Влияние термокапиллярного эффекта на электроконвективную неустойчивость при инжекции заряда через свободную поверхность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Люшнин, Андрей Витальевич

• Люшнин, Андрей Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Люшнин, Андрей Витальевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Глава I. РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗАРЯДА В ДВУХСЛОЙНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ С ИНЖЕКЦИОННЫМ

МЕХАНИЗМОМ ПРОВОДИМОСТИ

§1. Постановка задачи

§2. Распределения потенциала, поля и заряда в среде,

примыкающей к инжектору

§3. Модель " сглаженной" среды

§4. Результаты

§5. Выводы

Глава II. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО

СЛОЯ ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§1. Постановка задачи

§2. Стационарное распределение температуры, плотности заряда и потенциала

§3. Уравнения для возмущений

§4. Результаты и обсуждение

§5. Выводы

Глава III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО

И ИНЖЕКЦИОННОГО МЕХАНИЗМОВ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ

§1. Постановка задачи

§2. Стационарное состояние

§3. Устойчивость равновесия слоя слабопроводящей жидкости

с деформируемой границей

§4. Результаты и обсуждение

§5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние термокапиллярного эффекта на электроконвективную неустойчивость при инжекции заряда через свободную поверхность»

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому исследованию взаимодействия термокапиллярного и инжекционного электрогидродинамического механизмов конвективной неустойчивости равновесия слабопро-водящей жидкости.

Содержание. Исследуется распределение электрического поля и свободного объемного заряда в системе воздух-слабопроводящая жидкость. Обсуждается различие в физических механизмах омического и инжекци-оного механизмов проводимости. Рассмотрено влияние конвекции Ма-рангони на электроконвективную неустойчивость слоя слабопроводящей жидкости со свободной плоской границей с инжектором вблизи поверхности и для деформируемой границей, отделенной от инжектора воздушной прослойкой конечной толщины.

Научная новизна. В диссертации впервые изучено распределение заряда и поля в системе воздух-слабопроводящая жидкость при инжекционном механизме проводимости в обеих средах. Для получения недостающего граничного условия для поверхностного заряда диэлектрическая проницаемость г и подвижность Ь в обеих средах были представлены в виде непрерывной функции вертикальной координаты. В результате числен-

ного интегрирования системы уравнении для сглаженной среды воздух-жидкость было обнаружено, что поверхностный заряд на границе раздела двух сред не образуется, а имеет место скачок объемной плотности заряда.

Проведено исследование монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей неизотермической жидкости с инжекционным механизмом проводимости, у которой коэффициент поверхностного натяжения равен сг = ао — а{Г. Граница считается плоской и через нее происходит инжекция заряда. Установлено, что при Ма > 0 устойчивость понижается, а при Ма < 0 повышается.

Для слоя жидкости с деформируемой границей и отделенного от инжектора воздушной прослойкой изучены монотонная и колебательная моды неустойчивости. Расчеты показывают, что взаимодействие инжек-ционного и термокапиллярного механизмов неустойчивости приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При отрицательных числах Маран-гони (нагрев со стороны воздушной прослойки) происходит повышение устойчивости. При достижении некоторого критического значения числа Марангони происходит слияние двух нижних монотонных мод неустойчивости с образованием колебательной моды. С увеличением толщины

воздушной прослойки, при фиксированной разности потенциалов, наблюдается повышение порогового значения числа Рэлея. На защиту выносятся.

Распределение заряда в двухслойной системе слабопроводящих жидкостей при инжекционном механизме проводимости. Доказательство в численном эксперименте отсутствия поверхностного заряда на границе раздела двух сред. Различие в распределении заряда при инжекционном и омическом механизмах проводимости.

В рамках линейной теории для монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости, у которой коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры при инжекции заряда через свободную поверхность показано, что как для плоской границы, так и для деформируемой при Ма > 0 устойчивость системы понижается, а при Ма < 0 повышается.

Определены значения числа Рэлея и формы движения для двух нижних критических мод неустойчивости

В случае с деформируемой границей за счет термокапиллярного эффекта критические числа Яа сближаются и при некотором Масг происходит слияние двух нижних мод с образованием колебательной моды неустойчивости.

Работа доложена

Основные результаты диссертации доложены на 1-й международной студенческой конференции "Физика и прогресс", 1992 г., III Международной конференции " Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков", Петродворец, 1994 г., International workshop " Non-gravitional mechanisms of convection and heat/mass transfer", Zvenigorod, 1994, X зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995 г., 12 International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, XI зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1997 г. , а также на Пермском гидродинамическом семинаре. Публикации Основные результаты диссертации представлены в работах [69-75].

Объем работы 87 страниц.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию влияния термокапиллярного эффекта на электроконвективную устойчивость равновесия слабопроводящей жидкости со свободной границей. В работе предполагается, что плотность свободных зарядов в жидкости образуется в результате инжекции заряда через воздушную прослойку над свободной поверхностью жидкости. Исходя из этого, представляется логически верным разделить обзор литературы на две части, одна из которых будет посвящена электрическому механизму неустойчивости, а вторая термокапиллярной неустойчивости.

