Строение изотропных редуктивных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ставрова, Анастасия Константиновна

• Ставрова, Анастасия Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ставрова, Анастасия Константиновна

Содержание.

Введение.

Глава 1. Элементарная подгруппа изотропной группы

1.1. Основные понятия.

1.1.1 Проективные модули и полиномиальные отображения

1.1.2 Алгебра распределений групповой схемы.

1.1.3 Расгцепимые редуктивные группы и оснащения.

1.1.4 Редуктивные группы в общем случае

1.2. Градуирующие торы, относительные корни и корневые подсхемы

1.2.1 Градуирующие торы и параболические подгруппы

1.2.2 Система относительных корней, соответствующая параболической подгруппе.

1.2.3 Относительные корневые подсхемы

1.3. Нормальность элементарной подгруппы

1.3.1 Элементарная подгруппа редуктивной группы.

1.3.2 Леммы о коммутировании относительных корневых подсхем

1.3.3 Лемма Квиллена—Суслина и доказательство Теоремы

Глава 2. Йордановы системы и изотропные группы

2.1. Йордановы системы.

2.1.1 Определение

2.1.2 Алгебраические йордановы системы.

2.1.3 Пример неалгебраической йордановой системы

2.1.4 Связь с понятием йордановой пары

2.1.5 Связь с понятиями симплектической тернарной алгебры и тройной системы Фрейденталя.

2.2. Построение йордановой системы по изотропной группе.

2.2.1 Градуированные алгебры Хопфа.

2.2.2 Йордаиова система, ассоциированная с редуктивной группой

2.2.3 Действие подгруппы Леви на йордановой системе

2.3. Матричное представление алгебраической йордановой системы

2.3.1 Дифференцирования и автоморфизмы расширенной алгебры Ли

2.3.2 Экспоненты матриц.

2.3.3 Матричное представление йордановой системы.

2.3.4 Построение изотропной группы в случае поля и следствие для случая кольца.

2.4. Квази-обратимость для алгебраической йордановой системы

2.4.1 Квази-обратимые пары матриц.

2.4.2 Квази-обратимость в йордановой системе.

2.4.3 Числитель и знаменатель квази-обратного

2.5. Построение изотропной группы по йордановой системе.

2.5.1 Построение группового пучка Q(V).

2.5.2 Схема X(V).

2.5.3 Проективность схемы X(V).

2.5.4 Применение теоремы Демазюра о схемах Бореля

2.5.5 Исключительные случаи.

2.5.6 Заключительная лемма.

2.6. Теорема 2 об эквивалентности категорий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Строение изотропных редуктивных групп»

Теория алгебраических групп является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX в. на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет обширные приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — редуктивные группы.

Классификация полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем была получена К. Шевалле [32]. В 1961 г. Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над Z [33], или, иначе говоря, для любой полупростой алгебраической группы G<c над полем комплексных чисел С существует групповая схема G над Z, называемая схемой Шевалле — Де-мазюра, такая что G получается из нее в результате расширения базы, то есть Gc — G х Spec z Spec С. Другие конструкции этой схемы были предложены М. Демазюром [36] и Б. Костантом [50]. Группы точек схем Шевалле — Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле. Примерами групп Шевалле служат (расщепимые) классические группы матриц SLn(jR), SOn(R), Spn(i?); конечные простые группы типа Ли An(q)~ G2{q) являются центральными факторами групп Шевалле.

Не все классические матричные группы являются группами Шевалле. Например, группа SO(q) автоморфизмов Rn, сохраняющих негиперболическую квадратичную форму q на Rn, не является группой Шевалле; однако она, как правило, является группой точек некоторой редуктивной групповой схемы. Групповая схема G над коммутативным кольцом Я с 1 называется редуктивной (соответственно, полупростой), если она является аффинной и гладкой, и если все ее геометрические слои являются редуктивными (соответственно, полупростыми) группами в обычном смысле. Групповые схемы Шевалле — Демазюра, расширенные до групповых схем над Я, являются единственными расщепимыми полупростыми групповыми схемами над Я [36].

