Корневые элементы в исключительных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Певзнер, Игорь Михайлович

• Певзнер, Игорь Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Певзнер, Игорь Михайлович

Введение.

Глава 1. Группы Шевалле, их элементы и подгруппы.

§ 1. Основные обозначения.

§ 2. Корни и веса.

§ 3. Корневые элементы.

§ 4. Некоторые подгруппы.

Глава 2. Корневые и унипотентные подгруппы.

§ 5. Корневые элементы и сингулярные подпространства.

§ б. Тройки корневых подгрупп.

§ 7. Унипотентные элементы.

Глава 3. Произведения корневых элементов.

§ 8. Произведения.

§ 9. Теорема о невырожденности.

§ Ю.Основная теорема.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корневые элементы в исключительных группах»

Настоящая работа содержит два основных результата. Первый из них, более простой и часто используемый, относится к геометрии алгебраических групп. А именно, пусть G = GSC(E6,К), а V — минимальный 27-мерный модуль, на котором действует G. Тогда при тт. = 1,2,3,4 или 6 естественное действие G на множестве n-мерных сингулярных подпространств является транзитивным (то есть, имеет всего одну орбиту); при п = 5 у такого действия ровно две орбиты (теорема 3). Из этого легко следует, в частности, что отображение из множества корневых подгрупп в множество шестимерных сингулярных подпространств, переводящее корневую подгруппу X в подпространство Vх = Vя = Im((7 — Е) для произвольного неединичного д € X, является изоморфизмом; при этом действие группы G на множестве корневых подгрупп сопряжением переходит в естественное действие G на множестве шестимерных сингулярных подпространств.

Второй основной результат настоящей работы посвящен нахождению ширины присоединенной группы типа Еб относительно множества корневых элементов. А именно, нами доказана следующая теорема:

Теорема. Предположим, что в поле К любой многочлен степени не выше шестой имеет корень. Тогда любой элемент группы G^O^e, К) представляется в виде произведения не более восьми корневых элементов.

Прежде чем переходить непосредственно к обсуждению этих результатов в соответствующем контексте, кратко опишем историю возникновения алгебраических групп.

1. Группы Шевалле

Пожалуй, самым обширным и разветвленным разделом современной алгебры является теория групп. Восходящая к Э. Галуа и Р. Абелю, она является также истоком всей алгебры. Активно изучающаяся с момента своего появления два века назад, она и поныне остается одной из самых быстрораз-вивающихся областей математики. По теории групп написаны много тысяч статей и, к сожалению, даже простое перечисление выдающихся авторов, занимающихся ею, в данном месте невозможно.

Одним из самых ранних разделов теории групп является теория конечных групп движений. Она берет начало в исследовании свойств "регулярности" и "симметрии" геометрических фигур и, в особенности, в описании правильных многоугольников и многогранников, восходящем к пифагорейцам. Позднее, у арабских математиков конца средневековья, из изучения различных типов орнаментов возникли зачатки теории правильных "покрытий" плоскости. В первой половине девятнадцатого века исследования по кристаллографии привели к изучению проблемы описания конечных групп движений трехмерного пространства. Примерно в это же время математики освоились с линейными и проективными преобразованиями. Вышедшая в 1868-1869 годах работа К. Жордана объединила обнаруженные ранее факты о группах движений в единую теорию.

В конце 60-х - начале 70-х годов девятнадцатого века зарождается одна из важнейших частей современной алгебры и математики в целом — теория групп Ли. Датой ее появления можно считать 1869-1870 годы, когда выходит работа С. Ли под редакцией Ф. Клейна, в которой Ли использует инвариантность комплекса Рея относительно действия некоторой группы.

В последующие годы он активно развивает свою теорию. С 1886 по 1898 4 гг. Ли возглавлял кафедру геометрии в Лейпциге, что способствовало распространению его идей. Теория, развиваемая Ли с 1869 года в его многочисленных трудах, систематически излагается во внушительном трактате, написанном в соавторстве с его ассистентом Ф. Энгелем. В этой работе, в частности, показывается соответствие между группами и алгебрами Ли. После этого теория принимает более алгебраический характер, и основное внимание концентрируется на изучении алгебр Ли.

Следующий период, с 1888 по 1894 г., отмеченный работами Энгеля, его ученика К. Умлауфа и особенно В. Киллинга и Э. Картана, приводит к ряду ярких результатов о комплексных алгебрах Ли. Также в 1892-1893 годах в работах Энгеля появляется экспоненциальное отображение. Через несколько лет выходят статьи А. Пуанкаре, Дж. Кэмпбелла, Г. Бейкера и Ф. Хаусдорфа, посвященные изучению этого отображения.

До сих пор все исследователи, начиная с самого Ли, изучали, в первую очередь, локальные свойства групп Ли. Напомним, что касательной алгеброй к группе Ли является некоторая алгебра Ли и, таким образом, изучение алгебр Ли помогает понять только локальные свойства групп Ли. Первые шаги в исследовании глобальных свойств групп Ли были предприняты И. Шуром и Г. Вейлем. В дальнейшем, эти исследования были продолжены Картаном, Дж. фон Нейманом и другими. После этого теория групп Ли в классическом смысле, то есть над R или С, приобрела более-менее окончательный вид.

Одним из важнейших результатов Киллинга и Картана является классификация конечномерных простых комплексных алгебр Ли. Они показали, что существует четыре бесконечные серии конечномерных простых комплексных алгебр Ли, а именно Ai,l > 1, Вi,l > 2, С> 3, и Di,l > 4, а 5 также пять исключительных алгебр, а именно Еб, Е7, Eg, F4 и G2. Тогда же было замечено, что бесконечные серии совпадают с классическими группами — специальной линейной, ортогональной и симплектической, определенными, вообще говоря, над произвольным полем. Точнее, комплексная алгебра Ли типа A i совпадает с si (I + 1, С), типа В; -— с so(21 + 1,С), типа Сг — с sp(2Z,C), а типа Dj — с so(2Z,C). JL Диксону удалось распространить это "совпадение" на случаи G2 и Еб. В 1955 году К. Шевалле объяснил это "совпадение", сопоставив каждой комплексной полупростой алгебре Ли и произвольному полю к матричную группу с коэффициентами из к. Чуть позднее, в 1960-1961 годах, он обобщил это сопоставление на произвольное коммутативное кольцо R. Эти результаты Шевалле положили начало активно развивающейся ныне теории групп Шевалле над произвольными полями или, даже, коммутативными кольцами. В настоящей работе мы ограничиваемся случаем поля, хотя некоторые результаты могут быть обобщены на более широкие классы колец. Намного более подробно история изучения групп Ли и Шевалле изложена в [68], см. также

7], [8].

2. Почему Eg?

Как хорошо известно, одной из важнейших характеристик групп Шевалле является ее система корней. Сейчас мы попытаемся пояснить, почему, на наш взгляд, именно группы типа Еб являются не только интереснейшим объектом для изучения, но и стартовой площадкой для исследования групп других типов и всех групп Шевалле как единой общности.

2.1 Классические группы

Про классические группы нам известно значительно больше, чем про исключительные. Для этого существуют несколько причин. Во-первых, клас6 сические группы изучаются, как минимум, с XIX века, а серьезное изучение исключительных групп началось с работ Шевалле в середине XX века. Во-вторых, и в-главных, классические группы имеют существенно более удобные для работы с ними представления. В частности, классические группы задаются квадратными уравнениями, а исключительные — как минимум кубическими. С первыми работать, разумеется, намного удобнее.

Отметим интересное свойство алгебраических групп, называемое "стабилизацией". А именно, во многих вопросах оказывается, что классические группы большого ранга описываются, в некотором роде, "стандартно", а случаи групп маленького ранга являются значительно более сложными (см., например, разнообразные работы по К-теории). В этом, на наш взгляд, таится еще одна особенность исключительных групп, также осложняющая работу с ними. А именно, во многих вопросах исключительные группы ведут себя как классические группы маленьких рангов. Однако прямые вычисления, возможные в маленьких классических группах, с большим трудом проводятся в исключительных группах из-за больших размеров их представлений.

Говоря про особенности групп маленького ранга, нельзя не упомянуть группу SL(2, —). Эта группа во многих вопросах устроена существенно сложнее, чем все остальные. Рассмотрим, например, понятие ширины, имеющее теснейшее отношение к настоящей работе. Напомним, что ширина группы G относительно множества образующих S — это либо минимальное натуральное число п, такое, что любой элемент группы G представляется в виде произведения не более чем п элементов из S, либо оо, если такого п не существует. Тогда, как не сложно видеть, группа SL(2, Z) относительно множества элементарных трансвекций имеет бесконечную ширину. При 7 этом из основного результата статьи Д. Картера и Г. Келлера [72] следует, что группы SL(n, Z) при п > 2 имеют конечную ширину. К понятию ширины и связанным с ним вопросам мы еще вернемся в пятом пункте настоящего введения.

