Параболические факторизации редуктивных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Синчук, Сергей Сергеевич

• Синчук, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Синчук, Сергей Сергеевич

Содержание

Введение

1 Основные определения и конструкции

1.1 Группы Шевалле

1.2 Предварительные сведения о группах Стейнберга

1.3 Гиперболические унитарные группы

2 Условия стабильности

2.1 Стабильный ранг

2.2 Абсолютный стабильный ранг

2.3 Стабильный ранг форменных колец

2.4 Условия стабильности типа Бака

3 Относительные группы Стейнберга

3.1 Релятивизация Стейна

3.2 Определение относительных групп Стейнберга

3.3 Свойства относительных групп Стейнберга

4 Разложения типа Денниса—Васерштейна и их приложения

4.1 Основная редукция

4.2 Стабилизация относительных Кх, К2

4.3 Параболические факторизации групп Стейнберга

4.4 Предстабилизация К^В/,/?) и К].(С/, Я)

4.5 Улучшенная стабилизация К111 и К112

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параболические факторизации редуктивных групп»

Введение

Проблема стабилизации в алгебраической К-теории заключается в нахождении достаточных условий на кольцо Я, при выполнении которых отображения Кг(п, Я) —> К¿(п + 1 ,Я) между нестабильными К-функторами оказываются изоморфизмами. Данную задачу можно условно разделить на четыре частных подзадачи, каждая из которых рассматривалась в отдельном контексте:

• сюръективная стабилизация К1;

• инъективная стабилизация К1 и сюръективная стабилизация К2;

• инъективная стабилизация К2;

• стабилизация для функторов К^, г > 2.

Впервые проблема стабилизации для линейного К^-функтора была затронута X. Бассом в работе [39]. Басс доказал, что для конечной алгебры А над нетеровым коммутативным кольцом Я размерности Крулля (I и произвольного идеала I < А отображение К\((1 + 1, А, I) —» К\((1 4- 2, А,1), индуцированное естественным вложением линейных групп

оказывается сюръективным. Последнее утверждение можно сформулировать в виде равенства

вЦй + 2, А, I) = Е{й + 2, А, I) ■ вЦе* + 1, А, /).

Кроме того, Бассом была высказана гипотеза, что при тех же предположениях на основное кольцо имеет место инъективность отображения

К+ 2, А, I) ->- Ki(d + 3, А, /),

или, что то же самое,

GL(d + 2, А, I) П Е(d + 3, А, I) = Е(d + 2, А, I).

Данная гипотеза была доказана Бассом в совместной с Дж. Милнором и Ж.-П. Серром классической работе [2]. Позднее в [10] JL Васерштейн передоказал данную гипотезу, существенно упростив первоначальное доказательство Басса.

В монографии [1] Бассом была сформулирована общая проблема о нахождении достаточных условий для биективности отображений Ki-функ-торов, индуцированных вложениями полупростых алгебраических групп. При этом Басс предлагал формулировать такие условия в терминах размерности Крулля основного кольца и размерностей максимальных расще-пимых торов.

Пусть Ф - приведенная система корней ранга > 2, а R - произвольное коммутативное кольцо. Обозначим через С(Ф, —) односвязную аффинную групповую схему Шевалле-Демазюра типа Ф. Для систем корней Ф, не содержащих неприводимых компонент ранга 1, и произвольного коммутативного кольца R в группе С(Ф, R) можно выбрать нормальную подгруппу Е(Ф,/?), называемую элементарной подгруппой. Элементарная подгруппа Е(Ф,Д) порождается элементарными корневыми унипотентами ta(£) для а € Ф, £ G R.

Группа Стейнберга St^, R) определяется как группа, заданная формальными образующими жа(£) и соотношениями Стейнберга, т.е. тожде-

ствами, моделирующими простейшие соотношения между элементами Рассмотрим отображение <р : St(<i>, R) —> R), сопоставляющее каждой образующей ха(£) элемент £а(£). Нестабильные Ki и Кг-группы промоделированные по группам Шевалле определяются как коядро и ядро <р\

К1(Ф, R) = Сзс(Ф, R)/Е(Ф, Я), К2(Ф, R) = Ker(St($, R) С(Ф, R)).

В частном случае Ф = Ап имеем

G(An, R) = SL (n + 1, R), Е(А„, R) = Е(га + 1,R),

Ki (А n,R) = SKi(ra + 1, Д) = SL(n + 1,R)/E(n + l,R).

Пусть Ф = An, Bn, Cn, Dn - одна из классических серий систем корней. Для Z = G, St, Е, Ki определим стабильные группы Z(Фоо, R) как индуктивный предел соответствующих нестабильных групп относительно семейства гомоморфизмов, индуцированных вложениями систем корней Ф/ ^ Ф/+1:

г{Ф,R)= lim г(Фп,Я).

n—»+oo

Отметим, что К^А«,, R) совпадает со специальной группой Уайтхеда SKi(i?), а St (А оо,/2) - со стабильной группой Стейнберга St (R), рассматриваемой в алгебраической К-теории.

Стабилизация для Кг-функторов, индуцированых вложениями групп Шевалле над полями, изучалась Р. Стейнбергом в [94]. Стейнберг доказал сюръективность отображений

0:К2{Ф17К)-+К2(Фт,К)

для т > I, классических Ф и произвольного поля К. В работе [74] X. Ма-цумото проверил в данном контексте и инъективность 0. Результат Стейнберга о сюръективной стабилизации был обобщен в [92] М. Стейном на случай групп над полулокальными коммутативными кольцами, а К. Деннис и

М. Стейн в [48] перенесли на коммутативные локальные кольца и теорему Мацумото об инъективной стабилизации. В [47] К. Деннисом была доказана теорема о сюръективной стабилизации для линейного К2 при условии на стабильный ранг. Похожий результат был анонсирован без доказательства Васерштейном в [14].

