Структурная теория и подгруппы групп Шевалле над кольцами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Степанов, Алексей Владимирович

• Степанов, Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов, Алексей Владимирович

Оглавление

Введение

Образующие относительной элементарной группы

Локально-глобальный принцип и избавление от знаменателей

Коммутационные формулы

Нильпотентность К\

Ширина элементов

Классы Ашбахера

Теорема сэндвич классификации

Примеры сэндвич классификации

Надгруппы subring subgroup

Глава I. Обозначения и предварительные сведения

1.1. Группы и групповые функторы

1.2. Тождества с константами

1.3. О решетке подгрупп

1.4. Кольца

1.5. Аффинные групповые схемы

1.6. Представления групповых схем

1.7. Большие подфункторы аффинных групповых схем

1.8. Системы корней

1.9. Алгебры и группы Шевалле

1.10. Коммутационная формула Шевалле и параболические подгруппы

1.11. Разложения Брюа и Гаусса

1.12. Относительная элементарная группа и принцип расщепления

Глава II. Элементарные вычисления

2.1. Унипотентные радикалы противоположных параболических подгрупп

2.2. Образующие относительной элементарной группы

2.3. Ненормальная элементарная подгруппа

2.4. Избавление от знаменателей

2.5. Локально-глобальный принцип

2.6. Стандартные коммутационные формулы

2.7. Относительные версии принципов

Глава III. Структура групп Шевалле над кольцами

3.1. Ключевая конструкция

3.2. Усиление избавления от знаменателей и ключевая лемма

3.3. Расширенная элементарная подгруппа

3.4. Ширина коммутаторов

3.5. Относительная ключевая лемма

3.6. Относительные коммутационные формулы

3.7. Нильпотентпая структура Кх

Глава IV. Подгруппы, нормализуемые группой над подкольцом. Системы

корней с двойными связями

4.1. Вычисление уровня

4.2. Извлечение корневых элементов из унипотентного радикала

4.3. Внутренние модули Шевалле

4.4. В параболической подгруппе

4.5. Неприводимость рациональных представлений

4.6. Описание нормализатора

4.7. Противоположные корневые унипотенты

4.8. Маленькие элементы и тождество с константами

4.9. Теорема сэндвич классификации

4.10. Подгруппы, нормализуемые Е(К)

Глава V. Подгруппы, содержащие группу над подкольцом. Системы

корней с простыми связями

5.1. Построение противоположных унипотентов

5.2. Свободные произведения

5.3. Нестандартность решетки подгрупп для квазитрансцендентных расширений

5.4. Простейшие свойства квазиалгебраических расширений

5.5. Характеризация квазиалгебраических расширений

Основные обозначения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурная теория и подгруппы групп Шевалле над кольцами»

Введение

В настоящей диссертации изучаются группы точек групповых схем Шевалле-Демазюра над коммутативными кольцами. В основном изучаются свойства этих групп как абстрактных групп, например решетка их подгрупп. Несмотря на это, техника групповых схем играет в диссертации важнейшую роль.

Пусть С — С(Ф,_) - групповая схема Шевалле-Демазюра, Е - ее элементарная подгруппа, ЙС А - коммутативные кольца, а ^ - идеал в Я. В диссертации изучаются следующие проблемы:

• образующие относительной элементарной группы Е(Я,ц);

• коммутационные формулы;

• нильпотентная структура группы К^(Я, ц) = ^(Я, q);

• ограниченность длин элементов группы по отношению к некоторому множеству образующих;

• расположение подгрупп группы нормализуемых Е(Я,).

Этим вопросам были посвящены сотни работ. Начиная с работ X. Басса [72, 4] по алгебраической К-теории, X. Басса, Дж. Милнора и Ж.-П.Серра [73] по решению конгруэнц-проблемы, Дж.Уилсона [133] и И. 3. Голубчика [29] о нормальной структуре полной линейной группы, А. А. Суслика [50] и Д. Квиллена [111] по решению проблемы Серра, линейные группы над коммутативными кольцами привлекали пристальное внимание специалистов как в России, так и за рубежом.

Центральным результатом, различные аспекты которого обобщаются в настоящей диссертации, является теорема Л. Н. Васерштейна и И. Абе о нормальном строении групп Шевалле, полученная ими в работах [61, 129, 60]. Для того, чтобы не перегружать введение техническими деталями, сформулируем версию этой теоремы из работы [129]. В этой работе предполагается, что маленькие простые числа обратимы для некоторых систем корней; это условие сформулировано в диссертации, как свойство 4.1.1. Напомним, что q) обозначает ядро канонического гомоморфизма —>• С(Ду^), а С(Я, q) - полный прообраз центра при этом гомоморфизме.

теорема. Пусть Ф - приведенная неприводимая система корней ранга большего 1. a R - коммутативное кольцо, удовлетворяющее условию 4.1.1. Для любой подгруппы H группы Шевалле G(R) = G($(JR), нормализуемой элементарной подгруппой E(R), существует единственный идеал q кольца R такой, что

E(R, q) < Я < C(R, q),

При этом

[E(R, q), G(R)} = [E(R), C(R, q)] - E(R, q).

В частности, любая подгруппа леэ/сащая меэюду E(R, q) и C(R, q) нормализуется элементарной группой.

Таким образом, решетка С подгрупп группы Шевалле G{R), нормализуемых элементарной подгруппой E(R), разбивается в дизъюнктное объединение "сэндвичей" h(KE(R, q), С(Д, q)). Так как факторгруппа C(R, q)/G(R, q) изоморфна центру группы Шевалле G{R/q), который хорошо известен, то важным аспектом описания решетки С является вычисление факторгруппы Kf (Л, q).

Теорема об образующих относительной элементарной группы E{R, q), восходящая к работам Ж. Титса [127], Л. Н. Васерштсйна и А. А. Суслина [28] (полное доказательство приведено в работе [129]), существенно упрощает доказательство коммутационных формул из теоремы, также как и изучение группы K.f(R, q). Более точная информация об образующих E{R, q) может быть использована для изучения вопросов стабилизации и предстабилизации Kf (R, q).