В качестве еще одной демонстрации сложности групп типа SL(2, —) стоит упомянуть про (2,3)-порожденные группы. Напомним, что группа называется (2,3)-порожденной, если она порождается двумя образующими порядков 2 и 3. Совместными усилиями М. К. Тамбурини, JI. Ди Марти-но, Н. А. Вавилова, Дж. С. Уилсона, Н. Гавиоли, Г. Малле, М. В. Либека, А. Шалева и других математиков было показано, что все, кроме конечного числа, конечные простые классические группы, отличные от PSp(4, q) при q = 2к или 3^, являются (2,3)-порожденными. Уолдар и Дж. Уил-сон показали, что все простые спорадические группы, кроме Мц, М22, М23 и McL, также являются (2, 3)-порожденными; существуют очень интересные результаты и про исключительные группы. Также была доказана (2,3)-порожденность многих бесконечных групп: в статье П. Санкини и Тамбурини [161], например, показано, что группы SL(ro,Z) и GL(n, Z) при п > 13 и п > 19 соответственно являются (2,3)-порожденными. Чрезвычайно интересные результаты получены также Тамбурини, Вильсоном и Гавиоли в статье [173]. В этом же направлении в 2004 году автором совместно с А. Ю. Лузгаревым была написана небольшая статья [35] про группы SL(5,Z) и GL(5,Z); совсем недавно М. А. Всемирнов в работах [26], [27] и [191], используя результаты [35] и программу MAGMA, показал, что группы GL(5, Z), SL(5, Z), SL(6, Z), GL(7, Z) и SL(7,Z) также являются (2,3)-порожденными. Как известно, модулярная группа PSL(2,Z) изоморфна свободному произведению групп порядков 2 и 3, поэтому все (2,3)8 порожденные группы есть факторы PSL(2,Z) (и, тем более, SL(2,Z)). Это означает, что практически во всех вопросах, связанных с порождениями, группа SL(2,Z) оказывается устроена сложнее, чем все (2,3)-порожденные группы, а иногда — и намного сложнее.

Множество математиков занимались переносом утверждений с классических групп на исключительные. На этом пути получено огромное количество замечательных результатов, однако доказательства у многих из них оказывались существенно сложнее и длиннее, чем у их оригинальных версий. При этом существует довольно много утверждений про классические группы, аналоги которых для исключительных групп до сих пор не доказаны. Поэтому, на наш взгляд, для более глубокого исследования исключительных групп и конструирования единых доказательств для всех групп Шевалле необходимо кроме классических групп также хорошо представлять себе и какую-нибудь исключительную группу — тесно связанную с другими исключительными группами и удобную для изучения.

2.2 Исключительные группы

Переходя к исключительным группам, можно отметить, что группа G2 является скрученной формой D4 и В3 и, во многом, похожа на них, хотя и несколько сложнее. Поскольку D4 и В3 являются классическими группами маленького ранга, то изучение группы G2 обычно сводится либо к прямым вычислениям, либо к переносу результатов с классических групп. Это, разумеется, не отменяет того факта, что G2 задается кубическими уравнениями и, поэтому, в некоторых вопросах: существенно сложнее, чем соответствующие классические группы. Далее, группа F4 является скрученной формой Ее и, во многом, похожа на нее. Однако в некоторых вопросах F4 оказывается существенно сложнее Ее*. - например, сравнивая статьи [13] и 9

19] (см. также [14] и [189]), можно убедиться, что вторая статья, посвященная группе F4, намного сложнее технически, чем первая.

Таким образом, ни G2, ни F4 не могут быть основой для изучения других исключительных групп и конструирования общих доказательств: G2 слишком мала и, во многих вопросах, стоит особняком, a F4, вообще говоря, заведомо сложнее Бб- Кроме этого, более простым и естественным представляется изучение систем с корнями одной длины и перенос утверждений и доказательств с них на системы с корнями разной длины, чем наоборот: "скрутить" систему существенно проще, чем "раскрутить".

Рассмотрим группы типов Ej — Eg, Е7 и Eg. Односвязные группы Еб и Е7 имеют похожие микровесовые представления, и, в некоторых аспектах, ведут себя одинаково, см, например, [13]. Однако, микровесовое представление Еб задается кубической формой, в отличие от Е7, которая задается формой четвертой степени; вдобавок, микровесовое представление Еб имеет в два раза меньшую размерность. Для присоединенных групп разница менее заметна, но, тем не менее, и присоединенная группа типа Е6 оказывается проще присоединенной группы типа Е7.

Группа Е8 самая большая из исключительных групп и используется в разнообразных приложениях (например, в физике) существенно больше, чем другие. Поэтому описание той или иной структуры Es было бы очень интересно, однако при изучении этой группы мы наталкиваемся на две серьезные проблемы. Во-первых, минимальное представление Eg не микровесовое, как в односвязных группах типов Еб и Е7, а присоединенное, что, по-видимому, существенно усложняет нашу задачу. Во-вторых, это присоединенное представление имеет очень большую размерность, что, на наш взгляд, существенно затрудняет построение интересующего нас описания.

10

Таким образом, Eg, скорее, цель исследования исключительных групп, но никак не стартовая площадка для изучения других групп. Поэтому сейчас существует довольно много серий работ, в которых вначале изучается группа типа Ее, а потом полученные результаты переносятся на F4, Е7 и, в идеале, на Eg. В настоящей работе, мы, следуя этой тенденции, ограничимся только случаем Еб

3. Геометрия корневых подгрупп

Едва появившись, теория групп Ли заняла одно из важнейших мест в геометрии: геометрия данного пространства определяется, в большой степени, группой его автоморфизмов и ее подгруппами, оставляющими некоторые конфигурации точек неподвижными или фиксирующими их поточечно. Это позволяет, во многих случаях, сводить вопросы о геометрии пространства к вопросам о структуре соответствующей группы и наоборот. Классическим примером такого соответствия являются проективное пространство и проективная линейная группа. Позднее похожие геометрии были найдены для симплектических и ортогональных групп. Геометрическая точка зрения на эти и многие другие пространства подробно изложена в книге [47].

Связь между этими геометриями и параболическими подгруппами позволила Ж. Титсу в 1953 году ввести подобные геометрии для исключительных групп. Из его работ выросла активно развивающаяся ныне теория билдин-гов (=билдингов Титса, геометрий Титса, систем Титса), впервые систематически изложенная в работе [183]. Теория билдингов уже давно вышла за рамки собственно теории алгебраических групп и активно используется в геометрии, теории графов и теории когомологий. Теорией билдингов занимались, в той или иной мере, множество талантливых математиков:

11

Тите, К. Браун, М. Ронан, А. Коэн, Б. Куперстейн, П. Абраменко, X. Ван Мальдегем и многие другие.

Одним из самых важных и, одновременно, самых простых объектов в группах Шевалле являются длинные корневые подгруппы. При этом, однако, исследование "взаимного расположения", в том или ином смысле, нескольких длинных корневых подгрупп — чрезвычайно сложная и интересная задача, которой занималось и продолжает заниматься множество математиков. Над этими вопросами, а также тесно связанными с ними вопросами описания подгрупп, порожденных корневыми элементами, работали такие выдающиеся мастера, как Дж. Маклафлин, А. Вагнер, М. Ашба-хер, Г. Зейтц, У. Кантор, Куперстейн, А. Е. Залесский и многие другие, см., в частности, [9], [30], [61], [70], [71], [78], [79], [80], [81], [82], [137], [143], [192] и дальнейшие ссылки в [12], [28], [29], [31], [138]. В середине 1990-х годов Ли-бек и Зейтц предложили замечательно простые доказательства и обобщения результатов о порождении корневыми элементами в контексте теории алгебраических групп [145]. С другой стороны, чрезвычайно глубокую теорию абстрактных корневых подгрупп развил в своих работах Ф. Тиммесфельд и его ученики — А. Штайнбах, X. Кюйперс и другие, см. [83], [84], [85], [86], [168], [169], [170], [171], [172], [176], [177], [178], [179], [180], [181], [182]. Необходимо также упомянуть замечательные работы Е. JI. Башкирова [1], [2], [3], [4], [5], [64], [65], [66] о аналогичных вопросах над телами.

Когда автор заинтересовался вопросом о том, что порождают три корневые подгруппы в Gsc(Eq,K), оказалось, однако, что найти на него ответ в литературе очень непросто. С одной стороны, над конечными полями этот результат сформулирован в [80] и, по-видимому, действительно следует из работ Куперстейна [78], [79], [80], [81] и [82], однако он, во-первых,

12 разбросан там на несколько десятков страниц, а во-вторых, примененный в этих работах метод доказательства не может быть обобщен на случай произвольного поля. С другой стороны, ответ на интересующий нас вопрос, без сомнения, содержится где-то в работах Тиммесфельда, однако, к сожалению, в этих работах доказываются гораздо более общие результаты, чем нам нужно. По-видимому, в работах: Башкирова интересующий нас результат также содержится где-то в доказательствах, однако, снова, в гораздо большей общности.

