О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерного многообразия с поверхностными базисными множествами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Левченко, Юлия Алексеевна

• Левченко, Юлия Алексеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Левченко, Юлия Алексеевна

1.1 Динамические факты..........................................30

1.2 Топологические факты..........................................49

1.2.1 Накрытия. Поднятия....................................49

1.2.2 Универсальное накрытие поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой..................52

1.2.3 О вложении поверхности в трехмерное многообразие. 56

1.2.4 Локально тривиальные расслоения....................59

2 О структуре 3-многообразия, допускающего А-диффеоморфизм с двумерным поверхностным неблуждающим множеством. 62

2.1 Формулировка результата.................... 62

2.2 Существование структуры докально тривиального расслоения (доказательство леммы 2.1)................ 63

2.3 Доказательство классификационной теоремы (теорема

2.1)................................ 66

3 О топологической классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными базисными множествами 68

3.1 Класс Ф модельных диффеоморфизмов и алгебраический критерий топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса Ф..................... 68

3.2 Инварианты объемлющей Г2-сопряженности диффеоморфизмов класса G........................ 74

3.3 Топологически когерентные диффеоморфизмы....... 79

3.4 Существование одномерного слоения структурно устойчивого диффеоморфизма / из класса G............. 83

3.5 Построение диффеоморфизма из класса G, который не является структурно устойчивым................ 88

4 Диффеоморфизмы трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами 90

4.1 Схема постороения структурно устойчивого диффеоморфизма с одномерным поверхностным базисным множеством. 90

4.2 О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов............. 91

4.3 Условия топологической сопряженности ограничений А-диффеоморфизмов на носители одномерных базисных множеств............................. 96

4.4 О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерной сферы с одномерными поверхностными базисными множествами.......................107

4.5 О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами. 111

Список литературы.........................114

Предмет исследования. В данной диссертации рассматриваются диффеоморфизмы, заданные на замкнутых многообразиях размерности три. Основное внимание уделяется исследованию Л-диффеоморфизмов, в предположении, что их нетривиальные базисные множества являются поверхностными.

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов на многообразиях.

История вопроса. Проблема топологической классификации диффеоморфизмов связана с одним из основных разделов качественной теории динамических систем — нахожденим топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической сопряженности.

Два диффеоморфизма X X, д : X X называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм ¡г : X —> X, такой, что д(Н(х)) = /г(/(х)), гомеоморфизм Н при этом называется сопрягающим.

Непосредственная проверка топологической сопряженности двух диффеоморфизмов является, вообще говоря, невыполнимой задачей. Поэтому возникает актуальная проблема нахождения обозримых топологических инвариантов (некоторых объектов или свойств диффеоморфизма, сохраняющихся при топологической сопряженности) таких, что совпадение инвариантов двух диффеоморфизмов гарантирует их сопряженность. Под топологической классификацией некоторого класса й диффеоморфизмов понимается решение следующих задач:

• нахождение топологических инвариантов для диффеоморфизмов из выделенного класса С;

• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух диффеоморфизмов из выделенного класса;

• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя, принадлежащего

рассматриваемому классу.

Постановка задачи восходит к классическим работам Анри Пуанкаре. До 60-х годов прошлого века основной прогресс в решении проблемы топологической классификации динамических систем был достигнут для грубых каскадов на окружности и грубых потоков на поверхностях. Такое продвижение было связано с тем, что системы этого типа обладают регулярной динамикой, то есть их неблуждающее множество устроено весьма просто, оно состоит из конечного числа гиперболических периодических орбит для отображений окружности и конечного числа гиперболических состояний равновесия и замкнутых траекторий для потоков на поверхностях. В силу чего каждый класс топологической сопряженности (эквивалентности) таких каскадов (потоков) определяется конечным набором комбинаторных инвариантов. Понятие грубости (грубость означает, что поведение системы качественно не меняется при малых возмущениях) было введено в 1937 году российскими математиками A.A. Андроновым, JI.C. Понтрягиным [2] для потоков, определенных в конечной части плоскости и затем обобщено в 1939 году А.Г. Майером для отображений окружности [40]. Простое устройство неблуждающего множества позволило А.Г. Майеру в 1939 году получить полную топологическую классификацию грубых отображений окружности [40], а в 1955 А.Г. Майеру и Е.А. Леонтович-Андроновой — топологическую классификация грубых потоков, заданных в ограниченной части плоскости [38]. В 60-х годах прошлого века М. Пейшото [48], [46], [47] обобщил понятие грубости для потоков на поверхностях, введя понятие структурной устойчивости, которое, как оказалось впоследствии, эквивалентно понятию грубости. Он установил необходимые и достаточные условия структурной устойчивости, которые вновь включали требования гиперболичности и конечности множества состояний равновесия и замкнутых траекторий. Это также означало регулярность динамики и позволило М. Пейшото в 1971 году [49] свести проблему классификации потоков на поверхностях к комбинаторной проблеме — изоморфности графов специ-

ального вида. Описанные выше системы, образуют плотное множество в пространстве всех систем на данных многообразиях, что объясняет важную роль структурно устойчивых систем. Начало 60-х годов прошлого века ознаменовалось революционным открытием, связанным с именами С. Смейла [60], и Д.В. Аносова [4]. Было обнаружено, что структурно устойчивые отображения поверхности и потоки на трехмерных многообразиях могут обладать счетным множеством седловых гиперболических периодических орбит. Динамика таких систем является хаотической и, в противовес регулярной динамике, означает существование всюду плотного подмножества любого нетривального базисного множества, в котором траектории сколь угодно близких точек имеют различное асимптотическое поведение. Стало понятно, что исследование таких систем требует новых подходов и методов, их топологические инвариантны не исчерпываются комбинаторными объектами, а характеризуются алгебраическими инвариантами, включающими автоморфизмы фундаментальных групп носителей базисных множеств. Для каскадов (потоков) на многообразиях размерности большей единицы (двух) становится возможным существование гомоклинических пересечений инвариантных многообразий седловых периодических движений, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий. Первым, кто обнаружил сложную структуру множества траекторий, принадлежащих окрестности гомоклинической траектории, был А. Пуанкаре [54]. Затем Д. Бирк-гоф [5] исследовал двумерные сохраняющие площадь отображения и показал, что наличие гомоклинических пересечений влечет существование бесконечного множества периодических орбит. Принципиальным продвижением в этом направлении явилась работа Л.П. Шильникова, в которой дано полное описание множества всех траекторий, остающихся в некоторой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории потока на многообразии размерности большей двух. Из этого описания следует, в частности, наличие в выбранной окрестности счетного мно-жетва периодических траекторий [58], [59].