Другим аспектом строения элементарной подгруппы является ширина (или, что то же самое, длина) ее элементов в некотором множестве образующих. Известная гипотеза Ope утверждает, что над произвольным полем любой элемент конечной неабелевой простой группы является коммутатором. Эта гипотеза была доказана Е. Эллерсом и H. JI. Гордеевым для массового случая в работе [84]. Оставшиеся исключения разобраны в работе [108] М. Либека, Е. А. О'Брайана, А. Шалева и П.Х. Тьепа. Аналогичный результат верен и для простых групп Шевалле над бесконечными полями. Над произвольными кольцами настолько точный результат конечно не имеет место. Более того, даже класс колец, для которого ширина элементов элементарной группы ограничена, очень невелик, он включает в себя нульмерные и некоторые арифметические кольца. Вопрос об ограниченности ширины до сих пор остается открытым для таких простых колец, как Х[х] и Fp[x']. Как показано в работе Й. Шалома [114], ограниченность ширины элементов группы Шевалле в элементарных образующих связана с

вычислением константы Каждана, являющейся важным инвариантом теории представлений. Известно также, что конечность ширины элементарной группы связана с конгруэнц-проблемой.

В диссертации доказано, что ширина множества коммутаторов в элементарных образующих конечна. Это, в частности, доказывает, что ограниченность ширины по отношению к элементарным образующим и по отношению к множеству всех комутаторов эквивалентны, а также позволяет определить абелеву группу, являющуюся препятствием к ограниченности ширины.

Далее во введении мы приведем детальное описание истории проблем, решаемых в диссертации, а также подробно расскажем о полученных автором результатах и разработанных методах. Подробные обозначения приведены в главе I.

Образующие относительной элементарной группы

Пусть q - идеал кольца Я. Напомним, что Е(с\) обозначает подгруппу в порожденную элементарными корневыми унипотентными элементами ха{г) по всем а € Фиг £ ц, & Е(Я., q) - ее нормальное замыкание в группе Е(Я). Сразу видно, что относительная элементарная подгруппа Е(Я, ц) порождена всеми элементами вида ха(г)а, где а е Ф и г е (], а й е Е(Я). Так как ха(г)Х0^\ где а / Е Ф, а 5 £ Д, с помощью коммутационной формулы Шевалле выражается через произведение корневых элементов уровня q, т.е. принадлежит Е(с[), то кажется весьма правдоподобным, что достаточно брать а = х_а(5). Другими словами, Е(Я, ц) порождена уже элементами га(г, в) = ха(г)х~а^ по всем а Е Ф, г £ с| и й Е й.

Оказывается, это действительно так. Впервые этот результат для С = ЭЬП был использован в работе Л. Н. Васерштейна и А. А. Суслина [28] при доказательстве включения Е(Я, q2) ^ Е(ц). Для произвольной группы Шевалле С это включение было сформулировано (без доказательства) в работе Ж. Титса [127]. Так как простейший путь доказательства включения использует теорему об образующих относительной элементарной группы, то можно предположить, что эта теорема была хорошо известна специалистам уже в 1976 году. Удивительно, что полная формулировка и доказательство этого результата появилось только 80-е годы в статьях Л. Н. Васерштейна [128] для полной линейной группы над некоммутативным кольцом и [129] для всех групп Шевалле.

Опубликованный в работе [129] способ доказательства, был предложен рецензентом этой статьи. Фактически, именно его идея, переформулированная

па язык параболических подгрупп, использована во второй главе настоящей диссертации. Для относительной элементарной группы, соответствующей допустимой паре, аналогичный результат был получен И. Абе в работе [60].

Для линейного случая в работе [97] в связи с изучением предстабилиза-ции Ki В. ваи дер Каллен заметил, что относительная элементарная группа Еn(R, q) равна нормальному замыканию En(q) при помощи подгруппы, порожденной элементарными трансвекциями tu(r), i = 2,.. ., n, г 6 R. Этот результат (практически без доказательства) для классических групп был применен в работе [63] к доказательству относительного локалыю-глобального принципа.

В настоящей диссертации доказан результат, являющийся совместным обобщением результатов работ [129, 97, 63] об образующих относительной элементарной группы. А именно, теорема 2.2.3 настоящей работы утверждает, что E(R,c\) порождена группой Е{q) и образующими za(r, s), где г £ q, s G Я, а а пробегает специальную (антисимметричную) часть некоторого параболического множества корней. Этот результат, полученный автором в работе [122] несомненно найдет свои применения для изучения вопросов стабилизации и предстабилизации младших К-функторов.

Локально-глобальный принцип и избавление от знаменателей

Локально-глобальный принцип (ЛГП) для Ко был доказан в работе Д. Квил-лена [111] для доказательства гипотезы Серра. Вариант этого принципа для Ki был доказан A.A. Суслиным в [50], как важный шаг в доказательстве Ki-аналога проблемы Серра. Для ортогональных групп ЛГП Суслина был получен в работе А. А. Суслина и В. И. Копейко [51]. Для симплектической группы ЛГП был анонсирован в работе В. И. Копейко [34], а позже доказан в работе [87] Ф. Грюневальда, Й. Меннике и Л. Н. Васерштейна. Аналог этого результата для групп Шевалле был получен И. Абе в работе [59] при некотором дополнительном условии. Недавно результат был обобщен на изотропные редуктивные группы В. А. Петровым и А. К. Ставровой [43] без дополнительных условий. Относительная версия ЛГП для классических групп была получена в работе X. Апте, П. Чаттопадхиаи и Р. Pao [63]. Теорема 2.7.4, полученная в совместной работе автора с X. Апте [64] обобщает все вышеуказанные результаты для групп Шевалле.

ЛГП играет важную роль при изучении гомотопической инвариантности нестабильных K-функторов. Технически, он чисто формально следует из принципа избавления от знаменателей. Именно последний принцип играет ключевую

роль в настоящей диссертации. В классической формулировке он утверждает, что для элемента а G E(Rs[t], tRs[t}), где Ду^] - кольцо многочленов над локализацией кольца R в мультипликативном подмножестве S, можно избавиться от знаменателей, подставляя вместо независимой переменной t любой элемент вида sr для некоторого достаточно большого (в смысле отношения делимости) элемента s £ S. Другими словами, et^sr{a) лежит в образе группы E(R) под действием гомоморфизма локализации, где £t->sr '■ Rs обозначает гомо-

морфизм подстановки. Это утверждение близко по духу к утверждению о том, что сопряжение в группе E(Rs) непрерывно в б'-адической топологии (база окрестностей нуля состоит из образов идеалов sR по всем s Е S).