1. Изучение проблем электроконвективной неустойчивости движения жидкости и газа связано с многочисленными практическими приложениями в различных областях техники и технологии, математическое моделирование этих задач приводит к пониманию большого числа природных явлений. В настоящее время эта область науки переживает фазу активного развития. Наибольший интерес к вопросам электроконвективной неустойчивости обусловлен развитием теории пробоя и предпробойных состояний, значимость которой для современной технологии материалов трудно переоценить. Имеется большое количество работ, посвященных

исследованию устойчивости электрогидродинамических течений. Основные результаты обобщены в обзорах [1,2] и монографиях [3-5].

В последнее время используются новые возможности интенсификации тепло- и массообмена в слабопроводящих жидкостях при помощи электрического поля. Электрические и гидродинамические поля оказывают друг на друга взаимное влияние. С одной стороны, электрическое поле создает в жидкости объемную пондермоторную силу, а с другой стороны, заряды, находящиеся в жидкости, участвуют в конвективном движении, образуя электрические токи конвекции. Для взаимодействия электрических и гидродинамических полей необходимо присутствие в жидкости объемного заряда.

Одним из основных вопросов электрогидродинамики является вопрос о способе образования в жидкости объемного заряда. Существуют два механизма образования в жидкости свободных зарядов, участвующих в процессе прохождения тока: образование свободных зарядов в результате процесса диссоциации-рекомбинации и инжекция заряда через границу.

В первом случае можно ввести коэффициент собственной проводимости жидкости, различной в разных точках пространства, а плотность тока

—* —*

связать с напряженностью поля законом Ома ^ — оЕ. В стационарном состоянии распределение объемного заряда q описывают следующие урав-

нения:

div Ё = divj = О,

£

из которых мы можем получить, что

£Vcr В ( 4.\

q —--Ь {£ = const)

о

Такой механизм проводимости называют омическим, а модель формирования объемного заряда—моделью проводимости. Объемный заряд, в этом случае, образуется в процессе токопрохождения в результате неоднородности электропроводности а, которая может быть вызвана зависимостью от температуры [2-4] или от напряженности поля [6]. Данная модель образования заряда была использована в работах [3,4,8-14] по изучению электроконвективной неустойчивости жидкости.

В экспериментальных работах по исследованию электроконвективной неустойчивости слоя слабопроводящей жидкости, заключенной между двумя твердыми электродами подогрев обычно осуществлялся сверху. Дело в том, что механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости в поле тяжести возможно лишь при условии постоянства и вертикальности градиента температуры. Когда вертикальный градиент температуры, при подогреве слоя жидкости снизу, превосходит некоторое критическое значение, равновесие становится неустойчивым и возникает конвекция. Конвективное движение, в этом случае, обусловлено зависимостью плотности

жидкости от температуры. Такая конвекция называется тепловой. При нагреве жидкости сверху равновесие относительно тепловой конвекции всегда устойчивое, что позволяет выделить чисто электроконвективный механизм неустойчивости. В работе [7] изучался слой транформаторно-го масла толщиной 1мм при разности температуры между электродами 12° С. В отсутствии электрического поля равновесие было устойчивым. При включении вертикального электрического поля и при достижении критического напряжения 180 V наблюдалось конвективное движение. В качестве объяснения этого эффекта было выдвинуто предположение о зависимости диэлектрической проницаемости среды е от температуры и образование в связи с этим в жидкости объемного поляризационного заряда. Образующаяся в результате этого пондермоторная сила, пропорциональная Ve, способна вызвать конвективное движение.

В работах [8,9] производилось изучение электроконвективной неустойчивости экспериментально и численно. В качестве жидкости использовались растительное и касторовые масла с толщинами 1 и 2 дюйма. Подогрев осуществлялся сверху. При разности температур между электродами 5, 10, 15 и 20° С наблюдалось осцилляционное движение для напряжения порядка 10 kV. Для описания такого поведения жидкости была предложена модель, где предполагалось, что проводимость а есть квадратичная

функция от Т, а е есть константа. В результате решения линейной задачи устойчивости, было найдена колебательная мода неустойчивости. В вычислениях число Прандтля считалось бесконечным. Численные результаты для дисперсионного соотношения качественно подтвердили экспере-ментальные данные. Монотонная мода неустойчивости в теоретическом анализе не рассматривалась и эта теория не могла объяснить результаты

[7].

В дальнейшем, многие авторы в своих работах пытались объяснить эти противоречивые результаты, основываясь на предположении, что объемный заряд образуется в жидкости из-за зависимости электрической проводимости сг от температуры. Такая модель описания получила названия модели проводимости.

Первую попытку теоретически рассмотреть явление, описанное в [7] предпринял Roberts [10]. В работе предполагалось, что объмный заряд образуется вследствии линейной температурной зависимости е. Для безразмерной системы электрогидродинамических уравнений введены два безразмерных управляющих параметра: электрическое число Рэлея и число Прандтля. Было найдено, что для монотонной неустойчивости, приложенное электрическое поле действительно может породить конвективную неустойчивость, но численные результаты давали различие с эксперимен-

тальными в 107 раз. Поэтому, далее в этой работе, Roberts выдвинул другое предположение, в котором он считал, что объмный заряд образуется вследствии линейной зависимости а от температуры. Но результаты вычислений показали, что в таком случае электрическое поле стабилизирует систему.