Первые общие результаты об инъективной стабилизации для абсолютного линейного Кг-функтора были получены В. ван дер Кал леном в [58], и независимо от него А. Суслиным и М. Туленбаевым в [29]. В первой работе использовалось условие на размерность Крулля, а во второй - менее ограничительное условие стабильного ранга. В [29], кроме того, появилось и значительно упрощенное доказательство теоремы Денниса о сюръективной стабилизации для К2. Позднее в [68] М. Кольстер доказал усиленную версию теоремы Суслина и Туленбаева, исходя из похожих идей, но используя другую факторизацию для линейной группы Стейнберга. Метод Кольстера, в частности, позволил явно вычислить ядро предстабилизации для К2-функторов за шаг до наступления биективной стабилизации.

М. Стейном в работе [93] было найдено простое доказательство сюръективной стабилизации для К2 и инъективной стабилизации Кх для целого ряда вложений простых групп Шевалле. Им же были получены теоремы о сюръективной стабилизации К4 для классических групп, формулируемые в терминах обычного (для Ф = А;, С/) и абсолютного (для Ф = В/, Б;) стабильного ранга. Наконец, сюръективная стабилизация для Кх-функтора, промоделированного по исключительным группам Шевалле и скрученным группам, систематически изучалась Е. Плоткиным. Достаточные условия, формулируемые в терминах абсолютного стабильного ранга, были найдены в [22], [23]. Позднее в [79] было получено более точное условие на кольцо

R, при котором отображение Ki(Eg, R) —> Ki(E7, R) оказывается сюръек-тивным.

Таким образом, к середине 1990-х годов частный случай поставленной Бассом проблемы о стабилизации отображений Ki-функторов, индуцированных вложениями простых расщепимых групп оказался почти полностью изученным.

Проблема стабилизации Ki для унитарных и эрмитовых групп над кольцами с инволюцией, обобщающих классические группы Шевалле, изучалась в работах Э. Бака, JI. Васерштейна и Марии Салиани, начиная с конца 1960-х годов (см. [31], [11], [69, § VI.4]). В [18] Н. Э. Мустафа-Заде анонсировал без доказательства результат о сюръективной стабилизации унитарного Кг-функтора при условии на унитарный стабильный ранг. В 2000-х годах Э. Баком было найдено менее ограничительное по сравнению с унитарным стабильным рангом условие стабильности, пригодное для изучения унитарного Ki, - т.н. стабильный ранг форменных колец. В терминах именно этого условия были сформулированы основные результаты работ [21], [36] и [37].

Результаты о стабилизации высших К-функторов Володина, промоделированных по классическим группам, были получены А. Суслиным и И. Паниным. При этом теоремы о стабилизации Ki и Кг не передоказываются в данных работах, а используются в качестве базы индукции. Стабилизация высших К-функторов тесно связана с проблемой гомологической стабилизации для классических групп, изучавшейся К. Вогтманн, Р. Чарни, В. ван дер Калленом, X. Маазеном и Б. Мирзаи.

В недавних работах [33], [41], [42], [43], [82], [83] Р. Pao и его ученики улучшили теорему об инъективной стабилизации Ki для линейных и

симплектических групп, рассматриваемых над классом геометрически регулярных алгебр над совершенным Ci-полем. В частности, из результатов Pao следует, что отображения Кх(Ф/, R) —>■ К1(Ф/+1, R) для колец R из рассматриваемого класса биективны уже при I > dim(R) в случае Ф/ = и 21 > max(3, dim(i?) + 1) в случае Ф/ = С/. При этом Pao было показано, что для четных ортогональных групп улучшить классические результаты о стабилизации, вообще говоря, нельзя.

Основная цель настоящей работы состоит в получении новых, не рассматривавшихся ранее, разложений типа Денниса Васерштейна групп Стейн-берга, а также получении аналогов таких разложений в контексте относительных групп Шевалле и унитарных групп. Кроме того, мы изучаем приложения подобных разложений к проблеме стабилизации Ki и Кг^ функторов. Дадим краткий обзор треугольных и параболических факторизации, обобщением которых являются данные разложения.

Напомним, что через В(Ф, R) обозначается стандартная борелевская подгруппа группы С(Ф, /?,), содержащая максимальный расщепимый тор Т(Ф,/?), а через В~(Ф,/2) - борелевская подгруппа С(Ф,Д), противоположная кВ(Ф,Д). Унипотентные радикалы групп В(Ф, R) и В~(Ф, R) обозначаются через и(Ф, R) и Т_Г~(Ф, R).

В теории групп Шевалле над полями важнейшую роль играет разложение Брюа которое утверждает, что С(Ф, К) = и(Ф, К) ■ ]М(Ф, К) ■ и(Ф, К). В формуле выше через ]М(Ф, К) обозначен алгебраический нормализатор тора Т(Ф, К), совпадающий с абстрактным нормализатором в случае поля \К\ > 4. Само разложение Брюа на группы над кольцами не обобщается, но в простейших ситуациях известны аналогичные треугольные факторизации с большим количеством множителей.

Классически известно, что для полулокального кольца Я выполнено разложение Гаусса

С(Ф, Я) = Т(Ф, Д)-и(Ф, Я)-1Г(Ф, Д)-и(Ф, Я) = В(Ф, Я)-1Г(Ф, Д)-и(Ф, я).

По существу, разложение Гаусса вытекает уже из результатов БСАШ, а прямое элементарное доказательство приведено, например, в работах М. Стей-на и Э. Абе и К. Судзуки.

Другим примером треугольной факторизации является недавний результат Б. Сури, Н. Вавилова и А. Смоленского, который для кольца Я стабильного ранга 1 утверждает, что

Е(Ф, Я) = и(Ф, Я) • 1Г(Ф, Я) ■ и(Ф, Я) ■ 1П(Ф, Я).

Разложения Брюа и Гаусса допускают обобщение на случай стабильных классических групп: Р. Шарпом в работах 1972 и 1980 года для произвольного кольца Я было получено разложение

Э^Фоо, Я) = ЩФоо, Я) ■ Ш(Фоо, Я) ■ и(Фоо, Я) • ХГСФоо, Я).

