Теория и методика обучения применению определений в курсе математики средней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Татаринова, Людмила Николаевна

• Татаринова, Людмила Николаевна
• кандидат педагогических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Татаринова, Людмила Николаевна

Введение.

Глава 1. Теоретические основы обучения применению определений в математике

§ 1. Современное математическое образование.

§2 . Теория определений в современной математической логике.

§3. Теория определений в классической логике.

§4. Теоретическое обоснование применения определений в математической логике.

Глава 2. Методика обучения применению определений в курсе математики средней школы

§1. Определения в школьной математике.

§2. Анализ ошибок в формулировке определений и в воспроизведении их учениками.

§3. Методика обучения применению определений.

§4. Спецкурс «Теория и методика самообучения применению определений в курсе математики средней школы».

§5. Организация и проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и методика обучения применению определений в курсе математики средней школы»

Осуществляемая в наши дни модернизация российского образования ставит перед учителями и специалистами по методике обучения новые задачи, требует по-новому осмысливать цели, содержание, методы, формы и средства обучения. К основным направлениям модернизации российского образования относятся, среди прочих, гуманизация и гуманитаризация математического образования.

Исследование проблемы гуманитаризации математического образования сопровождалось большими дискуссиями. Г.И. Саранцев отмечает, что «сутью гуманитаризации математического образования является отражение в нём деятельностной природы знания. Такое понимание гуманитаризации, — подчеркивает он, — предполагает пересмотр основных положений методики обучения математике» [121, С.29-30]. Так, если с содержанием математического образования принято связывать совокупность аксиом, определений и теорем, то деятельностная основа содержания должна охватывать действия (и способы деятельности, и эвристики), адекватные аксиомам, определениям, теоремам.

В традиционной методике работа с определениями является составной частью процесса формирования понятий. Проблеме формирования понятий посвящена обширная литература. Так, психолого-дидактические основы формирования понятий в процессе обучения разработаны JI. С. Выготским, П. Я. Гальпериным, В. А. Крутецким, Н. А. Менчинской, Ж. Пиаже, Н.Ф. Талызиной, М. А. Холодной, И. С. Якиманской и др.

Теоретическим основам формирования понятий в процессе обучения математике в школе посвящены исследования М. Б. Воловича, Я. И. Груденова, В. А. Гусева, В. А. Далингера, О. Б. Епишевой, Т. А. Ивановой, Г. JI. Луканкина, Е. И. Лященко, В. М. Монахова, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, 3. И. Слепкань, Г. И. Саранцева, А.А.Столяра, П. М. Эрдниева и др.

Методические аспекты формирования понятий в школьном курсе математики рассматриваются в работах И. В. Егорченко, A. JL Жохова, М. И. Зайкина, JI. С. Капкаевой, JL М. Наумовой, М. А. Родионова,

A. В. Усовой, Р. А. Утеевой, М.Г. Макарченко, В.И. Крупича,

B. В. Никитина, К.А. Рупасова и др.

При несомненной важности и огромном значении исследований о формировании понятий, следует отметить, что опора традиционной методики формирования понятий на классическую логику приводит к неправомерному сужению поля деятельности при работе с определениями. Действительно, процесс формирования понятий (согласно учебнику методики обучения математике) «состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с другими, изученными ранее» [121, С.40]. Как видим, определение лишь усваивается, а вся остальная деятельность направлена не на определение, а на то, что определяется (понятие). В частности, согласно этому толкованию, применяется не определение, а (определяемое) понятие. Усвоение же определения включает в себя распознавание объектов, принадлежащих понятию, выведение следствий из принадлежности понятию, конструирования объектов, принадлежащих понятию, и их совокупностью. Однако, часто ученики, успешно решающие задачи на распознавание или так называемую принадлежность объекта к множеству, указанному в определении, при решении практических задач допускают ошибки. Например, ученикам предлагается построить график функции у = \х2 — 4|.

Ученики применяют определение модуля со следующей ошибкой: С х2 — 4, если х > 0; ^ \—(х2 — 4), если х < 0.

Разумеется, каждый учитель как-то исправляет подобные ошибки, но это делается независимо от классической теории формирования понятий. 4

Классическая теория не поможет в решении подобных задач, так как не работает с предметными переменными. Дело в том, что классическая логика имеет дело с субъектно-предикатной формой суждений, в то время как «лишь немногие мысли можно выразить в субъектно-предикатной форме; многоместные отношения и последовательности кванторов жизненно необходимы»1 [157, С.85]. Упоминание в этой связи многоместных отношений и кванторов является прямым указанием на то, что основой для построения методики преподавания математики (и, в частности, работы с определениями в ней) должна служить математическая, а не классическая (аристотелевская) логика.

