Надгруппы подсистемных подгрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гвоздевский Павел Борисович

• Гвоздевский Павел Борисович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Гвоздевский Павел Борисович

Введение

Основные обозначения

Глава 1 Вычисления с тандемами

1.1 Тандемы

1.2 Битандемы

1.3 А2-тандемы

Глава 2 Теорема сэндвич классификации

2.1 Мотивация

2.2 Обозначения

2.2.1 Условие на подсистему, блоки и комбинаторная лемма

2.2.2 Алгебры Ли

2.2.3 Предуровни

2.3 Надалгебры Ли

2.4 Условие на кольцо

2.5 Вычисление уровня

2.5.1 Элементарный уровень

2.5.2 Инвариантный уровень

2.6 Что вообще происходит?

2.7 2^!-доказательство

2.7.1 Параболические подгруппы

2.7.2 Извлечение образующих

2.7.3 Доказательство предложения

2.8 А2-доказательство

2.8.1 Параболические подгруппы

2.8.2 Извлечение образующих

2.8.3 Доказательство предложения

2.9 Частные случаи и следствия для систем с кратными связями

2.9.0 Идеальные уровни

2.9.1 Бга_1 ^ Бга

2.9.2 4Л1 ^ Е6

2.9.3 1Л1 ^ Л21-1

2.9.4 Л2 ^ Б4

Глава 3 Внутри сэндвича

3.1 Обозначения

3.1.1 Гомоморфизмы редукции и конгруэнц подгруппы

3.1.2 Сети идеалов

3.1.3 Сетевые подалгебры Ли

3.1.4 Сетевые подгруппы

3.1.5 Образы ЯЬ2

3.1.6 Локализация

3.1.7 Аффинные схемы и метод общего элемента

3.2 Формулировки основных результатов

3.3 Доказательство теоремы

3.4 Доказательство теоремы

3.5 Относительные сетевые подгруппы

3.6 Доказательство теоремы

3.7 Стандартная коммутационная формула

3.8 Доказательство теоремы

3.9 Доказательство теоремы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Надгруппы подсистемных подгрупп»

Введение

Объектом исследования являются группы Шевалле над произвольными коммутативными кольцами, предметом исследования является их структура и свойства. Цель исследования заключается в классификации всех надгрупп элементарных подсистемных подгрупп.

Актуальность темы. В работе [42], посвященной проекту классификации максимальных подгрупп, М. Ашбахер определил восемь классов подгрупп C\-C& в конечных классических группах. Эти подгруппы являются очевидными кандидатами на роль максимальных подгрупп. А именно, каждая подгруппа из класса Ашбахера либо сама является максимальной, либо содержится в максимальной подгруппе, которая, в свою очередь, либо снова принадлежит классу Ашбахера, либо может быть построена посредством явно описанной процедуры.

По аналогии с классами Ашбахера Н.А. Вавилов определил пять классов "больших" подгрупп в группах Шевалле (в том числе исключительных) над произвольными коммутативными кольцами (подробнее см., например, в [37, 78]). Позже стало ясно, что к этим классам можно добавить еще один — соответствующий исключительному классу Ашбахера S. Вавилов предположил, что эти подгруппы хоть и не являются максимальными, но достаточно велики, чтобы можно было описать решетку их надгрупп. Описание этих надгрупп является очень актуальной проблемой, что подтверждается большим количеством публикаций, посвященных этому кругу задач. Выделим среди них следующие.

• Для класса C8 надгруппы в классических группах изучались специалистами из петербургской [8, 10, 9, 35] и независимо китайской школ [79, 83, 84, 82]. В дальнейшем работа была продолжена А.Ю. Лузгаревым, который получил аналогичные результаты для исключительных групп [13, 14, 30, 29, 31].

• Подгруппы соответствующие подкольцам основного кольца образуют класс Ашбахера C5. Изучение их надгрупп началось в работах [33, 32, 34]. Позже почти окончательные результаты в этом классе были получены А. В. Степановым [71, 72, 73].

• Для класса C4 + C7 существуют лишь отдельные результаты Петербуржских математиков, такие как частичное описание надгрупп тензорного произведения элементарных групп, см. [1, 2]. Кроме того над полем надгруппы групп из класса C4 изучались в работах Шанчжы Ли [60, 59, 62, 57]

• Для класса C3 описание надгрупп, ring extension subgroups, неимоверно трудоемко. Лишь для полной линейной группы Шанчжы Ли описал надгруппы для произвольного

конечного расширения полей [58, 61].

• Для исключительного класса S, состоящего из почти простых групп в некоторых абсолютно неприводимых представлениях, описание надгрупп в некоторых случаях изучается в диссертации Р. А. Лубкова [26], основанной на работах [27, 28, 65, 64, 63]. Кроме того некоторые результаты в этом направлении были получены ранее над конечным полем [46] и над алгебраически замкнутым полем [44, 69].

• Отметим еще один тесно связанный цикл работ [49, 48], [50, 51, 53, 52, 54, 66, 67, 80] о надгруппах полупростых групп, которые возникают в связи с linear preserver problems. В этих статьях рассматриваются такие задачи как описание надгрупп образа элементарной группы в присоединенном вложении. Для произвольных колец многие задачи до сих пор не решены, существуют лишь результаты для классических полей, таких как C или R.

Обзоры [7, 16, 78] содержат необходимые предварительные сведения, полную историю и дальнейшую библиографию.

Степень разработанности проблемы. Еще одним из таких классов "больших" подгрупп являются подсистемные подгруппы, т.е подгруппы соответствующие подсистемам в системе корней. Настоящая диссертация посвящена описанию их надгрупп. C точки зрения проекта классификации максимальных подгрупп подсистемные подгруппы относятся к классам Ашбахера C и C2. Чтобы поместить результаты настоящей диссертации в контекст, напомним основные известные результаты в этой области, известные до работ автора.

• В работах [4, 24], а также ряде других работ, изучаются надгруппы (элементарных) под-системных подгрупп в полной линейной группе. В этом случае подсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц.

• В дальнейшем в диссертации Н.А. Вавилова (смотри, в частности, [7] и [6]) эти результаты были обобщены на случай ортогональных и симплектических групп в предположении 2 £ R*. Полные доказательства были опубликованны позднее. Затем в диссертации А.В. Щеголева [70] это предположение было снято, а также решена соответствующая задача для унитарных групп (см. также [39] и [40]), что практически полностью закрыло случай классических групп.

• Случаи полной линейной и унитарной групп, допускают обобщения на некоторые некоммутативные, но удовлетворяющие какому-то другому условию, кольца (например, квазиконечные или PI). Этому посвящены работы [23, 36] и [15].

• Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группах над коммутативным кольцом (смотри, например, [16], проблема 7) оказалась значительно сложнее. Первым шагом в направлении ее решения этой задачи служит работа [17]. В ней перечислены пары (Ф, А) (система корней и ее подсистема), для которых описание над-групп гипотетически возможно, и для каждой из них определено как это описание гипотетически должно формулироваться.

Таким образом, до работ автора, во первых, все результаты в данном направлении получались рассмотрением разных случаев по отдельности, и во-вторых, для исключительных групп имелись только формулировки гипотез. В работах автора [19, 20, 21, 22], на которых основана настоящая диссертация, развит единообразный подход к данной задаче, который в частности позволяет решить ее в случае исключительных групп.

Используемые методы. Основная схема изучения подобных задач была предложена еще в работах Вавилова и Боревича. Идеи из работы [12] помогают обобщить эту схему на случай исключительных групп. Однако прямое использование методов из этих работ потребовало бы крайне трудоемких вычислений с матрицами и, вероятно, рассмотрения случаев по отдельности. Чтобы избежать этого, мы развиваем новый метод одновременных вычислений в группе Шевалле и в соответствующей алгебре Ли, используя, вводимое в первой главе настоящей диссертации, понятие тандема. Доказательства свойств тандемов, в свою очередь, используют, понятие общего элемента групповой схемы, а также лемму Уотерхауза об изоморфизме групповых схем.

Кроме того, в третьей главе настоящей диссертации, где для групп заданных сетью идеалов доказывается аналоги теорем о нормальности элементарной подгруппы и о нильпотентности группы K1, используются методы локализации-склейки соотв. локализации-пополнения аналогично тому как это сделано в работах [76] и [56]; при этом использования общих элементов в духе работы [74] позволяет несколько упростить доказательства.

Апробация результатов. Все результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами и опубликованны в реферируемых научных журналах, что свидетельствует об их достоверности [19, 20, 21, 22], см. также обзорную статью [55]. Все вышеупомянутые работы написаны без соавторов.

Методы и основные результаты данной работы были представлены в виде докладов на следующих конференциях:

• International workshop "Actual problems of the theory of algebraic groups", Saint-Petersburg 2019

• Школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", Москва 2020.

Автор выступал по тематике диссертации на семинарах:

• Алгебраический семинар им. Д. К. Фаддеева, ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург, 2019;

• Алгебраические группы, СПбГУ, Санкт-Петербург, 2018-2020.

Работа носит теоретический характер, её результаты могут применяться в теории линейных алгебраических групп, при проведении учебных и научных семинаров.

Структура работы. Работа состоит из трех глав и заключения. В первой главе мы развиваем технику вычислений с тандемами.

Во второй главе мы докажем теорему о классификации надгрупп подсистемных подгрупп в случае систем корней типа ADE. А именно мы докажем, что при определенных условиях решетка надгрупп является дизъюнктным объединением так называемых "сэндвичей", которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с объектами, которые мы назовем уровнями. Кроме того мы приведем некоторые примеры, и покажем, что для некоторых подсистем в системах корней с кратными связями описание надгрупп может быть получено как следствие теоремы для ADE-систем.

В третьей главе мы докажем ряд теорем, которые описывают структуру такого сэндвича в случае, когда уровень задается сетью идеалов основного кольца.

Наконец, в заключении приводится описание основных результатов, которые выносятся на защиту, а также описываются дальнейшие направления исследования.

Содержание работы. Основным результатом диссертации является, доказываемая во второй главе, теорема 2.6.3. Здесь мы приведем ее формулировку, и затем объясним использованные в ней обозначения.

Теорема. Пусть Ф — система корней типа ADE. Пусть А ^ Ф — подсистема, удовлетворяющая условию (*). Пусть R — коммутативное кольцо. Предположим, что выполнено либо условие (**), либо условие (***). Тогда для любой надгруппы E(А, R) ^ H ^ G^,R) существует единственный уровень а, такой, что

E(а) ^ H ^ S(а).

