без специальных предположений, но его обоснование уже базируется на 1) доказательстве существования областей Ньюхауса в многомерном случае и 2) доказательстве существования устойчивых периодических траекторий в параметрических семействах. Обе эти задачи решены. Существование областей Ньюхауса доказано в общем случае в [25], и в многомерном случае, когда неустойчивое многообразие (для диффеоморфизмов) одномерно, в [105, 112]. Причем, в [25] существование областей Ньюхауса установлено и для трансверсальных параметрических семейств. Бифуркации рождения устойчивых периодических траекторий в трансверсальных параметрических семействахе изучались для многомерного случая в [31, 28, 70, 75], и в [28, 70] были даны критерии существования устойчивых периодических траекторий. Отметим также, что в [32, 24] были найдены условия существования счетного множества устойчивых периодических траекторий непосредственно у систем с гомоклиническими касаниями: эти условия оказались связанными с арифметическими свойствами основных инвариантов, fi-модулей, негрубой гомоклинической структуры, и одним из таких модулей был инвариант в.

Вообще, существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой обнаружил Пэлис [106]. Он показал, что такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой которых инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. Пусть д - такой диффеоморфизм (класса Сг,г > 2), имеющий две грубые седловые неподвижные точки О\ и О2 с собственными значениями AS,7S такими, что |AS| < 1 < |7s|,s = 1,2; кроме того И/м(02) имеет одностороннее касание с PT/s(Oi) в точках некоторой гетероклинической траектории Г21 (рис. 0.4). Пэлис доказал в [106], что инвариант

1п[А2| 1п I711 является модулем локальной топологической сопряженности диффеоморфизмов с гетероклиническим касанием. Другими словами, если д и д' - два диффеоморфизма с гетероклиническими касаниями, то у и д' могут быть локально сопряжены только в том случае, когда

1п1А2|= 1п|А'2| ln|7i| ln|7i|'

Модули топологической сопряженности многомерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими траекториями были установлены в работе [100], где, в частности, были рассмотрены также случаи, когда седловые неподвижные точки являются седло-фокусами (в этих случаях помимо а модулями являются также угловые аргументы комплексных ведущих мультипликаторов). После [106] вообще появилась целая серии работ по модулям, см., например, [91, 92, 93, 94, 95], опять же для систем с простой динамикой, в которых рассматривались уже не только необходимые, но также и достаточные условия для существования топологической сопряженности.

Если говорить о системах с простой динамикой, имеющих только гетероклинические касания, то модули в них проявляются, по большей степени, как некоторые "препятствия" к построению сопрягающих гомеоморфизмов. В случае гомоклинических касаний или негрубых гетероклиннческих контуров, т.е. когда помимо того, что И "(02) имеет касание с IVs(Оi), еще и TFu(Oi) пересекается с И'л'(02), появление модулей представляется более естественным из-за возможности существования сложной динамики. Также естественно существование модулей топологической эквивалентности в случае векторных полей, имеющих петлю состояния равновесия типа седло-фокус (рис. 0.5). Явление всюду плотной ft-негрубости на бифуркационных поверхностях таких систем было открыто в работе [54] для случая трехмерных (в [57] также и многомерных) векторных полей. В этом случае поле X имеет состояние равновесия О с характеристическими корнями у12 = —= 6, где а > 0,w > 0,6 > 0, неустойчивая сепаратриса которого (одна из компонент в И/г<(0)\0) ложится на И7,4(О), образуя гомоклиническую петлю Г. Как показано в [54], структура множества Я траекторий, целиком лежащих в малой окрестности V = V(0 U Г), существенно зависит от значений инварианта Шильникова а р=ь

Так, если 0 < р < 1, то J\f имеет сложную структуру, которая, кроме того, меняется непрерывно при изменении значения инварианта р. Если же р > 1, то j\f = {О, Г}, но сложную структуру, также непрерывно зависящую от /?, имеет множество полутраекторий, ^'-предельных к Г. И опять, только в 80-х, Афраймович и Ильяшенко [б] (а также Тогава [124] в случае 0 < р < 1) показали, что р является модулем топологической экивалентности (но не О-?). Какие еще модули есть в случае седло-фокуса, неизвестно, хотя некоторые намётки имеются в [42, 43, 1].