В связи с отсутствием необходимой теории применения определений в классической логике, ученики часто вообще не применяют определения при решении задач. Например, усвоив определение арифметического квадратного корня, ученики при решении иррациональных уравнений, вместо применения этого определения, используют метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. В результате, могут быть приобретены посторонние корни.

Таким образом, в методике обучения математике в средней школе имеется противоречие: между необходимостью обучения школьников применению определений в процессе изучения ими математики и отсутствием соответствующей методики, основанной на положениях математической логики.

Устранение указанного противоречия свидетельствует о необходимости и об актуальности исследования.

Проблема исследования состоит в построении, основанных на положениях математической логики, теории и методики обучения применению определений в курсе математики средней школы.

Объект исследования - процесс обучения математике в

1 Мы приводим свой перевод с оригинала общеобразовательных учреждениях.

Предмет исследования - обучение применению определений в курсе математики средней школы.

Цель исследования - разработать теорию и методику обучения применению определений в курсе математики средней школы.

Гипотеза исследования: если, основываясь на достижениях математической логики, разработать теорию и методику обучения школьников применению определений и внедрить эту методику в практику обучения математике в средней школе, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся средней школы.

Сформулированные цель и гипотеза исследования определяют его задачи:

1. Провести сравнительный анализ работы с определениями, совершаемой в рамках классической теории формирования понятий и теории определений математической логики.

2. Выявить основные направления и особенности обучения применению определений в курсе математики средней школы в соответствии с современной теорией определений;

3. Разработать теоретические положения обучения применению определений в курсе математики.

4. Разработать методику обучения применению определений в курсе математики средней школы, включающую типологию упражнений, направленных на формирование умения применять определения.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики обучения применению определений в курсе математики средней школы.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- теория системного подхода и её применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, В.М. Монахов, A.M. Пышкало и др-);

- деятельностный подход и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.Ф.Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);

- работы по философии и методологии математики и математического образования (А. Д. Александров, В. И. Арнольд, В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, М. Б. Волович, Г.Д. Глейзер, Б. В. Гнеденко, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, А.Л. Жохов,

A.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, Г.Л. Луканкин,

B. М. Монахов, А.Г. Постников, А.Х. Назиев, А. Я. Хинчин, Г. Вейль, Д. Гильберт, А. Пуанкаре, Д. Пойа, Б. Рассел, Г. Фройденталь и др.);

- теоретические исследования по проблемам содержания школьного математического образования (М.И. Башмаков, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, И. В. Дробышева, Ю. А. Дробышев, Ю.М. Колягин, А.Г. Мордкович, В.А. Оганесян, А.Х. Назиев, П.В. Семенов, А.С. Симонов, И.М. Смирнова, А.А. Столяр и др.). При решении сформулированных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение школьных программ, учебных и учебно-методических пособий, материалов и публикаций по исследуемой проблеме;

- изучение и анализ философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования;

- изучение и обобщение педагогического опыта работы учителей математики средней школы;

- обобщение собственного опыта преподавания математики в средней школе;

- изучение и анализ письменных работ учащихся;

- наблюдение, анкетирование школьников;

- проведение педагогического эксперимента по проверке методических положений работы, статистические методы обработки полученных результатов.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. Проблема обучения применению определений в курсе математики средней школы решена на принципиально новой основе -использовании теории определений математической логики.

2. Создана методика обучения школьников применению определений, в рамках которой выделены основные этапы обучения применению определений, разработан общий вид формулировок заданий, соответствующих указанным этапам обучения.

Теоретическая значимость заключается в обосновании необходимости обучения школьников применению определений на основе математической логики. Разработаны теоретические положения обучения применению определений, выявляющие роль выполнения подстановок при обучении применению определений.

Практическая значимость исследования состоит в том, что в обучении применению определений выделены три этапа, разработаны основные виды формулировок заданий, соответствующих данным этапам. В ходе исследования создана программа специального курса «Теория и методика самообучения применению определений в курсе математики средней школы».

Разработанная в диссертации методика обучения применению определений в курсе математики средней школы может быть использована в практической деятельности учителя, при создании учебно-методических пособий для учащихся и студентов.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обусловлены:

- разносторонним теоретическим анализом проблемы;

- согласованностью выдвигаемых теоретических положений с теоретическими разработками в области математической логики, психологии, педагогики;

- многообразием и полнотой изученного фактического материала;

- результатами экспериментальной проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Работу с определениями в процессе обучения математике следует строить на основе теории определений, разработанной на базе математической логики. Согласно этой теории применить определение — значит воспользоваться результатом правильной подстановки в определение для введения (исключения) определяемого термина.