Изучению строения групп Шевалле как абстрактных групп посвящены сотни работ, перечислить здесь которые невозможно. Ключевую роль во всех этих работах играет элементарная подгруппа Е(Щ группы Шевалле (?(/2), которая обычно определяется как подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотентамиа:а(£), где (бйи а пробегает систему корней группы Шевалле. Это понятие является прямым обобщением элементарной группы матриц Еп{Я) С Б1ип(Я), порожденной всеми элементарными трансвекциями = е + £ £ Я, 1 < г Ф ^ < п. Важнейшим свойством элементарной подгруппы Е(Я) является ее нормальность в объемлющей группе С (Я).

В случае произвольной редуктивной групповой схемы С над коммутативным кольцом Я группа точек С (Я) может не содержать полного набора элементарных корневых унипотентов, и данное выше определение не может быть перенесено дословно. Напомним различные существующие варианты определения элементарной подгруппы и известные результаты о ее нормальности.

Впервые понятие элементарной подгруппы ЕП(Д) полной линейной групы СЬп(Я) было введено Бассом [25] (до этого в неявном виде оно использовалось Уайтхедом при изучении гомотопических типов С\¥-комплексов) и легло в основу построения алгебраической К-теории. В частности, нестабильный А^-функтор определяется как фактор-группа ОЬп(Я)/ Еп(Я), а К2 — как ядро некоторого центрального расширения Еп(Я). В определении элементарной подгруппы участвует фиксированный базис модуля Яп, но, согласно теореме Суслина [14], в случае, когда Я коммутативно, а п > 3, Еп(Я) не зависит от выбора базиса, иначе говоря, нормальна в СЬп(Я). Обсуждение различных методов доказательства этого результата можно найти в работах Вавилова и Степанова [63, 73].

Как уже было упомянуто, для произвольных расщепимых полупростых групп над Я элементарная подгруппа определяется как подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотентами ха(£) или, что то же самое, /^-точками унипотентного радикала некоторой борелевской подгруппы В в С и унипотентного радикала противоположной борелевской подгруппы В" (см., например, [16, 56]). Аналогично описанному выше случаю С = СЬП оказывается, что если ранг неприводимых компонент системы корней С хотя бы 2, элементарная подгруппа не зависит от выбора борелевской подгруппы, то есть нормальна в С (Я). Для ортогональной и симплек-тической группы это было доказано Суслипым и Копейко [15, 9] и Фу-ан Ли [51], а для произвольной группы Шевалле — Абе [16] в случае локального кольца и Таддеи [66] в общем случае (см. также [17]). Упрощенное доказательство содержится в работе Хазрата и Вавилова [46]. Нормальность элементарной подгруппы в скрученных группах Шевалле была доказана Судзуки [65] и Баком и Вавиловым [23].

Для классических групп имеются также варианты определения элементарной подгруппы с использованием инволюции и "форменного параметра" (унитарные группы Бака), в этом случае нормальность доказана Васерштейном и Хон Ю [72] и Баком и Вавиловым [24]. Случай "нечетных" унитарных групп изучался Петровым в [10]. Разумеется, не все классические группы Бака являются группами точек редуктивных групповых схем, однако с точки зрения методов эти работы являются прямым обобщением упомянутых выше.

Для нерасщепимых почти простых групп над полем к часто рассматривается следующий аналог элементарной подгруппы, который был введен

Ж. Титсом [67]. Именно, он определил группу G+(k) (в оригинале G®) как подгруппу, порожденную А:-точками унипотентных радикалов всех параболических подгрупп в G, определенных над к. При таком определении ее нормальность очевидна, однако позднее Борелем и Титсом было показано, что группа G+(k) на самом деле порождается точками унипотентных радикалов любых двух противоположных параболических подгрупп G [30, Prop. 6.2]. Оказывается, группа G+(k) почти всегда (см. [67]) проективно проста, и описание нормальных подгрупп в G(k) сводится к вычислению фактора G(k)/G+(k) (который является аналогом iG-функтора). Известная проблема Кнезера-Титса заключается в том, чтобы выяснить, является ли этот фактор тривиальным для односвязной группы G. В случае числовых полей эта проблема решена положительно (последний шаг был недавно проделан Ф. Жилем в [42]), но в общем случае ответ отрицательный даже для групп типа А[ (контрпример Платонова), см. [12].