Как мы уже отмечали, систематическое изучение Q-модулей было начато в работах [18, 23, 24], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями. Также в [72] был рассмотрен случай гомоклинического касания к неподвижной точке типа седло-фокус с двумя парами комплексно-сопряженных мультипликаторов (т.н. случай (2,2)). В случае двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами модули изучались в работах [37, 27, 20, 71], причем в последних двух были рассмотрены двумерные симплектические отображения. В работах [28, 70, 74] были изучены бифуркации периодических траекторий в

Рис. 0.5. рамках трансверсальных параметрических семейств, проходящих через многомерную систему с простым гомоклиническим касанием. Наиболее интересные результаты здесь были получены в случае, когда седловая неподвижная точка, у которой есть гомоклпническое касание. является седло-фокусом, т.е. она имеет комплексно-сопряженные ведущие мультипликаторы. В этих случаях, как показано в [28, 71], комплексные (угловые) аргументы ведущих мультипликаторов являются Q-модулями, и такие модули были рассмотрены, наряду с параметром расщепления, в качестве управляющих параметров.'* Основные результаты по исследованию бифуркаций были анонсированы в [28], а доказательства для базовых случаев (без неведущих мультипликаторов) были приведены в [28, 70. 30. 75].

Еще одно интересное направление в исследовании гомоклинических бифуркаций это изучение бифуркаций в рамках параметрических семейств, которые не расщепляют исходное гомоклпническое или ге-тероклиническое касание. В этих случаях О-модули. вообще, стано

1акои подход был реализован также при исследовании бифуркаций четырехмерных симплектических диффеоморфизмов. имеющих гомоклпническое касание к седло-фокусу. Основные бифуркации, в рамках двух параметрических' трансверсальных семейств, были изучены в [78]. где было показано, что на плоскости параметров существует счетное множество областей, отвечающих существованию у диффеоморфизма эллиптической периодической точки общего типа (т.е. точек с мультпликаторами е^""1, (?±""2, где 0 < u>i,W2 < тг.«>j Ф и выполнены некоторые условия общего положения). В свою очередь, это позволило установить, что уже на бифуркационной поверхности таких систем (четырехмерных симплектических диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-фокусу) плотны диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа. вятся естественными управляющими параметрами. Бифуркации в семействах, где Q-модули являются параметрами были рассмотрены в [32, 24, 80, 47] - для случая систем с гомоклиническими касаниями; в [26, 68, 37, 27] - для случая двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами (в [20, 71] был рассмотрены симплек-тические диффеоморфизмы); в [42, 43, 65, 1] - для случая векторных полей с гомоклиническими петлями седло-фокусов. Среди результатов здесь можно отметить следующие: связь динамики с арифметическими свойствами основных Q-модулей (например, как показано в [32, 27], счетное множество (двухобходных) устойчивых периодических траекторий у диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями или негрубыми гетероклиническими контурами существует тогда, когда два основных инварианта 9 и т (см. § 2.3, где определено т) являются иррациональными числами экспоненциально хорошо приближаемыми рациональными дробями); плотность значений двух Г?-модулей (опять же б1 и г в случае гомоклиничес'кого касания), при которых система имеет двукратно вырожденную периодическую траекторию [80, 47, 1] (с мультипликатором +1 или —1 и равной нулю первой и отличной от нуля второй ляпуновскими величиными); плотность значений Q-модулей, при которых существуют вторичные гомоклинические касания [22, 66]. Последний результат следует особо отметить, поскольку он дает путь к построению, путем использования гладких локализованных добавков, систем со счетным множством новых гомоклинических касаний, а тем самым приводит к принципиально важному результату: на бифуркационной поверхности систем (третьего.класса) с гомоклиническим касанием плотны системы со счетным множеством fi-модулей [24, 66, 70]. А это, a priori, означает, что гомоклинические бифуркации могут приводить к бесконечным вырождениям. Соответствующие результаты были установлены в [22, 66, 70, 21]. где было, в частности, показано, что в областях Ньюхауса плотны системы с периодическими траекториями и гомоклиническими касаниями любого порядка вырождения.

