Кванторы в обучении математике в школе: 5-11 классы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Камышов, Алексей Владимирович

• Камышов, Алексей Владимирович
• кандидат педагогических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Камышов, Алексей Владимирович

Введение

Глава 1 Кванторы в математике и в школьной математике

1.1 Кванторы в математике

1.1.1 Кванторы в формулировках математических предложений

1.1.2 Основные законы логики кванторов.

1.2 Кванторы в школьной математике.

1.2.1 Кванторы в формулировках аксиом, определений и теорем из школьного курса математики

1.2.2 Основные законы логики кванторов в школьном курсе математики

1.2.3 Тригонометрические уравнения, неравенства, совокупности, системы тригонометрических уравнений — и некоторые законы логики кванторов

1.3 Связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе.

1.4 Чему учить школьников в отношении кванторов?. 64 Выводы по первой главе

Глава 2 Кванторы в обучении математике в школе

2.1 Формирование умений видеть кванторы в предложениях, правильно понимать и формулировать предложения с кванторами.

2.2 Формирование умений доказывать и применять предложения с кванторами.

2.2.1 Доказательство предложений с кванторами

2.2.2 Применение предложений с кванторами.

2.3 Формирование умения рассуждать в соответствии с основными законами логики кванторов.

2.4 Организация эксперимента и его итоги

Выводы по второй главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кванторы в обучении математике в школе: 5-11 классы»

Россия переживает эпоху перемен. Наше общество меняется, поэтому меняются и требования, предъявляемые к различным звеньям общества, в том числе — и к образованию.

Новые социальные требования к системе российского образования сформулированы в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года.

Развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способны к сотрудничеству, отличаются мобильностью, динамизмом, конструктивностью, обладают чувством ответственности за судьбу страны [77, с. 4].

Этот социальный заказ общества обращен, безусловно, ко всем звеньям образования, а в первую очередь — к общему среднему образованию.

Важнейшей задачей современной российской школы является формирование интеллектуально развитой личности. Большая ответственность при этом возлагается на учителя математики. Это можно объяснить тем, что математика «даёт наиболее типичные, отчётливые и простые примеры приёмов мысли, представляющих исключительную важность для каждого (.)

На всём нашем мышлении, на всех действиях сказывается влияние сознательно или бессознательно выполненных умозаключений. Это — основной факт; если в известном обществе не вошло в привычку хорошо строить свои умозаключения, то каково бы ни было выстроенное им здание культуры, оно будет шатким и ненадёжным. Заключения, которые приходится делать каждый день, носят сложный характер; фактов так много, они так многоразветвлены и недостаточно известны, что часто чрезвычайно трудно вывести какое-либо заключение, а ещё труднее того чувствовать себя уверенным, что мы составили заключение верное.

А между тем как раз и требуется, чтобы школа знакомила детей со столь распространённым, важным и трудным способом мышления. Предмет, пригодный для этой цели, должен обладать тремя следующими характерными признаками:

1) Чтобы выводимые в нём умозаключения были достоверны. По крайней мере, на первых порах важно, чтобы учащийся мог знать, сделал ли он правильное или неправильное заключение.

2) Чтобы он позволил учащемуся начать с простых и очень лёгких заключений и затем перейти путём хорошо подобранных в своей последовательности упражнений к заключениям очень трудным, когда учащийся уже справился с задачами более ранними.

3) Чтобы тип умозаключений, поскольку его мы находим в нашем предмете, служащем введением, встречался также в других предметах и, вообще говоря, в нашем обиходе.

Этим трём положениям математика удовлетворяет в более значительной мере, чем какой-либо другой пригодный для этой цели предмет» [151, с. 12,14; выделено мною. — А. К.]

Г.В. Дорофеев отмечает, что «в процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и др.

Эти качества мышления сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и вообще с математикой, но обучение математике вносит в их формирование важную и специфическую компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных школьных предметов» [53, с. 59].

А.Х. Назиев подчёркивает, что «обучение математике дисциплинирует ум, приучает его к логическому мышлению, к ясности, точности и упорядоченности мысли, направленной на достижение чёткой очерченной цели. Оно защищает человека от обмана чувств, учит критически оценивать происходящее и не принимать за истинное то, что кажется очевидным, но не доказано. Благодаря обучению математике у человека развивается обострённое чутьё на противоречия, защищающее человека от всяких попыток обвести его вокруг пальца на замаскированных противоречиях. Человек приучается ценить только правильную, объективную, честную, непредвзятую, исчерпывающую и точную аргументацию. В результате у него воспитывается отрицательное отношение к любым попыткам действовать тенденциозно, заранее склоняясь к какому-нибудь решению и прислушиваясь только к аргументам, говорящим в пользу этого решения» [89, с. 26].

И.Л. Тимофеева пишет, что «решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека тесно связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики» [134, с. 1].

Логическим проблемам обучения математике в школе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Ф. Клейн, Л.А. Ка-лужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Мар-кушевич, Д. Пойа, А.А. Столяр, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин.

Все они сходились на том, что, как подчеркнул А. А. Столяр, «проблема внедрения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики — важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие» [124, с. 20].