Классическая формулировка принципа избавления от знаменателей вытекает из включения E{R, smR) ^ E(sR) для некоторого натурального т (для групп Шевалле включение имеет место при т = 3, а при Ф ф С\ даже при т = 2). Включение же, как было замечено в предыдущем параграфе, сразу вытекает из теоремы об образующих относительной элементарной группы и коммутационной формулы Шевалле.

Если элемент Ъ Е G(R[t], [t]i?[t]) таков, что его образ под действием локализации в мультипликативном подмножестве S лежит в элементарной группе, то по принципу избавления от знаменателей образ элемента £t_>sr(b) лежит в образе группы E(R) при подходящем s Е S и любом г 6 R. Верно ли в этом случае, что et~+Sr{b) £ E{R)t Так как гомоморфизм локализации не является инъективным, то вообще говоря, это может быть не так. Однако этого можно добиться увеличивая элемент s. Этот способ борьбы с делителями нуля был изобретен етцс A.A. Суслиным в работе [50].

Для приложений в главе III нам понадобится заменить в принципе избавления от знаменателей независимую переменную t на произвольный элемент базового кольца. Естественно, в этом случае роль гомоморфизма подстановки £t^sr играет факторизация по модулю элемента t — sr. В такой формулировке над кольцом Rs принцип избавления от знаменателей следует из классического чисто формально. Однако для того, чтобы поднять результат в исходное кольцо R требуется использовать новый способ борьбы с делителями нуля, разработанный автором в работах [71] и [115] и использующий редукцию по нильпотент-ному радикалу кольца R. Платой за это является необходимость рассматривать односвязные группы Шевалле для того, чтобы гарантировать включение G(R, Rad R) ^ E(R).

Кроме замены независимой переменной на произвольный элемент кольца, в отличии от предыдущих работ мы рассматриваем относительную версию принципа избавления от знаменателей. Оказывается, что в этом случае правильным аналогом группы E(R, tR) является не E(R, tq), как можно было бы подумать, а взаимный коммутант относительных элементарных групп E(R, tR) и E(R, q) (здесь R - основное кольцо или его локализация, t € R, а q - идеал в R). В такой форме принцип избавления от знаменателей появился впервые в работах [64], [122] и [49]. Он существенно усиливает все полученные ранее аналоги.

Коммутационные формулы

Нормальность элементарной подгруппы в полной линейной группе над коммутативным кольцом была впервые доказана А. А. Суслиным [50] в 1977 году. Доказательство Суслина было построено на "лемме Суслина" о решениях линейного уравнения над коммутативным кольцом с унимодулярной строкой коэффициентов. В кандидатской диссертации автора было предложено другое доказательство нормальности элементарной подгруппы, основанное на методе разложения трансвекции. Идеи и приложения этого метода были опубликованы позже в работах [22, 123]. Позже выяснилось, что для любой пары стандарных максимальных параболических подгрупп в GLn есть свое разложение трансвекции.

Однако метод разложения трансвекции не работает в некоммутативной ситуации и доступен не во всех группах Шевалле. Поэтому в дальнейших работах применялись в основном различные варианты метода локализации. Так этот результат был обобщен на некоторые классы некоммутативных колец A.A. Суслиным [55], JI. Н. Васерштейном [128], А. Баком [68] и С. Г. Хлебутиным [56]. Нормальность элементарной подгруппы в классических группах впервые была получена в работах А. А. Суслина и В.И.Копейко [51, 35]. Окончательный результат о нормальности элементарной подгруппы во всех группах Шевалле был доказан Дж. Таддеи [125]. Недавно В.А.Петров и А. К. Ставрова [43] доказали нормальность элементарной подгруппы в любой редуктивной группе изотропного ранга не меньшего 2. Их доказательство использует ЛГП также, как сделано в настоящей диссертации.

Стандартные коммутационные формулы

[G(R)t E(R, q)] = [G(R, q), E{R)) = E(R, q)

были впервые получены в работах JI. Н. Васерштейна [128], 3. И.Боревича и Н.А.Вавилова [9] для G = К 1986 году, когда Дж.Таддеи доказал нормальность элементарной подгруппы в любой группе Шевалле, уже было известно, как вывести из этого результата стандартные коммутационные формулы. Это было сделано JI. Н. Васерштейном в работе [129]. Прием, позволяющий это сделать, был изобретен М.Р. Стейном для определения относительных Бифункторов, он называется удвоение кольца вдоль идеала.

Фактически, удвоение кольца вдоль идеала - это один из способов применения принципа расщепления: исходное кольцо вкладывается в большее, где исходный идеал становится расщепляющим, т.е. R = Rr 0 q, где R! - некоторое подкольцо в R. Другой способ использовать расщепление - формальное добавление единицы к кольцу без единицы q, т. е. замена исходного кольца R на Z 0 q. В дальнейшем результат проектируется в исходное кольцо при помощи естественного гомоморфизма Z0q —R. В настоящей диссертации развивается третий путь - получение результата для общего элемента д Е G{A) схемы G, где А = Z[G] - аффинная алгебра схемы G, а затем отображение этого элемента в произвольный элемент группы G(R). При этом используется тот факт, что д лежит в главной конгруэнц-подгруппе уровня фундаментального идеала I алгебры А, который является расщепляющим; легко видеть, что А = Z 0 I.

Очевидным обобщением стандартных коммутационных формул является вычисление взаимного коммутанта [G(R, a), E{R,b)}, где а и b - идеалы кольца R. Тем не менее, ответ не сразу очевиден. Оказывается, что этот коммутант содержится в группе

EE{R, а, Ь) = E{R, ab) • [Е(Я, а), E{R, b)],

которая появляется также в относительном принципе расщепления 1.12.2. Легко доказать (см. [26]), что в случае а+ b = R последняя группа равна E(R, ab). В общем случае контрпример к равенству [E(R, a), E(R, b)] = E{R, ab) построен А. Мэйсоном в работе [103] уже для G — SL^. О другой стороны, если Ф ф G[,G2 или двойка обратима в R, то EE(R, a, b) = [E(R, a), E(R, b)], см. [90, Lemma 17]. Включение

[С(Я, a),E(R,b)] < EE(R, a, b)

называется относительной стандартной коммутационной формулой. Различными методами она была доказана в работах Н.А.Вавилова и автора [25] и [26] для G = GLn (впрочем, доказательство из работы [26] проходит для всех групп Шевалле), а в работе Р. Хазрата и Джанг Дзухонга [91] - для общего случая.

В главе I настоящей диссертации приведен новый метод доказательства этого результата в общем случае, основанный на методе общего элемента и принципе расщепления.