Сходным образом, в случае нерасщепимых классических групп над кольцами Васерштейн ([70, 71]) определил элементарную подгруппу как подгруппу, порожденную всеми трансвекциями Эйхлера-Зигеля-Диксона. Нормальность при этом также очевидна, однако Васерштейн доказывает, что элементарная подгруппа порождается трансвекциями специального вида. По существу, он фиксирует параболическую подгруппу типа Pi и рассматривает точки ее унипотентного радикала и унипотентного радикала противоположной подгруппы.

Наконец, упомянем понятие элементарной подгруппы, возникающее в теории алгебраических структур йорданова типа. В работах Дж. Фолкнера и О. Лооса [37, 55] и Дж.Фолкнера и Б. Эллисона [22] было введено понятие элементарной группы, соответственно, для случая йордановых и кан-торовых пар. Именно, элементарной группой, соответствующей йордановой или канторовой паре, в этих работах называется группа, порожденная экспонентами элементов пары в регулярном представлении. Заметим, что из результатов настоящей работы следует, что эти группы в действительности являются элементарными подгруппами некоторых присоединенных полупростых алгебраических групп.

Это естественным образом приводит нас к следующему определению элементарной подгруппы, которое обобщает все вышеупомянутые определения на случай произвольной изотропной редуктивной группы. Напомним, что редуктивная алгебраическая группа С над коммутативным кольцом Я с 1 называется изотропной, если она содержит собственную параболическую подгруппу Р. В этом случае С также содержит вторую параболическую подгруппу Р~, противоположную к Р = Р+, и унипотентные подгруппы 11р+ и IIр-, являющиеся унипотентными радикалами Р+ и Р~.

Пусть Р — параболическая подгруппа изотропной редуктивной группы С над Я. Определим элементарную подгруппу Ер(Я), соответствующую Р, как подгруппу в порожденную (в абстрактном смысле) 11р(Я) и

1/р-(Я), где Р~ — любая параболическая подгруппа, противоположная к Р. Заметим, что любые две параболические подгруппы, противоположные кР, сопряжены посредством некоторого элемента и £ [/р(Р), поэтому группа Ер(Я) действительно не зависит от выбора Р~.

Теорема 1 настоящей работы, сформулированная в § 1.3.1, утверждает, что при некоторых естественных ограничениях на изотропный ранг группы С? элементарная группа Ер (Я) = Е (Я) не зависит от выбора параболической подгруппы Р и, в частности, является нормальной подгруппой в О (Я).

Теория алгебраических групп с самого своего возникновения была тесно связана с теорией алгебр Ли. В частности, упомянутая выше конструкция Шевалле [33] полупростых групповых схем над Ъ основывается на существовании й-форм полупростых комплексных алгебр Ли и их фундаментальных представлений. Хорошо известно, что над полем характеристики 0 категория полупростых алгебраических групп эквивалентна категории полупростых алгебр Ли.

Пусть G — произвольная редуктивная групповая схема. Можно показать, что изотропность G эквивалентна существованию нетривиального действия на G одномерного расщепимого тора Gm. Такое действие задает Z-градуировку на алгебре Ли Lie(G) групповой схемы G. Поэтому теория изотропных редуктивных групп параллельна теории Z-градуированных (или, более общо, Жп-градуированных) алгебр Ли. В свою очередь, Z-rpa-дуированные алгебры Ли тесно связаны с йордановыми алгебрами и некоторыми близкими к ним по свойствам алгебраическими структурами, которые можно назвать структурами йорданова типа.