Это естественно ставит нас перед вопросом: «Что считать "необходимыми элементами логики"»? Не так давно большинство методистов полагали (а многие и теперь ещё полагают), что для нужд обучения в школе вполне достаточно так называемой классической логики: учения о понятии и субъектно-предикатной форме суждений. На самом же деле, как заметил Г. Фройденталь, «едва ли существуют мысли, которые можно выразить в субъектно-предикатной форме; мысли требуют схемы отношений и последовательностей кванторов» [141, с. 68; курсив наш. — А. К.].

Проблема использования кванторов при обучении математике и их роль в этом обучении исследуется в работах В.И. Арнольда, В.Г. Болтянского, Г.В. Дорофеева и др. Свой значительный вклад в решение этой проблемы внесли А.Х. Назиев, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Л.Г. Пе-терсон, И.Л. Тимофеева и др. Этой проблеме также частично посвящены кандидатские диссертации В.Г. Ежковой и С.С. Елифантьевой.

А.Х. Назиев отмечает: «кванторы — это отнюдь не средства стенографии, каковыми их зачастую представляют, а элементы сложившейся к настоящему времени структуры математического мышления. Основная заслуга Гбтлоба Фрёге, которому мы обязаны введением кванторов, заключается отнюдь не в том, что он заменил слова "для всех" и "для некоторых" значками,. а в том, что он заменил логически бесформенные фразы вроде "Все кроты — чёрные" фразами вида "Каков бы ни был крот, крот — чёрный", имеющими чёткую логическую структуру: предложение с переменной (в приведённом примере — "крот — чёрный"; переменная выделена курсивом) плюс квантор по этой переменной (в приведённом примере — "каков бы ни был крот")» [89, с. 6].

И.Л. Никольской выделены логические знания и умения, которыми, по её мнению, должны владеть выпускники средней школы. Одним из этих умений является умение формулировать в утвердительной форме отрицания сложных предложений и предложений с кванторами [94, с. 28].

И.Л. Тимофеева пишет, что школьники, придя учиться в вуз, проявляют полную беспомощность, когда на первых же лекциях и семинарах по математике сталкиваются с кванторами. Поэтому, начиная со средней школы, необходимо уделять внимание задачам, связанным с кванторами [136, с. 65]. В этой же работе обсуждается вопрос о том, как обучать школьников «строить отрицание» в случае предложений с кванторами.

В работе [133] И.Л. Тимофеева исследует вопрос о роли кванторов при построении обратных теорем.

О том, как можно эффективно использовать логическую символику, в частности, символы «V», «3» при работе с определениями и теоремами, говорится в статьях В.Г. Болтянского [24], [25].

Б.Д. Пайсон отмечает, что «весьма полезным в практике обучения математике может оказаться осознанное применение некоторых законов логикш [97, с. 12]. Наибольшую дидактическую ценность по его мнению имеют законы, связанные с отрицанием сложной логической структуры: отрицание конъюнкции и дизъюнкции (законы де Моргана), отрицание и преобразование импликации, закон контрапозиции, а также законы, позволяющие строить отрицания предложений с кванторами.

В настоящее время элементы логики постепенно входят в сферу среднего образования: они выделены в государственном стандарте общего образования по математике, появляются элективные курсы по логике. Некоторые школьные учебники, например, [57], [59], [56] знакомят учащихся с элементами современной (математической) логики. Большое внимание при этом авторы уделяют кванторам.

Так, Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон знакомят младших школьников с общими утверждениями, утверждениями о существовании, с некоторыми способами доказательства предложений, начинающихся со слов «для всех» и «существует» [57], со способами построения отрицания утверждений с кванторами [59].

Авторы учебника [56] (Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова) знакомят учащихся с терминологией начальной логики. Говоря о кванторах, авторы останавливаются на разъяснении стандартного математического выражения — произвольный, по фиксированный элемент, формулируют некоторые важные законы кванторной логики.

Но, несмотря на немалое количество работ, проблема использования кванторов при обучении математике в школе ещё далека от полного решения. В частности, ни в одной из известных нам работ нет ответа на вопрос, какой именно набор элементов логики кванторов должен стать неотъемлемой частью процесса обучения математике. Налицо противоречие: «необходимые элементы» логики кванторов должны стать неотъемлемой частью преподавания математики, но каковы эти элементы и что нужно сделать, чтобы они стали неотъемлемой частью процесса обучения математике, — до сих пор неясно. Указанное противоречие и составляет проблему исследования.

Цель исследования состоит в решении указанной проблемы, то есть в том, чтобы составить перечень необходимых элементов логики кванторов и разработать методику включения этих элементов в процесс обучения математике в школе.

Всё вышесказанное определило выбор темы и актуальность нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в современной отечественной средней школе.

Предмет исследования: кванторы в обучении математике в школе.

Гипотеза, положенная в основу исследования, состоит в том, что если дополнить сложившуюся систему обучения математике в школе «необходимыми элементами» логики кванторов, то это будет способствовать повышению эффективности обучения математике.

Цель, объект, предмет и гипотеза исследования определили его задачи:

1. Определить место и роль кванторов в школьной математике.

2. Составить перечень основных законов логики кванторов, наиболее часто применяемых в школьном курсе математики.

3. Составить перечень элементов логики кванторов, которые должны стать неотъемлемой частью процесса обучения математике.

4. Разработать методику включения этих элементов в процесс обучения математике.

5. Экспериментально подтвердить сформулированную выше гипотезу исследования.