Так как учет линейного члена в разложении проводимости в ряд по температуре при решении задачи устойчивости не дает объяснения результатам, полученным в работе [7], был сделан вывод о необходимости учета следующих членов разложения. Квадратичная зависимость проводимости а от температуры изучалась в работе [11]. Основные результаты, для монотонной моды неустойчивости заключаются в следующем: 1) механизм образования объемного заряда, вызваный зависимостью г от Т, мал по сравнению с механизмом проводимости; 2) учет линейного слагаемого в разложении а по температуре дает стабилизационный эффект; 3) когда зависимость проводимости предполагается квадратичной, то приложенное электрическое поле сильно дестабилизирует слой жидкости и численные результаты находятся в согласии с экпериментом. Дальнейшие члены разложения проводимости по температуре не вносят заметный вклад для критического значения.

Для колебательной моды линейная задача устойчивости была решена

Bradley [12]. Зависимость проводимости а от Т предполагалась линейной. Расчеты проводились для конечного числа Прандтля. Используя граничные условия на свободной поверхности и тригонометрические функции для разложения скорости движения жидкости и температуры он обнаружил, что колебательная мода способна возбудить конвективное движение. Это качественно согласуется с результатами работы [9]. Для устранения различия между численными и экспериментальными данными Bradley считает необходимым учет иных, не температурных эффектов.

Еще одним подтверждением этого предположения является работа [15]. Для колебательной моды неустойчивости, была решена линейная задача устойчивости при конечных значений числа Прандтля. Зависимость проводимости от температуры выбиралась линейной, квадратичной и в соответствии с формулой Аррениуса. Параметры задачи выбирались в соответствии с экспериментом [9]. Было показано, что на основе модели проводимости не удается объяснить результаты, полученные [9].

Модель проводимости предполагает, что если температурного градиента нет, то нет объемного заряда и конвективное движение отсутствует. Однако целый ряд теоретических и экспериментальных исследований [16-20] показал, что в изотермическом слое слабопроводящей жидкости в электрическом поле наблюдается конвективое течение. В связи с этим

была сформулирована так называемая модель подвижности, в которой ток обусловлен внесенными в диэлектрик свободными зарядами. Образование свободных зарядов происходит на электродах или в результате приэлектродной реакции. Механизмом образования ионов одного знака на инжекторе (униполярная инжекция заряда) может быть, например термоэлектронная эмиссия [5,21]. Плотность тока при этом механизме проводимости записывается следующим образом:

1 = ЧЬЁ

где Ь — подвижность инжектируемых ионов, д— объемная плотность инжектируемого заряда.

Перейдем к более подробному обсуждению модели подвижности и ин-жекционному механизму неустойчивости. В работе [16] изучалась численно и экспериментально устойчивость изотермического слоя жидкости со свободной границей, через которую происходит инжекция заряда. Инжектор был расположен на свободной границе. В линейной задаче устойчивости были выявлены два управляющих безразмерных параметра: электрический аналог числа Рэлея и параметр, определяющий подвижность заряда в среде. При решении было найдено, что от параметра подвижности система зависит слабо, а критические значение электрического числа

Рэлея и волнового числа равны соответственно Яа = 100, к = 4.0.

В экперименте [17] этот результат был с хорошей степенью точности подтвержден.

Рассмотрение модели подвижности для слоя жидкости при линейной зависимости подвижности заряда от температуры проводилось в работе [18]. В этом случае, для линейной задачи устойчивости, удалось найти монотонную и колебательную моду неустойчивости. Более того, в рамках модели подвижности было показано, что экспериментальные результаты работы [7] находятся в хорошем соответствии с численными результатами. Из этого был сделан основной вывод о том, что в работе [7] основной причиной неустойчивости выступает инжекция заряда.

В [3,5,15] было отмечено, что в слабопроводящей жидкости имеют место оба механизма проводимости. Однако, учитывая, что для большинства жидких диэлектриков а < 10-120м_1л1-1 инжекционный механизм проводимости во многих задачах рассматривается как основной.

Изучению конвективной устойчивости слоя жидкости, заключенного между двумя твердыми границами в постоянном электрическом поле при остутствии тяжести посвящена работа [19]. Объемный заряд образуется в результате инжекции с положительного электрода. В задаче были определены два основных безразмерных управляющих параметра: электрический аналог числа Рэлея и уровень инжекции С. Приведены карты

устойчивости для широкого диапазона значений параметра С: от сильной С —> оо до слабой С <С 1 инжекций.

В [22] рассматривается приближение электрогидродинамики, аналогичное безындукционному приближению в магнитной гидродинамике. Пре-небрегается электрическим полем индуцированного в жидкость объемного заряда, по сравнению с внешним полем. Найдено, что при инжекцион-ном механизме образования заряда в жидкости безындукционное приближение предполагает слабую инжекцию (С <С 1).

Взаимодействие гравитационного и инжекционного механизмов неустойчивости рассматривалось в работах [18,23,24]. Изучалась конвективная неустойчивость неизотермического слабопроводящего слоя жидкости с твердыми границами в присутствии силы тяжести. Инжекция заряда производилась как с верхнего, так и с нижнего электродов. Константа диэлектрической проницаемости и подвижность зарядов зависела от температуры по линейному закону. Граничное условие на инжекторе записывалось из предположения, что q = qo. В случае слабой инжекции были найдены монотонная и колебательная моды неустойчивости. Приведены карты устойчивости для гравитационного и электрического чисел Рэлея при различных параметрах.