Через С(Ф, R) здесь обозначена группа Шевалле типа Ф над кольцом R. Подгруппа E(А, R) — это элементарная подсистемная подгруппа, она порождена элементарными образующими, которые соответствуют корням из подсистемы. Определение понятия "уровень" довольно техническое, окончательно оно будет дано в параграфе 2.6, сейчас мы скажем лишь, что уровень задается набором определенных нильпотентных элементов алгебры Ли Ь(Ф, R), соответствующей группе G^,R). Подгруппа E(а) порождается экспонентами от элементов уровня. Чтобы определить группу S(а) можно сначала определить подалгебру Lmjn(a) ^ L^,R): она порождается как алгебра элементами уровня; затем подалгебру Lmax^) ^ Ь(Ф, R): она определяется как нормализатор алгебры Ьт-т(а) в смысле алгебр Ли; затем подгруппа S(а) ^ G^,R) определяется как стабилизатор алгебры Lmax^) (как подмножества) относительно присоединенного действия. Группа S(а) по смыслу очень близка к нормализатору группы E(а) и во многих случаях совпадает с ним, но есть нюансы.

Теперь мы дадим примерное объяснения смысла условий (*), (**) и (***).

Условие (*) будет полностью сформулировано в параграфе 2.2.1. Его смысл в том, что подсистема должна быть достаточно большой. Оно является конъюнкцией двух условий. Для подсистемы не удовлетворяющих первой части условия (*) решетка надгрупп содержит в себе решетку всех подгрупп в (P)SL(2, R). Примером такой подсистемы является E7 ^ Eg, поскольку между этими системами находится система E7 + A1. У такой решетки не может

быть хорошего описания уже для R = Z, например, потому что почти любая конечная простая группа является факторгруппой PSL(2, Z), то есть одних только нормальных подгрупп в PSL(2, Z) очень много. Для подсистемы не удовлетворяющих второй части условия (*) решетка надгрупп содержит в себе решетку надгрупп SL(2, R) в (P)SL(3, R). Примером такой подсистемы является E6 + A1 ^ Eg, поскольку между этими системами находится система E6 + A2. Автору не известен какой-либо убедительный аргумент в пользу невозможности описания такой решетки; скажем лишь, что группа SL(2, R) слишком мала, чтобы использовать известные нам методы.

Условие (**) требует, чтобы не существовало гомоморфизмов из кольца R в поле F2. Это равносильно тому, что элементы вида t2 + t, где t Е R порождают единичный идеал в кольце R. Это техническое условие без которого для некоторых подсистем доказать теорему не получается. Условие на подсистему, при выполнении которого кольцо может быть произвольным, обозначено через (***).

Условие (***), которое будет полностью сформулировано в параграфе 2.6 является усилением условия (*). Оно также является конъюнкцией двух условий. Наименьшим примером подсистемы, удовлетворяющей (*), но не удовлетворяющей первой части условия (***) является подсистема A2 ^ D4. Для всех других примеров описание надгрупп в некотором строгом смысле сложнее, чем для A2 ^ D4. Например, таковой является подсистема A2 + D4 ^ Eg поскольку между этими системами находится система D4 + D4. В таком же смысле минимальными примерами подсистем удовлетворяющих (*), но не удовлетворяющих второй части условия (***) являются подсистемы 2A1 ^ A3 и 4A1 ^ D4: любой другой пример "сложнее", чем хотя бы один из этих.

Объясним, почему без предположений на кольцо условие (***) необходимо. В группе G(D4, F2) подгруппой неподвижных точек диаграмного автоморфизма является G(G2, F2); можно показать, что коммутант G(G2, F2) является надгруппой E(A2, F2), которая не удовлетворяет заключению теоремы выше. Для надгрупп E(4A1, F2) в G(D4, F2) таким же контрпримером будет нормализатор коммутанта подгруппы E(4A1, F2). Для подсистемы 2A1 ^ A3 автор не знает контрпримеров, но технические детали доказательства требуют такой формулировки условия (***), под которую эта подсистема не подходит.

Отметим, что во всех 29 проблемах, сформулированных в работе [17], подсистемы удовлетворяют условию (*). Таким образом, теорема 2.6.3 решает все эти проблемы, но для некоторых из них нужно предположить (**).

Основная часть доказательства теоремы 2.6.3 использует технику вычислений с тандемами, которую мы разовьем в первой главе. Предположим, что система Ф имеет тип ADE. Тандемом мы называем пару ($,/) Е G^,R) х L^,R), такую, что для некоторых а Е Ф, £ Е R и h Е G^, R) мы имеем g = h(xa(£)), где верхний индекс обозначает сопряжение, и l = h(£ea), где верхний индекс обозначает присоединенное действие. Здесь ea — элемент базиса Шевалле, а xa(£) — элементарная образующая группы Шевалле (экспонента от £ea).

Наиболее важными для наших целей результатами первой главы являются леммы 1.2.3 и 1.3.3. Ниже мы сформулируем их в таком виде, чтобы вводить поменьше дополнительных

обозначений.

Лемма. (1.2.3+1.3.3) Пусть (д,/) — тандем. Пусть а1,а2 € Ф, такие, что либо а1 ± а2, либо (а1,а2) = 1. Пусть Ь € Я. Тогда

д (Ха1 (1/-а2 )Х«2 (-¿Г"1)) € Р

где Ра1 а2 — параболическая подгруппа, соответствующая параболическому множеству корней {7 € Ф: (а1 + а2,7) ^ 0}.

С помощью этой леммы для данной надгруппы Н, имея элемент д € Н, который при этом является первой компонентой тандема, мы можем получить определенные элементы из Н П Ра1,а2, где а1,а2 € А как выше. Именно это является ключевым местом в доказательстве теоремы 2.6.3.

Теперь мы опишем результаты третьей главы. Согласно теореме 2.6.3, при определенных условиях решетка надгрупп элементарной подсистемной подгруппы разбивается в дизъюнктное объединение так называемых "сэндвичей", которые находятся в биективном соответсвии с объектами, которые мы называем уровнями. Сэндвич представляет собой множество надгрупп заключенных между Е (а) и Б (а). Третья глава посвящена изучению структуры такого сэндвича в важном частном случае: когда уровень задан сетью идеалов.

Для данной системы корней Ф и ее подсистемы А мы называем сетью идеалов набор идеалов а = {аа}аеФ кольца Я, удовлетворяющий следующим условиям.

1. Если а,в и а + в € Ф, то ааа@ С аа+в.

2. Если а € А, то аа = Я.

Сети идеалов соответствует уровень, элементами которого будут £еа, где а € Ф и £ € аа. Мы отождествляем сеть идеалов с соответствующем ей уровнем.

Отметим, что имеет смысл рассматривать уровни заданные сетями идеалов в том числе и для систем с кратными связями. При этом мы точно также можем определить группы Е(а) и Б (а). Несмотря на то, что теорема 2.6.3 сформулированна для систем корней с простыми связями, описание надгрупп подсистемных подгрупп для систем с кратными связями в некоторых случаях может быть полученно как следствие теоремы 2.6.3 (см. параграф 2.9).

Выше мы перечислили множество работ, в которых описываются надгруппы "больших" подгрупп в группах Шевалле над кольцами. Как правило в них так же как и у нас доказывается, что решетка надгрупп разбивается в дизъюнктное объединение определенных "сэндвичей", причем нижняя граница сэндвича является нормальной подгруппой в верхней. Таким образом, изучение одного сэндвича сводится к изучению соответствующей факторгруппы. В нашем случае, если подсистема А имеет неприводимую компоненту типа А1, то Е(а) может не быть нормальной в Б(а). Это связанно с тем, что элементарная подгруппа не обязательно нормальна в ЯЬ(2,Я). Поэтому при наличии таких компонент мы немного упростим нашу задачу, добавив к множеству образующих группы Е(А, Я) образы симплектических транс-векций при вложениях ЯЬ(2, Я) в С(Ф, Я) соответствующих этим компонентам. Полученную

группу мы обозначаем через Е(Д, Я). В таком случае вместо сэндвича зажатого между Е(а) и Б (а) мы будем изучать сэндвич зажатый между Е(а) и Б (а), где группа Е(а) порождена группами Е(а) и Е(Д, Я).

Во всех теоремах третьей главы мы предполагаем следующее условие.

Для любого 7 € Ф \ Д найдется а Е Д, такой, что а + 7 € Ф, и соответствующая структурная константа са,7 алгебры Шевалле. Д)

обратима в кольце Я

Первым основным результатом третьей главы является теорема 3.2.3.

Теорема. Пусть а — сеть идеалов в кольце Я. Тогда Е(а) — нормальная подгруппа в Б (а).

Таким образом изучение сэндвича сводится к изучению соответствующей факторгруппы. Другие основные результаты третьей главы (теоремы 3.2.4 и 3.2.5) показывают, что при определенных условиях эта факторгруппа имеет субнормальный ряд длины 3, в котором верхний фактор конечный (если кольцо нетерово), следующий фактор абелев, а последний нильпотентен. В формулировках этих теорем фигурирует подгруппа С(а) ^ Б (а), которую мы определим в параграфе 3.2. Морально она является компонентой связности группы Б (а).

Теорема 3.2.4 касается факторгруппы Б(а)/С(а).

Теорема. Подгруппа С(а) нормальна в группе Б (а) и существует инъективный гомоморфизм

Б(а)/С(а) ~ Д W(Ф, ^р(а))/Ж(Др П —Др).

ре©

Здесь в — подмножество в множестве простых идеалов кольца Я, которое мы определим в параграфе 3.2. Сейчас скажем лишь, что если кольцо Я нетерово, то множество в конечно. Про группы W(Ф,Ер(а)) мы сейчас скажем лишь то, что они являются подгруппами в группе Вейля W(Ф), а группы W(Др П —Др) в свою очередь являются их нормальными подгруппами.

Теорема 3.2.5 касается факторгруппы С(а)/Е(а) в случае когда в подсистеме Д нет неприводимых компонент типа А^. К сожалению здесь замена Е(а) на Е(а) не помогает обобщить теорему на случай наличия таких компонент.

Теорема. Если у подсистемы Д нет неприводимых компонент типа А1, а кольцо Я имеет, конечную размерность Басса-Серра, то факторгруппа С(а)/Е(а) содержит нормальную нильпотентную подгруппу, факторгруппа по которой абелева.

Основные обозначения

Ниже мы введем основные обозначения, используемые на протяжении всей диссертации.

Системы корней и группы Шевалле. Пусть Ф — неприводимая приведенная система корней в смысле [5], P — решетка, промежуточная между решеткой корней 0(Ф) и решеткой весов Р(Ф), и R — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим через G^,R) = GP^,R) соответствующую группу Шевалле, через T^,R) = TP^,R) — ее расщепимый максимальный тор, и для каждого корня а Е Ф обозначим через Xa = {xa(£), : £ Е R} соответствующую корневую унипотентную подгруппу, относительно данного тора. Элементарную подгруппу, порожденную всеми Xa, а Е Ф, мы будем обозначать через E(Ф, R) = R).