Теоретико-методологические основы исследования: деятельностный подход и теория развивающего обучения (JI.C. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.); исследования по проблемам школьного математического образования (М.И. Башмаков, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, И.В. Дро-бышева, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, И.Л. Никольская, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, A.A. Столяр, P.C. Черкасов и др.); работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, Я.И. Груденов, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, В.И. Игошин, Л.А. Калужнин, В.Л. Матросов, А.Х. Назиев, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, A.A. Столяр, И.Л. Тимофеева, И.М. Яглом, A.B. Ястребов и др.).

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: изучение и анализ философской, научно-методической, психолого-педагогической и научной литературы по теме исследования; изучение и анализ школьных учебников, учебных пособий и программ по математике; посещение и анализ уроков в школе; изучение и анализ письменных работ учащихся; наблюдение, анкетирование школьников, беседы с учащимися и учителями; обобщение и систематизация опыта работы учителей математики и собственного опыта преподавания математики в средней школе; педагогический эксперимент по проверке эффективности основных теоретических положений исследования и статистическая обработка некоторых его результатов.

Научная новизна проведённого исследования состоит в том, что: определены место и роль кванторов и основных законов логики кванторов в школьном курсе математики; выявлены связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе; составлен перечень «необходимых элементов» логики кванторов; разработана методика включения этих элементов в процесс обучения математике.

Теоретическая значимость исследования. Результаты исследования позволяют по-новому оценить и могут существенно изменить сложившиеся представления о роли кванторов в школьной математике и обучении ей, открывают дорогу дальнейшим исследованиям по проблемам логического характера школьного курса математики.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработана и внедрена методика включения «необходимых элементов» логики кванторов в процесс обучения математике.

Достоверность результатов исследования обеспечивается: чёткостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений и выводов, их согласованностью с концепциями базисных наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Кванторы — это не «сокращающие значки», каковыми их представляют во многих популярных изложениях математической логики, а важнейшие компоненты сложившейся к настоящему времени структуры мышления.

2. За небольшими исключениями типа равенств, составляющих таблицу умножения, каждое математическое предложение является, в явном или неявном виде, либо обобщением (начинается с квантора всеобщности), либо подтверждением (начинается с квантора существования). По этой причине правильное понимание предложений математики без явного или неявного осознания присутствия в них кванторов практически невозможно.

3. В силу первого и второго положений рассмотрение кванторно-ориентированной проблематики должно стать неотъемлемой частью процесса обучения математике. В частности, неотъемлемой частью процесса обучения математике должна стать совместная деятельность учителя и учеников, направленная на формирование умений: видеть кванторы в предложениях; правильно понимать предложения с кванторами; правильно формулировать утверждения с помощью кванторов; доказывать предложения с кванторами; применять предложения с кванторами; рассуждать в соответствии с основными законами логики кванторов; распознавать и разоблачать нарушения основных законов логики кванторов.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 2002 по 2006 г.

1-й этап (2002-2003). Изучение научной и методической литературы по проблеме исследования, посещение уроков учителей математики. Начало педагогической деятельности. Осознание первых проблем.

2-й этап (2003-2005). Преподавание в средней школе, на подготовительном отделении ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на курсах по подготовке к ЕГЭ по математике. Параллельно — работа с преподавателями математики в Ассоциации учителей профильных классов г. Коломны. Составление перечня «необходимых элементов» логики кванторов и разработка методики включения этих элементов в процесс обучения математике. Внедрение разработанной методики. Выявление её эффективности.

3-й этап (2005-2006). Уточнение, анализ, обобщение и систематизация результатов проведённого исследования. Оформление результатов исследования и анализа экспериментов в диссертационную работу.

Апробация и внедрение результатов исследования. Разработанная нами методика использовалась на уроках, факультативных и элективных курсах по математике в гимназии X9 2 «Квантор» и средней общеобразовательной школе № 12 г. Коломны, на подготовительном отделении ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на курсах по подготовке к ЕГЭ по математике.

Основные результаты исследования неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры алгебры и геометрии ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на научно-методическом семинаре по теории и методике обучения математике (Коломна, 2002-2006 г.г.), на Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Челябинск, 2004 г.; Саратов, 2005 г.; Киров, 2006 г.), на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005 г.) на заседании Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005 г.), на Международной конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики» (Волгоград, 2006 г.), на научно-методической секции математики и методики преподавания математики (Москва 2006 г.).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Камышов, Алексей Владимирович

Выводы по второй главе

Из всего выше сказанного в данной главе можно сделать следующие выводы.

1. Включение «необходимых элементов» логики кванторов в процесс обучения математике должно осуществляться поэтапно в соответствии с целями и задачами обучения.

2. Все умения, образующие перечень «необходимых элементов» логики кванторов, теснейшим образом связаны между собой. Поэтому формирование какого-нибудь одного из них непременно влечёт за собой формирование других.

3. Постановка кванторно-ориентированных вопросов должна непрерывно сопровождать обучение математике, так как способствует повышению эффективности обучения.

4. Результаты проведённого педагогического эксперимента свидетельствуют о том, что предлагаемая нами методика позволяет повысить качество знаний и способствует повышению интереса учащихся к математике.