Что касается бифуркаций негрубых гетероклинических контуров, то, как кажется, они не представляли специального интереса, вплоть до появления работ [68, 126, 27], так как неявно предполагалось, что бифуркации эти в некотором смысле аналогичны ,1roMoiwHiHiriecKiiMv, и новых динамических эффектов здесь не следует ожидать. В указанных работах было обнаружено существование, у двумерных диффеоморфизмов, областей Ньюхауса со смешанной динамикой. Под этим термином понимаются области Ньюхауса, в которых 1) плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых. устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых траекторий всех типов); 2) замыкания этих счетных множеств траекторий пересекаются (и типично, когда это пересечение содержит нетривиальные гиперболические множества).

Научная новизна.

Если говорить о новых научных результатах, то их можно условно разбить на две группы. Первую группу составляют результаты, которые обобщают (так или иначе, а в основном переносят на многомерный случай) ранее известные. Вторую группу составляют те результаты, которые носят принципиально новый и характер, и ранее в теории динамических систем не были извесны.

К первой группе можно отнести следующие результаты.

1) Распространение классификации динамических систем с гомоклиническими касаниями, данной Гавриловым и Шильниковым в [14] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков), на общий многомерный случай. При этом, классификация идет по тому же типу: выделяется три класса систем — с простой динамикой (первый класс), с полным описанием (второй класс), со смешанным описанием (третий класс).

2) Установление гиперболических свойств многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями: выделение нетривиальных неравномерно гиперболических подмножеств и описание их структуры посредством символической динамики. Здесь используются и обобщаются разработанные в [55,14, 34, 27] методы построения гиперболических подмножеств, основанные на методе краевой задачи и принципе Банаха для последовательности седловых отображений, записанных в так называемом перекрестном виде [55].

3) Нахождение основной нормальной формы многомерного отображения в окрестности седловой неподвижной точки. Разные варианты были представлены ранее в [23, 24, 117]. В диссертации изложен самый общий (конечномерный) вариант.

Вторая группа новых результатов связана с новыми динамическими явлениями, которые ранее (до работ автора и его соавторов Тураева и Шильникова) в теории динамических систем не отмечались.

1) Теория Q-модулей систем с гомоклиническими касаниями и с негрубыми гетероклиническими контурами. В случае гомоклинических касаний модули топологической сопряженности изучались в наших работах [32, 24], а также в [110, 111]; а 11-модули были введены в [18, 19] и изучались в [24, 36, 28, 37, 72, 78].

2) Структура бифуркаций многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, в особенности в случаях, когда неподвижная точка, многообразия которой имеют касание, является седло-фокусом. В этих случаях, в параметрических семейств, в которых в качестве параметров, помимо параметра расщепления, рассматриваются основные ^-модули, наблюдаются бифуркации, связанные с появлением как периодических траекторий с одним двумя и даже с тремя мультипликаторами на единичной окружности, так и инвариантных торов и даже странных аттракторов (последние, например, возникают в потоковых нормальных формах отображений вблизи неподвижных точек с мультипликаторами (1,-1,-1) или (—1,-1,-1) [116]).

