Сетевые подгруппы групп Шевалле и вопросы стабилизации К1-функтора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Плоткин, Евгений Борисович

• Плоткин, Евгений Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плоткин, Евгений Борисович

введение лава I. Основные понятия

§ I. Группы Шевалле, скрученные группы Шевалле

§ 2. Базисные представления плава 2. Разложение Шевалле-Мацумото

§ I. Постановка задачи

§ 2. Доказательство для классических групп.

§ 3. Подрадикальный случай.

§ 4. Случай поля.

§ 5. Завершение доказательства.

Глава 3. Сетевые подгруппы групп Шевалле

§ I. Сети и некоторые связанные с ними группы.

§ 2. Частичные сети.

§ 3. Сетевые подгруппы.

§ 4. Унипотентные матрицы в сетевой подгруппе

§ 5. Сетевые подгруппы скрученных групп Шевалле.

§'6. Параболические подгруппы в группе

Глава 4. Стабилизация К<-функтора для групп Шевалле нормальных и скрученных типов.

§ I. Задача стабилизации К4-функтора для групп-Шевалле

§ 2. Теоремы о стабилизации.

§ 3. Вложения А 5 Е £

§ 4. Вложения Е & Е 7 , Е 7 Е в

§ 5. Вложение В

§ 6. Окончание доказательства.

§ 7. Некоторые нерегулярные вложения.

§ 8. Сюръективная стабилизация К4-функтора для скрученных групп Шевалле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сетевые подгруппы групп Шевалле и вопросы стабилизации К1-функтора»

Группы Шевалле над полем появились в 1955 году в работе Шевал-пе С 96] , и с этого момента началось их интенсивное изучение, которое привело к построению развитой теории. Она подробно излагается в монографиях Стейнберга и Картера — [/6], [95]/ см. такв [201, [2<1,[53], [84], [85], [<06 ] /.

В 1961 году Шевалле определил соответсвующие группы для случая произвольного коммутативного кольца [97] , которые и являются основным объектом рассмотрения настоящей работы.

Главным примером групп Шевалле являются разложимые классические группы, т.е. специальная линейная, симплектическая и ортогональные группы, отвечающие форме максимального индекса Витта. Изучению этих групп над полями и кольцами посвящено множество работ.Укажем лишь обзорные труды и некоторые последние работы [1] , [2] ,

5'] ,т, % м, g з [5 $, р ?з.

С другой стороны, группы Шевалле над кольцами являются важным классом полупростых алгебраических групп / см. ff9] , [2{J , [97] 0*5[1 9 , [84] , Qoo] и т.д. /. Как известно, над полем каждая связная полупростая алгебраическая группа изоморфна соответсвующей группе Шевалле.

Можно сказать, что теория групп Шевалле над кольцами находится " посередине " между этими двумя теориями,и мы условно выделим в ней два направления. Во-первых, это естественный процесс получения аналогов результатов, известных для групп Шевалле над полями, во-вторых — решение новых задач, связанных со спецификой основного кольца. К первому относится,например,задание групп Шевалле образующими и определяющими соотношениями, описание нормальных дели-гелей, автоморфизмов, параболических подгрупп и т.д. / см. [92],

93], , в«], т, м, и«], е«] , о < »л

1римером другого рода являются вопросы стабилизации для групп Ше-валле или связанное с ними решение Мацумото конгруэнцпроблемы для ?рупп Шевалле над дедекиндовыми кольцами / см. [/07], р08] , [№9],

Ц0Ч1.

Как обычно, многие параллельные результаты были получены для окрученных групп Шевалле над коммутативным кольцом, введенных Абе в 187] / см. [26], [НО], [87] ,[99 ] и др./. В дальнейшем, говоря о группах Шевалле, мы часто будем понимать под этим как группы нормальных типов, так и скрученные группы Шевалле.

Оказывается, что работа с группами Шевалле над кольцами имеет ряд особенностей. Наряду с группой Шевалле (т ( Ф, К ) можно рассматривать ее элементарную подгруппу Е (Ф, £) , т.е. подгруппу^ порожденную элементарными корневыми унипотентами X ,*(•{:) . Большинство результатов о группах Шевалле над произвольными кольцами относятся к группе Е(9, К) , так как именно в ней проводятся конкретные вычисления. Лишь в случае хороших колец, например,полулока-пьных, когда группы и Е(Ф, К) чрезвычайно близки, дается получить ответ для группы К) .