В ходе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с целями и задачами исследования получены следующие научные результаты: определены место и роль кванторов в математике и школьной математике; составлен перечень основных законов логики кванторов; исследован вопрос об использовании законов логики кванторов в школьном курсе математики; показано, как учитель математики может эффективно использовать некоторые законы логики кванторов в своей работе; выявлены связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе; составлен перечень «необходимых элементов» логики кванторов; разработана и внедрена методика включения этих элементов в процесс обучения математике; проведён педагогический эксперимент по проверке эффективности предлагаемой нами методики, результаты которого подтверждают выдвигаемую в исследовании гипотезу.

Итак, цель нашего исследования достигнута, задачи решены, гипотеза подтверждена.

Безусловно, проведённое исследование не исчерпывает всей сложности проблемы. Полученные теоретические и практические результаты можно использовать для дальнейшего исследования логических проблем обучения математике в школе. Одним из направлений дальнейшего исследования может стать разработка методики обучения школьников проведению рассуждений в соответствии с правилами умозаключений логики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Камышов, Алексей Владимирович, 2007 год

1. Агаханов, Н.Х. Математические олимпиады Московской области / Н.Х. Агаханов, O.K. Подлипский. — М., 2003. — 224 с.

2. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар; пер. с фр. М.А. Шаталова, О.П. Шаталова; под ред. И.Б. Погребысского. — М., 2001. — 127 с.

3. Адамар, Ж. Различные типы математических умов / Ж. Адамар // Математика: хрестоматия по истории, методологии, дидактике / сост. Г. Д. Глейзер. М., 2001. - С. 367-374.

4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М., 1991. — 320 с.

5. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Ма-карычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляков-ского. — 6-е изд. — М., 1998. — 240 с.

6. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Ма-карычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляков-ского. — 4-е изд. — М., 1996. — 239 с.

7. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Ма-карычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляков-ского. 5-е изд. - М., 2000. - 272 с.

8. Александров, А.Д. Стереометрия. Геометрия в пространстве: учеб. пособие для учащихся старших классов и абитуриентов / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. — Висанинас, 1998.- 576 с.

9. Арно, А. Логика, или искусство мыслить: пер. с фр. / А. Арно, П. Николь. М., 1991. - 416 с.

10. Арнольд, В.И. Для чего мы изучаем математику? / В.И. Арнольд // Квант. 1993, № 1/2. - С. 5-15.

11. Арнольд, В.И. О преподавании математики / В.И. Арнольд // Успехи математических наук. —1998. — Т. 53, вып. 1(319). — С. 229-234.

12. Арнольд, В.И. Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции / В.И. Арнольд // Известия. — 1998, № 7. — С. 5.

13. Арнольд, В.И. Что такое математика / В.И. Арнольд. — М., 2004. -104 с.

14. Артёмов, А.К. Об эвристических приёмах при обучении геометрии / А.К. Артёмов // Математика в школе. —1973. — № 6. — С. 25-29.

15. Башмаков, М.И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики / М.И. Башмаков // Математика в школе.- 1988. -ДОЗ.- С. 4144.

16. Бескин, Н.М. Аксиоматический метод / Н.М. Бескин // Математика в школе. 1993. - ДО 3. - С. 25-30

17. Бескин, Н.М. Аксиоматический метод / Н.М. Бескин // Математика в школе. 1993. - № 4. - С. 48-54.

18. Бирюков, Б.В. О работах Г. Фреге по философским вопросам математики / Б.В. Бирюков // Философские вопросы естествознания.- М., 1959. Вып. 2. - С. 134-177.

19. Бирюков, Б.В. Роль логики и кибернетики в профессиональной подготовке учителя / Б.В. Бирюков, В.А. Гусев, А.А. Столяр // Математика в школе. — 1982. — № 1. — С. 77-78.

20. Блонский, П.П. Избранные педагогические произведения / П.П. Блонский. М., 1961. - 695 с.

21. Блонский, П.П. Избранные педагогические и психологические произведения. В 2-х т. Т. 1 / П.П. Блонский. М., 1979. - 304 с.

22. Блонский, П.П. Избранные педагогические и психологические произведения. В 2-х т. Т. 2 / П.П. Блонский. — М., 1979. 399 с.

23. Болтянский, В.Г. Анализ — поиск решения задачи / В.Г. Болтянский // Математика в школе. — 1974. — № 1. — С. 34-40.

24. Болтянский, В.Г. Как устроена теорема? / В.Г. Болтянский // Математика в школе. — 1973. — № 1. — С. 41-49.

25. Болтянский, В.Г. Использование логической символики при работе с определениями / В.Г. Болтянский // Математика в школе. —1973.- № 5. С. 45-50.

26. Болтянский, В.Г. Как учить поиску решения задач / В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов // Математика в школе. — 1988. — Л"» 1. — С. 8-14.

27. Болтянский, В.Г Лекции и задачи по элементарной математике / В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. М., 1971. -592 с.

28. Брунер, Дж.С. Процесс обучения / Дж.С. Брунер. — М., 1962. — 84 с.

29. Будак, A.B. Элементарная математика: руководство для поступающих в вузы / А.Б. Будак, Б.М. Щедрин. — М., 2002. — 690с.

30. Вейц, Б.Е. Язык школьного курса математики / Б.Е Вейц // Математика в школе. — 1977. — № 3. — С. 42-46.

31. Виленкин, Н.Я. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними / Н.Я. Виленкин, С.К. Абайдулин, Р.К. Та-варткиладзе // Математика в школе. — 1984. — JT® 4. — С. 43-47.