Единственный найденный нами подобный результат с элементарным доказательством содержится в статье [97]. В ней обсуждается, что могут порождать три корневые подгруппы, среди которых есть две противоположных, в SL(n, К). Недавно вышла статья Н.А. Вавилова и автора [20], посвященная аналогичному вопросу для произвольной односвязной группы С(Ф, К) при char К ф 2. В настоящей работе мы описываем, как в группах SO(2п,К) и <75С(Еб,-?Г) по трем корневым подгруппам, две из которых противоположны, определить, на инвариантном языке, какую именно группу они порождают.

Для работы с корневыми подгруппами в группе Ее полезно иметь хорошее геометрическое описание корневых подгрупп. Как известно, любой корневой подгруппе соответствует некоторое шестимерное сингулярное подпространство. Один из основных результатов настоящей работы утверждает, что верно и обратное — любому шестимерному сингулярному подпространству соответствует некоторая корневая подгруппа. Кроме этого, мы описываем, как по двум шестимерным сингулярным подпространствам определить угол между соответствующими корневыми подгруппами. Это было нетривиальной задачей при большинстве других возможных описа

13 ниях корневых подгрупп. При определении, какую группу порождают три корневые подгруппы, мы также используем именно геометрический язык.

Говоря про геометрию длинных корневых подгрупп, нельзя не упомянуть про геометрии коротких корневых подгрупп и торов. Эти геометрии и связанные с ними вопросы существенно сложнее и намного меньше изучены. Однако недавно появились замечательные работы В. В. Нестерова и Н. А. Вавилова [17], [18], [38], [39], [40], посвященные этим чрезвычайно интересным объектам. В частности, там обсуждаются списки орбит пар микровесовых торов (в [17] и [18]) и пар коротких корневых подгрупп (в [38], [39] и [40]), причем в первом случае он получается примерно той же сложности, что и полученный в [20] список троек длинных корневых подгрупп, а во втором — еще сложнее!

4. Классы сопряженности

Изучение любой неабелевой группы неразрывно связано с исследованием ее классов сопряженности и их свойств; это могут быть свойства как всех, так и некоторых конкретных классов (или объединения нескольких классов), таких как центр, коммутант, нормальные подгруппы, множество инволюций и т.д. Говоря про свойства всех классов, нельзя не-упомянуть про числа накрытия (covering numbers).

Пусть G — произвольная группа, Nqq = NU оо, а Э — множество классов сопряженности О, таких, что (О) = G. Далее, положим 0\02 = {0l02 | Vo! е 01,о2 € 02} и О2 = ОО. Тогда cn(G) = {minn е N00 j Оп = G,VO е £>} — число накрытия G (covering number), ecn(G) = {minn G Noo | 0±02 . On = G, VOf e S)}

14 расширенное число накрытия G (extended covering number). Если на G существует топология, часто вводят также топологические числа накрытия: cn(G) = {minn е Noo | Оп = G,VO G £>}, ecn(G) = {minne NTO | 0i02.0n = <?,\/0{ e £>}; здесь через X обозначено замыкание множества X. В работах, посвященных только группам с топологией, иногда топологические числа накрытия называют просто числами накрытия. Обычно полагают, что G — простая группа; при этом D становится множеством всех нетривиальных классов сопряженности.

Нахождением этих чисел впервые начал заниматься Дж. Бреннер. Он, сосредоточившись в основном на группе G = Ап при п > 5, изучил классы сопряженности С, для которых Ст = G при т — 2,3 или 4, и предположил, что cn(An) ~ для п > 6. Я. Двир в [102] показал, что есп(Ап) = Щ] + 1 при п > б, и вывел из этого, что сп(Ап) = при п > 6; несложно видеть, что сп(А5) = 3,есп(Л5) = 4. А. Лев в [142] показал, что для G = PSL(n, К) при п > 4-и.|К"-| > 4 или-при- п = 3, где К — алгебраически замкнутое либо конечное поле с \К\ > 4, число накрытия равно п. В [139] С. Карни посчитал cn(G) и ecn(G) для простых групп G, чей порядок меньше миллиона. И. Циссер в [198] нашел числа накрытия для всех спорадических групп.

Также существует много оценок на числа накрытия. В [54] Ц. Арад, М. Херцог и Дж. Стави показали, что если G —- неабелева конечная простая группа и к — количество классов сопряженности в ней, то cn(G?) < тт{к(к - 1)/2,4к2/9}, ecn(G) < к(к + 1)/2 и ecn(G) < 4\G\b ln|G|. В [115] для любой простой алгебраической группы G над алгебраически замкнутым

15 полем характеристики 0 и для любого нецентрального класса сопряженности CbGH. Л. Гордеев доказывает, что C2r = G, где г — ранг G, а С2г — замыкание С2г в топологии Зариского. В 1996 году Арад, Э. Физсман и М. Музычук в [53] доказали, что если С — произвольный нетривиальный класс сопряженности конечной простой группы G и п = |Cg(sOI, гДе 9 £ С, то Сп = G. Э. Эллерс, Гордеев и Херцог в статье [108] показывают, что существует константа с, такая, что для любой квазипростой группы Шевалле (не скрученной или скрученной) верно неравенство cn(G) < с-rankG, причем с не зависит от поля,типа и ранга группы G. Позднее Гордеев и Ян Саксл в [116] доказали аналогичное утверждение про ecn(G). Тем не менее, для большинства алгебраических групп, в том числе и над конечными полями, точные значения чисел накрытия до сих пор неизвестны.

Переходя от свойств всех к свойствам некоторых классов сопряженности, стоит упомянуть гипотезы Оре и Томпсона. В 1951 году О. Оре в статье [156] доказал, что любой элемент группы G = Ап, при п > 5, является коммутатором, и предположил, что это верно для всех неабелевых простых групп конечного порядка. Позднее Дж. Томпсон выдвинул гипотезу, что любая неабелева конечная простая группа G содержит такой класс сопряженности С, что С2 = G. Очевидно, что из этого утверждения следует, что любой элемент G является коммутатором. Для знакопеременных групп Ап гипотеза Оре была доказана, как мы только что говорили, самим Оре, а гипотеза Томпсона — Ч. Сю [131] в 1965 году. Более того, как мы уже упоминали, классы сопряженности С группы G = Ап, для которых С2 = G, были подробно изучены Бреннером и другими. Для спорадических групп гипотеза Томпсона (и, следовательно, гипотеза Оре) была проверена

Нойбюзером, Палингсом и Клейверсом, см. [154]. С конечными простыми

16 группами типа Ли ситуация следующая. Для группы PSL(n, К), где К — произвольное поле, гипотезу Томпсона в 1994 году доказал Лев в [141]. В 1988 году для группы PSp(n, К), если char К ф 2 и — 1 является квадратом в К, ее доказал Р. Гоу в [121]. В [54] показано, что если G — конечная простая группа, каждый элемент которой является коммутатором, то cn(G) < 2(к — 1), где к — количество классов сопряженности в G. В том же сборнике была проверена гипотеза Томпсона для 2 В2(д) (в [52]) и для всех неабелевых простых групп, чей порядок меньше миллиона (в [139]).

Пусть G = Xn(q),lXn(ql) — группы типа Ли. В 1993 году О. Бон-тен показал, в [67], что существует константа до, зависящая от п и I, такая, что при q > q0 любой элемент группы G является коммутатором. Там же Бонтен доказывает гипотезу Оре для простых групп G = G2(g),2 G2(g2),3 D4(g3),F4(g) и 2 FA(q2). В 1998 году Эллерс и Гордеев в работе [107] доказали гипотезу Томпсона для всех групп типа Ли над конечными полями, содержащими более восьми элементов (для скрученных групп lXn(ql) они требуют, чтобы q было больше 8, кроме случаев 2 B2(q2),2 G2(q2) и 2 Fa(q2), где достаточно того, чтобы q2 было больше 8). Наконец, совсем недавно группа английских математиков доказала гипотезу Томпсона для всех групп типа Ли над конечными полями.

5. Ширина группы

С изучением классов сопряженности тесно связано понятие ширины группы в образующих. Как мы уже говорили, ширина группы G относительно множества образующих S — это либо минимальное натуральное число п, такое, что любой элемент группы G представляется в виде произведения не более чем п элементов из S, либо оо, если такого п не существует.

Поскольку большинство объектов в группах определяются с точностью до

17 сопряжения, то обычно полагают, что Sg = S для всех д G G, то есть S совпадает с одним классом сопряженности или объединением нескольких.

5.1.Ширина группы в коммутаторах

Вероятно, самым известным множеством образующих в этом контексте является множество коммутаторов. В этом случае, для удобства, ширину группы G, с(С), часто определяют как минимальное целое число s > О, такое, что любой элемент [G, G] есть произведение s коммутаторов; такое определение позволяет нам обобщить понятие ширины группы в коммутаторах на группы, не совпадающие со своим коммутантом. Вышеупомянутая гипотеза Оре является, очевидно, частным случаем проблемы нахождения c(G).