Здесь через \У(Ф, Я) обозначена подгруппа Б^Ф, Я), порожденная элементами г£а(1) = ха(1)х-а(—1)ха(1) для аеФ.

С другой стороны, для колец размерности > 1 группы С(Ф, Я) конечного ранга, вообще говоря, не допускают никаких подобных разложений в терминах элементарных образующих. Это связано со следующими обстоятельствами.

• Во-первых, поскольку группа С(Ф, Я) не обязана порождаться элементарными образующими, вместо С(Ф, Я) здесь заведомо нужно рассматривать ее элементарную подгруппу Е(Ф, Я).

• Но даже в тех случаях, когда группа С(Ф, Я) порождается элементарными образующими, она может не иметь по отношению к ним конечную ширину. Как показал В. ван дер Каллен (см. [62]), простейшим примером такого кольца является кольцо Я = С [ж]. А именно, уже специальная линейная группа ЭЬ(3, С [ж]) не имеет конечной ширины по отношению к элементарным трансвекциям.

Это означает, что нетривиальные обобщения разложений Брюа и Гаусса выполняются лишь при каких-то дополнительных условиях на кольцо и должны формулироваться в каких-то других терминах. Среди таких обобщений наиболее известны параболические факторизации - т.е. разложения, формулирующиеся в терминах условий стабильности и параболических подгрупп. Разумеется, до [74], [93] термин "параболические подгруппы" в этом контексте не произносился и все вычисления описывались как явные разложения матриц.

Укажем теперь два наиболее известных варианта параболических фак-торизаций, которые для групп СЬ(п, Я), БЦп, Я) и Е(п, Я) формулируются в терминах стабильного ранга зг(Л) кольца Я. Грубо говоря, это совсем слабые формы разложений Брюа и Гаусса, которые допускают обобщение на произвольные конечномерные кольца.

В доказательстве сюръективной стабилизации для функтора Кх используется разложение Басса—Кольстера, которое утверждает, что при п > вг(Я) имеет место равенство

СЦп, Я) = СЦп - 1, Я) ■ и• • ип_! ■ •

Как и выше, группа вЦп—1, Я) рассматривается как подгруппа в СЦп, Я) посредством отображения стабилизации, а группы \1п-\ и — это уни-

потентные радикалы противоположных параболических подгрупп Рп~\ и Рп~1 — данные группы определяются в параграфе 1.2. Это разложение было, по существу, открыто X. Бассом в [39].

В доказательстве инъективной стабилизации для функтора Ка и сюръ-ективной стабилизации для функтора К 2 используется разложение Денниса Васерштейна, которое утверждает, что при п > зг(й) + 1 группа Стейнбер-га допускает разложение Б^Ап, В) = Р ■ Хр • <5, где Р = и = 81РП — параболические подгруппы группы Стейнберга, а Хр — корневая подгруппа, соответствующая корню ¡3 = —«1 — ... — ап.

В настоящей работе мы получаем обобщения разложений Денниса— Васерштейна для случая относительных групп Шевалле и гиперболических унитарных групп. В качестве следствия мы выводим теоремы о стабилизации для относительных К1 и Кг-функторов.

Перечислим наши основные результаты.

В первой главе работы кратко изложены основные определения и конструкции, относящиеся к группам Шевалле над коммутативными кольцами и гиперболическим унитарным группам над кольцами с инволюцией.

Во второй главе мы даём обзор изучавшихся ранее в литературе условий стабильности, конкретизируем их взаимосвязь, и определяем новый класс условий стабильности, обобщающих условия Бака на относительные группы Шевалле и произвольные терминальные параболические подгруппы. Мы называем такие условия условиями «типа Бака».

Основная цель третьей главы - определить относительные групп Стейнберга и функторы Кг(Ф, В., /), Кз(Ф, В) в контексте групп Шевалле конечного ранга и исследовать их простейшие свойства. Мы показываем, что основные результаты работ [51], [71], описывающие в алгебраических тер-

минах стабильные Кз и относительные Кг-функторы, можно перенести на системы корней Ф конечного ранга.

Перечислим основные результаты четвертой главы. Теорема 31 доставляет ряд относительных разложений типа Денниса-Васерштейна при естественных условиях стабильности, определенных в главе 2.

Теорема А. Относительная группа Стейнберга Б^Ф/, Я, I) совпадает со своим подмножеством

81Р1(Ф,, Я, I) • (иг(Ф;, /) П Ог(Ф/, /)) ■ 81Р,(Ф,, Я, I)

при условиях на кольцо Я и идеал I, перечисленных в следующей таблице.

ф/ 1 случай I = Я случай I ф Я

А; 1 > 2 8г(Д) <1-1 вг (Я, I) <1-1

В/ 1 > 2 вг(Д) < / - 1, либо В^Я, 0) 8г((Д,1,0);(/,0)) <1-2

Сг 1 > 2 вг(Д) <1-1 8г(Д, I) <1-1

VI 1 > 3 8г(Д) <1-2, либо В1-1(Я, 0) 8г((Я,1,0);(/,0)) <1-2

Из данной теоремы мы выводим теорему 32 о стабилизации для младших относительных К-функторов, обобщающую теорему 3.1 работы [93] на относительные группы.

Теорема В. Предположим, что выполнено одно из следующих условий

• Ф = А; и вГ(Я, I) <1-1,

• Ф = СI и вт{Я, I) <1-2,

• Ф = Вг, Б/ и 8г((Я, 1,0); (/, 0)) < I - 2.

Тогда выполнены следующее утверждения:

отображение бкьФг_1^Фг : Кх(Ф/_1, R, I) -Л Кх(Фi,R,I) инъективно, отображение 9к2,ф1_1^ф1 ■ К2(Ф/-1, R, I) —> К2(Ф/,Д,/) сюръективно.

Ещё один результат главы 4 - теорема 34, в которой получен ряд новых, не рассматривавшихся ранее, разложений типа Денниса Васерштейна групп Стейнберга.