Понятие йордановой алгебры впервые возникло в 1934 г. в статье П. Йордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [48] в контексте математической формализации понятий квантовой механики. В 1960-х гг. в ряде работ была объяснена тесная связь между йордановыми алгебрами и алгебрами Ли. Одним из главных проявлений этой связи является так называемый магический квадрат Фрейденталя — Титса, который дает единообразную конструкцию исключительных простых алгебр Ли по композиционной алгебре и связанной с ней йордановой алгебре степени 3 [69]. Развивая идеи Титса, в конце 1960-х гг. И. Кантор и М. Кехер [6, 49] независимо друг от друга показали, что произвольную йорданову алгебру J можно вложить в Z-градуированную алгебру Ли L, такую что Li — 0 при |г| > 1 (так называемую 3-градуированную алгебру), таким образом, что L±\ — две копии исходной алгебры J, a Lq — внутренняя структурная алгебра Ли алгебры J.

В это же время начали возникать новые понятия, обобщающие понятие йордановой алгебры или близкие к нему по свойствам. Первым понятием, непосредственно обобщающим понятие йордановой алгебры, стало понятие йордановой тройной системы или йордановой.тройки (Jordan triple system), введенное учеником Кехера К. Майбергом в 1969 г. (см. [58]). Именно, пусть R — коммутативное кольцо с 1, такое что 6 G йх. Йордановой тройной системой над R называется Я-модуль V с трилинейной операцией

• V х V х V V, удовлетворяющей следующим аксиомам: x,y,z} = {z,y,x} (JTS1) х, у, {и, v, и;}} = {{ж, у, и}, v, w} + {и, и, {re, у, w}} - {и, {у, ж, v}, ги}

JTS2)

Для любой йордановой алгебры (J, •) над R операция {ж, у, z} = — y(xz) + {xy)z задает на J структуру йордановой тройной системы. С другой стороны, по йордановой тройной системе легко построить 3-градуированную алгебру Ли L = Li 0 Lo ® Li, так что Li и Ь\ — две копии V, a Lq порождено линейными операторами Du>v — {и, v, —}, u,v G V. При этом аксиома (JTS1) отражает симметричность тройного коммутатора [х, [у, z\] в алгебре Ли, а аксиома (JTS2) отвечает за коммутирование операторов

Кроме того, еще в 1968 г. Майберг опубликовал работу [57], посвященную изучению свойств троек или тройных систем Фрейденталя (Freudenthal triple system). Тройки Фрейденталя не являются обобщением йордановых алгебр, но обладают сходными свойствами. В действительности обе эти работы были мотивированы желанием Майберга расширить класс алгебраических структур, к которым применима конструкция Титса — Кантора — Ке-хера. По тройной системе Фрейденталя можно построить 5-градуированную алгебру Ли

L = L2 Ф L-1 Ф L0 © Li е L2, такую что L2 и L2 — модули ранга 1. Другие структуры, аналогичные йордановым алгебрам, но соответствующие 5-градуированным алгебрам Ли, изучались в работах Б. Эллисона [18, 19, 20, 21], И. Кантора [7], О. Смирнова [13]. Заметим, что особую важность изучению 5-градуированных алгебр Ли придает тот факт, что исключительная простая комплексная алгебра Ли типа Es имеет естественную 5-градуировку, но не имеет, в отличие от простых алгебр Ли других типов, естественной 3-градуировки.

Замечание Майберга о том, что в этом контексте можно было бы рассматривать вместо одного пространства с трилинейной операцией два пространства, действующие друг на друге, привело к созданию О. Лоосом глубокой теории йордановых пар [52]. Для нас особое значение имеет тот факт, что Лоос практически с самого начала связал йордановы пары не только с соответствующими 3-градуированными алгебрами Ли, но и со специальным классом алгебраических групп или, более общо, групповых пучков. При условии 6 € Я* определение йордановой пары формулируется следующим образом. Йордановой парой над-К называется пара Я-модулей У+), снабженная двумя трилинейными операциями которые симметричны и удовлетворяют аксиоме, аналогичной 1. х,у,г} = {г,у,х} (ЛР1) х,у,{и,у,и)}} = {{х:у,и},у,т}-\-{и,у,{х,у,т}}-{и,{у,х)у}^} (ЛР2)