2. Обучение применению определений должно строиться согласно следующему плану: первым этапом является обучение выполнению указанных подстановок в указанное определение; вторым -обучение получению данных предложений (неизвестных ученику заранее) подстановками в указанное определение; третьим - обучение умению видеть возможность получения данных предложений посредством подстановок (неизвестных заранее) в определения (неизвестные заранее).

Основные этапы исследования

На первом этапе исследования осуществлялись изучение и анализ математической, психолого-педагогической и научно-методической литературы, посвященной различным аспектам выделенной проблемы.

Работа с определениями в классической теории формирования понятий была сопоставлена с работой с определениями в логико-математической теории. Выявлены возможности использования этих теорий для 9 построения методики обучения применению определений, соответствующей целям обучения математике. Теоретический анализ литературы, данные, полученные в результате опроса учителей и учащихся (констатирующего эксперимента), послужили основанием для формулирования цели, задач исследования и формулировки рабочей гипотезы. Итогом первого этапа исследования стала разработка теоретической базы исследования.

На втором этапе исследования проводился поисковый эксперимент. В ходе этого эксперимента на основе выделенных требований была разработана методика обучения применению определений в курсе математики средней школы.

На третьем этапе был проведен обучающий эксперимент. Его целью явилась проверка эффективности разработанной методики. Полученные теоретические и экспериментальные результаты были обобщены и сделаны выводы.

Апробация основных положений и результатов исследования проводилась путем их использования в работе учителей; в виде докладов и выступлений на конференциях и семинарах: XXI Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» (Санкт-Петербург, 2002); семинар «История и перспективы развития образования в Московской области» (Коломна, 2002); III Международная научно-методическая конференция «Современные проблемы преподавания математики и информатики» (Волгоград, 2006); научно-методические семинары кафедры алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт» (Коломна, 2002-2007).

Внедрение разработанных методических рекомендаций осуществлялось в общеобразовательных учреждениях: МОУ «гимназия №20» г. Люберцы и ГОУ «гимназия №1566» ЮВОУО ДО г. Москвы. Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Татаринова, Людмила Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование представляет собой один из возможных путей осуществления интеграции интеллектуально - ориентируемых знаний и умений с традиционным математическим содержанием. В работе решены следующие задачи, выдвигаемые в связи с исследованием проблемы поиска методики обучения применению определений при изучении математики в средней школе:

1. На основании проведенного анализа научной литературы и практики обучения математике в школе обоснована необходимость обучения применению определений в курсе математики средней школы. Отмеченные типичные ошибки учащихся, связанные главным образом с отсутствием сознательного понимания смысла определений, позволяют утверждать, что традиционная методика обучения математике недостаточно ориентирует учителей на организацию деятельности по работе с определениями на их успешное применение при решении математических задач;

2. Выявлен ряд ошибок в формулировке определений, решении задач, не находящих объяснения в классической логике. В результате продемонстрировано преимущество использования математической логики перед традиционной теорией формирования понятий при обучении применению определений;

3. Сформулированы принципы, которыми целесообразно руководствоваться в обучении применению определений:

- работу с определениями надо строить согласно тому, к каким семантическим категориям относятся определяемые в них термины, с соблюдением соответствующих требований;

- необходимо целенаправленное обучение совершению подстановок в определении;

- применение определения осуществляется в двух направлениях: введение определяемого термина и исключение определяемого термина;

143

4. Определены три этапа формирования умения применять определения (обучение выполнению указанных подстановок в указанное определение, обучение получению данных предложений неизвестными ученику заранее подстановками в указанное определение, формирование умения видеть возможность получения данных предложений посредством неизвестных заранее подстановок в неизвестные заранее определения), выявлены этапы работы с подстановками, в том числе подстановки в выражения, подстановки в предложения. Разработан общий вид формулировок заданий, соответствующих всем перечисленным этапам;

5. Разработана методика обучения применению определений в курсе математики средней школы, основанная на достижениях математической логики с опорой на самостоятельную работу учащихся. В том числе описаны соответствующие диагностика и мониторинг, ряд пропедевтических приемов, способствующих более эффективному формированию умения применять определения. Создан и реализован специальный курс «Теория и методика самообучения применению определений в курсе математики средней школы».

Созданная методика нашла отражение в разработке курса «Теория и методика самообучения применению определений в курсе математики средней школы» (имеется соответствующее свидетельство о государственной регистрации в «Национальном информационном фонде неопубликованных документов» разработки, предъявленной в отраслевой фонд алгоритмов и программ: свидетельство №6316 от 08.06.06, № 50200600889 государственной регистрации).