32. Волович, М.Б. Наука обучать: Технология преподавания математики / М.Б. Волович, — М., 1995. — 280 с.

33. Выготский, Л.С. Мышление и речь / Л.С. Выготский. — М., 1996. 416 с.

34. Выготский, Л.С. Педагогическая психология / Л.С. Выготский. — М., 1991. 480 с.

35. Гальперин, П.Я. Психология как объективная наука / П.Я. Гальперин. М., 1998. - 480 с.

36. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / JI.C. Ата-насян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М., 2002. — 384 с.

37. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / JI.C. Ата-насян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М., 1992. — 207 с.

38. Гладкий, A.B. Об уровне математической культуры выпускников средней школы / A.B. Гладкий // Математика в школе. — 1990. — ДО 4. С. 7-9.

39. Гладкий, A.B. Язык, математика и лингвистика / A.B. Гладкий // Математика в школе. — 1994. — ДО 1. — С. 2-9.

40. Гладкий, A.B. Математика в гуманитарной школе / A.B. Гладкий, Г.Е. Крейдлин // Математика в школе. — 1991. — ДО 6. — С. 6-9.

41. Глейзер, Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии / Г.Д. Глей-зер // Математика в школе. — 1991. — ДО 4. — С. 68-71.

42. Гнеденко, Б.Г. Об образовании преподавателя математики средней школы / Б.Г. Гнеденко // Математика в школе. — 1989. — ДОЗ.— С. 19-22.

43. Горбачёв, Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике / Н.В. Горбачёв. М., 2004. - 560 с.

44. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.; Харьков, 1998. — 336 с.

45. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: кн. для учителя / Я.И. Груденов. — М., 1990. — 224 с.

46. Гусев, В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дисс .докт. пед. наук. — М., 1990. -364 с.

47. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. М., 2003. - 432 с.

48. Давыдов, В.В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении / В.В. Давыдов. — Томск, 1992. — 116 с.

49. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения / В.В. Давыдов. — М., 1996. 544 с.

50. Дорофеев, Г.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы / Г.В. Дорофеев, Г.В. Муравин, Б.А. Седова. М., 2003. - 160с.

51. Дорофеев, Г.В. Математика: пособие для поступающих в вузы / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. — М., 2000. 560 с.

52. Дорофеев, Г.В. Гуманитарно ориентированный курс математики — основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. — 1997. — № 4. — С. 59-66.

53. Дорофеев, Г.В. «Алгебра и начала анализа» для X класса / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова // Математика в школе. — 2005. № 2. - С. 62-71.

54. Дорофеев, Г.В. Алгебра и начала анализа 10: тригонометрия / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова // Математика в школе. - 2005. - ^ 7. - С. 32-36.

55. Дорофеев, Г.В. Алгебра и начала анализа: 10 кл.: учеб. для общеоб-разоват. учреждений. В 2 ч. Ч. I. / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова. М., 2003. - 320 с.

56. Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл.: Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Пе-терсон. М., 1996. - 176 с.

57. Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл.: Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Пе-терсон. М., 1997. - 240 с.

58. Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл.: Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Пе-терсон. М., 1998. - 112 с.

59. Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл.: Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Пе-терсон. — М., 1999. — 154 с.

60. Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл.: Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Пе-терсон. М., 2002. - 176 с.

61. Единый государственный экзамен: математика: сб. заданий / Л.О. Денищева, Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др. — М., 2005. 224 с.

62. Единый государственный экзамен: математика: контрольные измерительные материалы. / Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др.; М-во образования РФ. — М., 2003. — 191 с.

63. Ежкова, В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики: дисс. канд. пед. наук. — М., 1999. 166 с.

64. Елифантьева, С.С. Технология изучения элементов математической логики в основной школе: дисс. . канд. пед. наук. — Ярославль, 2006. 227 с.

65. Калужнин, JI.A. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: пособие для учителей / JI.A. Калужнин. М., 1978. 88 с.

66. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: пер. с нем. В 2-х т. Т. 1 Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн. — 4-е изд. М., 1987. - 432 с.

67. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: пер. с нем. В 2-х т. Т. 2 Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн. — 2-е изд. М., 1987. - 416 с.

68. Клини, С.К. Введение в метаматематику: пер. с англ. / С.К. Клини.- М., 1957. 526 с.

69. Клини, С.К. Математическая логика: пер. с англ. / С.К. Клини. — М., 1973. 480 с.

70. Колмогоров, А.Н. Математика / А.Н. Колмогоров // БСЭ. — 2-е изд. -1954. Т. 26. - С. 464-483.

71. Колмогоров, А.Н. Современная математика и математика в современной школе / А.Н. Колмогоров // Математика в школе. — 1971.- № 6. С. 2-3.

72. Колмогоров, А.Н. Математическая логика / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. М., 2004. - 240 с.

73. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: математические задачи как средство обучения и развития учащихся. В 2-х ч. Ч. 1 / Ю.М. Колягин. — М.: Просвещение, 1977. — 110 с.

74. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: обучение математике через задачи и обучение решению задач. В 2-х ч. Ч. 2 / Ю.М. Колягин. — М.: Просвещение, 1977. — 143 с.

75. Колягин, Ю.М. Учись решать задачи / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян. М, 1980. - 96 с.