Существенную роль в понимании принципиального отличия структурно устойчивых каскадов (потоков) на многообразиях размерности большей единицы (большей двух) от структурно устойчивых потоков на поверхностях сыграл пример структурно устойчивого диффеоморфизма двумерной сферы, обладающий бесконечным множеством периодических орбит, который был построен С. Смейлом в 1961 году [61] и получил название "подкова Смейла". Второе важнейшее открытие сделал Д.В. Аносов в 1962 году, установив структурную устойчивость геодезического потока на римановом многообразии отрицательной кривизны [4]. Затем он ввел важный класс структурно устойчивых систем, названных им У-системами и получивших позднее название потоков и диффеоморфизмов Аносова. С. Смейл обобщил это понятие и ввел в рассмотрение класс систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, являющегося замыканием множества периодических точек [61] (диффеоморфизмы, обладающие этими свойствами, получили название Л-диффеоморфизмов). Неблуждающее множество систем из этого класса допускает разложение на конечное число замкнутых инвариантных базисных множеств, на каждом из которых система действует транзи-тивно. Динамика на нетривиальном базисном множестве (не являющемся периодической орбитой) обладает свойствами, во многом сходными с поведением диффеоморфизма на неблуждающем множестве в примере "подкова Смейла".

Исследованию динамики систем с гиперболическим неблуждающим множеством, а также системам близких к гиперболическим посвящены работы таких математиков как Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, В.Н. Белых, В.З. Гринес, C.B. Гонченко, А.Ю Жиров, Е.В. Жужома, Ю.С. Илья-шенко, J1.M. Лерман, B.C. Медведев, Ю.И. Неймарк, В.А. Плисс, Р.В. Плыкин, Е.А. Сатаев, Я.Г. Синай, A.M. Степин, А.Н. Шарковский, Л.П. Шильников, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, М. Брин, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Ж. Палис, Я. Песин, Р. Робинсон, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других.

Топологическая классификация одномерных базисных множеств А-диффеоморфизмов поверхностей получена в работах Плыкина Р.В., Гри-неса В.З., Жирова А.Ю., Калая Х.Х., и кроме того, в работах Грине-са В.З., Бонатти X., Ланжевена Р. найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности структурно устойчивых диффеоморфизмов на поверхностях.

Из работ [8], [39], [62] следует, что условие существования нульмерного или одномерного базисного множества Л-диффеоморфизма / : М3 М3 не накладывает ограничений на топологию объемлющего многообразия. Однако, в том случае, если базисное множество имеет размерность 2 или 3, это не так. Действительно, если неблуждающее множество диффеоморфизма / содержит базисное множество, размерность которого равна трём, то / в этом случае является диффеоморфизмом Аносова, многообразие М3 является трехмерный тором Т3, и топологическая классификация таких диффеоморфизмов была получена Дж. Фрэнксом [12] и Ш.Е. Ньюхаусом [43].

В силу [51] базисное множество является аттрактором (репеллером) тогда и только тогда, когда оно содержит неустойчивые (устойчивые) многообразия своих точек. Однако размерность базисного множества, вообще говоря, может не совпадать с размерностью неустойчивых (устойчивых) многообразий его точек. В случае, если размерность аттрактора (репеллера) совпадает с размерностью неустойчивых (устойчивых) многообразий его точек, то аттрактор (репеллер) называется растягивающимся (сжимающимся).

Изучению динамики диффеоморфизмов три-многообразий, неблуждающее множество которых содержит одномерные растягивающиеся аттракторы (сжимающиеся репеллеры) посвящены работы X. Боте [7], [8], Р. Вильямса [64], Е.В. Жужомы, Н.В. Исаенковой [65], и др. Заметим, что рассматриваемые в перечисленных работах базисные множества не лежали на инвариантных поверхностях ( то есть не являлись поверхностными). Кроме того, все примеры диффеоморфизмов трехмерного

многообразия с одномерными растягивающимися аттракторами (сжимающимися репеллерами) из перечисленных выше работ не являлись структурно устойчивыми. Вопрос существования структурно устойчивого диффеоморфизма с базисным множеством такого типа является открытым.

В работе X. Бонатти и Н. Гельман [6] было построено семейство структурно устойчивых, частично гиперболических диффеоморфизмов с неблуждающими множествами, состоящими в точности из одного одномерного аттрактора и одного одномерного репеллера. При этом аттрактор и репеллер принадлежали поверхностям, которые не являлись замкнутыми.

Если базисное множество диффеоморфизма трехмерного многообразия является двумерным, то в силу [51] оно является аттрактором (репеллером) и содержит неустойчивые (устойчивые) многообразия своих точек. В работе Гринеса В.З. и Жужомы Е.В. ([25])1 получена топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов / : М3 —»• М3 в предположении, что их неблуждающее множество содержит двумерный растягивающийся аттрактор (сжимающийся репеллер), то есть размерность такого аттрактора (репеллера) совпадает с размерностью неустойчивых (устойчивых) многообразий его точек. Ими было доказано, что в этом случае несущее многообразие диффеоморф-но трехмерному тору и неблуждающее множество содержит в точности одно нетривиальное (отличное от периодической орбиты) базисное множество. Примером базисного множества, не являющимся растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), является двумерный аттрактор (репеллер) диффеоморфизма трехмерного многообразия, принадлежащий замкнутой инвариантной поверхности, называемый, соответственно, поверхностным аттрактором (репеллером). Важные резуль-

ХВ действительности в работе [25] получены более общие результаты для диффеоморфизма /, заданного на п-мерном многообразии (п > 3) при условии, что его неблуждающее множество содержит ориентируемый растягивающийся аттрактор. Однако в случае п = 3 условие ориентируемости можно опустить [66].

таты для для таких диффеоморфизмов были получены в работе Грине-са В.З., Медведева B.C. и Жужомы Е.В. ([23]). А именно доказано, что любое поверхностное двумерное базисное множество совпадает со своим носителем, являющимся объединением конечного числа многообразий, каждое из которых ручно вложено в М3 и гомеоморфно двумерному тору. Кроме того, ограничение некоторой степени диффеоморфизма / на носитель сопряжено с гиперболическим автоморфизмом тора2. Следует подчеркнуть, что носитель двумерного поверхностного множества диффеоморфизма / может быть не гладким в каждой своей точке (соответ-свующий пример имеется в [34]). Долгое время был открытым следующий вопрос: существует ли диффеоморфизм трехмерного многообразия с двумерным базисным множеством, отличным от растягивающегося аттрактора (сжимающегося репеллера) и поверхностного базисного множества? Отрицательный ответ на этот вопрос недавно был дан А. Брауном в [11], где доказано, что если неблуждающее множество диффеоморфизма / : М3 —>• М3 содержит двумерный аттрактор (репеллер), то он является либо растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), либо поверхностным аттрактором (поверхностным репеллером).