Впервые изучением ширины групп в коммутаторах занялся Шода: в 1936 году он показал, что c(GL(n,F)) = 1 для алгебраически замкнутого поля F. Позднее, в 1951 году, он показал также, что c(GL(n, F)) < п для любого бесконечного поля F. Тояма и Гото показали, что c{G) = 1 для всех связных компактных полупростых групп Ли G. В 1951 году Оре в работе [156] доказал, что ширина группы перестановок любого (конечного или бесконечного) множества меньше либо равна 1. Также он^ как мы уже говорили, доказал, что с(Ап) = 1 при п > 5 и высказал гипотезу, что c(G) < 1 для всех конечных простых групп.

В 1954-55 годах Гриффите исследовал коммутаторы в свободном произведении G = Gi * G<z * • • • * Gn конечно представимых групп Gi и показал, что c(G) > п, если [Gi, Gi] нетривиально для всех г. Позднее Голдстейн и Тернер в [114] показали, что на самом деле c(G) > ^c(Gi). В 1963 году МакДональд начинает изучение групп G с циклическим коммутатором [G,G]. В [146] он показывает, что c{G) < тп/2, когда G нильпотентна

18 и [G, G] — циклическая подгруппа из т элементов, а также доказывает существование конечных групп G с циклическим коммутатором, которые имеют сколь угодно большую ширину. Изучение групп с циклическим коммутатором продолжили Родней [157], Либек [144], Айзеке [132], Гуральник [124], [125], [126] и многие другие. Шириной групп операторов занимались в своих работах [128], [129], [130] де ла Арп и Скандалис, а также Браун и Пирси [69]; коммутаторы групп диффеоморфизмов изучали МакДафф [153], Мавер [148], [149], [150], [151] и Эпстейн [112].

Вуд в [196] показал, что c(G) = оо, если группа G является универсальной накрывающей группы SL(n,]R). Группа SL(n,A) для кольца А непрерывных функций на топологическом пространстве изучалась в работе Терстона и Васерштейна [175], а также в работах одного Васерштейна [184], [185]. Наконец, группу SL(n,-A) для любого коммутативного кольца главных идеалов изучали в своих работах Ныоман [155], Деннис и Васер-штейн [92] и Васерштейн и Уэланд [186]. Ньюман в своей работе показал, что c(SL(n,A)) < (2logn)/log | -I-c(SL(3, Л)) для любого коммутативного кольца главных идеалов. Он предположил, что c(SL(3, Л)) всегда конечно, однако Деннис и Васерштейн в своей работе доказывают, что это не так, когда, например, А = С[ж]. Отметим, что, как показали позднее в [163] А. С. Сивацкий и А. В. Степанов, этот результат, на самом деле, следует из работы [136] 1982 года. В ней ван дер Каллен доказал, что ширина группы Еп(С[х]) относительно множества всех элементарных трансвекций бесконечна; а А. С. Сивацкий и А. В. Степанов в 1999 году показали, что множество всех коммутаторов в En(R) имеет конечную ширину во множестве всех элементарных трансвекций для любого конечномерного коммутативного кольца R. Деннис и Васерштейн в [92] также доказывают, что

19 c(SL(n,A)) < 5 + c(SL(3,A)) и, если c(SL(n,A)) < oo, то c(SL(n, A)) < 6 при достаточно большом п. Похожие результаты получены ими и для произвольного ассоциативного кольца с конечным стабильным рангом. В статье Васерштейна и Уэланда получено улучшение этой оценки, с заменой 6 на 4.

5.2. Ширина группы в инволюциях

Другим интересным множеством образующих являются инволюции. Известно (см., например, [195]), что любой элемент группы G изометрий симметричной квадратичной формы над полем есть произведение не более двух инволюций из G. В 1976 году Густафсон, Халмош и Раджави в [127] показали, что любая матрица из GL(п, К) с определителем ±1 есть произведение не более четырех инволютивных матриц (см. также [63]). В работе [140] Кшопель и Нильсен доказали, что любая матрица из SL(n, К) есть произведение не более четырех инволютивных матриц из SL(n, К). В 1999 году Остин в [62] показал, что любой элемент группы Шевалле G = G(F^,K) есть произведение не более четырех инволюций из G, если \К\ > 25. В 2000 году Эллерс в [105] доказал, что если G — группа Шевалле над полем К, где К содержит достаточно много элементов, то любой нецентральный элемент G есть произведение не более четырех инволюций из G, а центральный — не более пяти. Иногда рассматривают также инволюции в группах Шевалле над кольцами; так, Репке [160] показал, что если R — локальное кольцо с 2 € R*, V — свободный Д-модуль размерности п, f — регулярная симметричная билинейная форма, а группа G есть группа изометрий /, то любой элемент из G есть произведение не более четырех инволюций из G.

С нахождением ширины групп в инволюциях тесно связан поиск минимального количества инволюций, порождающих ту или иную группу;

20 необходимо отметить также естественную связь этого вопроса с (2,3)-порождением групп, которое обсуждалось чуть раньше. В 1978 году Вагнер в [193] показал, что для порождения группы U(3,3) необходимо четыре инволюции. Гиллио и Тамбурини в [113] доказали, что знакопеременные и линейные группы, симплектические группы размерности не меньше шести и группы Сузуки порождаются тремя инволюциями. В [90] и [193] доказано, что для порождения групп G = PSp(4, —) и U(3, q) при q ф 3 также хватает трех инволюций. Далла Вольта и Тамбурини в [91], [88], [89] доказали аналогичное утверждение для ортогональных групп. Для простых групп Шевалле над конечным полем характеристики 2, отличных от А2, 2 А2, A3 и 2 A3, та же оценка была получена Нужиным в [41]; для спорадических групп — Далла Вольта в [87]; для большинства исключительных групп — Вейгелем в [194]. Наконец, в 1994 году Малле, Саксл и Вейгель в [147] доказали, что любая конечная простая неабелева группа G, пе равная U(3,3), порождается тремя инволюциями (отметим, что две инволюции могут породить только диэдральную группу).

В [32] В. Д. Мазуров поставил вопрос: какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых коммутируют. Этот вопрос оказался тесно связан с проблемой существования гамильтонова цикла в графе Кэли, соответствующем данной группе. Нужин в работах [41], [42], [43], [44] дал ответ для простых знакопеременных групп и простых групп лиева типа. Позднее Тимофеенко, Нужин и другие математики исследовали, используя компьютер, спорадические группы: оказалось, что спорадическая группа G не порождается тремя инволюциями, две из которых коммутируют, тогда и только тогда, когда G = М1Ь М22, М23 или McL. В

2003 году Мазуров в [36] дал, используя таблицы характеров, единое дока

21 зательство этого факта для всех спорадических групп. Также чрезвычайно интересные результаты про матричные группы над произвольными конечно порожденными коммутативными кольцами получены в работе Тамбурини и Дзукка [174].

5.3. Ширина группы Шевалле в корневых элементах

Для групп Шевалле естественным множеством образующих является также множество корневых элементов. Поскольку корневые элементы в Gp($,i?) порождают элементарную подгруппу Ер(Ф,К), которая, вообще говоря, не совпадает с Gp(Ф,Л), то обычно ширину группы Шевалле во множестве корневых элементов определяют как ширину ее элементарной подгруппы. Нечто подобное мы уже наблюдали в случае коммутаторов.

В замечательной работе Дьедонне [95] найдена ширина классических групп в корневых элементах. Позднее результаты Дьедонне были расширены на группы, сохраняющие квадратичную форму с ненулевым радикалом, см., например, [164]. Также в работе Дьедонне исследуется ширина классических групп в симметриях, то есть в инволюциях, оставляющих неподвижным какую-нибудь гиперплоскость. Изучение симметрий тесно связано с изучением как инволюций, так и корневых элементов; после Дьедонне сим-метриями занимались Гетцки, Исибаси, Элл ере и многие другие, см. [100], [101], [103], [104], [106], [109], [110], [111], [119], [120], [133], [134], [135], [167], [197], см. также [45], [46].

В отличие от классического случая, про ширину в корневых элементах исключительных групп до недавнего времени ничего, кроме естественных оценок снизу, известно не было. Поясним, откуда появляются оценки снизу. Напомним, что вычетом матрицы А называется ранг матрицы А — Е.

Несложно видеть, что вычет не меняется при сопряжении, и вычет произ

22 ведения меньше либо равен сумме вычетов. Из этих свойств вычета легко следуют оценки на ширину групп Шевалле снизу: для интересующей нас группы Gsc(E6,iir), например, в минимальном 27-мерном представлении вычет корневого элемента равен шести, откуда, поскольку в (2зс(Еб, К) существуют элементы вычета 27, следует, что ширина группы GSC(E6, не меньше 5. Интересно, что для классических групп аналогичные оценки совпадают с точным значением, найденным в [95], поэтому естественным является предположение, что это так и для исключительных групп (по-видимому, однако, ширина групп типа Eg равна шести, а не пяти). Не так давно Коэн, Штайнбах, Усиробира и Уэльс показали, что Gsc(Ee,K) порождается некоторыми пятью корневыми подгруппами. Из этого можно вывести, что ширина группы Gsc(E6,i;f) не больше 10. Других оценок на ширину исключительных групп до настоящего времени не существовало.