76. Концепция модернизации российского образования за период до 2010 года. М., 2002. - 24 с.

77. Крутецкий, В.А. Основы педагогической психологии / В.А. Кру-тецкий. — М., 1972. — 255 с.

78. Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс; пер. с англ. под ред. А.Н.Колмогорова. — 3-е изд. — М., 2004. — 568 с.

79. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И.Я. Лер-нер. М., 1980. - 96 с.

80. Любецкий, В.А. Основные понятия школьной математики / В.А. Любецкий. М., 1987. - 400 с.

81. Маркушевич, А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе / А.И. Маркушевич // На путях обновления школьного курса математики. — М., 1978. — С. 29-48.

82. Матросов, В.Л. Избранные статьи и доклады / В.Л. Матросов. — М., 1996. 255 с.

83. Матросов, B.Jl. Фундаментальность образования — наша стратегия / B.J1. Матросов // Газета МПГУ «Педагогический университет». -2004, №14-15.

84. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. М., 1971. - 320 с.

85. Методика преподавания математики в средней школе / сост. P.C. Черкасов, A.A. Столяр. — М., 1985. — 236 с.

86. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа: 10-11кл.: В 2 ч. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович.- 6-е изд. М., 2004. - 375 с.

87. Назиев, А.Х. Гуманитарно-ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе / А.Х. Назиев. — Рязань, 1999. -112 с.

88. Назиев, А.Х. Вводный курс математики (Введение. Действительные числа. Координаты.): учебное пособие / А.Х. Назиев. — Рязань, 1999. -104 с.

89. Назиев, А.Х. Вводный курс математики (Элементы математической логики): учебное пособие / А.Х. Назиев. — Рязань, 1999. — 125 с.

90. Назиев, А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах: дисс . докт. пед. наук.- М., 2000. 387 с.

91. Новиков, Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи) / Д.А. Новиков. — М., 2004. — 67 с.

92. Никольская, И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике / И.Л. Никольская // Преемственность в обучении математике. — М., 1978. — С. 24-36.

93. Никольская, И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: дисс. канд. пед. наук. — М., 1973. — 185 с.

94. Никольская, И.Л. Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов. — М., 1989. 192 с.

95. Нурк, Э.Р. Математика: учеб. для 6 кл. сред. шк. / Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. М., 1991. - 224 с.

96. Пайсон, Б.Д. О логической составляющей образовательной области «математика» / Б.Д. Пайсон // Математика в школе. — 2003. — № 2.- С. 10-14.

97. Патек, Я. Свобода и ответственность: к вопросу о философии образования / Я. Патек, И. Савицкий // Философия и социология науки и техники: Ежегодник 1988-1989. — М., 1989. — 328 с.

98. Петерсон, Л.Г. Как научить детей решать уравнения? / Л.Г. Петер-сон // Математика в школе. — 1994. — № 3. — С. 42-43.

99. Петров, В.А. О решении задач уровня С / В.А. Петров // Математика в школе. 2005. — Х'1. — С. 20-21.

100. Петров, В.А. Об использованиии графиков при выполнении заданий ЕГЭ типа С 4 / В.А. Петров // Математика в школе. — 2005. -ДО7.-С. 37-39.

101. Педагогика: учеб. пособие / под ред П. И. Пидкасистого. — М., 1996.- 602 с.

102. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды / Ж. Пиаже. — М., 1994. 680 с.

103. Погорелов, A.B. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / A.B. Погорелов. — 6-е изд. — М., 2005. — 224 с.

104. Погорелов, A.B. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / A.B. Погорелов. — 2-е изд. — М., 2001. — 128 с.

105. Пойа, Д. Как решать задачу?: пер. с англ. / Д. Пойа. — М., 1959.- 208 с.

106. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения: пер. с англ. / Д. Пойа. М., 1975. - 463 с.

107. Пойа, Д. Математическое открытие: пер. с англ. / Д. Пойа. — М., 1970. 452 с.

108. Программно-методические материалы: математика 5-11 кл. / сост. Г.М. Кузнецова. — 2-е изд. — М., 1999. — 192 с.

109. Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре. — М., 1983. — 560 с.

110. Рассел, Б. Человеческое познание, его сфера и границы: пер. с англ. / Б. Рассел. К., 1997. - 560 с.

111. Рубинштейн, СЛ. Проблемы общей психологии / СЛ. Рубинштейн.- М., 1973. 423 с.

112. Саранцев, Г.И. Обучение учащихся доказательству в курсе математики средней школы / Г.И. Саранцев // Гуманизация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. трудов. — Саранск, 1997. С. 7-19.

113. Саранцев, Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики / Г.И. Саранцев // Математика в школе. 1995. - № 5. - С. 36-39.

114. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии / Е.В. Сидоренко. СПб., 2001. - 350 с.

115. Смирнова, И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: дисс. . докт. пед. наук. — М., 1994. — 364 с.

116. Смирнова, И.М. Геометрия: учеб. пособие для 7-9 кл. общеобразо-ват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. — М., 2001. — 271 с.

117. Смирнова, И.М. О преподавании геометрии в гуманитарных классах / И.М. Смирнова // Математика в школе. — 1994. — К0- 1. — С. 42-45.

118. Смирнова, И.М. Геометрия: учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. профиля / И.М. Смирнова. — М., 1997. — 159 с.