По любой йордановой алгебре можно построить йорданову пару аналогично тому, как это было сделано для йордановой тройной системы. Однако не любая йорданова пара может быть построена по йордановой алгебре; для этого она должна содержать обратимую пару элементов [52]. Если Ь = 1/1®1уо©1/1 — 3-градуированная алгебра Ли, то сЬ естественным образом связана йорданова пара (Ь-\, Ь1), трилинейные операции в которой соответствуют тройному коммутированию в алгебре Ли: {х,у,г} = [ж, [2/, 2]]. Обратно, по любой йордановой паре можно построить 3-градуированную алгебру Ли.

Эти конструкции получили широкое обобщение в работах Е. Зельма-нова. В [5] (см. также [74]) Зельманов ввел понятие йордановой системы. Именно, пусть Я — коммутативное кольцо с 1, А — свободная абелева группа, М — конечное подмножество А, не содержащее 0, Мо = Ми{0}. Система ii-модулей (Va: 01 G M) с билинейными отображениями

Яа,/з :VaxVp-+ Va+p если a, (3 6 M, da,-a : Va x —> ф End (Уд), если a, —a G M,

AsM называется йордановой системой, если прямая сумма

L = L(Va, a G М) = 0 Уа, аеМ0 где Vo = Va х VLq,) С 0End(T4.), является А-градуированной a a алгеброй Ли относительно операции

О, если а + (3 М0; vp)> если + /3 е М; г , 1 J da,-a(ua,up), если a, ¡3 е М, а — -/3; [Ua' ~ | если a = 0, ¡3 G М; vp(ua), если о; G М, /? = 0; Uq/U/з — vpua: если a = ¡3 = 0.

Иначе говоря, модули (Va,a Е М) образуют йорданову систему, если они являются подмодулями с ненулевым весом некоторой Мо-градуированной алгебры Ли. В случае, когда М = {—1,1} С Z, и 6 6 Rx, понятие йордановой системы в точности эквивалентно понятию йордановой пары.

Дальнейшему изучению йордановых систем посвящены работы Дж. Бенкарт и Е. Зельманова [27], С. Бермана и Р. Муди [28], Дж. Бенкарт и О. Смирнова [26].

Напомним, что в своих работах [53, 54] О. Лоос также установил связь йордановых пар с алгебраическими группами. Именно, он показал, что существует естественное соответствие (фактически, эквивалентность категорий) между простыми йордановыми парами и присоединенными полупростыми группами с фиксированной парой противоположных параболических подгрупп, обладающих абелевыми унипотентными радикалами. При этом конструкция йордановой пары по полупростой группе достаточно прозрачна — как мы видели, изотропность группы влечет наличие Z-градуировки на ее алгебре Ли; условие абелевости унипотентного радикала означает, что это — 3-градуировка. Обратная конструкция гораздо сложнее и выполнена в духе конструкции Демазюра схемы Шевалле — Демазюра [36]. Отметим, что в недавних работах Дж. Фолкнера [38, 39] результаты Лооса были воспроизведены с использованием языка алгебр Хопфа, в стиле, близком к упомянутой выше работе Костанта [50].

Это приводит нас к естественной задаче обобщения соответствия, полученного Лоосом, на более широкие классы йордановых систем и изотропных групп. В настоящей работе такое обобщение получено в форме эквивалентности категории изотропных присоединенных полупростых групп с параболической подгруппой, степень нильпотентности унипотентного радикала которой не превосходит п, и категории алгебраических йордановых систем типа М = {—п,., — 1,1,. ,п} ("степени п"), при условии, что (2п)! Е IIх. Точная формулировка этого результата приведена в Теореме 2 настоящей работы (см. § 2.6) .

Опишем более подробно структуру работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ставрова, Анастасия Константиновна, 2009 год

1. Борель А., Тите Ж. Редуктивные группы // Сб. Математика. Т. 11. 1967. 1, 43-111; 2, 3-31.