Другой особенностью является то, что для групп Шевалле над произвольным коммутативным кольцом нет канонического разложения типа разложения Брюа или разложения Гаусса. Фактически, именно наличие в случае поля разложения Брюа группы Шевалле позволяет получить здиное для всех типов доказательство многих результатов. Разложение Гаусса для групп Шевалле над полулокальным кольцом играет похожую роль. Обратно, известно, что если группа Шевалле над кольцом допускает разложение Брюа, то кольцо является полем, если же имеет десто разложение Гаусса, то абсолютный стабилиьный ранг кольца ра-зен единице / или двум в обозначениях из ["1071 , которые приняты ^алее и в настоящей работе /, т.е. это — практически полулокаль-шй случай / см. [ 3 3 /. ®то влечет необходимость перебора слу-1аев различных систем корней для групп Шевалле над произвольными соммутативными кольцами / если невозможна редукция к полю / и рассмотрения конкретных матричных реализаций. Так как минимальная раз-иерность неприводимого представления например для группы типа Е8 >авна 248 [2.2-1 , то при этом возникают большие трудности вычи-5Лительного характера.

В настоящей работе решаются следующие задачи: устанавливается аналог теоремы Шевалле-Мацумото для скручен-сых групп Шевалле, для произвольной группы Шевалле над коммутативным кольцом ¡троится сетевая группа, отвечающая сети идеалов <У типа Ф и ;ля случая скрученных групп Шевалле доказывается наличие у нее разложения Гаусса, описываются параболические подгруппы скрученной группы Ше-алле над коммутативным полулокальным кольцом, решается задача сюръективной стабилизации К^-Диктора для сех регулярных вложений групп Шевалле нормальных и скрученных ти-ов, отвечающих стандартным вложениям систем корней.

Отметим, что для сетевых подгрупп групп Шевалле нормальных ти-ов, результат о разложении Гаусса был получен ранее в совместной аботе Н.А.Вавилова и автора, его формулировка приводится в парагра-е 4 главы 3 .

Связующим звеном при решении этих задач явилось понятие базисяого представления групп Шевалле — представления, в определенном смысле наиболее просто устроенного Ц04] , [Ю7], [22] . А именно, весовые подмодули такого представления одномерны, за исключением подмодуля, отвечающего нулевому весу*, в них можно каноническим об-эазом выбрать базис, действие корневых унипотентов группы на котором легко'описывается. Наконец, возможно самое главное состоит в гом, что с каждым базисным представлением можно связать граф, изучение которого заменяет некоторые матричные вычисления.

Остановимся несколько подробнее:: на затронутых вопросах.

Разложение Шевалле-Мацумото нормальных типов появилось в работе Мацумото [404} со ссылкой на книгу Шевалле [96 ] и явилось основным инструментом для доказательства сюръективной стабилизации

-функтора для дедекиндовых колец, необходимой при решении конгру-энцпроблемы. Оно представляет собой первый шаг в разложении Гаусса а для случая Ф — А п — специальной линейной группы,очевидно. 5 дальнейшем, Штейн [4071,0081 применил его для получения единообразного доказательства сюръективной стабилизации К-функтора з терминах стабильного или абсолютного стабильного ранга для классических групп и некоторых вложений исключительных групп Шевалле. 5 настоящей работе благодаря аналогу этого разложения для скрученных прупп Шевалле доказывается разложение Гаусса для сетевых подгрупп этих групп и проводится сюръективная стабилизация К4-функтора для зкрученных групп Шевалле.

Понятие сети ^идеалов является естественным обобщением понятия замкнутого множества корней [22.] » учитывающим структуру основ-гого кольца. Оно появлялось в различных работах, однако системати-юское его применение для описания подгрупп в случае Ф= Ап тачаюсь с работы Н.С. Романовского ^75 1 и с серии работ З.И.Боревича

5"], [ 6 ] , [ 7 ] »В этих работах были введены сетевые группы, которые оказались чрезвычайно полезными для описания различных подгрупп в полной линейной группе. Так, в работах , К! 9 [ в этих терминах были описаны параболические подгруппы полной и специальной линейных групп над полулокальным кольцом и некоторыми дедекиндовыми кольцами. Далее, с использованием сетевых групп и их нормализаторов удалось получить описание подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц [71,[8],[9],[13], [27], [** 1 , [29 ] . Для случаев маленьких полей описание в несколько более сложных терминах цается в работах [1$} , [54] , [55] , [56] .