119. Смирнова, И.М. Дипломная работа и магистерская диссертация: учеб. пособие / И.М. Смирнова. — М., 2005. — 120 с.

120. Спенсер, Г. Воспитание умственное, нравственное и физическое / Г. Спенсер // Соч. в 6-ти тт. Т. 6. С.-Пб., 1889.

121. Столяр, A.A. Логические проблемы преподавания математики: ав-тореф . дисс. докт. пед. наук. — М., 1967. — 37 с.

122. Столяр, A.A. Логико-математический язык в преподавании математики / A.A. Столяр // Математика в школе. — 1967. № 2. -С. 27-30.

123. Столяр, A.A. Педагогика математики. Курс лекций / A.A. Столяр. Минск, 1969. - 368 с.

124. Столяр, A.A. Логическое введение в математику / A.A. Столяр. — Минск, 1971. 224 с.

125. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология / Н.Ф. Талызина. — М., 1998. 288 с.

126. Тарский, А. Истина и доказательство / А. Тарский // Вопросы философии. 1972. - № 8. - С. 136-145.

127. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: пер. с англ. / А. Тарский. — М., 1948. — 326 с.

128. Тесты. Математика: варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования. — М., 2005.

129. Тесты. Математика: Варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования. — М., 2006.

130. Тимофеева, И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательства /И.Л. Тимофеева // Математика в школе. — 2004. № 10. - С. 42-50.

131. Тимофеева, И.Л. Логическая подготовка будущих учителей математики: монография / И.Л. Тимофеева. — М., 2005. — 224 с.

132. Тимофеева, И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. — 2005. — JV® 5. —1. С. 64-68.

133. Тимофеева, И.Л. Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе естественного вывода: автореферат дисс. докт. пед. наук. — М., 2006. — 40 с.

134. Тимофеева, И.Л. Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе естественного вывода: дисс. докт. пед. наук. — М., 2006. — 400 с.

135. Тимофеева, И.Л. Замечания о задачах на отрицание / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. — 2006. — ДО 6. — С. 65-66.

136. Ткачук, В.В. Математика — абитуриенту / В.В. Ткачук. — 10-е изд., испр. и доп. — М., 2003. — 910 с.

137. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену: математика / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская и др. — М., 2004. — 176 с.

138. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену: математика / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская и др. — М., 2005. — 224 с.

139. Фреге, Г. Избранные работы / Г. Фреге. — М., 1997. — 160 с.

140. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. В 2-х ч. Ч. 1 / Г. Фройденталь М., 1983. - 208 с.

141. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. В 2-х ч. Ч. 2 / Г. Фройденталь М., 1983. 192 с.

142. Фуше, А. Педагогика математики / А. Фуше. — М., 1969. — 128 с.

143. Хинчин, А.Я. Педагогические статьи / А.Я. Хинчин. — М., 1963. — 204 с.

144. Шарыгин, И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. завед. / И.Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М., 2002. — 368 с.

145. Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. завед. / И.Ф. Шарыгин. — М., 1999. — 208 с.

146. Шарыгин, И.Ф. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. — М., 1994. — 252 с.

147. Шарыгин, И.Ф. Решение задач: учебное пособие для И класса общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. — 2-е изд. М., 1995. - 384 с.

148. Шафаревич, И.Р. О некоторых тенденциях развития математики / И.Р. Шафаревич // Есть ли у России будущее? — М., 1991. — С. 549-556.

149. Эльконин, Д.Б. Избранные психологические труды / Д.Б. Элько-нин. М., 1989. - 560 с.

150. Юнг, Дж.В.А. Как преподавать математику / Дж.В.А. Юнг; пер. с англ. А.Р. Кулишер. — 3-е изд., испр. и доп. — М., 1911. — 296 с.

151. Quine W.V.O. Mathematical Logic. — Cambridge (Mass.), 1951. — 346 с.

152. Tarski A. Logic, semantics, metamathematics. — Oxford, 1956. — 471 c.

153. Wang Hao. From mathematics to philosophy. — London, 1974. — 428 c.

154. Поясним, что здесь понимается под внутренней проекцией 90.

155. Аналогично, с внесением естественных изменений, определяется внутренняя проекция графика предложения «.ж. .у. .г.» параллельно оси у на плоскость, определяемую условием «у = 0».

156. Приведём решения задач 2, 3 из п. 1.2.2.

157. Решение задачи 2. Пусть пара чисел (а; 6) такова, как требуется в задаче. Тогда равенство (1.10) выполняется при всех х. Значит, и при х = 0. В этом случае (1.10) принимает вид62 = cos62-l,откудаcos62 = 62 + l.

158. Так как при любом 6 cos б2 < 1 и б2 + 1 ^ 1, то последнее равенство возможно только при 6 = 0.

159. Таким образом, если существует хотя бы одна пара чисел (а; 6), удовлетворяющая требованию задачи, то 6 = 0.

160. Пусть 6 = 0. Тогда равенство (1.10) примет видa(cosx— 1) = cosax— 1. (2.11)

161. Пусть х = |. Тогда (2.11) в точности означает следующее:7г аcos — = 1 — а.а

162. Последнее равенство выполняется хотя бы для одного а, если и только если |1 — а\ ^ 1, откуда 0 < а < 2. С учётом того, что а — некоторое целое число, получаем, что либо а = 0, либо а = 1, либо а = 2.