Теорема С. 1. Пусть г, s - пара натуральных чисел, таких, что 1 < s < г < I, Ф/ - неприводимая классическая система корней, d = dist(ar, as) - расстояние на диаграмме Дынкина между вершинами, соответствующими простым корням ar, aS; а sr(R) < d. Тогда группа Стейнберга St^/,jR) совпадает со своим подмножеством

Ärs = StP^z, R) ■ (и-(Ф/, R) п и;(фЬ R]) ■ StPsib, R).

2. Для исключительных систем корней равенство St(Ф/, R) = Ars имеет место при условиях на кольцо R, перечисленных в следующей таблице.

№ Ф i {r,s} условие на R

1. Е1, 1 = 6,7,8 {2,/} sr(R) <1-3

2. Еь / = 6,7,8 {U} sv(R, 1,0) <1-2

3. f4 {1,4} sr(R) < 2

1 g2 {1,2} sr(Д) < 1

В разделе 4.5 мы доказываем инъективную стабилизацию для КИх и сюръективную стабилизацию для КИг, используя вычисление, аналогичное вычислению М. Стейна из работы [93]. При этом условие, накладываемое нами на основное кольцо R, оказывается более слабым по сравнению

со всеми известными до настоящего момента результатами. В частности, следующая теорема одновременно улучшает [37, ТЬ. 4.3], [69, ТЬ. У1.4.7.1], [57, ТЬ. 9.1.10], [11, Т. 2.7] и [18, Т. 2].

Теорема О. Для любого п> 3; форменного кольца (Я, Л, Л) стабильного ранга <п — 2 отображение

01,„_1 : Ких(п - 1, Я, Л) Ки^п, Я, Л)

инъективпо. Для любого форменного идеала (/, Г) выполняется равенство

Е11(2п, Я, /, Г) П и(2п - 2,1, Г) = ЕИ(2п - 2, Я, I, Г).

Кроме того, отображение #2,п-1 : К112(п — 1,Я,А) —» К\]2(п, Я, Л), индуцированное гомоморфизмом групп StU(2rг — 2, Л, Л) —)■ StU(2n,Я, Л), сюръективно.

С технической точки зрения, доказательство наших основных результатов опирается лишь на элементарные соотношения между корневыми уни-потентами и т.н. «стабильные» вычисления в представлениях групп Ше-валле, т.е. вычисления с вектором старшего весового подпространства. Результаты настоящей работы отражены в статьях [8], [9], [25], [87].

1 Основные определения и конструкции

Под коммутатором двух элементов х, у произвольной группы (7 всегда понимается их левонормированный коммутатор [х,у] = хух~^у~1. Мы используем запись ху (соотв. ух) для обозначения элемента у~1ху (соотв. уху'1).

Для всякого набора подмножеств Н\,..., Нп группы С через Н\ - ... ■ Нп мы обозначаем их множество-произведение но Минковскому, т.е. множество состоящее из всевозможных произведений ... Нп элементов Нг € Нг. Аналогичную запись мы используем для обозначения множества сопряженных элементов

Я?а := {¡г^ | /г: € Ни Н2 € Я2}.

Для натуральных чисел т,п и произвольного ассоциативного кольца с единицей Я обозначим через М(га, п, Я) аддитивную группу матриц размера т х п. В частности, М(п, Я) = М(п, п, Я) — кольцо квадратных матриц размера п. Обозначим через еп единичную матрицу размера п. Пусть обозначает коэффициент матрицы а, располагающийся на позиции (г, а а*1г - г-й столбец матрицы а. Введем, кроме того, обозначение е^- для стандартных матричных единиц М(т, п, Я), то есть матриц, у которых отличен от нуля и равен единице лишь один коэффициент на позиции (г,

Далее, СЬ(гг, Я) обозначает полную линейную группу, т.е. группу дву-сторонне обратимых матриц из МП(Л). Через г ф € К мы обо-

значаем матрицу трансвекции, т.е. £г-7(£) — еп + а через Е(п, Я) -элементарную подгруппу СЬ(п,порожденную всевозможными транс-векциями ^(0-

1.1 Группы Шевалле

В настоящем разделе мы намереваемся кратко изложить основные определения и обозначения, относящиеся к теории групп Шевалле над коммутативными кольцами и их линейным представлениям. В нашем изложении мы следуем работам [80], [103], [104], [105].

Пусть ФС1!- абстрактная приведенная система корней ранга I. Мы обозначаем через (а, ¡3) скалярное произведение в пространстве М', а через (/3,а) целое число 2((3,а)/(а,а). Обозначим через аа отражение относительно плоскости перпендикулярной а. С самого начала мы предполагаем, что в Ф зафиксирован порядок, определяющий множество простых корней П = {ах,... ,щ}. Для а £ Ф мы обозначаем через тг(а) коэффициент в разложении а через простые корни. Иными словами,

Для неприводимой системы Ф мы используем стандартную нумерацию для элементов П, следуя [3]. Как обычно, {шх,..., шп} - множество фундаментальных весов Ф, т.е. векторов, определяющихся условием = где ау = 2(аа)- Пусть -Р(Ф) = Ъ-иэ 1 © ... © Ъизп - решетка целых весов Ф,

п — подрешетка корней, а Ф) — конус доминантных весов:

Обозначим через Ф+ и Ф_ множество отрицательных и положительных корней относительно П. Обозначим через = ТУ(Ф) группу Вейля Ф, т.е группу порожденную фундаментальными отражениями сгаг.

Пусть 0с ~ комплексная полупростая алгебра Ли типа Ф, {) - некоторая

г=1

р++(ф) = {х 6 | (х,аг) 6М}С Р(Ф).