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Татаринова, Людмила Николаевна, 2010 год

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики/ Ж. Адамар; Пер. с фр. М.А. Шаталова, О.П. Шаталовой; Под ред. И.Б. Погребысского. — М.: МЦНМО, 2001.-128 с.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. 12-е изд.— М.: Просвещение, 2002. -384 с.

3. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. 4-е изд.— М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

4. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 4-е изд.— М.: Просвещение, 1996. - 239 с.

5. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. 4-е изд.— М.: Просвещение, 1996. - 239 с.

6. Антипов И. Н., Шварцбурд JT. С. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики./ И. Н.Антипов, JI. С. Шварцбурд.— М.: Просвещение, 1994.-245с.

7. Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику?/ В.И. Арнольд // Квант, — 1993.-№1/2.-С. 5 -15.

8. Артемова М.А. Остенсивные определения математических понятий в 1-6 классах: Учеб.-метод, пособие для учителей и студентов пед. вузов / М.А. Артемова ; Пенз. гос. пед. ун-т им. В.Г.Белинского. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. пед. ун-та, 1999. 23 с.

9. Артемова М.А. Упражнения с математическими понятиями: Учебно-метод. пособие для студентов физ.-мат. фак., фак. нач. классов и учителей / М.А. Артемова; Пенз. гос. пед. ун-т им. В.Г. Белинского. — Пенза: Пенз. гос. пед. ун-т, 1998. 53с.

10. Башмаков М.И. Определение основных понятий математического анализа в школьном курсе математики/ М.И. Башмаков//Математика в школе. — 1988. №3. - С. 41 - 44 .

11. Бенвенист Э. Общая лингвистика / Э. Бенвенист ; Пер. с фр.: Ю.Н.Караулова и др. — М. : Просвещение, 1974. 448 с.

12. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями/ В.Г. Болтянский//Математика в школе. — 1973.- №5. -С. 45-50.

13. Болтянский В.Г. Как учить поиску решения задач/ В.Г. Болтянский//Математика в школе. — 1988-№1. С. 8-14.

14. Боревский JT. Я. Курс математики/JT. Я. Боревский //CD

15. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе/ В.М. Брадис. — М.: Просвещение, 1989. 256 с.

16. Бурбаки Н. Теория множеств/ Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1965. 456 с.

17. Буткин Г.А. Усвоение научных понятий в школе: Учеб. пособие/ Г.А.Буткин, И.А. Володарская, Н.Ф. Талызина. — М.: Полиграф сервис, 1999.- 111 с.

18. Вайзер Г.А.Формирование у школьников способов самостоятельной работы над задачей/Г.А.Вайзер. М, 1998.

19. Вейль Г. Математическое мышление: Сборник: Пер. с англ. и нем./ Г.Вейль; Сост. Ю.А. Бирюкова, А.Н.Паршина. —■ М: Наука, 1989. -400с.

20. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таврткиладзе Р.К.Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними/ Н.Я.Виленкин, С.К. Абайдулин, Р.К. Таврткиладзе //Математика в школе. — 1984.- №4. С.43-47.

21. Войшвилло Е.К. Логика: Учеб. для студентов вузов / Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев. — М. : Владос-Пресс: ИМПЭ им.А.С.Грибоедова, 2001.-527 с.

22. Войшвилло Е.К. Понятия как форма мышления/ Е.К. Войшвилло. — М.: Изд-во МГУ, 1989. 238 с.

23. Волович М.Б. Как обеспечить эффективное усвоение определений: Ст. 3: Математика в сред. шк. / М. Волович // Математика: Еженед. прил. к газ. "Первое сентября". — 1997. N8 (00.02). - С. 1-2.

24. Волович М.Б. Наука обучать: Технология преподавания математики / М.Б. Волович. — М. : Linka-Press, 1995. 278с.

25. Волович М.Б. Не мучить, а учить: О пользе пед. психологии / М.Б.Волович. — М. : Изд-во Рос. открыт, ун-та, 1992. 231 с.

26. Выготский Л.С. Мышление и речь / Л.С. Выготский.—М.: Просвещение, 1996. 416с.

27. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Л.С. Выготский .—М.: Просвещение, 1991. 480 с.

28. Гальперин П.Я. Психология как объективная наука/ П.Я. Гальперин. —-М.: Просвещение, 1998.-480 с.

29. Гастев Ю. А. С чего начинается логика/ Ю.А. Гастев. — М.: Просвещение, 1990. -214 с.