Назовем поле А;-замкнутым, если в нем любой многочлен степени не выше к имеет хотя бы один корень (к сожалению, нам не удалось найти в литературе общеупотребительного термина для таких полей). Пусть G = Gad (Еб, К), где поле К является 6-замкнутым. Основной результат настоящей работы, как мы упоминали в самом начале, это доказательство того, что ширина группы G не больше восьми. Эта оценка не является точной, и в наши ближайшие планы входит улучшение ее до семи, а в перспективе, вероятно, и до шести. Также мы планируем доказать аналогичный результат про односвязную группу Gsc(E6,iif) и обобщить эти результаты на случай произвольного поля. Отметим, что при естественном переносе доказательства из третьей главы на случай 2-замкнутого поля возникнут некоторые сложности во втором пункте седьмого параграфа — придется, по-видимому, заменять жорданову форму матриц на фробениусову форму.

23

Переход к произвольному полю вызовет еще большие проблемы. Поэтому в настоящей работе мы не стремились снять ограничение на поле.

6. План диссертации

Настоящая работа состоит из трех глав; в первой из них четыре параграфа, во второй и третьей — по три. Некоторые параграфы, для удобства, разбиты на пункты. Первая глава носит вводный характер. В первом параграфе мы напоминаем и фиксируем основные обозначения. Во втором параграфе мы формулируем и доказываем простейшие факты про корни, веса и знаки действия, необходимые в дальнейшем. В третьем параграфе мы приступаем к изучению матриц корневых элементов группы G = Gsc(Eq,K) для произвольного поля К. В частности, в теореме 1 мы указываем 22 независимые переменные, однозначно определяющие корневой элемент (при условии, что некоторый матричный коэффициент ненулевой). Кроме этого, мы находим несколько уравнений на матричные коэффициенты корневых элементов. В первом пункте четвертого параграфа мы изучаем диагональные матрицы, во втором — матрицы из группы Da = (Хр;(3 L а), в третьем — матрицы из параболической подгруппы. В четвертом пункте четвертого параграфа мы рассматриваем матрицы из подгруппы Леви и, в теореме 2, описываем их вид; в пятом пункте мы начинаем исследование унипотентного радикала.

Вторая глава посвящена корневым и унипотентным подгруппам группы G. В пятом параграфе мы возвращаемся к корневым подгруппам: доказываем, что естественное соответствие между корневыми подгруппами и шестимерными сингулярными подпространствами является биекцией, а также изучаем связь между взаимным расположением двух шестимерных сингулярных пространств и углом между соответствующими корневыми

24 подгруппами. В шестом параграфе мы изучаем, как по взаимному расположению трех шестимерных сингулярных подпространств, два из которых противоположны, понять, какую группу порождают соответствующие им корневые подгруппы. В седьмом параграфе мы продолжаем исследование унипотентного радикала и, в теореме 5, показываем, что любой унипотент является произведением не более трех корневых элементов.

В третьей главе мы изучаем произвольные матрицы из группы G. В восьмом параграфе исследуются произведения матриц. Пусть ~д = {gij}, где 1 < г < 6 и 22 < j < 27 — матрица 6x6, расположенная в правом верхнем углу матрицы д е G. В восьмом параграфе, в частности, доказывается, что если К — алгебраически замкнутое поле и А € GL(6,K), то существует матрица д G G, такая, что д = А, и д есть произведение не более чем четырех корневых элементов (следствие из теоремы 8). В девятом параграфе мы доказываем теорему 9: для произвольного нецентрального элемента д € G существует элемент h е G, такой, что подматрица hgh~x обратима. Наконец, в десятом параграфе мы доказываем основной результат настоящей работы, теорему о том, что для 6-замкнутого поля К любой элемент группы Gacj(E6, К) есть произведение не более восьми корневых элементов.

В завершение отметим, что большинство утверждений из первых пяти параграфов либо хорошо известны специалистам, либо очевидным образом следуют из классических и/или общеизвестных фактов, либо, в крайнем случае, совершенно естественны или даже интуитивно очевидны, хотя их доказательство может потребовать некоторого времени. При этом многие из них не раз встречались в работах самых разных авторов. Обычно, однако, довольно тяжело найти того, кто первым записал данное тривиальное утверждение, и практически невозможно — того, кто его первым обнару

25 жил. Кроме этого, показать, что под разными формулировками скрывается одно и тоже, часто бывает сложнее, чем доказать утверждение заново, поэтому мы взяли на себя смелость не указывать авторов доказываемых нами несложных фактов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Певзнер, Игорь Михайлович, 2008 год

1. Башкиров Е. Л. О линейных группах, порожденных двумя длинными корневыми подгруппами // Сиб. мат. журнал. — 1993. — Т. 34, №2. — С. 15-23.

2. Башкиров Е. Л. Линейные группы, содержащие корневую подгруппу // Сиб. мат. журнал. — 1996. — Т. 37, №6. — С. 1238-1255.

3. Башкиров Е. Л. О подгруппах полной линейной группы степени 4 над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу индекса 1 // Алгебра и анализ. — 2001. — Т. 13, №3. — С. 18-42.

4. Башкиров Е. Л. Группа Spin8 и некоторые подгруппы унитарных групп степени 4 над телом кватернионов // Алгебра и анализ. — 2001. — Т. 13, т. — С. 43-64.

5. Башкиров Е. Л. Линейные группы над телами, содержащие подгруппы квадратичных унипотентных элементов // Докт. Дисс., Белорусский Гос. Ун-т Информатики и Радиоэлектроники. — 2006. — 270 С.

6. Борелъ А. Свойства и линейные представления групп Шевалле // Семинар по алгебраическим группам. — М., 1973. — С. 9-59.

7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV VI. — М.: Мир, 1972. — 334 С.

8. Бурбаки П. Группы и алгебры Ли. Главы I III. — М.: Мир, 1976. — 496 С.

9. Вавилов Н. А. О геометрии длинных корневых подгрупп в группах Шевалле // Вести. Ленингр. ун-та. — 1988. — Т. 1, JVel. — С. 8-11.

10. Вавилов Н. А. Разложение Брюа длинных корневых элементов в группах Шевалле // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. — Л., 1988. — С. 18-39.

11. Вавилов Н. А. О подгруппах расщепимых ортогональных групп над кольцом // Сиб. мат. журнал. — 1988. — Т. 29, №4. — С. 31-43.

12. Вавилов Н. А. Геометрия 1-торов в GLn // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, т. — С. 120-151.

13. Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р. Аг-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов Еб и Е7 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, №4. — С. 54-87.

14. Вавилов Н. А., Гаврилович М. Р., Николенко С. И. Строение групп Шевалле: доказательство из книги / / Зап. науч. сем. ПО МИ. — 2006. — Т. 330. — С. 36-76.

15. Вавилов П. А., Лузгарев А. Ю. Нормализатор группы Шевалле типа Еб // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, №5. — С. 35-62.

16. Вавилов Н. А., Лузгарев А. Ю., Певзнер И. М. Группа Шевалле типа Еб в 27-мерном представлении // Зап. науч. сем. ПОМП. — 2006. — Т. 338.С. 5-68.

17. Вавилов Н. А., Нестеров В. В. Геометрия микровесовых торов // Владикавказский мат. оюурнал. — 2008. — Т. 10, №1. — С. 10-23.

18. Вавилов П. А., Нестеров В. В. Пары микровесовых торов в группе Шевалле типа Еб // Алгебра и анализ. — готовится к публикации.

19. Вавилов Н. А., Николенко С. И. А2-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типа F4 // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, №4.С. 27-63.

20. Вавилов Н. А., Певзнер И. М. Тройки длинных корневых подгрупп // Зап. науч. сем. ПОМП. — 2007. — Т. 343. — С. 54-83.

21. Вавилов Н. А., Плоткин Е. Б., Степанов А. В. Вычисления в группах133Шевалле над коммутативными кольцами // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 40, №1. — С. 145-147.

22. Вавилов Н. А., Семенов А. А. Разложение Брюа длинных корневых торов в группах Шевалле // Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1989. — Т. 175. — С. 12-23.

23. Вавилов Н. А., Семенов А. А. Длинные корневые полупростые элементы в группах Шевалле // Докл. РАН. — 1994. — Т. 338, Ж. — С. 725-727.

24. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М.: Наука, 1988. — 344 С.

25. Винберг Э. Б., Попов В. Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн., сер. совр. проблемы мат. Фундамент, направл. — М.: ВИНИТИ, 1989. — Т. 55. — С. 137-309.