подалгебра Картана, а 0 = f) Ф ф 0а ~~ картановское разложение д. Здесь через да обозначены одномерные корневые подпространства д. Корни Ф можно отождествить с линейными функционалами а : f) —> С, такими, что для еа Е 0а выполнено [eQ,

h] = a(h)ea для любого heb- в алгебре 0 можно выбрать базис Шевалле, т.е. базис, состоящий из вектров еа, а Е Ф и ha, а € П такой, что [еа,е_а] — /га, a [ea,eß] = Naßea+ß, причем все константы -/Va/3 являются целыми числами (см. [б], [26], [ЮЗ]).

Пусть дано линейное представление 7Г : 0с —0i(^) алгебры 0 на конечномерном комплексном пространстве V. Для Л Е Н* обозначим через соответствующее ему весовое подпространство Vх = {v Е V \ тт(h)v = X(h)v, h Е ()}. Назовём элемент Л весом представления 7Г, если Vх ф 0. Размерность пространства

мы будем называть кратностью веса А и обозначать через т\. Мы используем запись Л(7г) для множества весов представления тг и Л(7г) для множества, получающегося формальной заменой каждого кратного веса Л на т\ различных формальных символов • • • > Через Л*(7г) и Л*(7г) мы обозначаем соответствующие подмножества ненулевых весов. Например, для присоединенного представления тг : 0 q[{V) имеем Л(тг) = Ф, Л(тг) = Ф U {0Ь ..., 0/}, V0 = f), = flA.

Вес Л называется старшим весом, а v+ Е V - вектором старшего веса, если 7г(еа)(г>+) = 0 для всех а Е Ф+. Представление 7Г неприводимо в том и только в том случае, если оно порождается как 0-модуль вектором старшего веса. В действительности, сопоставление представлению 7г его старшего веса задаёт биекцию между классами изоморфных конечномерных 0-модулей и множеством Р++(Ф).

Неприводимое представление тг алгебры 0 называется базисным, если группа Вейля И^(Ф) действует транзитивно на множестве ненулевых весов

Л*(7г). Это определение эквивалентно следующему: для любой пары весов Л, \х таких, что разность а = Л — д является простым корнем, выполнено ¡1 = <та(А). Ясно, что ненулевые веса базисных представлений имеют кратность 1, поэтому Л*(7г) = Л*(тг). Кроме того, кратность нулевого веса то равна числу элементов множества Д(7г) = П П Л*(7г), что позволяет использовать обозначение аг аг € Д(7г) для формальных символов из Л(7г), соответствующих нулевому весу. Число базисных представлений алгебры 0 типа Ф равно |-Р(Ф) : ф(Ф)| (см. [74]). Если у базисного представления отсутствуют нулевые веса, то такое представление называется микровесовым.

Теорема Шевалле-Ри утверждает, что в каждом конечномерном д-модуле У можно выбрать Х-подмодуль Ух, инвариантный относительно действия операторов 7г(е™/т\), а € Ф, га € Ъ+ и являющийся прямой суммой своих весовых компонент Ух П Vх. Подмодуль Ух называется допустимой Ил-формой модуля V, а базис решетки Ух, состоящий из векторов весовых подпространств г>д таких, что для любых // € Л (к), а € Ф, т € Ъ+ вектор 7г(е™/т!)г>м является целочисленной линейной комбинацией называется допустимым базисом.

Пусть Я - произвольное коммутативное кольцо с единицей. Положим Уя = Ух ®ъ В- Линейный оператор 7г(£еа) €Е СЬ(У) нильпотентен, и мы можем определить его экспоненту при помощи стандартной формулы

ехр(£еа) = е + £тг(еа) + £2тг(е«/2!) + ....

Образ базисного вектора относительно данного оператора является линейной комбинацией базисных векторов, причем коэффициенты данной комбинации являются линейными комбинациями степеней £ с целыми коэф-

фициентами. Таким образом, мы можем определить автоморфизмы

*а(0 = ехр(£тг(еа)) е СЦУд),

называемые корневыми унипотентами.

Подгруппа автоморфизмов Я-модул я Уд, порожденная всеми автоморфизмами называется элементарной группой Шевалле типа Ф над Я и обозначается через Ер(Ф, Я). Данное обозначение подчеркивает тот факт, что Ер(Ф,Я), как абстрактная группа, не зависит от выбора конкретного представления 7г, а зависит лишь от его решетки весов Р(тт).

Пусть - связная комплексная полупростая алгебраическая группа с алгеброй Ли д типа Ф и решеткой весов Р, <3(Ф) СРС -Р(Ф). Координатное кольцо С [О] обладает естественной структурой алгебры Хопфа. Пусть 7г: С —у СЬ(Ус) - представление с дифференциалом 7г: д —»■ 01(У). Выбор допустимого базиса в Ус позволяет отождествить Ус с Сп, п — сИт(У). и, следовательно, СЪ(п, С) с СЬ(Ус). Ограничения стандартных координатных функций на 7г((2с) порождают подкольцо аффинной алгебры С [С]. В действительности, на данном подкольце можно задать структуру алгебры Хопфа (см. [44], [46]), определяющую аффинную групповую схему над Z

Ср(Ф,-) :=Нот2(2[<3],-).

Как и группы Ер(Ф, Я), групповая схема Ср(Ф, —) зависит только от решетки весов Р(7г) представления 7г, но не самого 7г. Значение функтора вр(Ф, —) на кольце Я называют группой Шевалле типа (Ф, Р) над Я. Ясно, что Ер(Ф, Я) < Ср(Ф,Я). В ситуации, когда Р = Р(Ф), соответствующие групповые схемы называются односвязными и обозначаются через С(Ф,-), Е(Ф,Я).

Корневые унипотенты tQ(£) удовлетворяют соотношениям Стейнберга

ta(s)ta{t)=ta(s + t), (1.1)

[ta(s),tß(t)] = (j[tia+jß(NaAhJsH^ , аф-ß, (1.2)

где символами си, ß обозначены элементы Ф, s,t £ R, произведение в правой части последнего равенства берется по всем неотрицательным г, j таким, что га + jß 6 Ф, а Naß!hJ - некоторые целочисленные константы, называмые структурными константами группы Шевалле. Структурные константы Naßji3 могут быть выражены через константы Naß (см. [104,

§9]).

