Надгруппы классических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Петров, Виктор Александрович

• Петров, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петров, Виктор Александрович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Обобщенные унитарные группы.

1.1. Определение унитарных групп.

1.1.1 Псевдоинволюции и форменные параметры.

1.1.2 Квадратичные формы.

1.1.3 Изометрии и унитарная группа.

1.1.4 Гиперболические пространства и группы.

1.2. Элементарная подгруппа.

1.2.1 Трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона.

1.2.2 Элементарная подгруппа и KUi

1.2.3 Гиперболический случай. Группа Стейнберга и KU

1.3. Классические группы как унитарные.

1.3.Г Ортогональная группа.

1.3.2 Симплектическая группа.

1.3.3 Классическая унитарная группа.

1.4. Случай полной линейной группы.

1.4.1 Полная линейная группа как унитарная.

1.4.2 Лемма Титса.

1.4.3 Группа Стейнберга и Кг.

Глава 2. Геометрия и К-теория унитарных групп.

2.1. Теорема Витта.

2.1.1 Стабильные ранги.

2.1.2 Теорема Витта.

2.2. Стабилизация младших К-функторов.

2.2.1 Теорема о сокращении.

2.2.2 Сюръективная стабилизация KUi

2.2.3 Инъективная стабилизация KUi.

2.2.4 Сюръективная стабилизация KU

2.3. Инвариантность элементарной подгруппы.

2.3.1 Локализация.

2.3.2 Лемма Квиллена-Суслина.

2.3.3 Доказательство инвариантности.

2.3.4 Инвариантность относительной элементарной подгруппы

Глава 3. Описание надгрупп.

3.1. Линейно-унитарные группы.

3.1.1 Определение линейно-унитарных групп.

3.1.2 Линейно-унитарная группа Стейнберга и KKU

3.1.3 Линейно-унитарная и относительная элементарная группы

3.1.4 Вычисление нормализаторов.

3.1.5 Порождение линейно-унитарной группы трансвекцией

3.2. Извлечение трансвекций.

3.2.1 Извлечение на локальном уровне.

3.2.2 Подъем трансвекций.

3.3. Веерное описание надгрупп

3.3.1 Формулировка основного результата.

3.3.2 Случай ортогональной группы.

3.3.3 Случай симплектической группы.

3.3.4 Теорема Уилсона-Голубчика.

3.4. Вычисление факторов.

3.4.1 Точная последовательность К-функторов.

3.4.2 Применение к числовым кольцам.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Надгруппы классических групп»

Изучение классических групп восходит ко второй половине XIX в. Над полем комплексных чисел и конечными полями классические группы систематически изучались Фробениусом, Жорданом и Диксоном. В связи с применением к теории квадратичных форм Витт исследовал ортогональные группы над произвольными полями. В различных аспектах классические группы над произвольными полями изучались Шрайером и ван дер Вар-деном. Вей ль развил теорию представлений и теорию инвариантов классических групп; ему же принадлежит сам термин "классическая группа". Дьедонне перенес большую часть конструкций и результатов на случай тел.

Структурная теория классических групп над полями (или телами) изложена в книгах [1] и [17]. Основными ее результатами являются теоремы о порождении классических групп элементами простого вида (отражениями и трансвекциями), теоремы о продолжении изометрий и сокращении, теоремы о простоте присоединенных классических групп.

Первые результаты о строении решетки подгрупп классических групп были получены в контексте теории алгебраических групп с использованием методов алгебраической геометрии. Титсом были описаны параболические подгруппы (т.е. надгруппы борелевских групп), а Борелем и Титсом — над-группы тора над алгебраически замкнутым полем. Позже эти результаты были перенесены на случай конечных полей Зейцем, а в случае бесконечных полей получены Боревичем, Вавиловым, Дыбковой, Койбаевым, Кингом и др.

Интенсивное изучение решетки подгрупп было инициировано работой Ашбахера [26], в которой дается подход к задаче описания максимальных подгрупп классических групп над конечным полем. Именно, он выделил восемь классов подгрупп C\-Cg (например, стабилизаторы подпространств естественного представления, его разложений в прямую сумму и тензорное произведение и т.п.) таких, что каждая максимальная подгруппа попадает либо в один из этих классов, либо в класс S, состоящий из почти простых групп в неприводимых представлениях. Вопрос о том, какие подгруппы из классов С\-С$ действительно являются максимальными (над конечным полем), был полностью решен Клейдманом и Либеком в [41] (с использованием Классификации конечных простых групп).