Будем говорить, что Л-диффеоморфизм замкнутого трехмерного многообразия принадлежит классу G, если его неблуждающее множество состоит только из двумерных поверхностных базисных множеств. Главы 2, 3 настоящей диссертации посвящены изучению диффеоморфизмов из класса G. В главе 2 обнаружена взаимосвязь между динамикой диффеоморфизма / Е G и топологией несущего многообразия. А именно, доказано следующее: если неблуждающее множество Л-диффеоморфизма / : М3 —»■ М3 состоит только из двумерных поверхностных базисных множеств, то многообразие М3 является локально тривиальным расслоением над окружностью со слоем гомеоморфным двумерному тору. А

2Гипсрболическим автоморфизмом тора Т2 = M2/Z2 называется диффеоморфизм /с, задавав-

удовлетворяют условиям |Ai| < 1, |А2| > 1. То есть fc{x,y) = {ах + by,cx + dy) mod 1

также получена топологическая классификация таких многообразий. Если говорить более точно, то (см. теорема 3.1, 3 глава), для того, чтобы многообразие М3 допускало диффеоморфизм из класса С необходимо и достаточно, чтобы М3 было диффеоморфно многообразию Му, полученному из Т2 х [0,1] отождествлением точек (г, 1) и («/(^г), 0), где 3 алгебраический автоморфизм тора, заданный матрицей </, которая либо является гиперболической, либо совпадает с единичной матрицей I =

либо совпадает с матрицей — / =

В главе 3 получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов класса С. Построен класс модельных диффеоморфизмов и найден алгебраический критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов (теорема 3.2, глава 3). Доказано, что если диффеоморфизм / принадлежит классу С, то он является объемлюще Г2-сопряженным некоторому модельному диффеоморфизму (теорема 3.3, глава 3), более того, введено понятие топологически когерентного диффеоморфизма (определение 3.3, глава 3) и доказано, что каждый топологически когерентный диффеоморфизм сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму (теорема 3.4, глава 3). Установлено, что если / является структурно устойчивым, то он является и топологически когерентным (теорема 3.5, глава 3) и, следовательно, сопряжен модельному диффеоморфизму (теорема 3.6,глава 3).

Четвертая глава диссертации посвящена изучению А-диффеоморфизмов трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами. В случае, если неблуждающее множество А-диффеоморфизма содержит одномерный поверхностный

3В работе [32] аналогичный вывод о структуре многобразия получен в предположении, что многообразие М3 является неприводимым (то есть любая цилиндрически вложенная в М3 двумерная сфера ограничивает в нем трехмерный шар) и допускает диффеоморфизм / : М3 —> М3 с инвариантным аносовским тором (то есть диффеоморфизмы с гладким /-инвариантным подмногообразием, гомеоморфным тору, на фундаментальной группе которого / индуцирует гиперболическое действие). Заметим, что в теореме 3.1 не требуется неприводимость многообразия М3.

канонически вложенный (определение 4.1, глава 4), совершенный (определение 4.2, глава 4) аттрактор (репеллер), решена задача о топологической сопряженности ограничений А-диффеоморфизмов на одномерные базисные множества (теорема 4.3, глава 4). В главе 4 (раздел 4.4) рассматривается класс С\, состоящий из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов / : 5"3 —> 53 трехмерной сферы 53, неблуждающее множество ЛГ1У(/) которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного (определение 4.1, глава 4) поверхностного аттрактора Л, принадлежащего гладкому совершенному (определение 4.2, глава 4) и трансверсально притягивающему (определение 4.5, глава 4) носителю 5, гомеоморфному двумерной сфере, двух источников а\, с*2 и конечного числа седловых периодических точек а\,...,ап (с* € А?, А,- с 5 \ А). Для двух диффеоморфизмов из класса найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух диффеоморфизмов (теорема 4.4, глава 4). В разделе 4.5 главы 4 уточняется структура неприводимого трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизм с просторно расположенным базисным множеством на торе (теорема 4.6).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерного многообразия с поверхностными базисными множествами»

Цель работы

1) Глобальное исследование динамики Л-диффеоморфизмов из класса С, неблуждающее множество которых состоит только из поверхностных двумерных базисных множеств. Предполагается получить следующие результаты:

• доказать, что многообразие, допускающее диффеоморфизмы из класса С, является локально тривиальным расслоением над окружностью со слоем тор и получить полную топологическую классификацию таких многообразий;

• построить класс модельных диффеоморфизмов, неблуждающее множество которых является двумерным и поверхностным, и доказать критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов;

• доказать, что каждый диффеоморфизм из класса С объемлюще П-сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму;

• доказать, что если диффеоморфизм из класса С является топологически когерентным, то он топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму;

• доказать, что, если / Е б является структурно устойчивым диффеоморфизмом, то / является топологически когерентным, и, следовательно, / топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму.

2) Для Л-диффеоморфизмов / и /', неблуждающие множества которых содержат одномерные поверхностные связные канонически вложенные аттракторы А, А' соответственно, найти и доказать необходимые и достаточные условия топологической сопряженности ограничений диффеоморфизмов /|м2, Г\м\,1 гДе МЬ М1 ~ носители аттракторов А и А' соответственно.

3) Исследовать динамику диффеоморфизмов класса Сь состоящего из из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов /: $3 -ч- Я3 трехмерной сферы 513, неблуждающее множество N\У(/) которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного поверхностного аттрактора Л, принадлежащего гладкому совершенному трансверсально притягивающему носителю 5, гомеоморфному двумерной сфере, двух источников а\,а2 и конечного числа седловых периодических точек сг1?..., ап (щ е Д», Дг с 5\а).

4) Установить структуру неприводимого трехмерного многообразия, допускающего Л-диффеоморфизм с просторно расположенным одномерным базисным множеством на торе.

Методы исследования. Используются топологические и геометрические методы исследования глобальных свойств и аналитические методы изучения локальных свойств динамических систем на многообразиях.

Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — отысканию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий диффеоморфизмов на гладких замкнутых многообразиях размерности три и применению этих инвариантов к решению проблемы топологической классификации.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы.