3) Новые квадратичные "гомоклинические" отображения. В [28, 70, 30, 74] было показано, что отображения первого возвращения могут быть приведены с помощью гладких замен переменных и параметров к отображениям, которые асимптотически близки (когда время возвращения стремится к бесконечности) к стандартным квадратичным отображениям одного из следующих видов: a) отображение параболы у = М\ — у2; b) отображение Эно х = у, у = М\ — Мух — у2; c) отображение Мира х = у, у = Mi — М2У — d) трехмерное отображение Эно х = у, y = z, z = Mi - М2х - Mzz - i/2; е) обобщенное отображение Эно х = у, у = Mi - М2х - у2 + sixy + £21/3; где М\,М2,М% - параметры, £\,£% - некоторые малые коэффициенты. Заметим, что первое отображение является "универсальным", так как может быть найдено вблизи любой системы с простым квадратичным гомоклиническим касанием [25], тогда как отображения Ь)-е) возможны только в случаях седло-фокусов. Обобщенное отображение Эно было выведено в [73, 33, 79] для некоторых случаев гомоклини-ческих касаний коразмерности два, и в [69] для случая негрубого ге-тероклинического контура; отображение Мира было найдено также в [128] для некоторого случая трехмерных диффеоморфизмов имеющих вырожденное гомоклиническое касание. Из перечисленных отображений, отображения а),Ь) и с) достаточно хорошо известны и изучены, тогда как d) и е) еще нуждаются в более детальном изучении.

4) Установление новых динамических явлений в областях Ньюхауса. Наиболее популярное свойство динамики систем из областей Ньюхауса, открытое в [98], это сосуществование счетного множества седловых и счетного множества устойчивых периодических траекторий. Оно характерно для областей Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов, имеющих гомоклиническое касание многообразий седловой неподвижной точки в случае, когда неустойчивое многообразие одномерно и сед-ловая величина меньше единицы. Как мы установили, [28. 70, 74], в общем многомерном случае существуют области Ньюхауса, в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество грубых периодических траекторий трех или четырех разных типов, а также периодические траектории с двумя или даже тремя мультипликаторами, равными по модулю единице.

5) Доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, т.е. таких областей, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность. В [68, 27] было показано, что такие области Ньюхауса существуют вблизи двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами в случае "знакопеременной дивергенции" (т.е. когда контур содержит две седловые точки такие, что седловая величина одной больше единицы, а другой - меньше единицы). б) Установлено, что в областях Ньюхауса, существующих вблизи двумерных Сг-гладких диффеоморфизмов с квадратичными гомоклиническими касаниями, плотны, в Сг-топологии для любого г < оо, диффеоморфизмы, имеющие бесконечно вырожденные периодические и гомоклинические траектории.5

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 128 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гонченко, Сергей Владимирович, 2004 год

1. Алексеева С.В., ПГильников Л.П. " О бифуркациях периодических движений в системах с гомоклинической петлей седло-фокуса".-Дифференциальные уравнения, 1997, 33, No.4, с. 440-447.

2. Динамические системы-9 (ред. Д.В.Аносов). Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. напрдвлениея, 1985, т.66

3. Аносов Д.В. "Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция".- в кн. Маематические события XX века. М.: ФАЗИС, 2003, с.1-18.

4. Арнольд В.И."Математические методы классической механики".- М.: Наука, 1974.

5. Арнольд В.И.,Козлов В.В.,Нейштадт А.И. "Математические аспекты классической и небесной механики".- Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. направлениея, 1985, т.З.

6. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., ПГильников Л.П. "Теория бифуркаций".- Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. направления. 1986. Т.5. С.5-218.

7. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "Об особых множествах систем Морса-Смейла'.- Тр. ММО, 1973, 28, с. 181-214.

8. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. "О возникновении и структуре аттракторов Лоренца".- ДАН СССР, 1977, 234, No.2, с.336-339.

9. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. "О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца".- Тр. ММО, 1982, 44, с.150-212.

10. Бирагов B.C. "О бифуркациях в двухпараметрическом семействе консервативных отображений, близких к отображению Эно".-Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1987, с.10-24.

11. Быков В.В., Шильников А.Л. "О границах области существования аттрактора Лоренца"- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1989, с.151-159.

12. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. "О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой".- I) Матем. сб., 1972, 88, No.4, с.475-492; II) Матем. сб., 1973, 90, No.l, с.139-157.

13. Гаврилов Н.К. "О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур".- Математические заметки, 1973, 14, No.5, с.687-696.

14. В.С.Гонченко "О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий "нейтрального седла".- тр. МИАН, 2002, т.236, с.95-102.