Нас будет особенно интересовать класс состоящий из нормализаторов одной классической группы в другой (например, любой классической группы в полной линейной группе или ортогональной группы в симплекти-ческой в случае характеристики два). Возникает естественный вопрос: для каких полей такой нормализатор максимален? Ответ был частично получен в работах Дая [35, 36].

Более общий вопрос о решетке всех надгрупп классической группы в естественном представлении над полем изучался Кингом в [39,40] и был полностью решен (для изотропных групп) в работе Ли Шанчжи [43]. А именно, в случае поля характеристики не два каждая надгруппа либо содержится в нормализаторе классической группы, либо содержит специальную линейную группу. Для ортогональной группы в характеристике два ответ выглядит сложнее: в формулировке возникают векторные ^-подпространства в основном поле К.

Башкировым были получены более сильные результаты о надгруппах классической группы над полем в полной линейной группе над алгебраическим расширением этого поля ([4, 5, б, 7, 8]).

До сих пор речь шла о классических группах над полем (или телом). Однако примерно с 1960-х годов стало ясно, что при решении многих вопросов необходимо рассматривать классические группы над кольцами, в том числе некоммутативными. В теории арифметических групп фундаментальную роль играют классические группы над кольцом целых и над кольцом аделей глобального поля. Уайтхедом был введен инвариант, измеряющий "сложность" гомотопической экивалентности CW-комплексов, со значением в полной линейной группе кольца Z[7r] (где ж — фундаментальная группа) по модулю элементарной подгруппы, т.е., на современном языке, в Ki(Z[7r]) (точнее, в факторгруппе последней группы по образу ±7г). Группа "неочевидных" соотношений между образующими элементарной подгруппы над тем же кольцом Щк] (т.е. К.2(Щтг])) имеет большое значение в теории псев-доизотопий многообразий. Унитарные аналоги этих групп возникают при изучении перестроек многообразий (между прочим, это побудило Уолла обобщить определение унитарной группы в работе [56]).

Все эти конструкции в сочетании с идеями, пришедшими из теории векторных расслоений и ее алгебраического аналога, привели к рождению алгебраической К-теории. Начальный этап ее развития подытожен в монографии Басса [3] и более популярной книге Милнора [20]. Значительными результатами теории являются теоремы о стабилизации К-функторов, показывающие, что поведение полной линейной группы над кольцом становится "стандартным" как только ее ранг достигает некоторого числа, называемого стабильным рангом кольца (определенного в элементарных теоретико-кольцевых терминах). Наиболее важным структурным результатом, полученным Бассом, является теорема о нормальном строении полной линейной группы на стабильном уровне (т.е. когда ранг группы превышает стабильный ранг кольца).

Теория Басса была перенесена на случай других классических групп Баком ([28, 27]); им же было предложено удобное определение обобщенной унитарной (или квадратичной) группы, которое позволяет единообразно доказывать результаты для почти всех классических групп. Это определение (с небольшими модификациями) и используется в настоящей работе.

Вместо стабильного ранга Баком использовалось намного более сильное условие на размерность Басса-Серра кольца; это побудило многих авторов к поиску более адекватного аналога стабильного ранга для классических групп. В работах Стейна, Магурна, ван дер Каллена и Васерштейна использовался абсолютный стабильный ранг, Кольстера — унитарный стабильный ранг. В настоящей работе используется более удобное понятие стабильного ранга форменного кольца, введенное Баком и Тангом в [30] (под названием A-stable range condition), позволяющее давать более точные оценки на момент стабилизации.

Новый этап в развитии структурной теории линейных групп над кольцами начался с результатов Суслина о нормальности элементарной подгруппы над произвольным коммутативным кольцом (см. [24]) и Уилсона и Голубчика о нормальной структуре полной линейной группы над коммутативным кольцом ([13, 57]). Оказалось, что над коммутативными кольцами многие структурные результаты верны не только на стабильном уровне, но и начиная с некоторого фиксированного ранга (три для полной линейной группы).