1) Исследована динамика диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А С. Смейла, неблуждающее множество которых состоит только из поверхностных двумерных базисных множеств (класс С), а именно:

• установлено, что для любого диффеоморфизма / 6 С множества А, 71 (за А, 7?. обозначены объединения всех аттракторов, репеллеров диффеоморфизма / соответственно) не пусты и граница каждой компоненты связности V множества М3\(Аи71) состоит в точности из одной периодической компоненты А С А я одной периодической

компоненты Я с 71. При этом замыкание с1 V гомеоморфно многообразию X2 х [0,1];

• доказано, что многообразие М3 допускает диффеоморфизм / из класса С, тогда и только тогда, когда М3 диффеоморфно многообразию М^ полученному из Т2 х [0,1] отождествлением точек (-г, 1) и 0), где </ алгебраический автоморфизм тора, заданный мат-

рицей </, которая либо является гиперболической, либо совпадает

• построен класс модельных диффеоморфизмов, неблуждающее множество которых является двумерным и поверхностным и доказано, что каждый модельный диффеоморфизм топологически сопряжен с частично гиперболическим диффеоморфизмом;

• найден и доказан алгебраический критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов;

• доказано, что каждый диффеоморфизм из класса С объемлюще сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму;

• введено понятие топологически когерентного диффеоморфизма и доказано, что если диффеоморфизм / £ С является топологически когерентным, то он топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизмому;

• установлено, что если диффеоморфизм / 6 С является структурно устойчивым, то / является топологически когерентным и, следовательно, / топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму.

2) Для Л-диффеоморфизмов / и /', неблуждающие множества которых содержат одномерные связные канонически вложенные аттракторы А,

совпадает с матрицей

Л' соответственно, найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности ограничений диффеоморфизмов /|М2, ¡'\м2А^ где Мд, Мд, - носители аттракторов Л и Л' соответственно.

3) Исследована динамика диффеоморфизмов класса Сх, состоящего из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов / : б"3 —> 53 трехмерной сферы 53, неблуждающее множество М\У(/) которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного поверхностного аттрактора Л, принадлежащего гладкому совершенному трансверсально притягивающему носителю 5, гомеоморфному двумерной сфере, двух источников а\,(Х2 и конечного числа седловых периодических точек а\,..., ап {аг Е Д?, Ai с Б \ А). Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов из класса

4) Доказано, что если замкнутое, неприводимое, ориентируемое многообразие М3 допускает А-диффеоморфизм, неблуждающее множество которого содержит одномерное просторно расположенное базисное множество, принадлежащее поверхности гомеоморфной двумерному тору, то М3 гомеоморфно многообразию М^.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на конференциях:

— на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2014, 2012, 2010, 2008);

— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва 2008);

— на всероссийской конференции "Нелинейные колебания механиче-

ских систем" (Нижний Новгород 2008)

— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск 2009);

—на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (Москва 2009);

—на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва 2011);

—на международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 75-летию В.И. Арнольда (Москва 2012);

—на международной конференции "Моделирование, управление и устойчивость", посвященной 110-летию Н.Г. Четаева и 80-летию В.М. Матросова (Украина, Севастополь 2012);

—на международной конференции "Боголюбовские чтения. Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения", посвященной 75-летию академика A.M. Самойленко (Украина, Севастополь 2013);

—на международной конференции "Динамика, бифуркации и странные аттракторы", посвященной памяти Л.П. Шильникова (Нижний Новгород 2013);

—на международной конференции "Аттракторы, слоения и предельные циклы", посвященной 70-летию Ю.С. Ильяшенко (Москва, 2014). По теме диссертации были также сделаны следующие доклады: —на научном семинаре кафедры численного и функционального анализа факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2014 г., руководитель проф. Д.В. Баландин);

— на научных семинарах отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2013 г., руководитель проф. C.B. Гонченко);

— на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета Нижегородского государственного универ-

ситета им. Н.И. Лобачевского (2008 - 2013 гг., руководитель проф. М.И. Сумин);

— на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии (2008-2012 гг., руководитель проф. В.З. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликована 21 работа, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации (см. список литературы: [16], [20], [22]). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В.З. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, О.В. Починка и В. С. Медведев являлись консультантами по топологическим вопросам.

Структура диссертации: оглавление, введение, формулировка результатов, четыре главы, список литературы. Объем диссертации: стр. 120, рис. 10, наименований литературы 66. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1, 4.3, 4.4 и 4.6.

Формулировка результатов

В диссертации рассматриваются А-диффеоморфизмы, заданные на трехмерных многообразиях, неблуждающее множество которых содержит поверхностные базисные множества размерности 1 и 2.

В главе 1 приводятся основополагающие факты и определения, необходимые для изложения и понимания последующего материала.

Главы 2, 3 посвещены изучению динамики А-диффеоморфизмов с двумерными поверхностными базисными множествами.

В главе 4 изучаются А-диффеоморфизмы трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами.

Будем рассматривать диффеоморфизмы, заданные на гладком замкнутом ориентируемом 3-многообразии М3 и удовлетворяющие аксиоме А С. Смейла (Л-диффеоморфизмы). Напомним ([61]), что под выполнением аксиомы А для диффеоморфизма / : М3 —» М3 понимается выполнение следующих условий: 1) множество неблуждающих точек NW(f) является гиперболическим; 2) периодические точки плотны в NW(f). Согласно спектральной теореме С. Смейла [61], неблуждающее множество NW(f) А-диффеоморфизма / представляется в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся замкнутых инвариантных множеств, называемых базисными, каждое из которых содержит всюду плотную траекторию.

В силу [9], [3] каждое базисное множество В представляется в виде объединения В\ u • • • u Bk, к > 1 замкнутых подмножеств таких, что fk(Bt) = Bt, f(Bt) = Bl+1 (Bk+1 = Bi). Множества Въ...,Вк называются периодическими компонентами, а число k ~ периодом базисного множества В.

Пусть В — базисное множество диффеоморфизма /. Положим а = dim W^, b = dim где x E В, и назовем пару (a, b) типом базисного

множества В.

Базисное множество В диффеоморфизма / называется аттрактором, если существует замкнутая окрестность U множества В такая,

что f(U) С int U, П P(U) = Аттрактор для диффеоморфиз-

j>o

ма f ~l называется репеллером диффеоморфизма /. Аттрактор В А-диффеоморфизма / называется растягивающимся аттрактором если топологическая размерность dim В равна размерности неустойчивого многообразия И7", для любой точки х 6 В. Репеллер диффеоморфизма / называется сжимающимся, если он является растягивающимся, аттрактором для /_1.

Согласно [23] базисное множество В диффеоморфизма / : М3 —> М3 называется поверхностным, если оно принадлежит /-инвариантной замкнутой поверхности Mj (не обязательно связной), топологически вложенной в многообразие М3 и называемой носителем множества В.