Дальнейшим развитием этих результатов явилось описание подгрупп в полной линейной группе над достаточно широким классом колец, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц [14], 02], [41] , [41] , [32.] . В связи с важностью различных групп, связан -шх с сетью, их свойства рассматривались в ряде работ. Так в работе З.И.Боревича; [5 ] было получено разложение Гаусса в сетевых юдгруппах полной линейной группы над полулокальным / не обязатель-ю коммутативным/кольцом. Другие свойства сетевых групп рассматривались в [15] , Вб] , В?] , 00] , ¡63] .

Для других классических групп, являющихся группами Шевалле нормальных и скрученных типов, аналогичные вопросы рассматривались в 146] , [47] , [33], [Зо] , . в частности, в работе Е.В.Дыбкоюй было получено разложение Гаусса в сетевой подгруппе симплекти-юской группы.

Дальнейшим развитием этой тематики явилось определение сети [деалов, отвечающей произвольной системе корней / см. Н.А.Вавилов 51 , [26] , [31 ] , Судзуки [Ж] ^ 013] /. К этим работам примыкает статья В.М.Левчука, в которой определяется близкое понятие элементарного ковра./ см. [5*8] /. Все эти работы посвящены описанию параболических подгрупп в группе Шевалле нормальных и скрученных типов над кольцами, близкими к полулокальным.

Вопросы стабилизации в алгебраической К -теории рассматривались с разных точек зрения в большом количестве работ. Обзор результатов и библиографию можно найти в [31, [79], [68 }.

Задача стабилизации К<-функтора для .полной линейной группы была поставлена Бассом в работе [90 ] . Там же была построена соответствующая теория, позволяющая решать многие из связанных со стабилизацией вопросов. Стабилизация К^-функтора для всех классических групп / кольцо не обязательно коммутативное / получена в [3], [4], [9117 ч ЕЗЙ • 2 случае специальной линейной группы или симплектической группы, возникающие при этом условия на кольцо формулировались в терминах условия стабильного ранга, которое,в свою очередь, связано с размерностью пространства максимальных идеалов исходного кольца [ 3 ] .Однако, для других классических групп при рассмотрении сюръективной стабилизации возникли более сложные условия на кольцо, связанные с уравнениями, задающими соответствующую группу

383.

Бассом [33 была поставлена задача изучения стабилизации ^-функтора для полупростых алгебраических групп над кольцами, удовлетворяющими некоторым условиям стабильности. Первой работой о стабилизации для произвольной группы Шевалле явилась работа Мацумото[/0^].

Основным дальнейшим продвижением в этом направлении стала серия работ Штейна ЦАОб] , [107] , [}0&3 . Так в работах $07], [{08] рассматривался функтор К^для любой группы Шевалле и была доказана сюръ-эктивная стабилизация для К2, что по-существу влечет инъективную стабилизацию К<-функтора. Кольцо при этом предполагалось полулокальным. Общий случай рассмотрен в работе [407] .В ней для коммутативных колец единообразно передоказаны теоремы о стабилизации К4 и К^-функторов для классических групп и рассмотрены некоторые вложения в особые группы. Оказывается, что помимо условия стабильного ранга, не менее важную роль играет условие абсолютного стабильного ранга [ДО1 ] , которое присутствует в большинстве случаев, связанных с сюръективной стабилизацией К^-функтора. Основным инструментом доказательства в этой работе является систематическое использование развитого в [404] метода базисных представлений, который пополняется способом построения диаграмм таких представлений.

Перейдем к содержанию работы по главам. Диссертация состоит из зведения и четырех глав.

В главе I вводятся основные понятия. Параграф I посвящен напо-линанию определений групп Шевалле нормальных и скрученных типов, шределению различных подгрупп этих групп, установлению обозначений. * параграфе 2 вводятся базисные представления — основной инструмент $ля дальнейших вычислений. Помимо известных фактов о базисных представлениях групп Шевалле, в нем излагается также новый материал о базисных представлениях скрученных групп Шевалле. Доказывается, в тстности , скрученный аналог важной леммы 2.3. из [404 ] о действии корневых унипотентных элементов группы Шевалле на базисных век-юрах модуля представления / леммы 1.2 и 1.3 /.