26. Всемирное М. А. Является ли группа SL(6, Z) (2,3)-порожденной? // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2006. — Т. 330. — С. 101-130.

27. Всемирное М. А. О (2,3)-порождении матричных групп над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19, №6. — С. 22-58.

28. Залесский А. Е. Линейные группы // Успехи мат. наук. — 1981. — Т. 36, №6. — С. 56-107.

29. Залесский А. Е. Линейные группы // Итоги науки. Фундаментальные направления. Алгебра 4. — М., 1989. — С. 114-234.

30. Залесский А. Е., Сереэткин В. Н. Линейные группы, порожденные транс-векциями // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1977. — Т. 10. — С. 25-46.

31. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. — 1986. — Т. 41, Ж. — С. 57-96.

32. Коуровская тетрадь: Нерешенные проблемы теории групп, 16 издание.Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2006.134

33. Лузгарев А. Ю. О надгруппах -Е(Еб, R) и E{Et,R) в минимальных представлениях // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. — Т. 319. — С. 216-243.

34. Лузгарев А. Ю. Надгруппы E(F4:,R) в G(E6,R) // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, №5. — См. также препринт ПОМИ 2008, №2, С. 1-37.

35. Лузгарев А. Ю., Певзнер И. М. Некоторые факты из жизни GL(5,Z) // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2003. — Т. 305. — С. 153-163.

36. Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны / / Сиб. мат. журнал. — 2003. — Т. 44, Ш. — С. 193-198.

37. Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. — М.: Наука, 1986. — 292 С.

38. Нестеров В. В. Пары коротких корневых подгрупп в группе Шевалле // Докл. РАН. — 1997. — Т. 357. — С. 302-305.

39. Нестеров В. В. Пары коротких корневых подгрупп в группе Шевалле типа G2 // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001. — Т. 281. — С. 253-273.

40. Нестеров В. В. Порождение пар коротких корневых подгрупп в группе Шевалле // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, №6. — С. 172-208.

41. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, №. 2. — С. 192-206.

42. Нуоюин Я. Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Мат. заметки. — 1990. — Т. 4. — С. 91-95.

43. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, Ж 1. — С. 77-96.

44. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над ко135нечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, Ж 4. — С. 422-440.

45. О'Мира О. Лекции о линейных группах // Автоморфизмы классических групп. — М.: Мир, 1976. — С. 57-167.

46. О'Мира О. Лекции о симплектических группах. — М.: Мир, 1979. — 166 С.

47. Розенфельд Б. А., Замаховский М. П. Геометрия групп Ли. "Симметрические, параболические и периодические пространства. — М.: МЦНМО, 2003. — 560 С.

48. Семенов А. А. Разложение Брюа длинных корневых полупростых торов в группах Шевалле // Канд. Дисс. СПб Гос. Ун-т. — 1991. — 143 С.

49. Спрингер Т. А. Линейные алгебраические группы // Итоги науки и техн., сер. совр. проблемы мат. Фундамент, направл. — М., 1989. — Т. 55. — С. 5-136.

50. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975. — 262 С.

51. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — 399 С.

52. Arad Z., Chillag D., Moran G. Groups with a small covering number // Products of Conjugacy Classes in Groups. — Berlin: Springer, 1985. — Pp. 222-244. — (Lecture Notes in Math. Vol. 1112).

53. Arad Z., Fisman E., Muzychuk M. Order evaluation of products of subsets in finite groups and its applications. I // J. Algebra. — 1996. — Vol. 183, no. 3. — Pp. 577-603.

54. Arad Z., Herzog M., Stavi J. Powers and products of conjugacy classes ingroups // Products of Conjugacy Classes in Groups. — Berlin: Springer,1985. — Pp. 6-51. — (Lecture Notes in Math. Vol. 1112).136

55. Aschbacher M. The 27-dimensional module for E6.1 // Invent. Math. — 1987.Vol. 89, no. 1. — Pp. 159-195.

56. Aschbacher M. The 27-dimensional module for Ее- II // J. London Math. Soc. — 1988. — Vol. 37. — Pp. 275-293.

57. Aschbacher M. The 27-dimensional module for Еб III // Trans. Amer. Math. Soc. — 1990. — Vol. 321. — Pp. 45-84.

58. Aschbacher M. The 27-dimensional module for E6. IV // J. Algebra. — 1990.Vol. 131. — Pp. 23-39.

59. Aschbacher M. Some multilinear forms with large isometry groups // Geom. Dedicata. —- 1988. — Vol. 25, no. 1-3. — Pp. 417-465.

60. Aschbacher M. The geometry of trilinear forms // Finite Geometries, Buildings and Related topics. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1990. — Pp. 75-84.

61. Aschbacher M., Seitz G. M. Involutions in Chevalley groups over fields of even order // Nagoya Math. J. — 1976. — Vol. 63. — Pp. 1-91.

62. Austin P. Products of involutions in the groups of Lie type j j Comm. Algebra. — 1999. — Vol. 27, no. 2. — Pp. 557-575.

63. Ballantine C. S. Products of involutory matrices. I // Linear and Multilinear Algebra. — 1977-1978. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 53-62.

64. Bashkirov E. L. Some completely reducible linear groups over a division ring, containing a root subgroup // Comm. Algebra. — 2003. — Vol. 31, no. 12.Pp. 5727-5754.

65. Bashkirov E. L. Irreducible linear groups of degree 3 over a quaternion division ring, containing a root subgroup // Comm. Algebra. — 2004. — Vol. 32, no. 5. — Pp. 1747-1763.

66. Bashkirov E. L. Irreducible linear groups of degree 4 over a quaternion division algebra that contain a subgroup diag(T3(K, Ф0), 1) // J- Algebra. —1372005. — Vol. 287, no. 2. — Pp. 319-350.

67. Bonten O. Uber Kommutatoren in endlichen einfachen Gruppen. — Aachen: Verlag der Augustinus-Buchhandlung, 1993. — 146 Pp. — (Aachener Bei-trage zur Mathematik. Vol. 7).

68. Borel A. Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001. — 184 Pp. — (History Math. Vol. 21).

69. Brown A., Pearcy C. Multiplicative commutators of operators // Canad. J. Math. — 1966. — Vol. 18. — Pp. 737-749.

70. Brown R., Humphries S. P. Orbits under symplectic transvections. I, II// Proc. London Math. Soc. — 1986. — Vol. 52. — Pp. 517-531, 532-556.

71. Cameron P. J., Hall J. I. Some groups generated by transvection subgroups // J. Algebra. — 1991. — Vol. 140, no. 1. — Pp. 184-209.

72. Carter D.f Keller G. Elementary expressions for unimodular matrices // Comm. Algebra. — 1984. — Vol. 12, no. 4. — Pp.379-389.

73. Carter R. W. Finite groups of Lie type: conjugacy classes and complex characters. — London: Wiley, 1985. — 554 Pp.

74. Carter R. W. Simple groups of Lie type. — London: Wiley, 1989. — 364 Pp.

75. Chevalley C., Schafer R. D. The exceptional simple Lie algebras F4 and Ее // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1950. — Vol. 36. — Pp. 137-141.

76. Cohen A. M., Cushman R. H. Grobner bases and standard monomial theory // Computational algebraic geometry. — Basel: Birkhauser, 1993. — Pp. 41-60.

77. The local maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic j A. M. Cohen, M. W. Liebeck, J. Saxl, G. M. Seitz // Proc. London Math. Soc. — 1992. — Vol. s3-64, no. 1. — Pp. 21-48.

78. Cooperstein B. N. Subgroups of the group E6(g) which are generated by root138subgroups // J. Algebra. ~ 1977. — Vol. 46, no. 2. — Pp. 355-388.

79. Cooper stein B. N. The geometry of root subgroups in exceptional groups. I // Geom. Dedicata. — 1979. — Vol. 8. — Pp. 317-381.

80. Cooperstein B. N. Geometry of long root subgroups in groups of Lie type // Proc. Symp. Pure Math. — 1980. — Vol. 37. — Pp. 243-248.

81. Cooperstein B. N. Subgroups of exceptional groups of Lie type generated by long root subgroups. I, II// J. Algebra. — 1981. — Vol. 70, no. 1. — Pp. 270-282, 283-298.

82. Cooperstein B. N. The geometry of root subgroups in exceptional groups. II // Geom. Dedicata. — 1983. — Vol. 15. — Pp. 1-45.

83. Cuypers H. Symplectic geometries, transvection subgroups and modules // J. Comb. Theory, Ser. A. — 1994. — Vol. 65. — Pp. 39-59.

84. Cuypers H. The geometry of ^-transvection groups // J. Algebra. — 2006. — Vol. 300, no. 2. — Pp. 455-471.

85. Cuypers H., Steinbach A. I. Linear transvection groups and embedded polar spaces // Invent. Math. — 1999. — Vol. 137, no. 1. — Pp. 169-198.