2. Вавилов Н. А. Как увидеть знаки структурных констант? // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19. N 4. С. 34-68.

3. Вавилов Н. А., Ставрова А. К. Основные редукции в задаче описания нормальных подгрупп // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2007. Т. 349. С. 30-52.

4. Джекобсон Н. Алгебры Ли. Москва: Мир. 1964. 355 с.

5. Зельманов Е. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом // Сибирский математический журнал. 1985. Т. 26. С. 49-67.

6. Кантор И. Л. Нелинейные группы преобразований, определяемые общими нормами йордановых алгебр // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172. N3 4. С. 779-782.

7. Кантор И. Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ. 1974. Т. 17. С. 250-313.

8. Казакевич В. Г., Ставрова А. К. Подгруппы, нормализуемые коммутантом подгруппы Леви // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 319. С. 199-215.

9. Копейко В. И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов // Мат. Сборник. 1978. Т. 106. С. 94-107.

10. Петров В. А. Нечетные унитарные группы // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 2003. Т.305. С. 195-225.

11. Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы в изотропных редуктивных группах // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20. № 4. С. 160-188.

12. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 654 с.

13. Смирнов О. Н. Пример простой структуризуемой алгебры // Алгебра и Логика. 1990. Т. 29. № 4. С. 491-499.

14. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977. Т. 41. С. 235-252.

15. Суслин А. А., Копейко В. И. Квадратичные модули и ортогональные группы над кольцами многочленов // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. 1977. Т. 71. С. 216-250.

16. Abe Е. Chevalley groups over local rings // Tohoku Math. J. 1969. V.21. P. 474-494.

17. Abe E. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Algebraic if-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987), Contemp. Math. V. 83. Amer. Math. Soc., Providence RI, 1989. P. 1-17.

18. Allison B. N. A Construction of Lie algebras From J-ternary algebras // American Journal of Mathematics. 1976. Vol. 98. № 2. P. 285-294.

19. Allison B. N. Lie algebras of type BC1 // Transactions of the American Mathematical Society. 1976. V. 224. № 1. P. 75-86.

20. Allison B. N. Class of Nonassociative Algebras with Involution Containing the Class of Jordan Algebras // Math. Ann. 1978. V. 237. P. 133-156. •

21. Allison B. N. Models of isotropic simple Lie algebras // Comm. in Algebra. 1979. V. 7(17). P. 1835-1875.

22. Allison B. N., Faulkner J. R. Elementary groups and invertibility for Kantor pairs // Comm. in Algebra. 1999. vol. 27. pp. 519-556.

23. Bak A., Vavilov N. Normality for elementary subgroup functors // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1995. V. 118. P. 35-47.

24. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups. I. Elementary subgroups // Algebra Colloquium. 2000. № 7. P. 59-196.

25. Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. I.H.E.S. 1964. V. 22. P. 5-60.

26. Benkart G., Smirnov O. Lie algebras graded by the root system BC\ //J. of Lie Theory. 2003. V. 13. P. 91-132.

27. Benkart G., Zelmanov E. Lie algebras graded by finite root systems and intersection matrix algebras // Invent. Math. 1996. V. 126. P. 1-45.

28. Berman S., Moody R.V. Lie algebras graded by finite root systems and the intersection matrix algebras of Slodowy // Invent. Math. 1992. V. 108. P.323-347.

29. Borel A., Tits J. Groupes réductifs // Publ. Math. I.H.É.S. 1965. V. 27. P. 55-151.

30. Borel A., Tits J. Homomorphismes "abstraits" de groupes algebriques simples // Ann. Math. 1973. V. 97. P. 499-571.

31. Bourbaki N. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4-6. Paris: Masson, 1981. 288 p.

32. Chevalley C. Classification des groupes algébriques: Séminaire École Normale Supérieure 1956-1958, Secrétariat de Mathématiques / Institut Henri Poincaré. Paris. 1958.