15. В.С.Гонченко "О сосуществовании аттракторов и репеллеров в обратимых системах с дополнительной симметрией".- сб. научных статей "Математика и кибернетика 2003", Нижний Новгород, 2003, с.98-100.

16. С.В.Гонченко "Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей)".-в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1989, с. 34-49.

17. С.В.Гонченко "К вопросу об условиях сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".- в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1990, с. 5-19.

18. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О двумерных аналитических сохраняющих площадь диффеоморфизмах со счетным множеством эллиптических устойчивых периодических точек"Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т.2, No. 3, с. 106-123.

19. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса".- Труды Межд. конф., посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина, ВИНИТИ, 1999, с. 67-129

20. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1991, с.36-61.

21. Гонченко С.В., Шильников Л.И. "Инварианты Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".-Укр. мат. журн., 1990, 42, No.2, с. 153-159.

22. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Изв.Росс.Акад.Наук, серия матем., 1992, 56, No.6, с. 1165-1196.

23. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай)".- Докл. Росс.Акад.Наук, 1993, 329, No.4, с.404-407.

24. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с негрубым гомоклиническим контуром".- Успехи Мат. Наук,, 1995, т.50, вып.4.

25. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмлов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром".- Труды МИАН, 1997, т.216, с.7-118.

26. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре",- Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, 330, No.2, с. 144-147. '

27. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О двумерных сохраняющих площадь отображениях с гомоклиническими касаниями".- Доклады Академии Наук, 2001, т.378, No.6, с.727-732.

28. Гонченко С.В. "Гомоклинические касания, О-модули и бифуркации",- Труды МИАН, 2002, 236 .

29. Гонченко С.В. "Об устойчивых периодических движениях систем, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой".-Матем. заметки, 1983, 33, No.5, с. 745-755.

30. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией",- Укр. мат. журнал, 1987, 39, No.l, с.21-28.

31. Гонченко С.В.,Гонченко B.C. "О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями".- труды МИАН, 2004, т.244.

32. Гонченко С.В. "Нетривиальные гиперболические подмножества • систем с негрубой гомоклинической кривох! ".- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тема-тич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1984, с.89-102.

33. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми".- ДАН СССР, 1986, 286, No.5, с. 1049 -1053.

34. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- ДАН СССР, 1991, 320, No.2, с.269-272.

35. Гонченко С.В. "Модули Q-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром".- Матем. сб., 1996, 187, No.9, с.3-25.

36. Касселс Д.В.С. "Введение в теорию диофантовых приближений".- М.: ИЛ, 1961.

37. Лерман Л.М., Шильников Л.П. "Гомоклинические структуры в бесконечномерных системах".- Сиб. матем. журн., 1988, 28, No.3, с.408-417.

38. Малкин М.И. "Кусочно-линейные модели для отображений ло-ренцевского типа".- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. унт, Горький, 1987, с.148-161.

39. Мозер Ю."Лекции о гамильтоновых системах".- М.: Мир, 1973.

40. Овсянников И.М., Шильников Л.П. "О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса".- Матем. сб., 1986, 172, No. 4., с.552-570.

41. Овсянников И.М., Шильников Л.П. "Системы с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос".- Матем. сб., 1991, 182, No. 7., с.1043-1073.

42. А.Пуанкаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики", в кн.: А.Пуанкаре. Избранные труды, т.2, М.: Наука, 1972.

43. Пуанкаре А. "Новые методы небесной механики".- в кн. "Избранные труды", М.: Наука, Т.1, 1971; Т.2, 1972; Т.З, 1974.

44. Шильников Л.П. "Теория бифуркаций и турбулентность Г'.- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Меж-вуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1986, с.150-164.

45. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. "Strange attractors and quasi-attractors".- In "Nonlinear Dynamics and Turbulence", ed. G.I.Barenblatt, G.Ioss and D.D.Joseph; Pitman, New York, 1983, pp.1-28.