В работе [54] Васерштейн получил совместное обобщение результатов Басса и Уилсона-Голубчика. Оказалось, что для доказательства структурных теорем достаточно требовать выполнения условия на стабильный ранг для локализаций базового кольца. Успех в случае коммутативных колец объясняется тем, что локальные кольца имеют стабильный ранг один. Эта техника была затем значительно развита Голубчиком, Михалевым, Хлебути-ным (см., например, [14, 15, 25]) благодаря использованию некоммутативных локализаций.

На другие классические группы эти результаты были перенесены Ко-пейко, Таддеи, а в контексте групп Шевалле — Абе и Васерштейном. Для гиперболических унитарных групп в смысле определения Бака они были доказаны Васерштейном и Ю Хонгом [55], Баком и Вавиловым [31]. Новое доказательство структурных теорем, основанное на технике разложения трансвекций, а также хороший обзор по этой теме содержится в работе

Степанова и Вавилова [52].

Среди других результатов о строении классических групп над кольцами следует упомянуть описание надгрупп группы блочно-диагональных матриц над коммутативным кольцом, полученное Боревичем и Вавиловым и перенесенное Вавиловым на случай других классических групп.

Наконец, совсем недавно появились работы [58] и [44], в которых получено описание надгрупп симплектических групп над локальными и евклидовыми кольцами.

Цель настоящей работы — дать описание надгрупп классических групп в естественном представлении над классом колец, включающем почти коммутативные кольца. При этом случаи различных классических групп рассматриваются единообразно с использованием понятия обобщенной унитарной группы Бака.

Полученное автором описание является веерным в смысле школы Боре-вича. Это означает, что для каждой надгруппы Н существует единственная базовая подгруппа (а именно, элементарная линейно-унитарная подгруппа уровня (А, Г), где (А, Г) — некоторый идеальный форменный параметр, см. параграф 3.1.1) такая, что Н лежит между этой базовой подгруппой и ее нормализатором в полной линейной группе (который совпадает с линейно-унитарной конгруэнц-подгруппой того же уровня).

Опишем вкратце используемую технику. Стандартным приемом "редукции по уровню" задача сводится к задаче отыскания линейных транс-векций в подгруппе, содержащей классическую группу и не содержащейся в ее нормализаторе (параграфы 3.3.1 и 3.2.2). Метод локализации в сочетании с несложным фактом о ядре гомоморфизма локализации позволяет глобализовать решение, полученное в локальном случае (параграф 3.2.2). Локальный случай разбирается с использованием геометрических соображений (параграф 3.2.1), в частности, аналога теоремы Витта о продолжении изометрии, доказанного в разделе 2.1.

При вычислении нормализатора базисной подгруппы (параграф 3.1.4) существенно используется, помимо прочего, результат о нормальности элементарной унитарной группы. Поскольку ранее он был получен только в гиперболическом случае (или для некоторых специальных видов классических групп), мы приводим доказательство этого результата в нужной нам общности в разделе 2.3. Более того, мы показываем, что элементарная подгруппа не зависит от выбора гиперболической пары. Доказательство использует стандартную технику локализации (см., например, [55]); при этом на локальном уровне используется результат о сюръективной стабилизации KUi-функтора (параграф 2.2.2), а при глобализации существенно используется KUi-аналог Леммы Квиллена-Суслина (параграф 2.3.2).

Веерное описание само по себе дает большую информацию о решетке надгрупп; однако для получения окончательного результата необходимо вычислить факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам. В параграфе 3.4.1 выведена точная последовательность, связывающая эти факторы с линейными и унитарными К-функторами. Эвристически она была получена с использованием теории гомотопий симплици-альных множеств (являющихся вариантами пространств Володина), однако, чтобы не перегружать работу изложением этой техники, автор предпочел дать элементарное доказательство. Полученный результат в сочетании с результатом Басса-Милнора-Серра о тривиальности относительного SKi для дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) позволяет дать, например, явное описание всех надгрупп симплектической группы над такими кольцами (параграф 3.4.2). Этим еще раз подтверждается связь структурной теории классических групп над кольцами с алгебраической К-теорией, которая прослеживается с самого возникновения обеих теорий.

