Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, доктор педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна

• Тимофеева, Ирина Леонидовна
• доктор педагогических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна

Введение.

Глава I. Теоретические основы логической подготовки будущих учителей математики.

1.1. Логическая подготовка студентов педвузов как предмет исследования.

1.2. Психолого-педагогические аспекты логической подготовки студентов.

1.3. Методологические аспекты обучения математической логике в педвузе.

1.4. Профессиональная направленность логической подготовки будущих учителей математики.

Глава II. Концепция инновационного курса математической логики на основе естественного вывода и ее реализация.

2.1. Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным построением.

2.2. Цели и содержание инновационного курса математической логики.

2.3. Разработка понятийного аппарата, теорем и доказательств. Методика формирования основных понятий.

2.4. Система задач по математической логике. Методические особенности проведения практических занятий.

2.5. Учебно-методическое обеспечение курса.

2.6. Описание экспериментальной части исследования.

Глава III. Применение средств естественного вывода в обучении доказательству.

3.1. Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике.

3.2. Дидактические модели понятия доказательства.

3.3. Анализ методов доказательства средствами естественного вывода.

3.4. Применение средств естественного вывода в обучении построению доказательств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода»

Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на учителе, особенно на учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.

В условиях модернизации отечественного образования, в частности, развития системы профильного обучения на старшей ступени общего образования, возрастает актуальность проблемы совершенствования математической подготовки будущих учителей математики, которая должна сочетать фундаментальность с профессиональной направленностью.

В процессе обучения будущего учителя математики особо важную роль играет логическая подготовка, стержнем которой служит курс математической логики.

В настоящее время потребность в логически грамотных учителях заметно возрастает. Это связано с тем, что элементы математической логики постепенно входят в сферу среднего образования: элементы логики выделены в государственном стандарте общего образования по математике; в некоторых школьных учебниках появились разделы, явно связанные с логикой; в лицеях и гимназиях все чаще логика изучается как самостоятельный предмет; появляются элективные курсы по логике. Велико значение логической составляющей курса математики в классах физико-математического профиля. Это требует повышения уровня логической подготовки выпускников педвузов, а значит, совершенствования обучения математической логике будущих учителей математики.

Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека, так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики.

Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широкие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и требуется специальная работа в этом направлении. Будущих учителей математики, т. е. тех, кто призван в дальнейшем обучать школьников дедуктивным рассуждениям, необходимо самих специально обучать дедуктивным средствам, используемым в математике, а также пониманию сущности математического доказательства и его логической структуры. Это требует основательной логической подготовки учителя математики, центральную роль в которой играет обучение математической логике.

Важнейшим объектом изучения математической логики являются математические доказательства. "Логика - это теория дедуктивного рассуждения плюс все, что потребуется в языке-объекте или метаязыке для адекватности, общности и простоты теории", - утверждает крупный американский логик А. Черч [318, с. 209].

В силу той роли, которую математическая логика играет в изучении природы математических доказательств, математических теорий, а значит, и математики в целом, она особенно важна для учителя математики. Однако если курс математической логики замыкается на внутренних для этой науки проблемах исследования логических исчислений и формальных теорий, то теряется возможность использования полученных в курсе знаний для анализа и построения математических доказательств. В результате курс математической логики отдаляется от потребностей учителя математики и практически не помогает ему в решении задачи обучения доказательству.

Математические доказательства являются основными объектами исследования математической логики и изучаются путем построения и анализа их математических моделей - формальных выводов в логических исчислениях. В математической логике разработаны два основных типа таких исчислений и два типа соответствующих им моделей.

Исторически первыми моделями доказательств являются линейные выводы в аксиоматических логических системах, которые принято называть исчислениями гильбертовского типа. Позже немецкому логику Г. Генцену, ученику Д. Гильберта, удалось разработать другой тип моделей - выводы в виде дерева в системах естественного (натурального) вывода. Эти модели являются более близкими к обычным доказательствам и более полно раскрывают их структуру и сущность, чем линейные модели. Однако курс математической логики традиционно строится на базе логических исчислений гильбертовского типа, а значит, в нем изучаются линейные модели доказательств. Такое построение курса ведет к возникновению ряда дидактических проблем, источником которых является отдаленность линейных моделей доказательств от содержательных доказательств и, как следствие, оторванность изучаемого в курсе материала от потребностей учителя математики.

Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики, в том числе проблемы профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации, дифференциации и интенсификации нашли отражение в работах известных специалистов в области теории и методики преподавания математики: P.M. Асланова, И.И. Баврина, М.Б. Во-ловича, В.А.Гусева, Г.Д.Глейзера, Ю.М.Колягина, Г.Л.Луканкина, В.Л.Ма-тросова, В.М.Монахова, А.Г. Мордковича, Г.И.Саранцева, З.И. Слепкань, И.М.Смирновой, А.А.Столяра, Н.А.Терешина, В.А.Трайнева, И.В.Трайнева, Л.М. Фридмана, Р.С. Черкасова, С.И. Шварцбурда и др. Среди фундаментальных исследований последних лет по этой тематике - докторские диссертации А.Л.Жохова, В.И.Игошина, И.И.Мельникова, А.Х.Назиева, А.И.Нижникова, Е.Н.Перевощиковой, В.Т.Петровой, И.С.Сафуанова, Е.И.Смирнова, А.Г.Солониной, Н.Л.Стефановой, В.А.Тестова, Л.В.Шкериной, А.В.Ястребова и др. Большой вклад в дело совершенствования системы высшего педагогического образования внесен ректором МШ У академиком В.Л. Матросовым.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В.Гладкий, Б.В.Гнеденко, Г.В.Дорофеев, Ф.Клейн, Л.А.Калужнин, А.Н.Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Маркушевич, Д. Пойя, Г. Фройденталь, А.Я. Хитин и др.

Некоторые логические аспекты математической подготовки будущих учителей математики затронуты в докторских диссертациях A.J1. Жохова, В.А. Тестова, В.Т. Петровой и др.

Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные исследования А.А. Столяра и И.Л. Никольской. Большое внимание методике обучения поиску и построению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты: М.Б. Волович, В А. Гусев, В.А. Далингер, И. Лакатос, Д. Пойя, Г.А. Саранцев, А.А. Столяр и др.

На серьезность проблем логической подготовки будущих учителей математики одним из первых обратил внимание А.А. Столяр. Позже различные аспекты логической подготовки студентов педагогических вузов явились предметом специального исследования в кандидатских диссертациях М.Е. Драбкиной, Ю.А. Моторинского, Т.В. Морозовой, С.А. Севастьяновой, А.В. Фоминой и в докторской диссертации А.Х. Назиева.

В перечисленных работах курс математической логики в педвузах не является предметом системного исследования. В то же время этот курс играет особую роль в логической подготовке будущих учителей математики, представляя собой ее важнейший этап.

Создателем первого курса математической логики для будущих учителей математики был выдающийся математик, логик и педагог, академик П.С. Новиков. Он разработал первую программу и написал первый учебник по математической логике для педвузов страны (Новиков П.С. Элементы математической логики - М.: Физматлит, 1959). Именно благодаря П.С. Новикову в самом начале 60-х годов прошлого века этот курс появился на математическом факультете МШИ (ныне МПГУ). Позже этот курс вошел в число обязательных и в других педвузах. Вслед за курсом математической логики на математическом факультете МГПИ появился самостоятельный курс теории алгоритмов. Большой вклад в развитие и сохранение лучших традиций этих двух курсов на протяжении почти полувековой их истории внесли последователи П.С. Новикова, работавшие на математическом факультете Mill У: Е.А. Щегольков, Ф.А. Кабаков, B.J1. Матросов, Ю.А. Макаренков и их ученики.