Цикл работ Жакина [25-28] посвящен изучению общего подхода в из-

учении электрогидродинамики жидких диэлектриков. Он заключается в учете неравновесной реакции диссоциации-рекомбинации и инжекции зарядов с электрода, причем эти реакции идут по окислительно-восстановительному (ОВ) механизму, который предусматривает неизменность химического состава реагирующих компоненнт. Считается, что низковольтная проводимость обусловлена примесными ионами и ионами, образующимися за счет автодиссоциации молекул несущей жидкости:

АВ <£> А+ + В~

В неполярных жидких диэлектриках (транс, масло, бензол и д.р.) примесями могут быть, например молекулы воды.

Второй тип проводимости связан с инжекцией ионов на электроде за счет ОВ реакции, в случае униполярной инжекции на катоде можно записать:

X + е- —> Х~

На основе этой физико-химической модели в работе [28] построена краевая задача электрогидродинамики, которая в безындукционном приближении [22] согласуется с основными экспериментальными данными: 1) линейность вольт-амперных характеристик в слабых полях и нелинейность в сильных [18,29], 2) рост поля вблизи электодов в слабых полях и спадание напряженности вблизи электродов в сильных полях [30], 3) ячеистая

неизотермическая электроконвекция в однородном и неоднородном полях [31].

Одним из основных вопросов в модели подвижности является вопрос о граничном условии для плотности заряда на инжекторе. В работах [22,24,29] использовалось условие автономной инжекции, что предусматривало задание на инжекторе q = С, которое не зависит от пол. Зависимость инжекции от поля предполагалась в работе [32]. Константа С зависит от физико-химических свойств инжектора. Однако, такая запись граничного условия при нахождении распределения плотности заряда и напряженности поля давала лишь качественное согласие с экспериментом [22]. Другой тип граничного условия рассматривает электрод как бесконечный резервуар инжектируемых ионов, тем самых мы пренебрегаем физическими свойствами инжектора. Такое условие носит название режима тока, ограниченного пространственным зарядом (SCLC, spacecharge- limited currents), что предусматривает на инжекторе Е = 0 [33,34]. Несмотря на то, что такое граничное условие ведет к особенности q на инжекторе, оно позволяет правильно описать распределение плотности заряда во всем остальном слое. В нашей работе условия на инжекторе будут записываться в таком виде.

Другой проблемой модели подвижности является граничное условие

для поверхностного заряда на границе двух сред. Анализу этой проблемы посвящена первая глава диссертации.

Несомненный интерес представляет вопрос о теории устойчивости равновесия границы раздела жидкости в электрическом поле.

Задача об устойчивости равновесия плоской поверхности проводящей жидкости во внешнем, нормальном к границе электрическом поле была рассмотрена в работах [35-37]. Было найдено, что равновесие плоской границы раздела в достаточно сильном электрическом поле может стать неустойчивой как по отношению к монотонным, так и колебательным модам.

Изучению устойчивости свободной деформируемой поверхности слабо-проводящей жидкости с омическим механизмом проводимости в тангенциальном к границе электрическом поле проводилось в работах [38-40]. Возникновение электроконвективных ячеек объясняется тем, что на свободной поверхности возникают тангенциальные напряжения, что и приводит к развитию течения. Для переменного поля показано, что в высокочастотных полях задача устойчивости плоской свободной поверхности для жидкости с омическим механизмом проводимости эквивалентна задаче об устойчивости поверхности идеального жидкого диэлектрика в постоянном электрическом поле. Наиболее полный обзор физических про-

цессах, происходящих на границе раздела двух сред представлен в [1,5].

В работе [41] экспериментально изучалась неустойчивость диэлектрического слоя жидкости со свободной границей при коронном разряде. Приведено дисперсионное соотношение между частотой колебаний деформируемой поверхности ш и волновым числом к:

где а - поверхностное натяжение. Было обнаружено два типа неустойчивости: первый, инжекционный, обусловлен появлением заряда из-за процесса инжекции в жидкость и характеризуется гексогональными структурами малого масштаба. Второй тип неустойчивости связан с образованием вблизи поверхности объемного заряда. Характерными структурами этого типа неустойчивости являются гексогональные ячейки большого масштаба.

Обсуждению механизма неустойчивости в изотермической двухслойной системе воздух-слабопроводящая жидкость при инжекции заряда через свободную поверхность посвящена работа [42]. Считалось, что на свободной границе поверхностный заряд равен нулю. Рассматривалась роль деформации свободной границе в вопросе устойчивости системы. Указывается, что в воздухе можно пренебрегать силой Кулона, т.к. в стацио-

нарном состоянии ^ = = 6.Ре:

(Ре)а = А < Ю~4 Ре Ъа ~

Количественных результатов по устойчивости такой системы в работе нет. Таким образом, проведенный анализ работ показывает, что большинство работ по устойчивости конвективного движения слабопроводя-щей жидкости при инжекционном механизме проводимости относятся к однослойной системе. Вопрос о влиянии на инжекционный механизм неустойчивости других механизмов изучен, на наш взгляд, недостаточно.

2. Рассмотрению механизмов гидродинамической неустойчивости посвящено большое количество работ [43-47]. Одним из таких механизмов является термокапиллярная неустойчивость, обусловленная температурной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения свободной поверхности жидкости.

Термокапиллярной неустойчивости плоского слоя жидкости с однородным поперечным градиентом температуры посвящено достаточно большое количество работ [48-59]. Обзоры по проблеме неустойчивости Ма-рангони можно найти в [53,54].