Глава 2 посвящена разложению Шевалле-1¥ацумото для скрученных 'рупп Шевалле. В ней доказывается следующий результат.

Теорема I. Пусть для элемента д е в базисном

Г) ^ редставлении со старшим весом ^л выполнено € к . Тогда меет место разложение з= V ь 9, м. где V б \/р, ке1ГР(Е,К) ,И9,бТР(Ф,Ю &р(д,Й), причем сомножители V , 1И , Ь^ определены однозначно. Более того, если - 4 , то где е б Ер С Ф, К) , € д, К)

Эта теорема является аналогом теоремы Шевалле-Мацумото для скрученных групп Шевалле и дает редукцию от скрученной группы Шевал-ие £ р ( Ф, £ ) к скученной группе (*• р ( А, К ) меньшего эанга.

В главе 3 вводятся и изучаются сетевые подгруппы групп Шевалле термальных и скрученных типов.

Пусть Л" — базисное представление группы Шевалле 1 = сНт Л . Тогда по любой сети (Г = (СГ^"), о*. € Ф идеалов в Я типа Ф можно построить сеть идеалов (? - ( О* -а,о ) типаАп^ ' , ^ — веса представления ЗТ /. Пусть — сетезая подгруппа в группе 8 I- ( П, » соответствующая сети с?9 15]. Сетевая группа определяется формулой

С<г)= лЧ&С^П зтС&СФ.Е))). ргя точного базисного представления формула приобретает вид г)= &(£?) п й(<М).

В четвертом параграфе доказывается теорема, являющаяся распрос-•ранешем на случай сетевых групп теоремы из работы 1124 ] о том, [то любое замкнутое множество корней является квазизамкнутым. Теорема 2. Каждая сеть идеалов является квазисетью.

В пятом параграфе изучаются сетевые подгруппы скрученных групп Иевалле. Каждой р -инвариантной сети идеалов О* ставится в соответствие сетевая подгруппа в скрученной группе Шевалле определяемая формулой

Сак же как для сетевых подгрупп групп Шевалле, для сетевых подгрупп зкрученных групп Шевалле имеется разложение Гаусса в случае полулокального кольца.

Теорема 4. Пусть СГ^О"*) , сИе Ф — р -инвариантная сеть идеалов типа ф над коммутативным полулокальным кольцом с инволюцией / автоморфизмом порядка 3 /. Тогда имеет место формула е-р(о-) =ия(а)Уу0г)Тя(Ф,й)1Гр(<7).

Отсюда, в частности, следует, что для полулокального кольца сетевая подгруппа и элементарная сетевая подгруппа / см. [34 ] /совпадают.

Б следующем параграфе сетевые группы применяются для описания параболических подгрупп в группе ( , (ч) над полулокальным кольцом. Этот случай остался неразобранным в работе

26] посвященной описанию параболических подгрупп скрученных групп Шевалле.

Теорема 5. Пусть {ч — коммутативное полулокальное кольцо с автоморфизмом порядка 3, ® — подгруппа в К* • Предположим,что К и 0 удовлетворяют следующим условиям и существует элемент ре такой, что р-р € г. = и 2 [ 0г1

3. Идеал в , порожденный элементами £г - 1 и идеал, порожденный элементами £3 - \ , где £ е 0 0 , совпадают с & .

Тогда для любой подгруппы Р в группе 3С}- ( , К ), содержащей ( 0 ^ , б ) , существует единственная р -инвариантная сеть идеалов (I в 1! типа О*} такая, что

ЕяО)Нрсе) ¿Р« &Р.0(<г), где 0-р>0 (о-) = Ер(а) ТрСФ.Й).

Чтобы получить описание стандартных борелевских подгрупп,достаточно положить 0 = Я* . Условия 2,3 при этом вытекают из условия I / см. [5], 1.6] /и теорема утверждает, что отображение С-* &р>0О) является биекцией множества параболических р «инвариантных сетей идеалов в Р типа на множество стандартных параболических подгрупп в 3 (л-(0/|,12).

Глава 4 посвящена задаче стабилизации К^-функтора для групп Шевалле нормальных и скрученных типов. В параграфе I обсуждается постановка задачи стабилизации К^ -функтора.