В последние годы интерес к преподаванию математической логики в педвузах заметно вырос. Так, в статьях Б.Д. Пайсона (2003-2005) обсуждается связь курса математической логики с логической составляющей школьного курса. С позиций технологического подхода исследован традиционно излагаемый курс математической логики в кандидатской диссертации И.А. Дудковской (2004).

Системное исследование проведено в докторской диссертации В.И. Игошина (2002), посвященной разработке профессионально-ориентированной методической системы обучения студентов педвузов основам математической логики и теории алгоритмов. В этой работе проведен глубокий анализ роли курса математической логики в подготовке будущих учителей математики. Однако разработанная система базируется на традиционном изложении математической логики, при этом обоснование профессиональной значимости курса опирается на дидактические возможности, главным образом, его языковой составляющей, а дедуктивная составляющая курса практически не использована.

Таким образом, диссертационные исследования по проблемам логической подготовки студентов педвузов не связывались с попытками существенным образом обновить содержание традиционно излагаемого курса, с разработкой нового подхода к формированию содержания дисциплины, способствующего более эффективному достижению целей курса.

В ряде работ рассмотрен нетрадиционный подход к обучению математической логике в педвузах. Построение важных разделов курса математической логики на базе секвенциальных исчислений предложено в работах М.М. Кипниса. На основе секвенциальных исчислений строится курс математической логики и в Новосибирском университете. Над проблемами конструирования нетрадиционного содержания курса математической логики в педвузе работает А.Б. Михайлов (РГГУ). Собственный подход к построению курса математической логики на основе естественного вывода в гуманитарном университете реализован в учебном пособии А.В. Гладкого. Однако ни один из перечисленных авторов не проводил системного исследования нетрадиционного построения курса математической логики.

В связи с этим разработки проблем совершенствования логической подготовки будущих учителей математики весьма далеки от реализации идеи приближения содержания курса математической логики (как теории дедуктивных рассуждений) к реальным дедуктивным рассуждениям и проблемам обучения доказательству в школе и вузе.

Проведённый анализ показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с логической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшими из них являются следующие противоречия:

- между потребностями современной школы в логически грамотных учителях математики и недостаточно высоким реальным уровнем логической подготовки выпускников педвузов;

- между практикой дедуктивных рассуждений и обучения доказательству в школе и вузе, с одной стороны, и оторванной от нее традиционно излагаемой в курсе математической логики теорией доказательств - с другой;

- между существованием естественной формально-логической основы обучения математической логике и отсутствием методической системы обучения математической логике на этой основе.

Указанные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования'. выявить, каковы возможности построения методической системы обучения студентов педвузов математической логике на естественной формально-логической основе.

Все изложенное определило выбор темы и актуальность исследования, посвященного совершенствованию логической подготовки будущих учителей математики, созданию методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода.

Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.

Предметом исследования является процесс обучения студентов математических факультетов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода.

Основная цель исследования - разработка концепции инновационного курса математической логики в педвузах на основе теории естественного вывода и создание методической системы обучения математической логике, позволяющей реализовать эту концепцию.

Гипотеза исследования состоит в следующем: обучение студентов педагогических вузов математической логике будет в большей степени профессионально направлено, доступно и эффективно, если:

- курс математической логики построить на основе естественного вывода, обеспечивая тем самым изучение наиболее адекватных, простых и наглядных моделей доказательств;

- усилить методологическую составляющую курса путем изучения конструктивного исчисления естественного вывода и проблем оснований математики;

- выявить возможности применения средств естественного вывода в обучении доказательству школьников.

Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования, которые можно разделить на три группы:

1. Задачи теоретического характера, связанные с разработкой теоретической части концепции обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода:

- проведение анализа логической подготовки будущих учителей математики, выделение и характеристика ее составляющих и этапов; выявление и анализ проблем традиционного обучения математической логике в педвузах;

- исследование методологических и психолого-педагогических аспектов логической подготовки;

- формулирование основных положений концепции инновационного курса математической логики на основе теории естественного вывода;

- выбор основных принципов формирования содержания инновационного курса;

- выявление и обоснование дидактических преимуществ обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением.

2. Задачи, связанные с практической реализацией концепции обучения студентов педагогических вузов математической логике на базе естественного вывода:

- формирование содержания инновационного курса математической логики на базе естественного вывода путем разработки версии теории естественного вывода, адаптированной для обучения студентов педвузов и соответствующей целям их логической подготовки;

- создание учебно-методического обеспечения инновационного курса математической логики, адекватного его содержанию;

- разработка частных методик обучения математической логике на базе естественного вывода.

3. Задачи, связанные с разработкой приложений средств естественного вывода к обучению доказательству в школе и вузе:

- разработка возможных применений средств естественного вывода в обучении математике при формировании понятия математического доказательства, анализе методов доказательства и обучении построению доказательств;

- разработка методического курса, посвященного проблемам логического характера в обучении математике, для студентов старших курсов педвузов и магистрантов физико-математического образования.

Теоретико-методологические основы исследования составляют:

- нормативные документы в сфере образования: Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года, Программа модернизации педагогического образования (2003), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004) и др.;

- современные концепции построения высшего педагогического образования (С.И. Архангельский, Ю.К. Бабанский, И.И. Баврин, В.П. Беспалько, Н.Ф. Талызина, Б.С. Гершунский, В.В. Давыдов, В.В. Краевский, Н.В. Кузьмина, B.JI. Матросов, М.В. Потоцкий, Ю.Г. Татур, М.В. Швецкий и др.);

- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, В.М. Монахов, А.И. Нижгшков, А.М. Пы-шкало, П.Г. Щедровицкий и др.);

- концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей математики (Г.Л. Луканкин, А.Г. Морд-кович, М.В. Потоцкий, Г.Г. Хамов и др.);

- концепция гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, Т.Н.Миракова, А.Х. Назиев и др.);

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.Н. Леонтьев, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина и др.);

- психолого-педагогические исследования (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная, Ж. Адамар, Ж. Пиаже и др.);

- исследования по методологии математического познания (Ж. Адамар, В.Ф. Асмус, Г. Вейль, А. Гейтинг, Д. Гильберт, М. Клайн, Н.М. Нагорный, А. Пуанкаре, В.Я. Перминов, Б. Рассел, Г.И. Рузавин, В.А. Смирнов, В.А. Успенский, Г. Фреге и др.);

- работы по методологии математического образования (В,И. Арнольд, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, В.А. Да-лингер, Г.В. Дорофеев, А.Л. Жохов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, И. Лакатос, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, В.М. Монахов, А.Х. Назиев, Д. Пойа, И.С. Сафуанов, И.М. Смирнова, В.А. Тестов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);

- работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Я.И. Груденов, В.А. Далингер,

Г.В. Дорофеев, JI.A. Калужнин, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.Д. Сему-шин, А.А. Столяр, И.М. Яглом и др.);

- научные исследования в области математической логики и ее преподавания (С.И. Адян, А.В. Гладкий, Ю.Л. Ершов, М.М. Кипнис, А.Н. Колмогоров,

A.А. Марков, B.JI. Матросов, А.Х. Назиев, Н.Н. Непейвода, П.С. Новиков,

B.А. Успенский, Д. Гильберт, Г. Генцен, С. Клини, Д. Правиц и др.).