Пусть А — подсистема в Ф. Обозначим через E(А, R) подгруппу в G^,R), порожденную всеми Ха, где а Е А. Можно показать, что она будет элементарной подгруппой группы Шевалле С(А, R), вложенной в G^, R). Решетка между 0(А) и Р(А) при этом будет ортогональной проекцией решетки P на соответствующее подпространство.

Группы Вейля систем Ф и А будут обозначаться через W(Ф) и W(А), соответственно.

Аффинные схемы и общие элементы. Функтор G^, —) из категории колец в категорию групп является аффинной групповой схемой (групповая схема Шевалле—Демазюра). Это значит, что его композиция с забывающим функтором в категорию множеств представима. То есть

G^,R) = Hom(Z[G],R). Кольцо Z[G], которое его представляет, называется кольцом регулярных функций на схеме

G^, —).

Элемент ggen Е G^, Z[G]), соответствующий тождественному гомоморфизму колец, называется общим элементом схемы G^, —). Этот элемент обладает универсальным свойством: для любого кольца R и любого g Е G^, R) существует единственный гомоморфизм колец

f: Z[G] ^ R,

такой, что f*(ggen) = g. По поводу метода общего элемента в задачах рассматриваемого нами типа смотри статью А.В. Степанова [74].

Теоретико-групповые обозначения.

• Если группа G действует на множестве X, x Е X и Y С X, то будем обозначать через StabG (x) и StabG (Y) стабилизатор элемента x и стабилизатор подмножества Y (не

поточечный, а как подмножества).

• Коммутаторы предполагаются левонормированными

[ж, у] = жуаГ1^-1.

• Верхний индекс означает левое или правое сопряжение

9 К = дКд-1, К9 = д-1Кд.

• Если X — подмножество в группе С, то через (X) мы будем обозначать подгруппу, порожденную множеством X.

• Если Н ^ С, то через Н° обозначается нормальное замыкание подгруппы Н в группе С.

Алгебры Ли. Будем обозначать через Ь(Ф, целочисленную линейную оболочку базиса Шевалле в комплексной алгебре Ли типа Ф (смотри [38]). Введем обозначение для алгебры Шевалле Ь(Ф,Я) = Ь(Ф,Я. Это алгебра Ли над кольцом Я, на которой группа С(Ф, Я) действует посредством присоединенного представления. Для элементов д Е С(Ф, Я) и V Е Ь(Ф, Я) будем обозначать присоединенное действие через 9V.

Стоит отметить, что алгебра Шевалле Ь(Ф, Я), вообще говоря, не изоморфна алгебре Ли алгебраической группы С(Ф,Я) (смотри, например, [68]). Впрочем, для случая односвязных групп, эти алгебры канонически изоморфны.

Будем обозначать через еа, а Е Ф и Кх, I = 1,...,гкФ — базис Шевалле алгебры Ли Ь(Ф, Я). Ее торическую подалгебру, порожденную элементами Кх будем обозначать через Д.

Для каждого элемента V Е Ь(Ф,Я) будем обозначать через V" и Vх его коэффициенты в разложении по базису Шевалле.

Скобку Ли мы будем обозначать через [•, •]. Конфликта обозначений с групповым коммутатором возникать не должно. Из контекста всегда будет видно, где происходят вычисления в группе, а где в алгебре.

Глава 1 Вычисления с тандемами

В этой главе предполагается, что Ф — система с простыми связями, т.е. типа ADE.

1.1 Тандемы

Дадим следующее определение.

Определение 1.1.1. Элемент множества С(Ф, R) х Ь(Ф, R) называется тандемом, если он имеет вид (h(x«(£)), h(£ea)), где а е Ф, £ е R и h е С(Ф, R).

На самом деле, можно показать, что первая компонента тандема восстанавливается по второй, но для наших целей это несущественно.

Замечание. Для данного корня в е Ф любой тандем (h(xa(£)), h(£ea)) можно записать в виде (h'(xe(£')),h'(£'ee)). При этом h' получается из h подкруткой на элемент расширенной группы Вейля, и £' = ±£.

Докажем ряд лемм, помогающих делать вычисления с тандемами.

Лемма 1.1.2. Первые компоненты тандемов действуют на элемент v е L^,R) следующим образом.

(hM?))v = v + [h(£e„), v] - £(h-1 v)-a ■ h(£e„).

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать равенство

xa(«v = v +[(£ee),v] - v-a ■ (£2e„). (#)

В самом деле, если подставить в это равенство h 1 v вместо v и подействовать на обе части элементом h, то мы получим требуемое равенство.

В свою очередь, равенство (#) достаточно проверять в случае, когда R — это кольцо многочленов над Z, а £ и все коэффициенты вектора v — независимые переменные. Действительно, если равенство доказано для кольца многочленов, то мы можем доказать его для произвольного кольца R применив гомоморфизм из кольца многочленов в кольцо R, отправляющий переменные в подходящие элементы. Итак, пусть R —кольцо многочлено, в этом случае 2 е R — не делитель нуля, и мы можем написать, что

xa(«v = v + [(£e«),v] + 2[(£e«), [(£ee),v]].

Остается проверить, что

[еа, [е„, V]] = -2^-а ■ е

а это следует из соотношений на базис Шевалле. □

Лемма 1.1.3. Пусть (д,/) — тандем и в € Ф. Тогда

дее = ее + [/,ев] - /-в ■ /.

Доказательство. Согласно замечанию к определению тандема, можно считать, что (д,/) = (^(жв(^)),)). По предыдущей лемме, достаточно проверить, что

/-в = е Г1 ев )-в.

В свою очередь, это достаточно проверять в случае, когда Я = Z[G][£], и к = дёеп — общий элемент. Пусть х — форма Киллинга на Ь(Ф, Я). Тогда

/-вх(е-в,ев) = х(/,ев) = Х^в),ев) = Сх(ев, ^ев) = ев)-вх(ев, е-в) =

= С С" ев )-в х(е-в ,ев).

Так как в Z[G][£] нет делителей нуля, на х(е-в, ев) можно сократить. □

Лемма 1.1.4. Пусть & С Ф — параболическое множество корней, пусть Ре — соответствующая параболическая подгруппа, и пусть (д,/) — тандем, такой, что / лежит в алгебре Ли Ь&, где

= В ф 0 Я ■ е„ ^ Ь(Ф,Я).

«ее

Тогда д € Р&.

Предупреждение. Если мы рассматриваем не односвязную группу С(Ф, Я), то алгебру Ь& не следует путать с алгеброй Ли Ые(Р&) подгруппы Р&.

Доказательство. Из леммы 1.1.2 следует, что д € Я1аЬс(Ф,д)(Ье). Таким образом, требуемое утверждение вытекает из следующей леммы. □

Лемма 1.1.5. Пусть & С Ф — параболическое множество корней. Тогда выполнено равенство Ре = Я1аЬс(Ф,д) (Ье).

Доказательство. Для начала разберем случай, когда группа С(Ф,Я) односвязная. В этом случае Ь& = Ые(Р&).

Очевидно, что Р& С 81аЬс(ф,д)(Ые(Р&)). Пусть

Ф: Р& ^ Я1аЬс(Ф,д) (Ые(Р&))

— вложение, рассматриваемое как морфизм групповых схем над Z. Здесь нужно заметить, что 81аЬС(ф,Д)(Ые(Ре)) задан уравнениями над Z, а именно, некоторые матричные коэффициенты в присоединенном представлении должны быть равны нулю. Мы будем обозначать соответствующую схему через Я1аЬ(Ь1е(Ре)). Нам нужно показать, что морфизм ф является изоморфизмом.

Согласно теореме 1.6.1 работы [81], с учетом того, что параболическая подгруппа гладкая (над Z) и, в частности, плоская, достаточно проверить, что для любого алгебраически замкнутого поля Ь выполняются следующие утверждения:

1. &ш((Ре)ь) ^ Ые(^аЬ(Ые(Ре)))ь),

2. отображения ф(Ь) и ф(Ь[е]/(е2)) инъективны,

3. все элементы Я1аЬ(Ь1е(Ре))(Ь), нормализующие связную компоненту единицы Ре (то есть просто Ре), лежат в Ре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гвоздевский Павел Борисович, 2023 год

Литература

[1] Ананьевкий А. С., Вавилов Н. А., Синчук С. С. Об описании надгрупп Е(/, Д) 0 Е(т, Д) // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 5-28.

[2] Ананьевкий А. С., Вавилов Н. А., Синчук С. С. О надгруппах Е(т, Д) 0Е(п, Д). I. уровни и нормализаторы // Алгебра и анализ. — 2011. — Т. 23, № 5. — С. 55-98.

[3] Боревич З. И., Вавилов Н. А. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц // Тр. МИАН. — 1978. — Т. 148. — С. 43-57.

[4] Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр. МИАН. — 1984. — Т. 165. — С. 24-42.

[5] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы 4-6. — Москва: Мир, 1972.

[6] Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых ортогональных групп над кольцом // Сибирский матем. журн. — 1988. — Т. 29, № 4. — С. 537-547.

[7] Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых классических групп // Тр. МИАН. — 1990. — Т. 183. — С. 29-42.

[8] Вавилов Н. А., А. Петров В. О надгруппах ЕО(2/,Д) // Зап. научн. сем. ПОМИ.— 2000. — Т. 272. — С. 68-85.

[9] Вавилов Н. А., А. Петров В. О надгруппах Ер(2/,Д) // Алгебра и анализ. — 2003.— Т. 15, № 4. — С. 72-114.

[10] Вавилов Н. А., А. Петров В. О надгруппах ЕО(п, Д) // Алгебра и анализ. — 2007.— Т. 19, № 2. — С. 10-51.

[11] Вавилов Н. А., Б. Плоткин Е. Сетевые подгруппы групп Шевалле. II. Разложение Гаусса // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1982. — Т. 114. — С. 62-76.

[12] Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р. А2-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов Е6 и Е7 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 4. — С. 54-87.

[13] Вавилов Н. А., Лузгарев А. Ю. Нормализатор группы Шевалле типа Е6 // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, № 5. — С. 37-64.

[14] Вавилов Н. А., Лузгарев А. Ю. Нормализатор группы Шевалле типа E7 // Алгебра и анализ. — 2015. — Т. 27, № 6. — С. 57-88.

[15] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Подгруппы полной линейной группы над кольцом, удовлетворяющим условиям стабильности // Изв. вузов. Матем. — 1989. — № 10. — С. 1925.

[16] Вавилов Н. А., Степанов А. В. Надгруппы полупростых групп // Вестн. СамГУ. Есте-ственнонаучн. сер. — 2008. — № 3. — С. 51-95.