Для произвольной системы корней Ф обозначим через А подсистему корней меньшего ранга, порожденную простыми корнями, образующими связную поддиаграмму диаграммы Дынкина системы Ф . I Тогда вложение систем корней влечет вложение односвязных групп Шевалле и их элементарных подгрупп. По определению

К,(Ф,Ю=&(Ф,В)/ Е(Ф,Ю.

Вложение Д Ф индуцирует морфизм к, (л,к)- к,(Ф,ю.

Под задачей сюръективной / инъективной / стабилизации понимается нахождение условий на кольцо / зависящих от Д и Ф /, при которых отображение $ является сюръективвдм / иньективным /. Сюръективная стабилизация эквивалентна наличию разложения а инъективная следующей формуле д, I?) ПЕ(Ф,С) = Е(Л,Я).

Наличие указанного разложения тесно связано с разложением Шевалле-Мацумото. Отметим, что для вложения Ап в точности возникает задача стабилизации

5 к, -функтора в специальной линейной группе.

Постановка задачи для скрученных групп Шевалле аналогична приведенной для групп Шевалле нормальных типов.

В параграфе 2 формулируется основной результат о сюръективной стабилизации для групп Шевалле нормальных типов.

Теорема 6. При следующих условиях на кольцо К , зависящих эт вложения систем корней Д ->■ ф , имеет место разложение ррупп Шевалле вида гСФ,Ю = е(Ф,10 й(д,Ю.

Вложение Д-^9 Условие на К изложение й Условие на К

Ая.,-*А„ пб а6 дб!?*,

А а 51?« r а; - е* а51?«

М -б« аб к/, аяяп абкч аз*?« Ь ъ ^

Съ-> Г/,

А 5 А 5 А1 ->

А 5 В« £

3 формулировку этой теоремы включены случаи вложений систем корней, цля которых результаты о стабилизации хорошо известны / А и-^ А у\ , л1

В и , Сн-^Си , Аи-^Юи , А*-»^ , см. Это сделано для того, чтобы охватить все вло-кения систем корней и представить картину в целом.

Из теоремы о сюръективной стабилизации можно вывести ряд следствий.

Следствие 4.2. При следующих условиях на кольцо К вложения шстем корней Д->ф индуцируют изоморфизмы

Ог Ее Ее -» Е7 Ет -» В$

А5К3 К,(Оп,К)« К, (ВМ,Е) АЭИ, К, (О,, К)« к, (Ее,К)

А5(>Ч К, (Ее, К)« К, (ЕТ,К)

К, С Е7 , К, (Е»,К) А5£г К, К, (^Д) частности, при условии ДЙР^з все эти группы изоморфны то несколько обобщает результат Мацумото об изоморфизме этих групп ля дедекиндова кольца.

Следствие 4.3. При условии % для любой системы корней :меет место

К, (Ф,1?) = 1. олее того, при условии Агруппа Шевалле допускает разложение аусса

Этсюда следует / см. [ ] /, что в теоремах об описании параболических подгрупп условие полулокальности можно заменить условием

АЭ и ¡, .

Следствие 4.4. В условиях теоремы б имеют место формулы е(ф,ю<1 &сф,ю

Этметим, что для классических систем корней ранга большего двух труппа элементарных матриц является нормальным делителем во всей труппе для произвольного коммутативного кольца / см. [57]Д84],[78]/.

Перейдем к случаю скрученных групп Шевалле. Здесь приходиться зводить новое условие, учитывающее инволюцию основного кольца.

Определение. Коммутативное кольцо с инволюцией удовлетворяет условию А Б Ёт , если для любой строки (1%,., Гт, Пл ) € ю.1$цутся элементы "Ь^,., ^пы кольца Р такие, что любой мак-зимальвдй идеал, содержащий идеал , порожденный +£± Гт41^Гт Гт-14^т-1гт4^»имПг содержит идеал, порожденный , Гт , Гт .

Сели строка Г^,., Гт , "г т — унимодулярна, то будем говорить )б условии £ К го .

Теорема 7. При следующих условиях на кольца К , зависящих )т вложения Л Ф , имеет место разложение скрученной группы 1евалле вида

Вложение Л Ф Условия на

0ПМ САБКо)«-!,

Для случая унитарной группы — 2£ (А, сюръективная стаби -лизация была получена в 13 8 ], но с другими условиями на кольцо Отметим, что и в скрученном случае можно сформулировать следствия, подобные приведенным выше.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плоткин, Евгений Борисович, 1985 год

1. Автоморфизмы классических групп. Сб. статей. М., 1976, 264с.