Пусть / : М3 —> М3 - диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме Л С. Смейла, заданный на гладком замкнутом ориентируемом 3-многообразии М3 и неблуждающее множество NW{f) диффеоморфизма / содержит поверхностное двумерное базисное множество В. Тогда согласно [50] В является либо аттрактором, либо репеллером.

Следующие утверждения доказаны в [23].

Утверждение 1.4 Для любого двумерного поверхностного аттрактора (репеллера) В А-диффеоморфизма / : М3 —> М3 выполняется следующее:

• В имеет тип (2,1) ((1, 2)) и не является, следовательно, растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером);

• В совпадает со своим носителем, являющимся объединением конечного числа многообразий, каждое из которых ручно вложено в М3 и гомеоморфно двумерному тору;

• ограничение некоторой степени диффеоморфизма / на любую компоненту связности носителя сопряжено с гиперболическим автомор-

физмом тора4.

Будем рассматривать класс (7, состоящий из Л-диффеоморфизмов / : М3 —> М3, неблуждающее множество которых состоит только

из поверхностных двумерных базисных множеств.

Пусть / Е С. Обозначим через А (7£) объединение всех аттракторов (репеллеров), принадлежащих Следующее утверждение уточ-

няет топологию многообразия М3. Этот результат был доказан в работе [21] (доказательство приведено в разделе 2.2).

Лемма 2.1 Для любого диффеоморфизма / € С множества А, 71 не пусты и граница каждой компоненты связности V множества М3 \ (А и 71) состоит в точности из одной периодической компоненты А С А и одной периодической компоненты Я, С 71. При этом замыкание с1 V гомеоморфно многообразию Т2 х [0,1].

В силу леммы 2.1 (см. также лемму 2.3), несущее многообразие М3 гомеоморфно фактор-пространству Мт, полученному из Т2 х [0,1] отождествлением точек [г, 1) и (т(;г),0), где г : Т2 —»■ Т2 некоторый гомеоморфизм. Таким образом, что Мт есть локально тривиальное расслоение над окружностью со слоем тор (см. также [16]).

Следующая лемма является хорошо известным топологическим фактом (см., например, [31]), ее доказательство приведено в главе 2.

Лемма 1.3 Многообразие Мт гомеоморфно многообразию М^, где J £ СЬ(2, Ъ) является матрицей, определенной действием автоморфизма П : 7П(Т2) ->• 7Г1(Т2).

Представим многообразие М^ как пространство орбит М= (Т2 х М)/Г, где Г = {7к,к € группа степеней диффеоморфизма 7 : Т2 х гхМ, заданного формулой 7(2, г) = (7(г),г — 1). Обозначим через р.: Т2 х 1 Му естественную проекцию.

4 Алгебраическим автоморфизмом тора т2 = Ж2/1? называется диффеоморфизм С, задаваемый матрицей С = ( | из множества СЬ(2, Ъ) целочисленных матриц с определителем ±1. То есть

V с Л)

С(х,у) = (ах + Ьу,сх + с1у) (то<1 1). Алгебраический автоморфизм С называется гиперболическим, если собственные значения А^, матрицы С удовлетворяют условиям |Лх| < 1 < |Л21- При этом матрица С также называется гиперболической.

Обозначим через С множество гиперболических матриц из 2,Ъ).

Следующая теорема ([22], [20], доказательство приведено в разделе 2.3) выделяет множество всех многообразий, которые допускают диффеоморфизмы из класса С.

Теорема 2.1 Пусть многообразие М3 допускает диффеоморфизм / из класса С. Тогда М3 диффеоморфно многообразию М^, где 3 £ 3.

Пусть Мй'(81) - класс структурно устойчивых преобразований окружности, который совпадает, согласно результатам Майера [40], с классом диффеоморфизмов Морса-Смейла на 81. Разобьем М5(§г) на два подкласса М5'+(§1) и М5_(§1), состоящих из сохраняющих ориентацию и меняющих ориентацию диффеоморфизмов соответственно.

Пусть (р £ М5+(§1). Обозначим через 2п число периодических орбит диффеоморфизма кр и через к - их период. Перенумеруем периодические точки из НУ/((р): Ро,Рг,... ,Р2пк-1,Р2пк — Ро начиная с произвольной периодической точки ро по часовой стрелке, тогда существует целое число I такое, что <р(ро) = Р2<%и и / = 0 для к = 1, I £ {1,..., к — 1} для к > 1 и, при этом, числа (&, I) являются взаимно-простыми5. Заметим, что I не зависит от выбора точки р0.

Для тг, к £ N и целого такого что для к = 1, I = 0 и для к > 1, I £ {1,..., к — 1}, построим стандартного представителя <р+ т М5+(§1) с параметрами п, к, I. Для д б N построим стандартного представителя с/?- в М5_(§1) с числом периодических точек 2д.

Представим 81 как = {е*2пг = (соз2ттг, вт2пг) £ М2 : г £ М}. Обозначим через 7Г : М проекцию, заданную формулой 7г (г) = ег2?гг. Введем следующие отображения:

фт : К —> К - сдвиг на единицу времени потока г = бш.(2ттгпг) для

5На самом деле, А. Г. Майер вместо числа I использовал число которое называл порядковым чилом, таким что I ■ г\ ~ 1(той к)

----------- У^ .«V

Для С £ С обозначим через Z(C) централизатор С, то есть = {</ : 3 £СЬ(2,Ъ),СЗ = ЗС].

т е 14;

Хк,1 : М —М - диффеоморфизм, заданный формулой ХкАг) = г ~~ {'■> X К —К - диффеоморфизм, заданный формулой х(г) = —г; ф+ = фп.кХкч1

Непосредственно проверяется, что ф+(г + у) — ф+(г) + и и ф-(г + у) = ф-(г) — V для у е Z. Следовательно, для а е {+, —} следующие диффеоморфизмы корректно определены:

(/V = тхфап~1 : й1 81. Где 7г_1(§) - полный прообраз точки б е 81. Используя 1ра и гиперболическую матрицу С, построим модельный диффеоморфизм фа на Му для 3 £ J из класса С.

Обозначим через фа : Т2 х Ё -) г х М произведение диффеоморфизма фа и автоморфизма С, С € С, то есть фа{х1г) = (С(г),фа(г)). Так как Му = (Т2 х 1)/Г и Г - циклическая группа с образующей 7(г, г) = (3(г),г — 1), то либо фа7 = 7^<т, либо фа1~1 = 1<Фо является необходимым и достаточным условие, позволяющим задать диффеоморфизм фа : Му —> Му как фа = pJфaP']l (см., например, [24]). Из этого следует, что СЗ — ЗС для а = + и С3~1 — ЗС для о = —. Так как СЗ'1 — ЗС, то С23 = ЗС2 и 3 Е Z(C2), следовательно, согласно следствию 1.5, 3 е {Ы, —Ы} для о ~ —.