Перейдем к описанию структуры работы. Первая глава посвящена изложению основ теории обобщенных унитарных групп в смысле Бака. Мы следуем работам [31] и [37] с небольшими модификациями. В разделе 1.1 дается определение форменных параметров и обобщенных унитарных групп. В разделе 1.2 определены трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона (играющие ту же роль, что линейные трансвекции в случае полной линейной группы) и элементарная унитарная подгруппа. В разделе 1.3 показано, что классические группы являются частными случаями унитарных. Особое внимание уделено полной линейной группе, которой посвящен раздел 1.4.

Во второй главе изучается "геометрия" унитарных групп (т.е. свойства действия группы на модуле естественного представления) и младшая унитарная К-теория (т.е. вопросы о факторе унитарной группы по ее элементарной подгруппе и о нетривиальных соотношениях между трансвекциями). В разделе 2.1 вводится понятие стабильного ранга форменного кольца и доказывается аналог теоремы Витта о продолжении изометрии. В разделе 2.2 доказываются теоремы о стабилизации KUi и KU2, а также аналог теоремы Витта о сокращении. В разделе 2.3 устанавливается (при некоторых предположениях) независимость элементарной унитарной группы от выбора гиперболической пары.

Основному вопросу об описании надгрупп классической группы в естественном представлении посвящена третья глава. В разделе 3.1 определяются элементарные линейно-унитарные группы (являющиеся базисными для веерного описания) и линейно-унитарные конгруэнц-подгруппы, доказывается, что последние являются нормализаторами первых. Ядром доказательства основного результата является раздел 3.2; именно, там показывается, что надгруппа унитарной группы, не содержащаяся в нормализаторе последней, содержит линейную трансвекцию. Веерное описание надгрупп дается в разделе 3.3; там же рассматриваются частные случаи ортогональной и симплектической группы и полной линейной группы в представлении, являющемся суммой естественного и контрагредиентного (интересно отметить, что в последнем случае основной результат совпадает с теоремой Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы). Вычислению факторов нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам посвящен раздел 3.4; в качестве примера дается полное описание надгрупп симплектической группы над не вполне мнимым деде-киндовым кольцом арифметического типа.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в работе.

Содержание диссертации отражено в работах автора [9, 10] (совместно с Н.А. Вавиловым), [21, 47], [29] (совместно с Э. Баком и Г. Тангом).

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Петров, Виктор Александрович

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

• Получено "веерное" описание надгрупп классических групп в естественном представлении над широким классом колец, включающем почти коммутативные и полулокальные кольца (Теорема 8 и Следствие из нее, Теоремы 9 и 10). При этом для базисных подгрупп (EEU(V, А, Г) в наших обозначениях) заданы явные образующие, а элементы нормализаторов базисных подгрупп (CGU(V, А, Г) по Теореме 7) задаются явными сравнениями по модулю идеала А. Интересным частным случаем полученного результата является теорема Уилсона-Голубчика о нормальном строении полной линейной группы (Теорема 11).

• Выведена точная последовательность, связывающая факторы нормализаторов базисных подгрупп по самим базисным подгруппам с линейными и унитарными нестабильными К-функторами (Теоремы 12 и 13). В случае дедекиндовых колец арифметического типа (не являющихся вполне мнимыми) этот результат в комбинации с результатом Бас-са, Милнора и Серра о тривиальности относительного SKi дает явное описание всех надгрупп симплектической группы в простых арифметических терминах (параграф 3.4.2).

• Доказана теорема о независимости элементарной унитарной группы индекса Витта хотя бы три от выбора гиперболической пары над широким классом колец (Теорема 6 и Следствие из нее). Ранее подобные результаты были известны лишь в гиперболическом случае или для некоторых специальных типов унитарных групп.

• Получен аналог классической теоремы Витта о продолжении изометрии для форменных колец конечного стабильного ранга (Теорема 1), а также доказан вариант теоремы Витта о сокращении (Теорема 2).

• Получены (частично совместно с Э. Баком и Г. Тангом) результаты о стабилизации младших унитарных К-функторов с лучшими оценками на момент стабилизации, чем имеющиеся в литературе (Теорема 3 и Следствие из нее, Теорема 4 и Следствия из нее, Теорема 5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петров, Виктор Александрович, 2005 год

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969. — 285 с.