2. Артин Э. Геометричевкая алгебра. М., 1969, 283с.

3. Басс X. Алгебраическая К-теория. М., 1973, 591с.

4. Басс X., Милнор Дж., Серр Ж-П. Решение контруэнцпроблемы дляИ ^ 3) и Б 'р гп (п ^2) . — Математика. Период, сб. перев. иностр. статей, 1970, т. 14, Р 6, с. 64 128; 1971, т.15, № I, с. 44 - 60.

5. Боревич З.И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1976, № 13, с. 16 24.

6. Боревич З.И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1976, № 19, с. 29 34.

7. Боревич З.И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. — Зап. науч. семинаров Ленинград. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1976, т. 64, с. 12 29.

8. Боревич З.И. О некоторых подгруппах полной линейной группы.— Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1977,т.71, с. 42 46.

9. Боревич З.И., Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1978, с. 32 34.

10. Боревич З.И,, Вавилов Н.А. Об определителях в сетевых под -группах. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-таАН СССР, 1982, т. 114, с. 37 -49.

11. Боревич З.И., Вавилов Н.А. Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом. — Изв. высш. учеб. заведений. Математика, 1982,II / 246 /, с. II 15.- но

12. Боревич З.И., Вавилов H.A. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом. — ДАН СССР, 1982, т. 267, № 4,с. 777 778.

13. Боревич З.й., Вавилов H.A. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом. — Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1984, г. 165, с. 24 42.

14. Боревич З.И., Вавилов H.A., Наркевич В. О подгруппах полной линейной группы над дедекиндовым кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1979, т. 94, с. 13 20.

15. Боревич З.И., Дыбкова Е.В. Об индексе сетевых подгрупп в полной и специальной линейных группах над дедекиндовым кольцом. — Гр. Мат. ин-та АН СССР, 1978, т. 148, с. 58 т

16. Боревич З.И., Дыбкова Е.В., Колотилина Л.Ю. О сопряженности сетевых подгрупп в линейных группах. — Зап. науч. семинаров Ленинградского отд. Мат. ин-та АН СССР, 1979, т. 86, с. II 18.

17. Боревич З.И., Колотилина Л.Ю. О субнормализаторе сетевых подгрупп в полной линейной группе над кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1982, т. 116, с. 14 19.

18. Боревич З.И., Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из пяти элементов. — В кн. Алгебра и теория чисел, Меж-вуз., сб., вып. 3, Орджоникидзе, 1978, с. У 32.

19. Борель А. Линейные алгебраические группы М. 1972, 269с.

20. Борель А. Свойства и линейные представления групп Шевалле. — 3 кн. Семинар по алгебраическим группам. М., 1973, с. 9 59.

21. Борель А., Тите Я. Редуктивные группы. — Математика. Период, сб. перев. иностр. статей, 1967, т.II, № I, с. 43 71, № 2, с. 3-31

22. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6., 1972, 331с., гл. 7 8., М., 1978, 342с.

23. Вавилов H.A. О параболических контруэнцподгруппах в линейных группах. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин та АН СССР,976, т. 64, с. 55 63.

24. Вавилов H.A. Параболические подгруппы полной линейной группы над цедекиндовым кольцом арифметического типа. — Зап. науч. семинаров ГСенингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, т. 71, с. 66 79.

25. Вавилов H.A. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин -га АН СССР, 1978, т. 75, с. 43 58.

26. Вавилов H.A. О параболических подгруппах групп Шевалле скрещенного типа над полулокальным кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленинград. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1979, т. 94, с. 21 36.

27. Вавилов H.A. Разложение Брюа для подгрупп, содержащих группу диагональных матриц. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. инта АН СССР, 1930, т. 103, с. 20 30.

28. Вавилов H.A. О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1981, PI, с. 10 15.

29. Вавилов H.A. Разложение Брюа для подгрупп, содержащих группу диагональных матриц Iii. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин та АН СССР, 1982, т. 114, с. 50 - 61.

30. Вавилов H.A. О подгруппах унитарной группы над полулокальным кольцом — Успехи Мат. наук, 1982, т. 37, № 4, с. 147 148.