Пусть 7г - базисное представление группы Шевалле С(Ф, R) на свободном Д-модуле Vr = Vz <8> R, тогда для v £ Vr и г £ С(Ф, R) мы используем обозначение х ■ v для 7г(х) ■ v. Разложим Vr в прямую сумму весовых подмодулей

VR= ©

АбЛ*(тг)

Следующий результат Мацумото описывает действие корневых унипотен-тов

Лемма 1.1.1. В Vr можно выбрать базис, состоящий из векторов v\, А £ Л("7г) такой, что действие корневых унипотентов описывается следующими формулами:

%. если А £ Л*(7г), А + а 0 Л(7г), то ta(^)v\ = v\;

ii. если Л, Л + а £ Л*(-7г), то ta(£)v\ = v\ ± £v\+a;

iii. если а^Л*(-7г), то ta(£)vQ = г>0 для любого Vq £

у О

iv. если а £ Л*(7г), то £а(£)г>_а = V-a ± ± t;2va,

ta(t)vо = Vq ± £,a*(v0)va.

Здесь через а* обозначен некоторый унимодулярный элемент двойственного пространства Нотд(У°, Я), а через г>о(а:) - некоторый унимодулярный элемент VНапомним, что элемент V свободного модуля Уц называется унимодулярным, если подмодуль (у) является прямым слагаемым V, или, что то же самое, существует функционал ф £ Нотд(У, Я) такой, что ф(у) £ Я*.

Действие корневых унипотентов в базисных представлениях удобно визуализировать при помощи специальных графов, называемых весовыми диаграммами. Весовая диаграмма строится следующим образом: вершины диаграммы соответствуют различным весам А £ А(7г), причём старший вес представления оказывается самой левой вершиной. Если разность весов А — ¡1 является простым корнем аг, то вершины, соответствующие Л и /л, соединяются ребром с меткой г, причём вершина, соответствующая Л оказывается расположена левее вершины, соответствующей ц. Если Л(-7т) содержит нулевые веса, то каждый формальный вес аг соединяется ребром с вершинами, соответствующими простым корням аг и —аг (одновременно являющимися весами 7г).

В следующей таблице изображены весовые диаграммы естественных векторных представлений классических групп, а также стандартная нумерация весов данных представлений. Представления (А^етх), (Сг,шх), (Б/, шх) являются микровесовыми, а (В/, ш\) содержит нулевой вес щ крат-

ности 1 (на диаграмме он имеет номер 0).

/А \ 12 3 11+1 5 ) О-О-о- -о-о

12 3 1-1 I

/тэ N 1 2 10-1 -2-1

1-0/, О-о- .. -о-о-о- -о-о

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Синчук, Сергей Сергеевич, 2013 год

Список литературы

X. Басс, Алгебраическая К-теория. М., (1973), 586 с.

[2

[3]

[4] [5

[6

[7

[8

[9

[10

[П

X. Басс, Дж. Милнор, Ж.-П. Серр, Решение конгруэнц-проблемы для (п > 3) и 8р2п, (п > 2). Ж.-П. Серр. Собрание сочинений. Том 3, НМУ, МЦНМО (2007), 326-412.

Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Гл. IV-VI. Мир, М., (1972), 334 с.

Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Гл. VI-VII. Мир, М., (1978), 342 с.

Н. А. Вавилов, Параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативным кольцом. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 116, (1982), 20-43.

Н. А. Вавилов, Как увидеть знаки структурных констант? Аптека, и Анализ, т.19, №4 (2007), 34-68.

Н. А. Вавилов, Е. Б. Плоткин, Сетевые подгруппы групп Шевалле. II. Разложение Гаусса. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 114, (1982), 62-76.

Н. А. Вавилов, С. С. Синчук, Разложения типа Денниса— Васерштейна. Зап. научн. семин. ПОМИ, 375, (2010), 48-60.

Н. А. Вавилов, С. С. Синчук, Параболические факторизации расще-пимых классических групп. Алгебра и анализ, 23, 4 (2011), 1-30.

Л. Н. Васерштейн, О стабилизации общей линейной группы над кольцом. Мат. Сб., 79, 3 (1969), 405-424.

Л. Н. Васерштейн, Стабилизация унитарных и ортогональных групп над кольцами с инволюцией. Мат. Сб., 81, 3 (1970), 328-351.

[12] JI. Н. Васерштейн, Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств. Функц. Анализ, 5, 2 (1971), 102-110.

[13] Л. Н. Васерштейн, Стабилизация классических групп над кольцами. Мат. Сб., 93, 2 (1974), 268-295.

[14] Л. Н. Васерштейн, О стабилизации для К2 функтора Милнора. УМН, 30:1 (181), (1975), 224.

[15] А. В. Лавренов, Центральная замкнутость унитарной группы Стейнберга. Алгебра и анализ 24, 5 (2012), 124-140.

[16] А. Ю. Лузгарев, Надгруппы исключительных групп. Канд. Дисс., СПб Гос. Ун-т, (2008), 106 с.

[17] Дж. Милнор, Введение в алгебраическую K-теорию. Мир, М., (1974).

[18] М. Н. Мустафа-Заде, Об эпиморфной стабильности унитарного К2-функтора. УМН, 35:6(216) (1980), 165-166.

[19] И. А. Панин, О стабилизации для ортогональной и симплектической алгебраических K-теорий. Алгебра и анализ, 3, 1 (1989), 172—195.

[20] В. А. Петров, Нечетные унитарные группы. Зап. научн. семин. ПОМП, 305, (2003), 195-225.

[21] В. А. Петров, Надгруппы классических групп. Канд. Дисс., СПб Гос. Ун-т, (2005), 129 с.

[22] Е. Б. Плоткин, Сетевые подгруппы групп Шевалле и вопросы стабилизации Кi-функтора. Канд. Дисс. ЛГУ, (1985), 118 с.