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: теоретические (изучение и анализ философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; изучение и анализ научной литературы, учебных пособий и программ по математической логике и основаниям математики; изучение и анализ опыта преподавания математической логики в высшей школе; анализ, сравнение, обобщение и систематизация собственного многолетнего опыта преподавания математической логики в педагогическом вузе);

• экспериментально-диагностические (наблюдение, анкетирование и опросы студентов, собеседование, традиционная оценка уровня знаний студентов, беседы со студентами и выпускниками математического факультета МПГУ; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанного курса математической логики и статистическая обработка некоторых его результатов).

Научная новизна исследования заключается в том, что на основе интегрального применения деятельностного, модельно-наглядного и генетического подходов к обучению:

- создана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной логической системой.

Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода;

- разработана методическая система обучения математической логике студентов педвузов, включающая следующие компоненты: цели и содержание инновационного курса математической логики на базе естественного вывода; частные методики обучения математической логике на основе естественного вывода; учебно-методическое обеспечение курса математической логики - программу инновационного курса математической логики и комплект учебных пособий;

- разработаны применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе, а именно: при формировании понятия доказательства; при обучении методам доказательства; при анализе логической структуры доказательств; при поиске и построении доказательств;

- выделены и исследованы составляющие логической подготовки (языковая, дедуктивная и методологическая); раскрыты такие неизученные психолого-педагогические элементы логической подготовки студентов, как развитие логической рефлексии и логической интуиции; выявлены пути усиления методологической составляющей логической подготовки, связанные с изучением проблем оснований математики и конструктивного исчисления.

Теоретическая значимость исследования определяется следующим:

- разработана концепция обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода, основанная на интегральном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностно-го, когнитивно-визуального, модельно-наглядного и генетического, а также концепции гуманитаризации обучения математике;

- выявлены и обоснованы преимущества обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, на основании чего теоретически обоснованы усиление профессионально-педагогической направленности и повышение эффективности обучения студентов педвузов математической логике при построении этого курса на базе естественного вывода;

- раскрыто содержание психолого-педагогических понятий - логическая рефлексия, логическая интуиция, дедуктивная деятельность и др.;

- в результате всестороннего анализа логической подготовки будущих учителей математики выделены и исследованы ее составляющие (языковая, дедуктивная и методологическая), предложен новый её этап - логико-методический, исследованы методологические аспекты логической подготовки, связанные с изучением важнейшего неклассического исчисления - конструктивного;

- предложены: дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; анализ методов доказательства и логической структуры доказательств средствами теории естественного вывода; логические эвристики построения доказательств.

Практическая значимость исследования состоит в следующем:

- разработана методическая система обучения математической логике на базе естественного вывода, позволяющая повысить эффективность и усилить профессиональную направленность преподавания математической логики в педвузах;

- создано учебно-методическое обеспечение - программа и учебные пособия по математической логике, которые могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, и студентами педвузов при изучении этих курсов;

- материалы исследования, относящиеся к приложению средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике, на факультативных занятиях, на уроках математики в классах с физико-математическим профилем;

- использование результатов исследования позволяет повысить логическую культуру преподавания математики в средней школе и вузе, а значит, способствует повышению качества преподавания математики в целом.

Практическая значимость работы подкрепляется внедрением ее результатов в практику преподавания математической логики на математическом факультете Московского педагогического государственного университета и использованием некоторых ее результатов в других педвузах.

Дальнейшим продолжением работы может служить создание элективных курсов по изучению элементов математической логики на базе естественного вывода и их методического обеспечения для учащихся средней школы; разработка методики обучения учащихся дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях в рамках школьного курса математики в классах с физико-математическим профилем; разработка материалов для повышения квалификации учителей математики в области математической логики.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются четкостью выбранных методологических, математических, историко-научных, психолого-педагогических, философских и методических позиций, положенных в основание исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного и культурологического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанной системе коллег в Mill У и некоторых других педагогических вузах, имевших возможность использовать в своей работе разработанные автором программы, учебные пособия и методические разработки; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы, опытом коллег и учителей математики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная методическая система обучения математической логике студентов педвузов реализует теоретическую концепцию инновационного курса математической логики на основе естественного вывода.

2. Обучение математической логике на основе теории естественного вывода имеет ряд дидактических преимуществ по сравнению с традиционным обучением, важнейшими из которых являются адекватность выводов в виде дерева как моделей доказательств, наглядность их логической структуры и простота построения выводов в виде дерева.

3. Построение курса математической логики на основе теории естественного вывода позволяет усилить его профессионально-педагогическую направленность и повысить его эффективность.

4. Изучение конструктивной логической системы, наряду с классической, усиливает методологическую составляющую курса математической логики.

5. Средства естественного вывода имеют значимые приложения к обучению доказательству в школе и вузе при формировании понятия доказательства, анализе логической структуры доказательств и построении доказательств.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 1994 по 2005 гг.

На первом этапе была изучена научная и методическая литература по проблеме исследования, проанализированы достоинства и недостатки традиционной логической подготовки будущих учителей математики, определены ее этапы и составляющие. Создано несколько спецкурсов, учитывающих современные направления развития математической логики. Разработана методика параллельного изучения классического и конструктивного исчислений. На этом этапе была выдвинута гипотеза, конкретизированы цели и задачи исследования. Был подготовлен и проведен констатирующий эксперимент.

На следующем этапе было разработано содержание курса математической логики на основе естественного вывода сначала в рамках спецкурса, а затем в рамках основного курса математической логики, был проведен поисковый эксперимент. Определен подход к организации экспериментального обучения математической логике на базе естественного вывода, способствующий качественному усвоению инновационного материала и усилению профессиональной направленности курса. Целью этого этапа был поиск оптимального варианта методики обучения студентов математической логике на основе естественного вывода.

К 2003 г. завершена разработка методической системы обучения студентов педвузов математической логике на основе естественного вывода, включающая создание комплекта учебных пособий. С 2000 по 2005 гг. проводилось внедрение инновационного курса математической логики. На последнем этапе уточнялись, анализировались, обобщались и систематизировались результаты проведенного исследования, которые и были оформлены в данной работе.

Апробация работы. Различные аспекты, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на 20 конференциях по проблемам математического образования:

• на международных конференциях: "Современные проблемы преподавания математики и информатики" (Тула, 2004); "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004); "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2005); "58-е Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2005); "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2005); "Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы" (Петрозаводск, 2005);

• на всероссийских научно-методических и научно-практических конференциях:

Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000); "Информатизация общего и педагогического образования - главное условие их модернизации" (Челябинск, 2004); "Инновационные процессы в высшей школе" (Краснодар, 2004); "Математика в современном мире - 2004", посвященная 110-летию А .Я. Хинчина (Калуга, 2004); "Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации Российского образования" (Волгоград, 2004); "Колмогоровские чтения III" (Ярославль, 2005); "Актуальные проблемы модернизации школьного математического образования" (Барнаул, 2005); "Современный урок математики: Теория и практика" (Нижний Новгород, 2005); XXIV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Современные проблемы школьного и вузовского математического образования" (Саратов, 2005);

• на межрегиональных научно-практических и научно-методических конференциях:

Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке" (Москва, 2000); "Тенденции и проблемы развития математического образования" (Армавир, 2004); "Профессиональное образование на современном этапе развития общества" (Калуга, 2004); "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" (Сыктывкар, 2005); "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005).

Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались: на научном семинаре "Неклассические логики и вычислимость" в МГУ (Москва, 2002); на курсах АПК и ПРО МО РФ обновления содержания и методики преподавания естественно-математического образования (Москва, МПГУ, 2003); на научных сессиях МПГУ по итогам НИР, секции математики и методики преподавания математики (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004,2005).

Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах.

Разработанный автором инновационный курс математической логики читается на протяжении шести лет на математическом факультете МПГУ. Учебные пособия по математической логике, в которых реализована авторская концепция обучения математической логике, активно используются студентами и преподавателями МПГУ.

Некоторые материалы исследования более 20 лет используются в преподавании основного курса математической логики на математическом факультете МПГУ, а также при чтении различных спецкурсов и проведении спецсеминаров по математической логике, при написании курсовых, дипломных, бакалаврских работ и магистерских диссертаций.

На основе материалов исследования автором разработан и в 2005 г. прочитан методический спецкурс для магистрантов физико-математического образования "Приложения математической логики к обучению математике в школе".

Результаты исследования использовались в некоторых педвузах, имевших разработанные автором программы, учебные пособия и методические рекомендации.

Автор данной диссертации в 2003-2004 гг. принимал активное участие в разработке единой программы (пригодной для изложения курса математической логики независимо от формальной логической базы, на которой он построен), а также в работе по обновлению примерных программ МО РФ и стандартов ГОС ВПО второго поколения. Благодаря этому в обновленной версии указанных нормативных документов удалось отразить наиболее важные принципиальные установки авторской концепции.

По результатам диссертационного исследования опубликованы 53 работы общим объемом 75,78 п.л.: 1 монография, 5 учебных пособий, 2 учебных программы, 25 статей, 20 тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и 17 приложений. Общий объем работы 400 стр., из них 373 стр. - основной текст, 27 стр. - приложения; список литературы содержит 340 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Тимофеева, Ирина Леонидовна

Основные результаты исследования заключаются в следующем:

1. Проведен разносторонний анализ логической подготовки будущих учителей математики, а именно:

- выделены и проанализированы составляющие и этапы логической подготовки; указаны ее цели, выявлены проблемы и пути их решения;

- обоснованы значение методологической составляющей логической подготовки и возможность ее усиления;

- выявлены значение логической рефлексии и логической интуиции для будущих учителей математики и роль изучения математической логики в развитии этих качеств мышления.

2. Разработана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной системой естественного вывода. Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода.

3. Создана методическая система обучения математической логике на основе натурального вывода, включающая:

- содержание курса математической логики на базе естественного вывода;

- частные методики обучения математической логике на основе естественного вывода;

- программу курса математической логики и комплект учебных пособий по математической логике, в которых изложение теории доказательств базируется на естественном выводе.

4. Экспериментальная часть исследования подтвердила:

- возможность и доступность обучения студентов педвуза математической логике на базе естественного вывода, как в рамках курса математической логики, так и на спецкурсах;

- повышение познавательной мотивации и интереса студентов к изучению курса математической логики при построении его на базе естественного вывода;

- повышение эффективности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным изложением.

5. Разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательств и логической структуры доказательства; разработаны логические эвристики построения доказательств.

Учебно-методические материалы, созданные в процессе исследования, могут быть использованы преподавателями педвузов при изложении основного курса математической логики, спецкурсов по математической логике и методических спецкурсов логического содержания. Материалы исследования, относящиеся к приложениям средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы преподавателями различных математических дисциплин в педвузах и учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике и факультативных занятий, а также на уроках математики, особенно в классах с физико-математическим профилем.

Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследования возможностей применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе и служат фундаментом для разработки методики такого применения. Перспективны также дальнейшие исследования по развитию логической интуиции и рефлексии при обучении математике.

Проведенное теоретическое исследование и его экспериментальная проверка позволяют сделать вывод, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, положения, выносимые на защиту, обоснованы.

Заключение

Подведем итоги: сформулируем основные результаты исследования, сделаем выводы.

Без дедуктивных рассуждений невозможно построение и развитие математики вообще и школьной математики в частности. Поэтому углубленное изучение дедуктивных математических рассуждений является важнейшей составной частью математического образования будущих учителей математики. В школе закладывается интуитивное представление о математическом доказательстве, приобретается опыт проведения доказательств. Школьники получают при этом образцы аргументированного, доказательного рассуждения. Такого рода опыт и знания имеют более высокую ценность, чем знание многих отдельных математических фактов.

Для того чтобы грамотно обучать доказательству школьников, учитель математики сам должен обладать фундаментальными знаниями в области дедуктивных математических рассуждений. Такие знания будущий учитель математики получает при изучении курса математической логики. Обучение математической логике играет особо важную роль в математической подготовке будущих учителей математики, поскольку ее средствами систематизируются, обобщаются и уточняются интуитивные представления о математическом доказательстве, сложившиеся у студентов при изучении различных математических дисциплин. Однако традиционное преподавание математической логики в своей основной части - теории доказательств, основано на изучении линейных моделей доказательств, весьма далеких от реальных математических доказательств. Это не позволяет полностью реализовать возможности усиления профессиональной направленности курса.

Многолетний опыт преподавания математической логики на математическом факультете МПГУ, а также проведенное исследование показали, что существует реальная возможность совершенствования логической подготовки будущих учителей. Она состоит в инновационном построении курса математической логики на базе естественного вывода и углублении его методологической составляющей.

Список литературы диссертационного исследования доктор педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна, 2005 год

1. Х.Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

2. Адян С.И. Математическая логика // Математическая энциклопедия в 5 тт. М.: СЭ, 1982. т. 3. - С.567-574.

3. Арнольд В.И. Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции // Известия. -1998, №7 (16 января). С.5.

4. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук.1998, т. 53, вып. 1 (319). С. 229-234.

5. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. -М.: Высшая школа, 1980. 368 с.

6. Асланов P.M. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. М.: Прометей, 1996. - 129с.

7. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении М.: 1954 - 89 с.

8. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965.-311 с.

9. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. -М.: Педагогика, 1982. 192 с.

10. Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993, № 3 (С. 25-30) и №4 (С. 48-54).

11. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М.: Педагогика, 1989.- 192 с.

12. Ы.Болотов В.А., Сериков В.В. Компетентностная модель: от идеи к образовательной программе // Педагогика, 2003. № 10. - С.8 - 14.

13. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? // Математика в школе, 1973, № 3. -С. 41-49.

14. Болтянский ВТ. Формула наглядности: изоморфизм + простота// Советская педагогика, 1970. №5. - С.46-60.

15. Болтянский В.Г., Глейзер Т.Д., Черкасов Р. С. К вопросу о перестройке общего математического образования // Повышение эффективности обучения математике в школе / сост. Г.Д.Глейзер. -М.: Просвещение 1984 С.231-238.

16. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 456 с.19 .Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы. Автореф. дисс. .канд. пед. наук. М., 1984. -17 с.

17. Варпаховский Ф.Л. Лекции по математической логике: учеб. пособие. М.: Жизнь и мысль: Моск. учеб., 2004. - 128 с.21 .Вейлъ Г. Математическое мышление. Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

18. Верещагин Н.К., Шенъ А. Языки и исчисления, М.:МЦНМО, 2000. 286 с.

19. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований. // Математика в школе. 1986, № 6. С.7-14.

20. Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. 280 с.

21. Выготский Л.С. Мышление и речь // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. -М.: 1982. -С.5-361.

22. Вышенский В.А., Калужнин Л.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе // Математика в школе. -1970. -№1. С. 35-40.

23. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследование мышления в советской психологии. -М.: Учпедгиз. 1958.- 131с.

24. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение, пер.с англ. Под ред. и с коммент. А.А. Маркова. -М.: Мир, 1965. 200 с.

25. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М.-Л.: ОНТИ НКШСССР, 1936.-96 с.

26. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. -М.: Наука, 1967. С. 9-74.

27. Гетманова А,Д. Логика. -М.: Владос, 1994. -303с.

28. Гершунский Б.С. Философия образования для XXI века. М.: Изд-во «Педагогическое общество России», 2002. -512 с.

29. Гильберт Д. Проблемы обоснования математики // Основания геометрии. -М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948,- С. 389-399.

30. ЗА.Гилъберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики М.: ИЛ 1947. -304 с.

31. Гильберт Д, Бернайс 77. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. - 560 с.

32. Зв.ГшьбертД, Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. -М.: Наука, 1982.-653 с.

33. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, - 1972. - 288 с.

34. Гладкий А.В. Некоторые соображения о взаимоотношении между естественным языком и языком математической логики / Семиотика и информатика. Вын.12.-М.: ВИНИТИ, 1979.-С. 182-183.

35. Гладкий А.В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы // Математика в школе. 1990. - №4 - С.7-9.

36. АО.Гладкий А.В. Математическая логика. -М.: РГГУ, 1998.-480 с.

37. Гладкий А.В. Введение в современную логику. М.: МЦНМО, 2001. -200 с.

38. Гладкий А.В. Крейдлин Т.Е. Математика в гуманитарной школе // Математика в школе, 1991,№6.-С. 6-9.

39. АЗ.Глейзер Г Д. Цели общего образования в современном мире // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. - С.93-104.

40. Глухое М.М. Математическая логика. М.: Изд-во в/ч 33965, 1971. - 232 с.

41. Глухое М.М., В.А. Шапошников. Задачи и упражнения по математической логике. -М.: Изд-во в/ч 33965,1984. 100 с.

42. Гнеденко Б.В. Математическое образование в вузах. М.: Высшая школа, 1981,- 174с.41 .Гнеденко Б.В. О математике. М.: Эдиториал УРСС. - 2002. - 208 с.

43. Гнеденко Б.В. Об образовании преподавателя математики средней школы // Математика в школе. 1989, №3. - С. 19-22.

44. Гончаров С.С, ЕршовЮ.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М.: Интерпракс, 1994. - с. 255.

45. Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике М.: Просвещение, 1991208 с.

46. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 032100 Математика. - М., 2005.

47. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью. - М., 2005.

48. ЬЪ.Градштейн КС. Прямая и обратная теоремы. М.: Наука, 1973. - 128с.

49. Гранатов Г.Г. Рефлексивно-дополнительный подход в методологии непрерывного образования // Наука и школа, 2003, №4. С.24-29.

50. Грифцова И.Н. Логика как теоретическая и практическая дисциплина. К вопросу о соотношении формальной и неформальной логики. Эдиториал УРСС, 1998.- 152 с.

51. Гудстейн Р.Л. Математическая логика М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.-162с.

52. Гусев В.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в пединститутах // Совр. проблемы методики преподавания математики М.: Просвещение, 1985.-С.8-19.

53. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. докт. пед. наук. М., 1990. - 364с.

54. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.; Авангард. -1994.-168 с.

55. Гусев В.А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии // Математика: Еженедельное прил. к газ. "Первое сент." 2003, № 21- С. 11-15.

56. Гусев ВА. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум-М, Академия, 2003. - 432 с.

57. Дорофеев Г.В. Контрпримеры в математике. // Математика в школе, 1999, №1.

58. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999. - 292 с.

59. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990, № 6. - С. 2-5.

60. Ю.Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике-Минск: Вышейша школа. 1965 160 с.

61. Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дисс.канд. пед. наук. Минск, 1971. -22 с.

62. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М. Наука, 1979. 256 с.

63. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя. -М.: Просвещение, 2003. 223 с.

64. А.Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004. - 336 с.

65. Ершов ЮЛ., Палютин Е.А. Математическая логика- М.: Наука, 1979 — 320 с.

66. Ефремович В.А., Гладкий А.В. К вопросу о подготовке учителей математики в педагогических институтах // Математика в школе. 1989, № 3. - С. 15-19.

67. И.Жолъ К.К. Логика в лицах и символах. М.: Педагогика-Пресс, 1993. - с.256.1%.Жохов АЛ. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Монография. М.: ИЦ АПО, 1999.-150 с.

68. Жохов АЛ. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 1999. -40с.

69. Заир-Бек Е.С. Теоретические основы обучения педагогическому проектированию: Дисс. . д-ра пед. наук. СПб., 1995. - 410 с.81 .Загвязинский В.И. О современной трактовке дидактических принципов // Сов. педагогика, 1978, № 10.

70. Загвязинский В.И. Теория обучения: современная интерпретация: Учеб. Пособие. -Изд. Центр "Академия", 2004. 192 с.

71. ЪЪ.Зинченко В.П. Гуманитаризация подготовки инженеров // Вестник высшей школы.- 1986.-№10.

72. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования. -Н. Новгород: Изд. НГПУ, 1998.-206 с.

73. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 41с.

74. ИвинА.А. Искусство правильно мыслить. -М.: Просвещение, 1986.-224 с.

75. Ивин А.А. Строгий мир логики. М.: Педагогика, 1988. - 127 с.

76. ИвинА.А., Никифоров A.JI. Словарь по логике. -М.: Владос, 1998. 384 с.

77. Ивлев Ю.В. Логика: Учебник для студ. гуманитарных вузов. М.: Наука, 1994. -284 с.

78. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие дня студентов высших учебных заведений. Издательский центр "Академия", 2004-448 с.

79. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 1978. - 128с.

80. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика? М.: Наука, 1964. -152 с.

81. Калужнин Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании // Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. - С. 147-164.

82. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.-88 с.

83. КарриХ. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. - 568 с.

84. Кипнис М.М. Генценовские системы для исчисления высказываний и аксиоматической арифметики. Учебное пособие. Челябинск: Челябинский пединститут, 1985. - 32 с.

85. Кипнис М.М. Системы генценовского типа в преподавании математической логики в педагогическом институте / В сб.: Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах, вып. 64. М.: МГЗПИ, 1980. - С. 188-203.

86. Клайн М. Логика против педагогики // Математика (Сб. научно-методических статей), вып. 3. -М.: Высшая школа, 1973. С. 46-61.

87. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. 295 с.

88. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-434 с.

89. Климентов Н.Г., Моторинский Ю.А., Пайсон БД. О развитии логической грамотности студентов // Воспитание познавательной активности студентов при комплексном воздействии учебных и внеучебных форм работы. Барнаул, 1978.-С.91-92.

90. Клини С. Введение в метаматематику. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957. - 526 с.

91. Клини С. Математическая логика. Пер. с англ. -М.: Мир, 1973.-480 с.

92. Колмогоров А.Н. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики. Математика // Математический энциклопедический словарь. М.: СЭ, 1988. С. 7-38.

93. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 288 с. - (Б-чка "Квант". Вып. 64.).

94. Колмогоров А.Н. Современные взгляды на природу математики // Математика в школе. 1969, № 3. - С. 12-17.

95. Колмогоров А.Н. Элементы логики в современной школе // Математика в школе.-1971, №3.-С.7-14.

96. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2004. -240 с.

97. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. -110с.

98. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. -М.: Просвещение, 1977 143 с.

99. Кондаков ИМ. Логический словарь-справочник.-М., 1975.

100. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. О межпредметном значении логической составляющей курса математики // Математика в школе. 1980. - №3 -С.62-68.

101. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Официальные документы в образовании. 2002, № 4. - С. 3-31.

102. Котарбинъский Т. Лекции по истории логики. Биробиджан: ИП "Тривиум", 2000. - 166 с.

103. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969. -348 с.

104. Крейдлин Т.Е., Шмелёв А.Д. Языковая деятельность и решение задач / Математика в школе, 1989, № 3. С. 39-45.

105. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе. -М.: МГПИ. 1985. -118 с.

106. Кудрявцев ЛД Мысли о современной математике и ее изучении. М.: Наука, 1967. - 162с.

107. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.- 176 с.

108. Кудрявцев Л Д. Среднее образование. Проблемы. Раздумья. М.: МГУП, 2003. - 84 с.

109. Кузьмина И.В. Понятие «педагогическая система» и критерии ее оценки // Методы системного педагогического исследования. Л.: 1980. - С. 16-17.

110. КупиллариА. Трудности доказательств. -М.: Техносфера, 2002, 304 с.

111. Куратовский К, Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М.: Мир, 1970.-416 с.

112. Кушнер Б.А. Аренд Гейтинг: краткий очерк жизни и творчества. С.121-135 // Методологический анализ оснований математики М.: Наука. - 1988. -176 с.

113. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973.-448 с.

114. Лавров И.А., Максимова ЛЛ. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов М.: Физматлит, 2002. - 256 с.

115. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. -М.: Наука, 1967.-152 с.

116. Ланда ЛЛ. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975. - 64 с.

117. Лаптев В.В., Швецкий М.В. Методическая система фундаментальной подготовки в области информатики: теория и практика многоуровневого педагогического университетского образования. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 2000. - 508 с.

118. Латотин Л.А., Макаренков Ю.А., Николаева В.В., Столяр А.А. Математическая логика: Учеб. пособие под общ. ред. А.А. Столяра. Минск: Вышей-шая школа, 1991.- 269 с.

119. Лернер И.Я. Поиск доказательств и познавательная самостоятельность учащихся // Советская педагогика, 1974, № 7, С. 28-37.

120. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Педагогика, 1980.- 176 с.

121. Линдон Р. Заметки по логике / Пер. с англ. М.: Мир, 1968. - 128 с.

122. Логика и компьютер: Моделирование рассуждений и проверка правильности программ / Н.А. Алешина, A.M. Анисов, П.И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-238 с.

123. Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова и В.Г.Фарбера. М.: Педагогика, 1977. - 216 с.

124. Логический словарь ДЕФОРТ. М.: Мысль. 1994 - 268 с.

125. Луканкин ГЛ. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики. Автореф. дисс. докт. пед. наук. Л., 1990. - 41с.

126. Мадер В.В. Введение в методологию математики. М: Интерпракс, 1995464 с.

127. Мадер В.В. Тайны ряда N. М.: Просвещение, 1995. 192 с.

128. Маланюк ЕЛ., Маланюк МЛ. О формировании логической грамотности школьников // Сов. педагогика. -1979. №7. - С.69-74.

129. МанинЮ.И. Вычислимое и невычислимое. -М.: Сов. радио, 1980. 128 с.

130. Мант Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 168 с.

131. Мантуров О.В., Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии//Математика в школе, 1988,№3.-С. 38-41.

132. Марков А.А. О логике конструктивной математики. Вестник МГУ, сер. ма-тем.-мех., №2. 1970. - С.7-29.

133. Марков А.А. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984 80с.

134. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // На путях обновления школьного курса математики. М.: Просвещение. 1978. -С.29^48.

135. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.- 136 с.

136. Математическая логика и ее применение: Сб. статей: Пер. с англ.- М.: Мир, 1965.-341с.

137. Математическая теория логического вывода: Сб. перев. под ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минца. М.: Наука, 1967. - 352 с.

138. Марченков С.С., Матросов В.Л. Сложность алгоритмов и вычислений // Итоги науки и техники. -М.: 1979, Т.16. С. 103-139.

139. Матросов В.Л. Классы сложности и классы сигнализирующих вычислимых функций // ДАН СССР, 226, №3,1976. С. 513-515.

140. Матросов В.Л. Сложность вычислимых функций для обобщенной меры памяти // Математические заметки, т. 29, вып. 6,1981. С. 895-906.

141. Матросов В.Л. Теория алгоритмов. М.: Прометей, 1989. - 188 с.

142. Матросов В.Л. Избранные статьи и доклады. Магистр, 1996. - 255 с.

143. Матросов В.Л. О путях совершенствования подготовки учителей математики в педагогических вузах // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания. Юбилейный сборник. (130 лет МПГУ). -М.: Прометей, 2003. С. 3-7.

144. Матросов ВЛ. Фундаментальность образования наша стратегия// Газета МПГУ "Педагогический университет".- 2004, №14-15.

145. Матросов В.Л., ТрайневВА., Трайнев КВ. Интенсивные педагогические и информационные технологии. Организация управления обучением- М.: Прометей, 2000. 354 с.

146. Матросов В.Л., Макаренков Ю.А, Тимофеева И.Л. Практикум по теории алгоритмов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений.-М.: Прометей, 2005.-52 с.

147. Медведева О.С. Методические аспекты развития теоретического мышления учащихся в процессе решения математических задач М.: МПГУ, 2000. - 127с.

148. Мельников И.И. Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования в России. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 1999.-41 с.

149. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. -М. Наука, 1984. 320 с.

150. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студ. пед. ин-тов /А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М. Просвещение, 1985. - 336 с.

151. Методы системного педагогического исследования: Учебное пособие. М.: Народное образование, 2002. 208 с.

152. Миракова Т.Н. Дидактические основы гуманитаризации школьного математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 2001. - 54 с.

153. Михайлов А.Б. Введение в язык математики: учебное пособие для студентов математического факультета. СПб.: Изд-во РГПУ, 1997. - 98 с.

154. Михайлов А.Б. Об использовании математической модели понятия доказательства в курсе математической логики // Теоретические и методические проблемы в школе и вузе (математика, информатика): Межвузовский сборник научных трудов. С-Пб - Мурманск, 2001.

155. Михайлов А.Б., Плоткин A.M., Рисс Е.А., Яшина Е.Ю. Математический язык в задачах: сборник задач. СПБ.: Изд-во РПГУ им. А.И. Герцена, 2000. - 236 с.

156. Монахов В.М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы // Математика в школе. -1984, № 6. С. 5-9.

157. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дисс. докт. пед. наук. -М., 1986. 355 с.

158. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей // Математика в школе, 1984, №6.-С. 42^5.

159. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996, №6. С. 28-33.

160. Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити, 1998. - 560 с.

161. Морозова Т.В. Начала логики и методологии как средство профессиональной подготовки учителя математики: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -СПб., 1998.-20 с.

162. Моторинский Ю.А. Повышение уровня логического развития студентов математического факультета педагогического вуза при изучении темы "Элементы математической логики": Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1987. - 20 с.

163. Мышкис А.Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. №1,2003. - С. 37-52.

164. Нагорный Н.М. Андрей Андреевич Марков и его конструктивное направление в математике. С. V-XLVIII // Марков А.А. Избранные труды. Т.1. Математика, механика, физика. М.: МЦНМО, 2002. - с. V-XLIX.

165. Нагорный Н.М. Вместо предисловия ко второму изданию. С. VII-XLIV // Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. -М.: Фазис, 1996.-448 с.

166. Нагорный Н.М. Современные основания математики: восхождения к конструктивности // Закономерности развития современной математики. М.: Наука, 1987.-С.212-219.

167. Назиев А.Х. Введение в логико-математический язык. Имена и формы / Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах. (Сб. науч. трудов), вып. 64. М.: МГЗПИ, 1980. - С. 12-50.

168. Назиев АХ. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики педагогических вузов. Дисс. докт. пед. наук. М., 2000. -387 с.

169. Непейвода Н.Н. Прикладная логика: Учеб.пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. -521 с.

170. Нижников А.И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики. Автореф. дисс. . докт. пед. наук.-М., 2000.-44 с.

171. Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике // Преемственность в обучении математике. М., 1978. - С.24—36.

172. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: Дисс. канд. пед. наук.-М.: 1973. 185 с.

173. Новиков П.С. Аксиоматический метод. Математическая энциклопедия в 5 тт. -М.: СЭ, 1977.-т. 1.-С. 109-113.

174. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. - 328 с.

175. НовиковП.С. Элементы математической логики. -М.: Наука, 1973.-400 с.

176. Новиков С.П. О состоянии математического образования в педвузах СССР // Математика в школе. 1989, № 3. - С.8-13.

177. Образование, которое мы можем потерять / Сб. под общ. Ред. В.А. Садов-ничего. М.: МГУ, Институт компьютерных исследований. 2003. - 368 с.

178. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин ГЛ., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе-М.: Просвещение, 1980. 368 с.

179. Основы педагогики и психологии высшей школы: Учебное пособие / Под ред. А.В. Петровского. -М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. -303 с.

180. Пайсон БД. О логической составляющей образовательной области «математика» // Математика в школе. 2003, № 2. - С. 10-14.

181. Пайсон БД. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Авто-реф. дисс. канд. пед. наук. М.,. 1973. - 26 с.

182. Перевощикова Е.Н. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности. Автореф. докт. дисс. . пед. наук. Москва, 2000. - 46 с.

183. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

184. Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 40 с.

185. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. Пособие для учителей. М., 1960. - С. 10-30.

186. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под. Ред. В.Д. Шадрикова. -М.: Гардарики, 2002. -383 с.

187. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. -М. Изд-во МГУ, 1980. -149 с.

188. Подниекс КМ. Вокруг теоремы Геделя. Рига: Латв унт им. П.Стучки, 1981.-с. 191.

189. ПойаД. Как решать задачу. Пособие для учителей. М.: Педагогика, 1976. -206 с.

190. ПойаД. Математическое открытие / Пер. с англ. М.: Наука. 1970. - 324 с.

191. ПойяД. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. Изд. 2, испр. М.: Наука, 1975. - 463 с.

192. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. -М.: Просвещение, 1975.-208 с.

193. ПравицД. Натуральный вывод. -М. ЛОРИ, 1997. 108 с.

194. Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования. -М.: "Прометей" МПГУ, 2004. 896 с.

195. Программа дисциплины Математическая логика / Сост. Кабаков Ф.А., Матросов B.JL, Макаренков Ю.А., Тимофеева И.Л. М.: МПГУ, 2004. - 20 с.

196. Пуанкаре А. О науке. -М.: Наука, 1983. 560 с.

197. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: авторский доклад по монографии "Методика обучения элементам геометрии в начальных классах", представленной на соискание ученой степени докт. пед. наук. М.: 1975.

198. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука, 1972. -592 с.

199. Резник НА. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Дисс. . докт. пед. наук.-СПб. -1997.

200. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 176 с.

201. Рузавин Г.И., Таванец П.В. Основные этапы развития формальной логики / В кн.: Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962. -С. 16-52.

202. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М: Просвещение, 1987. -160 с.

203. Самоорганизация в природе и обществе. Философско-методологические очерки / В.Н. Михайловский, В.А. Кайдалов, А.И. Уемов и др. СПб.: Наука, 1994.-127 с.

204. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995, № 5. - С.36-39.

205. Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в школе, 1996 -№6. -С. 16-20.

206. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе, 1999, №6. С. 36-41.

207. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. -174 с.

208. Саранцев Г.И. Методика обучения математики в средней школе: учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002.-224 с.

209. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: Красный октябрь, 2001. - 144 с.

210. Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. -М, 2000.-39 с.

211. Севастьянова СЛ. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов.: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 1996. - 25с.

212. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. -М.: Наука, 1970.-283 с.

213. Сидоренко Е.А. Логика. Парадоксы. Возможные миры. М.: Эдиториал УРСС, 2002.-312 с.

214. Сидоренко Е.А. Общая теория логического следования // Теория логического вывода-М., 1973. С. 14-50.

215. Сидоренко В.А. Методы математической обработки в психологии. СПб.: ООО "Речь", 2000.-350 с.

216. Слепкань З.И Психолого-педагогические основы обучения математике. -Киев: Радяньска школа, 1983. 192 с.

217. Словарь русского языка в четырех томах. М.: Русский язык, 1985-1988. -Т. 4. С-Я.-1988.-800 с.

218. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. Пер. с англ. -М.: Прогресс, 1965. 368 с.

219. СмалльянР. Теория формальных систем.-М.: Наука. 1981.-208 с.

220. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: Наука, 1987.-230 с.

221. Смирнов В.А. Теория логического вывода -М.: РОССПЭН, 1999.-318 с.

222. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: Учеб. пособие. М.: Изд. центр "Академия", 2001. 304 с.

223. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. . докт. пед. наук. -М., 1994.-364 с.

224. Смирнова ИМ. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. М.: Прометей, 1994. -152 с.

225. Современные проблемы методики преподавания математики / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. -М.: Просвещение, 1985. 304 с.

226. Спиркин А.Г. Интуиция // БСЭ. 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 10 т.-1972.-С. 1017-1018.

227. Спиркин А.Г., Юдин Э.Г. Методология // БСЭ. 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 16 т. - 1974. - С.478-484.

228. Справочная книга по математической логике: в 4-х частях / под ред. Дж. Барвайса. -М.: Наука, 1982-83.

229. Стефанова H.JI. Теоретические основы развития системы методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. СПб. - 1996. - 32 с.

230. Столп Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.-231 с.

231. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Вышейшая школа, 1965. - 205 с.

232. Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск, 1966.

233. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики: Автореф. . .дисс. докт. пед. наук. М: 1967. - 37 с.

234. Столяр А.А. О некоторых применениях логики в педагогике математики // Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова, В.Г. Фарбера. М., 1977. -С.125-139.

235. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск: Вышейшая школа, 1982.-205 с.

236. Столяр А А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Минск: Вышейшая школа, 1986.-413 с.

237. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Народная асвета, 1987. - 144 с.

238. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе,-1990, № 6.-С.5-7.

239. Строгалов А.С., Шеховцов С.Г. Интеллектуальная деятельность, обучение и образование. М.: Изд-во. РГГУ, 2000. - 50 с.

240. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теории алгоритмов: Учебник (Высшее образование). М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004.-224 с.

241. ТакеутиГ. Теория доказательств. Перев. с англ. -М.: Мир, 1978.-412 с.

242. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Советская педагогика, 1967, №1. С.28-32.

243. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. -М.: ИЛ, 1948.-326 с.

244. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1948. - 326 с.

245. Терешин Н.А. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся: Дисс. в форме научного докл. докт. пед. наук. М., 1991. - 44 с.

246. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа-вуз). Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 36 с.

247. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999.-304 с.

248. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного // Математика в школе. -1994, № 3. С. 36-38.

249. Тимофеева И.Л. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. М., 2000. -90 с. - Деп.в ИТОП РАО 23.10.2000, №20-2000.

250. Тимофеева И.Л. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, Сб. статей, вып. 5. М.: Прометей, 2000. - С.28-30.

251. Тимофеева ИЛ. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.: Прометей, 2001. С. 131-137.

252. Тимофеева И.Л. Конструктивное доказательство теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сборник трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.:Прометей, 2001.-С. 83-89.

253. Тимофеева ИЛ. Совершенствование дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств. Автореф. дисс. .канд. пед. наук. -М.: МПГУ, 2001- 18 с.

254. Тимофеева И.Л. Математическая логика в вопросах и задачах. М.: Прометей, 2002.-112 с.

255. Тимофеева ИЛ. Математическая логика. Курс лекций. Часть I. М.: Прометей, 2003. - 144 с. Часть II. - М.: Прометей, 2003. - 164 с.

256. Тимофеева И.Л. Как устроено доказательство? // Математика в школе. -2004. № 8. - С. 74-81.

257. Тимофеева ИЛ. О логических эвристических средствах построения доказательств // Математика в школе. 2004. - № 10. - С. 42-50.

258. Тимофеева И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах // Математика в школе. 2005 - № 5. - С. 64-68.

259. Тимофеева ИЛ. Некоторые замечания об использовании логической символики при обучении математике // Математика в школе. 2005. - № 7. - С. 53-56.

260. Тимофеева И.Л. Развитие логической интуиции у будущих учителей математики // Наука и школа. 2005. - №6. - С. 15-19.

261. Тимофеева И.Л. Логическая подготовка будущих учителей математики: Монография. М.: Прометей, МПГУ, 2005. - 224 с.

262. Тодоров Л.В. Понятие культуры и построение теории содержания образования // Педагогика, 1998, №8. С. 3-11.

263. Уемов А.И. Логические ошибки: как они мешают правильно мыслить. -М.: Госполитиздат, 1958. 119 с.

264. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. М.: Мысль, 1971. -312 с.

265. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987, С.106-155.

266. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. 112 с.

267. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд.- М.: Физматлит, 2002. -126 с.

268. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть I. Основное общее образование // Официальные документы в образовании. 2004, № 25.

269. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть II. Среднее (полное) общее образование // Официальные документы в образовании. 2004, № 26.

270. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. с. 520.

271. Формирование приемов математического мышления. / Под ред. Н.Ф.Талызиной-М.: Вентана-Граф, 1995.-231 с.

272. Фомина А.А. Методика обучения будущих учителей информатики формальным языкам: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. С-Пб., 2003. - 15 с.

273. Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сб. трудов. М.: Аспект Пресс, 2000.-512 с.

274. Фрейденталъ X. Язык логики. М.: Наука, 1969. - 136 с.

275. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. -556 с.

276. Фридман JI.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М.: Педагогика, 1977.-208 с.

277. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. -М.: Просвещение, 1983. 160 с.

278. Фройденталъ Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. - М.: Просвещение, 1982.4.2. -М.: Просвещение, 1983. - 191 с.

279. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузах с точки зрения профессионально-педагогического подхода. СПб.: РГПУ, 1993.- 142 с.

280. Харичева Г.И. Проверяется сформированность логического мышления // Вестн. высш. шк. -1974. -№10. С.76-78.

281. Харичева Г.И. Формирование логических приемов мышления у студентов: Автореф. дисс. канд, пед. наук. М., 1975. - 23 с.

282. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. -204 с.

283. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002.-272 с.

284. Хомич В.И. Логика высказываний и исчисление высказываний: Учебное пособие по курсу "Математическая логика и теория алгоритмов". М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 43 с.

285. Цейтин Г.С. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.67, изд. АН СССР. 1962. -С.362-384.

286. Чень Ч, Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. -М.: Наука, 1983. 193 с.

287. Черкасов Р.С. Отечественные традиции и современные концепции в развитии школьного математического образования // Математика в школе. -1993, № 4 (С.73). №5 (С.75) и №6 С.7-14.

288. Черч А. Введение в математическую логику. Том первый. М.: ИЛ, 1960. -484 с.

289. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применения. -М.: Мир, 1965.-342с.

290. Шанин Н.А. О конструктивном понимании математических суждений. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.52, изд. АН СССР. 1958. — С.266—311.

291. Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям М.: Советское радио, 1973. -288 с.

292. ШенфилдДж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.

293. Шкерина Л.В. Профессионально-ориентированная учебно-познавательная деятельность студентов в процессе математической подготовки в педвузе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. М., 2000. - 38 с.

294. Щедровицкий Г.П. Система педагогических исследований (методологический анализ) // Педагогика и логика. М.: Касталь, 1993. - С. 16-200.

295. Щегольков Е.А. Упражнения и задачи по курсу математической логики. -М.: МГПИ, 1971.-46 с.

296. Эрдниев П. М. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики // Математика в школе, 1977, № 6. С.68-70.

297. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). -М.: Просвещение, 1978.

298. Якиманская КС. Психологические основы математического образования: Уч. пособие для студ. пед. вузов. М.: Издательский центр "Академия", 2004.-320 с.

299. Яновская СЛ. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. -280 с.

300. Ястребов А.В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студентов педвузов. Дисс.докт. пед. наук. Ярославль, 1997.

301. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс параллели и взаимосвязи. - Ярославль; ЯШУ, 1997. - 137 с.

302. ChagrovA. Zakharyashev М. Modal Logic. Clarendon Press. Oxford. 1997.

303. Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997,217 pp.

304. Dirk van Dalen. Lectures on Intuitionism. Lect. Notes Math., 1973,337, p. 1-94.

305. FittingM.C. Intuitionistic Logic, Model Theory and Forsing. NHPC, 1969.

306. Gentzen G. Untersuchungen uberdas logishe Schliessen. I, II, Mathematische Zeitschrift, vol 39,1934, pp. 176-210,405-443.

307. Jaskowsky S. On the rules of suppositions in formal logic. Studia Logica, no.l. Warsaw, 1934.

308. Lukasevwicz J.Z. Historii logiki zdan, "Przeglad Filoz.", rocz 37, zesz. IV, War-szawa, 1934, str. 435 (115).

309. Monk J. Donald. Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, 531 pp.

310. Rybakov V.V. Addmissibility of Logical Inference Rules. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, v.136, Elsevier, Asterdam, 1997.

311. Troelstra A.S., Schwichtenberg H. Basic Proof Theory. Cambridge University Press.-2000,418 pp.

312. СОДЕРЖАНИЕ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