Пусть 3+ е ¿7 и С+ е С, такие что С+</+ = 3+С+. Пусть 3- е {/(¿, — Ы} я С- е С. Положим фа(г,г) = (Са(г),фа(г)). Легко проверяется, ЧТО Фа~{а = 1аФа, ГДе 7^(2:, г) = (</^(21), Г - 1) — образующая группы Га = {7^.,г е 2,}. Тогда корректно следующее определение.

Определение 3.1 Будем говорить, что диффеоморфизм фа Му^ —> Му ,а е {+, —} является локально прямым произведением Са и <ра, если Фа = и писать фа = Са <8> ^<7-

Будем обозначать через Ф+ (Ф_) множество всех локально прямых произведений (</>_). Таким образом, каждый диффеоморфизм ф+ е Ф+ единственным образом определяется параметрами {3+: С+, п, к, 1} и каждый диффеоморфизм ф_ е Ф_ единственным образом определяется параметрами {3-,С-,д}. Положим Ф = Ф+ и Ф_. Таким образом, мы

дали описание класса Ф £ С модельных диффеоморфизмов.

В силу приведенной выше конструкции справедливо и обратное утверждение теоремы 2.1 и мы получаем следующий результат.

Теорема 3.1 Многообразие М3 допускает диффеоморфизм / из класса (7, тогда и только тогда, когда М3 диффеоморфно многообразию М где «7 6 »7.

Следующий результат является алгебраическим критерием топологической сопряженности диффеоморфизмов из Ф ([20], [22], доказательство приводится в разделе 3.1).

Теорема 3.2 1. Два диффеоморфизма ф+;ф'+ £ Ф+ с параметрами {С+, п, к, I}; {С'+, п', к', I'} топологически сопряжены тогда и только тогда, когда п = п',к = к', и существует матрица Н е СЬ(2,Ъ), такая что С+Н = НС'+ и выполняется одно из следующих утверждений:

• 3+Н = Н3'+ и 1 = 1',

• = НГ+ и либо 1 = 1' = 0, либо I = к' - Г.

2. Два диффеоморфизма ф-\ф'- е Ф_ с параметрами {</_, (7_, д}; {Л, (71, </} топологически сопряжены тогда и только тогда, когда </_ = д = д' и существует матрица // £ СЬ{2, X), такая что С_Я = НС'_.

3. Не существует топологически сопряженных диффеоморфизмов Ф+ е Ф+ и ф- е Ф_.

Напомним, что диффеоморфизм д называется частично гиперболическим, если существует N £ N и .Од-инвариантное непрерывное разложение ТМ3 = Ея ф Ес ф Еи на одномерные подрасслоения, такие что

Н^УЧя'Н < И^кН < Н^кИ и < 1 < Н^кН для

каждого х е м3. При этом д является динамически когерентным, если существует ^-инвариантное слоение касательное к ЕС£> = ф Ес, Еси = Ес ф Еи,(и, следовательно, также к Ес).

Заметим, что если в приведенной выше конструкции фа е Ф^ мы заменим г = эт(27гтг) на векторное поле г = -зт(27гтг), где /л < |Л| и |А|, щ модули собственных значений Са, то построенный диффеомор-

физм будет динамически когерентным. Таким образом, мы получаем следующий результат ([20]).

Следствие 3.1 Каждый диффеоморфизм ф из класса Ф топологически сопряжен с динамически когерентным диффеоморфизмом.

Напомним, что два диффеоморфизма / : М3 —> М3, /' : М/3 -> М/3 называются объемлюще 0,-сопряженными, если существует гомеоморфизм Н : М3 —» М/3 такой, что /г(Л= Л^(/') и =

Следующая теорема доказана в разделе 3.2 ([20]).

Теорема 3.3 Любой диффеоморфизм из класса G является объемлюще Г2-сопряженным некоторому диффеоморфизму из класса Ф.

Следующее определение является топологическим аналогом определения динамически когерентного диффеоморфизма.

Определение 3.3 Будем говорить, что / £ С является топологически когерентным, если выполняются следующие условия:

(1) если пересечение И^ж) П\¥и(у) не пусто для некоторых точек х £ Л, у £ то каждая компонента связности пересечения \¥в (х) П '\¥и{у) является открытой дугой, имеющей в точности две граничные точки, одна из которых принадлежит Л, другая

(и) на М3 существует непрерывное /-инвариантное одномерное слоение 2/, каждый слой которого есть объединение замыканий всех дуг, определенных в (1).

Следующая теорема доказана в разделе 3.3.

Теорема 3.4 Если диффеоморфизм из класса С является топологически когерентным, то он топологически сопряжен некоторому диффеоморфизму из класса Ф.

Следующая теорема доказана в разделе 3.4.

Теорема 3.5 Пусть / £ С. Если / структурно устойчивый диффеоморфизм, то / является топологически когерентным.

Как следствие из теорем 3.4 и 3.5 получаем результат.

Теорема 3.6 Каждый структурно устойчивый диффеоморфизм из

класса С топологически сопряжен некоторому диффеоморфизму из класса Ф.

Заметим, что в классе (? существуют диффеоморфизмы, которые не являются топологически сопряженными с диффеоморфизмомами класса Ф (см. раздел 3.5, где построен такой пример).

Результаты, полученные для Л-диффеоморфизмов с двумерным неблуждающим множеством, опубликованы в работах [16]—[20].

Перейдем к рассмотрению Л-диффеоморфизмов трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами. В главе 4 (раздел 4.1) приводится схема построения структурно устойчивого диффеоморфизма с одномерным поверхностным базисным множеством.

Пусть / : М3 —>■ М3 диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А С. Смейла. Предположим, что неблуждающее множество диффеоморфизма / : М3 —>■ М3 содержит одномерное поверхностное базисное множество В с носителем М|. Поскольку В нетривиальное базисное множество, то оно имеет тип (1, 2) или (2,1). Для базисного множества В типа (1,2) существуют следующие возможности: 1) В = и И?;

хеВ

и)0 = м|п(и

хеВ

Согласно [50], в случае 1) базисное множество В является аттрактором, а в случае 11) — не является ни аттрактором, ни репеллером и мы называем его седловым.

Определение 4.1 Будем называть одномерное поверхностное базисное множество В типа (1,2) канонически вложенным, если в случае 1), И^, х € В пересекается с поверхностью М| по единственной кривой;

в случае и), С М|, х £ В.