163. Итак, искомыми могут быть только три пары чисел: (0; 0), (0; 1), (0; 2). Осталось проверить, какие из этих трёх найденных пар действительно являются искомыми.

164. Проверим первую пару чисел. Пусть а = Ь = 0. Тогда уравнение (1.10) принимает вид0 = 0.

165. Это равенство верно при любом х, значит, пара (0; 0) удовлетворяет условию задачи.

166. Пусть а = 1, Ъ = 0. В этом случае (1.10) принимает видcosa; — 1 = cosa; — 1.

167. И это равенство верно при всех х. Поэтому пара чисел (1; 0) нам подходит.

168. Наконец, пусть а = 2, 6 = 0. Тогда имеем:2(cosa; — 1) = cos 2а; — 1.

169. Чтобы понять, верно ли оно при всех х или нет, перепишем его следующим образом:cos2 х — cos х = 0.

170. Это равенство выполняется для всех тех и только тех х, при которых cosa; = 0 или cosa; = 1. То есть, оно выполняется не при всех х. Значит, пара чисел а = 2, b = 0 не удовлетворяет требованию задачи. Ответ: а = b = 0 или а = 1, 6 = 0.

171. Эта система выполняется для любого х € 1; 3., в частности, она выполняется прих — 1, х = 2, х = 3. А значит, должна выполняться система-1<2 + а + 6<1,-1<8 + 2а + Ь<1, -1<18 + За + &<1,3 — а < Ь ^ — 1 — а, -9 2а < Ъ < -7 - 2а, -19-За О<-17-За.

172. Проверкой убеждаемся, что пара чисел а — —8, Ь = 7 искомая. Ответ: а = —8, Ь= 7.

173. Реализуя идею А.Х. Назиева, покажем, как можно обосновать истинность высказывания

174. Ух){Чр){Зд){х2 + рх + д = 0)геометрически, пользуясь геометрической интерпретацией кванторов.

175. Пусть, например, р = 0. Тогда получаем предложение7 = -х2,графиком которого, как известно, является парабола. Эта парабола лежит в плоскости, определяемой условием «р = 0», то есть в плоскости хОд.

176. Пусть теперь р = 1. В этом случае (2.13) принимает видд = —х2 — х.

177. Снова видим, что графиком предложения «д = —х2 — х» является парабола, которая лежит в плоскости, определяемой условием «р = 1». И так далее.

178. При каждом значении к переменной «р» графиком предложения (2.13) будет парабола, лежащая в плоскости, определяемой условием «р — к».

179. Обратимся снова к предложению «д = —х2 — рх». При каждом значении р парабола «д = —х2 — рх» имеет следующие координаты своей вершины:1. Р Р2до =

180. Легко видеть, что все такие точки (яо;ро;до) расположены на параболе «д = ж2», лежащей в плоскости, определяемой условием «2ж + р = О».

181. График предложения (2.13) схематически представлен на следующем рисунке.

182. Несложно видеть, что проекция графика предложения «х2+рх + д — 0» параллельно оси Од на плоскость, определяемую условием д = 0, есть вся плоскость Охр. Значит, при любом х и любом р выполняется подтверждение3q)(x2 + px + q = 0).

183. Рис. 2.19: А это и означает, что высказываниеистинно.

184. Здесь мы продолжим обсуждение возможности использования известных свойств монотонных функций и свойство модуля при решений задач с параметрами уровня «С» ЕГЭ.

185. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими хорошо известными утверждениями (мы напомним и те из них, которые уже упоминались на с. 104-105).

186. Утверждение 8. Для любых неотрицательных чисел ¿1 и ¿2

187. Утверждение 10. Для каждого а > 0 и любых действительных чисел ¿1 и ¿2а'1 а'2 V 0 «-+ (а - 1) • (¿1 - ¿2) V 0.

188. Утверждение 9. Для любых действительных чисел ¿1 и ¿2

189. Если а — 1, то неравенство (2.14) не имеет решений. Значит, 0 < а < 1 иа^б нам не подходят.

190. Если 1<а<6, то0<ж<§5^ удовлетворяют неравенству (2.14). Натуральные числа расположены в интервале (0; , начиная с 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, посчитаем несколько сумм подряд идущих натуральных чисел:1 + 2 = 3, 1 + 24-3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

191. Отсюда ясно, что сумма всех натуральных чисел, принадлежащих интервалу (0; , больше 4, но меньше 7, если и только еслиоткуда 4,75 < а < 5. Ответ: (4,75; 5.

192. Задача 28. (62., № 260, с. 81) Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенстваа 8/ а + 2 2а\ 1 - < - 1--+ — (2.161. X X \ X X1) 4содержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 4.

193. Решение. 1. Преобразуем неравенство (2.16):а 8/. а + 2 2а\ х-а 8{х2 (а + 2)х + 2а)1.-< — 1--+ —) ^ —— <х2(х а) - 8(х - а)(х - 2)гр Т* \ 7» Г.2 I гр гр 31. Jb JU \ Ju / 'Л; KKJзг30(*-«)(*-4)2<0 х6-> хъ(х-а)(х -4)2 < 0 а)(ж - 4)2 < 0а) < 0, ж /4.

194. С помощью системы изобразим множество всех точек плоскости Оха, координаты которых удовлетворяют неравенству (2.16). Это множество представлено на рис. 2.21.а|