Линейная теория термокапиллярной неустойчивости равновесия слоя

жидкости с плоской границей при вертикальном подогреве впервые была

рассмотрена в работе [48]. Было показано, что при нагреве, осуществляе-

мом со стороны твердой границы возможна монотонная неустойчивость. Как было показано в работе [50] только в случае деформируемой свободной поверхности при малых значениях числа Прандтля и капиллярного параметра возможно появление колебательной неустойчивости лишь при подогреве со стороны свободной границы. Изменение спектров декрементов с ростом числа Марангони, при различных условиях подогрева, исследовалось в работе [52].

В [55] исследована монотонная неустойчивость в слое с двумя свободными границами. Колебательная неустойчивость в слое с двумя деформируемыми границами рассматривалась в [56]. Монотонная и колебательная неустойчивость в слое с двумя свободными границами исследовалась также в [57,58], однако, в отличии от вышеназванных работ, нагрев осуществлялся на середине слоя.

В работе [59] исследована форма критических движений и ее связь с физическими механизмами неустойчивости для жидкости с двумя свободными границами. Выделены два механизма неустойчивости: капиллярная неустойчивость относительно возмущений, частота которых близка к частоте капиллярных волн для слоя изотермической невязкой жидкости, а также термокапиллярная неустойчивость.

Линейная теория устойчивости слабопроводящей жидкости с омичес-

ким механизмом проводимости со свободной границей при линейной зависимости от температуры коэффициента поверхностного натяжения, плотности и диэлектрической проницаемости жидкости рассмотрена в [60]. Показано, что при увеличении числа Био со стороны свободной поверхности устойчивость системы повышается. Критические значения чисел Марангони и Рэлея понижаются с увеличением электрического поля.

Взаимодействие термокапиллярного и магнитного механизмов неустойчивости исследовано в [61]. Влияние термоэлектрических эффектов на конвекцию Марангони обсуждается в [62].

В настоящей работе будет рассмотрено взаимодействие термокапиллярного и электроконвективного механизмов неустойчивости.

Основное содержание диссертации изложено в трех главах.

В первой главе получены распределение плотности свободного заряда и напряженности электрического поля в двухслойной системе двух слабо-проводящих жидкостей при униполярной инжекции заряда. Особое внимание уделяется вопросу формулировки условий для заряда и поля на границе раздела двух сред. С физической точки зрения объяснены различия в распределении плотности заряда и напряженности поля при омическом и инжекционном механизмах проводимости.

Во второй главе рассмотрена задача устойчивости слабопроводящей не-

изотермической жидкости, у которой коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры, при инжекции заряда через свободную границу. Инжектор располагается в непосредственной близости к свободной границе. Это позволяет перенести граничные условия с инжектора на свободную поверхность. Установлено, что при положительных значениях чисел Марангони (подогрев со стороны твердой границы) происходит дестабилизация механического равновесия. При отрицательных числах Марангони (подогрев со стороны свободной границы) порог устойчивости повышается. С увеличением тока через слой пороговое значение электрического числа Рэлея уменьшается. Процедура нахождения критических чисел была проведена с использованием численного интегрирования системы уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона с ортогана-лизацией решений на каждом шаге [63].

В третьей главе рассматривается двухслойная система воздух-слабо-проводящая жидкость, заключенная между обкладками плоского конденсатора. Инжекция заряда производится через воздушную прослойку над свободной деформируемой поверхностью неизотермической жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой линейно зависит от температуры. Возмущения заряда и поля в воздушной прослойке, из-за относительно высокой подвижности заряда в воздухе по отношению к жидкости,

считаются быстро затухающими и при исследовании устойчивости системы не рассматривались. Таким образом, проводится анализ устойчивости только по отношению к слою жидкости. Получены граничные условия на свободной деформируемой границе. Результаты проведенных расчетов показывают, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы. При подогреве со стороны воздушной прослойки происходит повышение устойчивости относительно монотонных возмущений. При достижении некоторого критического значения числа Марангони происходит слияние двух нижних мод монотонной неустойчивости с образованием колебательной моды неустойчивости. С ростом расстояния между электродами, для фиксированной разности потенциалов, наблюдается повышение порогового значения числа Рэлея.

Основные результаты диссертации изложены в [69-75].

Проведем анализ задачи о распределении заряда в плоском конденсаторе, заполненным двумя диэлектриками с инжекционным механизмом проводимости. Для определенности разговора будем называть верхнюю жидкость воздухом. Пусть слой нижней слабопроводящей жидкости имеет толщину /г, а расстояние между параллельными обкладками конденсатора Н. Ось г направим вертикально вверх. Через слой воздуха, который расположен выше жидкости, происходит инжекция заряда в жидкость. Для обеих сред мы можем написать электростатические уравнения Пуассона и закон инжекционной проводимости:

&Фа = - —, За = ЯаЬаЁа, Ёа = -V фа (1.1)

£а

Аф = -~, Ё = -Чф (1.2)

£

—*

Здесь Е — напряженность электрического поля; ф — электрический

потенциал; д — объемная плотность свободных зарядов; е — диэлектри-

—¥

ческая постоянная жидкости; <7 — плотность тока; Ъ — подвижность зарядов. Индексом а отмечены величины относящиеся в воздуху.