[17] Вавилов Н. А., Щеголев А. В. Надгруппы subsystem subgroups в исключительных группах: уровни // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2012. — Т. 400. — С. 70-126.

[18] Воронецкий Е.Ю. Группы, нормализуемые нечётной унитарной группой // Алгебра и анализ. — 2019. — Т. 31, № 6. — С. 38-78.

[19] Гвоздевский П. Б. Надгруппы подгрупп Леви I. Случай абелева унипотентного радикала // Алгебра и анализ. — 2019. — Т. 31, № 6. — С. 79-121.

[20] Гвоздевский П. Б. Надгруппы подсистемных подгрупп в исключительных группах: 2A1-доказательство // Алгебра и анализ. — 2020. — Т. 32, № 6. — С. 72-100.

[21] Гвоздевский П. Б. Надгруппы подсистемных подгрупп в исключительных группах: неидеальные уровни // Алгебра и анализ. — 2021. — Т. 33, № 6. — С. 9-48.

[22] Гвоздевский П. Б. Надгруппы подсистемных подгрупп в исключительных группах: внутри сэндвича // Алгебра и анализ. — 2022. — Т. 34, № 4. — С. 47-73.

[23] Голубчик И. З. О подгруппах полной линейной группы GLn(R) над ассоциативным кольцом R // УМН. — 1984. — Т. 39, № 1. — С. 125-126.

[24] Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Астроном. — 1982. — Т. 13. — С. 33-40.

[25] Копейко В. И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов // Мат. Сб. — 1978. — Т. 106, № 1. — С. 94-107.

[26] Лубков Р. А. Надгруппы элементарных подгрупп редуктивных групп в неприводимых представлениях: Ph.D. thesis / SPbU. — 2022.

[27] Лубков Р. А. Обратное разложение унипотентов в поливекторных представлениях // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2022. — Препринт.

[28] Лубков Р. А., Некрасов И. И. Явные уравнения на внешний квадрат полной линейной группы // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2018. — Т. 470. — С. 120-137.

[29] Лузгарев А. Ю. О надгруппах E(E6,R) и E(E7,R) в минимальных представлениях // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. — Т. 319. — С. 216-243.

[30] Лузгарев А. Ю. Надгруппы исключительных групп. — Кандидатская диссертация, СПб-ГУ, Санкт-Петребург, 2008.

[31] Лузгарев А. Ю. Описание надгрупп F4 в над коммутативным кольцом // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20. — С. 148-185.

[32] Нужин Я. Н. О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями // Алгебра и логика. — 1983. — Т. 22, № 5. — С. 526-541.

[33] Нужин Я. Н. Группы, лежащие между группами Шевалле типа B^, Q, F4, G2 над несовершенными полями характеристики 2 и 3 // Сибирский матем. журн. — 2013.— Vol. 54, no. 1. —p. 157-162.

[34] Нужин Я. Н., Якушевич А. В. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов // Алгебра и логика. — 2000. — Т. 39, № 3. — С. 347-358.

[35] Петров В. А. Нечетные унитарные группы // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2003.— Т. 305. — С. 195-225.

[36] Степанов А. В. Описание подгрупп полной линейной группы над кольцом при помощи условий стабильности // Кольца и линейные группы. — Краснодар: Кубанский госуда-ственный университет, 1988.— С. 82-91.

[37] Степанов А. В. Структурная теория и подгруппы групп шевалле над кольцами. — Докторская диссертация, Санкт-Петребург, 2014.

[38] Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — МЦНМО, 2003.

[39] Щеголев А. В. Надгруппы блочно-диагональных подгрупп гиперболической унитарной группы над квази-конечным кольцом: Основные результаты // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2016. — Т. 443. — С. 222-233.

[40] Щеголев А. В. Надгруппы элементарной блочно-диагональной подгруппы классической симплектической группы над произвольным коммутативным кольцом // Алгебра и анализ. — 2018. — Т. 30. — С. 147-199.

[41] Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J. — 1976. — Vol. 28, no. 2. — p. 185-198.

[42] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. — 1984. — Vol. 76. — p. 469-514.

[43] Bak A. Nonabelian K-theory: The nilpotent class of K and general stability // K-Theory. — 1991. —Vol. 4. —p. 363-397.

[44] Burness T. C., Testerman D. M. Irreducible Subgroups of Simple Algebraic groups — A Survay // Groups St. Andrew 2017 Birmingham.— Cambridge University Press: 2019.— p. 230-260.

[45] Cohn P. M. On the structure of the GL2 of a ring // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. — 1966. — Vol. 30. — p. 5-53.

[46] Cooperstein B. N. Nearly maximal representations for the special linear group // Michigan Math. J. — 1980. — Vol. 27, no. 1. — p. 3-19.

[47] Demazure M., Gabriel P. Introduction to algebraic geometry and algebraic groups. Math. Stud. 39. — Amsterdam: North-Holland, 1980.

[48] Djokovic D. Z., Li Chi-Kwong. Overgroups of some classical linear groups with applications to linear preserver problems // Linear Algebra Appl. — 1994. — Vol. 197/198. — p. 31-61.

[49] Djokovic D. Z., Platonov V. P. Algebraic groups and linear preserver problems // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. A. — 1993. — Vol. 317, no. 10. — p. 925--930.

[50] Guralnick R. M. Invertible preservers and algebraic groups // Linear Algebra Appl. — 1994. — Vol. 212/213. —p. 249-257.

[51] Guralnick R. M. Invertible preservers and algebraic groups II: Preservers of similarity invariants and overgroups of PSLn(F) // Linear and Multilinear Algebra. — 1997. — Vol. 43. — p. 221-255.

[52] Guralnick R. M. Monodromy groups of coverings of curves // Galois Groups and Fundamental Groups, Math. Sci. Res. Inst. Publ. — 2003. — Vol. 41. — p. 1-46. — Cambridge Univ. Press, Cambridge.

[53] Guralnick R. M., Li Chi-Kwong. Invertible preservers and algebraic groups III: Preservers of unitary similarity (congruence) invariants and overgroups of some unitary subgroups // Linear and Multilinear Algebra. — 1997. — Vol. 43. — p. 257-282.

[54] Guralnick R. M., Pham H. T. Low-dimensional representations of special linear groups in cross-characteristics // Proc. London Math. Soc. (3).— 1999. — Vol. 78, no. 1. — P. 116-138.

[55] Gvozdevsky P. B. Overgroups of subsystem subgroups in exceptional groups // Doklady Mathematics. — 2022. — to appear.

[56] Hazrat R., Vavilov N. K1 of Chevalley groups are nilpotent // J. Pure and Appl. Algebra.— 2003. —Vol. 179. —p. 99-116.

[57] Li Shangzhi. Subgroup structure of classical groups. — Shanghai Scientific & Technical Publ., 1998. — (китайский).

[58] Li Shangzhi. Overgroups in GL(nr, F) of certain subgroups of SL(n,K), I // J. Algebra.— 1989. — Vol. 125. — p. 215-235.

[59] Li, Shangzhi. Overgroups in GL(U ® W) of certain subgroups of GL(U) ® GL(W), I // J. Algebra. — 1991. — Vol. 137, no. 2. — p. 338-368.

[60] Li Shangzhi. SL(n, K)L ® SL(m, K)R over a skewfield K. — 1997. — Preprint.

[61] Li Shangzhi. Overgroups in GL(nr, F) of certain subgroups of SL(n,K), II.— 1997.— Preprint.

[62] Li Shangzhi. Overgroups in GL(U®W) of certain subgroups of GL(U)®GL(W), II. — 1997. — Preprint.

[63] Lubkov R. The reverse decomposition of unipotents for bivectors // Comm. Algebra. — 2021. — Vol. 49, no. 10. —p. 4546-4556.

[64] Lubkov R. Overgroups of elementary groups in polyvector representations. — 2022. — Preprint. https://arxiv.org/abs/2203.13683.

[65] Lubkov R., Stepanov A. Subgroups of Chevalley groups over rings // J. Math, Sci. — 2021. — Vol. 252. — p. 829-840.

[66] Platonov V. P., Djokovic D. Z. Linear preserver problems and algebraic groups // Math. Ann. — 1995. — Vol. 303. — p. 165-184.

[67] Platonov V. P., Djokovic D. Z. Subgroups of GL(n2, C) containing PSU(n) // Trans. Amer. Math. Soc. — 1996. — Vol. 348. — P. 141-152.

[68] Roozemond D. A. Algorithms for Lie algebras of algebraic groups: Ph.D. thesis / Technische Universiteit Eindhoven. — 2010.

[69] Seitz G.M. The maximal subgroups of classical algebraic groups // Mem. Am. Matn. Soc. — 1987. — Vol. 67, no. 365.

[70] Shchegolev A. Overgroups of elementary block-diagonal subgroups in even unitary groups over quasi-finite rings: Ph.D. thesis / Universität Bielefeld.— 2015.

[71] Stepanov A. V. Nonstandard subgroups between En(R) and GLn(A) // Algebra Colloq. — 2004. — Vol. 10, no. 3. — p. 321-334.

[72] Stepanov A. V. Free product subgroups between Chevalley groups G($, F) and G($, F[t]) // J. Algebra. — 2010. — Vol. 324, no. 7. — p. 1549-1557.

[73] Stepanov A. V. Subring subgroups in Chevalley groups with doubly laced root systems // J. Algebra. — 2012. — Vol. 362. — p. 12-29.

[74] Stepanov A. V. Structure of Chevalley groups over rings via universal localization // J. Algebra. — 2016. — Vol. 450. — p. 522-548.

[75] Stepanov A. V., Vavilov N. A. Decomposition of transvections: Theme with variations // K-Theory. — 2000. — Vol. 19, no. 2. — p. 109-153.

[76] Taddei G. Normalite des groupes elementaire dans les groupes de Chevalley sur un anneau // Contemp. Math. — 1986. — Vol. 55. — p. 693-710.

[77] Vaserstein L. N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J. — 1986. — Vol. 38. — p. 219-230.

[78] Vavilov N. A. Intermediate subgroups in Chevalley groups // London Math. Soc. Lecture Note Ser. — 1995. — Vol. 207. — p. 233-280.

[79] Wang X. T., Hong C. S. Overgroups of elementary unitary groups in linear group over commutative rings // J. Algebra. — 2008. — Vol. 320, no. 3. — p. 1255-1260. — (Китайский).

[80] Waterhouse W.C. Invertibility of linear maps preserving matrix invariants // Linear and Multilinear Algebra. — 1983. — Vol. 13. — P. 105-113.

[81] Waterhouse W.C. Automorphisms of det(xj): the group scheme approach // Adv. Math. — 2003. —Vol. 179. —p. 99-116.

[82] You Hong. Overgroups of symplectic group in linear group over commutative rings // J. Algebra. — 2004. — Vol. 282, no. 1. — p. 23-32.