46. G.D.Birkhoff "Nouvelles recherche sur les systemes dynamiques".-Memoire Pont. Acad. Sci. Novi. Lancaei, 1935, v.53, pp.85-216.

47. T.Downarrowicz, S.Newhouse, Symbolic extensions and smooth dynamical systems, preprint (2002): http:\\www.mth.msu.edu\ ~sen\ Papers\Symbolic\SymbolicExtensions.pdf.

48. Devaney R.L. "Homoclinic orbits in Hamiltonian systems".-J.Diff.Eqns., 1978, 21, pp.431-439.

49. Duarte P. "Plenty of elliptic islans for the standard family of area preserving maps".- Ann.Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 11, 1994, No.4, pp.359-409.

50. Duarte P. "Persistent homoclinic tangencies for conservative maps near the indentity".- Ergod. Th. and Dyn. Sys., 2000, 20, No.2, pp.393-438.

51. P.Gaspard, S.V.Gonchenko, G.Nicolis, D.V.Turaev "Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus".- Non-linearity, 1997, 10, No.2, pp.409-423.

52. Gonchenko, S.V., Shil'nikov, L.P., Turaev, D.V. "On models with non-rough Poincare homoclinic curves", Physica D 62, Nos.1-4, pp.l-14.

53. S.V.Gonchenko, L.P.Shil'nikov "On geometrical properties of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies".-Int.Journal of Bifurcation and Chaos, 1995, V. 5, No. 3, pp. 819-829.

54. S.V.Gonchenko, L.P.Shil'nikov, D.V.Turaev "Bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with non-rough homoclinic contours".-J.Techn.Phys., 1996, v.37, Nos. 3-4, pp.349-352.

55. Gonchenko S.V. "Dynamics and moduli of П-conjugacy of 4D-diffeomorphisms with a structurally unstable homoclinic orbit to a saddle-focus fixed point".- Amer.Transl.Math., 2000, 200, No.2, pp.107-134.

56. Gonchenko S.V., Gonchenko V.S. "On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies".-Preprint No.556, WIAS,Berlin, 2000.

57. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. "Infinitely many elliptic periodic orbits in four-dimensional symplectic maps with a homoclinic tangency".- Preprint No.791, WIAS,Berlin, 2002.

58. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. "On dynamical properties of diffeomoephisms with homoclinic tangencies".- Preprint No.795, WIAS,Berlin, 2002.

59. Gonchenko, S.V., Shilnikov, L.P., Turaev, D.V. "Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits", CHAOS, 1996, 6, No.l, pp.15-31.

60. Gonchenko, S.V., Shilnikov, L.P., Turaev, D.V. "Quasiattractors and homoclinic tangencies".- Computers Math. Applic., 1997, Nos.2-4, pp.195-227.

61. S.V.Gonchenko, L.P.Shilnikov, D.V.Turaev "Elliptic periodic orbits near a homoclinic tangency in four-dimensional symplectic maps and Hamiltonian systems with three degrees of freedom".- Regular and Chaotic Dynamics, 1998, v. 3, No. 4, pp. 3-26.

62. Gonchenko S.V., Sten'kin O.V., Turaev D.V. "Complexity of homoclinic bifurcations and Q-moduli".- Int. J. "Bifurcation and Chaos", 1996, 6 , No.6, pp.969-989.

63. S.V.Gonchenko, L.P.Shilnikov "On two-dimensional area-preserving maps with homoclinic tangencies that have infinitely many generic elliptic periodic points".- Записки научных семинаров ПОМИ, 2003, т.300, с. 155-166.

64. Guckenheimer J., Williams R.F. "Structural stability of Lorenz attractors".- Publ.Math.IHES, 1979, 50, pp. 59-72.

65. Guckenheimer J., Holmes P. "Non-linear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields", 1983, Springer-Verlag,New York.

66. Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. "Invariant manifolds".- Lecture Notes in Math., vol.583, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

67. Kaloshin V. "Generic diffeomorphisms with superexponential growth of number of periodic orbits".- Commun. Math. Phys., 2000, v.211, pp.253-271.