Систему уравнений (1.1),(1.2) дополним следующими граничными условиями. На инжекторе поддерживается постоянное значение электрического потенциала и выполняется условие для униполярной инжекции Е — О [29]:

г = Н: фа = и, Еа = 0. (1.3)

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Люшнин, Андрей Витальевич

§5 Выводы

Результаты проведенных расчетов в настоящей главе позволяют заключить, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (положительные числа Ма-рангони). При отрицательных числах Марангони ( подогрев со стороны свободной поверхности) происходит повышение устойчивости.

Найдено, что для инжекционного механизма неустойчивости существует последовательность критических чисел Рэлея и критических движений. При достижении некоторого критического значения числа Марангони происходит слияние двух нижних мод с образованием колебательной моды неустойчивости. Для нее приведено дисперсионное соотношение.

С ростом расстояния между электродами, для фиксированной разности потенциалов, наблюдается повышение порогового значения числа Рэлея.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для системы воздух—слабопроводящая жидкость при униполярной инжекции заряда из-за отсутствия на границе раздела уловия для поверхностного заряда не удается написать распределение напряженности поля и плотности заряда в данной системе. Представляя значения диэлектрической проницаемости и подвижности зарядов для обеих сред в виде непрерывной функции, мы получаем систему уравнений для однослойной системы с непрерывно меняющимися физическими свойствами. В результате численного исследования показано, что в двухслойной системе воздух—слабопроводящая жидкость с инжекционным механизмом проводимости при конечной подвижности зарядов на границе раздела двух сред поверхностный заряд не образуется, в место этого на границе имеет место скачок плотности объемного заряда. Для понимания физического смысла отсутствия поверхностного заряда на границе раздела производится сравнение распределения зарядов и напряженности поля с двухслойной системой, имеющей омический механизм проводимости, где на границе поверхностный заряд образуется. Предпринята попытка объяснить причины различия в распределении зарядов для омического и инжекционного механизмов проводимости в двухслойной системе.

2. Рассмотрена задача конвективной неустойчивости слабопроводящей неизотермической жидкости, при инжекции заряда через ее свободную поверхность. Коэффициент поверхностного натяжения предполагается линейной функцией температуры. Задача решается в линейной постановке. В стационарном состоянии распределение электрического потенциала и плотностьи свободного заряда зависят от двух независимых величин: плотности тока «7о> определяемой физическими свойствами среды и внешней разности потенциалов С/. Объемный заряд у поверхности С} является зависимым параметром и может быть определен через независимые величины. Показано, что подогрев может понизить или повысить конвективную устойчивость равновесия. Если осуществлять подогрев со стороны свободной поверхности, то происходит стабилизация устойчивости, в то время как при подогреве со стороны твердой границы конвективная устойчивость понижается. При увеличении величины плотности тока через слой для фиксированного числа Марангони порог устойчивости понижается.

ЗТ"! V V «» и В рамках линеинои теории устойчивости изучается двухслойная система воздух—слабопроводящая жидкость, заключенная между обкладками плоского конденсатора. Инжекция заряда производится через свободную деформируемую поверхность неизотермической жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой линейно зависит от температуры. Из-за большой подвижности заряда в воздухе по отношению к жидкости возмущения заряда и поля в воздушной прослойке можно считать быстро затухающими и при исследовании устойчивости системы рассматривать тольго жидкость. В результаты численного исследования исследования (методом Рунге-Кутта) было получено, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При Ма < 0 (подогрев со стороны свободной поверхности) происходит повышение устойчивости. Для инжекционного механизма электроконвекции найдены две нижнии моды неустойчивости. При Ма > Масг происходит их слияние и образуется колебательная мода неустойчивости. Найдена зависимость частоты колебаний от волнового числа.

4. Проведенное исследование указывает на возможность использования термокапиллярного эффекта для управления инжекционной электроконвективной неустойчивосью.

5. Задачи, рассматриваемые в диссертации, решаются в рамках линейной теории устойчивости. В дальнейшем, предполагается произвести исследования конвективного течения спектральными методами. Несомненно, представляет интерес экспериментальные исследования по проверке результатов, полученных в I главе.

Автор считает своим долгом поблагодарить Р.В. Бириха за руководство работой, Г.З. Гершуни за постоянный интерес к работе, В. М. Мызникова и В.И. Чернатынского за ценные советы и замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Люшнин, Андрей Витальевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Melcher J. R.,Taylor G.I. Electrohydrodynamics: a rewiew of the role of

interfacial shear stresses. Ann. Rev. of Fluid Mech., 1969, V.l p. 111146, русский перевод Мелчер Д., Тейлор Д. Электрогидродинамика: обзор роли межфазных касательных напряжений. - В сб.: Механика (Период, сб. переводов иностр. статей). М.: Мир, 1971, 5, С. 66-99

2. Мелчер Д. Электрогидродинамика МГ, 1974, N2 , с. 3-30.

3. Болога М.К., Гросу Ф.П., Кожухарь И.А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

4. Остроумов Г.А. Взаимодействие электрических и гидродинамических

полей. М.: Наука, 1979. 319 с.