31. Вавилов H.A. Параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативным кольцом. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1982, т. 116, с. 20 -43.

32. Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу клеточно-диагональных матриц. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1983, PI, с. 16 21.

33. Вавилов H.A., Дыбкова Е.В. О подгруппах полной симплектической группы, содержащих группу диагональных матриц. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1980, т. 103, с. 31 47.

34. Вавилов H.A., Плоткин Е.Б. Сетевые подгруппы групп Шевалле.Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1979, г. 94, с. 40 49.

35. Вавилов H.A., Плоткин Е.Б. Сетевые подгруппы групп Шевалле.П.Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1982, г. 114, с. 62 -76.

36. Васерштейн Л.Н. О стабилизации общей линейной группы над кольцом. — Матем. сб. 1969, т.79 , № 3, с. 405 424.

37. Васерштейн Л.Н. K-теория и конгруэнцпробдема. — Матем. заметки, 196У, т.5, № 2, с. 233 244.

38. Васерштейн Л.Н. Стабилизация унитарных и ортогональных групп над кольцами. — Матем.сб., 1970, т. 81, № 3, с. 328 -351.

39. Герасимов В.Н. О свободных линейных группах. — В кн. Ш1 Всесоюзная алгебр, конференция. Минск, 1983, с. 52 53.

40. Голубчик И.З. Нормальные делители линейных групп над кольцами.Вестн. МГУ, сер. матем., 1978, Р 6, с. 79.

41. Голубчик И.З. О подгруппах полной линейной группы GrLn(R) над ассоциативным кольцом. — Успехи мат. наук, 1984, т.39, № I / 235 / с. 125 126.

42. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. — Вестн. МГУ, сер. матем., 1983, № 3, с. 61 72.

43. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1983, т.132, с. 97 109.

44. Голубчик И.З., Михалев A.B. О группе элементарных матриц над PI кольцами. — Вестн. МГУ, сер. матем., 1984, Р I, с. 78.

45. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М., 1981, 336с.

46. Дыбкова Е.В. О некоторых конгруэнцподгруппах симплектической- из руппы. — Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, г.64, с. 80 91.

47. Дыбкова Е.В. Индекс сетевой подгруппы в симплектической группе над дедекиндовым кольцом. — Зал науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1978, т.75, с. 74 86.

48. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. — Матем. сб., 1952, т.ЗО / 72 /, № 2, с. 349 462.

49. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М., 1974, 204с.

50. Залесский А.Е. Полупростые корневые элементы алгебраических групп. Минск, 1980 , 24с. / Препринт. Ин-т Мат. АН БССР, Р 13 /УЗ/Л

51. Залесский А.Е. Линейные группы. — Успехи мат. наук, 1981,т.36, № 5, с. 57 107.

52. Залесский А.Е. Линейные группы. — В сб. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия., 1983, т.21, с. 135 183.

53. Картер Р. Простые группы и простые алгебры Ли. — Математика. Период, сб. перев. иностр. статей, 1966, № 5, с. 3 47.

54. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем из четырех элементов. — В кн. Алгебра и теория чисел. Межвуз. сб., Вып 4, Нальчик, 1У7У, с. 21 31.

55. Койбаев В.А. Описание -полных подгрупп в полной линейной группе над полем из трех элементов. — Зап. науч. семинаров Ленинград. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1980, т.103, с. 76 78.

56. Койбаев В.А. Расположение подгрупп в линейных группах над конечными полями. — Канд. дисс., Л., 1982, 140с.

57. Копейко В.И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов. — Матем. сб. , 1978, т. 106, с. 94 107, К-.

58. Плоткин Е.Б. О сетевых подгруппах скрученных групп Шевалле. ~ атв. мат. ежегодник, 1984, вып. 28, с. 179 193.

59. Плоткин Е.Б. О стабилизации К -функтора для групп Шевалле. 34с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 3.12.1984, № 7648 84 Деп / .

60. Плоткин Е.Б. Разложение типа Шевалле-Мацумото для скрученных рупп Шевалле. — В кн. Топологические пространства и их отображе-ия. 1985, Рига, с. 108 119.

61. Романовский Н.С. О подгруппах общей и специальной линейных рупп над кольцом. — Мат. заметки, 1971, т.9, № 6, с. 699 708.

62. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. M., 1975, 262 с.