68. Kuznetsov Yu.A. "Elements of applied bifurcation theory"Springer-Verlag New York, Inc., 1995.

69. Lai Y-C, Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. "How often are chaotic saddles nonhyperbolic?".- Nonlinearit.y, 1993, v.6, pp.779-797.

70. Lancaster P. "Theory of matrices".- Academic Press, New York and London, 1969.

71. Lerman L.M. "Complex dynamics and bifurcations in a Hamiltoni-an system having a transversal homoclinic orbit to a saddle-focus" .CHAOS, 1991, 1, No.2, pp. 174-180.

72. Lerman L.M., Shilnikov L.P. "Homoclinic structures in nonau-tonomous systems: Nonautonomous chaos".- Chaos, 1992, 2, pp.447454.

73. Van Strien S.J. "Bifurcations near saddle-connections".- 1982, PhD-thesis, Groningen.

74. Moser J. "The analitic invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point" .- Comm. of Pure and Appl.Math., 1956, IX, pp.673-692.

75. Newhouse, S.E. "Non-density of Axiom A(a) on S2".- Proc. A.M.S. Symp. Pure Math., 1969, 14, pp.191-202.

76. Newhouse, S.E. "Diffeomorphisms with infinitely many sinks".-Topology, 1974, 13, pp.9-18.

77. Newhouse, S.E. "The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms".- Publ.Math.IHES, 1979, 50, pp.101-151.

78. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. "Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms".- Publ.Math.Inst. Haute Etudes Scien-tifiques, 1983, 57, p.5-72.

79. Romero N. "Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions".- Ergod. Th. and Dyn.Sys., 1995, 15, pp.735-757.

80. Riissman H. "Kleine Nenner I, Uber invariante Kurven differen-zierbarer Abbildungen eines Kreisrings".- Nachr. Akad. Wiss. Gott., Math. Phys. Kl. II, 1970, pp. 67-105.

81. Shilnikov L.P. "Multidimensional Hamiltonian chaos".- CHAOS, 1991, 1, No.2, pp. 134-136.

82. Shil'nikov L.P. "Chua's circuit: rigorous results and future problems".- Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1994, 4, No.3, pp.489519.

83. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P. and Turaev D.V. "Normal forms and Lorenz attractors".- Int. J. Bifurcations and Chaos, 1994, 1, No.4, pp.1123-1139.

84. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. "Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part I".- World Scientific, 1998.

85. Shilnikov L.P, Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. "Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part II".- World Scientific, 2002.

86. Smale S. "A structurally stable differentiable homeoomorphism with an infinite number of periodic points".- В кн.: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т.2, Киев, 1963, с.365-366.

87. Smale S. "Diffeomorphisms with many periodic points".- Diff. and Comb. Topology, Princeton Univ. Press (1965), pp.63-80.

88. Smale S. "Structurally stable systems are not dense" .- Am. J. Math., 1966, 88, pp.491-496.

89. Takens F. "Hamiltonian systems: generic properties of closed orbits and local perturbations".- Math. Ann., 1970, 188, pp.304-312.

90. Takens F. "Homoclinic points in conservative systems".- Invent. Math., 1972, 18, pp.267-292. Русский перевод: "Гомоклииические точки в консервативных системах".- в кн. "Гладкие динамические системы".- М.: Мир, 1977.]

91. Togawa Y. A modulus of 3-dimensional vector fields // Dynamical System and Ergodic Theory. 1987. V.7. P. 295-303.

92. Treschev D.V. "Closures of asymptotic curves in a two-dimensional symplectic map".- J. Dynam. Contr. Syst., 1998, v.4, No.2, pp.217226.

93. Turaev D.V. "On dimension of non-local bifurcational problems".-Int.Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, 6, No.5, pp.919-948.

94. Tedeshini-Lalli L., Yorke J.A. "How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks?"- Comm.Math.Phys., 1995, 106, pp.635-657.

95. Tatjer J.C. "Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies".- Ergod. Th. and Dyn. Sys., 2001, 21, 249-302.