5. Zhakin A.I. Electrohydrodynamics: basic concepts, problems and applicatior

Kursk Univ. Press, 1996. p. 132

6. Апфельбаум M.C., Полянский В.А. Об образовании объемного заряда в

слабопроводящих средах. МГ, 1982, N 1, с. 71-76

7. Gross M.J., Porter J.E. Electrically induced convection in dielectric liquids, Nature, V. 212, 1966, p.1343-1345

8. Turnbull R.J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature

gradient. I. Theory. Phys. Fluids, 1968, v.ll, N 12, p.2588-2596

9. Turnbull R.J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature

gradient. II. Experemental results. Phys. Fluids, 1968, v.ll, N 12, p.2596-2603

10. Roberts P.H. Electrohydrodynamic convection. Quart.J. Mech. and Appl. Math., 1969, v.22, N 2, p. 211-220

11. Takashima M., Aldridge K.D. The stability of a horizontal layer of dielectric fluid under the simultaneous action of a vertical dc electric field and a vertical temperature gradient. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1976, v.29, N 1, p. 71-87

12. Bradley R. Overstable electroconvective instabilities. Q. J. Mech. appl. Math., 1978. V.31, N 5, p. 381-390.

13. Саранин В.А. Об устойчивости равновесия плоского горизонтального слоя неоднородно нагретой жидкости в электрическом поле. Конвективные течения (Сб. науч.тр. Пермск. пед. ин-ста). Пермь. 1983. с. 46-53.

14. Верещага А.Н., Тарунин E.JI. Численное исследование стационарных и нестационарных режимов электроконвекции в замкнутой полости. В кн.: Проблемы динамики вязкой жидкости: Тр. X Всесоюзн. школы. Новосибирск, 1985, с.74-78.

15. Martin P.J., Richardson А.Т. Conductivity models of electrothrrmal convection in a plane layer of dielectric liquid. J. Heat Transfer., 1984, v.106, N 2, p.131-136

16. Schneider J. M., Watson H. K. Electrohydrodynamic stability of space-charge-limited currents in dielectric liquids. I.Theoretical study. Phys. Fluids,1970, v.19, N 8, p.1948-1954.

17. Schneider J. M., Watson H. K. Electrohydrodynamic stability of space-charge-limited currents in dielectric liquids. II.Experimental study. Phys. Fluids,1970, v.19, N 8, p.1955-1961.

18. Worraker W.J., Richardson A.T. The effect of temperature-induced variations in charge carrier mobility on a stationary electrohydrodynamic instability. J. Fluid Mech. 1979, v.93, N 1, part 1, p.29-45

19. Atten P., Moreau R. Stabilite electrohydrodynamique des liquides isolants soumis a une injection unipolaire. J. de Mec. 1972, v.11, N 3, p. 471-520

20. Atten P. Electrohydrodynamic stability of dielectric liquids during transient regime of space-charge-limited injection. Phys. Fluids. 1974, V. 17, N 10, p. 1822-1827

21. Ламперт M., Марк П. Инжекционные токи в твердых телах. М.:Мир. 1973. 416 с.

22. Саранин В.А. О безындукционном приближении в электрогидродинамики. Конвективные течения (Сб. науч.тр. Пермск. пед. ин-ста). Пермь. 1981. с. 130-133.

23. Castellanos A., Velarde M.G. Electrodynamic stability in the present of a thermal gradient. Phys.Fluids, 1981, v.24, N 10, p.1784-1786

24. Castellanos A., Atten P., Velarde M.G. Oscillatory and steady convection in dielectric liquid layers subjected to unipolar injection and temperature gradient. Phys. Fluids, 1984, v.27, N 7, p.1607-1615

25. Жакин А. И. Электродинамическая неустойчивость слабопроводящей жидкости, расположенной между сферическими электродами при наличии слабой инжекции. ПМТФ , 1979, N 5, с. 44-48

26. Жакин А. И. Редокс-системы в электрогидродинамики и расчет электроконвективных течений. МГ, 1982, N 2, с. 70-78

27. Жакин А. И., Тарапов И.Е., Федоненко А.И. Экспериментальное изучение механизма проводимости полярных жидких диэлектриков. Электронная обработка материалов. 1982. N 3, с. 37-41.

28. Жакин А.И. Электродинамика жидких диэлектриков на основе дис-соционно-инжекцинной модели проводимости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1986, N 4, с. 3-14

29. Richardson А.Т. The linear instability of a diectric liquids contained in a cylindrical annulis and subjected to unipolar charge injection. Q. Jour. Mech. and Appl. Math., 1980, V.33, P.277-292

30. Стишков Ю.К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в переменном электрическом поле. Магн. гидродин. 1980. N 3, с.139-142.

31. Стишков Ю.К. Остапенко А.А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. JL: Изд-во ЛГУ, 1989, 172 с.

32. Верещага А.Н., Тарунин Е. Л. Надкритичные режимы униполярной конвекции в замкнутой полости. Численные и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости, АН ССР, Уральское отделение. 1988. с.93-99

33. Agrait N., Castellanos A. Linear convective patterns in cylindircal geometry for unipolar injection. 1990, Phys. Fluids A, v.2, N 1, p.37-44

34. Pontiga F., Castellanos A., Richardson A.T. The onset of overstable motions in a layer of dielectric liquid subjected to the simultaneous action of a weak unipolar injection of charge and a thermal gradient. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1992, v. 45, N 1 p.25-45

35. Tonks L. A theory of liquid surface reptyre by uniform electric field. Phys. Rev. 1935. V. 48, p. 562-568.

36. Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости в постоянном электрическом поле в вакууме. ЖТЭФ. 1936. т. 6, вып. 4, с. 347-350.