Следующее обобщение этой формулы, мультикоммутационная формула, была получена для G — GLn в работе Р. Хазрата и Джанг Дзухонга [92]. Пусть di,..., dm - идеалы кольца R. Мультикоммутационная формула утверждает, что

[E{R, ai), G(R, d2),..., G{R, dm)] < EE{R, ax...a

те—1>

(мы используем левоиормированные обозначения для мультикоммутаторов, введенные в § 1.1). Случай т = 2 совпадает со стандартной относительной коммутационной формулой, а случай т ^ 3 легко сводится к случаю т = 3 с помощью теоретико-групповых соображений. Случай же т = 3 требует новой техники, он не вытекает из стандартных коммутационных формул с помощью теоретико-групповых аргументов или принципа расщепления.

В главе III мы строим расширенную относительную элементарную группу E(R, d) ^ E(R, d) и (при условии, что G односвязна) доказываем включения

[E{R, а), G{R, Ь)] ^ EE{R, а, b) < E{R, ab).

Ясно, что из этих включений сразу вытекает мультикоммутационная формула. Таким образом, в диссертации обобщаются все известные коммутационные формулы, выполненные без ограничений на размерность основного кольца.

Нильпотентность К\

Как уже упоминалось, важной задачей является вычисление группы Кi(R, q). Если схема G односвязна, то из разложения Гаусса следует, что для нульмерных колец эта группа тривиальна. Известно также [105], что Кf(R, q) тривиальна в случае, когда R - дедекиндово кольцо арифметического типа, имеющее вещественное вложение (положительное решение конгруэнц-проблемы). Гомотопическая инвариантность функтора утверждает, что Kf (R) Kf {R[x}). Она

доказана для групп Шевалле при условии, что R -регулярное кольцо (т.е. все его локализации в простых идеалах регулярны), см. [59, 132, 117]. С другой стороны для общих коммутативных колец группа Кf(R) может быть неабелевой даже при G = SLn, примеры построены в работах В. ван дер Каллена [97] и А. Бака [68]. В последней работе доказано, что для конечномерного кольца R группа SKi>n(R) — K®L"(Ä) является нильпотентной. Этот результат обобщен на Кf (-R, q) для всех односвязных

групп Шевалле в работах А. Бака, Р. Хазрата и Н.А.Вавилова [89, 70]. Он утверждает, что имеет место включение

[С(Я,ц),С(Я),...,С(Я)]^Е(Я,ц)

^ V

771—1

при условии, что т больше размерности Басса-Серра 6(Я) кольца Я.

В обзоре Н. А. Вавилова и автора [27] была поставлена задача обобщить последнюю формулу, заменив все вхождения на различные главные кон-груэнц-подгруппы. Это было сделано в работе автора [49], результат приведен в следствии 3.7.7. Стратегия доказательства этого результата принадлежит А. Баку. Обозначим через З^С(Я, а, Ь) множество тех элементов группы аЬ), которые отображаются в группу ЕЕ(Яа', Ь') под действием любого гомоморфизма, индуцированного гомоморфизмом колец Я Я' в кольцо Я', размерности не больше к, отображающего а в а', а Ь в Ь'. Положим ^ = 6(Я). Тогда для доказательства мультиотносительного аналога теоремы о нильпо-тентной структуре Кх достаточно доказать коммутационную формулу

а, Ь), я)] ^ ЕЕ{Я, аЬ, я) и использовать очевидные равенства

Б65{-а, Ь) = ЕЕ{Я, а, Ь) и а, Ь) = <3(Я, аЬ).

Для доказательства этой коммутационной формулы в диссертации используется новая идея. А именно, группа а, Ь) увеличивается в том же духе, как увеличивалась относительная элементарная группа, после чего доказательство становится похожим на доказательство мультикоммутационной формулы, упомянутой в предыдущем параграфе.

Ширина элементов

Еще одним преимуществом увеличенной элементарной группы является то, что для нее существует общий элемент. Точнее, существует кольцо £/, идеал У в 1] и элемент и Е Е(17,У), обладающие следующим свойством. Для любого кольца Я, идеала а в Я и элемента а Е Е(Я, а) существует гомоморфизм г] : и —> Я, отображающий У в а, а и в а. Это позволяет оценить ширину (длину) коммутаторов [а, 6], а Е Е(Я, а), Ь Е С (Я, Ь) по отношению к любой функториалы-юй системе образующих группы ЕЕ{Я, а, Ь). Действительно, эта ширина не превосходит ширины коммутатора [и, д) Е ЕЕ(17 <8> А, У <Э А, 17 01), где А - аффинная алгебра схемы С, / - ее фундаментальный идеал, а д Е С(А, I) - общий элемент. Таким образом, оценка ширины не зависит не только от элементов а, Ь, но

и от кольца R и идеалов а, Ь. Этот результат, полученный автором в работе [49], обобщает и улучшает результаты совместных работ автора с А. С. Сивацким и H.A. Вавиловым, где аналогичное утверждение было получено для конечномерных колец, а оценка зависела от размерности.

Задача об оценке ширины множества коммутаторов произошла из естественного вопроса: сколько элементарных преобразований необходимо проделалать, чтобы привести произвольную матрицу с определителем 1 к единичной. Конечно, если SLn(R) En(iü), то матрицу нужно брать из последней группы. Обобщением этого вопроса па группы Шевалле является задача об оценке ширины группы E(R) в элементарных образующих, т. е. по отношению к множеству образующих, состоящих из всех элементарных (относительно выбранного тора) унипотеитиых элементов.

Над кольцами стабильного ранга 1 решение этой задачи следует из разложения Гаусса, см. [116]. В работе Д. Картера и Г. Келлера [75] авторы доказали ограниченность ширины SLn(R) = Еn(R) над кольцами целых в полях алгебраических чисел. Интересно, что даже для R — Ъ задача далеко нетривиальна, этому случаю посвящены работы [76] и [62]. К. X. Закирьянов [32], И. В. Еровснко и А. С. Рапинчук [85] перенесли результаты Д. Картера и Г. Келлера на классические группы, а О. И. Тавгень в работах [52, 53, 126] - на группы Шевалле нормальных и скрученных типов. С другой стороны, В. ван дер Каллен доказал, что ширина группы SLn(F[i]) = Era(.F[£]) в элементарных образующих бесконечна, если поле F имеет бесконечную степень трансцендентности над простым подполем. В работе [83] К.Р.Деннис и Jl. Н. Васерштейн показали, что ширина этой группы по отношению к множеству всех коммутаторов также бесконечна. Как видно, этот результат сразу следует из теоремы В. ван дер Каллена и теоремы о длине коммутаторов, доказанной в настоящей работе.