30. Гегель Г.В.Ф. Работы разных лет/ Г.В.Ф. Гегель. В 2-х т.т. Т.2. — М. : Мысль, 1973.-630 с.

31. Геометрия 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 9-е изд., с изм.— М.: Просвещение, 2000. - 206 с.

32. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 5-е изд.— М.: Просвещение, 1995. -335 с.

33. Гетманова А.Д. Учебник по логике/ А.Д. Гетманова. — М.: Владос, 1994.-303 с.

34. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики/ Д. Гильберт, В. Аккерман. — М.: Просвещение, 1965. 268с.

35. Гончарова М.А. Учись размышлять: Развитие у детей мат. представлений, воображения и мышления: Сб. заданий: Пособие для нач. классов / М.А. Гончарова, Е.Э. Кочурова, A.M. Пышкало ; Под ред. A.M. Пышкало. — М. : Антал, 1995. 111 с.

36. Горский Д.П. О видах определений и их значении в науке/ Д.П.Горский. — М.: Наука, 1964. 211с.

37. Горский Д.П. Определение/ Горский Д.П. — М.: Мысль, 1974. 309 с.

38. Горштейн П.И., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Экзамен по математике и его подводные рифы/ П.И.Горштейн, А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. — М.: Илекса, 2004. 236 с.

39. Груденов Я. И. Методы усвоения математических предложений/ Я.И.Груденов. —М.: Просвещение, 1992. -326с.

40. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем/ Я.И. Груденов. — М.: Просвещение ,1981. -95с.

41. Груденов Я.И. Методы усвоения математических предложений/ Я.И.Груденов //Математика в школе. — 1977-№6. С. 27-28.

42. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя/ Я.И. Груденов. — М.: Просвещение, 1990. 224 с.

43. Груденов Я.И. Условия активизации мыслительной деятельности учащихся/ Я.И. Груденов //Математика в школе. — 1988.- №6. С.18-21.

44. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику/ В.А. Гусев. — М.: Авангард, 1994. 168 с.

45. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. . докт. пед. наук. — М.: , 1990. -364 с.

46. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике/ В.А. Гусев. — М.:, 2003. 432 с.

47. Гусинский Э.Н. Введение в философию образования / Э.Н. Гусинский, Ю.И. Турчанинова. — М. : Логос, 2003. 246 с.

48. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов/ В. В. Давыдов.— М.: Просвещение, 1996.-284с.

49. Давыдов В. В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении/ В.В. Давыдов. —М.: Просвещение, 1996. 544 с.

50. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения/ В.В. Давыдов. — Томск: Алекс, 1992. -116 с.

51. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе/ Г.В.Дорофеев //Математика в школе. — 1997 - №59. - С. 56-60.

52. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования/ Г.В.Дорофеев //Математика в школе. — 1990.-№6.-С. 56-60.

53. Дорофеев Г.В. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зрения/ Г.В.Дорофеев //Математика в школе. — 1984 №3. - С. 56-60.

54. Джеймс У.Психология / У. Джеймс. — М. : Педагогика, 1991. 368 с.

55. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления. Пер с англ. Н.М.Никольской. —М.: Совершенство, 1997. -208 с.

56. Егоров С.Н. Понятие / С. Н. Егоров. — СПб. : Изд-во Александра Сазанова : Роза мира, 2005. 87 с.

57. Ежкова В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики: дис. . канд. пед. наук : 13.00.02 / В.Г.Ежкова; Моск. гос. открытый пед. ун-т. -— М., 1999. 168с.

58. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике./ О.Б.Епишева, В.И. Крупич — М.: Просвещение, 1990. 127 с.

59. Ианчук О.В. Методика формирования у учащихся обобщенных видов деятельности по усвоению понятий о физических объектах: автореф. дис. . канд. пед. наук : 13.00.02 / О.В. Ианчук; Астрах, гос. пед. ун-т.1. М., 1999. 16 с.

60. Иванова З.И. Формирование естественно-научных понятий у младших подростков: Автореф. дис. канд. пед. наук. — Саратов, 1998. -18 с.

61. Икрамов Д. Математическая культура школьников: Методические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. — Ташкент: Укутувчи, 1987. 287 с.

62. Икрамов Д. Теория и практика развития математической культуры школьников. — Ташкент: Укутувчи, 1983. 123 с.

63. Икрамов Д. Язык обучения математике. —- Ташкент: Укутувчи, 1989. -189с.

64. Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы/ М. Кац, С. Улам. — М.: Мир, 1971. 250 с.