37. Саранин В.А. Конвективная устойчивость равновесия и некоторые задачи конвекции проводящих жидкостей в электрическом поле. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Глазов. 1983. 185 с.

38. Melcher J. R., Schwarz W. J. Interfacial relaxation overstability in tangential electric field. Phys. Fluids. 1968. V. 11, N 12, p.2604-2616

39. Жакин А.И. О влиянии межфазных тангенциальных сил на возникновение течения слабопроводящей жидкости. ПМТФ, 1981, N 4, с. 69-76

40. Жакин А.И. Устойчивость горизонтальной свободной поверхности слабопроводящей жидкости в тангенциальном переменном электрическом плое. Магн. гидродин. 1981. N3, с. 74-80.

41. Perez А.Т. Electrohydrodynamic instabilities in dielectric liquids induced by corona discharge. 12 Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, p. 126-129 .

42. Atten P., Koulova-Nenova D. EHD instability of insulating liquids due to charge injection from the free surface. 12 Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, p. 476-479 .

43. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.:ИЛ, 1958. 194 с.

44. Бетчов Р., Кримине В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. 350 с.

45. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

46. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

47. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

48. Pearson J.A. On convection cells induced by surface tension. J. Fluid. Mech.,1958. V.5, N 5, p. 489-500.

49. Scriven L.E., Sterling С. V. On cellular convection driven surface-tension gradient: effect of mean surface tension and surface viscosity. J. Fluid Mech. 1964. V.19, p.321-340

50. Takashima M. Surface tension driven instability in a layer with a deformable free surface. J. Phys. Soc. Jpn. 1981. V.50, p. 2745-2756.

51. Goussis D.A., Kelly R.E. On the thermocapillary instabilities in a liquid layer heated from below. Intern. J. Heat Mass Transfer. 1990. V.33, N 10, p. 2237-2245.

52. Рябицкий E.A. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии вертикального градиента температуры. Изв. РАН. МЖГ. 1992. N 3. с.19-23.

53. Davis S. Н. Thermocapillary instabilities. Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V.19, p. 403-435

54. Зейтунян P.X. Проблемы термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони. УФН. т. 168, N 3, с. 259-286

55. Funada Т. Marangoni instability of thin liquid sheets. J. Phys. Soc. Japan. 1986. V.55. N 7. p.2191-2202

56. Funada Т., Kubo Т., Matsuura S. Marangoni instability of unsteady mode for a liquid sheets. Numazu College Technol. Research Annual. 1994. N 28. p.53-59

57. Birikh R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N., Velarde M.G. Marangoni-Benard instability driven by a heate divider. Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1994. V.37. N 3. p.493-498

58. Birikh R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N., Velarde M.G. Marangoni-Benard instability of a floating liquid layer with an internal, permeable, heated or cooled divider and two deformable open surface. Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1995. V.38. N 15. p.2723-2731

59. Бирих P.B., Рудаков P.H. Термокапиллярная неустойчивость деформируемой пленки. Изв. РАН. МЖГ. 1996. N 5. с.30-36

60 . Ming-i Char, Ko-ta Chiang Boundary effects on the Benard-Marangoni instability under an electric field. App. Sei. Res., 1994. V. 52, p.331-354.

61. Wilson S.K. The effect of a uniform magnetic field on the onset of marangoni convection in a layer of conductig fluid. Quart. J. Mech. and

Appl. Math., 1993, V.46, N 2, p.211-248

62. Эйдельман Е. Д. Возбуждение электричесой неустойчивости нагреванием. УФН., 1995, т.165, с.1279-1294

63. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений. В кн. Гидродинамика (Сб. науч.тр. Пермск. ун-та). Пермь. 1974. вып.5,с.149-158.

64. Сканави Г.И. Физика диэлектриков (область слабых полей). Л:ГТТИ. 1949. с.500.

65. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.:Физматгиз, 1959, с.538

66. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физмаггиз, 1959. с.532

68. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, подогреваемой снизу. Докл. АН СССР.1982. т. 265, N 2, с.302-305.

69. Люшнин А.В. Устойчивость конвективного течения слабопроводящей жидкости в электрическом поле. I Международная студенческая конференция " Физика и прогресс ", Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1993, с.12.

70. Бирих Р.В., Люшнин А.В. Конвективная неустойчивость слабопроводящей жидкости в электрическом поле при инжекции заряда через свободную поверхность. III Международная конференция " Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков ", Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1994, с.85-86.

71. Lyushnin A.V. Convective instability of dielectric liquid subjected to unipolar injection of charge through a free surface. Abstract for International workshop " Non-gravitational mechanisms of convection and heat/mass transfer", Zvenigorod, Russia, 1994, p.67.

72. Люшнин А. В. Конвективная неустойчивость слабопроводящей жидкости с деформируемой границей в электрическом поле. X Зимняя школа по механике сплошных среды, Тезисы докладов, Пермь, 1995, с.155-156.

73. Birikh R.V., Lyushnin A.V. Convective instability of dielectric liquid subjected to unipolar injection of charge trough free surface. 12 International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, p.77-80.

74. Люшнин А.В. Электроконвекция с деформируемой границей при ин-жекции заряда через свободную поверхность. XI Зимняя школа по механике сплошных среды, Тезисы докладов, Пермь, 1997, с.203.

75. Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на электроконвективную неустойчивость при инжекции заряда через свободную поверхность. В сб. Пермск. универ. Гидродинамика, 1998, N 11, с. 219-226.