33. Chevalley C. Certaines schémas de groupes semi-simples // Sém. Bourbaki 1960/61. Exp. 219. P. 1-16.

34. Demazure M. Automorphismes et déformations des variétés de Borel // Inv. Math. 1977. V. 39. P. 179-186.

35. Demazure M., Gabriel P. Groupes Algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1970. 700 p.

36. Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3) I, II, III. / Lecture Notes Math. Berlin: Springer-Verlag, 1970. V. 151-153.

37. Faulkner J. R. Stable range and linear groups for alternative rings // Geom. Dedicata. 1983. V. 14. P. 177-188.

38. Faulkner J. R. Jordan pairs and Hopf algebras // J. of Algebra. 2000. V. 232. P. 152-196.

39. Faulkner J. R. Hopf duals, algebraic groups, and Jordan pairs // J. of Algebra. 2004. V. 279. P. 91-120.

40. Faulkner J. R., Ferrar J. C. On the structure of symplectic ternary algebras // Indag. Math. 1972. V. 34. P. 247-256.

41. Ferrar J. C. Strictly regular elements in Freudenthal triple systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 174. P.313-331.

42. Gille Ph. Le problème de Kneser-Tits // Sém. Bourbaki. 2007. V. 983. P. 983-01-983-39.

43. Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage de schémas. / Publ. Math. I.H.É.S. 1960. T. 4.

44. Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Etude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. / Publ. Math. I.H.É.S. 1961. T. 8.

45. Grothendieck A. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) IV: Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. / Publ. Math. I.H.É.S. 1964-1967. T. 20, 24, 28, 32.

46. Hazrat R., Vavilov N. K\ of Chevalley groups are nilpotent // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 179. P. 99-116.

47. Jantzen J. C. Representations of algebraic groups. Boston: Academic Press, 1987. 576 p.

48. Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. // Ann. Math. 1934. V. 36. P. 29-64.

49. Koecher M. Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras I // Amer. J. Math. 1967, V.89. P. 787-816.

50. Kostant B. Groups over Z // Algebraic groups and discontinuous subgroups: Proc. Sympos. Pure Math. V. 9. AMS, Providence RI, 1966.

51. Fu-An Li. The structure of orthogonal groups over arbitrary commutative rings // Chinese Ann. Math. Ser. B. 1989. V. 10. P. 341-350.

52. Loos O. Jordan pairs. Berlin: Springer-Verlag, 1975. 218 p.

53. Loos О. Homogeneous algebraic varieties defined by Jordan pairs // Mh. Math. 1978. V. 86. P. 107-129.

54. Loos 0. On algebraic groups defined by Jordan pairs // Nagoya Math. J. 1979. V. 74. P. 23-66.

55. Loos O. Elementary groups and stability for Jordan pairs // K-Theory. 1995. V. 9. P. 77-116.

56. Matsumoto H. Subgroups of finite index in certain arithmetic groups // Algebraic groups and discontinuous subgroups: Proc. Sympos. Pure Math. V. 9, Amer. Math. Soc., Providence RI, 1966, P.99-103.

57. Meyberg K. Eine Theorie der Freudenthalischen Tripelsysteme, I // Indag. Math. 1968. V. 30. P. 162-174.

58. Meyberg K. Jordan-Tripelsysteme und die Koecher-Konstruktion von Lie-Algebren // Math. Z. 1970. V. 115. P. 58-78.

59. Petrov V., Stavrova A. Tits indices over semilocal rings // Препринт ПОМИ. 2009. № 2. С. 1-22.

60. Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. 1976. V. 36. P. 167-171.

61. Springer T. Linear algebraic groups. 2nd ed. Boston: Birkhàuser, 1998.

62. Stavrova A. Normal structure of maximal parabolic subgroups in Chevalley groups over rings // Препринт ПОМИ. 2007. № 10. С. 1-19.

63. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-theory. 2000. V. 19. P. 109-153.

64. Strade H. Simple Lie algebras over fields of positive characteristic. I. Structure theory. Berlin: Walter de Gruyter, 2004. 540 p.

65. Suzuki K. Normality of the elementary subgroups of twisted Chevalley groups over commutative rings // J. Algebra. 1995. V. 175. P. 526-536.