2. Ба М.С., Боревич З.И. О расположении промежуточных подгрупп // Кольца и линейные группы. — Кубанский государственный университет. — 1988. с. 14-41.

3. Басс X. Алгебраическая if-теория. — М.: Мир, 1973. — 591 с.

4. Башкиров E.JI. Линейные группы, содержащие специальную унитарную группу ненулевого индекса // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. 1985. - по. 5. - с. 122-123.

5. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие симплектическую группу // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. —1987. — по. 3. — с. 116-117.

6. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие группу Spn(K) над полем характеристики 2 // Вести АН БССР, Сер. Физ-мат. Наук. — 1991.по. 4. — с. 21-26.

7. Башкиров Е.Л. Линейные группы, содержащие коммутант ортогональной группы индекса большего 1 // Сиб. Мат. Журн. — 1992. — т. 33. — по. 5. — с. 754-759.

8. Башкиров Е.Л. О подгруппах полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу // Сиб. Мат. Журн. 1998. - т. 39. - по. 6. - с. 1251-1266.

9. Вавилов Н.А., Петров В.А. О надгруппах EO(2l, R) // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 2000. - т. 272. - с. 68-85.

10. Вавилов Н.А., Петров В.А. О надгруппах Ep(2l,R) j j Алгебра и Анализ. — 2003. — т. 15. — по. 4. — с. 72-114.

11. Васерштейн Л.Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функц. Анализ и его приложения. — 1971. — т. 5.- с. 102-110.

12. Васерштейн J1.H. О стабилизации для ^-функтора Милнора // Успехи Мат. Наук. — 1975. — т. 30. — no. 1. — с. 224.

13. Голубчик И.З. О полной линейной группе над ассоциативным кольцом // Успехи Мат. Наук. — 1973. т. 28. — по. 3. — с. 179-180.

14. Голубчик И.З. О подгруппах полной линейной группы GLn(R) над ассоциативным кольцом R // Успехи Мат. Наук. — 1984. — т. 39. — no. 1.- с. 125-126.

15. Голубчик И.З., Михалев А.В. О группе элементарных матриц над PI-кольцами // Исследования по алгебре. — Тбилиси, 1985. — с. 20-24.

16. Голубчик И.З., Михалев А.В. Элементарная подгруппа унитарной группы над PI-кольцом // Вестник Моск. ун-та, Сер. I Мат. Мех. — 1985. — no. 1. с. 30-36.

17. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. — М.: Мир, 1974. — 204 с.

18. Клейн И.С., Михалев А.В. Ортогональная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией // Алгебра и Логика. — 1970. — т. 9. — по. 2. — с. 145-166.

19. Клейн И.С., Михалев А.В. Унитарная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией // Алгебра и Логика. — 1970. — т. 9. — по. 5. — с. 510-519.

20. Милнор Дж. Введение в алгебраическую if-теорию. — М.: Мир, 1974.- 196 с.

21. Петров В.А. Нечетные унитарные группы // Зап. Научн. Сем. ПОМИ.- 2003. т. 305. - с. 195-225.

22. Плоткин Е.Б. Сюръективная стабилизация -Кгфунктора для некоторых исключительных групп Шевалле // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. — 1991. т. 198. - с. 65-88.

23. Суслин А.А., Туленбаев М.С. Теорема о стабилизации для ^-функтора Милнора // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. 1976. - т. 64. - с. 131-152.

24. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов // Изв. АН СССР, Сер. Мат. — 1977. — т. 41. — по. 2. — с. 235-252.

25. Хлебутин С.Г. Достаточные условия нормальности для подгруппы элементарных матриц // Успехи Мат. Наук. — 1984. — т. 39. — по. 3. — с. 245-246.

26. Aschbacher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. 1984. — vol. 76. — no. 3. — pp. 469-514.

27. Bak A. The stable structure of quadratic modules. — Thesis. — Columbia University, 1969. — 121 p.

28. Bak A. .ftT-theory of forms. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1981.

29. Bak A., Petrov V., Tang G. Stability for quadratic Кг // K-Theory. — 2003. vol. 29. — no. 1. — pp. 1-11.

30. Bak A., Tang G. Stability for Hermitian K\ // J. Pure Appl. Algebra. — 2000. vol. 150. - pp. 107-121.

31. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups I: Elementary subgroups // Algebra Colloq. — 2000. — vol. 7. — no. 2. — pp. 159-196.