86. Cuypers H., Steinbach A. I. Special linear groups generated by transvections and embedded projective spaces// J. London Math. Soc. — 2001. — Vol. 64, no. 3. — Pp. 576-594.

87. Dalla Volta F. Gruppi sporadici generati da tre involuzioni // Rend. 1st. Lombardo. — 1985. — Ser. A, Vol. 119. — Pp. 65-87.

88. Dalla Volta F. Generazione mediante tre involuzioni di gruppi ortogonali di indice di Witt minimale in caratteristica 2 // Dip. Matematica, Politecnio di Milano. — 1990.

89. Dalla Volta F. Gruppi ortogonali di indice di Witt minimale generati da treinvoluzioni // Geom. Dedicata. — 1992. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 135-143.139

90. Dalla Volta F., Tarnburini M. C. Generazione di PSp(4, q) mediante tre in-voluzioni // Boll Un. Mat. Ital. A (7). — 1989. — Vol. 3, no. 3. — Pp. 285-289.

91. Dalla Volta F., Tarnburini M. C. Generation of some orthogonal groups by a set of three involutions // Arch. Math. — 1991. — Vol. 56, no. 5. — Pp. 424-432.

92. Dennis R. K., Vaserstein L. N. On a question of M. Newman on the number of commutators // J. Algebra. — 1988. — Vol. 118, no. 1. — Pp. 150-161.

93. Dennis R. K., Vaserstein L. N. Commutators in linear groups // K-Theory.1989. — Vol. 2, no. 6. — Pp. 761-767.

94. Deriziotis D. I., Fakiolas A. P. The maximal tori in the finite Chevalley groups of type Еб, E7 and Eg // Communications in Algebra. — 1991. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 889-903.

95. Dieudonne J. Sur les generateurs des groupes classiques // Summa Brasil. Math. — 1955. — Vol. 3. — Pp. 149-179.

96. Di Martino L., Vavilov N. A. (2,3)-generation of SL(n, q). I. Cases n = 5,6, 7 J j Comm. Algebra. — 1994. — Vol. 22, no. 4. — Pp. 1321-1347.

97. Di Martino L., Vavilov N. A. (2,3)-generation of SL(n, q). II. Cases n > 8 // Comm. Algebra. — 1996. — Vol. 24, no. 2. — Pp. 487-515.

98. Dokovic D. Z. On commutators in real semisimple Lie groups // Osaka J. Math. — 1986. — Vol. 23, no. 1. — Pp. 223-238.

99. Dokovic D. Z. Pairs of involutions in the general linear groups // J. Algebra.1986. — Vol. 100, no. 1. — Pp. 214-223.

100. Dokovic D. Z., Malzan J. G. Products of reflections in the general linear group over a division ring // Linear Algebra Appl. — 1979. — Vol. 28. — Pp. 53-62.

101. Dokovic D. Z., Malzan J. G. Products of reflections in U(p, q). — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1982. — 82 Pp.

102. Dvir Y. Covering properties of permutation groups // Products of Conjugacy Classes in Groups. — Berlin: Springer, 1985. — Pp. 197-221. — (Lecture Notes in Math. Vol. 1112).

103. Dye R. H. Scherk's theorem on orthogonalities revisited // Geom. Dedicata.1986. — Vol. 20, no. 3. — Pp. 349-356.

104. Ellers E. W. Decomposition of orthogonal, symplectic, and unitary isometries into simple isometries // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1977. — Vol. 46. — Pp. 97-127.

105. Ellers E. W. Products of involutions in simple Chevalley groups j j J. Geom.2000. — Vol. 69, no. 1-2. — Pp. 68-72.

106. Ellers E. W., Frank R. Products of quasireflections and transvections over local rings // J. Geom. — 1988. — Vol. 31, no. 1-2. — Pp. 69-78.

107. Ellers E. W., Gordeev N. L. On the conjectures of J. Thompson and O. Ore // Trans. Amer. Math. Soc. — 1998. — Vol. 359, no. 9. — Pp. 3657-3671.

108. Ellers E. W., Gordeev N. L., Herzog M. Covering numbers for Chevalley groups // Israel J. Math. — 1999. — Vol. 111. — Pp. 339-372.

109. Ellers E. W., Ishibashi H. Factorization of transformations over a local ring / j Linear Algebra Appl. — 1987. — Vol. 85. — Pp. 12-27.

110. Ellers E. W., Lausch H. Length theorems for the general linear group of a module over a local ring // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. — 1989. — Vol. 46, no. 1. — Pp. 122-131.

111. Ellers E. W., Lausch H. Generators for classical groups of modules over local rings // J. Geom. — 1990. — Vol. 39, no. 1-2. — Pp. 60-79.

112. Epstein D. B. A. Commutators of C°°-diffeomorphisms, appendix to "A cu141rious remark concerning the geometric transfer map" by John N. Mather // Comment. Math. Helv. — 1984. — Vol. 59, no. 1. — Pp. 111-122.

113. Gillio В. M., Tamburini M. G. Alcuni classi di gruppi generati da tre in-voluzioni // Rend. 1st. Lombardo. — 1982. — Ser. A, Vol. 116. — Pp. 191209.

114. Goldstein R. Z., Turner E. G. A note on commutators and squares in free products // Contemp. Math. — 1985. — Vol. 44. — Pp. 69-72.

115. Gordeev N. L. Products of conjugacy classes in algebraic groups. I, II // J. Algebra. — 1995. — Vol. 173, no. 3. — Pp. 715-744, 745-779.

116. Gordeev N. L., Saxl J. Products of conjugacy classes in Chevalley groups. I. Extended covering numbers If Israel J. Math. — 2002. — Vol. 130. — Pp. 207-248.

117. Gordeev N. L., Saxl J. Products of conjugacy classes in Chevalley groups. II. Covering and generation // Israel J. Math. — 2002. — Vol. 130. — Pp. 249-258.

118. Gordon В., Guralnick R. M., Miller M. D. On cyclic commutator subgroups // Aequationes Math. — 1978. — Vol. 17, no. 2-3. — Pp. 241-248.

119. Gotzky M. Unverkiirzbare Produkte und Relationen in unitaren Gruppen'// Math. Z. — 1968. — Vol. 104. — Pp. 1-15.

120. Gotzky M. Uber die Erzeugenden der engeren unitaren Gruppen // Arch. Math. — 1968. — Vol. 19. — Pp. 383-389.

121. Gow R. Commutators in the symplectic group // Arch. Math. — 1988. — Vol. 50. — Pp. 204-209.

122. Griffiths H. B. A note on commutators in free products. I // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1954. — Vol. 50. — Pp. 178-188.

123. Griffiths H. B. A note on commutators in free products. II // Proc. Cambridge142Philos. Soc. — 1955. — Vol. 51. — Pp. 245-251.

124. Guralnick R. M. On groups with decomposable commutator subgroups // Glasgow Math. J. — 1978. — Vol. 19, no. 2. — Pp. 159-162.

125. Guralnick R. M. On cyclic commutator subgroups // Aequationes Math. — 1980. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 33-38.

126. Guralnick R. M. Commutators and commutator subgroups // Adv. Math. — 1982. — Vol. 45, no. 3. — Pp. 319-330.

127. Hsu (Xu) C.-S. The commutators of the alternating group // Sci. Sinica. — 1965. — Vol. 14. — Pp. 339-342.

128. Isaacs I. M. Commutators and the commutator subgroup // Amer. Math. Monthly. — 1977. — Vol. 84, no. 9. — Pp. 720-722.

129. Ishibashi H. Generators of orthogonal groups over a local valuation domain // J. Algebra. — 1978. — Vol. 55, no. 2. — Pp. 302-307.

130. Ishibashi H. Generators of 8рп(У) over a quasisemilocal semihereditary ring // J. Pure Appl. Algebra. — 1981. — Vol. 22, no. 2. — Pp. 121-129.

131. Kantor W. M. Subgroups of classical groups generated by long root elements // Trans. Amer. Math. Soc. — 1979. — Vol. 248, no. 2. — Pp. 347-379.

132. Kantor W. M. Generation of linear groups // The geometric Vein: Coxeter Festschrift. — Berlin et al.: Springer, 1981. — Pp. 497-509.

133. Kami S. Covering numbers of groups of small order and sporadic groups // Products of Conjugacy Classes in Groups. — Berlin: Springer, 1985. — Pp. 52-196. — (Lecture Notes in Math. Vol. 1112).

134. Knilpel F., Nielsen K. SL(F) is 4-reflectional // Geom. Dedicata. — 1991. — Vol. 38, no. 3. — Pp. 301-308.

135. Lev A. Products of cyclic similarity classes in the groups GLn(F) // Linear Algebra Appl. — 1994. — Vol. 202. — Pp. 235-266.

136. Lev A. The covering number of the group PSLn(F) // J. Algebra. — 1996.Vol. 182, no. 1. — Pp. 60-84.

137. Li Shang.Zhi Irreducible subgroups of SL(n, К) generated by root subgroups // Geom. Dedicata. — 1989. — Vol. 31. — Pp. 41-44.

138. Liebeck H. A test for commutators // Glasgow Math. J. — 1976. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 31-36.

139. Liebeck M. W., Seitz G. M. Subgroups generated by root elements in groups of Lie type // Ann. Math. — 1994. — Vol. 139. — Pp. 293-361.

140. MacDonald I. D. On cyclic commutator subgroups // J. London Math. Soc.1963. — Vol. 38. — Pp. 419-422.

141. Malle G., Saxl J., Weigel T. S. Generation of classical groups // Geom. Dedicata. — 1994. — Vol. 49, no. 1. — Pp. 85-116.

142. Mather J. N. Commutators of diffeomorphisms // Comment. Math. Helv. — 1974. — Vol. 49. — Pp. 512-528.

143. Mather J. N. Commutators of diffeomorphisms, II // Comment. Math. Helv.1975. — Vol. 50. — Pp. 33-40.

144. Mather J. N. A curious remark concerning the geometric transfer map // Comment. Math. Helv. — 1984. — Vol. 59, no. 1. — Pp. 86-110.

145. Mather J. N. Commutators of diffeomorphisms, III: a group which is not perfect // Comment. Math. Helv. — 1985. — Vol. 60, no. 1. — Pp. 122-124.

146. Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmetiques des groupes semi-simples deployes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., ^eme ser. — 1969. — Vol. 2, no. 1.Pp. 1-62.

147. McDuff D. On the group of volume-preserving diffeomorphisms of Rn // Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — Vol. 261, no. 1. — Pp. 103-113.

148. Neubiiser J., Pahlings H., Cleuvers E. Each sporadic finasig G has a class С such that CC = G // Abstract Amer. Math. Soc. — 1984. — Vol. 34. — Pp. 6.

149. Newman M. Unimodular commutators // Proc. Amer. Math. Soc. — 1987.Vol. 101, no. 4. — Pp. 605-609.

150. Ore O. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. — 1951.Vol. 272. — Pp. 307-314.

151. Rodney D. M. On cyclic derived subgroups // J. London Math. Soc. — 1974.Vol. s2-8, no. 4. — Pp. 642-646.

152. Rodney D. M. Commutators and conjugacy classes in groups // Ph. D. Thesis, Univ. of Keele. — 1974.

153. Rohrle G. E. On extraspecial parabolic subgroups // Contemp. Math. — 1993. — Vol. 153. — Pp. 143-155.

154. Riipcke H. The orthogonal group over a local ring is 4-reflectional // Geom. Dedicata. — 1994. — Vol. 49, no. 3. — Pp. 369-373.

155. Sanchini P., Tarnburini M. C. Constructive (2,3)-generation: a permutational approach // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. — 1994. — Vol. LXIV. — Pp. 141-158.

156. Scherk P. On the decomposition of orthogonalities into symmetries // Proc. Amer. Math. Soc. — 1950. — Vol. 1. — Pp. 481-491.

157. Sivatski A. S., Stepanov A. V. On the word length of commutators in GLn(.R) // K-Theory. — 1999. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 295-302.

158. Spengler U., Wolff H. Die Lange einer symplektischen Abbildung // J. reine angew. Math. — 1975. — Vol. 274-275. — Pp. 150-157.

159. Springer T. A. Linear algebraic groups. — Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1998. — 334 Pp. — (Progress in Mathematics. Vol. 9).

160. Springer T. A., Veldkamp F. D. Octonions, Jordan algebras and exceptional groups. — Berlin: Springer, 2000. — 208 Pp.

161. Stanley-Albarda C. A comparison of length definitions for maps of modules over local rings // J. Geom. — 1995. — Vol. 53, no. 1-2. — Pp. 191-200.

162. Steinbach A. I. Untergruppen von klassischen Gruppen, die von Transvek-tionen oder Siegel-Transvektionen erzeugt werden // Ph. D. Thesis, Univ. of Giefien. — 1995. — 195 Pp.

163. Steinbach A. I. Subgroups of classical groups generated by transvections or Siegel transvections. I, II // Geom. Dedicata. — 1997. — Vol. 68. — Pp. 281-322, 323-357.

164. Steinbach A. I. Subgroups isomorphic to G2(L) in orthogonal groups// J. Algebra. — 1998. — Vol. 205, no. 1. — Pp. 77-90.

165. Steinbach A. I. Groups of Lie type generated by long root elements in F^K).146Giefien: Habilitationsschrift, 2000.

166. Steinbach A. I. Subgroups of the Chevalley groups of type F^if) arising from a polar space// Adv. Geom. — 2003. — Vol. 3. — Pp. 71-100.

167. Tamburini M. C., Wilson J. S., Gavioli-N. On the (2,3)-generation of some classical groups. I // J. Algebra. — 1994. — Vol. 168, no. 1. — Pp. 353-370.

168. Tamburini M. C., Zucca P. Generation of certain matrix groups by three involutions, two of which commute // J. Algebra. — 1997. — Vol. 195, no. 2.Pp. 650-661.

169. Thurston W., Vaserstein L. N. On Ki-theory of the Euclidean space // Topology Appl — 1986. — Vol. 23, no. 2. — Pp. 145-148.

170. Timmesfeld F. G. Groups generated by A;-transvections // Invent. Math. — 1990. — Vol. 100. — Pp. 167-206.

171. Timmesfeld F. G. Groups generated by k-root subgroups // Invent. Math.1991. — Vol. 106. — Pp. 575-666.

172. Timmesfeld F. G. Groups generated by k-root subgroups a survey // Groups, Combinatorics and Geometry (Durham - 1990). — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992. — Pp. 183-204.

173. Timmesfeld F. G. Moufang planes and the groups E^ and SL2{K), К a Cayley division algebra // Forum Math. — 1994. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 209-231.

174. Timmesfeld F. G. Subgroups generated by root elements of groups generated by /с-root subgroups // Geom. Dedicata. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 293-321.

175. Timmesfeld F. G. Abstract root subgroups and quadratic actions. With an appendix by A. E. Zalesskii // Adv. Math. — 1999. — Vol. 142, no. 1. — Pp. 1-150.

176. Timmesfeld F. G. Abstract root subgroups and groups of Lie type. — Basel:147Birkhauser Verlag, 2001. — 389 Pp.

177. Tits J. Building of spherical type and finite BN-pairs. — Belin: Springer-Verlag, 1974. — 299 Pp. — (Lecture Notes in Math. Vol. 386).

178. Vaserstein L. N. On Kr-theory of topological spaces // Contemp. Math. — 1986. — Vol. 55. — Pp. 729-740.

179. Vaserstein L. N. Reduction of a matrix depending on parameters to a diagonal form by addition operations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1988. — Vol. 103, no. 3. — Pp. 741-746.

180. Vaserstein L. N., Wheland E. Factorization of invertible matrices over rings of stable rank one // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. — 1990. — Vol. 48, no. 3. — Pp. 455-460.

181. Vavilov N. A. Structure of Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Non-associative algebras and related topics (Hiroshima 1990). — London et al.: World Sci. Publ., 1991. — Pp. 219-335.

182. Vavilov N. A. A third look at weight diagrams // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. — 2000. — Vol. 204. — Pp. 1-45.

183. Vavilov N. A. An Аз-proof of structure theorems for Chevalley groups of types E6 and E7 // Int. J. Algebra and Computations. — 2007. — Vol. 17, no. 5-6. — Pp. 1283-1298.

184. Vavilov N. A., Plotkin E. B. Chevalley groups over commutative rings. I. Elementary calculations // Acta Applicandae Math. — 1996. — Vol. 45. — Pp. 73-115.

185. Vsemirnov M. A. The group GL(6, Z) is (2,3)-generated // J. Group Theory.2007. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 425-430.

186. Wagner A. Groups generated by elations // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.1974. — Vol. 41. — Pp. 199-205.

187. Wagner A. The minimal number of involutions generating some finite three-dimensional groups // Boll. Un. Mat. Ital. A (5). — 1978. — Vol. 15, no. 2.Pp. 431-439.

188. Weigel T. S. Generation of exceptional groups of Lie type // Geom. Dedicata.1992. — Vol. 41, no. 1. — Pp. 63-87.

189. Wonenburger M. J. Transformations which are products of two involutions // J. Math. Mech. — 1966. — Vol. 16. — Pp. 327-338.

190. Wood J. W. Bundles with totally disconnected structure group // Comment. Math. Helv. — 1971. — Vol. 46. — Pp. 257-273.

191. Zhou L. G. Scherk's theorem of orthogonal groups over a local ring. I. Expressing orthogonal transformations as the product of symmetries and a semi-symmetry // Dongbei Shida Xuebao. — 1985. — Vol. 2. — Pp. 17-24.

192. Zisser I. The covering numbers of the sporadic simple groups // Israel J. Math. — 1989. — Vol. 67. — Pp. 217-224.