65. Когаловский С.Р. К вопросу о логическом развитии школьников на уроках математики/ С.Р. Когаловский // Начальная школа плюс до и после : ежемес. науч.-метод, и психол.-пед. журн. — 2006.- № 10. -С.23-29.

66. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии/ А.Н. Колмогоров . — М.: Наука, 1991. 223 с.

67. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики/ А.Н. Колмогоров //Математика в школе.1971.-№2.-С. 17-22.

68. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. В 2-х ч. 4.1/ Ю.М. Калягин. —М. : Просвещение, 1977. 110 с.

69. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. В 2-х ч. 4.2/ Ю.М. Калягин. — М. : Просвещение, 1977. 143 с.

70. Колягин Ю. М. Учись решать задачи / Ю.М. Калягин, В.А. Оганесян. — М. : Просвещение, 1986. 96 с.

71. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия в школьном курсе математики/ Ю. М.Колягин, Г. Л.Луканкин. — М.: Просвещение, 1994.-112с.

72. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе/ В.И. Крупич. — М: МГПИ им. В.И.Ленина, 1985. -118с.

73. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий; Под ред. Н.И. Чуприковой ; Акад. пед. и соц. наук, Моск. психол.- соц. ин-т. — М. : Ин-т практ. психологии ; Воронеж : НПО "МОДЭК", 1998.-411 с.

74. Крыговская С. Роль определения в математической деятельности учащихся/ С. Крыговская //Математика в школе. — 1988. -№6. С.41-46.

75. Кутасов А. А. Элементы математической логики/ А. А. Кутасов.— М.: Просвещение, 1991.- 136 с.

76. Лернер И .Я. Процесс обучения и его закономерности/ И.Я. Лернер. — М.: Просвещение, 1980.-96 с.

77. Лобок А. Главная формула школьной математики: мы ищем не способ передать знания, а способ сделать их интересными для детей.: Опыт взаимодействя учителя математики и ученика на уроке/ А. Лобок // Первое сент. — 2004. -№8(31 янв.). С. 4.

78. Лобок А. Другая математика или Как сформировать математическое мышление у детей 6-10 лет / А. Лобок. — М. : Нар. образование, 1998. 226 с.

79. Логика и проблемы обучения/ Под ред. А.Н. Бирюкова. — М.: Просвещение, 1977. 129 с.

80. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики/

81. B.А.Любецкий. —- М.: Просвещение, 1987. -400 с.

82. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике/ М.Г. Макарченко. — Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2004. 224 с.

83. Маликов Т.С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий/ Т.С. Маликов //Математика в школе. — 1987-№1. С. 44-48.

84. Мамунова Т.М. Индивидуализация учебной деятельности учащихся в процессе самостоятельной работы по формированию математических понятий: автореф. дис. . канд. пед. наук : 13.00.02 / Т.М. Мамунова; Моск. пед. гос. ун-т им. В. И. Ленина. — М., 1996. 16 с.

85. Марнянский И.А. К изучению определений/ И.А. Марнянский //Математика в школе. — 1982.- №5. С. 57-58.

86. Математика в понятиях, определениях и терминах, Ч. 1/ Под ред. Л.В.Сабинина. —М.: Просвещение, 1995. -284 с.

87. Математика: учеб. для 5 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков,

88. C. И. Шварцбурд, В. И. Жохов. — М. : Просвещение, 1995. 303.

89. Математика: учеб. для 6 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков,

90. С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов. — М. : Просвещение, 1995. 312.

91. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под. ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 3-е изд. — М.: Дрофа, 1998. - 416с.

92. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. дляобщеобразоват. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова,152

93. Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под. ред. Г.В.Дорофеева. 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999. - 304 с.

94. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под. ред. Г.В. Дорофеева. 4-е изд. — М.: Дрофа, 2003. - 352 с.

95. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под. ред. Г.В.Дорофеева. 2-е изд. — М.: Дрофа, 1998. -288 с.

96. Математика: Учеб. для 5 кл общеобразоват. учреждений/ Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин С.Б.Суворова и др.; Под. ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. -7-е изд., дораб. —М.: Просвещение, 2004. 302 с.

97. Методика преподавания математики в средней школе/ Сост. Р.С.Черкасов, А.А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985. -236 с.

98. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1/А.Г.Мордкович. — М.: Мнемозина, 2005. 223 с.

99. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 2/ А.Г.Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская. — М.: Мнемозина, 2005. 239 с.

100. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 11 кл.: В двух частях. 4.1/ А.Г.Мордкович. — М.: Мнемозина, 2004. - 375 с.

101. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 11 кл.: В двух частях. 4.2/ А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова. Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. —М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

102. Назиев А. X. Вводный курс математики (Введение. Элементы математической логики): Учебное пособие / А.Х. Назиев. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1999. 125 с.

103. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе/ А.Х. Назиев ; Ряз. обл. инт развития образования. — Рязань : Изд-во РИРО, 1999. 110 с.

104. Назиев, А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учи-телей математики в педагогических вузах: дисс. докт. пед. наук. — М., 2000.-387 с.

105. Никитин В.В., Рупасов К.А. Определения математических понятий в курсе средней школы/ В.В. Никитин, К.А. Рупасов. — М.: Учпедгиз, 1963. 150 с.

106. Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). М.: МЗ-Пресс, 2004. 67 с.

107. Пескова Т. Изучение параметров в 7 классе/ Т. Пескова// Математика: Еженед. прил. к газ. "Первое сентября". —1999. №36. -С.29-32.

108. Петерсон JL Г. Как научить детей решать уравнения/Л.Г. Петерсон// Математика в школе. — 1997.- №59. С. 56-60.

109. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. 8-е изд. — М. : Просвещение: Моск. учеб., 1998.-383 с.

110. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения/ Д. Пойа. — М.: Наука, 1975.-463 с.

111. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание/ Д. Пойа. — М.: Наука, 1970. 452 с.

112. Попа К. Теория определения/ К. Попа. — М.: Прогресс, 1976. 247 с.

113. Попов В. Алгоритмический подход/ В. Попов // Математика: Еженед. прил. к газ. "Первое сентября". — 2000. -№10. С.6-10.

114. Приступлюк О.Н. Учить мыслить: О некоторых нетрадиц. подходах к изучению новых понятий, вычислит, приемов на уроках математики:

115. Метод, рекомендации для учителей нач. кл. / О.Н. Приступлюк ; Ряз.154обл. ин-т развития образования. — Рязань : Изд-во Ряз. обл. ин-та развития образования, 1999. 36 с.

116. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 классы/ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000. - 320 с.

117. Пустильник И.Г. Теоретические основы формирования научных понятий у учащихся: автореф. дис. . д-ра пед. наук : 13.00.0113.00.02 / И.Г. Пустильник; Урал. гос. пед. ун-т. — Екатеринбург, 1997. 58 с.

118. Рыжик В.И. 25000 уроков математики. / В.И. Рыжик. — М.: Просвещение, 1993. -241 с.

119. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике/ Г.И.Саранцев. — Саранск: Красный Октябрь, 2001. 139с.

120. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. специальностей пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. — М. : Просвещение, 2002. 223 с.

121. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. -2-е изд., дораб. — М. : Просвещение, 2005. 254 с.

122. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе/ Г.И. Саранцев. // Математика в школе. — 1998.-N 6. С. 2730.

123. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе/ Г.И. Саранцев. // Математика в школе. — 1998 N 6. - С. 2729.

124. Саранцев. Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. — М.: Гуманитар, изд. центр ВЛАДОС, 2005. 183 с.

125. Саранцев. Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. специальностей пед. вузов и ун-тов / Г.И.Саранцев. — Саранск : Б.и., 1999.-207 с.

126. Сибирякова Е.И. Индивидуальный стиль усвоения математических знаний: автореф. дис. . канд. психол. наук : 19.00.01 / Е.И. Сибирякова; Перм. гос. пед. ун-т. — Пермь, 1996. — 25 с.

127. Смирнова И.М. Геометрия. 7-9 кл. / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.

128. М.: Мнемозина, 2005 . 376 с.

129. Смирнова И.М. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. естеств.-научн. профиля / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов . — М.: Просвещение, 2003 .-239 с.

130. Столяр А. А. Зачем и как мы доказываем в математике / А. А. Столяр.

131. Минск: Высшая школа, 1969. — 368 с.

132. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций/ А. А. Столяр. — Минск: Высшая школа, 1969. 368 с.

133. Столяр А.А. Математическая логика/ А. А. Столяр. —Минск:, 1991. -135 с.

134. Талызина Н.Ф. Пути усвоения научных понятий: На прим. обучения математике / Н.Ф.Талызина // Дидакт. — 1994 № 4-5. - С. 10-13.

135. Тарасов В.В. Гносеологическая роль языка в образовании понятий: Автореф. дис. . канд. филос. наук : 09.00.01 / В.В. Тарасов; Куб. гос. технол. ун-т. — Краснодар, 1999. 21 с.

136. Усова А.В. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий/ А.В. Усова. —Челябинск:, 1986. 125 с.

137. Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения/ А.В. Усова. — М.: Педагогика, 1986. 176 с.

138. Филатова А.Н. Некоторые вопросы теории понятия/ А.Н. Филатова. —

139. М.: Высшая школа, 1962. 109 с.156

140. Финкельштейн В. М. О двух видах контрпримеров и одном неудачном определении из учебника/ В. М. Финкельштейн // Математика в школе.— 1997.- №5. С. 57-60.

141. Формирование логических операций при проблемном обучении: У учащихся сред. шк. / А.И. Иванов, Х.Х. Абушкин, А.А. Харитонова // Организация проблемного обучения в школе и вузе. — Саранск, 1999. Вып.1.— С. 13-23.

142. Фреге Г. Основоположения арифметики: Логико-мат. исслед. о понятии числа: Пер с нем. / Г. Фреге. — Томск : Водолей, 2000. 127с.

143. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи/ Л.М. Фридман ; Акад. пед. и соц. наук, Моск. психол.-соц. ин-т. — М. : Моск. психол.-соц. ин-т ; Воронеж : НПО "МОДЭК", 1999. 235 с.

144. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся 9-11 кл. / Л.М. Фридман . — М. : Просвещение, 2005. 254 с.

145. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач/ Л.М. Фридман. — М.: Педагогика, 1977. 208 с.

146. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и пед. высш. учеб. заведений / Л.М.Фридман ; Акад. пед. и соц. наук, Моск. психол.-соц. ин-т. — М.: Моск. психол.-соц. ин-т: Флинта, 1998. -216 с.

147. Фройденталь. Г. Математика как педагогическая задача. В 2 ч. Ч. 1/ Г. Фройденталь. —М.: Просвещение, 1982. 208 с.

148. Фройденталь. Г. Математика как педагогическая задача. В 2 ч. 4.2/ Г. Фройденталь. —М.: Просвещение, 1983. 191с.

149. Харитонова А.А. Дидактические основы формирования логических операций при изучении научных понятий: Дис. канд. пед. наук/ И.В. Харитонова .— М: Просвещение, 1997. -438 с.

150. Харитонова И.В. Организация самостоятельной работы учащихся приобучении математике: Учеб. пособие / И.В. Харитонова ; Под ред.

151. Г.И.Саранцева. — Саранск : Изд-во Морд, ун-та, 1999. 44 с.157

152. Хинчин А.Я. Определения в школьном курсе математики/

153. A.Я.Хинчин // Педагогические статьи. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960.-С. 45-50.

154. Хинчин А.Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики, борьба с метод, штампами / А. Я. Хинчин ; Под ред. Б.

155. B.Гнеденко; Заключит, ст. А. И. Маркушевича и Б. В. Гнеденко. — М. : URSS, 2006. 202 с.

156. Чёрч А. Введение в математическую логику. 1 т. /А. Чёрч. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 488 с.

157. Шаталова Г. Способы повышения мотивации обучения/ Г. Шаталова //Математика. — 2003 №23. - С. 5-7.

158. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7 9 кл. — М.: Дрофа, 2000 . - 368 с.

159. Шатилова А.В. Обучение школьников составлению математических задач: Учеб.-метод. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. вузов / А.В. Шатилова ; Балаш. гос. пед. ин-т. — Балашов : Изд-во БГПИ, 1999.-44 с.

160. Швейцер А. Благоговение перед жизнью/ А. Швейцер; Пер. с нем.: А.А. Гусейнова. — М.: Прогресс, 1992. 576 с.

161. Шеварев П.А. Теория обобщенных ассоциаций в психологии: Избр. психол. тр. / П.А. Шеварев; Под ред. Т.А. Ратановой, Б.Б. Коссова ; Акад. пед. и соц. наук, Моск. психол.- соц. ин-т. — М. : Ин-т практ. психологии ; Воронеж : НПО "МОДЭК", 1998. 602 с.

162. Юн Су-гон. Упражнения, способствующие усвоению математических понятий/ Юн Су-гон. //Математика в школе. — 1963- №2. С. 49-50.

163. Юнг Дж. В.А. Как преподавать математику/ Дж. В.А. Юнг. — М.: Госиздат, 1911.-296 с.

164. Яглом. И.М. Поговорим об определениях / И.М. Яглом //Квант. — 1978,- №6.-С. 32-35.

165. Ясиновый Э.А. Об определениях, даваемых учениками/ Э.А.Ясиновый

166. Математика в школе. — 1982-№3. С. 35-36.158

167. H. Freudenthal. Mathematics as an educational task. Part I / Dordrecht: Reidel, 1975.