32. Bass H., Milnor J., Serre J.-P. Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n > 3) and Sp2n (n > 2) // Publ. Math. IHES. 1967. — vol. 33.pp. 59-137.

33. Costa D., Keller G. The E(2,A) sections of SL(2, A) // Ann. of Math. -1991. vol. 134. - pp. 159-188.

34. Dennis R.K. Surjective stability for the functor K2 // Lect. Notes in Math.1973. — vol. 353. — pp. 85-94.

35. Dye R. Maximal subgroups of GL2n(K), SL2n(K), PGL2n(K) and PSL2n(K) associated with symplectic polarities j j J. Algebra. — 1980.vol. 66. — pp. 1-11.

36. Dye R. On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two // Math. Z. — 1980. — vol. 172. — pp. 203-212.

37. Hahn A.J., O'Meara O.T. The classical groups and JC-theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1989. — 576 p.

38. Kallen W. van der, Magurn В., Vaserstein L.N. Absolute stable rank and Witt cancellation for non-commutative rings // Invent. Math. — 1988. — vol. 91. pp. 525-542.

39. King O. On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group // J. Algebra. — 1985. — vol. 96. — pp. 178-193.

40. King 0. On subgroups of the special linear group containing the special unitary group // Geom. Dedicata. — 1985. — vol. 19. — pp. 297-310.

41. Kleidman P., Liebeck M.W. The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. — 303 p.

42. Knus M.-A. Quadratic and Hermitian forms over rings. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

43. Li Sh. Overgroups of SU(n,K,f) or Q(n,K,Q) in GL(n, K) // Geom. Dedicata. — 1990. — vol. 33. — pp. 241-250.

44. Li Sh., Wei Z. Overgroups of a symplectic group in a linear group over a euclidean ring // J. Univ. Science and Technology of China. — 2002. — vol. 32. — no. 2. — pp. 127-134.

45. Magurn B. An algebraic introduction to if-theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. — 676 p.

46. Mustafa-Zade N.M. On epimorphic stability of a unitary i^-functor // Russian Math. Surveys. — 1980. — vol. 35. — no. 6. — pp. 99-100.

47. Petrov V. Overgroups of unitary groups // K-Theory. — 2003. — vol. 29. — no. 3. — pp. 147-174.

48. Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. — 1976. vol. 36. - pp. 167-171.

49. Stafford J.T. Absolute stable rank and quadratic forms over non-commutative rings // K-Theory. — 1990. — vol. 4. — pp. 121-130.

50. Stein M.R. Relativizing functors on rings and algebraic if-theory // J. Algebra. — 1971. vol. 19. — no. 1. — pp. 140-152.

51. Stein M.R. Stability theorems for K\, K2 and related functors modeled on Chevalley groups // Japan. J. Math. — 1978. — vol. 4. — no. 1. — pp. 77108.

52. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-Theory. 2000. - vol. 19. - pp. 109-153.

53. Tits J. Systёmes ge^rateurs de groupes de congruence // C. R. Acad. Sci. Paris Sdr. A-B. 1976. — vol. 283. - no. 9. — pp. 693-695.

54. Vaserstein L.N. On the normal subgroups of the GLn of a ring j j Springer Lecture Notes Math. — 1981. — vol. 854. — pp. 454-465.

55. Vaserstein L.N., You H. Normal subgroups of classical groups over rings // J. Pure Appl. Algebra. — 1995. — vol. 105. — no. 1. — pp. 93-106.

56. Wall C.T.C. On the axiomatic foundation of the theory of Hermitian forms // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1970. — vol. 67. — pp. 243-250.

57. Wilson J.S. The normal and subnormal structure of general linear groups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. — vol. 71. — pp. 163-177.

58. You H., Zheng B. Overgroups of symplectic group in linear group over local rings // Comm. Algebra. 2001. — vol. 29. — no. 6. — pp. 2313-2316.