В работах В. ван дер Каллена [96] и Д. В. Морриса [107] указано препятствие к конечности ширины группы E(R) в элементарных образующих. Пусть X00 обозначает прямое произведение счетного количества экземпляров группы или кольца X. Тогда легко видеть, что конечность ширины E(R) эквивалентна равенству E(R)°° = E(R°°). Очевидно, что вторая из этих групп всегда содержится в первой. Заметим, что G(R)00 — G(R°°), поэтому группа ¿'(i?00) нормальна в G{R)co. Таким образом, препятствием к конечности ширины является факторгруппа E(R)°°/E(R°°). Утверждение об ограниченности коммутаторов [а, Ь], а £ E{R), Ъ £ G(R), равносильно тому, что эта факторгруппа

лежит в центре группы К^Т?00). Таким образом, результат настоящей диссертации позволяет изучать препятствие к конечности ширины группы Е(Л) в элементарных образующих.

Классы Ашбахера

Изучение подгрупп линейных групп началось с работ Жордапа 1880-х годов. В середине ХХ-го века, когда закладывались основы теории алгебраических групп, ведущие специалисты, включая Брюа, Бореля и Титса, изучали решетку замкнутых по Зарискому подгрупп рсдуктивных групп. Следующий виток активности в изучению решетки подгрупп групп Шевалле над полями, особенно конечными и алгебраически замкнутыми, произошел в 1970-х годах в связи с классификацией простых конечных групп. Он связан с именами М. Ашбахера, Р. Дая, А. Е. Залесского, Г. Зейца, М. Кантора, О. Кинга, Б. Куперстейна, М. Ли-бека, Ли Шанжи, Ф. Г. Тиммесфельда, и многих других. В рамках Проекта Классификации Максимальных Подгрупп в работе [65] М. Ашбахер определил классы С1~С$ подгрупп, которые являются максимальными подгруппами конечных классических групп, и высказал гипотезу, что любая максимальная подгруппа либо принадлежит к одному из этих классов, либо является почти простой группой в неприводимом представлении.

В теории арифметических групп структура подгрупп линейных групп над числовыми кольцами изучалась А. Борелем, Ж.-П. Серром, Й. Меннике среди других выдающихся ученых. Над общими кольцами изучение нормальных подгрупп было инициировано X. Бассом [72, 4], который установил стандартность нормального строения предельной полной линейной группы над некоммутативным кольцом, а также получил аналогичный результат на уровне стабильного ранга. Частично мотивацией этих исследований послужила конгруэнтд-проблема. Результаты X. Басса были обобщены на остальные классические группы А. Баком. Впоследствии выяснилось, что над коммутативными кольцами стандартность нормального строения полной линейной группы имеет место независимо от стабильного ранга. Эти результаты были получены Дж.Уилсо-ном [133] и И. 3. Голубчиком [29]. Одновременное обобщение условия стабильного ранга и коммутативности, позволяющее установить стандартность нормального строения, было найдено в работе Л. Н. Васерштейна [128]. Позже оно получило название локального стабильного ранга.

С другой стороны, в середине 1970-х годов в работе [5] 3. И. Боревич получил описание решетки подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих

группу диагональных матриц. Этот результат был перенесен на полулокальные кольца в работе [7]. Изучению подгрупп групп Шевалле над полями и полулокальными кольцами, содержащими максимальный тор, посвящены десятки работ, однако нет никаких шансов перенести их результаты на произвольные кольца. Оказалось, что правильным аналогом группы диагональных матриц для полной линейной группы над кольцом является группа клеточно диагональных матриц. Описание надгрупп группы клеточно диагональных матриц над коммутативным кольцом было получено 3. И. Боревичем и Н. А. Вавиловым в работе [9], а для некоммутативных колец, удовлетворяющих некоторому условию стабильности - в работах [8, 23]. В работе [47] и в кандидатской диссертации автора было получено стандартное описание решетки подгрупп GLП(Я), содержащих группу клеточно диагональных матриц над подкольцом К, при условии, что пара колец К С R удовлетворяет некоторому условию стабильности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов, Алексей Владимирович, 2014 год

Литература

[1] Ананьевский А. С., Вавилов Н. А., Синчук С. С. Об описании надгрупп Е(l,R) <8> Е(т, R) // Зап. научи, сем. ПОМИ.- 2009.-Т. 365.-С. 5-28.

[2] Ананьевский А. С., Вавилов Н. А., Синчук С. С. О надгруппах Е(l,R) <g> Е(m,R). I. Уровни и нормализаторы // Алгебра и анализ. — 2011. —Т. 23, № 5.— С. 55-98.

[3] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: Мир, 1972.

[4] Басс X. Алгебраическая К-теория. — Москва: Мир, 1973.

[5] Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. научи, сем. ЛОМИ. — 1976. — Т. 64.— С. 12-29.

[6] Боревич 3. И. О расположении подгрупп // Зап. научи, сем. ЛОМИ. — 1979. — Т. 94,— С. 5-12.

[7] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц // Тр. МИ АН. —1978. — Т. 148.— С. 43-57.

[8] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом // Изв. вузов. Матем. — 1982.—№ 11.-С. 12-16.

[9] Боревич 3. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр. МИ АН. — 1984. — Т. 165. — С. 24-42.

[10] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы 4-6.— Москва: Мир, 1972.

[11] Вавилов Н. А. О геометрии длинных корневых подгрупп в группах Шевалле // Вестн. Леиингр. ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. —1988. — № 1. —С. 8-11.

[12] Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых ортогональных групп над кольцом // Сиб. матем. oicypu. - 1988. - Т. 29, № 4. — С. 31-43.

[13] Вавилов Н. А. Строение расщепимых классических групп над коммутативным кольцом // Доклады АН СССР. -1988. - Т. 299, № 6. - С. 1300-1303.

[14] Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых классических групп // Тр. МИАН. — 1990. — Т. 183.-С. 29-41.

[15] Вавилов Н. А. О подгруппах полной симплектической группы над коммутативным кольцом // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып. 3. — С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1993. —С. 16-38.

[16] Вавилов Н. А. Подгруппы расщепимых ортогональных групп над коммутативным кольцом // Зап. научи, сем. ПОМИ. -2001. —Т. 281. —С. 35-59.

[17] Вавилов Н. А. Как увидеть знаки структурных констант // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, jY2 4.-С. 34-68.

[18] Вавилов Н. А. О подгруппах симплектической группы, содержащих subsystem subgroup // Зап. научи, сем. ПОМИ. - 2007. -Т. 349.-С. 5-29.

[19] Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах ЕО(2/,Я) // Зап. научи, сем. ПОМИ,— 2000.-Т. 272.-С. 68-85.

[20] Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах Ер(21,Я) // Алгебра и анализ. — 2003. — Т. 15, № 4.-С. 72-114.

[21] Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах ЕО(п, Я) // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, № 2.-С. 10-51.

[22] Вавилов Н. А., Плоткин Е. В., Степанов А. В. Вычисления в группах Шевалле над коммутативными кольцами // Доклады АН СССР. — 1989. — Т. 307, № 4. — С. 788-791.

[23] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Подгруппы полной линейной группы над кольцом, удовлетворяющим условиям стабильности // Изв. вузов. Матем. —1989. — № 10.— С. 1925.

[24] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Надгруппы полупростых групп // Вести. СамГУ. Естественионаучи. сер. — 2008.—Л'"2 3. — С. 51-95.

[25] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Стандартная коммутационная формула // Вестн. С.Петербург. ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. — 2008.1. —С. 9-14.

[26] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Еще раз о стандартной коммутационной формуле // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. — 2010. — Т. 43, № 1.— С. 16-22.

[27] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Линейные группы над общими кольцами I. Общие места. // Зап. научи, сем. ПОМИ. — 2011. - Т. 394. — С. 33-139.

[28] Васерштейн Л. Н., Суслин А. А. Проблема Серра о проективных модулях над кольцами многочленов и алгебраическая К-теория // Изв. АН СССР. Сер. матем. —1976. — Т. 40, № 5.-С. 993-1054.

[29] Голубчик И. 3. О полной линейной группе над ассоциативным кольцом // УМН. — 1973. - Т. 28, № 3. - С. 179-180.

[30] Голубчик И. 3. О подгруппах полной линейной группы СЬП(Д) над ассоциативным кольцом Я // УМН. -1984. - Т. 39, № 1.-С. 125-126.

[31] Голубчик И. 3., Михалев А. В. Обобщенные групповые тождества в классических группах // Зап. научи, сем. ЛОМИ. - 1982. - Т. 114.-С. 96-119.

[32] Закиръянов К. X. Конечность ширины симплектических групп над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц // Алгебра и логика. — 1985. — Т. 24, № 6. - С. 667-673.

[33] Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Том 1. — Москва: Изд. иностранной литературы, 1963.

[34] Копейко В. И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов // Мат. Сб. - 1978. - Т. 106, № 1. - С. 94-107.

[35] Копейко В. И., Суслин А. А. О квадратичных модулях над кольцами многочленов // Зап. научи, сем. ЛОМИ, — 1979.-Т. 86.-С. 114-124.

[36] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) / Под ред. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 7 изд. — Новосибирск: Инст. мат. Сиб. отд. АН СССР, 1980.

[37] Лузгарев А. Ю. О надгруппах Е(Ев,Я) и Е(Ет,К) в минимальных представлениях // Зап. научи, сем. ПОМИ. - 2004. - Т. 319.-С. 216-243.

[38] Лузгарев А. Ю. Описание надгрупп в Ее над коммутативным кольцом // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20, № 6. - С. 148-185.

[39] Нестеров В. В., Степанов А. В. Тождество с константами в группе Шевалле типа Г4 // Алгебра и анализ.- 2009.-Т. 21, № 5. - С. 196-202.

[40] HyoicuH Я. H. О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями // Алгебра и логика. — 1983. — Т. 22, 5. — С. 526-541.

[41] Hyoicuu Я. Н. Группы, лежащие между группами Шевалле типа B¡, C¡, F4, Gi над несовершенными полями характеристики 2 и 3 // Сиб. матем. жури, — 2013.—Т. 54, № 1.-С. 157-162.

[42] Нуокин Я. Н., Якушевич А. В. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов // Алгебра и логика. — 2000. —Т. 39, № 3. — С. 347358.

[43] Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы в изотропных редуктивных группах // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, № 4. — С. 160-188.

[44] Романовский Н. С. Максимальные подкольца поля Q и максимальные подгруппы группы SL(n, Q) И Алгебра и логика. - 1967. - Т. 6, № 4. - С. 75-82.

[45] Романовский Н. С. Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом // Мат. заметки. — 1969. — Т. 6, № 3. — С. 335-345.

[46] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — Москва: Мир, 1975.

[47] Степанов А. В. Описание подгрупп полной линейной группы над кольцом при помощи условий стабильности // Кольца и линейные группы. — Краснодар: Кубанский госудаственный университет, 1988.— С. 82-91.

[48] Степанов А. В. О расположении подгрупп, нормализуемых фиксированной // Зап. научи, сем. ПОМП.- 1991.-Т. 198.-С. 92-102.

[49] Степанов А. В. Неабелева K-теория групп Шевалле над кольцами // Зап. научи, сем. ПОМИ. - 2014. - Т. 423. - С. 244-263.

[50] Су слип А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов / / Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1977. — Т. 41, № 2.-С. 235-252.

[51] Суслин А. А., Копейко В. И. Квадратичные модули и ортогональная группа над кольцами многочленов // Зап. научи, сем. ЛОМИ. — 1977. —Т. 71.—С. 216-250.

[52] Тавгеиъ О. И. Конечная ширина арифметических подгрупп групп Шевалле ранга ^ 2 // Доклады АН СССР. - 1990. - Т. 310, № 4. - С. 802-806.

[53] Тавгеиъ О. И. Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами ¿'-целых алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1990.—Т. 54, № 1. —С. 97122.

[54] Томанов Г. М. Обобщенные групповые тождества в линейных группах // Мат. Сб. — 1984.-Т. 123(165), jYS 1.-С. 35-49.

[55] Туленбаев М. С. Мультипликатор Шура группы элементарных матриц конечного порядка // Зап. научн. сем. ЛОМИ.-1979.-Т. 86. —С. 162-169.

[56] Хлебутин С. Г. Достаточные условия нормальности подгруппы элементарных матриц // УМН. -1984. - Т. 39, № 3. - С. 245-246.

[57] Холл М. Теория групп. — Москва: ИЛ, 1962.

[58] Шмидт Р. А. О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца // Зап. научн. сем. ЛОМИ. -1979. -Т. 94. - С. 119-130.

[59] Abe Е. Whitehead groups of Chevalley groups over polynomial rings // Comm. Algebra. — 1983.-Vol. 11, no. 12.-Pp. 1271-1307.

[60] Abe E. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Contemp. Math. — 1989.-Vol. 83.-Pp. 1-17.

[61] Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J.- 1976.-Vol. 28, no. 2.-Pp. 185-198.

[62] Adian S. I., Mennicke J. Bounded generation of SLn(Z) // Internat. J. Algebra Comput. — 1976. - Vol. 2, no. 4. - Pp. 357-365.

[63] Apte H., Chattopadhyay P., Rao R. A local global theorem for extended ideals //J. Ramanujan Math. Soc. -2012. -Vol. 27, no. l.-Pp. 17-30.

[64] Apte H., Stepanov A. V. Local-global principle for congruence subgroups of Chevalley groups // Cent. Eur. J. Math. - 2014. -Vol. 12, no. 6.-Pp. 801-812.

[65] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. — 1984.-Vol. 76.-Pp. 469-514.

[66] Azad H., Barry M., Seitz G. On the structure of parabolic subgroups // Comm. Algebra. —

1990.-Vol. 18, no. 2.-Pp. 551-562.

[67] Bak A. I<-theory of forms. Ann. of Math. Stud. 98. — Princeton N.J.: Princeton Univ. Press, 1981.

[68] Bak A. Nonabelian K-thcory: The nilpotent class of Ki and general stability // K-Theory. —

1991.-Vol. 4.-Pp. 363-397.

[69] Bak A. Lectures on dimension theory, group valued functors, and nonstable K-theory. — Preprint, Buenos Aires, 1995.

[70] Bak A., Hazrat R., Vavilov N. A. Localization-completion strikes again: relative Kx is nilpotent // J. Pure and Appl. Algebra.- 2009.-Vol. 213.-Pp. 1075-1085.

[71] Bak A., Stepanov A. V. Dimension theory and nonstable K-theory for net groups // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova.- 2001.-Vol. 106.-Pp. 207-253.

[72] Bass H. K-theory and stable algebra / / Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. —1964. — Vol. 22. - Pp. 5-60.

[73] Bass H., Milnor J., J.-P. S. Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n ^ 3) and Sp2n (n ^ 2) // Publ. Math. Inst. Hautes Études Set. — 1967.-Vol. 33.-Pp. 59-137.

[74] Borel A., Tits J. Groupes réductifs // Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci —1965. — Vol. 27.-Pp. 55-150.

[75] Carter D., Keller G. E. Bounded elementary generation of SLn(C>) // Amer. J. Math.— 1983.-Vol. 105.-Pp. 673-687.

[76] Carter D., Keller G. E. Elementary expressions for unimodular matrices // Comm. Algebra.- 1984.-Vol. 12.-Pp. 379-389.

[77] Chevalley C. Sur certains groupes simples // Tohoku Math. J. —1955. — Vol. 7. — Pp. 14-66.

[78] Costa D. L., Keller G. E. The E(2,A) sections of SL(2,A) // Ann. of Math. (2).-1991.— Vol. 134, no. l.-Pp. 159-188.

[79] Costa D. L., Keller G. E. Radix rcdux: normal subgroups of symplectic groups // J. Reme Angew. Math. -1992. -Vol. 427, no. l.-Pp. 51-105.

[80] Costa D. L., Keller G. E. On the normal subgroups oïG2{A) // Trans. Amer. Math. Soc. — 1999.-Vol. 351, no. 12.-Pp. 5051-5088.

[81] Demazure M., Gabriel P. Introduction to algebraic geometry and algebraic groups. Math. Stud. 39.— Amsterdam: North-Holland, 1980.

[82] Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1970. — Vol. 151-153 of Lecture Notes in Math.

[83] Dennis R. K., Vaserstem L. N. On a question of M. Newman on the number of commutators // J. Algebra. — 1988. - Vol. 118. —Pp. 150-161.

[84] Ellers E., Gordeev N. L. On the conjectures of J. Thompson and O. Ore // Trans. Amer. Math. Soc. - 1998. - Vol. 350, no. 9.-Pp. 3657-3671.

[85] Erovenko I. V., Rapinchuk A. S. Bounded generation of some -^-arithmetic orthogonal groups // C. R. Acad. Set., Paris, Sér. A. -2001. -Vol. 333, no. 5.-Pp. 395-398.

[86] Gordeev N. L. Freedom in conjugacy classes of simple algebraic groups and identities with constants // Алгебра и анализ. —1997. — T. 9, № 4. —С. 63-78.

[87] Grunewald F., Mennicke J., Vaserstein L. N. On symplectic groups over polynomial rings // Math. Z.- 1991. -Vol. 206.-Pp. 35-56.

[88] Hazrat R. Dimension theory and nonstable K\ of quadratic modules // K-Theory. — 2002. — Vol. 27, no. 4.-Pp. 293-328.

[89] Hazrat R., Vavilov N. A. Ki of Chevalley groups are nilpotent // J. Pure and Appl. Algebra. — 2003. — Vol. 179.-Pp. 99-116.

[90] Hazrat R., Vavilov N. A., Zhang Z. Relative commutator calculus in Chevalley groups // J. Algebra. — 2013. — Vol. 385.-Pp. 262-293.

[91] Hazrat R., Zhang Z. Generalized commutator formula // Comm. Algebra. —2011. — Vol. 39, no. 4.-Pp. 1441-1454.

[92] Hazrat R., Zhang Z. Multiple commutator formulas // Israel J. Math. — 2013. —Vol. 195, no. l.-Pp. 481-505.

[93] Hiss G. Die adjungicrtcn Darstcllungcn der Chevallcy-Gruppen // Arch. Math. (Basel).— 1984.-Vol. 42.-Pp. 408-416.

[94] Hurley J. F. Centers of Chevalley algebras // J. Math. Soc. Japan. —1982. — Vol. 34, no. 2. — Pp. 219-222.

[95] Jantzen J. C. Representations of algebraic groups, 2nd ed. — AMS, 2003.—Vol. 107 of Mathematical surveys and monographs.