[83] You Hong. Overgroups of calssical groups in linear group over Banach algebras // J. Algebra. — 2006. — Vol. 304, no. 2. — p. 1004-1013.

[84] You Hong. Overgroups of calssical groups over commutative rings in linear group // Sci. China Ser. A. — 2006. — Vol. 49, no. 5. — p. 626-638.

ST. PETERSBURG STATE UNIVERSITY

manuscript

PAVEL GVOZDEVSKY

OVERGROUPS OF SUBSYSTEM SUBGROUPS 1.1.5. Mathematical logic, algebra, number theory, and discrete mathematics

Candidate Dissertation in Physics and Mathematics

Translation from Russian

SCIENTIFIC ADVISOR professor Nikolai Alexandroyich Vavilov

ST. PETERSBURG 2022

Contents

Introduction ....................................................................................4

Basic notation ..................................................................................11

Chapter 1 Calculations with tandems ....................................................13

1.1 Tandems..................................................................................13

1.2 Bitandems................................................................................15

1.3 A2-tandems..............................................................................17

Chapter 2 Sandwich classification theorem..............................................19

2.1 Motivation................................................................................19

2.2 Notation..................................................................................20

2.2.1 Condition on subsystem, blocks, and combinatorial lemma..................20

2.2.2 Lie algebras......................................................................21

2.2.3 Prelevels..........................................................................22

2.3 Lie overalgebras ..........................................................................23

2.4 The condition on the ground ring......................................................25

2.5 Level computation ......................................................................26

2.5.1 Elementary level ................................................................26

2.5.2 Invariant level....................................................................29

2.6 What is going on?........................................................................30

2.7 A 2Ai-proof..............................................................................34

2.7.1 Parabolic subgroups ............................................................34

2.7.2 Extraction of generators........................................................35

2.7.3 The proof of Proposition 2.6.4..................................................36

2.8 An A2-proof..............................................................................37

2.8.1 Parabolic subgroups ............................................................38

2.8.2 Extraction of generators........................................................38

2.8.3 The proof of Proposition 2.6.5..................................................41

2.9 Special cases and corollaries for multiply laced systems..............................43

2.9.0 Ideal levels........................................................................43

2.9.1 Dn_i ^ Dn......................................................................43

2.9.2 4A1 ^ E6........................................................................46

2.9.3 lA1 ^ A21-1......................................................................46

2.9.4 A2 ^ D4..........................................................................47

Chapter 3 Inside a sandwich................................................................48

3.1 Notation..................................................................................48

3.1.1 Reduction homomorphisms and congruence subgroups ......................48

3.1.2 Nets of ideals....................................................................48

3.1.3 Net subgroups ....................................................................49

3.1.4 Images of SL2....................................................................49

3.1.5 Localisation......................................................................51

3.1.6 Affine schemes and generic elements............................................51

3.2 Statements of the main results ..........................................................52

3.3 The proof of Theorem 3.2.1 ............................................................54

3.4 The proof of Theorem 3.2.2 ............................................................56

3.5 Relative net subgroups ..................................................................58

3.6 The proof of Theorem 3.2.3 ............................................................61

3.7 The standard commutator formula ....................................................63

3.8 The proof of Theorem 3.2.4 ............................................................64

3.9 The proof of Theorem 3.2.5 ............................................................65

Conclusion........................................................................................69

Bibliography ....................................................................................70

Introduction

The object of research are Chevalley groups over arbitrary commutative rings, the subject of research are their structure and properties. The purpose of research is to classify all overgroups of the elementary subsystem subgroups.

Relevance of the topic. In the paper [4], devoted to the maximal subgroup classification project, Michael Aschbacher introduced eight classes C\-C8 of subgroups of finite simple classical groups. The groups from these classes are "obvious" maximal subgroups of a finite classical groups. To be precise, each subgroup from an Aschbacher class either is maximal itself or is contained in a maximal subgroup that in its turn either also belongs to an Aschbacher class or can be constructed by a certain explicit procedure.

By analogy with Achbacher classes, N. A. Vavilov defined five classes of "large" subgroups of the Chevalley groups (including exceptional ones) over arbitrary rings (see, for example, [60, 72] for details). It became clear later that one more class can be added, the one that correspond to the exceptional Achbacher class S. Vavilov conjectured that despite these subgroups not being maximal they are still sufficiently large for the corresponding overgroup lattice to admit a description. Obtaining such a description is a very relevant problem, which is confirmed by a large number of recent publications devoted to this range of problems. Among these publications we distinguish the following.

• For the class C8 overgroups of classical groups were studied by experts from the St. Petersburg school [67, 69, 68, 48] and independently from the Chinese school [79, 83, 84, 82]. Further these works were resumed by A. Y. Luzgarev, who obtained similar results for exceptional groups [65, 66, 43, 42, 44].

• The subgroups that correspond to subrings of the ground ring form Achbacher class C5. Their study began in papers [46, 45, 47]. Later A. .V. Stepanov obtained almost final results in this class, see [57, 58, 59].

• For the class C4 + C7 there are only separate results of St. Petersburg mathematicians, such as a partial description of overgroups of the tensor product of elementary groups, see [3, 2]. Besides, overgroups of groups from the class C4 over a field were studied in papers by Shang Zhi Li [33, 32, 35, 30].

• For the class C3 description of overgroups of ring extension subgroups is extremely difficult. Only for the general linear group Shang Zhi Li described overgroups for an arbitrary finite extension of fields [31, 34].

• For the exceptional class S that consist of almost simple groups in certain absolutely irreducible representations, the description of overgroups in certain cases were studied in thesis by R. A. Lubkov [38], which is based on papers [39, 40, 41, 37, 36]. Besides, some results in this direction were obtained over a finite field, see [11], and over an algebraically closed field, see [9, 52].

• Let us mention another closely related series of works [14, 13, 16, 17, 19, 18, 20, 49, 50, 80] on overgroups of semisimple subgroups related to linear preserver problems. In these papers they consider similar problems on description of overgroups, e. g., for the image of the elementary group in the adjoint embedding. For arbitrary rings a lot of problems are not solved. There are only results for classical fields such as C or R.

The surveys [71, 77, 72] contain necessary preliminaries, the complete history, and many further related references.

State of the art. Another one of such classes of "large" subgroups is the class of subsystem subgroups, i.e. the subgroups that correspond to subsystems in the root system. The present thesis is devoted to description of their subgroups. From the maximal subgroup classification project point of view subsystem subgroups correspond to Achbacher classes C1 and C2. To put the results of the present thesis in a context, we now recall main results in the area that were known before the author's papers.

• In [7, 28] and also in some other papers, the overgroups of (elementary) subsystem subgroups in general linear group were studied. In this case, subsystem subgroups are the groups of block-diagonal matrices.

• Further in the thesis of N. A. Vavilov (see, in particular, [71] and [70]), this results were generalised for the cases of orthogonal and symplectic groups assuming that 2 e R*. The full proofs were published later. After that in the thesis of A. V. Shchegolev [53] this assumption was lifted and also the similar problem for unitary groups was solved (see also [54] and [55]), which closes the case of classical groups almost entirely.

• The cases of general linear and unitary groups can be generalised to certain noncommutative rings, but these rings should satisfy some other condition (for example, to be quasifinite or PI). The papers [15, 56, 76] are devoted to such generalisations.

• It turns out that to describe overgroups of subsystem subgroups in exceptional groups over a commutative ring (see, for example, [77, Problem 7]) is a much harder problem. The first step in this direction is paper [75]. It contains the list of pairs ($, A) (the root system and it's subsystem) for which such a description may be possible in principle, and for each such pair it is determined how this description should hypothetically look like.

Therefore, before the author's papers, firstly, all the results in this direction were obtained case-by-case; secondly, for the exceptional groups only statements of the hypotheses were known.

In the authors papers [21, 22, 25, 24], which the present thesis is based on, a uniform approach to this problem was developed, which in particular solves it for the exceptional groups.

Methods. The base scheme for studying problems similar to our was developed in papers by Vavilov and Borevich. Ideas from [73] help to generalise this scheme to exceptional groups. However, the direct use of methods from these papers would require some extremely difficult computation with matrices and, most likely, case-by-case consideration. In order to avoid that, we develop a new method of simultaneous computations in Chevalley group and in the corresponding Lie algebra, using the notion of tandem, which is introduced in Chapter 1. The proofs of the tandems properties use on its turn the concept of a generic element of a group scheme, and Waterhouse's lemma on the isomorphism of group schemes.

Moreover, in Chapter 3 of the present thesis, where we prove the analogs of elementary subgroup normality and K group being nilpotent theorems for the groups defined by nets of ideals, we use localisation-and-patching resp. localisation-completion methods similarly to how this is done in [63] and [26]; in addition, making use of generic element in spirit of [61] allow to simplify some proofs.

Approbation of work. All the results of the thesis are new, e new, are equipped with detailed proofs, and are published in refereeing scientific journals, that certifies their reliability [21, 22, 25, 24], see also survey [23]. All the paper above are written without any coauthors.

Methods and main results of this work were presented in the form of talks on the following international conferences:

• International workshop "Actual problems of the theory of algebraic groups", Saint-Petersburg 2019

• School-conference "Lie algebras, algebraic groups, and invariant theory", Moscow 2020.

The author presented seminar talks on the topic of the dissertation:

• St. Petersburg algebraic D. K. Faddeev seminar, PDMI of RAS, St. Petersburg, 2019;

• Algebraic groups, SPbU, St. Petersburg, 2018-2020.

The work is of theoretical nature, its results can be applied in the theory of linear algebraic groups, when holding educational and scientific seminars.

Organization of the dissertation. The work consists of three chapters and of the conclusion. In Chapter 1 we develop the technique of computations with tandems.

In Chapter 2 we prove the theorem on overgroups of subsystem subgroups classification in case of root systems of type ADE. Namely, we prove that under certain assumptions the lattice of such overgroups is a disjoint union of so called "sandwiches", which are in one-to-one correspondence with objects we call levels. In addition, we give some examples and show that for certain subsystems in multiply laced root systems the description of overgroups can be obtained as a corollary of the theorem for ADE-systems.

In Chapter 3 we prove a series of theorems that describe the structure of such a sandwich in case where the level is given by a net of ideals of the ground ring.

Finally, in the conclusion an overview of main results that are presented to defense is given, and some possible directions of further research are described.

Content of the dissertation. The main result of the present thesis is Theorem 2.6.3, which is proved in Chapter 2. Here we give its statement, and after that we explain the notation in it.

Theorem. Let $ be a root system of type ADE. Let A ^ $ be its subsystem that satisfies the condition (*). Let R be a commutative ring. Assume that either the condition (**), or the condition (***) hold true. Then for any overgroup E(A,R) ^ H ^ G($,R) there exists a unique level a such that

E(a) ^ H ^ S(a).