Одномерное поверхностное базисное множество В типа (2,1) называется канонически вложенным в М|, если оно является таковым для диффеоморфизма

Пусть базисное множество В канонически вложено в поверхность Mj. Положим Wb; = W*C\Ml и W7 = W>C\Ml для хе В. Следуя [50], множество В назовем просторно расположенным на М|, если для различных точек х,у £ В любая замкнутая кривая, составленная из дуг [х, y]s С и [а*, С И^ не гомотопна нулю на М|.

Следуя [51] и [14] назовем периодическую точку р Е Б граничной периодической точкой базисного множества Б, если одна из компонент связности хотя бы одного из множеств Ws(p)\p} Wu(p)\p не пересекается с В.

Теорема 4.1 Пусть В одномерное нетривиальное канонически вложенное в поверхность М| просторно расположенное базисное множество и принадлежащее совершенному носителю Мд, ручно вложенному в М3. Тогда В обладает конечным (не равным нулю) числом граничных периодических точек.

Определение 4.2 Назовем носитель совершенным, если дополнение М| \ В состоит из конечного числа областей гомеоморфных диску и внутри каждой такой области находится в точности по одной периодической точке диффеоморфизма /.

Предположим теперь, что неблуждающее множество NW(f) диффеоморфизма / содержит нетривиальное поверхностное базисное множество Л, являющееся связным одномерным аттрактором, для которого несущая поверхность (носитель) является ручной и удовлетворяет условию совершенности.

Аналогично [13] устанавливается, что достижимая изнутри граница каждой области А принадлежащей М\ \ Л состоит из конечного числа одномерных неустойчивых многообразий Wu(pi),... Wu(prc) (rc > 1) граничных периодических точек pi,.. .рГс множества Л. Множество С — U[=i W"(pi) назовем связкой степени гс6-

Аналогично [13] устанавливается:

Теорема 4.2 Пусть Л одномерный связный аттрактор диффеомор-

6Понятие связки принадлежит Плыкину Р.В. [53]

физма /. Тогда существует окрестность V множества Л, компактное двумерное подмногообразие Ад с краем и диффеоморфизм /д подмногообразия Ад на себя такие, что

1) Л с У с АГЛ

2) /л I V = / | У;

3) подмногообразие Ад имеет к (А) > 0 компонент края, род д > О и отрицательную эйлерову характеристику х(Ад) = 2 — 2д — &(Л), где (числа д и к (А) однозначно определяются по Л);

4) Множество ТУд \ (Л и <9 Ад) состоит из блуждающих точек диффеоморфизма /д и является объединением к (А) непересекающихся областей, являющихся непрерывной иммерсией открытого кольца в многообразие Мд. Достижимая изнутри граница каждой такой области состоит в точности из одной связки С и одной компоненты края с? Ад многообразия Ад, содержащей в точности г с седловых и г с источниковых периодических точек диффеоморфизма /д.

Определение 4.3 Подмногообразие Ад назовем каноническим носителем, а пару (Ад, /д) - канонической формой аттрактора Л.

Диффеоморфизм /д индуцирует автоморфизм г фундаментальной группы F подмногообразия Ад (определенный с точностью до внутреннего автоморфизма).

Пару г)д назовем алгебраическим представлением аттрактора Л.

Определение 4.4 Пусть / и /' сохраняющие ориентацию А-диффеоморфизмы, неблуждающие множества которых содержат связные одномерные просторно расположенные и канонически вложенные аттракторы А, Л', носители Мд, Мд, которых являются совершенными ручно вложенными в М3 поверхностями. Тогда алгебраические представления (^ г)д, (Р',т')д/ аттракторов Л, Л' диффеоморфизмов / и /' назовем сопряженными, если существует изоморфизм ф : F —>• такой, что т' = фтф~1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Левченко, Юлия Алексеевна, 2014 год

Библиография

[1] Афраймович B.C., Крахнов А.Д. О надстройках над У-диффеоморфнзмами тора. // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. ГГУ. 1975. С. 34-40.

[2] Андронов А. А., Понтрягин JI. С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247-250.

[3] Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем. //Труды пятой международной конференции по нелинейным колебаниям. Качественные методы, Ин-т математики АН УССР. 1970. №2. С. 39-45.

[4] Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных рима-новых многообразиях отрицательной кривизны.// Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 4. С. 707-709.

[5] Birkhoff С. On the periodic motions of dynamics // Acta math. 1927. V. 50. P. 359-379.

[6] Bonatti H., Guelman N. Axiom A diffeomorphisms which are derived from Anosov flows // Journal of Modern Dynamics. 2010. V.4(l). P. 1-63.

[7] Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, I. Local triviality, tubular neighdorhoods II// Math. Nachr. 1982. V. 107. P. 327-348.

[8] Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds // Math. Nachr. 1983. V. 112. P. 69-102.

[9] Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms.// Transactions of the American. Math. Soc. 1971. V. 154 (feb). P. 337-397.

[10] Брин M. И., Песин Я. Б. Частично гиперболические динамические системы.// Изд. Академии наук. СССР. 1974. Т. 1. С. 177-212.

[11] Brown A. Nonexpanding attractors: conjugacy to algebraic models and classification in 3-manifolds. // Journal of Modern Dynamics. 2010. V. 4. P. 517-548.

[12] Franks J. Anosov diffeomorphisms.// Proc. Symp. in Pure Math. 14. 1970. Global Analysis, Amer. Math. Soc. Providence. V. 1. P. 61-93.

[13] Гринес В.З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами.// Матем. сб. 1997. Т. 188, № 4. С. 57-94.

[14] Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах. // Труды ММО. 1975. Т. 32. С. 35-59.

[15] Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах.// Труды ММО. 1977. Т. 34. С. 243-252.

[16] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерных многообразий с двумерными поверхностными аттракторами и репеллерами.// Доклады Академии Наук. 2012. Т. 447, № 2, С. 127-129.

[17] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации Л-диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными аттракторами и репеллерами // Труды СВМО. 2011. Т. 13. № 1. С. 29-31.

[18] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с двумерным неблуждающим множеством// Труды СВМО. 2011. Т. 13. № 4. С. 7-13.

[19] Гринес В.З., Левченко Ю.А. Реализация структурно устойчивых диффеоморфизмов с двумерными поверхностными базисными множествами// Труды СВМО. 2012. Т. 14. № 2. С. 48-56.

[20] Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V., Pochinka O. On the Dynamical Coherence of Structurally Stable 3-diffeomorphisms.// Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, No. 4, pp. 506-512.