63. Супруненко Д.А. Группы матриц. M., 1972, 351 с.

64. Суслин A.A. О структуре специальной линейной группы над кольцом ногочленов. — Изв. АН СССР, Сер. матем., 1977, т. 41, № 2 , с.35 253.

65. Суслин A.A. Алгебраическая K-теория. В сб. Итоги науки и тех-ики. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1982, т. 20, с. 71-152. Ю. Суслин A.A. Об одной теореме Кона. — Зап. науч. семинаров Ле-мнгр. отд. Мат. ин-та АН СССР, 1976, т. 64, с. 127 130.

66. Хлебутин С.Г. О нормальности подгруппы элементарных матриц. — > кн. IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.юсква, 1984, с. 248 249.

67. Хэмфри Дж. Линейные алгебраические группы. М., 1980, 399 с.б. Шевалле К. О некоторых простых группах. — Математика. Период. ;б. перев. иностр. статей. 1958, т. 2, № I, с. 3 53.

68. АЪе Е. Chevalley groups over local rings. Tohoku Math. J. И (1969), p. 474 494.

69. АЪе E. Coverings of twisted Chevalley groups over commutative 'ings. Sei. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, 1977, A 13, N 366 - 382, ). 194 - 218.

70. Bass H. Unitary algebraic K-theory, Algebraic K-theory III, Springer Verlag, 1973, p. 57 - 265.

71. Behr H. Explizite Präsentation von Chevalleygruppen über5.-Math. Zeitschrift 1975, b. 141, N 2, s. 235 241.

72. Behr H. Eine endliche Präsentation der Symplectische Gruppe >p^(Z).-Math. Zeitschriff, 1975, b. 141, H 1, s. 47 56. 54« Carter R. Conjugacy classes in the Weyl group. - Compositio iath., 1972, v. 25, I 1, p. 1-59.

73. Carter R. Simple groups of Lie type. London-Hew-York-Sydney-Poronto, 1972, 331 p.

74. Chevalley C. Classification des groupes de Lie algebriques, tfotes polycopices, Inst. H. Poincare, Paris (1956-1958).

75. Chevalley C. Certain schémas des groupes semi-simples, em. Bourbaki, Exp. 219 (1960-1961).

76. Cohn P.M. Oil the structure of the GI»2 of a ring. Publ. math, nst. hautes etudes scient., 1966, v. 30, p. 365 413*

77. DeocLhar V.V. On central extentions of rational points of .lgebraic groups. Amer. J. Math., 1978, v. 100, p. 303 - 386.

78. Demasure M., Grothendieck A. Schémas en Groupes. Lect. ,'otes in Math., 151, 152, 153, Berlin-Iieidelberg, Springer, 1970.

79. Eastes D., Ohm J. Stable range in commutative rings.-Algebra, IT 7, 1967, p. 343 362.

80. Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmétiques des groupesrnûsemi-simples déployés, Ann., Sci., Ecole ÎTorm. Sup. 4 , H 2, 1969, p. 1 62.

81. Ree R. Construction of certain semi-simple groups. Can. J. iîath., 1964, v. 16, p. 490 508.

82. Seligman G.B. Modular Lie Algebras, Springer, 1967.

83. Stein M.R. Stability theorems for K1, K2 and related functors modeled on Chevalley groups. -Japan J. Math., 1978, v. 4, IT 1,p. 77 108.

84. Stein M.R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings. Amer. J. Math., 93, 1971,p. 965 1004.

85. Stein M.R. Surjective stability in dimension 0 for Kg and related functors. Trans. Amer. Math. Soc. 178 (1973), p. 165 -191.-118

86. Strecker G.S. Unitare Gruppen iiber beliebebigen localen .ingen. J. of Algebra, v. 57, N 1, 1979, p. 258 270.

87. Suzuki K. On parabolic subgroups of Chevalley groups over ocal rings. Tohoku Math. J., 1976, v. 28, H 1, p. 57 - 66.

88. Suzuki K. On normal subgroups of twisted Chevalley groups ver local rings, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, 1977, v. 13,375, p. 238 249.

89. Suzuki K. On parabolic subgroups of Chevalley groups over ommutative rings. Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, 1977, A. 13,366.382, p. 225 232.

90. Swan R. Generators and relations for certain special linear ;roups. Advances in Math., 1971, v. 6, p. 1 - 77.