Here by G($, R) we denote Chevalley group of type $ over the ring R. The subgroup E(A, R) is an elementary subsystem subgroup, it is generated by elementary generators that correspond to the roots from the subsystem. The definition of a "level" is quite technical; it is completed in Section 2.6. Now we only say that a level is given by a collection of certain nilpotent elements of the Lie algebra L($,R) that correspond to the group G($,R). The subgroup E(a) is generated by exponents of level elements. In order to define the group S(a) one can first define the subalgebra Lmin(a) ^ L($,R): it is generated as an algebra by level elements; then the subalgebra Lmax(a) ^ L($, R): it is the normaliser of the algebra Lmin(a) in a sense of Lie algebras; then one define the subgroup S(a) ^ G($,R) as the stabiliser of the algebra Lmax(a) (as a subset) with respect to the adjoint action. The group S(a) is morally close to the normaliser of the group E(a) and coincides with it in many cases, but there are some nuances.

Now we roughly explain the meaning of the conditions (*), (**) and (***).

The condition (*) is fully formulated in Section 2.2.1. Its meaning is that the subsystem must be sufficiently large. It is a conjunction of two conditions. If the subsystem fails to satisfy the first part of the condition (*), then the overgroup lattice contains the lattice of all subgroups of (P)SL(2, R). One of examples of such subsystems is the subsystem E7 ^ E8 because between these two systems there is the system E7 + A1. Such a lattice can not admit any reasonable description already for R = Z because, for example, almost any finite simple group is a quotient of PSL(2, Z), i.e. even if we look only on normal subgroups in PSL(2, Z) there are too many of them. If the subsystem fails to satisfy the second part of the condition (*), then the overgroup lattice contains the lattice of overgroups of SL(2,R) in (P)SL(3,R). One of examples of such subsystems is the subsystem E6 + A1 ^ E8, because between these two systems there is the system E6 + A2. Author does not know any convincing argument explaining why it is impossible to describe such a lattice; we say only that the group SL(2, R) is too small to use methods that are known to us.

The condition (**) require that there were no homomorphisms from the ring R to the field F2. The equivalent statement is that the elements t2 +t, where t e R generate the unit ideal in the ring R. This is technical condition that in some cases is necessary for us to prove the theorem. The condition on the subsystem, under which the ring can be arbitrary, is denoted by (***).

The condition (***), which is fully formulated in Section 2.6, is stronger than the condition (*). It is also a conjunction of two conditions. The smallest example of the subsystem that satisfy (*), but fails to satisfy the first part of (***) is the subsystem A2 ^ D4. For all the other examples the description of overgroups is in a strict sense more complicated than for the A2 ^ D4. For example, the subsystem A2 + D4 ^ E8 is such because between these two systems there is the system D4 + D4. In the same sense the minimal examples of subsystems that satisfy (*), but fails to satisfy the second part of (***) are subsystems 2Al ^ A3 and 4Ai ^ D4: any other example is "more complicated", than at least one of these.

Now we explain why if we do not impose any conditions on the ring, then we have to impose the condition (***). In the group G(D4, F2) the subgroup of fixed point of certain diagram automorphism is G(G2, F2); one can show that the derived subgroup of G(G2, F2) is an overgroup of E(A2, F2) that do not satisfy the conclusion of the theorem above. For overgroups of E(4Al, F2) in G(D4, F2) similar counterexample is the normaliser of the derived subgroup of E(4Al, F2). For the subsystem 2Al ^ A3 author does not know any counterexamples, but technical details of the proof require such a formulation of the condition (***) that exclude this subsystem.

Note that in all the 29 problems proposed in [75] the subsystems satisfy the condition (*). Therefore, Theorem 2.6.3 solves all these problems, but for some of them the condition (**) is required.

The main part of the proof of Theorem 2.6.3 uses the technique of calculation with tandems, which we develop ion Chapter 1. Assume that the system $ has type ADE. We define tandem as a pair (g, l) E G($, R) x L($, R) such that for some a E $, £ E R and h E G($, R) we have g = h(xa(£)), where the upper index stand for conjugation, and l = h(£ea), where the upper index stand for the adjoint action. Here ea is an element of the Chevalley base, and xa(£) is an elementary generator of Chevalley group (the exponent of £ea).

The most important for our purposes results of Chapter 1 are Lemmas 1.2.3 and 1.3.3. Below we state them in such a way that minimise the amount of additional notation.

Lemma. (1.2.3+1.3.3) Let (g,l) be a tandem. Let al,a2 E $ be such that either al ± a2 or (al, a2) = 1. Let t E R. Then

g (Xai (tl-a2 )X«2 (-tl-"1)) E Pc

where Pai,a2 is the parabolic subgroup that correspond to the following parabolic set of roots: {Y E $: (al + a2,7) ^ 0}.

Using this lemma given an overgroup H and given an element g E H, which, in addition, is the first component of a tandem, we can obtain certain elements in H if Pai,a2, where al,a2 E A are as above. This is the key part of the proof of Theorem 2.6.3.

Now we describe the results of Chapter 3. By Theorem 2.6.3, under certain assumptions the overgroup lattice of an elementary subsystem subgroup is a disjoint union of so called "sandwiches", which are in one-to-one correspondence with objects we call levels. Sandwich is a set of overgroups placed between E(a) and S(a). In Chapter 3 we study the structure of such a sandwich

in an important special case: where the level is given by a net of ideals.

For a given root system $ and its subsystem A we call a net of ideals a collection of ideals a = |aa}ae$ of the ring R that satisfy the following conditions

1. If a,^ and a + ^ e $, then aaap C .

2. If a e A, then aa = R.

From a net of ideals one can obtain a level, whose elements are £ea, where a e $ and £ e aa. We identify a net of ideals with the corresponding level.

Note that it make sense to consider levels given by nets of ideals also for the multiply laced systems. In this case we can define groups E(a) and S(a) in the same way. Despite the fact that Theorem 2.6.3 stated only for simply laced systems, subsystem subgroups overgroup description for multiply laced systems in some cases can be obtained as a corollary of Theorem 2.6.3 (see. Section 2.9).

Above we listed many papers that describe overgroups of "large" subgroups in Chevalley groups over rings. Usually they prove as we do that the overgroup lattice is a disjoint union of certain "sandwiches"; in addition, the lower bound of a sandwich is a normal subgroup in the upper one. Therefore, to study such a sandwich, it suffices to study the corresponding quotient group. In our case, if the subsystem A has an irreducible component of type A1, then E(a) may not be normal in S(a). This is because the elementary subgroup may not be normal in SL(2, R). That is why, for the cases where such components are present, we simplify our problem a bit by adding to the set of generators of the group E(A, R) the images of symplectic transvections under the imbeddings of SL(2,R) in G($,R) that correspond to these components. The obtained group we denote by E(A,R). Hence instead of the sandwich placed between E(a) and S(a) we study the sandwich placed between E(a) and S(a), where the group E(a) is generated by groups E(a) and E(A, R).

In all the theorems in Chapter 3 we assume the following condition.

For any y e $ \ A there exists a e A such that a + y e $,

and the corresponding structural constant ca,Y of the Chevalley algebra (J)

is invertible in the ring R.

The first main result of Chapter 3 is Theorem 3.2.3.

Theorem. Let a be the net of ideals in the ring R. Then E(a) is a normal subgroup of S(a).

Therefore, to study such a sandwich, it suffices to study the corresponding quotient group. Another main results of Chapter 3 (Theorems 3.2.4 and 3.2.5) shows that under certain assumptions this quotient group has a subnormal series of length 3 such that its top factor is finite (if the ground ring is Noetherian) the next factor is abelian and the last one is nilpotent. In the statements of these theorems the subgroup G(a) ^ S(a), which we define in Section 3.2, arises. Morally it is the connected component of the group S(a).

Theorem 3.2.4 concerns the quotient group S(a)/G(a).

Theorem. The subgroup G(a) is normal in S(a) and there exists an injective homomorphism

S(a)/G(a) ~ H W($, Fp(a))/W(APp f —APp). pe©

Here 6 is a subset in a set of prime ideals of the ring R, which we define in Section 3.2. Now we say only that if the ring R is Noetherian, then the set 6 is finite. What we now say about groups W($,Fp(a)) is only that they are subgroups in the Weyl group W($), and the groups W(APp f — APp) on their turn are their normal subgroups.

Theorem 3.2.5 concerns the quotient group G(a)/E(a) in case where the subsystem A has no irreducible components of type Al. Unfortunately, here replacement of E(a) by E(a) does not help to generalise the theorem to the case where such components are present.

Theorem. If the subsystem A has no irreducible components of type Al, and the ring R has finite Bass-Serre dimension, then the quotient G(a)/E(a) is nilpotent-by-abelian.

Basic notation

Below we introduce basic notation that is used the whole present thesis.

Root systems and Chevalley groups. Let $ be an irreducible root system in the sense of [8], P a lattice that is intermediate between the root lattice Q($) and the weight lattice P($), R a commutative associative ring with unity, G($,R) = GP($,R) a Chevalley group of type $ over R, T($, R) = TP($,R) a split maximal torus of G($,R). For every root a e $ we denote by Xa = {xa(£), : £ e R} the corresponding unipotent root subgroup with respect to T. We denote by E($, R) = EP($, R) the elementary subgroup generated by all Xa, a e $.

Let A be a subsystem of $. We denote by E(A,R) the subgroup of G($,R), generated by all Xa, where a e A. It is called an (elementary) subsystem subgroup. It can be shown that it is an elementary subgroup of a Chevalley group G(A, R), embedded into the group G($, R). Here the lattice between Q(A) and P(A) is an orthogonal projection of P onto the corresponding subspace.

We denote by W($) resp. W(A) the Weyl groups of the systems $ resp. A.

Affine schemes and generic elements. The functor G($, —) from the category of rings to the category of groups is an affine group scheme (a Chevalley-Demazure scheme). This means that its composition with the forgetful functor to the category of sets is representable, i.e.,

G($, R) = Hom(Z[G], R).

The ring Z[G] here is called the ring of regular functions on the scheme G($, —).

An element ggen e G($, Z[G]) that corresponds to the identity ring homomorphism is called the generic element of the scheme G($, —). This element has a universal property: for any ring R and for any g e G($, R), there exists a unique ring homomorphism

f: Z[G] ^ R,

such that f*(ggen) = g. For details about application of the method of generic elements to the problems similar to that of ours, see the paper of A. V. Stepanov [61].

Group theoretic notation.

• If the group G acts on the set X, x e X and Y C X, we denote by StabG(x) resp. StabG(Y) the stabiliser of the element x resp. the stabiliser of the subset Y (as a subset, not pointwise).

• Commutators are left normalised:

[x,y] = Xy 1.