[21] Гринес B.3., Медведев B.C., Левченко Ю.А. О структуре 3-многообразия, допускающего А-диффеоморфизм с двумерным поверхностным неблуждающим множеством. // Труды СВМО. 2010. Т. 12, № 2. С. 7-12.

[22] В. 3. Гринес, Ю.А.Левченко, О.В.Починка. О топологической классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными аттракторами и репеллерами. // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 1. С. 17-33.

[23] Гринес В.З., Медведев B.C., Жужома Е.В. О поверхностных аттракторах и репеллерах на 3-многообразиях. // Мат. зам. 2005. Т. 78, № 6. С. 813-826.

[24] Гринес В. 3., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три. // Москва-Ижевск. 2011. 424 С.

[25] Grines V., Zhuzhoma Е. On structurally stable diffeomorphisms with codimension one expanding attractors. // Trans. Amer. Math. Soc. 2005. V. 357, № 2. P. 617-667.

[26] Гринес В. 3., Жужома E. В., Медведев В. С. Новые соотношения для

систем Морса-Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами. //Мат. сб. 2003. Т. 194, № 7. С. 25-56.

[27] Ghys Е., Sergiescu V. Stabilité et conjugaison differentiable pour certains feuilletages. // Topology. 1980. V. 19(2). P. 179-197.

[28] Гробман Д. M. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве // Матем. сб. 1962. Т. 58, № 1. С. 7794.

[29] Hartman R. On the local linearization of differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V. 14, № 4. P. 568-573.

[30] B. Hasselblatt, Ya. Pesin. Partially Hyperbolic Dynamical Systems// Handbook of Dynamical Systems, Edited by B. Hasselblatt and A. Ka-tok, Elsevier, Amsterdam. 2005. V. IB.

[31] Hatcher A. Algebraic topology.// Cambridge University Press, Cambridge. 2002. 544 pp.

[32] Hertz F., Herts M., Ures R. Tori with hyperbolic dynamics in 3-manifolds.// Journal of modern dynamics. 2011. V. 5. No. 1. P.185-202.

[33] M. Hirsch, C. Pugh, and M. Shub. Invariant manifolds. // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. V. 76. P. 1015-1019.

[34] Kaplan J., Mallet-Paret J. Yorke J. The Lapunov dimension of nonwhere diffferntiable attracting torus.// Ergodic theory and Dynam. Systems. 1984. V. 2. 261-281.

[35] Левченко Ю.А. О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами.// Труды СВМО. 2013. Т. 15, Ш. С. 71-76.

[36] Левченко Ю.А. О классификации одномерных аттракторов диффеоморфизмов 3-многообразий.// Труды СВМО. 2008. Т. 10, №1. С. 174180.

[37] Левченко Ю.А. О классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными аттракторами и репеллерами.// Труды СВМО. 2009. Т. 11. № 1. С. 77-81.

[38] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. АН СССР. 1955. Т. 103., № 4. С. 557-560.

[39] Ma J., Yu В. Genus two Smale-Williams solenoid attractors in 3-manifolds.// Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2011. V. 20 (6). P. 909-926.

[40] Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность.// Уч. Зап. ГГУ. Горький. Изд-во ГГУ. 1939. Т. 12. С. 215-229.

[41] Mane R. A proof of the С1 stability conjecture. // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ . Math. 1987. V. 66. P. 161-210.

[42] Munkres J. Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms.// Ann. of Math. 1960. V. 72(3). P. 521-554.

[43] Ш.Е. Ньюхаус. Об У-диффеоморфизмах коразмерности один.// Гладкие динамические системы. Изд. „Мир", Москва. 1977. Т. 4. С. 87-98.

[44] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8, № 4. P. 385-404.

[45] Palis J., Melo W. Геометрическая теория динамических систем.// М.: Мир. 1998. 301 с.

[46] Peixoto М. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. V. 1, № 2. P. 101-120.

[47] Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds (a further remarks) // Topology. 1963. V. 2, № 2. P. 179-180.

[48] Peixoto M. On structural stability // Ann. of Math. 1959. V. 69, № 1. P. 199-222.

[49] Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds. // Dynamical systems Proc. Symp. held at the Univ.of Bahia, Salvador, Brasil. 1971. M.Peixoto (ed.) N.Y.London: Acad, press. 1973. P. 389-419.

[50] Плыкин P.В. О топологии базисных множеств диффеоморфизмов С.Смейла. // Матем. сборник. 1971. Т. 84, № 2. С. 301-312.

[51] Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов на поверхностях. // Мат. сб. 1974. Т. 23. С. 223-253.

[52] Р.В. Плыкин. О структуре централизаторов аносовских диффеоморфизмов тора // УМН. 1998. Т. 53, № 6. С. 259-260.

[53] Плыкин Р.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов // УМН. 1984. Т. 39, № 6 (240). С. 75-113.

[54] Poincare Н. Les methodes nouvells de la mecanique celeste, III// Paris. 1899.

[55] Robbin J. A structural stability theorem. // Ann. of Math. 1971. V. 94 (2). P. 447-493.

[56] Robinson C. Structural stability of С1 diffeomorphisms. //J. Differential Equations. 1976. V. 22. P. 28-73.

[57] Rolfsen D. Knots and links.// University of British Columbia. Math. 1990. Lecture Series 7.

[58] Шильников JI. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа// Математический сборник. 1967. Т. 74(116), № 3. С. 378-397.

[59] Шильников Л. П. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомоклинической кривой// ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 2. С. 298-301.

[60] Смейл С. Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек. Тезисы доклада на симпозиуме по нелинейным колебаниям. // Киев. Институт математики АН УССР. 1961. С. 1-3; Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев. Изд-во АН УССР. 1963. Т. II. С. 365-366.

[61] Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Arner. Math. Soc. 1967. V. 73, № 6. P. 747-817. [Пер. на рус. яз.: Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25, № 1. С. 113-185.]

[62] Smale S. Stability and isotopy in discrete dynamical systems. In Dynamical Systems (ed. by M. M. Peixoto). //Academic Press, New York. 1973. P. 527-530.

[63] Waldhausen R.F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large // Annals of Math. 1968. V. 87. P. 56-88.

[64] Williams R.F. One-dimensional non-wandering sets // Topology. 1967. V. 6. P. 473-487.

[65] Жужома E. В., Исаенкова И. В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов. // Матем. заметки. 2009. Т.86, № 3. С. 360-370.

[66] Жужома Е. В., Медведев В. С. О неориентируемых двумерных базисных множествах на 3-многообразиях.// Матем. сб. 2002. Т. 193, № 6. С. 83-104.