[23] Е. Б. Плоткин, Сюръективная стабилизация Ki-функтора для некоторых исключительных групп Шевалле. Зап. научн. сем. ПОМИ, 198, (1991), 65-88.

[24] Ж.-П. Серр, Когомологии Галуа. М. Мир (1968), 208 с.

[25] С. Синчук, Улучшенная стабилизация для нечетной ортогональной группы. Зап. научн. семин. ПОМИ, 414, (2013), 181-192.

[26] Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле. М. Мир, (1975), 263 с.

[27] А. В. Степанов, Условия стабильности в теории линейных групп над кольцами. Канд. Дисс. ЛГУ, (1987), 112 с.

[28] А. В. Степанов, О нормальном строении полной линейной группы над кольцом. Зап. научн. сем. ПОМИ, 236 (1997), 166-182.

[29] А. А. Суслин, М. С. Туленбаев, Теорема о стабилизации для К2-функтора Милнора. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 64, (1976), 131-152.

[30] Е. Abe, К. Suzuki, On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. Tohoku Math. J., 28, 1 (1976), 185-198.

[31] A. Bak, The stable structure of quadratic modules. Thesis, Columbia Univ. (1969).

[32] A. Bak, К-theory of forms. Ann. Math. Stud., vol. 98, Princeton Univ. Press, (1981).

[33] A. Bak, R. Basu, R. Rao, Local-Global principle for Transvection Groups. Proc. Amer. Math. Soc., 138, 4 (2010), 1191-1204.

[34] A. Bak, R. Hazrat, N. Vavilov, Localization-completion strikes again: relative Ki is nilpotent by abelian. J. Pure Appl. Algebra, 213, 6 (2009), 1075-1085.

[35] A. Bak, A. V. Stepanov, Dimension theory and nonstable K-theory for net groups. Rendiconti del Seminario Matem. dell'Univ. di Padova, 106 (2001), 207-253.

[36] A. Bak, G. Tang, Stability for hermitian Ki. J. Pure Appl. Algebra, 150, (2000), 107-121.

[37] A. Bak, V. A. Petrov, G. Tang, Stability for quadratic Ki. K-theory, 30, 1 (2003), 1-11.

[38] A. Bak, N. A. Vavilov, Structure of hyperbolic unitary groups. I. Elementary subgroups. Algebra Colloq, 7, 2 (2000), 159-196.

[39] H. Bass, K-theory and stable algebra. Publ. Math. Inst. Hautes Et. Sci., 22, (1964), 5-60.

[40] H. Bass, Unitary algebraic K-theory. Algebraic K-Theory. Ill: Hermitian if-Theory and Geometric Applications (Proc. Conf. Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Lect. Notes Math., 343, (1973), 57-265.

[41] R. Basu, P. Chattopadhyay, R. Rao, Some remarks on symplectic injective stability. Proc. Amer. Math. Soc. 139, 7 (2011), 2317-2325.

[42] R. Basu, R. Rao, Injective Stability for Ki of classical modules. J. Algebra, 323, 4 (2010), 867-877.

[43] P. Chattopadhyay, R. Rao, Elementary sympectic orbits and improved Ki-stability. J. K-theory, 7, (2011), 389-403.

[45

[46

[47 [48

[49

[50

[51

[52

C. Chevalley, Certains schémas en groupes semi-simples. Séminaire N. Bourbaki (1960-1961), exp.219, 219 234.

C. W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, vol 2. J.Wiley & Sons, New York, (1987).

M. Demazure, Schémas en groupes reductifs. Bull. Soc. Math. France, vol.93, (1965), 369 413.

K. Dennis, Stability for K2. Lect. Notes. Math., 353, (1973), 85-94.

R. K. Dennis, M. R. Stein, Injective Stability for K2 of local rings Bull. Amer. Math. Soc., 80, (1974), 1010 1013.

K. Dennis, L. N. Vaserstein, On a question of M. Newman on the number of commutators. J. Algebra, 118, (1988), 150-161.

D. R. Estes, J. Ohm, Stable range in commutative rings. J. Algebra, 7, 3 (1967), 343-362.

S. M. Gersten, K3 of a ring is H3 of the Steinberg group. Proc. Amer. Math. Soc, 37, 2 (1973).

A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press (2002).

[53] R. Hazrat, Dimension theory and nonstable K\ of quadratic modules. K-Theory, 27, 4 (2002), 293-328.

[54] R. Hazrat, N. Vavilov, K1 of Chevalley groups are nilpotent. J. Pure Appl. Algebra, 179, 1-2 (2003), 99- 116.

[55] R. Hazrat, N. Vavilov, Bak's work on K-theory of rings (with an appendix by Max Karoubi). J. K-Theory, 4, 1 (2009), 1-65.

[56] R. Hazrat, N. Vavilov, Z. Zhang, Relative commutator calculus in Chevalley groups. J. Algebra, 385 (2013), 262-293.

[57] A. J. Hahn, 0. T. O'Meara, The classical groups and K-theory. Springer, Berlin et. al, (1989).

[58] W. van der Kallen, Infective stability for K2. Lect. Notes Math., 551, (1976), 77-154.

[59] W. van der Kallen, Another presentation for Steinberg groups. Indag. Math. 39, 4 (1977), 304-312.

[60] W. van der Kallen, Stability for K2 of Dedekind rings of arithmetic type. Algebraic K-theory, Evanston 1980, Lect. Notes Math. 854, Springer (1981), 217-248.

[61] W. van der Kallen, Homology stability for general linear groups. Invent. Math., 60, (1980), 269-295.

[62] W. van der Kallen, SL3(C[x]) does not have bounded word length. Lect. Notes Math., 966, (1982) 357-361.

[63] W. van der Kallen, A group structure on certain orbit sets of unimodular rows. J. Algebra, 82, 2 (1983), 363—397.

[64] W. van der Kallen, Vaserstein prestability theorem for commutative rings. Communications in Algebra 15, 3 (1987), 657-663.

[65] W. van der Kallen, M. R. Stein, On the Schur multipliers of Steinberg and Chevalley groups over commutative rings Math. Zeitschrift, 155, (1977), 83-94.

[66] F. Keune, The relativization ofK2. J. Algebra, 154, (1978), 159-177.

[67] M. Kolster, Improvement of K2-stability under transitive actions of elementary groups. J. Pure Appl. Algebra, 24, 3 (1982), 277-282.

[68] M. Kolster, On injective stability for K2. Lect. Notes Math., 966, (1982), 128-168.

[69] M. A. Kniis, Quadratic and hermitian forms over rings. Gründl. Math. Wiss. 294, Springer, Berlin, (1991).

[70] W. Lichtenstein, A system of quadrics describing the orbit of the highest weight vector. Proc. Amer. Math. Soc., 84, (1982), 605-608.

[71] J.-L. Loday, Cohomologie et groupes de Steinberg relatifs J. Algebra, 54, (1978), 178-202.

[72] J.-L. Loday, K-théorie algébrique et représentations de groupes Ann. Sei. de l'É.N.S. 4-e série, tome 9, n. 3 (1976), 309-377.

[73] B. A. Magurn, W. van der Kallen, L. N. Vaserstein, Absolute stable rank and Witt cancellation for noncommutative rings. Invent. Math., 91, (1988), 525-542.

[74] H. Matsumoto, Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semisimples déployés. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 4, 2 (1969), 1-62.

[75] B. Mirzaii, W. van der Kallen, Homology stability for unitary groups. Doc. Math. 7 (2002), 143-166.

[76] B. Mirzaii, Homology stability for unitary groups. II. K-Theory, 36, 3-4 (2005), 305-326.

[77] V. Petrov, Overgroups of unitary groups. K-Theory 29, (2003), 77-108.

[78] E. Plotkin, Stability theorems for K-functors for Chevalley groups. Proc. Conf. Non-Associative Algebras and Related Topics (Hiroshima — 1990), London et al.: World Sci. (1991), 203-217.

[79] E. Plotkin, On the stability of the Ki-functor for Chevalley groups of type E7. J. Algebra, 210, (1998), 67-85.

[80] E. Plotkin, A. Semenov, N. A. Vavilov, Visual basic representations: an atlas. Internat. J. Algebra Computat., 8, 1 (1998), 61-95.

[81] E. Plotkin, M. R. Stein, N. A. Vavilov, Stability of K-functors modeled on Chevalley groups, revisited, (to appear) (2001).

[82] R. Rao, R. Basil, S. Jose, Infective stability for Ki of orthogonal group. Journal of Algebra, 323, 2 (2010), 393-396.

[83] R. Rao, W. van der Kallen, Improved stability for SKj and WMS^ of a non-singular affine algebra. Astérisque, 226, (1994), 411-420.

[84] J. Rosenberg, Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147, Springer-Ver lag, 1994.

[85] R. W. Sharpe, On the structure of the unitary Steinberg group. Ann. Math, 96, 3 (1972), 444-479.

[86] R. W. Sharpe, On the structure of the Steinberg group St(A). J. Algebra, 68, (1981), 453-467.

[87] S. Sinchuk, Infective stability for unitary Ki; revisited. J. K-theory, 11, 2 (2013), 233-242.

[88] A. Smolensky, B. Sury, N. Vavilov, Gauss decompositions for Chevalley groups, revisited. Internat. Jour. Group Theory 1, 1 (2012), 3-16.

[89] A. Stavrova, Homotopy invariance of non-stable Ki-functors. J. K-theory, (2013), (to appear).

[90] M. Ft. Stein, Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings. Amer J. Math. 93, 4 (1971), 965-1004.

[91] M. R. Stein, Relativizing functors on rings and algebraic K-theory. J. Algebra, 19, (1971), 140-152.

[92] M. R. Stein, Surjective stability in dimension 0 for K2 and related functors. Trans. Amer. Math. Soc., 178, (1973), 176-191.

[93] M. R. Stein, Stability theorems for Ki, K2 and related functors modeled on Chevalley groups. Japan J. Math., 4, 1 (1978), 77-108.

[94] R. Steinberg, Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques. Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962), Librarie Universitaire, Louvain; Gauthier-Villars, Paris 1962, 11-127.

[95] A. V. Stepanov, Elementary calculus in Chevalley groups over rings, (to appear) (2013)

[96] A. A. Suslin, Stability in algebraic K-theory. Lect. Notes Math., 966, (1982), 304-333.

[97] R. G. Swan, Excision in Algebraic K-theory. J. Pure Appl. Algebra, 1, 3 (1971), 221-252.

[98] R. G. Swan, Nonabelian homological algebra and K-theory. Proc. Symp. Pure Math., 17, (1970), 88-123.

[99] G. Taddei, Normalité des groupes élémentaires dans les groupes de Chevalley sur un anneau. Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983)., Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986., Vol. 55 of Contemp. Math., 693-710.

[100] J. Tits, Systèmes générateurs de groupes de congruence С. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B. 283, 9 (1976) Ai, A693-A695.

[101] L. N. Vaserstein, On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. Tôhoku Math. J., 38, (1986), 219-230.

[102] L. N. Vaserstein, H. You, Normal subgroups of classical groups over rings J. Pure Appl. Algebra 105, 1 (1995), 93-105.

[103] N. A. Vavilov, Structure of Chevalley groups over commutative rings. Nonassociative algebras and related topics (Hiroshima, 1990)., World Sci., PubL, River Edge, NJ, 1991., 219-335.

[104] N. A. Vavilov, E. Plotkin, Chevalley groups over commutative rings: I. Elementary Calculations. Acta Applicandae Math. 45, (1996), 73-113.

[105] N. A. Vavilov, A third look at weight diagrams Rendiconti del Seminario Matem. dell'Univ. di Padova, 204, (2000), 1-45.

[106] N. A. Vavilov, A. Yu. Luzgarev, A. V. Stepanov, Calculations in exceptional groups over rings. Зап. науч. семин. ПОМИ, 373, (2009), 4872.