• Upper index stands for the left or right conjugation:

g h = ghg-, hg = g-lhg.

• If X is a subset of the group G, we denote by (X) the subgroup generated by X.

• If H ^ G, then by HG we denote the normal closure of the subgroup H in the group G.

Lie algebras. We denote by L($, Z) the integer span of the Chevalley basis in the complex Lie algebra of type $ (see [27]). The following notation stands for Chevalley algebra L($,R) = L($, Z) ®Z R. This is a Lie algebra over the ring R equipped with an action of the group G($,R) called the adjoint representation. For elements g E G($,R) and v E L($,R), we denote this action by gv.

Note that the algebra L($, R), in general, is not isomorphic to the tangent Lie algebra of the algebraic group G($, R) (see, for example, [51]). However, if the group is simply connected, then these algebras are canonically isomorphic.

We denote by ea, a E $ and h^, i = 1,..., rk $ the Chevalley basis of the Lie algebra L($, R). By D we denote its toric subalgebra generated by hj.

For every element v E L($, R), we denote by va and v% its coefficient in Chevalley basis.

Lie bracket is denoted by [ ■, ■ ]. The same notation stands for the group commutator, but it should be clear from the context whether the calculation are in a group or in a algebra.

Chapter 1 Calculations with tandems

In this Chapter we assume that $ is a simply laced root system, i.e of type ADE.

1.1 Tandems

We give the following definition.

Definition 1.1.1. We call an element of the set G($, R) x L($, R) a tandem if it can be writen as (h(xa(£)),h(£ea)), where a e $, £ e R and h e G($,R).

Actually, it can be shown that the first component of a tandem can be recovered from the second one, but this is inessential for our purposes.

Remark. For a given root ^ e $ any tandem (h(xa(£)),h(£ea)) can be written as (h'(xfi(£')),h'(£'e^)). Moreover, h' can be obtained from h by multiplication by certain element of the extended Weyl group, and £' = ±£.

Now we prove several lemmas that help perform calculations with tandems.

Lemma 1.1.2. The first component of a tandem acts on the element v e L($, R) in a following way:

(hM?))v = v + [h(£e„), v] — £(h-1 v)-a ■ h(£e„).

Proof. Note that it suffices to prove the formula

xa(«v = v +[(£e„),v] — v-a ■ (£2e„). (#)

Indeed, if we substitute h 1 v for v in this formula, and then act by the element h on both sides, then we obtain the required identity.

Moreover, it suffices to prove the equality (#) in case where R is a ring of polynomials over Z with £ and all the coefficients of v being independent variables. Indeed, if we prove this formula for polynomials, then we can prove it for an arbitrary ring R by applying homomorphism from the polynomial ring to R that sends variables to the corresponding elements. So let R be the ring of polynomials. In this case 2 e R is not a zero divisor, and we may write

(«v = v + [(£ea),v] +1 [(£ea), [(£ea),v]].

It remains to check the relation

[e«, [ea, v]] = -2v-a ■ ea,

which follows from the relations in the Chevalley basis. □

Lemma 1.1.3. Let (g,l) be a tandem, and ft E $. Then

gep = ep + [l, ep] - l-p ■ l.

Proof. By remark to the definition of a tandem, we may assume that (g,l) = (h(xp(£)),h(£ep)). By previous Lemma, it suffices to prove that

l-p = e (h-1 ep )-p.

Moreover, we may assume that R = Z[G][£], and h = ggen is a generic element. Let x be the Killing form on L($, R). Then

l-px(e-p, ep) = x(l, ep) = x(h(£ep), ep) = £x(ep,ep)

= 1 ep)-px(ep, e-p) = £(h-1 ep)-px(e-p, ep).

Since the ring Z[G][£] is a domain, we can cancel x(e-p, ep). □

Lemma 1.1.4. Let S C $ be a parabolic subset of roots. Let Pe be the corresponding parabolic subgroup. Let (g,l) be a tandem such that l belongs to the Lie algebra LS, where

Le = D © 0 R ■ ea ^ L($,R).

aee

Then g E Pe.

Warning. If the group G($, R) is not simply connected, then the Lie algebra Le is not the same as the tangent Lie algebra Lie(Pe) of the subgroup Pe.

Proof. It follows from Lemma 1.1.2 that g E Stabc($,R)(Le). Therefore, the required statement is a consequence of the next lemma. □

Lemma 1.1.5. Let S C $ be a parabolic set of roots. Then the following equality holds true: Pe = Stabc($,R) (Le).

Proof. First we consider the case where the group G($,R) is simply connected. In this case we have Le = Lie(Pe).

Obviously, Pe C StabG($,R)(Lie(Pe)). Denote by

^: Pe ^ StabG($,R)(Lie(Pe))

the inclusion viewed as a morphism of group schemes over Z. Here we should notice that StabG($,R)(Lie(Pg)) is defined by equations over Z, namely certain matrix coefficients in the adjoint representation must be equal to zero. We denote the corresponding scheme by Stab(Lie(Pg)). So we must show that the morphism ^ is an isomorphism.

By Theorem 1.6.1 of [81] and the fact that the parabolic subgroup is smooth (over Z) and, in particular, flat, it suffices to check that for any algebraically closed field L the following statements hold:

1. dim((Pg)L) ^ dimLLie((Stab(Lie(Pg)))L),

2. the maps <^(L) and ^(L[e]/(e2)) are injective;

3. all the elements of Stab(Lie(Pg))(L) that normalise the connected component of identity in Pg (i.e. just Pg) are in Pg.

The second item holds true indeed. The third one follows from the fact that the parabolic subgroup are self-normalised. Since the scheme Pg s smooth, it follows that for the first item it suffices to check that

Lie((Pg)L) ^ Lie((Stab(Lie(Pg)))L).

The adjoint action of the right-hand side stabilises Lie((Pg)L) (if a group stabilises a subspace, then so do its Lie algebra). Therefore, the inclusion follows from the fact that Lie((Pg)L) is self-normalised.

Now we consider the arbitrary group G($,R) in the given isogeny class. Let h e G($,R). Then there exists a faithfully flat extension S of the ring R and an element h' e Gsc($, S) of the simply connected group such that the natural homomorphism maps it to h. Therefore,

h e Pg ^ h' e (Pg)sc ^ h' e StabG($,s)(Lg) ^ h e StabG($,R)(Lg),

where (Pg) is a parabolic subgroup of Gsc($, S). This concludes the proof. □

1.2 Bitandems

In this Section we give the definition of bitandems and prove their properties that play a key role in the proof of Proposition 2.6.4.

Definition 1.2.1. We call an element of the set G($, R) x L($, R) a bitandem if it can be written as (h(xai (£)xa2 (Z)),h(£eai + Zea2)), where ai,a2 e $, ai A a2, £,Z e R and h e G($, R).

Similarly, We call a family (g(t),/(t)) e G($,R) x L($,R), t e R a bitandem with parameter if it can be written as

g(t) = h((x«i (t£))x«2 (tZ)), /(t) = h(t£e«i + tZe«2). In this case we use the notation g = g(1), / = /(1) for short.

Further let ai,a2 € $, « ± a2; and let (g, 1) be a tandem. Set

(gi(t),Zi(t)) = (xai(t/-a2)x«2(-t/-ai)),g(t/-a2eai - t/-aie«2)).

A bitandem with parameter that can be obtain in such a way and the corresponding bitandem (g1,11) = (g1 (1), 11(1)) will be called special with respect to the pair a1; a2.

Now we prove several lemmas that help perform calculations with bitandems.

Lemma 1.2.2. Let (g(t),1(t)) be a bitandem with parameter, and let v € L($,R). Then there exists w € L($, R) such that for any t € R we have

g(t)v = v + t[1,v] + t2w.

In addition, we have 2w = [1, [Z,v]].

Proof. As in Lemma 1.1.2, it suffices to prove this formula for h =1 and for such a ring that 2 is not a zero divisor in it (we may assume that t is a free variable). In this case, the statement is trivial. □

Let a1 ,a2 € $ and a1 ± a2. We introduce a notation for the following linear functional on the span of $:

®«i,«2 (Y) = («1 + «2,7).

The set of all roots such that the value of wai,a2 on them is nonnegative is a parabolic set. We denote by Pai,a2 the corresponding parabolic subgroup.

Lemma 1.2.3. Let (g1(t), 11(t)) be a special with respect to the pair a1,a2 bitandem with parameter. Then g1(t) € Pai,a2 for all t € R.

Proof. First, it suffices to consider the case where

R = Z[G][£,t], g = x«(£), l = (£e„),

and the bitandem with parameter (g1(t), 11(t)) is obtained from the tandem (g,1) as described above.

Second, note that 11 € Lai,a2 (see Lemma 1.1.4). Indeed, by Lemma 1.1.3 we have

(1 eai 1 e«2)

= (/-a2 eai - 1-aie«2) + [1, (1-a2eai - 1-ai e«2)] - 1-a21-ai ■ 1 + 1-ai 1-a2 ■ 1

(1 eai 1 ea2) + [1, (1 eai 1 ea2)].

The grading of the root system $ by the functional wai,a2 induces a grading of the Lie algebra L($,R). The elements eai and ea2 have degree 2. Hence the homogeneous components of both summands in the last expression have nonnegative degree, which means exactly that 11 € Lai,a2.

Third, gi(i) G Stab(Lai,a2). Indeed, if v G Lai,a2, then by Lemma 1.2.2 we have

gi(t)v = v + t[1i,v] + t2w.

The fist two terms are in Lai,a2, and about w we know that

2w = [li, [li, v]] G L«i,«2.

Since 2 is not a zero divisor in Z[G][£,t], we see that w G Lai,a2. Therefore, gi(i)Lai,a2 ^ Lai,a2. Replacing t by —t, we obtain the inverse inclusion.

It remains to apply Lemma 1.1.5. □

From the proof of Lemma 1.2.3 one can obtain one more useful fact.

Lemma 1.2.4. Let (g1 (t),11(t)) be a special with respect to the pair a1,a2 bitandem with parameter that is constructed as above. Then the following equality holds true

ll (/ eai 1 e«2) + [1, (/ eai 1 e«2)].

1.3 A2-tandems

In this Section we give the definition of A2-tandems and prove their properties that play a key role in the proof of Proposition 2.6.5.

Definition 1.3.1. We call an element of the set G($,R) x L($,R) an A2-tandem, if it can be written as (h(xai(£)x«2(Z)),h(£eai + Zea2)), where a1,a2 G $, (a1,a2) = 1, £,Z G R and h G G($,R).

Further let a1,a2 G $, (a1,a2) = 1, and let (g,/) be a tandem. Set

(g1,l1) = (g (Xai (/-a2 )x«2 (—/-ai)),g (/-a2 eai — 1-ai e«2 )).