[96] van der Kallen W. SL3(C[a;]) does not have bounded word length // Lecture Notes in Math. — 1982.-Vol. 966.-Pp. 357-361.

[97] van der Kallen W. A group structure on certain orbit sets of unimodular rows // J. Algebra. - 1983. - Vol. 82. - Pp. 363-397.

[98] Knus M.-A. Quadratic and hermitian forms over rings. — Berlin et al.: Springer Verlag, 1991.

[99] Li S. Overgroups in GL(nr, F) of certain subgroups of SL(n, К). I // J. Algebra. —1989. — Vol. 125.-Pp. 215-235.

[100] Li S. Overgroups in GL (U ®W) of certain subgroups of GL(£/)®GL(W). I // J. Algebra. -1991.-Vol. 137, no. 2.-Pp. 338-368.

[101] Li S. Subgroup structure of classical groups. — Shanghai Scientific & Technical Publ., 1998. — (китайский).

[102] Mason A. W. A further note on subgroups of GL(n, A) which are generated by commutators // Arch. Math. (Basel). — 1981. —Vol. 37.—Pp. 401-405.

[103] Mason A. W. On subgroups of GL(n, A) which are generated by commutators. II // J. Reme Angew. Math. -1981.-Vol. 322.-Pp. 118-135.

[104] Mason A. W., Stothers W. W. On subgroups of GL(n,A) which are generated by commutators // Invent. Math. — 1974. — Vol. 23.—Pp. 327-346.

[105] Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semisimples déployés // Ann. Set. Éc. Norm. Supér. (4). -1969. -Vol. 2, no. l.-Pp. 1-62.

[106] Matsumura H. Commutative ring theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

[107] Morris D. W. Bounded generation of (after D. Carter, G. Keller, and E. Paige) // New York J. Math. - 2007. - Vol. 13. - Pp. 383-421.

[108] The Ore conjecture / M. Liebeck, E. A. O'Brien, A. Shalev, P. H. Tiep // J. Eur. Math. Soc. (JEMS).- 2010. -Vol. 12, no. 4.-Pp. 939-1008.

[109] Petrov V. A. Overgroups of unitary groups // K-Theory. — 2003. —Vol. 29.—Pp. 77-108.

[110] Plotkin E. B., Semenov A. A., Vavilov N. A. Visual basic representations: an atlas // Internat. J. Algebra Comput. —1998. —Vol. 8, no. 1.—Pp. 61-95.

[111] Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. — 1976. — Vol. 36. — Pp. 167-171.

[112] Raynaud M. Anneaux locaux henséliens. Lect. Notes Math. 169.—Heidelberg et al.: Springer, 1970.

[113] Serre J.-P. Trees. — Heidelberg et al.: Springer, 1980.

[114] Shalom Y. Bounded generation and Kazhdan's property (T) // Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. -1999. - Vol. 90. - Pp. 145-168.

[115] Sivatski A. S., Stepanov A. V. On the word length of commutators in GLn(R) // K-Theory. -1999. - Vol. 17. - Pp. 295-302.

[116] Smolensky A., Sury B., Vavilov N. A. Gauss decomposition for Chevalley groups, revisited // Intern. J. Group Theory. — 2012. —Vol. 1, no. 1. —Pp. 3-16.

[117] Stavrova A. K. Homotopv invariance of non-stable K i-functors //J. K-Theory. — 2014.— Vol. 13.-Pp. 199-248.

[118] Stem M. R. Generators, relations, and coverings of Chevalley groups over commutative rings // Amer. J. Math. -1971. -Vol. 93.-Pp. 965-1004.

[119] Stepanov A. V. Nonstandard subgroups between En(i?) and GLn(;4) // Algebra Colloq.— 2004.-Vol. 10, no. 3. —Pp. 321-334.

[120] Stepanov A. V. Free product subgroups between Chevalley groups G(<£>, F) and G($, F[t]) // J. Algebra.- 2010.-Vol. 324, no. 7.-Pp. 1549-1557.

[121] Stepanov A. V. Subring subgroups in Chevalley groups with doubly laced root systems // J. Algebra. — 2012. — Vol. 362.-Pp. 12-29.

[122] Stepanov A. V. Elementary calculus in Chevalley groups over rings // J. Prime Research in Math. - 2013. - Vol. 9. - Pp. 79-95.

[123] Stepanov A. V., Vavilov N. A. Decomposition of transvections: Theme with variations // K-Theory. — 2000. — Vol. 19, no. 2.-Pp. 109-153.

[124] Stepanov A. V, Vavilov N. A. Length of commutators in Chevalley groups // Israel J. Math. - 2011. - Vol. 185. - Pp. 253-276.

[125] Taddei G. Normalité des groupes élémentaire dans les groupes de Chevalley sur un anneau // Contemp. Math. — 1986. — Vol. 55. — Pp. 693-710.

[126] Tavgen O. I. Bounded generation of normal and twisted Chevalley groups over the rings of S-integers // Contemp. Math. -1992. -Vol. 131, no. 1. —Pp. 409-421.

[127] Tits J. Systcmes générateurs de groupes de congruences // C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A. — 1976. — Vol. 283.-Pp. 693-695.

[128] Vaserstein L. N. On the normal subgroups of GLn over a ring // Lecture Notes in Math. — 1981.-Vol. 854.-Pp. 456-465.

[129] Vaserstein L. N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J. -1986. - Vol. 38. - Pp. 219-230.

[130] Vavilov N. A. Intermediate subgroups in Chevalley groups // London Math. Soc. Lecture Note Ser. - 1995. - Vol. 207. - Pp. 233-280.

[131] Wang D., Li S. Overgroups of L{K) in L(F) // Algebra Colloq. -1998. - Vol. 5, no. 4.— Pp. 417-424.

[132] Wendt M. A^homotopy of Chevalley groups // J. K-Theory.- 2010.-Vol. 5.-Pp. 245287.

[133] Wilson J. S. The normal and subnormal structure of gerieral linear groups // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1972. -Vol. 71.-Pp. 163-177.

[134] You H. Overgroups of symplcctic group in linear group over commutative rings //J. Algebra. — 2004. — Vol. 282, no. l.-Pp. 23-32.

[135] You H. Overgroups of classical groups in linear group over Banach algebras // J. Algebra. — 2006.-Vol. 304.-Pp. 1004-1013.

[136] You H. Overgroups of classical groups over commutative ring in linear group // Sci. China Math. — 2006. — Vol. 49, no. 5. - Pp. 626-638.