An A2-tandem that can be obtained in such a way will be called special with respect to the pair a1, a2.

Now we prove several lemmas that help perform calculations with A2-tandems. Lemma 1.3.2. Let (g,/) be an A2-tandem, and let ft G $. Then

ge^ = e^ + [/, e^] — /^ ■ /.

Proof. It is enough to consider the universal situation, where R = Z[G][£, Z], g = ggen(xai (£)xa2 (Z)) and / = ggen (£eai + Zea2). Indeed, such an A2-tandem can be specialised to any other.

The natural map Z[G][£,Z] ^ Z[G][£,Z,Z-1 ] is injective. Hence it it enough to prove the equality in question for the ring Z[G][£, Z, Z-1].

It is easy to see that there exists such an element h G G($, Z[G][£, Z, Z-1]) that the equalities xai(£)xa2(Z) = (1) and £eai + Ze«2 = heai hold true. Hence over the ring Z[G][£,Z,Z-1] the pair (g,1) is a tandem, and the equality in question holds true by Lemma 1.1.3. □

Remark. In fact, the above argument shows something more general. Namely, if we consider the smallest closed subscheme (over Z) of the scheme G($, — ) x L($, — ) that contains all tandems, then it will contain all A2-tandems as well. This is not true for bitandems.

Let a1, a2 G $ and (a1, a2) = 1. We introduce a notation for the following linear functional on the span of

®«i,«2 (Y) = («1 + «2,7).

The set of all roots such that the value of wai,«2 on them is nonnegative is a parabolic set. We denote by Pai,«2 the corresponding parabolic subgroup.

Lemma 1.3.3. Let (g1, 11) be a special with respect to the pair a1, a2, A2-tandem that is constructed as above. Then:

1. the following equality holds true

) + [/,(/ a2e«i — / aie«2)];

2. g1 G pai,a2 .

Proof. The first item can be checked by a direct calculation. Indeed, by Lemma 1.1.3 we obtain

1 = I a2 . ge _ ;-«i . ge

= (/-a2e«i — /-aie«2) + [1, (Z-"2e«i — Taie«2)] + Z-"2■ I — Z-"2 ■ I

(1 eai 1 e«2) + [1, (1 eai 1 e«2)].

Now it is enough to check the second item in the universal situation, where R = Z[G][£], g = ggen ), 1 = ggen £e„.

The natural map Z[G][£] ^ Z[G][£, (1-a2)-1] is injective. Here we used that the ring Z[G] is a domain. Hence it is enough to prove the statement in question for the ring Z[G][£, (1-a2)-1].

As in the proof of Lemma 1.3.2, we obtain that over the ring Z[G][£, (1-a2)-1] the pair (g1,11) is a tandem; hence we can apply Lemma 1.1.4. In order to do so we must check that 11 belong to the corresponding Lie-subalgebra, which follows from the first item. □

Chapter 2 Sandwich classification theorem

In this Chapter, unless stated otherwise, we assume that $ is a simply laced root system, i.e of type ADE.

2.1 Motivation

In the introduction we listed plenty of papers on description of overgroups of "large" subgroups in Chevalley groups over rings. Let us recall how does the answer in such papers usually look like.

Let G be an abstract group, and let L be a certain lattice of its subgroups. The lattice L admits sandwich classification if it is a disjoint union of "sandwiches":

L = y L(Fi, Ni), L(Fi, Ni) = {H: F ^ H ^ Ni}, i

where i runs through some index set, and Fi is a normal subgroup of Ni for all i. To study such a lattice, it suffices to study the quotients Ni/Fi. In [75] it was conjectured that the lattice of subgroups of a Chevalley group that contain a sufficiently large subsystem subgroup admits sandwich classification for certain Fi and Ni. Such theorems are also called the standard description.

However, (at least) in the cases where the subsystem has an irreducible component of type A1, the conjectures in [75] should be reformulated. The reason why they cannot be true as stated is that the elementary subgroup of SL(2, R) is not normal in general.

Therefore, the main result of the present chapter is similar to sandwich classification, but the subgroup Fi is not normal in Ni in general.

To every overgroup of the given subsystem subgroup we put in correspondence certain object called the level of this overgroup. The level defines to which sandwich the given overgroup belongs. In the author's paper [22], such objects were nets of ideals. The present chapter is based on the later author's paper [25], which has more general setting, and here levels can be more complicated.

Note that for sandwiches defined by nets of ideals one can prove normality of Fi in Ni provided that either the subsystem has no irreducible components of type A1, or the elementary subgroup is enlarged in a certain way. This is the result will be written in details in the third chapter.

The paper [73] is devoted to the A2-proof of the structure theorems. That is the proof that employs the elements of the form (Z), where Z(a,ft) = n/3 to get into a parabolic subgroup. In paper [22], author used a method based on the remark after the proof of the main lemma in [73]. According to that remark, to get into a parabolic subgroup one can also use the elements of the form xa(£(Z), where Z(a,ft) = n/2. Such method should be called the 2A1-proof, and it

allows us to study the overgroups of subsystem subgroups even if the subsystem has type nA1. For our purposes both methods are required.

2.2 Notation

In this Section we introduce certain notation, which is used only in the present chapter, and prove lemmas related to it.

2.2.1 Condition on subsystem, blocks, and combinatorial lemma

Let A be a subsystem of the root system $. Let A' be a subsystem of the root system $'. Both systems $ and $' are supposed to be simply laced. Assume that there is an embedding $' ^ $ as subsystem such that A if $' = A' and any root from A \ A' is orthogonal to any root from $'.

It is easy to see that under assumptions above the problem of overgroup description for the subsystem A ^ $ in some sense includes the similar problem for the subsystem A' ^ $'. Namely there is an obvious inclusion of the second overgroup lattice into the first one. We will denote such situation by phrase "the problem for the subsystem A ^ $ includes the problem for the subsystem A' ^ $'".

The subsystem A ^ $ will be supposed to satisfy the following restriction.

The problem for the subsystem A ^ $ does not include

(*)

problems for subsystems of types 0 ^ A1 and A1 ^ A2.

The first part of the restriction means just that the system $ dose not have roots orthogonal to the whole subsystem A.

Note that this restriction is necessary. There are no any reasonable ways to describe the subgroup lattice of the group SL(2, R). As for the overgroups of SL(2, R) in SL(3, R), we do not know any methods that could allow to obtain such description, and probably there is none. From this moment we will always assume that the condition (*) holds true. We say that the roots y1, y2 are equivalent if for any root a G A we have (71,a) = (72,a). The equivalence class with respect to this relation will be called block. Note that any root from the subsystem A is a unique element in its block.

Subsystems that satisfy the condition (*) have the following properties, which we will use.

Lemma 2.2.1. Assume that subsystem A ^ $ satisfies the condition (*). Then

1. For any root 7 G $ \ A there exists a root a1 G A such that we have (7, a1) = —1.

2. For any roots 7 G $ \ A and a1 G A such that (7, a1) = —1 there exists a root a2 G A such that (7, a2) = —1 and either a1 ± a2, or (a1, a2) = 1.

3. Any block consists of pairwise orthogonal roots.

4. Any block contains not more than three roots.

Proof. 1. It follows from the first part of the condition (*) that there exists a root a1 G A such that (7, a1) = 0. Replacing, if necessary, a1 by —a1, we may assume that (y, a1) = —1.

2. It follows from the second part of the condition (*) that there exists a root ft G A \±a1 such that it is not orthogonal at least to one of the roots y and a1. Replacing, if necessary, ft by —ft, we may assume that its inner product to one of the roots y and a1 is equal to —1. Set

a2 = ft if (y, ft) = —1, and a2 = ft + a1 if (y, ft) = 0, but (a1, ft) = —1.

In any case we have (y, a2) = —1 and a1 = ±a2. It remains to notice that it is impossible that (a1,a2) = —1. Indeed, in this case we obtain that y = —a1 — a2 G A. Therefore, we have either a1 ± a2, or (a1 , a2) = 1.

3. Let y1,Y2 G $ be distinct equivalent roots. Clearly, they can not belong to the subsystem A.

They also can not be opposite to each other. Indeed, let us assume the converse. By the first item there exists a root a G A such that (y1, a) = —1. Then (y2, a) = 1 = (y1, a).

It is impossible that (y1, Y2) = 1. Indeed, let us assume the converse and consider two cases. If Y1 — Y2 G A, then this difference is a root from A that has different inner products with roots Y1 and y2. If Y1 — Y2 G A, then by first item there exists a root a G A such that (Y1 — Y2,a) = —1; hence (Y2,a) = (Y1,a).

Finally, it is impossible that (y1, Y2) = —1. Indeed, let us assume the converse. Then for any root a G A such that (y1, a) = —1, we also have (y2, a) = —1; hence a = —Y1 — Y2, i.e. there is only one such root. However, by first two items there are at least two such roots. Therefore, we have y1 A y2.

4. Assume that Y1,Y2,Y3,Y4 G $ are pairwise distinct roots. Clearly, they can not belong to the subsystem A. By third item they are pairwise orthogonal. For any root a G A such that (Y1, a) = —1 we also have (Yi, a) = —1 for i = 2, 3, 4; hence a = — 1 (y1 + Y2 + Y3 + Y4), i.e. there is only one such root. However, by first two items there are at least two such roots. □

Remark. One can show that blocks of three roots occur if and only if the problem for the subsystem A ^ $ includes the problem for the subsystem A2 ^ D4.

For any root y G $ we denote by [y] the block that contains y. For a root a G A set ([Y],a) = (y, a). This is well defined by the definition of block. By | [y]I we denote the number of roots in the block [y].

2.2.2 Lie algebras

For a block [y1] = {Y^iSZi1 we consider the following R-submodule in the Lie algebra L($, R):

m[yi] = 0 R ■ en ^ l($,r).

Therefore, we have

L($,R) = D © 0 M[7].

[Y]

For an element v G L($,R) we denote by v[y] its component in the module M[Y]; by vd we denote its component in Cartan subalgebra D.

2.2.3 Prelevels

Assume that a block [yi] = {Ti}El]l and a root a G A, are such that ([yi],a) = —1. Then the set [Yi] + a, i.e. the set {y» + a}i==1]l, is also a block because it is obtained from the block [yi] by reflection with respect to the root a. Restriction of the adjoint action of the element ea,

adea: L($,R) ^ L($,R), x ^ [ea,x],

defines an R-linear map

T[7l]^[7l]+a : m[Yi] ^ M[Yl]+a.

The following definition is the first step to defining objects that classify overgroups in our problem.

Definition 2.2.2. Assume that we are given a collection a = {a[Y]}, where [y] runs through the set of all blocks, and a[Y] is an R-submodule of the module M[Y]. Such a collection is called a prelevel if the following two conditions hold true: